11. Electrons in Solids
11-5 Fermi-Dirac Statistics: electron distribution function, F(E), 유도 주어진 온도 T에서 energy level이 실제로 어떻게 occupy되지를 살펴봄.
Boltzmann 통계식: 원자(전자)의 에너지 분포, Pauli의 배타율 법칙이 고려 안됨 [제 5장].
P(E) = exp (- E/kT) : 1개의 주어진 원자가 E보다 같거나 큰 에너지를 가질 probability (11-27)
Fermi function, P(E): Pauli의 exclusion 법칙을 만족하는 분포 함수, [ 먼저 EF at 0 K]
3/2
Eq. (5-2)
[For highest energy level EF]
(11-25)
Define what is Fermi energy
11. Electrons in Solids
식(11-31)의 의미?
( =Electron density, Eta)
L3 Nqs =
EF at 0 K의 표현:
[ η = ?? ]
11. Electrons in Solids
Table 11-3 Fermi Energies for Several Monovalent Metals [비고 : 식 11-31]
Eta (η)
11. Electrons in Solids
[Ex. 11-4]
[Na : monovalent metal]
Using eq. (11-20)
Na고체에서 전자의 속도: 1,000 km/sec Cf. Light의 속도: 30만 km/sec
11. Electrons in Solids
두번째: 온도가 0 K가 아닌 경우, 고체 내에 있는 전자들의 정확한 에너지 분포?
Fermi function, P(E):
P(E) = 1/ {exp[(E-EF) / kT] + 1} (11-32)
Fig. 11-7 Fermi distribution function, P(E) is probability that the energy level E is occupied. EF = Fermi energy.
P(E) for T = 0 K for T > 0 K In the region E > EF E < EF
0.5
11. Electrons in Solids
[Ex. 11-5]
P(E)=10% at 300 K When EF = 5.51eV
P(E)=90% at 300 K When EF = 5.51eV
11. Electrons in Solids
세번째,
Electron distribution function, F(E)의 표현방식?
Fig. 11-8 Electron distribution function.
F(E) = 2 N(E) P(E) (11-33) P(E) = 1/ {exp[(E-EF) / kT] + 1} (11-32)
(11-26)
F(E)는 대부분의 영역에서 N(E)를 따른다.
하지만 EF부근에서는 P(E)에 지배 받는다.
전자분포함수:
닮은꼴 유지
11. Electrons in Solids
11-6 Quasi-Free Electrons in a Periodic Potential Field: Fig. 11-10.
결론: 움직이는 전자와 주기적인 배열을 한 ion core의 상호작용 에너지의 불연속성(Fig. 11-11)
K.E for perfect free electron: (k를 도입하게 된 이유?) [K.E와 파장은 반비례 관계 불편!!]
K.E = ½ mv2 = p2 / 2m = h2 / 2mλ2 (11-20)
[파수 혹은 파동벡터, k]
λ = h/p
자유전자에 대한 E를 k로 표시 [Fig. 11-9]
p = h lkl / 2π and eq. (11-20)
11. Electrons in Solids
Fig. 11-9 Relation between the wave vector k and the kinetic energy E for free electrons
Wave vector : k = 2π/λ 의 meaning ? 준연속 임 [Ex. 11-6 : less than 1/billion eV]
N(E) ∝ E1/2 (11-26) E ∝ N(E)2
Parabolic relation: quasi-continuous variable!
Actually lkl is quantized E is also quantized.
dotted line
Quantumized line
11. Electrons in Solids
Fig. 11-10 Electron waves of wavelength incident a set of atomic planes of spacing a.
Bragg’s law: diffraction of electrons (마치, X-ray와 같이 전자의 파동성 때문임)
n λ = 2d sin θ (11-37)
Fig. 11-10의 경우: θ = π/2, d = a 임.
따라서,
Critical wavelength for diffraction:
λc = 2a/n (11-38)
의미? 자유전자의 회절조건 제시 λc and kcfrom Eq.(11-34)
즉, Wave vector의 정의로 부터
아래의 조건에서 전자회절 발생함.
ㅣkcㅣ = 2 π/ λ = n π/a (11-39)
Fig. 11-11 참조
e
n λ = 2d sin θ = 2a
전자와 주기적인 배열을 한 ion core의 상호작용
에너지의 불연속성(Fig. 11-11) [회절 발생 지역]
Wave
11. Electrons in Solids
Fig. 11-11 Brillouin zones for quasi-free electrons (1-D).
Band structure for the electrons: energy gap이 생기는 이유? 전자회절발생!!
interaction between the moving electrons and the periodic array of ions
1st B.Z 2nd B.Z 3rd B.Z
Yahoo mini pen: 브리유앵, 프랑스 물리학자.
