III1⑴ABCD와 EFGH는 닮음인 관계에 있으므로

본문 84~93쪽

도형의 닮음

1

도형의 닮음 1. 도형의 닮음

Ⅲ ⁵

⑴ DC”=y라 하면

AD”²=DB”_DC”에서 4²=3_y, y=;;¡3§;;이므로 BC”=;;™3∞;;

AB”²=BD”_BC”에서 x²=3_;;™3∞;;=25

∴

∴ x=5(∵∵ x>0)

⑵ BD”=y라 하면

AC”²=CD”_CB”에서 15²=9_(9+y), y=16이 므로 BD”=16

AD”²=DB”_DC”에서 x²=16_9=144

∴

∴ x=12(∵∵ x>0)

⑶ BD”=y라 하면

AB”²=BD”_B’C’에서 4²=y_5, y=;;¡5§;;이므로 CD”=;5(;

AC”²=CD”_CB”에서 x²=;5(;_5=9

∴

∴ x=3(∵∵ x>0)

⑴ 5 ⑵ 12 ⑶ 3

01^{EH”, ∠B `</sup>02<sup>면JKL, 면GJLI `}03^{ㄷ, ㅂ} 04^④ 05^③ 06<sup>34.2`cm</sup> 07<sup>④</sup> 08<sup>15</sup> 09<sup>12</sup> 10△ABCª△MNO(또는 △ONM)(SSS`닮 음), △DEFª△JLK(AA`닮음), △GHIª△PRQ (SAS`닮음) 11^④ 12^{△ABCª△AED, SAS`닮</sup> 음 13<sup>12</sup> 14<sup>9`cm} 15^{10`cm</sup> 16<sup>4`cm} 17;;¡3º;;^{`</sup>cm 18;5(;<sup>`}cm 19^{14`cm</sup> 20<sup>4`cm} 21^④ 22¹ 23<sup>80`cm2</sup> 24<sup>⑴6 ⑵12</sup> 25<sup>6</sup> 26;;∞7º;;`cm 27;;¡2∞;;`cm 28;;™2∞;;`cm 29²⁰`cm

p. 93 ~97

1^단계

C

^Step

0 1

AD”의 대응변은 EH”이고 ∠F의 대응각은 ∠B이다.

EH”, ∠B

0 2

BE”에 대응하는 모서리가 HK”이므로 면 DEF에 대응 하는 면은 면 JKL이고, 면 ADFC에 대응하는 면은 면 GJLI이다.

면 JKL, 면 GJLI

도 형의 닮음

III

03

평면도형에서 항상 닮음인 도형은 모든 원, 중심각의 크기가 같은 부채꼴, 모든 직각이등변삼각형, 모든 정 다각형이고, 입체도형에서 항상 닮음인 도형은 모든 구, 모든 정다면체이다.

따라서 항상 닮음인 도형은 ㄷ, ㅂ이다. ㄷ, ㅂ

04

① AB”：EF”=6：9=2：3

② ∠C의 대응각은 ∠G이므로 ∠C=∠G=90˘이다.

③ ∠H의 대응각은 ∠D이므로 ∠H=∠D=80˘이다.

④ ∠B=∠F=80˘이므로

∠A=360˘-80˘-90˘-80˘=110˘

⑤ 8：FG”=2：3, FG”=12(cm)

④

05

AB”：DE”=2a：6=a：3 BC”：EF”=a：b

AC”：DF”=4：2b=2：b a：3=a：b=2：b

a=2, b=3이므로 닮음비는 2：3이다. ③

06

닮음비가 BC”：FG”=4：12=1：3이므로 AB”：EF”=1：3에서 2：EF”=1：3

∴

∴ EF”=6(cm)

AD”：EH”=1：3에서 3：EH”=1：3

∴

∴ EH”=9(cm)

∴∴ ( EFGH의 둘레의 길이)=6+12+9+7.2

=34.2(cm)

34.2`cm

07

④ BE”：B'E'”=8：10=4：5이므로

EF”：E'F'”=4：5에서 E'F'”=5(cm) ④

08

닮음비는 FG”：F'G'”=3：7이므로 x：14=3：7, 7x=42, x=6 9：y=3：7, 3y=63, y=21

∴

∴ y-x=15 15

09

두 원뿔의 닮음비가 6：9=2：3이므로

8：h=2：3, 2h=24 ∴∴ h=12 12

10

△ABC와 △MNO에서

AB”：MN”=BC”：NO”=2：4=1：2, CA”：OM”=3：6=1：2

∴∴ △ABCª△MNO(또는 △ONM)(SSS`닮음)

△DEF와 △JLK에서

∠D=∠J=40˘, ∠E=∠L=120˘

∴∴ △DEFª△JLK(AA`닮음)

△GHI와 △PRQ에서

GH”：PR”=6：9=2：3, HI”：RQ”=4：6=2：3,

∠H=∠R=100˘

∴∴ △GHIª△PRQ(SAS`닮음)

△ABCª△MNO(또는 △ONM)(SSS`닮음),

△DEFª△JLK(AA`닮음),

△GHIª△PRQ (SAS`닮음)

11

조건을 추가하였을 때 SSS`닮음, SAS`닮음, AA`닮음 을 만족하는지 알아본다.

