빠른 정답

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... 2~7

Ⅰ

. 삼각형의 성질

1. 삼각형의 성질 ⑴ ... 8 2. 삼각형의 성질 ⑵ ... 13

Ⅱ

. 사각형의 성질

1. 평행사변형 ... 21 2. 여러 가지 사각형 ... 27

Ⅲ

. 도형의 닮음

1. 도형의 닮음 ... 37 2. 닮음의 활용 ... 44

Ⅳ

. 피타고라스 정리

1. 피타고라스 정리 ... 59

Ⅴ

. 통계

1. 경우의 수 ... 69 2. 확률 ... 78

답지블로그

1 삼각형의 성질 ⑴

8~10쪽

기본문제

원리확인

1 x=24, y=10 2 ⑴ 7 ⑵ 6 3 10`cm 4 ⑴ 3 ⑵ 40

11~14쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 ^-AC^-, ^-CD^-, ^-AD^-, SSS, ∠C 02 56°

03 15° 04 105°

05 ^-AC^-, ∠BAD, △ACD, SAS, ^-CD^-, ∠ADC, ∠ADC, ^-BC^- 06 46 07 25° 08 40°

09 ^-AD^-, ∠CAD, ∠ADC, △ACD, ASA, ^-AC^- 10 6`cm 11 9`cm 12 80° 13 26°

14 74° 15 12`cm 16 ③

17 ㉠과 ㉤, ㉢과 ㉣ 18 ⑴ 5`cm ⑵ 25/2`cm^2 19 ③, ④ 20 63° 21 27° 22 26`cm^2 23 32`cm^2

15~17쪽 2단계Bstep 탄탄내신

01 ④ 02 76° 03 67.5°

04 ⑴ 106° ⑵ 40° 05 30`cm 06 70°

07 27° 08 31° 09 75° 10 8`cm 11 120° 12 70° 13 7.2`cm 14 6`cm^2 15 8`cm 16 y=7/3&x 17 20`cm

3단계Astep 만점승승장구 ^18~19쪽 1 59° 2 116° 3 10`cm 4 30°

5 5/2 6 30

Ⅰ ^{삼각형의 성질}

2. 삼각형의 성질 ⑵

1 삼각형의 성질 ⑵

21~30쪽

기본문제

원리확인

1 ⑤ 2 58° 3 ⑴ 42° ⑵ 130°

4 ⑴ 이등분선, 점, 내심 ⑵ 내심, 같다 ⑶ 내부

5 ⑤ 6 ⑴ 20° ⑵ 50° 7 249°

8 1`cm 9 24`cm

11 8`cm 12 2`cm 13 110°

32~36쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 ④ 02 ^-BM^-, ^-OM^-, ∠OMB, SAS, ^-OB^-, △CON,

~^-OC^- 03 ② 04 34`cm 05 100pai`cm^2 06 3.5`cm 07 50° 08 18`cm 09 10°

10 30° 11 65° 12 122° 13 80°

14 ∠AFI, ^-IA^-, ∠IAF, RHA, ^-IF^-, ^-IE^-, ^-IE^-, ^-IF^- 15 ② 16 ⑴ 56° ⑵ 40°

17 ⑴ 27° ⑵ 35° 18 207°

19 ⑴ 124° ⑵ 116° 20 115° 21 3.75`cm 22 48`cm 23 84`cm^2 24 3`cm 25 17/2`cm 26 16`cm 27 12`cm 28 45`cm 29 4.5°

30 60°

37~41쪽 2단계Bstep 탄탄내신

01 ②, ④ 02 ③ 03 40° 04 130°

05 35° 06 5`cm 07 100°

08 ^(8+8/3&pai^)cm 09 ① 10 20°

11 65° 12 15° 13 2/r 14 9pai`cm^2

15 70° 16 ② 17 51/2`cm^2 18 195°

19 ⑴ 2`cm ⑵ 1.6`cm 20 ⑴ 8`cm ⑵ 3`cm 21 2pai`cm^2 22 10° 23 96`cm^2 24 9`cm 25 135° 26 4`cm 27 5/7`cm

3단계Astep 만점승승장구 ^42~43쪽 1 72° 2 24`cm^2 3 45° 4 55°

5 12° 6 11 : 7

Ⅱ ^{사각형의 성질}

1. 평행사변형

1 평행사변형

46~51쪽

기본문제

원리확인

1 ⑴ x=7, y=3 ⑵ x=110, y=70



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52~55쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 ④ 02 80°

03 ① ∠DAC ② ∠DCE ③ ∠CDA

04 ① ^-CD^- ② ∠BAO ③ ^-DO^- 05 ③ 06 x=3, y=13 07 50° 08 4`cm 09 6`cm 10 80° 11 140° 12 30°

13 12`cm 14 12 15 ①, ⑤ 16 ② 17 ⑴ x=6.5, y=4.5 ⑵ x=55, y=60 18 72°

19 145° 20 10`cm 21 4개 22 24`cm^2 23 8`cm^2 24 18`cm^2

56~59쪽 2단계Bstep 탄탄내신

01 ㄴ, ㄷ, ㄹ 02 ①, ③ 03 70° 04 50°

05 77.5 06 77°

07 ① ∠EBF ② ∠GHF ③ 대변의 길이 ④ 평행 08 3개 09 ③ 10 5`cm 11 32`cm^2 12 10`cm 13 11.2`cm 14 16`cm^2 15 176°

16 2`cm 17 ③ 18 2`cm^2 19 ⑴ B(6, 8) ⑵ x=3 20 5`cm^2 21 평행사변형

3단계Astep 만점승승장구 ^60~61쪽 1 3`cm 2 ⑴ 2`cm ⑵ ∠ABF=35°, ∠EAD=55°

3 13.5`cm 4 70° 5 3：7 6 40°

Ⅱ ^{사각형의 성질}

2. 여러 가지 사각형

1 여러 가지 사각형 ⑴

62~67쪽

기본문제

원리확인

1 120° 2 ②, ④

3 ① ^-AB^- ② SSS ③ ∠C ④ ∠D 4 ㄴ, ㄹ, ㅁ 5 17° 6 x=80, y=5 7 8`cm`

8 24`cm

68~71쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 ⑴ x=5, y=8 ⑵ x=50, y=100

12 68 13 128`cm^2 14 25° 15 4`cm^2 16 ②, ③ 17 정사각형

18 ⑴ x=60, y=120 ⑵ x=4, y=6

19 48° 20 35° 21 4`cm 22 120°

2 여러 가지 사각형 ⑵

72~75쪽

기본문제

원리확인

1 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ

2 ⑴ 평행사변형 ⑵ SAS ⑶ ^-GF^- ⑷ △DHG ⑸ ^-EF^- 3 12`cm 4 12`cm^2 5 7`cm^2

76~79쪽 1단계C^step 촘촘유형

01 ④, ⑤ 02 직사각형, 45`cm^2 03 40`cm

04 ① 05 ③ 06 ① 07 ③

08 ③, ④ 09 ③ 10 80`cm 11 12`cm^2 12 14`cm^2 13 24`cm^2 14 25pai`cm^2 15 6`cm^2 16 4`cm^2 17 21/4`cm^2 18 ③ 19 6`cm^2 20 8`cm^2 21 50`cm^2 22 20`cm^2 23 27`cm^2 24 10`cm^2

80~83쪽 2단계B^step 탄탄내신

01 ③ 02 ④

03 ∠A=∠D=120°, ∠B=∠C=60°

04 50° 05 등변사다리꼴

06 마름모, 직사각형 07 67° 08 12`cm^2 09 3/2`cm 10 5`cm 11 6`cm^2 12 45°

13 90° 14 1：1 15 ②, ④ 16 24`cm^2 17 122° 18 3`cm^2 19 3`cm^2 20 2：1 21 1.56초 후

22 _A

B

D

C E

Q P

S R

②

③

①

3단계Astep 만점승승장구 ^84~85쪽 1 ⑴ ∠C=90°인 직각삼각형 ⑵ ^-AC^-=^-BC^-인 이등변삼각형

⑶ ∠C=90°이고 ^-AC^-=^-BC^-인 직각이등변삼각형

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Ⅲ ^{도형의 닮음}

1. 도형의 닮음

1 도형의 닮음

88~92쪽

기본문제

원리확인

1 ⑴ sqrABCDZsqrEFGH ⑵ 변 FG ⑶ ∠E 2 ⑴ sqrA'E'H'D' ⑵ 1 : 2 ⑶ x=6, y=8 3 △ABCZ△QPR(SAS`닮음),

△DEFZ△XVW(AA`닮음),

△JKLZ△UTS(SSS`닮음) 4 10/3 5 ⑴ 5 ⑵ 12 ⑶ 3

93~97쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 ^-EH^-, ∠B 02 면 JKL, 면 GJLI 03 ㄷ, ㅂ 04 ④ 05 ③ 06 34.2`cm 07 ④ 08 15 09 12

