이장에서 배울 내용
-. 1자유도 시스템의 자유 비감쇠 진동과 자유 감쇠 진동 -. 이러한 진동의 해석방법에 대하여 살펴보면서
제차 2계 미분방정식으로 표현되는 운동방정식의 해 를 구하는 방법
-. 본 장에서는 스프링-질량-감쇠기로 이루어진 1자유도계의 조화가진을 받는 단순한 기기의 진동을 고려한다 .
3장 조화 가진 진동
( Harmonic Excitation vibration )
3-1 강제 조화 가진
-. 조화 가진은 하나의 진동수를 갖는 사인형태의 외력이 시스템에 가해지는 것 -. 기계나 구조물에 가해지는 외력의 일반적인 형태.
-. 선풍기, 전기모터, 왕복기관과 같은 회전기계는 인접요소에 사인함수 형태로 변화하는 힘을 전달하게 된다.
-. 푸리에 정리(Fourier theorem) :
다양한 형태의 힘을 나타내는 함수를 조화항의 무한 급수로 나타낼 수 있다.
-. 중첩의 원리(principle of superposition)
-. 이러한 방법으로 하나의 조화입력에 대한 응답을 알면 주기 특성을 갖는 다른 다양한 형태의 외란에 대한 응답을 계산할 수 있다.
-. 조화입력에 대한 응답은 수학적으로 쉽게 해를 구할 수 있는 장점을 갖고 있다.
-. 조화입력에 대한 1자유도계의 응답은 진동측정은 물론 원치 않는 진동으로부터 기계를 보호하기 위한 기기의 설계와 진동을 측정하기 위한 변환기의 설계에 있어서 기초가 된다.
강제조화진동-1
점성감쇠를 갖는 1자유도 시스템에 외력F(t) 이 가하여 지는 시스템
( ) t F t
F = 0 cos ω
외력은 한 개의 주파수로 이루어진 주기함수의 형태로 가정
뉴턴의 제2법칙을 적용하여 운동 방정식을 구하면 다음과 같다
( ) t ( )
F kx
x c x m
t F kx
x c x
m
= +
+
+
−
−
=
비제차 2계 미분 방정식p
h x
x
x = + x
h: 제차방정식의 해이며, 과도 해(transient solution)x
p: 외력에 대한 시스템의 응답이며, 정상상태 해(steady state solution)강제 비감쇠 진동
(Forced Undamped Vibration)
감쇠계수(damping coefficient)가 0인 상태(c = 0)의 시스템 : 댐퍼가 없는 경우에 해당
식(3-2)로부터 댐핑력에 관한 내용을 삭제하여 운동방정식을 구하면 다음과 같다.
( ) t
F kx
x
m + =
외력(forcing function) F(t)를 조화가진(harmonic excitation)으로 고려
( ) t F t F t
F =
0sin ω
f혹 혹
0cos ω
fF
0F
0− ) (t F
그림 3-3 가진 함수의 시간 의존성 시간
힘
f
d ω
τ
= 2
πF
0 : 가해진 힘의 크기 or 최대진폭 (amplitude of the forcing function)ω
f : 가해지는 힘의 주파수(forced frequency ).구동 주파수(driving frequency), 입력 주파수(input frequency) 외력 주파수(forcing frequency)
운동방정식을 다시 쓰면 다음과 같다.
t f
x
x + ω
2=
0cos ω f
m f F
m
k
0,
0=
ω =
( ω + φ )
= X t x h sin
제차방정식의 해는 다음과 같다.
( ) t
F kx
x
m + =
강제 비감쇠 진동
-정상상태 응답(steady state response)
특수해는 가진 함수와 같은 형태를 갖는다고 가정한다.
즉, xp
= A
0cos ω
ft라 가정하고 미분을 구하면, 다음과 같다.
t A
x t
A
x
p= − ω
f 0sin ω
f,
p= − ω
f 2 0cos ω
ft f
x x
t f
m x x k
t F
kx x
m
f p
p
f p
p
f p
p
ω ω
ω ω
cos cos cos
0 2
0 0
= +
⇒
= +
⇒
= +
t f
t A
t
A
f f ff
ω ω ω ω
ω
2 0cos +
2 0cos =
0cos
−
0 2 0 2f
A f
ω ω −
=
∴
( ) t
m k t F
t f
x
ff f
f
p
ω
ω ω ω
ω
cos , or 2 cos0 2 2
0
−
= −
위에서 미분한 값을 윗식에 대입하면 다음과 같은 식을 구할 수 있다.
