II04①의 방향으로 변하기 위해서는 한 내각의 크기가 90˘

이거나 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분해야 한다.

①

0 5

③ 한 내각의 크기가 90˘인 평행사변형이 직사각형이

다. ③

0 6

①

0 7

두 대각선의 길이가 같은 사각형은 등변사다리꼴, 직

사각형, 정사각형의 3개이다. ③

0 8

두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형은

마름모, 정사각형이다. ③, ④

0 9

③ 마름모 - 직사각형 ③

10

직사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 마름모이다.

따라서 EFGH는 마름모이므로 둘레의 길이는

20_4=80(cm)이다. 80`cm

11

마름모의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 직 사각형이므로 EFGH는 직사각형이다.

∴

∴ EFGH=3_4=12(cm²) 12`cm²

12

△ABE=△ABC+△ACE=△ABC+△ACD

=8+6=14(cm²) 14`cm²

13

△DAC= ABCD-△ABC

=44-20=24(cm²) AC”//DE”이므로

△ACE=△DAC=24`cm² 24`cm²

14

△CAB=△OAB이므로 색칠한 부분의 넓이는 부채 꼴 AOB의 넓이와 같다.

∴∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_10²_;4!;=25p(cm²) 25p`cm²

15

△ABM=;2!;△ABC=;2!;_30=15(cm²)

사각형 사다리꼴

평행사변형

직사각형 마름모 정사 각형

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∴∴ △PBM=;5@;_△ABM=;5@;_15=6(cm²) 6`cm²

16

BD”：DC”=2：1이므로 △ABD：△ADC=2：1

∴∴ △ABD=12_ =8(cm²)

AE”：EB”=1：1이므로 △AED：△BDE=1：1

∴∴ △BDE=8_ =4(cm²) 4`cm²

17

△ABF=35-21=14(cm²)

AB”//EF”이므로 △ABE=△ABF=14(cm²)이다.

BD”：DE”=5：3이므로

△ADE=14_ =;;™4¡;;(cm²) ;;™4¡;;`cm²

18

AC”//EF”이므로 △AFC=△AEC AB”//DC”이므로 △AED=△AEC AD”//BC”이므로 △DFC=△AFC

△AFC=△AEC=△AED=△DFC이므로 그 넓 이가 나머지 넷과 다른 하나는 ③ △DEC이다. ③

19

△BEF：△FEC=BE”：EC”=4：1이므로 8：△FEC=4：1 ∴∴ △FEC=2(cm²)

△FBC=△ABF+△FCD=8+2=10(cm²)

△ABF：△FCD=AF”：FD”=2：3이므로

△FCD=10_ =6(cm²) 6`cm²

20

△ABE=△ACE=△ACF=24`cm² … 50`%

△ACD=;2!;_ ABCD=32(cm²)

∴∴ △AFD=△ACD-△ACF

=32-24=8(cm²) … 50`%

8`cm²

21

AE”=EF”=FC”이므로

△EBF=;3!;△ABC=;3!;_;2!; ABCD

△EBF=;6!; ABCD

△DEF=;3!;△ACD=;3!;_;2!; ABCD

△DEF=;6!; ABCD 3 2+3

3 5+3

1 1+1

2 2+1

DEBF=△EBF+△DEF=;3!; ABCD DEBF=;3!;_10_15=50(cm²) 50`cm²

22

△ABD=△ACD에서 △ABO=△DOC이므로

△ABO=△DOC=;7$;△ACD

△ABO=;7$;_35=20(cm²) 20`cm²

23

△DOC=△ABO=9`cm²

△ABO：△BCO=1：2이므로 △BCO=18(cm²)

∴∴ △DBC=△DOC+△BCO=9+18=27(cm²) 27`cm²

24

AD”：BC”=3：4이고 BM”=MC”이므로 AD”：BM”：MC”=3：2：2이다.

AD”//BC”이므로

△ABM：△AMD：△DMC=2：3：2

∴∴ △ABM=35_;7@;=10(cm²) 10`cm²

채점 기준

△ABE와 넓이가 같은 삼각형 찾기

△AFD의 넓이 구하기

배점 50`%

50`%

0 1

각 사각형의 성질을 맞게 설명한 것을 찾는다.