10 △ABCZ△MNO(또는 △ONM)(SSS`닮음),

△DEFZ△JLK(AA`닮음), △GHIZ△PRQ(SAS`닮음) 11 ④ 12 △ABCZ△AED, SAS`닮음

13 12 14 9`cm 15 10`cm 16 4`cm 17 10/3`cm 18 9/5`cm 19 14`cm 20 4`cm 21 ④ 22 1 23 80`cm^2

24 ⑴ 6 ⑵ 12 25 6 26 50/7`cm 27 15/2`cm 28 25/2`cm 29 20`cm

98~101쪽 2단계Bstep 탄탄내신

01 ④ 02 4：1 03 ③

04 ⑴ ㅁ, AA`닮음 ⑵ ㅂ, SAS`닮음 ⑶ ㄹ, SSS`닮음 05 ⑴ 10/3 ⑵ 12 06 48° 07 10/3`cm 08 7`cm 09 13/2`cm 10 12`cm 11 9/2`cm 12 7/3`cm 13 16`cm^3 14 21/2`cm 15 845/96`cm^2 16 ^-AD^-=9/2`cm, ^-BC^-=14/3`cm 17 40/3`cm

3단계Astep 만점승승장구 ^102~103쪽 1 9：7&：6 2 3.4`cm

3 ⑴ △DBG와 △HCE에서 ∠DBG=∠HFG,

∠DGB=∠HGF(맞꼭지각)이므로 ∠BDG=∠FHG

∠FHG=∠CHE(맞꼭지각)이므로 ∠BDG=∠CHE

∠B=∠C(∵ 이등변삼각형)

∴ △DBGZ△HCE(AA`닮음)

⑵ 250° 4 63`cm^2 5 최댓값：7a, 최솟값：5/3&a 6 ⑴ 5/3&a`cm ⑵ 96-12aa `cm^2 ⑶ 6/5배

Ⅲ ^{도형의 닮음}

2. 닮음의 활용

1 평행선과 선분의 길이의 비

104~110쪽

기본문제

원리확인

1 ⑴ 9 ⑵ 18/5 ⑶ 6 2 ㄷ 3 ^-DF^- 4 4`cm 5 6`cm

6 ⑴ x=8 ⑵ x=28, y=15 7 26/5`cm 8 2`cm 9 65/6

111~115쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 ③, ④ 02 183/5 03 24/5`cm 04 4.2

05 9 06 x=36/5, y=24/5 07 6.9`cm 08 x=10, y=9 09 9`cm 10 ① 11 ②, ④ 12 6`cm 13 42`cm^2 14 15 15 16/5`cm 16 12`cm 17 ⑴ 24`cm ⑵ 1&：3 18 ⑴ x=21 ⑵ x=11, y=24

19 ⑴ 154/15 ⑵ 33/2 20 x=10, y=11

21 10`cm 22 62/5 23 5`cm 24 15/4`cm

25 15 26 ⑴ 2&：3 ⑵ 2&：5 ⑶ 24/5`cm 27 12`cm 28 40`cm^2



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5 5`cm^2 6 ^-PQ^-=12`cm, ^-PS^-=10`cm 7 20`cm^2, 12`cm^2 8 10`cm^2

123~127쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 14`cm 02 7`cm 03 x=6, y=60 04 11 05 8`cm 06 4`cm 07 ② 08 48`cm^2 09 6`cm 10 5`cm 11 5`cm 12 36`cm 13 ② 14 x=3, y=10 15 12`cm 16 9/2`cm^2 17 4`cm 18 8`cm^2 19 9`cm 20 42`cm 21 ⑴ 16`cm ⑵ 192`cm^2 22 ^-BG^-=12`cm, ^-DF^-=9`cm 23 2`cm 24 x=6, y=10 25 11`cm^2 26 135`cm^2 27 22`cm^2 28 4`cm 29 5`cm 30 36`cm^2

3 닮은 도형의 넓이와 부피

128~130쪽

기본문제

원리확인

1 ⑴ 3&：4 ⑵ 3&：4 ⑶ 80`cm^2

2 ⑴ 16&：25 ⑵ 150`cm^2 ⑶ 64&：125 ⑷ 128`cm^3 3 21`m 4 27`km

131~133쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 21`cm^2 02 24`cm^2 03 48`cm 04 25000원 05 490`cm^2 06 48`cm^2 07 36`cm^2 08 1：2 09 108`cm^3 10 250pai`cm^3 11 304pai`cm^3 12 ③ 13 555`cm^3 14 2430원 15 15`m 16 25.2`m 17 ⑴ 3`km ⑵ 10`cm 18 9시간

134~139쪽 2단계B^step 탄탄내신

01 ⑴ 15/2 ⑵ 5 ⑶ 10 02 42/5`cm 03 9`cm 04 ⑴ x=14 ⑵ x=7/2 ⑶ x=8/5, y=15/2

05 9 06 9`cm 07 24`cm^2 08 96/7`cm^2

09 ^-AQ^-=407/40`cm, ^-QC^-=37/8`cm

10 △ADC=12`cm^2, △EBC=50`cm^2 11 15`cm 12 3`cm 13 ⑴ 3&：5 ⑵ 40/3`cm 14 20`cm^2 15 4：1 16 ^-EF^-=1.5`cm, ^-CE^-=7.5`cm, ^-FG^-=4`cm

28 69.2`m 29 2/3배 30 40/3`cm^2 31 27&：19 32 3/4&a 33 25`cm^2

3단계A^step 만점승승장구 ^140~141쪽 1 ⑴ 3&：2 ⑵ 10`cm ⑶ 11&：10

2 ⑴ 3&：2 ⑵ 27`cm^2 3 ⑴ 4`cm ⑵ 15`cm 4 ⑴ 10&：9 ⑵ 12&：5 5 44`cm

6 ⑴ 4&：1 ⑵ 4`cm ⑶ 32/5`cm

Ⅳ ^{피타고라스 정리}

1. 피타고라스 정리

1 피타고라스 정리

144~148쪽

기본문제

원리확인

1 ㄹ, ㅂ 2 52`cm^2 3 16`cm^2 4 52`cm^2 5 24`cm^2 6 65`cm^2

149~153쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 150`cm^2 02 12`cm^2 03 ① 04 17/3`cm 05 20`cm 06 ⑤ 07 ⑤ 08 65, 97 09 30`cm 10 4 11 20`cm 12 10 13 24 14 315`cm^2 15 ④ 16 169/2`cm^2 17 5 : 4 18 40 19 529`cm^2 20 169`cm^2 21 9`cm^2 22 15`cm 23 2.5`m 24 24/5 25 28/5`cm 26 ⑤ 27 50`cm 28 10`cm 29 75/4`cm^2 30 8/3`cm^2

2 피타고라스 정리의 성질

154~160쪽

기본문제

원리확인

1 ②, ⑤ 2 ⑤ 3 60/13 4 157 5 ⑴ 90 ⑵ 48 6 205 7 32 8 18 9 ⑴ 8pai`cm^2 ⑵ 10`cm^2 10 17`cm

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05 27/5 06 6 07 x=36/5, y=48/5

08 84/25`cm^2 09 98 10 45 11 24`cm^2 12 155 13 39 14 16 15 27 16 24 17 98pai`cm^2 18 12.5pai`cm^2 19 20`cm 20 60`cm^2 21 96`cm^2 22 20`cm 23 25`cm 24 10pai`cm

165~168쪽 2단계Bstep 탄탄내신

01 208 02 169pai`cm^2 03 96`cm^2 04 17`cm 05 ③ 06 147`cm^2 07 65/6`cm 08 15/2`cm 09 50 10 36 11 63/5`cm 12 14`cm

13 1 : 5 14 ⑤ 15 7개 16 204/13`cm 17 (68pai-120)cm^2 18 320`cm^2 19 26pai`cm 20 13/2 21 240 22 20`cm 23 1`cm

3단계Astep 만점승승장구 ^169쪽 1 4/3`cm 2 P^(-1/3, 0^) 3 19개 4 17

Ⅴ ^확률

1. 경우의 수

1 경우의 수 ⑴

172~176쪽

기본문제

원리확인

1 ⑴ 5가지 ⑵ 4가지 2 4가지 3 9가지 4 7가지 5 12가지 6 ⑴ 3가지 ⑵ 3가지 ⑶ 9가지 7 ⑴ 36가지 ⑵ 24가지 ⑶ 3가지

8 ⑴ 15가지 ⑵ 79가지

177~179쪽 1단계C^step 촘촘유형

01 9가지 02 8가지 03 6가지 04 8가지 05 15가지 06 7가지 07 14가지 08 8가지 09 20가지 10 15가지 11 5가지 12 12개 13 48일 14 144가지 15 5가지 16 16가지 17 7가지 18 ⑴ 59가지 ⑵ 35가지 19 8가지 20 24가지 21 9가지