④ AB”=11`cm, DF”=5`cm를 추가하면 AB”：DE”=11：5.5=2：1

BC”：EF”=12：6=2：1 AC”：DF”=10：5=2：1

세 변의 길이의 비가 모두 같으므로 SSS`닮음이다.

④

12

공통인 각을 중심으로 작은 삼각형을 뒤집어 본다.

△ABC와 △AED에서

∠A는 공통, AB”：AE”=15：5=3：1 AC”：AD”=12：4=3：1

∴∴ △ABCª△AED(SAS`닮음)

△ABCª△AED, SAS`닮음

13

△ABC와 △EBD에서

∠B는 공통, AB”：EB”=12：6=2：1, BC”：BD”=8：4=2：1

두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 끼인 각의 크기가 같으므로 SAS`닮음이다.

△ABCª△EBD(SAS`닮음)

x：6=2：1 ∴∴ x=12 12

14

△ABC와 △DEC에서 AC”：DC”=18：24=3：4 BC”：EC”=24：32=3：4

12 cm 5 cm 4 cm 15 cm

A

B C

A

E D

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본문 93~97쪽

∠ACB=∠DCE(맞꼭지각)이므로

△ABCª△DEC(SAS 닮음)이다.

AB”：DE”=3：4이므로 AB”：12=3：4

4AB”=36 ∴∴ AB”=9(cm) 9`cm

15

△ABC와 △ADB에서 AC”：AB”=18：12=3：2 AB”：AD”=12：8=3：2

∠A는 공통이므로 △ABCª△ADB(SAS`닮음)이 다.

15：BD”=3：2 ∴∴ BD”=10(cm) 10`cm

16

공통인 각을 중심으로 작은 삼각형을 뒤집어 본다.

△ABC와 △EBD에서

∠B는 공통, ∠BAC=∠BED

∴∴ △ABCª△EBD(AA`닮음)

△ABC와 △EBD의 닮음비는 6：3=2：1이므로 8：BD”=2：1 ∴∴ BD”=4(cm) 4`cm

17

△OAB와 △ODC에서

∠A=∠D(엇각),

∠AOB=∠DOC(맞꼭지각) 이므로

△OABª△ODC

(AA`닮음)이다. … 40`%

AO”：DO”=AB”：DC”

5：DO”=6：4 ∴∴ DO”=;;¡3º;;(cm) ^{… 60`%}

;;¡3º;;`cm

18

△ABC와 △DBA에서 ∠B는 공통이고

∠ACB=∠DAB이므로

△ABCª△DBA(AA`닮음)이다.

AB”：DB”=BC”：BA”에서

3：DB”=5：3 ∴∴ DB”=;5(;(cm) ;5(;`cm

4 cm 5 cm

6 cm A

B

C

D O 6 cm

8 cm A

B C

3 cm E

B D

채점 기준 닮음인 두 삼각형 구하기

DO”의 길이 구하기

배점 40`%

60`%

19

△ABC와 △DEC에서 ∠C는 공통이고,

∠A=∠CDE=90˘이므로

△ABCª△DEC(AA`닮음)이다.

AC”：DC”=BC”：EC”

(11+13)：12=BC”：13 ∴∴ BC”=26(cm)

∴

∴ BD”=26-12=14(cm) 14`cm

20

△ABC와 △CDE에서 ∠ABC=∠CDE=90˘이고

∠BAC+∠BCA=∠BCA+∠DCE이므로

∠BAC=∠DCE이다.

△ABCª△CDE(AA`닮음)이므로 BC”：DE”=AB”：CD”

6：12=AB”：8 ∴∴ AB”=4(cm) 4`cm

21

△ADC와 △AFB에서 ∠ADC=∠AFB=90˘,

∠A는 공통이므로 △ADCª△AFB(AA`닮음)

△ADC와 △EFC에서 ∠ADC=∠EFC=90˘,

∠ACD는 공통이므로 △ADCª△EFC(AA`닮음)

△AFB와 △EDB에서 ∠AFB=∠EDB=90˘,

∠ABF는 공통이므로 △AFBª△EDB(AA`닮음)

∴∴ △ADCª△AFBª△EFCª△EDB ④

22

^AH”2=BH”_HC”이므로 12²=x_9, 144=9x, x=16 AC”²=CH”_BC”이므로 y²=9_(16+9)=225=15²

∴

∴ y=15(∵∵ y>0)

∴

∴ x-y=16-15=1 1

23

^{AH”2=BH”_HC”}

8²=16HC”, 64=16HC”, HC”=4(cm)

∴∴ △ABC=;2!;_(16+4)_8=80(cm²)