따라서 주어진 경우와 같은 시스템의 특수해는 다음과 같다.
강제 비감쇠 진동
전체 해(complete solution)
시스템이 선형이므로 전체 해
x는 자유 진동의 해와 정상상태 해의 합이 된다.
f t t
A t
A x
x
x f
f o p
h ω
ω ω ω
ω cos cos
sin 2
2 2
1 + + −
= +
=
강제 비감쇠 진동
0 20 40 60 80
-0.08 -0.04 0.00 0.04 0.08
: xh : xp
D is pl ac em en t( m m )
time(sec)
0 20 40 60 80
-0.08 -0.04 0.00 0.04 0.08
x = xh + xp
D is p la ce m en t (m m )
time (sec)
조화 가진과 특정 초기 조건에 대한 비감쇠계의 전체 응답(ω=1rad/s).
조화 가진
ω
f =2rad/s와 초기 조건 x0=0.01m, v0=0.01m/s과 크기f0=0.1 N/kg강제 비감쇠 응답의 예 동영상
비감쇠계 응답 x
=x
h +x
p =A
1sinω t
+A
2 cosω t
+ω
2 −f
oω
f 2 cosω
ft
특수해에 대하여
( ) t
r X t f
m k t F
x
f ff f
f
p
ω ω
ω ω ω
ω sin sin 1
2sin
0 2 2
0 2
0
= −
= −
= −
ω
fω k r
X
0= F
0, =
여기서 r = 진동수비(frequency ratio)위에 표현된 정상상태 응답 xp는 다음과 같이 쓸 수 있다.
( ) t X t
x p = 0 β sin ω f
β : 확대계수(magnification factor)
r →
1(ω
f= ω
)이면,β →
∞ ⇒ 공진(resonance)r → 0이면, β
= 1이 되고,r →
∞이면,β →
0., 그림 3-5와 같이 된다.
1
21
− r β =
0 1 2 3 4
0 4 8 12
m agni fi ca ti on fa ct or ( |β |)
frequecy ratio (r)
확대계수 |
β |
와 진동수비r
의 관계공진과 비트 현상
(Resonance and Beating)
가진 주파수(forcing frequency)
ω
f가 고유주파수(natural frequency)ω
에 가까워질 때 두 가지의 매우 중요한 현상이 일어난다.-. 공진(resonance)
가진 주파수가 시스템의 고유진동수와 같을 때 일어나는 것
( ω
f =ω )
-. 비트현상(beating)
진동수비 r 이 1에 가까울 때 일어나는 현상(r → 1)
공진(resonance)
( ) t X t
r t X
x p ω f sin ω f
sin 0 1
0 2
0 =
= −
공진이 일어나는 경우의 특수해는 다음과 같이 되어 더 이상 해가 존재하지 않게 된다.
따라서 xp는 무한대의 값을 갖게 된다.
그러나 실제적으로 진폭이 증가하는데 시간이 걸리기 때문에 위의 수식으로 표현되는 현상이 일어나기는 어렵다.
이 경우는 다음과 같은 특수한 경우로 해석하여야 한다.
( ) t tA t
x
p=
0sin ω
f공진(Resonance)-1
t f
x x
t F
kx x
m p + p = cos ω f ⇒ p + ω
2p =
0cos ω f
( ) t f t t
x
pω
fω sin 2
=
0( ) t A t A t f t t
x o ω f
ω ω
ω sin
cos 2
sin 2
1 + +
=
항이 시간이 경과함에 따라 진폭이 증가하는 형태를 나타내는 항이다.
ω
로 통일된 까닭은 공진이기 때문에 즉,ω
f=ω
이므로 구별하여 표기하지 않는다.t f
ot
ω sin ω 2
( ) t tA t
x
p=
0sin ω
f 를 미분하여 위의 운동 방정식에 대입따라서 전체해는 다음과 같다.
공진 현상의 예
m= 1 ; k = 1 ; F
0= 0.005 ;
t
f= 80 ; x
0= 0.01 ; v
0=0.01인 경우의 공진 현상
비트 현상(Beating)
-. 가진 주파수(forcing frequency) ωf 가 고유주파수(natural frequency) ω 에 근사할 때 발생한다.
-. 공진현상과는 달리 (ωf - ω)가 매우 작게 되는 경우이다
( ) t x x X ( t ) X t A t A t X t
x =
h+
p= sin ω + φ +
0β sin ω
f=
1cos ω +
2sin ω +
0β sin ω
f( ) t x t x rX t X t
x
β ω β ωfω ω
sin sin
cos
0 0 00
+
−
+
=
초기조건을 대입하여 위 해의 계수들의 값을 구하면 다음과 같다.