1 30가지 2 120가지 3 48가지 4 720가지 5 52개 6 ⑴ 24가지 ⑵ 4가지 7 150개

185~187쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 120가지 02 24가지 03 24가지 04 120가지 05 60가지 06 480가지 07 6가지 08 24가지 09 48가지 10 144가지 11 24가지 12 8개 13 18개 14 48개 15 5개 16 336가지 17 36가지 18 ② 19 6가지 20 18가지 21 ③ 22 34개

188~191쪽 2단계Bstep 탄탄내신

01 15가지 02 9가지 03 ④ 04 ⑤ 05 ⑤ 06 7가지 07 ② 08 23가지 09 12가지 10 ⑴ 16가지 ⑵ 4가지 11 48가지 12 13가지 13 ④ 14 12가지 15 47가지 16 9가지 17 312 18 6가지 19 15가지 20 60가지 21 ⑴ 216개 ⑵ 120개 ⑶ 90개

22 8가지 23 20가지 24 57 25 bdcea 26 19개 27 ⑴ 18가지 ⑵ 19가지

3단계Astep 만점승승장구 ^192~193쪽 1 ⑴ 24가지 ⑵ 12가지 2 4명 3 1024가지 4 168가지 5 2살, 2살, 9살

6 ⑴ 38번째 ⑵ 32541 7 227가지

Ⅴ ^확률

2. 확률

1 확률

194~196쪽

기본문제

원리확인

1 ⑴ 8가지 ⑵ 1가지 ⑶ 1/8 2 ⑴ 5/36 ⑵ 5/18 3 0인 경우：ㄱ, ㅂ, 1인 경우：ㄷ, ㅁ 4 3/4 5 15/16



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09 3/4 10 7/8 11 7/10 12 16/21

2 확률의 계산

199~203쪽

기본문제

원리확인

1 21/40 2 5/7 3 ⑴ 9/64 ⑵ 3/28 4 1/3 5 35/36 6 39/64

204~207쪽 1단계Cstep 촘촘유형

01 ② 02 11/16 03 7/36 04 1/4 056 1/25 06 9/28 07 5/18 08 11/18 09 5/12 10 5/7 11 13/15 12 17/49 13 3/25 14 1/2 15 1/36 16 1/6 17 3/8 18 11/20 19 485/512 20 5/9 21 1/3 22 21/64 23 5/32 24 1/3 25 9/25 26 7/36

208~211쪽 2단계B^step 탄탄내신

01 ③, ⑤ 02 11/20 03 4/7 04 3/8 05 150개 06 1/12 07 5/9 08 127/200 09 8/81 10 3/4 11 17/35 12 1/3 131 9/990 14 ④ 15 56/245 16 3/10 172 4/45 18 9/20 19 ④ 20 3/10 212 5/16 22 2/9 23 A：12개, B：4개 24 5/32

3단계Astep 만점승승장구 ^212~213쪽 1 ① 2 ③ 3 7 4 5/18

빠른 정답

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답지블로그

삼각형의 성질 (1)

1

삼각형의 성질 1. 삼각형의 성질 ⑴

Ⅰ

01^{AC”, CD”, AD”, SSS, ∠C} 02^56˘

03^15˘ 04^105˘ 05^{AC”, ∠BAD, △ACD,} SAS, CD”, ∠ADC, ∠ADC, BC”

06⁴⁶ 07^25˘ 08^40˘

09^{AD”, ∠CAD, ∠ADC, △ACD, ASA, AC”}

10^{6`cm</sup> 11<sup>9`cm} 12^80˘ 13^26˘

14^74˘ 15¹²`cm 16③

17^{㉠과 ㉤, ㉢과 ㉣} 18^{⑴5`cm ⑵</sup>;;™2∞;;<sup>`}cm² 19^{③, ④} 20^63˘ 21^27˘ 22<sup>26`cm2</sup> 23<sup>32</sup>`cm²

p. 11~14

C

1^Step

01

변 BC의 중점을 D라 하면 △ABD와 △ACD에서 AB”=AC”, BD”=CD”, AD”는 공통이므로

△ABD™△ACD(SSS`합동)이다.

∴∴ ∠B=∠C AC”, CD”, AD”, SSS, ∠C

02

∠B=∠C=180˘-118˘=62˘

∴∴ ∠A=180˘-(62˘+62˘)=56˘ 56˘

03

△ABC는 이등변삼각형이므로

∠B=∠C=;2!;_(180˘-50˘)=65˘

또, △BCD도 이등변삼각형이므로

∠BDC=∠BCD=65˘이고

∠DBC=180˘-(65˘+65˘)=50˘

∴∴ ∠ABD=65˘-50˘=15˘ 15˘

04

AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠C=70˘

∠ABD=∠DBC=;2!;_70˘=35˘

∴∴ ∠ADB=∠DBC+∠C=105˘ 105˘

05

△ABD와 △ACD에서 AB”=AC”

∠BAD=∠CAD, AD”는 공통이므로

△ABD™△ACD`(SAS`합동)

∴

∴ BD”=CD”

그런데 ∠ADB=∠ADC이고

∠ADB+∠ADC=180˘이므로

∠ADB=∠ADC=90˘

∴∴ AD”⊥BC”

AC”, ∠BAD, △ACD, SAS, CD”,

∠ADC, ∠ADC, BC”

06

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이 등분하므로 BD”=CD”=4`cm ∴∴ x=4

1

△ABC는 이등변삼각형이므로 ∠A의 이등분선은 밑 변을 수직이등분한다.

∠ADB=90˘이므로

∠BAD=90˘-66˘=24˘에서 x=24 BD”=CD”=5`cm, BC”=10`cm에서 y=10

x=24, y=10

2

⑴ ∠A=180˘-(70˘+55˘)=55˘

∠A=∠C이므로 △ABC는 AB”=BC”인 이등변 삼각형이다.

∴∴ AB”=BC”=7`cm

∴

∴ x=7

⑵ ∠ACB=180˘-100˘=80˘이므로

∠B=180˘-(50˘+80˘)=50˘이다.

∠A=∠B이므로 AC”=BC”=6`cm

∴

∴ x=6

⑴ 7 ⑵ 6

3

∠GFC=∠EFG`(접은 각),

∠EGF=∠GFC`(엇각)이므로 ∠EFG=∠EGF이 다.

△EFG는 이등변삼각형이므로 EG”=EF”=10`cm 10`cm

4

⑴ △AOP와 △BOP에서

∠PAO=∠PBO=90˘, OP”는 공통,

∠AOP=∠BOP이므로

△AOP™△BOP(RHA`합동)

∴∴ AP”=BP”=3`cm

∴

∴ x=3

⑵ △AOP와 △BOP에서

∠PAO=∠PBO=90˘, OP”는 공통 PA”=PB”이므로

△AOP™△BOP(RHS`합동)

∴∴ ∠AOP=∠BOP=40˘

∴

∴ x=40

⑴ 3 ⑵ 40

p. 8~10

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본문 8~14쪽

y=90-48=42

∴

∴ x+y=4+42=46 46

07

AB”=AC”이므로 ∠C=∠B=65˘

△ABC는 이등변삼각형이고 점 D는 BC”의 중점이므 로 ∠ADB=90˘

∴∴ ∠BAD=180˘-(90˘+65˘)=25˘ 25˘

08

DE”는 AB”의 수직이등분선이므로 △ABD는 DA”=DB”인 이등변삼각형이다.

∠B=∠a라 하면 ∠DAB=∠a, ∠BAC=2∠a

△ABC에서 2∠a+∠a+60˘=180˘

3∠a=120˘ ∴∴ ∠a=40˘

∴∴ ∠B=40˘ 40˘

09

∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 하면

△ABD와 △ACD에서

AD”는 공통 ……㉠

∠BAD=∠CAD ……㉡

∠B=∠C이므로 ∠ADB=∠ADC ……㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 △ABD™△ACD(ASA`합동)

∴

∴ AB”=AC”

따라서 △ABC는 이등변삼각형이다.

AD”, ∠CAD, ∠ADC, △ACD, ASA, AC”

10

∠B=∠C=;2!;_(180˘-36˘)=72˘

∠ABD=∠DBC=;2!;_72˘=36˘

∠BDC=∠ABD+∠DAB=36˘+36˘=72˘

따라서 △ABD는 AD”=BD”인 이등변삼각형이고,

△BCD는 BD”=BC”인 이등변삼각형이다.