① 등변사다리꼴 ② 마름모

④ 평행사변형 ⑤ 마름모 ③

0 2

^AD”//BC”^{인 등변사다리꼴}^ABCD^{를 그려 본다.}

①, ⑤ 등변사다리꼴의 성질

② 등변사다리꼴의 정의

③ △ABD™△DCA(SSS`합 동)에서

∠ODA=∠OAD이므로 AO”=DO” ④

0 3

조건에 맞게 한 쌍의 대변이 평행한 사각형을 그려 본다.

B C

D O

01

^③

02

^④

03

^∠^A=^∠^D=120˘^{, ∠}^B=^∠^C=60˘

04

^50˘

05

^{등변사다리꼴}

06

^{마름모, 직사각형}

07

^67˘

08

¹²^`^cm²

09

;2#;^`cm

10

⁵^`^cm

11

⁶^`^cm²

12

^45˘

13

^90˘

14

¹^：¹

15

^{②, ④}

16

²⁴^`^cm²

17

^122˘

18

³^`^cm²

19

³^`^cm²

20

²^：¹

21

^1.56^{초 후}

22

^{풀이 참조}

p. 80~83

2^단계

B

^Step

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본문 78~82쪽

BC”의 중점을 E라 하면 △DEC는 정삼각형이다.

∴∴ ∠A=∠D=120˘, ∠B=∠C=60˘

∠A=∠D=120˘, ∠B=∠C=60˘

04

^ABCD^{가 마름모이므로}AB”=BC”=CD”=DA”

ABCD는 마름모이고 `

△ABP는 정삼각형이므로 AB”=BC”=CD”=DA”

=AP”=BP”

∠ABP=60˘이고,

∠BAD=180˘-80˘=100˘

△APD에서 ∠PAD=100˘-60˘=40˘이므로

∠x=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

△BCP에서 ∠CBP=80˘-60˘=20˘에서

∠BCP=;2!;_(180˘-20˘)=80˘

∠C=∠A=100˘이므로 ∠y=100˘-80˘=20˘

∴∴ ∠x-∠y=70˘-20˘=50˘ 50˘

05

^△^ABD^{와 △}^EDB^{의 관계를 찾는다.}

△ABD와 △EDB에서

AB”=ED”, AD”=EB”, BD”는 공통이므로

△ABD™△EDB(SSS`합동)이다.

∴∴ ∠ABD=∠EDB ……㉠

∠EBD=∠DBC=∠ADB에서 FB”=FD”이므로 AF”=EF”이고 ∠EAF=∠AEF이다.

∠AFE=∠BFD이므로 ∠EAF=∠FDB

∴∴ AE”//BD” ……㉡

㉠, ㉡에서 ABDE는 등변사다리꼴이다.

등변사다리꼴

06

먼저 두 조건을 만족하는 사각형을 찾는다.

AD”//BC”이고 AB”//DC”이면 ABCD는 평행사변 형이고, AC”⊥BD”이므로 ABCD는 마름모이다.

또, 마름모의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은

직사각형이다. 마름모, 직사각형

07

△EAB와 △ECB에서 AB”=CB”, BE”는 공통,

∠ABE=∠CBE=45˘이므로

△EAB™△ECB(SAS 합동)이다. … 50`%

B D

C P 60˘

20˘

60˘

x y 60˘

40˘

B C

E 120˘

60˘ 120˘

60˘60˘

60˘

사각 형의 성질

II

∠ECB=∠EAB=90˘-22˘=68˘ … 30`%

∴∴ ∠BEC=180˘-(45˘+68˘)=67˘ … 20`%

67˘

0 8

^AC”//DE”^{이므로 △}^DAC=^△^EAC^이다.

ABCD=△ABE이므로

ABCD=;2!;_(6+2)_3=12(cm²) 12`cm²

0 9

높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.