( ) t X ( t r t )
x =
0βsin
ω f− sin
ω초기조건
x
0, 가 0이라면 해는 다음과 같이 표현된다.x
0(
f)(
f)
f
r
ω ω ω ωω ω
ω β ω
−
= +
= −
= −
22 2 2
2
1 1
확대계수
2
ω fα
=
ω−
ω ω
ω
+
f≅ 2
α β ω
= 4
라 놓으면 α값은 매우 작은 값이 된다.따라서 확대계수는 다음과 같이 된다.
비트현상(Beating)-1
Beating 이 발생하는 경우에 있어서 완전해를 구하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
( ) t X ( t r t )
x ω
fω
α
ω sin sin 4
0
−
=
ω
f 가ω
와 거의 같다면( ) X t t t
x
ω f αα
ω
cos sin 2
0
−
=
α α ω
t π
ω t π
f f
혹 혹 2 혹
sin
혹 혹 2 혹
cos
=
=
α가 매우 작으므로 ( )안의 주기는 sin
α t보다 빠른 주기를 가진다
진폭은 반복적으로 증가하였다가 감소 하는 응답을 나타낸다.
0 40 80 120 160
-1.2 -0.6 0.0 0.6 1.2
D is pl ac me nt ( mm)
Time (sec)
m= 2 ; k = 2 ; F
0 = 0.2 ;ω
f =0.9 ; tf = 180 ; x0 = 0 ; v0=0인감쇠계의 조화가진
(Forced Vibration of damped System)
= 0 +
+ c x kx x
m
모든 진동하는 진동계에는 어떠한 형태의 감쇠나 에너지 소산이 항상 존재한다.
조화가진을 받는 1자유도 점성감쇠의 응답을 고려하여 보자.
( ) 0
0, ( 0 )
0at x = x x = v
이 경우의 해는 다음과 같다.( ) t = Ae − ζω ( ω t + θ )
x t sin d
m
= k ω frequency
Natural
ζ ω
m c factor 2
Damping =
1
2frequency Natural
Damped ω
d= ω − ζ
조화가진을 받는 점성감쇠계의 응답
외부로부터 가진을 받는 1자유도 시스템에 대한 운동방정식은 다음과 같이 주어진다.
t F
kx x c x
m + + =
0sin ω
ft A
t A
x
p=
1sin
ωf+
2cos
ωfp f f
f f
f p
f f
f f
p
x t
A t
A x
t A
t A
x
2 2
2 1
2
2 1
cos sin
sin cos
ω ω
ω ω
ω
ω ω
ω ω
−
=
−
−
=
−
=
t F
t A
t A
c t A
t A
m
k ω
f)( sin ω
fcos ω
f) ω
f( cos ω
fsin ω
f) sin ω
f( −
2 1+
2+
1−
2=
0t F
t A
m k
A c t A
c A m
k ω
f) ω
f] sin ω
f[ ω
f( ω
f) ] cos ω
fsin ω
f[( −
2 1−
2+
1+ −
2 2=
00 )
( ) (
2 2
1
0 2 1
2
=
− +
=
−
−
A m k
A
F A c A m k
f f
f f
ω ω
ω ω
0 )
1 ( 2
2 )
1 (
2 2 1
0 2
1 2
=
− +
=
−
−
A r A
r
X A
r A
r ζ
ζ
2 2
2
0 2 1
1
( 1 ) ( 2 )
) 1 (
ζ
r r
X r D
A D
+
−
= −
=
2 2
2 2 0
2
( 1 ) ( 2 )
) 2 (
ζ ζ
r r
X r D
A D
+
−
= −
=
[ r t r t ]
r r
x
pX
ω f ζ ω fζ
) ( 1 ) sin ( 2 ) cos 2
( ) 1
(
2 2
2 2
0
− −
+
= −
=
−−
2 1
1 tan 2
r r
ζ φ) sin(
) 2 ( ) 1
(
2 2 20 ω φ
ζ
−
+
= − t
r r
x
pX
f특수해를 다음과 같이 가정하고, 미분하면 다음과 같다.
조화가진을 받는 점성감쇠계의 응답-1
)
0β
sin(
ω−
φ= X t
x
p f) sin(
) 2 ( ) 1
(
2 2 20
ω φ
ζ −
+
= − t
r r
x
pX
f위의 특수해를 간략하게 나타내면 다음과 같다.