∴∴ BC”=BD”=AD”=6`cm 6`cm

11

∠ABC+∠ACB=80˘이므로 ∠ABC=40˘에서 AC”=AB”=9`cm

∠BDC=180˘-100˘=80˘이므로

CD”=CA”=9`cm이다. 9`cm

12

AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠B=20˘

∠DAC=∠B+∠ACB=20˘+20˘=40˘

AC”=CD”이므로 ∠CDA=∠DAC=40˘

∠DCE=∠B+∠CDB=20˘+40˘=60˘

CD”=DE”이므로 ∠DEC=∠DCE=60˘

∴∴ ∠EDF=∠B+∠DEB=20˘+60˘=80˘ 80˘

삼각 형의 성 질

I 13

∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-52˘)=64˘이므로

∠DBC=;2!;_64˘=32˘

∠ACE=180˘-64˘=116˘이므로

∠DCE=;2!;_116˘=58˘

△BCD에서 ∠DCE=∠BDC+∠DBC이므로 58˘=∠x+32˘ ∴∴ ∠x=26˘ 26˘

14

∠ABD=∠DBC=53˘(접은 각),

∠ADB=∠DBC=53˘(엇각)

∴∴ ∠DAB=180˘-(53˘+53˘)=74˘ 74˘

15

∠BAC=∠DAC`(접은 각),

∠DAC=∠ACB`(엇각)이므로

∠BAC=∠BCA

따라서 △BAC에서 BA”=BC”인 이등변삼각형이므

로 BC”=12`cm이다. 12`cm

16

① AC”=DF”, BC”=EF”：RHS 합동

② AC”=DF”, ∠C=∠F：RHA`합동

③ ∠A=∠D, ∠C=∠F：세 각의 크기가 같은 삼각 형의 모양은 서로 같지만 크기는 서로 다를 수 있 다.

④ ∠A=∠D, AB”=DE”：ASA`합동

⑤ AB”=DE”, BC”=EF”：SAS 합동 ③

17

㉠과 ㉤：RHS`합동, ㉢과 ㉣：RHA`합동

㉠과 ㉤, ㉢과 ㉣

18

△DBA와 △EAC에서 BA”=AC” ……㉠

∠DBA+∠DAB=90˘, ∠DAB+∠EAC=90˘

∴∴ ∠DBA=∠EAC ……㉡

∠BDA=∠AEC=90˘ ……㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 △DBA™△EAC(RHA`합동)

∴∴ DA”=EC”=2`cm, BD”=AE”=3`cm

A

B C

D

E F

32˘

A

B C

E D

F

G H

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⑴ DE”=DA”+AE”=2+3=5(cm)

⑵ DE”=5`cm이므로 (사각형 DBCE의 넓이)

=;2!;_(3+2)_5=;;™2∞;;(cm²)

⑴ 5`cm ⑵ ;;™2∞;;`cm²

19

△EBD와 △FCD에서 BD”=CD” ……㉠

BE”=CF” ……㉡

∠DEB=∠DFC=90˘`……㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

△EBD™△FCD(RHS`합동)

∴∴ ∠B=∠C, AB”=AC” ③, ④

20

△ADE와 △ACE에서 AD”=AC”, AE”는 공통,

∠ADE=∠ACE=90˘

∴∴ △ADE™△ACE(RHS`합동)

∴∴ ∠AED=∠AEC

△BED에서 ∠BED=180˘-(90˘+36˘)=54˘

54˘+∠x+∠x=180˘, 2∠x=126˘

∴∴ ∠x=63˘ 63˘

21

△BDM과 △CEM에서 BM”=CM”, MD”=ME”,

∠BDM=∠CEM=90˘

∴∴ △BDM™△CEM(RHS`합동)

∠ABM=∠ACM=;2!;_(180˘-54˘)=63˘

∴∴ ∠CME=90˘-63˘=27˘ 27˘

22

점 D에서 AB”에 내린 수선의 발을 E라 하면

△AED와 △ACD에서

∠DEA=∠DCA=90˘, ∠EAD=∠CAD, AD”는 공통

∴∴ △AED™△ACD(RHA`합동)

∴∴ △ABD=;2!;_13_4=26(cm²) 26`cm²

23

△BCD와 △BED에서 BD”는 공통

∠DBC=∠DBE, ∠BCD=∠BED=90˘이므로

△BCD™△BED(RHA`합동) ED”=CD”=8`cm

∠A=45˘이므로 AE”=ED”=8`cm

∴∴ △AED=;2!;_8_8=32(cm²) 32`cm²

A

B C

D

E F

01

^④

02

^76˘

03

^67.5˘

04

^⑴106˘

⑵40˘

05

^30`cm

06

^70˘

07

^27˘

08

^31˘

09

^75˘

10

^8`cm

11

^120˘

12

^70˘

13

^7.2`cm

14

^6`cm2

15

^8`cm

16

y=;3&;x

17

^20`cm

p. 15~17

B

2^Step

0 1

이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.

①, ⑤ △ABC가 이등변삼각형이므로 AB”=AC”, AD”=AE”, ∠A는 공통이므로

△ADC™△AEB`(SAS`합동)

∴∴ ∠AEB=∠ADC, ∠ACD=∠ABE

② ∠DCB=∠ACB-∠ACD

=∠ABC-∠ABE=∠EBC

③ DB”=AB”-AD”=AC”-AE”=EC” ④

0 2

평행한 두 직선에서 동위각의 크기는 같다.

AD”//BC”이므로 ∠ABC=∠EAD=52˘이다.

∠BAC=180˘-(52˘+52˘)=76˘ 76˘

0 3

이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.

∠B=∠C=45˘이므로 ∠CAH=90˘-45˘=45˘

∠DAH=;2!;_45˘=22.5˘

∴∴ ∠BDA=90˘-22.5˘=67.5˘ 67.5˘

0 4

⑴ △ABD에서 ∠BDA=;2!;_(180˘-32˘)=74˘

∴∴ ∠ADC=180˘-74˘=106˘ ^{… 50`%}

⑵ ∠AEC=180˘-∠AEB=180˘-110˘=70˘

∴∴ ∠ACB=180˘-(70˘+70˘)=40˘ … 50`%

⑴ 106˘ ⑵ 40˘

0 5

^{∠B=∠C이므로 △ABC}는 이등변삼각형이다.

△ABC가 이등변삼각형이므로 AB”=AC”=16`cm

△ABC=△ABP+△ACP 240=;2!;_16_PD”+;2!;_16_PE”

8PD”+8PE”=240, 8(PD”+PE”)=240

∴

∴ PD”+PE”=30(cm) 30`cm

0 6

삼각형의 내각의 크기의 합과 이등변삼각형의 성질을 이용 한다.

채점 기준

⑴ 구하기

⑵ 구하기

배점 50`%

50`%

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본문 14~17쪽

∠ACB=∠ABC=40˘이므로

∠DCE=∠DEC=180˘-85˘-40˘=55˘

∴∴ ∠CDE=180˘-(55˘+55˘)=70˘ 70˘

07

접은 각의 크기는 같다.

∠EBD=42˘(접은 각) AB”=AC”이므로

∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-42˘)=69˘

∴∴ ∠x=69˘-42˘=27˘ 27˘

08

이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.

AB”=AC”이므로 ∠ACB=;2!;_(180˘-68˘)=56˘

∠DCE=;2!;_(180˘-56˘)=62˘

∠DCB=180˘-62˘=118˘

따라서 CD”=CB”이므로

∠DBC=;2!;_(180˘-118˘)=31˘이다. 31˘

09

평행한 두 직선에서 엇각의 크기는 같다.

AD”//BC”이고 △ABD는 이등변삼각형이므로

∠ADB=;2!;_(180˘-120˘)=30˘=∠DBC

△BCD도 이등변삼각형이므로

∠x=;2!;_(180˘-30˘)=75˘ 75˘

10

AB”=GC”=6`cm이므로 AD”：AB”=3：1에서 AD”：6=3：1 ∴∴ AD”=18(cm) … 30`%

∠AFE=∠CFE(접은 각), ∠AFE=∠CEF`(엇각)

∴∴ ∠CFE=∠CEF

따라서 △CFE는 이등변삼각형이므로

CF”=CE”=10`cm이다. … 40`%

∴

∴ EG”=BE”=BC”-CE”=AD”-CE”

=18-10=8(cm) … 30`%

8`cm

AD”=3GC”=18(cm)

∠FCD=∠x라 하면 ∠FCE=90˘-∠x

∠ECG=90˘-(90˘-∠x)=∠x

△CDF와 △CGE에서

채점 기준 AD”의 길이 구하기

CE”의 길이 구하기 EG”의 길이 구하기

배점 30`%

40`%

30`%

삼각 형의 성 질

I

∠CDF=∠CGE=90˘, CD”=CG”

∠FCD=∠ECG

∴∴ △CDF™△CGE(ASA`합동)

∴

∴ EG”=FD”=18-10=8(cm)

11

^{∠ABD와 ∠EBC}의 크기를 미지수로 놓고 △DBE의 내각의 크기의 합이180˘임을 이용한다.

