수와
수와 연산 연산(2) (2) 수와
수와 연산 연산(2) (2)
3. 정수와 유리수
1) 음수 개념의 역사적 발생
• 19세기에 이르기까지 수 개념을 크기, 개수, 길이, 넓이 등의 양 적인 관념과 관련지음
디오판토스(3C): 음수는 존재하지 않는 불가능한 것 디오판토스(3C): 음수는 존재하지 않는 불가능한 것
브라마굽타(7C): 양수와 음수의 계산 법칙. 음수를 해로 인정하지 않 음
카르다노(16C): 음수가 사용된 예. ax+b=0의 일반해 데카르트: 음의 근을 거짓 근
파스칼: 0보다 작은 수는 존재하지 않는다
• 학생들도 음수를 직관적으로 받아들이지 못함 인식론적 장애(수를 크기와 연관 짓는 것)
• 19세기에 이르기까지 수 개념을 크기, 개수, 길이, 넓이 등 의 양적인 관념과 관련지음
– 디오판토스(3C): 음수는 존재하지 않는 불가능한 것
– 브라마굽타(7C): 양수와 음수의 계산 법칙. 음수를 해로 인정하지 않음
않음
– 카르다노(16C): 음수가 사용된 예. Ax+b=0의 일반해 – 데카르트: 음의 근을 ‘거짓 근’
– 파스칼: 0보다 작은 수는 존재하지 않는다
• 학생들도 음수를 직관적으로 받아들이지 못함
– 인식론적 장애(수를 크기와 연관짓는 것)
• 음수를 받아들일 수 없는 이유 (인식론적 장애)
– 작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가?
– 작은 수의 제곱이 어떻게 큰 수의 제곱보다 클 수 있는가?
– (-4)(-5)=20이라면 1:-4=-5:20 – (-4)*3. 그렇다면 4*(-3)?
• 음수와 허수 개념이 거의 비슷한 시기에 정립.
• 실용적인 유용성 문제
• Hankel(19C): 음수 체계 확립. 형식적인 구조로 이해. 양수 체계의 원리가 유지되도록 음수 체계 확장. 대수적으로 모순이 없음
음수 지도를 위한 모델
• 셈돌 모델(Gattegno): 두 가지 색의 돌을 이용하여 정수 를 나타내고 연산을 정의. 덧셈과 뺄셈이 자연스럽게 설 명되지만, 곱셈과 나눗셈 설명은 한계가 있음.
• 우체부 모델: 어음(받는 사람에게 소득)과 고지서(받는 사람 에게 부채) 가져오고(+) 가져가기(-)
– 덧셈과 뺄셈
음수 지도를 위한 모델
• 우체부 모델: 곱셈 설명 가능. 나눗셈은 자연스럽지 않음
음수 지도를 위한 모델
• 수직선 모델: 수를 방향과 크기를 갖는 것으로 봄. 순서 구조(대소 관계)를 유지한다는 장점
음수 지도를 위한 모델
• 수직선 모델
– 곱셈: 반복되는 덧셈으로 설명. 음수를 곱할 때는 방향 을 바꾸어
음수 지도를 위한 모델
• 나눗셈:반복되는 뺄셈을 통하여 피제수를 나타내는 화살표를 원점으로 줄이는 과정. 줄이는 방향이 제수의 반대방향일 때 그 결과를 양으로 간주
음수 지도를 위한 모델
• 음의 부호가 다중적인 의미: 왼쪽, 반대방향(곱셈, 나눗셈), 뺄 셈
형식불역의 원리
• Freudenthal: 음수는 방정식의 해집합 구조를 완전하게 하 려는 요구에서 생겨났으므로 자연수 체계에서 확장된 순 수한 형식 체계로서의 음수를 지도하는 것이 필요
– x+a=0의 해로 음수 –a를 정의
• 대수적 또는 기하적 구조를 확장할 때 기존의 체계에서 인정된 성질이 유지되도록 해야 한다.
• 자연수에서의 법칙이 유지되도록 음수의 사칙연산 정의 – (-2)+2=0, (-3)+3=0으로 음수를 정의하면,
– {((-2)+(-3)}+(2+3)=0에서 (-2)+(-3)=-(2+3)
• 귀납적 외삽법
형식불역의 원리
• 음수 지도에서 기하적 형식 불역에 대한 경험도 중요한 의미
• 미국 캘리포니아의 음수 지도 (p.37)
– 음수 연산을 원리와 형식적 측면에 기반하여 설명 – 음수 도입 시 좌표평면 제시
형식불역의 원리
– 정수의 덧셈, 뺄셈 다음 학년에서 사칙계산
유리수 개념의 지도
• 유리수는 (기약) 분수로 나타낼 수 있는 수
• 분수 개념은 매우 다양한 맥락을 가짐
• 구조적인 동치 관계: 외적 상황은 다르지만 본질적으로 같 은 구조를 갖는 상황으로 정리되어야. (-3)/4=3/(-4)?
• 유리수의 외연적 정의: 개념에 포괄되는 대상 전체로 정의.
• 유리수의 외연적 정의: 개념에 포괄되는 대상 전체로 정의.
엄밀성. 형식화의 결과. 현실적 맥락은 잃게 됨. 점진적인 형식화가 생략되게 됨
– S={(a, b) | a, b∈Z, b≠0}
– (a, b) ~ (c, d) ad=bc
– a/b={(x, y) ∈S | (x, y)~(a, b)}
– ½=2/4
– 현대 수학의 경향
vs. 내포적 정의: 속성으로 정의
유리수 개념의 발생
• 등분할된 부분과 전체. 질적으로 동일한 두 양을 비교. 포 함제(division)
• 분배 결과의 몫. ax=b의 해. 질적으로 다른 양 사이의 관 계. 등분제(partition)
• 비율
– 5등분한 사과의 2조각 = 10등분한 사과의 4조각 = … – 변화하는 두 양 사이의 ‘동일한 관계’
– a:b=c:d는 a:c=b:d와 동치 – 내적 비 vs. 외적 비
• 곱셈 연산자
토론 과제
• 중학교 1학년 교과서를 참조하여,
1) 음수의 도입 방법을 비교하시오.
2) 유리수의 정의가 무엇인지 알아보시오.
3) a/(-b)와 (-a)/b가 같은 유리수임을 어떻게 설명하는지 알아보시오.
알아보시오.