2 2
2
) ( 2 ) 1
(
1
β ζr
r +
= − 감쇠기가 있는 경우의 확대계수
비감쇠인 경우
1
20 1
− r
=
⇒
= β
ζ ω
f=ω
일 때(주파수비 r=1일 때), 확대계수
β ζ
2
= 1
무한대의 변위가 발생되지 않는다. 더욱이 공진에서 확대계수
β
는 최대값을 갖 지 않는다.0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
ζ = 0 ζ = 0.2 ζ = 0.5 ζ = 0.75 ζ = 1
magnification factor (|β|)
frequency ratio (r) 0 1 2 3 4
0 45 90 135 180
ζ = 0 ζ = 0.2 ζ = 0.5 ζ = 0.75 ζ = 1 phase angle (θ0 )
frequency ratio (r)
조화가진을 받는 점성감쇠계의 응답-2
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
ζ
= 0ζ
= 0.2ζ
= 0.5ζ
= 0.75ζ
= 1m agni fi ca ti on fa ct or ( |β| )
frequency ratio (r)
확대계수의 최대값은 확대계수를 주파수비
r
에 대하여 미분하고 그 결과를 0으로 놓으면 된다.0 )
2 ( ) 1
(
1
2 2
2
=
+
= −
ζ β
r dr r
d dr d
이와 같은 주파수비일 경우 최대확대 계수값은 다음과 같다.
혹 혹 . 혹 혹 혹
혹 혹
혹 2
1 − ζ
2β
= r
max 2
1 2
1
ζ β ζ= −
전달되는 힘 (Force transmission)
스프링상수(spring stiffness) k, 감쇠계수(damping coefficient) c를 증가시키면, 진폭은 감소한다.(식3-55와 그림 3-8)
스프링 상수와 감쇠계수의 증가는 전달되는 힘이 커지는 반대 효과가 생긴다. 지지대에 전달되는 힘을 줄이기 위해서 스프링 상수와 감쇠계수는 적절하게 선정되어야 한다.
m m
k
c
kx c x kx c x
자유물체도
p P
t
kx c x
F = +
)
0
β sin( ω − φ
= X t
x
p f) sin(
) (
) cos(
) sin(
2 2
0
0 0
φ ω
ω β
φ ω
β ω
φ ω
β
− +
=
− +
−
=
t c
k X
t x
c t
kX F
f f
f f
f t
) sin(
) 2 (
1
20
β + ζ ω − φ
= X k r t
F
t f( ) ζ ( ω φ ) β ( ω φ )
β + − = −
= F r t F t
F
t 01 2
2sin
f 0 tsin
f2 2
2
2 2
) 2 ( ) 1
(
) 2 ( ) 1
2 (
1 ζ
ζ ζ β
β
r r
r r
t
− +
= + +
=
전달되는 힘(Force transmission)-1
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
ζ = 0 ζ = 0.2 ζ = 0.75 ζ = 1
tr an sm is si b il it y ( β
t)
frequency ratio (r)
혹 혹 1 혹
2 ⇒ >
<
β
tr
지지대에 전달된 힘의 크기가 가해진 힘보다 크다는 것을 뜻하 는 것이다. 이 영역에서 감쇠비 ζ가 증가하면, 전달되는 힘은 감 소한다.혹 혹 1 혹
2 ⇒ <
>
β
tr
지지대에 전달된 힘의 크기가 가해진 힘보다 작음을 나타낸다.
이 영역에서, 전달된 힘의 크기는 감쇠비 ζ 가 증가하는 한 증가 한다.
3-3 기저 진동(Base Excitation)
-. 기계나 기계의 부품들은 스프링이나 감쇠로 모델링 될 수 있는 탄성 마운트를 통해 조화 가진을 받는다.
-. 예 : 자동차의 현가장치
쇽업소버라 불리는 점성감쇠기 +병렬로 있는 선형 스프링 시스템으로 모델링
-. 기저 진동 문제에 있어서 기저(base)는 조화함수처럼 움직이는 것으로 가정한다.
t Y
t
y
( ) = sinω
f Y : 기저 운동의 진폭ω
f : 기저 진동의 진동수기저 진동(Base Excitation)-1
y c ky kx x c x m
y x c y x k x m
+
= + +
−
−
−
−
= ( ) ( )
앞의 그림으로부터 운동방정식은 다음과 같다.