소르본대학 교수이며 量子統計力學의 개척자의 한 사람으로, 특히 고체(금속)의
Diffraction 발생 지점: kcㅣ = n π/a
[Vertical Bar Graph]:
Band structure for electrons
[브릴루앙존]
11. Electrons in Solids
Fig. 11-12 Illustration of the summation of Brillouin zones for the different crystallographic direction.
3-D Crystal에 대한 E-k Curves: k<100>과 k<110>이 서로 다른 이유? a
3차원 E-k는?
모든 방위에 대한 E-k의 합
Energy band structure 생성
Physical meaning? [매우 중요함!!]
Energy band gap의 존재 유무
외각전자들의 bonding력과 관계
도체, 부도체, 반도체 구분.
ㅣkcㅣ = 2 π/ λ = n π/a (11-39)
Very very important !!!
11. Electrons in Solids
11-7 Physical Basis for Describing Metals, Semiconductor, and Insulators
Fig. 11-13 Density of states as a function of energy for the first Brilouin zone in a metal.
전기전도: 외부의 전기장을 받을 때 외각전자가 더 높은 에너지 상태로 여기 될 수 있는 공간 ( empty energy state)이 존재해하고 + 에너지가 있어야 함. [비고: 승진하려고 하면 , 위쪽에 빈 T.O가 있어야 함]
규칙적인 배열을 갖는 격자내부를 이동하는 자유전자에 대한 상태밀도
전자의 파동성과 회절현상
K.E = ½ mv2 = p2 / 2m = h2 / 2mλ2
ㅣkcㅣ = 2 π/ λ
electrons
EF Lodging [ 숙박]
Density of state : room Energy : money
Density of state: 단위 에너지당 [Q.S]
for Metal
**티오란 table of organization (인원 편성표) Room: 전자가 존재할 수 있는 영역
11. Electrons in Solids
Metals: 우수한 전기 전도성을 가질 조건? (양자역학 vs 고전역학)
Fig. 11-14 Density of states curves for metals showing cases (a) where Brilluoin zones overlap, and (b) where an energy gap is present.
양자역학: EF 부근에 density of state N(E)가 높아야 함
고전역학: 단위체적당 자유전자수 (N/L=η)?
2가원소: Mg…
1가원소: Alkali-metal
전기전도에 대한 고전이론:
σ = n e µ
양자역 학: σ = N(EF) e µ
3s 3p
Not all electrons contribute to the electrical conduction.
Only the electrons near EF.
**Metal의 특징: there are many empty quantum states and energy levels just above the Fermi level .
Almost no energy barrier for higher energy level.
[전기 전도도는, 페르미E 바로 위 지점의 density of states의 크기에 비례함]
11. Electrons in Solids
[Ex. 11-6]
금속(도체)에서 에너지 밴드에서
에너지대 사이의 간격: < 백만분의 1 eV
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Semiconductor: valence band와 conduction band 의 정의? P(E)의 온도 의존성?
Fig. 11-15 Density of states curves for semiconductor. [electrons are thermally excited from 1 zone to 2 zone]
N(E): 온도를 고려 안 함.
P(E): a function of temp.
0 K에서: 전자가 채워져 있는지? 아닌지?
Valence band : last zone occupied
Conduction band : first zone empty
Energy gap (Eg) : 1-2 eV
**Valence Band의 정의: The last zone that is completely filled with electrons at 0 K]
possible
Ec Ec
Ec EF
11. Electrons in Solids
[Ex. 11-7]
Important!!
P(E)의 특징 20 °C : 1 배 55 °C : 2 배
[온도차 35도 2배]
96 °C : 10 배
[온도차 76도 10배]
온도 의존성
[지수 함수적]
상온(20 ° C)에서, Ec에서의 P(E) 계산:
11. Electrons in Solids
Insulators
:
semiconductor와 비교 설명? magnitude of Eg ?EF
Fig. 11-16 Density of states band gap for an insulator.
1.0
The energy gap is so large that it may not be surmounted either by thermal energy or by the application of a field .
impossible
11. Electrons in Solids
전기가 흐른다는 것의 의미 (Meaning of current flow under electric field)?
EF부근(바로밑)의 electron들이 바로 위쪽의 energy level로 쉽게 이동[jump) 여부가 결정!
금속의 전기전도도 σ
σ = n e µ ~ N(EF) e µ
3s 3p
* Not all electrons contribute to the electrical conduction.
Only the electrons near EF.
반도체의 전기전도 σ σ = n e µ ~ P(E) e µ
Cf. Temp가 증가하면,
n, e, µ의 변화는? σ =감소 함
만약,
Temp. 가 증가하면
더 많은 electron들이
Zone 1에서 Zone 11로 점프
n의 증가
σ의 증가
11. Electrons in Solids
11-8 Static Electronic Properties of Metals: Metal 내에서 전하의 운동율에 의존하지 않는 성질
Fig. 11-17 Relation between the Fermi energy and the work function of a metal.
The vacuum level is the energy of a free electron in vacuum.
자유전자 방출 현상:
Heating?
