1 12
2015학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지
제 2 교시 수학 영역 (가형)
1
5지 선다형(1 ~ 21) 1.
×
의 값은? [2점]
①
②
③ ④ ⑤
2.
전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여 집합 ∪ 의 원소의 개수는? [2점]
① ② ③ ④ ⑤
3. lim
→∞
의 값은? [2점]
① ② ③ ④ ⑤
4.
유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프가 원점을 지날 때, 상수 의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (가형)
2 고 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2 12 5.
함수
≤
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
6.
에 대한 다항식 가lim
→ ∞
,
lim
→
를 만족시킬 때, 의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
7.
모든 항이 양수인 등비수열
에 대하여 × 일 때, × × 의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
8.
수열
에 대하여
∞
이 수렴할 때,lim
→∞
의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (가형)
고 2 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
3 12 9.
일차함수 의 역함수를 라 할 때, 함수
의 역함수를 에 대한 식으로 나타내면 이다.
두 상수 , 에 대하여 의 값은? [3점]
①
② ③
④ ⑤
10.
어느 공장에서 생산하는 직원뿔대 모양의 유리컵의 높이는 (cm)이고 크기와 모양은 모두 일정하다. [그림 1]과 같이 유리컵 두 개를 밑면이 지면과 평행하도록 지면 위에 포개어 쌓으면 유리컵 한 개의 높이의
만큼 항상 겹치게 된다.
[그림 2]와 같이 유리컵 개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이가
(cm)이다. 유리컵 개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이는
(cm)이다. 의 값은? (단, 유리컵을 쌓은 지면은 평평하다.) [3점]
[그림 1] [그림 2]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (가형)
4 고 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
4 12 11.
전체집합 가 실수 전체의 집합일 때, 실수 에 대한두 조건 , 가
,
이다. 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, , 는 실수이다.) [3점]
<보 기>
ㄱ. 일 때, ∅이다.
ㄴ. , 일 때, ⊂ 이다.
ㄷ. , 일 때, 명제 ‘∼이면 이다.’는 참이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
12.
밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 물체에 작용하는 중력과 공기 저항력이 평형을 이루게 될 때의 물체의 속력을 종단속력이라 한다. 질량이 이고 단면적이 인 구형 물체의 종단속력 (m/초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다.
(단, 는 끌림 계수, 는 공기 밀도, 는 중력가속도이며, 질량 단위는 kg, 단면적 단위는 m이다.)
밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 구형의 두 물체 와
에 작용하는 끌림 계수( ), 공기 밀도(), 중력가속도()가 서로 같다. 두 물체 와 의 질량의 비는
이고 단면적의 비는 일 때, 두 물체 , 의 종단속력을 각각, 라 하자.
의 값은? [3점]①
②
③
④
⑤
수학 영역 (가형)
고 2 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5 12 [13 ~ 14]
는 상수이고, 유리함수
에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.
O
13.
직선 가 곡선 의 두 점근선의 교점을 지날 때, 상수 의 값은? [3점]①
②
③
④
⑤
14.
일 때, 유리함수 의 그래프 위를 움직이는 점 P와 직선 사이의 거리의 최솟값은? [4점]① ②
③
④ ⑤
수학 영역 (가형)
6 고 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
6 12 15.
그림과 같이 좌표평면 위의 점 A 을 지나고 축에 접하는원 가 있다. 원 가 축과 만나는 또 다른 점을 P라 하고,
축과 접하는 점을 Q 이라 하자. 삼각형 APQ의 넓이를
, 원 의 반지름의 길이를 라 할 때,
lim
→∞ ×
의 값은? (단, 이다.) [4점]
O A P
Q
①
② ③
④ ⑤
16.
다음은 모든 자연수 에 대하여
⋯⋯(*)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 일부이다.
<증명>
(1) 일 때, 좌변 × × 이고, 우변 × 이므로 (*)이 성립한다.
(2) 일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
이다.
일 때, (*)이 성립함을 보이자.
가
가
×
× 나 ⋮
그러므로 일 때도 (*)이 성립한다.
따라서 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때,
의 값은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (가형)
고 2 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
7 12 17.
함수 의 그래프가 그림과 같다.
O
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
<보 기>
ㄱ.
lim
→
ㄴ.
lim
→
ㄷ. 함수 ∘는 에서 연속이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
18.
그림과 같이 반지름의 길이가 인 원을 부채꼴로 등분하여 각각의 부채꼴에 내접하는 원을 하나씩 그려 넣는다. 이 개의 원에 의해 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을이라 하자.
그림 에 합동인 개의 원 안에 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 개의 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때,
lim
→∞
이다. 의 값은? (단, , 는 유리수이다.) [4점]
…
…
①
②
③
④
⑤
수학 영역 (가형)
8 고 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
8 12 19.
첫째항이 인 두 등비수열
,
이 다음 조건을만족시킬 때,
∞
의 값은? [4점](가)
∞ ,
∞ 이 각각 수렴한다.(나)
∞
이고
∞
이다.①
②
③
④
⑤
20.
함수 ≥ 의 역함수를 라 하고, 두 곡선 와 가 직선 와 만나는 점을 각각 P Q라 하자. 선분 PQ의 길이를 라 할 때,
lim
→
의 값은? [4점]
O
P
Q
①
②
③
④
⑤
수학 영역 (가형)
고 2 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
9 12 21.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가
lim
→∞
이다. 에 대한 방정식 이 서로 다른 네 실근을 가지도록 하는 양수 에 대하여 의 값은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
단답형(22 ~ 30)
22.
두 함수 ,
에 대하여 ∘
의 값을 구하시오. [3점]23.
log
×
log
의 값을 구하시오. [3점]수학 영역 (가형)
10 고 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
10 12 24.
함수
이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 정수 의 개수를 구하시오. [3점]
25.
수열
이
( , , , ⋯) 을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [3점]
26.
상수 에 대하여 ×
일 때, 의 값을 구하시오. [4점]
수학 영역 (가형)
고 2 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11 12 27.
자연수 에 대하여 그림과 같이 직선 과 두 곡선
,
의 교점을 각각 P, Q이라 하고,
직선 과 두 곡선
,
의 교점을 각각 P , Q 이라 하자. 삼각형 PQP 의 넓이를
이라 할 때,
이다. 의 값을 구하시오.(단, , 는 서로소인 자연수이다.) [4점]
O
P
Q
P
Q
28.
보다 크고 보다 작은 두 자연수 , 이 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [4점](가) log은 유리수이다.
(나) 세 수 , , 은 이 순서대로 등비수열을 이룬다.
수학 영역 (가형)
12 고 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
12 12 29.
양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 다음 조건을만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [4점]
(가) ≤ ≤
(나) 모든 양의 실수 에 대하여 이다.
30.
두 집합 은 자연수,
은 자연수
가 있다.집합 의 원소 에 대하여 집합 의 원소 중 의 약수의 최댓값을 라 하자.
예를 들어, , 이다.
수열
을
( , , , ⋯)
라 할 때,
lim
→∞ ×
의 값을 구하시오. [4점]