DE”가 ABCD의 넓이를 이등분하므로 ABED：△DEC=1：1

(BE”+AD”)：EC”=1：1(∵∵ AD”//BC”) BE”=x`cm라 하면 EC”=(6-x)cm이므로 (3+x)：(6-x)=1：1, 2x=3 ∴∴ x=;2#;

따라서 BE”=;2#;`cm이다. ;2#;`cm

10

두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형은 마 름모이다.

△AOM과 △CON에서

OA”=OC”, ∠AOM=∠CON, ∠OAM=∠OCN 이므로 △AOM™△CON(ASA`합동)이다.

∴

∴ O’M”=O’N”

ANCM에서 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등 분하므로 ANCM은 마름모이다.

∴

∴ AN”=AM”=8-3=5(cm) 5`cm

11

^정^정사^사각^각형^형의^{의 성}^성질^질을^{을 이}^이용^용하^하여^{여 합}^합동^동인^{인 삼}^삼각^각형^형을^{을 찾}^찾는^는다^다..

△PMC와 △PND에서 PC”=PD”,

∠CPM=90˘-∠NPC=∠DPN,

∠MCP=∠NDP=45˘이므로

△PMC™△PND(ASA`합동)이다.

∴

∴ PMCN=△PCD=;4!; ABCD

∴∴ (색칠한 부분의 넓이)

=;4#; ABCD=;4#;_{;2!;_4_4}=6(cm²) 6`cm²

12

^AB”=3a^,^BC”=5a^{라 놓고}^BE”^,^EC”^,^DF”^,^FC”^{의 길}

이를 구한다.

채점 기준

△EAB와 △ECB의 관계 구하기

∠ECB의 크기 구하기

∠BEC의 크기 구하기

배점 50`%

30`%

20`%

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AB”=3a, BC”=5a라 하면 BE”：EC”=2：3이므로 BE”=2a, EC”=3a CD”=AB”=3a이고

DF”：FC”=1：2이므로 DF”=a, FC”=2a이다.

두 점 E와 F를 이으면 △ABE와 △ECF에서 AB”=EC”, BE”=CF”, ∠ABE=∠ECF

∴∴ △ABE™△ECF(SAS`합동)

∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90˘

∴∴ ∠AEF=90˘

EA”=EF”이므로

∠EAF=;2!;_(180˘-90˘)=45˘ 45˘

13

^ABHG가 어떤 사각형인지 구한다.

△ABG와 △DFG에서

AB”=DF”, ∠ABG=∠DFG, ∠BAG=∠FDG

∴∴ △ABG™△DFG(ASA`합동) AG”=GD”=AB”(∵∵ AD”=2AB”) ……㉠

△ABH와 △ECH에서

AB”=EC”, ∠ABH=∠ECH, ∠BAH=∠CEH

∴∴ △ABH™△ECH(ASA`합동) BH”=HC”=AB”(∵∵ BC”=2AB”) ……㉡

㉠, ㉡에서 ABHG는 마름모이므로 ∠EPF=90˘

이다. 90˘

14

밑변의 길이와 높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 서로 같다.

AD”//BC”에서 AD”//CE”이 고 AD”=CE”이므로

ACED는 평행사변형이 다.

∴∴ △ACD=△ACE

점 M은 BE”의 중점이므로 △ABM=△AME AMCD=△AMC+△ACD

=△AMC+△ACE=△AME

∴∴ △ABM： AMCD=△ABM：△AME

=1：1 1：1

15

밑면의 길이와 높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 서로 같다.

AD”//NC”이므로 `

△AND=△ABD이다.

△ANM+△AMD

=△DMB+△AMD

∴∴ △ANM=△DMB

N C

E B M A

B M C E

D A

B C

E 3a F

또, AD”//BE”, AD”=BE”이므로 AB”//DE”이다.

∴∴ △DMB=△EMB ②, ④

16

ÂM”//NC”^,ÂM”=NC”^이므로 ÂMCN^{은 평행사변형}

이다.

위의 그림과 같이 AC”와 BD”의 교점을 O라 하면 AM”//NC”이고 AM”=NC”이므로 AMCN은 평행 사변형이므로 △AOF™△COE(ASA`합동)이다.