∠ABD=∠x라 하면 ∠AEB=30˘+∠x

∠EBC=∠y라 하면 ∠CDB=30˘+∠y

△DBE에서

30˘+30˘+∠x+30˘+∠y=180˘이므로

∠x+∠y=90˘

∴∴ ∠ABC=∠x+30˘+∠y=120˘ 120˘

12

합동인 두 삼각형을 찾는다.

△BDF와 △CED에서 BD”=CE”, BF”=CD”

∠B=∠C(∵∵ AB”=AC”)이므로

△BDF™△CED(SAS`합동)

∠BFD=∠CDE,

∠FDB=∠DEC

∴∴ ∠FDE=∠FBD=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

70˘

13

삼각형의 넓이를 이용하여 주어진 길이를 구한다.

△ABC는 이등변삼각형이므로

DC”=;2!;BC”=9(cm)이고, ∠ADC=90˘이다.

△ACD=;2!;_AC”_DE”=;2!;_AD”_DC”이므로

;2!;_15_DE”=;2!;_12_9

∴

∴ DE”=7.2(cm) 7.2`cm

14

합동인 두 삼각형을 찾는다.

△ABD와 △CAE에서 ∠BAD+∠CAE=90˘,

∠ACE+∠CAE=90˘이므로 ∠BAD=∠ACE, AB”=CA”, ∠ADB=∠CEA=90˘

∴∴ △ABD™△CAE`(RHA`합동) BD”=AE”=4`cm

∴∴ △ACE=;2!;_4_3=6(cm²) 6`cm²

15

합동인 두 삼각형을 찾는다.

△ABD와 △CAE에서

AB”=CA”, ∠ADB=∠CEA=90˘

40˘

x A

B C

D E F

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∠BAD+∠CAE=90˘, ∠CAE+∠ACE=90˘이 므로 ∠BAD=∠ACE

△ABD™△CAE(RHA`합동)

∴

∴ DE”=AE”-AD”=BD”-EC”=15-7=8(cm) 8`cm

16

^△OAD와 합동인 삼각형을 찾기 위해 보조선을 그어 본 다.

점 C에서 y축에 내린 수선의 발을 H라 하면

△OAD™△HDC(RHA`합 동)이므로 CH”=3, HD”=4

∴∴ C(3, 7)

따라서 직선 OC의 방정식은

y=;3&;x이다. y=;3&;x

17

합동인 두 삼각형을 찾는다.

△ADE와 △ACE에서 AD”=AC”, AE”는 공통,

∠ADE=∠ACE=90˘이므로

△ADE™△ACE(RHS 합동)

∴

∴ DE”=CE”

AD”=5`cm이므로 BD”=13-5=8(cm) BE”=12-CE”=12-DE”

∴∴ (△BED의 둘레의 길이)=BD”+DE”+BE”

=8+DE”+12-DE”

=20(cm) 20`cm

y

O A x B C

D H

1

^59˘

2

^116˘

3

^10`cm

4

^30˘

5

^;2%;

6

³⁰

p. 18~19

3^단계

A

^Step

1

△BPR와 △CQP에서

BP”=CQ”, BR”=CP”, ∠PBR=∠QCP이므로

△BPR™△CQP(SAS`합동)이다.

∴

∴ PR”=QP”

따라서 △PQR는 이등변삼각형이다.

∠BPR+∠CPQ=∠BPR+∠BRP이므로

∠QPR=∠B=62˘

∴∴ ∠PQR=∠PRQ=;2!;_(180˘-62˘)=59˘

59˘

2

∠BAD=∠x라 하면 ∠CAD=3∠x

∠ACE=∠y라 하면

∠ABC=∠ACD=13˘+∠y

△ACE에서 3∠x+∠y=90˘ ……①

△ABC에서 4∠x+13˘+∠y+13˘+∠y=180˘

2∠x+∠y=77˘ ……②

①, ②를 연립하여 풀면 ∠x=13˘, ∠y=51˘

∴∴ ∠ABC=13˘+51˘=64˘, ∠BAC=4_13˘=52˘

∴∴ ∠ABC+∠BAC=116˘ 116˘

3

∠ABC=∠ACB이므로 △ABC는 AB”=AC”인 이 등변삼각형이고 AD”는 이등변삼각형의 꼭지각의 이 등분선이 되므로 BD”=CD”, AD”⊥BC”이다.

△EBD™△ECD(SAS`합동)이므로 EB”=EC”

즉, △EBC는 EB”=EC”인 이등변삼각형이므로

∠EBC=∠ECB=45˘

또, △EBD와 △ECD에서 ∠BED=∠CED=45˘

이므로 △EBD와 △ECD는 각각 직각이등변삼각형 이다.

BD”=ED”=CD”=2(cm)

;5@;AB”=2에서 AB”=5(cm)

△ABC는 이등변삼각형이므로

AB”+AC”=5+5=10(cm)이다. 10`cm

4

점 A에서 CB”에 평행한 직선을 그 어 CE”의 연장선과 만나는 점을 F 라 하면 △AFE와 △BCE에서 AE”=BE”이고 AF”//CB”이므로

∠EAF=∠EBC`(엇각)

∠AEF=∠BEC`(맞꼭지각)

∴∴ △AFE™△BCE`(ASA`합동) AF”=BC”, BC”=AD”이므로 AD”=AF”

따라서 △ADF는 AD”=AF”인 이등변삼각형이므로

∠ADE=∠AFD=∠BCE=30˘이다. 30˘

5

△ADE와 △ADF에서

∠AED=∠AFD=90˘, AD”는 공통,

∠DAE=∠DAF이므로

△ADE™△ADF (RHA`합동)

∴∴ DE”=DF”, AE”=AF”

25 20

A

B C

D E

F M

30˘

30˘

A B

C D

E

30˘

F

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본문 17~28쪽

△BDM과 △CDM에서

BM”=CM”, ∠BMD=∠CMD=90˘,

DM”은 공통이므로 △BDM™△CDM(SAS`합동)

∴

∴ BD”=CD”

이때 △BDE와 △CDF에서

∠BED=∠CFD=90˘, BD”=CD”, DE”=DF”이므 로 △BDE™△CDF(RHS`합동)

∴

∴ BE”=CF”

BE”=CF”=x라 하면 AE”=25-x, AF”=20+x이 므로 25-x=20+x, 2x=5 ∴∴ x=;2%; ;2%;

6

점 G에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면

△GHD와 △DBE에서 GD”=DE”

∠GHD=∠DBE=90˘

∠GDH

=180˘-90˘-∠EDB

=∠DEB

∴∴ △GHD™△DBE(RHA`합동) 또, △AHG는 직각이등변삼각형이므로 AH”=GH”=DB”

DB”=x, BE”=y라고 하면 DB”+BE”=17에서 x+y=17 ……①

BC”=AB”=AH”+HD”+DB”=x+y+x이므로 2x+y=29 ……②

①, ②를 연립하여 풀면 x=12, y=5

∴∴ △BDE=;2!;_12_5=30 30

A

B C

D

E

F G 45˘

H 45˘

삼각형의 성질 (2)

1

삼각형의 성질 2. 삼각형의 성질 ⑵

Ⅰ

삼각 형의 성 질

I

1

⑤ AB”=AC”인 경우에만 성립한다. ⑤

2

점 M은 △ABC의 외심이므로 △ABM은

MA”=MB”인 이등변삼각형이다.

∠MAB=∠MBA=90˘-32˘=58˘ 58˘

p. 21~30

3

⑴ 20˘+28˘+∠x=90˘ ∴∴ ∠x=42˘

⑵ OA”=OC”이므로 ∠OAC=35˘

∠A=30˘+35˘=65˘

∴∴ ∠BOC=2_65˘=130˘

⑴ 42˘ ⑵ 130˘

4

⑴ 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만나고, 이 점은 삼각형의 내심이다.

⑵ 삼각형의 내심에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리 는 같다.

⑶ 삼각형의 내심은 항상 삼각형의 내부에 있다.

⑴ 이등분선, 점, 내심 ⑵ 내심, 같다 ⑶ 내부

5

삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점을 찾는다.