Electromagnetic radiation?
Work function, ϕ :
= W – EF
고체 내에서 전자 1개를 진공 중으로 방출시키는데 필요한 critical energy.
The smaller work function is, The easier ionization is.
[Potential energy barrier: W] [For finite potential energy barrier electrons can escape from the metal
11. Electrons in Solids
Contact Potentials(접촉전위): Metal 를 접촉시키면 결국 EF가 동일하게 됨.
Fig. 11-18 Contact potential between two metals.
접촉시 전자의 흐름 방향은?
WF이 작은 쪽에서 큰 쪽으로 흐름.
언제까지 흐를까? 절대값: ϕB - ϕA
전촉전위, Vc:
Vc = (ϕB - ϕA) / e (11-40)
접촉전위의 중요성? Junction
평형상태?
양쪽으로 이동하는 전자의 숫자가 동일함.
Be brought into contact!!
Electrons flow
Occur electrostatic potential Vc = (ϕB - ϕA) / e
Lost electrons
Gain electrons
11. Electrons in Solids
Table 11-4 Work function and contact potential for several metals. [단위: eV or V]
Vc = (ϕB - ϕA) / e (11-40)
Very high value of ϕ
11. Electrons in Solids
전자 수송층
(ETL) 발광층
(EML) 정공
수송층 (HTL)
Anode (투명전극,
ITO 등)
Cathode (Ca, Al:Li,
Mg:Ag 등)
-
전자
정공
+
- +
두께: 100 ~ 200 nm
P-exciton Light
output
낮은 일함수
높은 전극
일함수 전극
OLED (유기 LED) 의 구조와 원리
구동전압: 일함수 단차(step) 크기에 지배!!!
Eg
11. Electrons in Solids
Photoelectric Phenomena in Metals (금속의 광전효과): Photon에 노출시 전자 방출 현상
Fig. 11-19 photoelectric effect. Fig. 11-20 photoelectric emission.
일함수의 측정 방법:
ϕ = hc / λc (11-41) Photocathode(광음극)?
광자에 노출시 전자발생 재료.
hν
광속, c = λ ν
외부 source E [Ex. light]
Frequency (ν)
Ex: Alkali metals
λc
ϕ = E = hν = 1240 / λ [eV]
where unit of λ is nm.
11. Electrons in Solids
Thermionic Emission (열전자 방출): Ex. 11-8, Heating 시 전자 방출 현상
Fig. 11-21 Schematic representation of thermionic emission [by heating].
W
K.E for electrons의 크기와 potential energy barrier W의 관계?
전자 운동의 방향성? Pll to wall
= 2 P(E) N(E)
P = mv : momenta of the electron.
F(E) = 2 N(E) P(E) (11-33)
electrons
Pll to wall
Normal to surface
surface
K.E Contribution for TE:
Normal component of K.E
열전자 방출 현상과 F(E)의 관계
11. Electrons in Solids
[Ex. 11-8]
K.Ex =
= K.Ex / cos2θ
11. Electrons in Solids
[Ex. 11-9]
Richardson-Dushman equation: thermionic current density from a metal surface.
J = AT2 exp (- ϕ / kT) (11-42)
derived from free electron theory, where A = 120 A/cm2 K2
11. Electrons in Solids
[숙 제]
A. 교과서 내용 (4문제)
1. 식 (11-28)에서 NqsL3 = π/6 ( )2/3 가 아니고 NqsL3 = π/6 ( )3/2 임을 보여라.
2. 식 (11-36)의 K.E = (h2/8 π2m) l k l2 가 되는 과정을 서술하라.
3. Metal에서, 2가(divalent)원소가 1가(monovalent)원소보다 단위체적당
자유전자의 숫자는 많은데, 전기전도 특성이 좋지 않는 이유를 Fig. 11-14를 이용해서 설명하라.
4. Fig. 11-11의 E-k diagram에서 보면, k = n π/a에서 불연속 선이 나타난다.
불연속이 나타나는 이유를 설명하라.
B. 교과서의 예제 문제를 이해한 후 각자 기재해서 제출하시오.
Example 11-4부터 11까지.
참고문헌: “Electronic Properties of Materials” by Rolf E. Hummel, Springer-Verlag.[4장]
Due day : this class next week.
11. Electrons in Solids
Definition of Brillouin Zone [ 브링루앙존]:
A Brillouin Zone is a particular choice of the unit cell of the reciprocal lattice.
It is defined as the [[Wigner-Seitz cell]] (also called Dirichlet or Voronoi Domain) of the reciprocal lattice.
It is constructed as the set of points enclosed by the Bragg planes, the planes perpendicular to a connection line from the origin to each lattice point and passing through the midpoint (See figure). Alternatively, it is defined as the set of points closer to the origin than to any other reciprocal lattice point. The whole reciprocal space may be covered without overlap with copies of such a Brillouin Zone.
