제 5강. 도체계와 정전용량 1
3 장 도체계와 정전용량
3-1 콘덴서
- 절연된 도체에 전하 Q를 주면 그 도체의 전위는 이전의 전위보다 V만큼 증가
⟶ 대전된 도체의 전하량이 증가할수록 도체의 전위는 높아지는데, 이는 도체의 형상, 크기, 배치상태, 매질의 종류에 따라 결정
- 한 개의 고립된 도체에 전하 Q[C]를 주었을 때의 전위를 V[V]라 하면 Q와 V는 비례하여
또는
··· (3-1)- 이 비례상수 C를 정전용량이라고 함. 정전용량이란 일정한 전위 V를 주었을 때, 전하 Q를 저장하는 능력
- 정전용량의 단위
1[μF] (microfarad) = 10-6[F]
1[pF] (picofarad) = 10-12[F]
- 개의 도체에서 도체 A에 +Q[C], 도체 B에 –Q[C]가 주어졌을 때, 도체간의 전위차를 VAB라 하면, 두 도체간의 정전용량은
··· (3-2)
- 이와 같은 정전용량 C에 축적되는 정전에너지
··· (3-3)3-2 연결
(1) 콘덴서의 종류와 용도
- 콘덴서는 재질에 따라 공기 콘덴서, 기름 콘덴서, 운모 콘덴서, 종이 콘덴서 등이 있음
- 반원형의 엷은 갈색인 세라믹콘덴서, 짙은 녹색의 사각형 모양인 마일러 콘덴서, 원통이고 극성이 있는 전해 콘덴서가 많이 쓰임
콘덴서의 형 콘덴서의 용량[μF] 동작전압[VDC] 용 도
종이콘덴서 종이콘덴서 유입콘덴서 전해콘덴서 전해콘덴서 전해콘덴서 운모콘덴서 세라믹콘덴서 가변콘덴서
0.001～1 1～10 0.05～15 2～40 5～500 500～4,000 0.005～0.01 0.5×106≈0.47 15～350
200～2,000 200～2,000 600～5,000 150～450 25～100 12～25 12～10,000 12～10,000
150～3,000피크[V]
저주파결합용 필터용
필터용 필터용 바이어스용 저전압필터용
저주파, 고주파결합용 저주파, 고주파결합용 고주파 동조형
3-1 콘덴서의 종류와 용도
- 3-1은 콘덴서의 기호이고, 그림 3-2는 주요 콘덴서의 겉모양이다.
가변콘덴서 그림 3-1 콘덴서의 기호
세라믹 콘덴서 마일러 콘덴서 전해 콘덴서 그림 3-2 주요 콘덴서의 겉모양
(2) 연결
1) 병렬연결
3-3 콘덴서의 병렬연결
- 각 콘덴서에 충전되는 전하
, , ··· (3-4)
- 전하의 합계는
··· (3-5)- 병렬연결 시 합성용량은 저항의 직렬연결과 같다
··· (3-6)- 각각의 콘덴서에 흐르는 전하량
··· (3-7)
0.01[μF] 200[pF]의 콘덴서를 병렬 접속하여 1000[V]의 전원에 접속할 때, 합성정전용량과 각 콘덴서에 흐르는 전하량을 구하여라.
[풀이] 0.01[μF]을 C1, 전하량을 Q1, 200[pF]을 C2, 전하량을 Q2라 하고 합성정전용량을 CP라 하면 식(3-6), 식(3-7)에 의해서
F pF F
× × C
× × × C
3.1
2)
3-4 콘덴서의 직렬연결
- 각 단자사이의 전압
,
,
··· (3-8)
- 전체 전압은 각각의 콘덴서에 인가된 전압의 합과 같으므로,
··· (3-9)- (3-8)을 (3-9)에 대입하면,
··· (3-10)- 콘덴서의 합성용량
··· (3-11)
-
콘덴서의 직렬연결 시 합성용량은 저항의 병렬연결과 같다
··· (3-12)
··· (3-13)
- 각 콘덴서에 걸리는 전위차
,
,
··· (3-14)
3-4에서 C1=1[μF], C2=2[μF], C3=3[μF]인 3개의 콘덴서를 직렬 접속하여 600[V]의 전압을 가할 때 C1 양단 사이에 걸리는 전압[V]은 얼마인가?
[풀이] 그림에서 C1, C2, C3에 분배되는 전압은 V1, V2, V3라 하고 C1, C2, C3가 직렬접속일 때 합성 정전용량 C를 구한 후 V1=
V[V]식에서 구한다.
합성용량 C는
∴
∴
×
3.2
3-3 계산 예
(1) 도체구의 정전용량
3-5 도체구
- 진공중에 고립되어 존재하는 도체구에 반경이 a[m]이고, 전하 Q[C]를 주었을 때 전계의 세기 E는 가우스 법칙에 의해
⋅ ⋅
··· (3-15)- 표면에 있어서의 전위 V
⋅
∞ ∞
··· (3-16)- 따라서 정전용량
··· (3-17)
1[μF]의 정전용량을 가진 구의 반지름[km]은 얼마인가?
[풀이] 식(3-17)에 의해
×
식에서 a를 구한다.
× × × × × ×
3.3
(2) 개의 동심구 도체의 정전용량
3-6 동심구
- 두 개의 동심구에서 내부 도체에 Q[C]의 전하를 주면 반지름 b인 외부도체의 안쪽면에 –Q[C]의 전하가 유도 - 이 때 내부 도체의 중심점 O에서 r[m]만큼 떨어진 점에서의 전계의 세기
··· (3-18)
⋅
··· (3-19)- ·
··· (3-20)
동심 구형 콘덴서의 내구와 외구의 반지름을 각각 6배로 증가시켰을 때 정전 용량은 몇 배로 되는가?