⑤

6

⑴ 26˘+44˘+∠x=90˘ ∴∴ ∠x=20˘

⑵ ∠AIC=90˘+;2!;∠B, 115˘=90˘+;2!;∠x

∴∴ ∠x=50˘

⑴ 20˘ ⑵ 50˘

7

∠IAB=∠IAC=49˘, ∠IBA=∠IBC=21˘

∠x=180˘-(49˘+21˘)=110˘

∠y=90˘+;2!;_98˘=139˘

∴∴ ∠x+∠y=249˘ 249˘

8

내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

2r=3+4-5 ∴∴ r=1 1`cm

9

48=;2!;_4_(△ABC의 세 변의 길이의 합)

∴∴ (△ABC의 세 변의 길이의 합)=24(cm)

24`cm

10

EADO에서

∠DOE=360˘-(90˘+90˘+∠A)=180˘-∠A

∴∴ ∠COB=;2!;∠DOE=90˘-;2!;∠A

풀이 참조

A B D

F C

E O

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11

BE”=BF”, CD”=CE”이므로

(△ABC의 둘레의 길이)=AD”+AF”=16(cm) AD”=AF”이므로 AD”=8(cm) 8`cm

12

AF”=;2!;(4+3+5)=6(cm)

∴∴ (원 O의 반지름의 길이)=AF”-AB”

=6-4=2(cm) 2`cm

13

△ABE와 △ACD에서 AB”=AC”, ∠A는 공통,

∠BEA=∠CDA=90˘

∴∴ △ABE™△ACD(RHA`합동)

또, ∠B=∠C에서 ∠HBC=∠HCB=40˘이므로

∠y=∠BHC=180˘-(40˘+40˘)=100˘

∠DHB=180˘-100˘=80˘이고 ∠BDH=90˘이므 로 ∠x=180˘-(90˘+80˘)=10˘

∴∴ ∠x+∠y=110˘ 110˘

01^④ 02^{BM”, OM”, ∠OMB, SAS, OB”,}

△CON, OC”” 03^② 04<sup>34`cm</sup> 05<sup>100p</sup>`cm² 06^3.5`cm 07<sup>50˘</sup> 08<sup>18</sup>`cm 09^10˘ 10^30˘ 11^65˘ 12^122˘

13^80˘ 14^{∠AFI, IA”, ∠IAF, RHA, IF”, IE”,} IE”, IF” 15^② 16^{⑴56˘ ⑵40˘}

17⑴27˘ ⑵35˘ 18^207˘ 19⑴124˘

⑵116˘ 20^115˘ 21^3.75`cm 22<sup>48</sup>`cm 23⁸⁴`cm<sup>2</sup> 24<sup>3</sup>`cm 25;;¡2¶;;<sup>`</sup>cm 26<sup>16</sup>`cm 27¹²`cm 28<sup>45</sup>`cm 29^4.5˘ 30^60˘

p. 32~36

1^단계

C

^Step

01

④ AC”=BC”일 때만 OE”=OF”이다. ④

02

△AOM과 △BOM에서 AM”=BM”, OM”은 공통,

∠OMA=∠OMB=90˘이므로

△AOM™△BOM(SAS`합동)

∴∴ OA”=OB” ……㉠

△BON과 △CON에서 BN”=CN”, ON”은 공통,

∠ONB=∠ONC=90˘이므로

△BON™△CON(SAS`합동)

∴∴ OB”=OC” ……㉡

A

B C

N M

O

㉠, ㉡에서 OA”=OB”=OC”

BM”, OM”, ∠OMB, SAS, OB”, △CON, OC””

03

세 지점을 삼각형의 꼭짓점이라 할 때, 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점은 삼각형의 외심이다. 따라서 마 트의 위치를 정하기 위해서는 삼각형의 외심, 즉 각 변 의 수직이등분선의 교점을 이용할 수 있다. ②

04

BD”=AD”=7`cm, CE”=BE”=6`cm,

AF”=CF”=4`cm이므로 △ABC의 둘레의 길이는 2_(7+6+4)=34(cm)이다. 34`cm

05

△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하 면 OB”=OC”=r`cm

△OBC의 둘레의 길이가 36`cm이므로 r+r+16=36, 2r=20 ∴∴ r=10 따라서 △ABC의 외접원의 넓이는

p_10²=100p(cm²) 100p`cm²

06

점 O가 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”

∴

∴ OC”=7÷2=3.5(cm) 3.5`cm

07

삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같으므로

△MCA에서 ∠MAC+∠MCA=100˘, 점 M은 △ABC의 외심이므로 MA”=MC”에서

∠MAC=∠MCA=50˘

∴∴ ∠A=50˘ 50˘

08

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 직각삼각형 ABC의 외심을 O라 하면

OA”=OB”=OC”에서

∠OBC=∠OCB=∠BOC=60˘이다. … 50`%

△OBC가 정삼각형이므로 OB”=9`cm … 30`%

AB”=2 OB”=2_9=18(cm)이다. … 20`%

18`cm

09

점 M은 △ABC의 외심이므로 MA”=MB”=MC”

△MAB는 이등변삼각형이므로

∠MAB=∠MBA=40˘

채점 기준

∠OCB, ∠BOC의 크기 구하기 OB”의 길이 구하기

AB”의 길이 구하기

배점 50`%

30`%

20`%

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본문 29~35쪽

△ABH에서 ∠BAH=90˘-40˘=50˘

∴∴ ∠MAH=50˘-40˘=10˘ 10˘

10

∠x+20˘+40˘=90˘

∴∴ ∠x=30˘ 30˘

11

∠OAC+30˘+25˘=90˘에서 ∠OAC=35˘

∠OAB=∠OBA=30˘

∴∴ ∠A=30˘+35˘=65˘ 65˘

12

∠OAB=∠OBA=25˘, ∠OAC=∠OCA=36˘이 므로 ∠A=25˘+36˘=61˘

∴∴ ∠x=2_61˘=122˘ 122˘

13

^{∠AOC=360˘_ =160˘}

∴∴ ∠B=160˘÷2=80˘ 80˘

14

△ADI와 △AFI에서 ∠ADI=∠AFI=90˘, IA”는 공통, ∠IAD=∠IAF이므로

△ADI™△AFI(RHA`합동)

∴∴ ID”=IF” ……㉠

△BDI와 △BEI에서 ∠BDI=∠BEI=90˘, IB”는 공통, ∠IBD=∠IBE이므로

△BDI™△BEI(RHA`합동)

∴∴ ID”=IE” ……㉡

㉠, ㉡에서 ID”=IE”=IF”이므로 내심 I에서 세 변에 내 린 수선의 길이는 같다.

∠AFI, IA”, ∠IAF, RHA, IF”, IE”, IE”, IF”

15

② △ADI와 △BDI는 높이는 같으나 밑변의 길이가 같은지 알 수 없으므로 넓이가 같다고 할 수 없다.

②

16

⑴ ∠x=180˘-2_(26˘+36˘)=56˘

⑵ ∠B=∠C=25˘_2=50˘

∠A=180˘-(50˘+50˘)=80˘

∴∴ ∠x=;2!;∠A=;2!;_80˘=40˘

⑴ 56˘ ⑵ 40˘

17

⑴ ∠x+35˘+28˘=90˘

∴∴ ∠x=27˘

8 3+7+8

삼각 형의 성 질

I

⑵ ∠IBA=;2!;∠B=;2!;_64˘=32˘이므로

∠x+23˘+32˘=90˘

∴∴ ∠x=35˘

⑴ 27˘ ⑵ 35˘

18

∠IAB+∠IBC+∠ICA=90˘

∠IAB+∠IBC=90˘-39˘=51˘

∴∴ ∠x+∠y=(∠IBC+78˘)+(∠IAC+78˘)

=51˘+78˘+78˘(∵∵ ∠IAC=∠IAB)

=207˘

207˘

19

⑴ ∠AIB=90˘+;2!;∠x 152˘=90˘+;2!;∠x

∴∴ ∠x=(152˘-90˘)_2=124˘

⑵ ∠x=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_52˘

⑵ ∠x=90˘+26˘=116˘

⑴ 124˘ ⑵ 116˘

20

^{∠B=180˘_ =50˘}

∴∴ ∠AIC=90˘+;2!;∠B=90˘+25˘=115˘ 115˘

21

삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 120=;2!;_r_(17+17+30), 120=32r

∴

∴ r=3.75 3.75`cm

22

△ABC의 둘레의 길이를 x`cm라 하면

△ABC=;2!;_3.5_x=84

∴

∴ x=48 48`cm

23

△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

△IBC=;2!;_14_r=28

∴

∴ r=4

∴∴ △ABC=;2!;_4_(13+14+15)=;2!;_4_42

∴∴ △ABC=84(cm²) 84`cm²

24

CE”=CF”=4`cm, AE”=AD”=5-4=1(cm) BD”=4-1=3(cm)

∴∴ BF”=BD”=3`cm 3`cm 5

9+5+4

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25

CD”=x`cm라 하면 BF”=BD”=(10-x)cm CE”=CD”=x`cm AF”=AE”=(13-x)cm

AB”=AF”+FB”=13-x+10-x=6 2x=17

∴∴ x=;;¡2¶;; ;;¡2¶;;`cm

26

EC”=IF”=4`cm이므로 BD”=BE”=12-4=8(cm) AF”=AD”=20-8=12(cm)

∴

∴ AC”=AF”+FC”=12+4=16(cm) 16`cm

27

∠ABI=∠IBC이고 ∠DIB=∠IBC`(엇각)이므로 BD”=DI”

∠ACI=∠ICB이고 ∠EIC=∠ICB`(엇각)이므로 IE”=EC”