) 69 3 ( )
sin(
) (
cos
sin + =
2+
2+ −
= +
+ c x kx kY
ft c
fY
ft Y k c
f ft
bx
m ω ω ω ω ω φ
( ζ )
φ ω r
k c
fb
tan tan 2
혹 혹 혹
−1 =
−1
=
기저의 움직임을 포함시키면,
두 개의 조화입력이 있는 스프링-질량-감쇠기 시스템을 나타낸다.
해를 구하는 방법
-. 운동방정식의 선형성을 이용하면서,
-. (3-69)의 입력을 라고 가정함으로써 얻은 특수해 xp (1) 와 입력을 라고 가정함으로써 얻은 특수해 xp (2) 의 합을 구한다.
t cY
ω fcos
ω ft kY sin
ω f식(3-69)를 m으로 나누고 감쇠비와 고유진동수의 정의를 이용하면 다음과 같다.
t Y
t Y
x x
c
x + 2 ζω + ω
2= 2 ζωω
fcos ω
f+ ω
2sin ω
f
기저진동-2
t Y
t Y
x x
c
x + 2
ζω +
ω2= 2
ζωω fcos
ω f+
ω2sin
ω f
모두 미정계수법에 의해 특수해를 구한다.
) cos(
) 2
( ) (
2
2 1 2 2
2 )
1
(
ω φ
ζωω ω
ω
ζωω −
+
= − Y t
x
ff f
f p
2 2 1 1
tan 2
f f
ω ω φ ζωω
=
−− )
sin(
) 2
( ) (
2 1 2 2
2 ) 2
2
( ω φ
ζωω ω
ω
ω
−
+
= − Y t
x
ff f
p
x
p(2)= A
0sin( ω
ft − φ
1)
라 가정함.)
cos(
1) 1
(
= A ω t − φ
x
p f 라 가정함.-. φ1은 가진의 진폭과는 무관하기 때문에(즉,
ζ, ω, ω
f는 변하지 않음
) 식 (3-72)에서 주어진 것과 같다.-. 선형 시스템에 대한 중첩의 원리로부터 전체 특수해는 두 식의 합(즉,
x
p(1) + xp(2) ) 이 된다.) cos(
) 2
( ) (
) 2
) (
(
1 22 1
2 2 2
2
2 2
φ φ ζωω ω
ω ω
ζω
ω ω − −
+
−
= Y + t
t
x
ff f
f p
ζω
fφ ω
tan
12
2
=
−기저진동-변위전달률
) cos(
) 2
( ) (
) 2 ) (
(
1 22 1
2 2 2
2
2
2 ω φ φ
ζωω ω
ω
ζω
ω ω
− −
+
−
= Y + t
t
x
bb b
b p
위와 같은 특수해 xp 를
ω
로 나누고, 크기를X라고 하면 다음과 같이 표현된다.
( ) ( ) ( )
2 / 1
2 2 2
2
2 1
2 1
+
−
= +
r r
Y r
X
ζζ
( )
( ) ( )
2 / 1
2 2 2
2
2 1
2 1
+
−
= +
r r
r Y
X
ζ
ζ 응답의 최대 크기와 입력 변위 크기의 비
-. 변위 전달율(displacement transmissibility)
-. 기저로부터의 운동이 질량으로 얼마나 전달이 되었는 가를 진동수비 의 함수로 나타낸다
.
-. 주목할 것은
r =1근처 혹은 공진에서,
기저운동의 최대 량이 질량의 변위로 전달이 된다는 점이다.0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0 3 6
9 ζ ζ = 0.05
= 0.1 ζ = 0.3 ζ = 0.7 ζ = 1.0
D is pl acem en t T R ( X /Y )
Frequency ratio (r)
기저진동- 변위전달률
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0
3 6
9
ζ ζ
= 0.05= 0.1
ζ
= 0.3ζ
= 0.7ζ
= 1.0D is pl acem en t T R ( X /Y )
Frequency ratio (r)
• 인 경우
-. 전달율비가 1보다 커지며,
-. 이러한 시스템 변수(
ω
)와 기저진동수(ω
f) 의 값에 대해서 질량의 운동이 기저의 운동 보다 커진다는 것을 주목하라.-. 또한 주어진
r
값에 대해서 감쇠비 ζ는 진 동이 확대되는 정도를 나타낸다는 것도 주목 하라. 특히, ζ 가 클수록 전달율비는 작아진다.< 2 r
> 2
•
r
일 때-. 전달율비가 1보다 작아지며
-. 질량의 운동은 모든 에 대한 기저운동의 진폭보다 작다
0 1 2
1
10
ζ=0.05
ζ=0.1 ζ=0.3 ζ=0.7 ζ=1.0
N or m al iz ed f or ce
Frequency Ratio(r)
기저진동-상대운동
•
상대운동 (relative Motion)
-. 지지대에 대한 질량의 상대적인 운동
-. 이 상대적인 변위는 지지부에 대한 질량의 운동의 비를 나타낸다.
