제 6강. 도체계와 정전용량 2

(1)

제 6강. 도체계와 정전용량 2

(2)

3-4 에너지



(1) 도체계의 성질

- 여러 개의 도체가 가까이 있어 하나의 도체계를 형성할 때 각 도체에 주어진 전하에 의한 전계는 서로간의 영향 을 주므로 각 도체의 전하 및 전위는 도체계의 전체를 동시에 고려해야 함

- 몇 개의 도체가 있을 때 각각의 도체에 대해서 취급하는 것은 복잡하므로, 복수의 도체를 취하는 방법 ⟶ 도체계

(3)

(2)

- 전위계수: 특정도체에 +1[C]의 전하를 주었을 때 각 도체의 전위 (_)

- 반지름이 각각 a, b, c인 각 도체에 Q1, Q2, Q3의 전하가 분포되어 있을 때,

각 도체의 전위는 무한히 먼 거리에서 1[C]의 전하를 각 도체까지 가져오는데 필요한 일

3-11 세 도체구로 형성된 도체계

- 도체 1, 2, 3의 전위 V1, V2, V3는 중첩의 정리에 의해

_ ^ _^_^_ _{ }

  _

 __{ }

  _

 __{ }

  _

 _

^ __^__^__^^ ··· (3-43)

(4)

_ ^ _^_^_ _{ }

  _

 __{ }

  _

 __{ }

  _

 _ ^ __^__^__^^ ··· (3-44)

_ ^ _^_^_ _{ }

  _

 __{ }

  _

 __{ }

  _

 _

^ __^__^__^^ ··· (3-45)

- 전위식

_ ^ __^__ ⋯ __

_ ^ __^__ ⋯ __ _ ^ __^__ ⋯ __

···

_ ^ __^__ ⋯ __ ··· (3-46)







^



_



_

⋯

_









^



_ _⋯⋯⋯⋯_



_ _⋯⋯⋯⋯_

⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯

__⋯⋯⋯⋯_







^



_



_

⋯

_

··· (3-47)

_ ^



  





  



__ ··· (3-48)

(5)

- _는 도체의 크기, 모양, 상호간의 배치상태 및 주위공간의 매질에 따라 정해짐

_ ≻  일반적으로 _ ≻ 

_ ≧ _ 일반적으로 _ ≧ _

_ ≧  일반적으로 _ ^{≧ }

_ ^ _ 일반적으로 _ ≧ _ ··· (3-49)

- 전위계수의 단위

_ _{ }



   위계수  전하C

전위V 

볼트V  쿨롱C

 패러드Farad  F

전위계수  Farad

  F



(6)



2를 Q로 대전된 도체 1에 접속하면 도체 2가 얻은 전하는 얼마나 되는가?

이를 전위계수로 표시하라.



Q₁ Q₁

V₁ V₁

[풀이] 식(3-43)과 식(3-44)에 의하여

_ ^ __^__ _ ^ __^__

가 되는데, 여기서 도체를 접속시킨 후에 전위는 V1=V2가 되므로 Q1은 Q-Q2로 전하가 감소 그러므로 Q1=Q-Q2, Q2를 윗 식에 대입하면

_ ^ _^^_^{ }__ ^ _ ^ _^^_^{ }__

3.9

(7)

되고, 이 식을 정리하면

_^{ }_^_^_ ^ _^{ }_^_^_

가 되므로, 도체 2의 전하 Q2는

_ _{ }

_ _^_

_^_

[C]

(3) 용량계수와 유도계수

- 도체계의 전위 식 (3-46)에서 각 도체의 전하에 대해서 풀면,

_ ^ __^__ ⋯ __ ··· (3-46)

_  __ __ __ ⋯  __ _  __ __ __ ⋯  __

···

_  __ __ __ ⋯  __ ··· (3-50)

_ ^



  



__^^ ··· (3-51)

(8)

- : 자기자신의 전위를 +1[V]로 하기 위한 전하 (q11, q22, q33)

q11, q22, q33 ＞ 0, 용량계수 qrr ＞ 0

- 유도계수 : 도체 1에 의하여 다른 도체에 유도되는 전하 (q12, q21, q31)

q12, q21, q31, ··· ≤ 0 일반으로 유도계수 qs r ≤ 0

- 도체 1에서 나온 전기력선은 2, 3의 도체(V=0)와 무한원(V=0)으로 향할 것이므로,

_ _ _ ≥  _ ≥  _ _

- 또한 전위계수는 _  _의 관계가 있으므로,

_  _, 일반으로 ^_  _  ≠ 

- 용량계수와 유도계수의 단위

 량계수  전위V  전하C 

 유도계수  전위V  전하C

··· (3-52)

(9)



3-12와 같은 동심구도체 1에만 Q [C]의 전하를 주었을 때 도체 1의 전위 V1=1[V]라 하면 용량계수 q11, q22, 유도계수 q12, q21를 구하라.



3-12 동심 구도체

[풀이] 도체 1에만 Q [C]의 전하를 주고 도체 2를 접지했으므로

_  __ __ ^  ··· ①

_  __ __ ^{ } ··· ②

으로부터 V1=1[V], V2=0[V]이며 q11=Q, q21=-Q, q21=-q11=q12가 된다.

3.10

(10)

도체 1에만 Q[C]의 전하를 줄 때 도체 1, 2의 전위 V1, V2는

_ _{ }

 





^

  

  





^{··· ③}

_ _{ }

 

 ··· ④

이므로 이것을 식 ①, ②에 대입하면 다음과 같이 구할 수 있다.

