통계수학 I 미분적분학 (Calculus)

통계수학 I

미분적분학 (Calculus)

12주차

0.1 방향도함수와 기울기 벡터

45°

(1,1)

1 (2,0 )

(3,1)

Figure 1: 벡터 in R²

①단위벡터 i, j in R²

i = (1, 0) : 길이=1, j = (0, 1) : 길이=1

Figure 2: 단위벡터 i, j in R²

②단위벡터 i, j, k in R³

i = (1, 0, 0) : 길이=1, j = (0, 1, 0) : 길이=1, k = (0, 0, 1) : 길이=1

X

Figure 3: 벡터 in R³

Recall Let z = f (x, y) 이변수함수 i 방향으로의 방향도함수

D1f (x0, y0) = fx(x0, y0) = lim

h→0

f (x0+ h, y0) − f (x0, y0) h

Let X₀ = (x₀, y₀) and (x₀+ h, y₀) = (x₀, y₀) + (h, 0) = (x₀, y₀) + h(1, 0) = X₀+ hi

h→0lim

f (x₀+ h, y₀) − f (x₀, y₀)

h = lim

h→0

f (X₀+ hi) − f (X₀)

h = D_if (i 방향으로의 방향도함수) j 방향으로의 방향도함수

D₂f (x₀, y₀) = f_x(x₀, y₀) = lim

h→0

f (x₀, y₀+ h) − f (x₀, y₀) h

Let X0 = (x0, y0) and (x0, y0+ h) = (x0, y0) + (0, h) = (x0, y0) + h(0, 1) = X0+ hj

h→0lim

f (x0, y0+ h) − f (x0, y0)

h = lim

h→0

f (X0+ hj) − f (X0)

h = Djf (j 방향으로의 방향도함수)

u 방향으로의 방향도함수

Let u =< a, b > (단위벡터(길이= 1) in R²), If u = i, Duf = fx and If u = j , Duf = fy

D_uf (x₀, y₀) = lim

h→0

f (X0+ hu) − f (X0) h

X₀+ hu = (x₀, y₀) + h(a, b) = (x₀, y₀) + (ha, hb) = (x₀+ ha, y₀+ hb)

Proof

u =< a, b >, 한 점 X0 = (x0, y0) 고정

Observe g(h) ≡ f (x₀+ ha, y₀+ hb) = f (x, y), 변수 x₀+ ha = x, y₀+ hb = y g^′(0) = lim

h→0

g(0 + h) − g(0) h

= lim

h→0

f (x₀+ ha, y₀+ hb) − f (x₀, y₀) h

= Duf (x0, y0)

Let z = f (x, y) = g(h) and h의 함수 =







x = x₀+ ha y = y0+ hb

h

Figure 4: x, y, z, h의 관계(수형도)

g^′(h) = dg dh = dz

dh

= ∂z

∂x·dx dh+ ∂z

∂y ·dy dh

= f_x· a + f_y· b

At h = 0, x = x0 and y = y0.

g^′(0) = f_x(x₀, y₀) · a + f_y(x₀, y₀) · b

= D_uf (x₀, y₀)

단위벡터 u =< a, b > 에 대하여 a = cos θ, b = sin θ → ∴ u = (cos θ, sin θ)

1

Figure 5: 단위벡터와 삼각함수

Duf (x0, y0) = fx(x0, y0) cos θ + fy(x0, y0) sin θ

Example) f (x, y) = x³− 3xy + 4y²이고 단위벡터 u 와 양의 x 축과 이루는 각 θ 가 θ = π 6 일 때 방향도함수 D_uf (1, 2) 를 구하여라.

u = (a, b) = (cos θ, sin θ) fx= 3x²− 3y|_(1,2) = −3

=

 cosπ

6, sinπ 6



fy = −3x + 8y|_(1,2)= 13

=

√3 2 ,9

2

!

D_uf (1, 2) = −3 ×

√3

2 + 13 ×1 2 벡터 in R², 벡터의 내적

1) < a, b > + < c, d >=< a + c, b + d >

2) < a, b >= (a, b) = a < 1, 0 > +b < 0, 1 >= ai + bj



내적 (Inner Product)

내적(Inner Product)

u · v = ∥u∥∥v∥ cos θ = ac + bd (We will proof later)

u

|u| v

Figure 6: 내적의 의미 (v위로의 u의 사영)

기울기 벡터 z = f (x, y) 에 대해

f_x=접선의 기울기 over C₁ and f_y=접선의 기울기 over C₂ Let ▽ f (x, y)=< fx, fy >=fxi + fyj

f 의 기울기벡터 라고 한다.(gradient of f )

Figure 7: 기울기벡터(Gradient)

Example) 벡터 v = 2i + 5j 방향으로 (2, −1) 에서의 함수 f (x, y) = x²y³− 4y + 5 의 방향도함수를 구하여라.

2 5

29

v =< 2,5 >

Figure 8: 벡터 v = 2i + 5j

Recall Duf = fx· a + f_x· a

|v| =√

4 + 25 =√ 29 u = v

|v| = 1

√

29v =< 2

√ 29, 5

√ 29 >

∇f =< f_x, fy >=< −4, 8 >

∇f · u =< −4, 8 > · < 2

√29, 5

√29 >

= −8

√

29 + 40

√

29 = 32

√ 29

연습문제 8 Q(5, 4) 의 방향으로 P (2, 8) 에서 f (x, y) =√

xy 의 방향도함수를 구하여라.

P(2,8)

Q(5,4)

삼변수 함수의 방향도함수 w = f (x, y, z)

단위벡터 u =< a, b, c >=ai + bj + ck

| u |=1=√

a²+ b²+ c²

단위벡터 u 방향에 대한 점 (x₀, y0, z0) 에서 f의 방향도함수 D_u f (x₀, y₀, z₀)= lim

h→0

f (x, y, z) − f (x₀, y₀, z₀) h

x = x0+ ah y = y₀+ bh z = z0+ ch

D_uf =▽f · u, ▽f =< f_x, f_y, f_z >=f_xi + f_yj + f_zk 방향도함수의 최대화

z = f (x, y) 단위벡터 u 방향의 방향도함수 Duf =▽f · u Goal) 방향도함수가 최대가 되게 하는 방항은?

ئ۴

D ফо

Figure 10: 방향도함수의 최대화

기울기 벡터 ▽f 와 u가 같은 방향이거나 사잇각이 0일 때 Duf 는 최댓값 |∇f | 를 갖는다.

기울기벡터 ▽f 의 의미 z = f (x, y)

▽ f (x, y)=< f_x(x₀, y₀), f_y(x₀, y₀) >

※f 가 u 에서 가장 빠르게 증가방향

⇐⇒ D_uf 가 최대

⇐⇒ u 와 ▽f 는 같은 방향

⇐⇒ ▽f 가 가장 빠른 방향을 뜻한다.