-. 상대 변위 (relative displacement)를
z
로 나타내면z
는 다음과 같이 쓸 수 있다.y x z y x z y x
z = − , = − , = −
( )
t mY
y m kz
z c z m
z c kz y
z m
y x c y x k x m
f f
o
ω sin ω
) (
) (
=
2−
= + +
−
−
= +
−
−
−
−
=
-. 기저 운동에 대한 운동방정식을 z에 대한 식으로 표현하면 다음과 같다.
) sin(
) 2 ( ) 1
( )
sin(
) 2 ( ) 1
(
/
2 2
2 2 0 2
2 2
2
0
ω φ
φ ζ ζ ω
ω −
+
= − + −
= − t
r r
r t Y
r r
k
z mY
f f f기저진동-전달된 힘
전달된 힘(Transmitted Force)
-. 기저의 조화 변위 결과로 질량에 힘이 전달된다
-. 질량에 전달되는 힘은 스프링과 감쇠기를 통해서 전달
-. 질량에 전달되는 힘은 스프링에서의 힘과 감쇠기에서의 힘의 합
) (
) (
)
( t k x y c x y
F = − + −
이 힘은 질량 m의 관성력과 평형을 이루므로
) ( )
( t m x t F = −
) ) cos(
2 ( ) (
) 2 ) (
( 1 2
2 1
2 2 2
2
2 2
φ φ ζωω ω
ω ω
ζω
ω ω − −
+
−
= Y + t
t
x f
f f
f p
정상상태의 경우, x에 대한 해는 식 (3-74)으로 주어진다. 식 (3-74)을 두 번 미분하 고 식 (3-82)에 대입하면 다음과 같이 된다.
( )
( ) ( ) (
1 2)
2 / 1
2 2 2 2
2 2
2
cos
2 ) 2
( ω φ φ
ζωω ω
ω
ζω ω ω
ω − −
+
−
= m Y + t
t
F
ff f
f f
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 / 1
2 2 2
2 2
2 / 1
2 2 2
2 2
2
1
1 2
2 1 2
1
2 ) 1
cos(
)
(
+
−
= +
⇒
+
−
= +
⇒
−
−
=
r r
r r kY F r
r kYr r
F t
F t
F
T f T Tζ ζ ζ
φ ζ φ ω
힘 전달율
(force transmissibility)
힘 전달률비
-. 무차원량
-. 진폭이
Y
인 기저의 변위가 얼마만한 크기의 힘으로 질량에 전달되는가를 설명하는 척도이다.-. 식 (3-84)와 (3-74)로부터 질량에 전달되는 힘은 질량의 변위와 위상이 같음을 주목하여야 한다.
기저진동-힘전달률비
( ) ( ) ( )
2 / 1
2 2 2
2 2
2 1
2 1
+
−
= +
r r
r r kY F
Tζ ζ
) cos(
)
( t = F ω t − φ
1− φ
2F
T fcos( )
) 2
( ) (
) 2
) (
(
1 22 1
2 2 2
2
2 2
φ φ ζωω ω
ω ω
ζω
ω ω − −
+
−
= Y + t
t
x
ff f
f p
-. 변위 전달율과는 달리 전달된 힘은 일 때에 반드시 작아지지는 않는다
-. 감쇠가 증가할수록 전달되는 힘은 일 때에 크게 증가한다.
> 2 r
> 2 r
힘과 변위의 전달율에 대한 공식들은 원치 않는 진동이 계에 전달되지 않도록 진동계를 설계할 때 매우 유용하다.
0 1 2 3 4
1E-3 0.01 0.1 1 10
ζ
= 0.05
ζ= 0.1
ζ= 0.3
ζ= 0.7
ζ= 1.0
N or m al ized f or ce
기저진동-Example
기저진동의 대표적인 예는 아래의 그림과 같이 거친 도로 위를 지나는 자동차나 거 친 활주로를 지나는 비행기에 대한 1자유도 문제이다.
도로는 기저운동 변위가 다음과 같다고 가정
t
m t
y ( ) = ( 0 . 01 ) sin ω
fv
f
v 0 . 2909
cycle rad 2
s 3600
hour km
006 . 0
1 h
km =
= π
ω
자동차의 속력이 기저운동의 진동수를 결정한다.