_  



  





_  _   _   



  





_   





^^^^ ^{ }^ ^^ ^{ }^^



(11)

(4) 갖는 에너지

- 도체에 전하를 준다는 것, 즉 충전한다는 것은 전하를 무한원에서 그 도체까지 운반해 온다는 것, 이 경우 전하를 운반하기 위한 일, 즉 에너지가 필요

- 도체 1에만 미소전하 dq를 운반하여 q=0에서 q=Q1까지 충전한다고 할 때,

임의의 전하 q의 상태에서 전위를 V1이라 하면, dq를 운반할 때의 일을 dw1이라 하면,

_  _

- 여기서 식 (3-46)에 의해

_  _

- 전체 에너지

_ ^



_^^^^^{ }



_^^^^^{  }_^ ^^^^^ ··· (3-53)

(12)

- 2를 미소전하 dq를 운반하여 q=0에서 q=Q2까지 충전한다고 할 때,

도체 2가 q의 전하를 가질 때 전위를 V2라 하면, 여기에 다시 dq를 운반할 때의 일을 dw2이라 하면,

_  _

- 도체 1에 의한 전하의 영향을 고려하면

_  __^_

- 전체 에너지

_ ^



_^^^^^

^



_^^^^^^^^^^^{ } ^^^^^^^{ }_^ ^^^^^^^^··· (3-54)

- 같은 방법으로 도체 3을 Q3까지 충전할 때 필요한 에너지를 구하면,

_ ^ ___^____{ }



__^^^ ··· (3-55)

(13)

- 소요되는 에너지

 ^ _^_ ⋯⋯ _

 _{ }



 __^ ____{ }



 __^

 ___^____{ }



___^  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

 ___^___^___

 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

_{ }



 __^^^ ··· (3-56)

- 여기서 도체 1을 먼저 충전하고 도체 2를 충전할 때의 에너지와 도체 2를 먼저 충전하고 도체 1을 충전할 때의 에너지는 같음

_ ^ _^_ _{ }



 __^^____{ }



 __^^^ ··· (3-57)

_ ^ _^_ _{ }



 __^^____{ }



 __^^^ ··· (3-58)

(14)

- , 식 (3-56)은 다음과 같이 정리 됨

 _{ }



 __^^___^___ ⋯⋯ ___

___^__^^___⋯⋯___

+ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

___^___^___⋯⋯___^ _{ }







  





  



___^^ ··· (3-59)

- 이 식에 식 (3-46)의 전위 계수식을 대입하면,

 _{ }



 __^__^__ ⋯ __^

_{ }







  



__^^ ··· (3-60)

(15)

- 경우로서 두 개의 도체만이 있을 경우 각각에 +Q, -Q의 전하를 줄 때는

 _{ }



 _^__{  }



 _^_^ ··· (3-61)

 _{ }



  _{ }



 

^

 

 ^^^ ··· (3-62)

(16)



2[μF] 3[μF]의 콘덴서가 직렬로 접속된 것에 어떤 전압을 가하여 충전시키는데 3750[μJ]의 에너지가 필요하다면, 2[μF]이 보유하고 있는 에너지[J]는 얼마인가?



[풀이] _ _{ }







^

에서 ^  ,

 _{ }

_

  _



  _^_

__

직렬이므로 두 콘덴서에 저축된 전하량은 같으므로

_ _{ }



 _

^

 _

_

 _

_^_

__

_

_{ }

_^_

_

_ _{ }

  

 ×   J 

3.11

(17)

(5) 작용하는 힘

∆ _{ }

_

_

× _∆ ··· (3-63)

  

  _

_^

^ ··· (3-64)

  

  

 _^^^ ··· (3-65)

∆   ∆ ··· (3-66)

   

 ··· (3-67)

(18)



넓은 도체판 2장을 거리 d만큼 떨어져 평행하게 놓고, 도체판 사이에 V의 전위차를 가하면, 도체판의 단위면적당 작용하는 힘을 구하시오.

(단, V=1000[V], d=5[cm]이다.)



[풀이] 도체간의 전계 E는 E=V/d[V/m]이므로

  

_^ _{ }



 _



^





^

 

 ×  × ^{ }×



^ × ^{ }

^



^   × ^{ }^

3.12

(19)



평판도체의 면적이 S[m²]이고, 평판사이의 거리가 d[m]일 때, 다음의 경우에 있어서 양 도체간의 작용하는 단위면적당 힘을 구하라.

① 각 도체에 +Q, -Q[C]의 전하가 주어질 경우

② 전원에서 일정한 전위차 V[V]가 가해질 경우



[풀이] ①  _{ }



  _

_

 _  

 의 관계에서 _



  _

 가 되므로

 _{ }

_



^

평행 평판 도체간의 에너지는

 _{ }



  _{ }



 



^^





^{ }^^ ^^

^ [J]

이며, 단위 면적당 에너지 w는

3.13

(20)

  

  



_

^^

^

되므로, 단위 면적에 작용하는 정전력 f는

∴ _{   }



   

 

_^

^

^

부(-)부호가 붙은 것은 흡인력이 작용하고 있기 때문이다.

② 도체간의 전위차를 일정하게 할 때는

 _{ }



_

^

이므로 에너지는

 _{ }



  _{ }







_

 _{ }







_^

^

(21)

, 단위 면적의 에너지는

  

  

 

_^

^

이 된다. 단위면적에 작용하는 힘 f는

   

   

 _^^{ }   

_



^





^^^^^^

이 되는데, 이 때 구해진 정전력은 반발력이다.

(22)

※ 참고문헌

1. 최수열 외 4인 공저, “전기/전자/통신 공학도를 위한 현대전기자기학”, 복두출판사