FECN= FOCN+△COE

= FOCN+△AOF=△ACN이고, CN”=ND”이므로

△ACN=;2!;△ACD=;2!;_{;2!;_8_12}

△ACN=24(cm²) 24`cm²

점 O는 AMCN의 두 대각선의 교점이므로 FECN=;2!; AMCN=;2!;_;2!; ABCD FECN=;4!; ABCD

FECN=;4!;_12_8=24(cm²)

17

접기 전의 모습을 그려 본다.

마름모에서 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로

∠AFE=∠AGE=∠CDB=32˘이다.

△DBC에서

∠DBC=180˘-(∠BCD+∠CDB)

=180˘-(119˘+32˘)=29˘

∠GBC=∠DBC=29˘(∵∵ 접은 각)

∴∴ ∠ABD=180˘-∠GBD

=180˘-(29˘+29˘)=122˘ 122˘

18

^△^AON^{의 넓이를}^m^`^cm²^{, △}^CMN^{의 넓이를}ⁿ^`^cm²^라

한다.

△AON=m`cm², △CMN=n`cm²라 하면 AO”=CO”이므로 △CON=△AON=m(cm²)

B A

D E

32˘ F G 119˘

B C

M N

E F O

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본문 82~84쪽

또, CM”：MD”=1：2이므로 △DMN=2n(cm²)

△ADN=△ADO-△AON=△CDO-△CON

=△CDN=3n(cm²)

△ACM：△AMD=1：2이므로

(2m+n)：5n=1：2, 3n=4m ∴∴ n=;3$;m

△ACD=2m+6n=2m+6_;3$;m=10m(cm²) 이고 △ACD=;2!; ABCD=30`cm²이므로 10m=30 ∴∴ m=3

따라서 △AON의 넓이는 3`cm²이다. 3`cm²

19

종이를 접은 것이기 때문에 △AED™△FED,

△CFG™△HFG이다.

△BEF와 △HGD에서

B’F’=AD”-C’F’=FD”-HF”=HD”

∠EBF=∠GHD=90˘

∠EFB+∠DFC=90˘, ∠FDC+∠DFC=90˘이 므로 ∠EFB=∠GDH이다.

따라서 △BEF™△HGD(ASA`합동)이므로

△HGD의 넓이는 3`cm²이다. 3`cm²

20

^AD”//BC”^{이므로 ∠}^DEC=^∠^ADE^이다.

AD”=3k라 하면 △CDE에서 CD”=CE”이므로 DC”=EC”=2k이고 BE”=3k-2k=k이다.

△ABE：△AED：△DEC=k：3k：2k=1：3：2

∴

∴ ABED：△DEC=(1+3)：2=2：1 2：1

21

^직사각형^NDAM^{이 되려면}^{ND”// MA”}^{, ∠}^NDA=90˘

이므로MN”//AD”이어야 한다.

MN”//AD”가 되려면 M이 움직인 거리와 N이 움직인 거리의 합이 27.4`m이면 된다.

N이 t초 동안 간다면 7t+8(t+0.5)=27.4 15t=23.4, t=1.56

따라서 MN”//AD”가 되는 것은 N이 뛰기 시작한 지

1.56초 후이다. 1.56초 후

22

밑변의 길이가 같고 높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 같고, 평행한 두 직선 사이의 거리는 일정함을 이용하 여 그린다.

C E

Q P

S R

②

③

①

① 두 점 P, Q를 지나는 선분을 그린다. … 30`%

② 점 E를 지나면서 PQ”에 평행한 직선을 그어 AD”, BC”와 만나는 점을 각각 R, S라 한다. … 30`%

③ 두 점 P, S를 선분으로 연결하면 △PEQ=△PSQ 이므로 PS”가 새 경계선이다. … 40`%

풀이 참조

채점 기준

① 그리기

② 그리기

③ 그리기

배점 30`%

30`%

40`%

사각 형의 성질

II

1

^{⑴ ∠}^C=90˘^{인 직각삼각형 ⑵}^AC”=BC”^{인 이등변삼각}

형 ⑶ ∠C=90˘이고AC”=BC”인 직각이등변삼각형

2

⁶^`^cm²

3

⁴⁰^`^cm²

4

^{⑴ 마름모 ⑵}^72˘

5

⁶⁰^`^cm²

6

^⑴³^：¹ ^⑵⁷^：¹²

p. 84~85

3^단계

A

^Step

1

⑴ 두 대각선이 직교해야 하므로 ∠AED=90˘이어야 한다.