[풀이] 식(3-20)로부터
서 ′
×
배
3.4
(3) 도체의 정전용량
- 내원통의 반지름 a, 외원통의 반지름이 b인 무한히 긴 동축 원통도체의 단위길이당 정전용량
3-7 무한히 긴 동축원통
- 긴 동축원통에 있어서 내부원통에 단위길이당 전하를 [C/m], 외부원통의 단위길이당 전하가 [C/m]이면, 동축원통 사이의 임의의 P점의 전계의 세기
··· (3-21)
- 전위차
⋅
ln
··· (3-22)
- 단위길이당 정전용량
ln
log
× ×
log
× ··· (3-23)
- 진공 중에서 원통의 길이가 일 때,
ln
··· (3-24)- 정전용량
ln
··· (3-25)
3-7과 같이 내원통의 반지름 10[m], 외원통의 반지름 20[m]인 동축 원통도체의 정전용량을 구하여라.
[풀이] 내외 도체의 반지름이 각각 a, b[m]인 동축원통 도체의 단위길이당 정전용량 C는
ln
log
×
log
×
log
×
3.5
- 같이
동축 원통 사이에 유전체 ε
1, ε
2가 채워져 있을 때 (복합유전체), 동축 원통의 단위 길이당 정전용량
그림 3-8 복합유전체의 동축 원통
- 각 유전체의 전계는
··· (3-26)
··· (3-27)
- 내외 원통도체 사이의 전위차는
⋅
⋅
··· (3-28)- 동축원통의 단위길이당 정전용량 C는
··· (3-29)
아래 그림과 같이 ε1, ε2를 갖는 두 유전체로 절연하고자 한다. 이 경우 (a) ε1을 내측 도체 가까이 채운 경우와, (b) ε2를 내측 도체 가까이 채운 경우의 이 케이블의 최대 사용전압을 구하여라.
단, ε1은 5.0, 허용전위경도()는 40[kv/m]이고, ε2은 3.0, 허용전위경도는 50[kv/m](), a=1[cm], b=[2cm], c=3[cm]이다.
[풀이] (a)의 경우 (ε1을 내측 도체 가까이 채운 경우) 내외 원통도체 사이의 전위차는 식(3-28)에 의해
⋅
⋅3.6
⋅
⋅
λ ( 전하)를 구해야 하므로 식(3-26)에서
E․․․에서
× × × ×
× cm
∴
×
× V
(b) 경우 (ε2를 내측 도체 가까이 채운 경우)
⋅
⋅
⋅
⋅
λ를 구해야 하므로 식(3-27)에서
E․․․
× × × ×
× cm
×
× ⋯
×
V
유전율이 큰 유전체를 내측 도체에 가까이 채우면((a)의 경우), 더 높은 전압(8,000[v])을 가할 수 있음
(4) 개의 평행판 도체의 정전용량
- 무한히 넓은 평명판 A, B가 극판거리를 d라 하고, 각각 단위 면적당 전하를 라 하면, 평면판 사이의 점 P의 전계 E는 균일하게 형성
3-9 두 개의 평행 도체판
··· (3-30)
⋅
··· (3-31)- 면적당 정전용량
··· (3-32)
- 진공중에서, 도체판의 면적이 일 때의 정전용량
⋅
× ×
··· (3-33)- 두 도체간에 절연물을 넣으면 정전용량이 커짐, 이 때
는 비유전율(진공 중 유전율 대비 절연물의 유전율)
또는
··· (3-34)
물 질 비유전율 물 질 비유전율 진공
공기 변압기유
물 파라핀
고무 황 건조한 나무
1.000000 1.000586 2.2～2.4
80 2.1～2.5 2.5～3.5 3.6～4.2 1.5～4
종이 베이클라이트
운모 금강산 자기류
산화티탄(TiO2)자기 티탄산염(BaTiO3)자기
합성수지
2.0～2.6 4.5～5.5 5.5～6.6
16.5 6～7 100 1000～5000
2～3 3-2 비유전율 ζs의 값
1 5[cm]인 정사각형 전극을 가진 평행판 콘덴서가 있다. 이 극판 간격을 5[mm]로 할 때 정전 용량은 얼마인가? 단, ε0=8.854×10-12[F/m]이다.
[풀이] 평행한 평판사이의 정전 용랑
식에서 평판 면적 S=(5×10-2)2[m2], 극판 간격 d=5×10-3[m]를 대입하면 구한다.
× × ×
×
3.7
(5) 개의 평행한 도선사이의 정전용량
- 반경 a인 원통형 도선 A, B가 중심축 사이의 거리 d로 매우 길게 평행으로 놓여 있는 경우 정전용량
3-10 두 개의 평행 도선
- 도체 A와 B에 각각 의 전하를 주면, 양 도체의 중심을 연결하는 선상의 점 P의 전계
··· (3-37)
- P의 합성전계 는 전계의 방향을 고려하면,
··· (3-38)- 도체 A, B 사이의 전위차
⋅
ln ln
··· (3-39)
- 단위길이당 정전용량
ln
··· (3-40)
- 특히 ≫ 일 때는
ln
≒ ln
ln
log
× ×
log
×
··· (3-41)- 길이 일 때 정전용량은
⋅ ln
⋅
··· (3-42)
반지름 1.5[mm]의 두 전선이 0.5[m]의 간격으로 가설되어 있다.
이 때 1[km]당 정전용량을 구하여라.
[풀이] 식(3-41)에서 길이 1[km]당 정전용량은
ln
×
log
× ×
log
× ×
×
3.8
※ 참고문헌
1. 최수열 외 4인 공저, “전기/전자/통신 공학도를 위한 현대전기자기학”, 복두출판사