현가장치 k = 4×105N/m, c =20×103 N s/m 자동차 운동의 진폭에 대한 속도의 영향
ω
f(여기서는 r)이 속도에 따라 선형적으로 변한다.20km/h이라면,
ω
f =5.818자동차의 질량(m)은 약 1007kg
rad/sec 93
. kg 19
1007 N/m 10
4 ×
5=
ω =
292 . 93 0 . 19
818 .
5 =
=
= ω ω
fr
498 . 0 ) kg 1007 )(
N/m 10
4 ( 2
s/m N 20000
2
5=
×
= ⋅
=
km
ζ c
기저진동-Example
( 1 1 ) ( 2 ( ) ) 2 ( 0 . 01 ) ( 1 0 . 1 292 [
22 ) (
20 . 498 [ 2 ( )( 0 . 0 498 . 292 )( )] 0 . 292 ) ]
20 . 0108 m
2 2 / 1
2 2 2
2
=
+
−
= +
+
−
= + m
r r
Y r
X ζ
ζ
-. 1cm 범프가 자동차의 새시에는 1.1cm의 범프로 전달되며, 이것이 자동차의 탑승자 에게까지 전달이 된다.
-. 이 경우에는 현가장치가 거친 노면의 범프를 확대하게 된다.
3-4 회전 불균형(Rotating unbalance)
-. 진동문제를 일으키는 대표적인 원인은 회전기계이다.
-. 많은 기계나 기기들은 보통 전기모터에 의해 구동되므로 회전하는 기계요소를 갖게 된다.
-. 회전 질량의 불균일하게 분포된 정도가 작은 경우도 상당한 진동을 야기 시킬 수 있다.
-. 이것을 회전 불균형이라 부른다.
회전 불균형-1
회전중심으로부터 거리
e
만큼 떨어진 회전 불균형 질량m
0의 개략도-. 기계의 회전주파수는
ω
r이다. 기계가 일정한 진동수ω
r 로 회전한다고 가정 -. 질량의 운동x
방향 성분x =esin ω
rt
-. 회전 불균형 질량
m
0 에 의해 생기는 반력F
r은 x방향으로 기계의 질량m에 작용하는 성분.
t em
t dt
em d x
m
F
r r(sin
ωr)
0ωr2sin
ωr2 2 0
0
= = −
=
-. 수평의 힘들은 가이드에 의해 상쇄되므로 고려하지 않는다.
-. 기계의 질량을 두 부분으로 나누고 x방향의 힘들을 합하고 정리하면
t e
m kx x c x m x
c kx t
e dt x
m d x m
m ) ( sin ω
r) ω
rsin ω
r(
0 22 2 0
0
− + = − − ⇒ + + =
−
인 경우
-. 최대 변위가 1 보다 작거나 같다.
-. 이것은 불균형으로 인해 일어나는 진폭의 증가 를 시스템의 감쇠를 증가시킴으로써 제거할 수 있다는 것을 의미한다.
회전불균형-2
( )
2 2( )
22 0
2
1 r r
r m
e X m
ζ
+
−
=
해는 다음과 같은 형태이다.
) sin(
)
( t = X
ωt −
φx
p r여기서
2 1
1 tan 2
r r
=
−−
ζ φ0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1E-3
0.01 0.1 1 10
ζ=0.1 ζ=0.25 ζ=0.707 ζ=1 ζ=1.1
N or m al iz ed m agni tude ( mX /m
0e)
Frequency ratio (r)
> 1
ζ-. 감쇠가 큰 것이 항상 유용하지는 않다.
-. r
이 커지면 무차원 변위의 크기는 1로 접근한다.-. 구동주파수
ω
r 이r >>1일 경우에는 불균형의 영향은 제한된다. r
값이 큰 경우에는 각ζ
값에 대한 모든 크기 곡선들이 1로 접근하므로r
이 클 때는 감쇠계수의 선택이 중요하지 않다.-. 이러한 내용은 회전기계를 설계하는 데 있어서 중요한 의미를 갖고 있다.
-. 회전 불균형 모델도 불균형 바퀴와 타이어로 이루어진 자동차의 거동을 설명하는 데 이용
3-5 감쇠 해석을 위한 실험적 방법
(experimental Method For Damping Evaluation)
-. 기계적인 시스템에서 감쇠는 동적인 거동과 힘 전달에 중요한 영향을 미침 -. 또한, 감쇠는 측정 기기의 설계에도 많은 영향을 미침.