∴

∴ AD”+DE”+EA”=AD”+DI”+IE”+EA”

=AD”+BD”+EC”+EA”

=AB”+AC”

=5+7=12(cm)

12`cm

28

AB”+BC”+CA”

=(AD”+DB”)+BC”+(AE”+EC”)

=AD”+DI”+BC”+AE”+IE”

=AD”+(DI”+IE”)+BC”+AE”

=8+10+15+12=45(cm) 45`cm

29

∠BOC=2_54˘=108˘

∠BIC=90˘+;2!;_54˘=117˘

두 점 O, I는 BC”의 수직이등분선 위에 있으므로

∠OBC=;2!;_(180˘-108˘)=36˘

∠IBC=;2!;_(180˘-117˘)=31.5˘

∴∴ ∠OBI=36˘-31.5˘=4.5˘ 4.5˘

30

점 I는 △OBC의 내심이므로

150˘=90˘+;2!;∠BOC ∴∴ ∠BOC=120˘

점 O는 △ABC의 외심이므로

120˘=2∠A ∴∴ ∠A=60˘ 60˘

01

^{②, ④}

02

^③

03

^40˘

04

^130˘

05

^35˘

06

^5`cm

07

^100˘

08

{8+;3*;p}cm

09

^①

10

^20˘

11

^65˘

12

^15˘

13

;r@;

14

^9p`cm2

15

^70˘

16

^②

17

;;∞2¡;;^`cm²

18

^195˘

19

^{⑴2`cm ⑵1.6`cm}

20

^{⑴8`cm ⑵3`cm}

21

^2p`cm2

22

^10˘

23

^96`cm2

24

^9`cm

25

^135˘

26

^4`cm

27

;7%;^`cm

p. 37~41

B

2^Step

0 1

^점P는 삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점이다.

점 P는 △ABC의 외심이므로

② AP”=BP”=CP”

④ 이등변삼각형의 외심은 꼭지각의 이등분선 위에 있 으므로 점 P는 AD” 위에 있다. ②, ④

0 2

삼각형의 내심에서 각 변에 이르는 거리는 같다.

③ △ABC가 정삼각형일 때만 IA”=IB”=IC”이다.

③

0 3

^{원O가 △ABC의 외접원이므로 점O는 △ABC의 외심}

이다.

△ABC는 AB”=AC”인 삼각형이므로

∠B=;2!;_(180˘-80˘)=50˘

오른쪽 그림과 같이 OC”를 그으면

∠BOC=2∠BAC=2_80˘

=160˘

OB”=OC”이므로

∠OBC=;2!;_(180˘-160˘)

∠OBC=10˘

∴∴ ∠x=50˘-10˘=40˘ 40˘

0 4

^점I는 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이다.

점 I가 △ABC의 내심이므로

∠AIB=90˘+;2!;∠C=90˘+40˘=130˘ 130˘

0 5

^외심O에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

OA”=OB”=OC”이므로 ∠OBA=∠OAB=25˘

∠BOC=2∠A이므로 ∠A=60˘

∴∴ ∠OAC=∠A-∠OAB

=60˘-25˘=35˘ 35˘

80˘

x A

B C

O

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본문 36~39쪽

06

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다.

외접원의 반지름의 길이는 ;2!;AB”=;2!;_10=5(cm)

이다. 5`cm

07

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 있다.

∠OAB=90˘_;9%;=50˘이고 점 O는 △ABC의 외심 이므로 OA”=OB”이다.

∠OAB=∠OBA이므로

∠AOC=∠OAB+∠OBA=50˘+50˘=100˘

100˘

08

OA”=OB”=OC”임을 이용하여 먼저 ∠A의 크기를 구한 다.

OA”=OB”=OC”이므로 ∠BAO=∠ABO=20˘,

∠OAC=∠ACO=40˘

∠BAC=20˘+40˘=60˘이므로

∠BOC=2∠BAC=120˘이다.

∴∴ (부채꼴 BOC의 둘레의 길이)

=4+4+2p_4_ =8+;3*;p(cm)

{8+;3*;p}cm

09

^점I는 삼각형의 내각의 이등분선의 교점이다.

∠A=180˘-(60˘+70˘)=50˘이므로 ∠IAC=25˘

△AHC에서∠CAH=180˘-(90˘+70˘)=20˘

∴∴ ∠IAH=∠IAC-∠CAH=25˘-20˘=5˘

①

10

^{점O가 △ABC의 외심이므로}OA”=OB”=OC”이다.

∠OCB=∠OBC=∠x라 하면

∠OBA=∠OAB=45˘+∠x,

∠OCA=∠OAC=25˘+∠x

△ABC에서 ∠A=180˘-(45˘+25˘)=110˘

45˘+∠x+25˘+∠x=110˘

2∠x=40˘ ∴∴ ∠x=20˘ 20˘

점 O는 △ABC의 외심이므로

∠AOC=2∠B=2_45˘=90˘

A

B C

O 45˘

45˘+x 25˘+x

x 25˘x

120˘

360˘

삼각 형의 성 질

I

OA”=OC”이므로 ∠OCA=45˘

∠OCB=∠OCA-∠BCA=45˘-25˘=20˘

11

내심과 외심이 같은 선분 위에 있으므로 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이다.

∴∴ ∠ACB=;2!;_(180˘-80˘)=50˘ ^{… 20`%}

그런데 점 I는 △ABC의 세 내각의 이등분선의 교점 이므로 ∠ACI=;2!;∠ACB=;2!;_50˘=25˘ ^{… 40`%}

점 O는 △ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점이므 로 ∠ODC=90˘

△CDE에서

∠DEC=90˘-∠ACI=90˘-25˘=65˘ … 40`%

65˘

12

이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분 하므로 내심과 외심은 꼭지각의 이등분선 위에 있다.

∠BOC=2∠A=2_40˘=80˘이므로

∠OBC=;2!;_(180˘-80˘)=50˘

또, ∠ABC=;2!;_(180˘-40˘)=70˘이므로

∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_70˘=35˘

∴∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=50˘-35˘=15˘

15˘

∠OBA=∠OAB=20˘

∠ABI=;2!;∠ABH

∠ABI=;2!;_{(180˘-40˘)÷2}=35˘

∴∴ ∠OBI=∠ABI-∠ABO

=35˘-20˘=15˘

13

^{(삼각형의 넓이)=;2!;_}(내접원의 반지름의 길이) (삼각형의 넓이)=_(삼각형의 세 변의 길이의 합)

삼각형의 세 변의 길이를 각각 a, b, c라 하면 P=a+b+c

K=;2!;(ar+br+cr)

K=;2!;(a+b+c)r=;2!;_P_r

A B

C

I a b

c r r

r 20˘

A

B 20˘

H O I 채점 기준

∠ACB의 크기 구하기

∠ACI의 크기 구하기

∠DEC의 크기 구하기

배점 20`%

40`%

40`%

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∴∴ ;kP;=;r@; ;r@;

14

직각삼각형에서 (내접원의 반지름의 길이)

=;2!;_(직각을 낀 두 변의 길이의 합-빗변의 길이)

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 r=;2!;_(12+9-15) ∴∴ r=3

따라서 내접원의 넓이는 p_3²=9p(cm²)이다.

9p`cm²

15

삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

점 O는 △ABC의 외심이므로

∠OBA=∠OAB=70˘

∠BAC=90˘에서 ∠OAC=90˘-70˘=20˘이다.

점 O'은 △AOC의 외심이므로

∠O'OA=∠O'AO=50˘+20˘=70˘ 70˘

16

평행선의 성질과 내심의 성질을 이용한다.

점 I가 내심이므로

∠IBD=∠IBC,

∠ICE=∠ICB DE”//BC”이므로

∠BID=∠IBC,

∠CIE=∠ICB

따라서 △BID, △CIE는 이등변삼각형이다.

ID”=BD”=3`cm, IE”=CE”=2`cm

∴

∴ DE”=3+2=5(cm) ②

17

^{(삼각형의 넓이)=;2!;_}(내접원의 반지름의 길이)_(삼각 형의 세 변의 길이의 합)

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 60=;2!;r_(15+17+8), 60=20r ∴∴ r=3

∴∴ △IBC=;2!;_17_3=;;∞2¡;;(cm²) ;;∞2¡;;`cm²

18

^∠DIE의 크기를 구하여 사각형의 내각의 크기의 합을 이 용한다.