80`cm²

24

^{⑴ AB”2=BH”_BC”}

4²=2_(2+x), 16=4+2x 2x=12 ∴∴ x=6

⑵ CA”²=AH”_AB”, 6²=3_x

∴

∴ x=12

⑴ 6 ⑵ 12

25

△AFE와 △CFB에서

∠AFE=∠CFB(맞꼭지각),

∠EAF=∠BCF(엇각)

도 형의 닮음

III

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∴∴ △AFEª△CFB(AA`닮음) AF”：CF”=AE”：CB”이므로

3：5=AE”：10, 5AE”=30 ∴∴ AE”=6 6

26

△FBE와 △FAD에서 ∠F는 공통

∠FBE=∠FAD(동위각)

∴∴ △FBEª△FAD(AA`닮음) … 40`%

FB”：FA”=BE”：AD”이므로 2：7=BE”：10 7BE”=20 ∴∴ BE”=;;™7º;;(cm) ^{… 40`%}

∴∴ EC”=10-;;™7º;;=;;∞7º;;(cm) ^{… 20`%}

;;∞7º;;`cm

27

△ABC와 △EOA에서 ∠ACB=∠EAO(엇각)

∠B=∠EOA=90˘

∴∴ △ABCª△EOA(AA`닮음) BC”：OA”=AB”：EO”이므로

8：5=6：EO”, 8EO”=30 ∴∴ EO”=;;¡4∞;;(cm) 또, △AOE와 △COF에서

∠EAO=∠FCO(엇각), AO”=CO”

∠EOA=∠FOC=90˘이므로

△AOE™△COF(ASA`합동)

EO”=FO”이므로 EF”=2EO”=;;¡2∞;;(cm) ;;¡2∞;;`cm

28

∠FBG=∠DBC=∠BDA에서

△FBD는 이등변삼각형이므로 BG”=DG”=;2!;_20=10(cm)

△FBG와 △DBC에서

∠FGB=∠DCB=90˘, ∠FBG=∠DBC

∴∴ △FBGª△DBC(AA`닮음)

BF”：BD”=BG”：BC”, BF”：20=10：16

∴∴ BF”=;;™2∞;;(cm) ;;™2∞;;`cm

29

△ABC'과 △DC'E에서 `

∠C'AB=∠EDC'=90˘

이고,

∠ABC'+∠AC'B=90˘,

∠DC'E+∠AC'B=90˘

이므로 ∠ABC'=∠DC'E

∴∴ △ABC'ª△DC'E(AA`닮음)

BC'”：C'E”=AB”：DC'”=16：8=2：1에서 C'E”=CE”=16-6=10(cm)이므로

BC'”：10=2：1 ∴∴ BC'”=20(cm) 20`cm

6 cm 8 cm

10 cm 10 cm 16 cm

A

B C

D E C' 채점 기준

닮음인 두 삼각형 구하기 BE”의 길이 구하기 EC”의 길이 구하기

배점 40`%

40`%

20`%

0 1

항상 닮음인 도형은 크기와 관계없이 모양이 같은 도형이 다.

④ 두 원뿔은 밑면의 반지름의 길이의 비와 높이의 비

가 같아야 닮음이다. ④

0 2

^A3용지의 짧은 변과 긴 변의 길이를 각각a, b로 놓는 다.

따라서 A3와 A7용지의 짧은 변의 길이의 비와 긴 변 의 길이의 비는 모두 a：;4!;a=4：1이므로 닮음비는

4：1이다. 4：1

0 3

^{BC”：B'C'”=6：10=3：5이므로 닮음비는3：5이다.}

③ AB”：A'B'”=4：A'B'”=3：5

3A'B'”=20 ∴∴ A'B'”=;;™3º;;(cm) ③

0 4

닮은 삼각형을 찾을 때에는 각의 크기와 변의 길이의 비를 비교해서 찾는다.

⑴ 두 내각의 크기가 각각 45˘, 55˘이므로 나머지 한 각의 크기는 80˘이다.

A3 짧은 변의 길이 a

긴 변의 길이 b

A4

;2!;b a

A5

;2!;a

;2!;b A6

;4!;b

;2!;a A7

;4!;a

;4!;b

01

^④

02

^4：1

03

^③

04

^{⑴ ㅁ, AA`닮음 ⑵ ㅂ, SAS`닮음 ⑶ ㄹ, SSS`닮음}

05

^⑴;;¡3º;; ^⑵12

06

^48˘

07

;;¡3º;;^`cm

08

^7`cm

09

;;¡2£;;^`cm

10

^12`cm

11

;2(;^`cm

12

;3&;^`cm

13

^16`cm3

14

;;™2¡;;^`cm

15

;;•9¢6∞;;^`cm²

16

AD”=;2(;^{`</sup>cm, BC”=;;¡3¢;;<sup>`}cm

17

;;¢3º;;^`cm

18

;5*;^`cm

19

;5^;^`cm

20

^4`cm

21

^3：5

22

^8`cm

p. 98~101

2^단계

B

^Step

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도 형의 닮음

III

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