-. 대부분의 응용에서 시스템의 질량과 강성은 쉽게 결정할 수 있다.
-. 감쇠 계수를 실험적으로 결정할 수 있는 기술에 대하여 살펴보고자 한다.
3-5-1대수감소율(logarithmic Decrement)에 의한 방법
-. 부족 감쇠 현상이 나타나는 1자유도 시스템 인 경우의 점성감쇠를 결정
⇒ 대수 감쇠
-. 장비와 계기 조작 요구 사항이 최소이기 때문에
⇒ 이 방법이 가장 단순하고, 가장 많이 사용되는 방법 -. 이 방법은 자유진동에만 적용되어야 하며,
-. 연속적인 혹은 비연속적인 변위의 진폭의 비를 측정하여야 한다.
n i
i
x x
n
+= ln 1
δ
( ) 2
π 2 δ 2ζ δ
= + c =
ζc
c=
ζ( 2 m
ω) = 2
ζm
ω감쇠 해석을 위한 실험적 방법
주파수 응답( Frequency Response)에 의한 방법
-. 대수 감쇠율을 이용하는 방법은 오로지 자유 진동에만 적용된다.
-. 시스템에 조화 가진이 작용하는 경우의 방법
-. 우선 가진기를 이용하여 시스템의 주파수 응답을 FFT 해석기를 이용하여 측정하고 응답곡선을 그린다.
-. 그려진 주파수 응답 곡선으로부터 감쇠계수를 구할 수 있게 된다.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0 1 2 3 4 5 6
m agni fi ca ti on f ac tor ( β )
Frequency ratio (r)
β
max 조화 가진을 가하였을 때 얻게 되는 확대 계수β
는 다음과 같다.2 2
2 2
2 2
2
) 2
( ) (
1 ) 2 ( ) 1
(
1
f f
r r
ζωω ω
ω β ζ
+
= −
+
= −
주파수 응답에 의한 방법
공진일 때 즉
ω
=ω
f(r = 1)인 경우 확대계수β
β ζ
2 1
1
=
= r
주파수 응답곡선에서 공진이 발생할 때의 확대계수
β
을 구할 수 있으며, 이로부터 감쇠계수를 구할 수 있다.실제의 경우에는 정확한 공진 주파수를 찾는 것이 어렵다. 따라서 많은 경우, 최대 확대 계수
β
max 를 측정하는 것이 더욱 편리하다.max 2
1 2
1
ζ β ζ= −
2 1
1
=
=
β
rζ c
=ζ c
c =ζ (
2m ω )
= 2ζ m ω
혹 혹 혹 혹 혹 혹
1 1 − ζ
2≈
2 max
1
ζ
≅β
2
max1
ζ≅
β-. 최대 확대계수가 공진점에서의 확대계수와 같다.
-. 즉
β
max =β
r=1 라는 가정을 내포하고 있다.-. 이 가정은 시스템의 감쇠가 매우 작을 경우에만 적용할 수 있다.
-. 감쇠비 ζ를 구하기 위해 이용하는 경우의 가장 큰 이점
•
정상상태의 진폭을 측정하기 위한 기기조작이 매우 단순하다는 점이다.•
단점으로는 주파수비와 무차원 확대계수β
와의 관계를 나타내는 그림을 그리기 위해서 정적 변형량 를 구할 수 있어야 한다는 것이다.•
이러한 어려움은 많은 가진기들이 주파수 0에서는 작동할 수 없는 것에 기인한다.•
다음 방법에서는 이러한 문제점들을 제거할 수 있다.k F X
0=
02
11
=
=
βrζ
3-5-3 대역 방법(Bandwidth Method)
•
이 방법 역시 주파수 응답곡선을 이용한다.•
그러나 이 방법은 무차원 확대계수β
를 이용하지 않는다.•
확실하게X= β X
0선도는β
와r
을 축으로 나타낸 주파수 선도의 모양과 동일한 모양을 나타낸다.•
더욱이 이 선도의 모양은 시스템의 감쇠의 크기에 매우 많은 영향을 받는다.•
확대계수β
를 구하는 식을 다시 써 보면 다음과 같다.•
대역 방법은 시스템 내의 감쇠의 크기를 구하기 위한 가장 편리한 방법 중의 하나•
이 방법에서 감쇠비는 변위 진폭들이 와 같은 주파수로부터 구한다.m agni fi ca ti on f ac tor β
1max =≈ rββ2 βmax
r2-r1=2ζ
r1 r2
) 2 (
1
1
2