∠DIE=∠BIC=90˘+;2!;∠A

∠DIE=90˘+;2!;_70˘=125˘

ADIE에서 70˘+∠ADI+125˘+∠AEI=360˘

∠ADI+∠AEI=165˘

∴∴ ∠x+∠y=360˘-(∠ADI+∠AEI)

=360˘-165˘=195˘ 195˘

A

B C

D I E

6 cm

3 cm 2 cm

4 cm

19

⑴ AD”=x`cm라 하면 BE”=BD”=(6-x)cm CE”=CF”=(5-x)cm

BC”=BE”+CE”=6-x+5-x=7 2x=4 ∴∴ x=2

∴∴ AD”=2`cm … 50`%

⑵ 내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

△ABC=;2!;r(6+7+5)=14.4(cm²)

∴

∴ r=1.6

따라서 내접원 I의 반지름의 길이는 1.6`cm이다.

… 50`%

⑴ 2`cm ⑵ 1.6`cm

20

⑴ 점 I가 내심이므로

∠ABI=∠IBC,

∠BAI=∠IAC이다.

IA”=IB”(∵∵ 반지름의 길이) 이므로 ∠A=∠B

∴∴ AC”=BC”=8`cm … 50`%

⑵ △ABI와 △AEI에서 AI”는 공통 IA”=IB”=IE”이므로

∠ABI=∠BAI=∠EAI=∠AEI,

∠AIB=∠AIE이다.

∴∴ △ABI™△AEI(ASA`합동) AE”=AB”=5`cm

∴

∴ EC”=8-5=3(cm) … 50`%

⑴ 8`cm ⑵ 3`cm

21

내접원의 반지름의 길이를 먼저 구한다.

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

;2!;_16_12=;2!;_r_(16+12+20) ∴∴ r=4 이때 ∠AIC=90˘+;2!;∠B=90˘+45˘=135˘

(색칠한 부분의 넓이)=p_4²_

(색칠한 부분의 넓이)=16p_;8!;=2p(cm²)

2p`cm²

22

^∠A의 크기를 구하여 내심과 외심의 성질을 이용한다.

45˘

360˘

A

B D C

I E

채점 기준

⑴ 구하기

⑵ 구하기

배점 50`%

50`%

채점 기준

⑴ 구하기

⑵ 구하기

배점 50`%

50`%

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본문 39~41쪽

∠A=180˘-(50˘+70˘) `

∠A=60˘이므로

∠IAB=30˘이고

∠BOC=2∠A=120˘이다.

점 O는 △ABC의 외심이므로

∠OBC=∠OCB=;2!;_(180˘-120˘)=30˘

∠OAB=∠OBA=50˘-30˘=20˘

∴∴ ∠OAI=∠IAB-∠OAB=30˘-20˘=10˘

10˘

23

^삼각형ABC의 내접원의 반지름의 길이를r`cm라고 하 면 △ABC=;2!;r(AB”+BC”+CA”)

점 O'이 AB”, BC”, AC”와 만 나는 접점을 각각 D, E, F 라 하고 AF”=a`cm, BE”=b`cm라 하면 AF”=AD”=a`cm, BE”=BD”=b`cm

∴

∴ AB”=a+b=20(cm)

∴∴ △ABC=;2!;_4_(a+4+b+4+a+b)

∴∴ △ABC=2(2a+2b+8)=2_48=96(cm²) 96`cm²

24

평행선의 성질과 내심의 성질을 이용한다.

DI”//AC”이므로 ∠CAI=∠DIA(엇각) 점 I는 내심이므로 ∠DIA=∠DAI

∴

∴ DI”=DA”

마찬가지 방법으로 EB”=EI”

∴∴ (△DEI의 둘레의 길이)=DE”+EI”+DI”

=DE”+EB”+DA”

=AB”=9(cm)

9`cm

25

^△ABC가 직각이등변삼각형이므로 점I는BO” 위에 있 다.

△ABC가 직각이등변삼각형 이므로 점 B, I, O는 일직선 위에 있다.

∴∴ ∠IOA=90˘

점 O가 △ACD의 외심이므 로 OA”=OD”=OC”이다.

즉 △AOD는 정삼각형이고

A

B

C

D I

I' O

45˘

30˘

30˘

15˘

A

B C

O b cm O'

b cm

a cm a cm

4 cm 4 cm

F 4 cm D

E A

B C

O I 120˘

30˘

20˘

30˘

삼각 형의 성 질

I

∠ADO=60˘, ∠ODC=30˘이다.

점 I'이 △ACD의 내심이므로

∠I'DA=;2!;_90˘=45˘

△AOI'과 △ADI'에서 AI'”은 공통, AO”=AD”,

∠OAI'=∠DAI'이므로

△AOI'™△ADI'(SAS`합동)

∴∴ ∠AOI'=∠ADI'=45˘

∴∴ ∠IOI'=∠IOA+∠AOI'=90˘+45˘=135˘

135˘

26

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다.

점 O에서 AC”와 BC”의 연장선에 내린 수선의 발을 각 각 P, Q라 하고

원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 PCQO는 정 사각형이므로

8+r=10+(6-r)

∴

∴ r=4

따라서 원 O의 반지름의 길이는 4`cm이다.

4`cm

27

직각삼각형에서 높이를 먼저 구한다.

△ABC에서 BC”가 밑변일 때, 높이를 x`cm라 하면

△ABC=;2!;_3_4=;2!;_5_x

∴∴ x=;;¡5™;;

원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

△ABC=△AOB+△AO'C+△AOO'+ OBCO'

△ABC=;2!;_3_r+;2!;_4_r

△ABC=+;2!;_2r_{;;¡5™;; -r}+;2!;_(2r+5)_r

△ABC=6

∴∴ r=;7%;

따라서 원의 반지름의 길이는 ;7%;`cm이다.

;7%;`cm

8 cm 10 cm

A

B C Q

r cm r cm

P O

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1

^72˘

2

^24`cm2

3

^45˘

4

^55˘

5

^12˘

6

^11：7

p. 42~43

A

3^Step

1

△EFB는 직각삼각형이고 FH”=EH”이므로 점 H는

△EFB의 외심이다.

∴

∴ FH”=EH”=HB”

∠HFB=∠a라 하면 ∠DHB=2∠a BD”=BH”이므로 ∠BDH=∠BHD=2∠a

△DFC에서 ∠a+2∠a+36˘+90˘=180˘

3∠a=54˘ ∴∴ ∠a=18˘

∴∴ ∠BEF=90˘-18˘=72˘ 72˘

2

원 O와 AC”가 만나는 접점을 F라 하면 AE”=AF”, CD”=CF”이므로

(△ABC의 둘레의 길이)=BD”+BE”

=2BE”=24(cm)

∴∴ △ABC=;2!;_2_(△ABC의 둘레의 길이)

∴∴ △ABC=;2!;_2_24=24(cm²) 24`cm²

3

△ABC의 내심을 I라 하면

∠ADI=90˘, ∠AFI=90˘이므로 ∠DIF=90˘이다.

△DEF에서 점 I는 외심이므로

∠DEF=;2!;∠DIF=;2!;_90˘=45˘ 45˘

4

점 I가 이등변삼각형 ABD의 내심이므로 AQ”는 꼭지 각의 이등분선이다.

A

B C

D

E F I I A

B C

O E

D F

A

36˘

B C

D E

H

F a

2a a

2a

즉, AQ”⊥BD”이므로 ∠AQD=90˘

∴∴ ∠DQP=90˘

AD”//BC”이므로 ∠DBC=40˘

△BCD는 이등변삼각형이므로

∠BDC=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

점 I'은 △BCD의 내심이므로

∠I'DQ=;2!;∠BDC=;2!;_70˘=35˘

따라서 △QPD에서

∠APD=180˘-(∠DQP+∠QDP)

=180˘-(90˘+35˘)=55˘ 55˘

5

∠OMN=∠x라 하면 `

∠B=4∠x, ∠C=6∠x이므로

∠A=180˘-(4∠x+6∠x)

=180˘-10∠x

또, ∠NOC=;2!;∠BOC=∠A 이고 ∠MOC=2∠B=8∠x

∠MON=8∠x+(180˘-10∠x)=180˘-2∠x

∠ONM=180˘-(∠MON+∠OMN)

=180˘-(180˘-2∠x+∠x)

=∠x=∠OMN

따라서 △OMN은 이등변삼각형이고, ∠OMN=12˘

이다. 12˘

6

BD”=x`cm, DC”=y`cm라 하면

x+y=7 ……㉠

점 I는 △ABC의 내심이므 로 내접원의 반지름의 길이 를 2r`cm라 하면

△ABI=5r`cm<sup>2</sup>, △AIC=6r`cm²,

△IBD=xr`cm<sup>2</sup>, △IDC=yr`cm² 밑변 AI를 공유하는 △ABI와 △ACI에서

△ABI：△ACI=5：6=x：y ……㉡

㉠, ㉡에서 x=7_ =;1#1%;

즉, △IBD=;1#1%;r`cm²이므로 △ABI와 △IBD에서 5r：;1#1%;r=AI”：ID”

∴∴ AI”：ID”=11：7 11：7 5

5+6

A

B C

D 5 cm 6 cm

7 cm I x cm y cm

A

x

B C

N O

M

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