그런데 DE”//BC”이므로 ∠AED=∠ACB=90˘

이다.

즉, △ABC는 ∠C=90˘인 직각삼각형이어야 한 다.

⑵ DF”=BC”이고, AC”=DF”이어야 하므로 AC”=BC”인 이등변삼각형이어야 한다.

⑶ 두 대각선이 직교하는 평행사변형은 마름모이고, 두 대각선의 길이가 같은 마름모는 정사각형이다.

즉, ⑴과 ⑵의 조건을 동시에 만족해야 하므로

△ABC는 ∠C=90˘이고 AC”=BC”인 직각이등변 삼각형이어야 한다.

⑴ ∠C=90˘인 직각삼각형

⑵ AC”=BC”인 이등변삼각형

⑶ ∠C=90˘이고 AC”=BC”인 직각이등변삼각형

2

BP”=a`cm, DQ”=b`cm라 하면

ABPS=12`cm², SPCD=24`cm²이므로 PC”=2a`cm

ATQD=18`cm², TBCQ=18`cm²이므로 QC”=b`cm

∴∴ △PCQ=;2!;_2a_b=ab(cm²)

ABCD=3a_2b=36(cm²)이므로 ab=6이다.

따라서 △PCQ=6`cm²이다. 6`cm²

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3

AM”의 연장선과 BC”의 연장선의 교점을 E라 하자.

△AMD와 △EMC에서

DM”=CM”, ∠AMD=∠EMC(∵∵ 맞꼭지각),

∠ADM=∠ECM(∵∵엇각)이므로

△AMD™△EMC(ASA`합동)이다.

∴

∴ AM”=EM”

△ABM=△MBE=△MBC+△EMC

=△MBC+△AMD

∴

∴ ABCD=2△ABM=2_20=40(cm²) 40`cm²

4

⑴ 종이테이프의 폭은 일정하므로 AB”//FC”, AF”//BC” ……㉠

오각형 ABCDE는 정오각형이므로 AB”=BC” ……㉡

㉠, ㉡에 의해 AB”=BC”=CF”=FA”이므로 ABCF는 마름모이다.

⑵ 정오각형의 한 내각의 크기는 108˘이므로

∠ABC=108˘

∠ABC+∠BAF=180˘이므로

∠BAF=180˘-108˘=72˘이다.

∴∴ ∠BAD=72˘

⑴ 마름모 ⑵ 72˘

5

△GAC와 △BDC에서 AC”=DC”, CG”=CB”,

∠GCA=∠BCD=90˘이므로

△GAC™△BDC(SAS`합동)이다.

∴∴ ∠AGC=∠DBC ……㉠

또, ∠PDG=∠CDB ……㉡

㉠, ㉡에 의해 ∠GPD=∠BCD=90˘이다.

∴∴ △ABG=;2!;_AG”_BP”

∴∴ △ABG=;2!;_BD”_BP”

∴∴ △ABG=;2!;_{12_;6%;}_12

∴∴ △ABG=60(cm²) 60`cm²

6

⑴ △APD=;2!;_4_PQ”=2PQ”,

△BPC=;2!;_8_PR”=4PR”이다.

B C

E M

△APD：△BPC=3：2이므로 2PQ”：4PR”=3：2이다.

4PQ”=12PR”에서 PQ”=3PR”

∴∴ PQ”：PR”=3：1

⑵ △ABP+△DCP

= ABCD-(△APD+△BPC)

=;2!;_(4+8)_QR”-(2PQ”+4PR”)

=6QR”-(2PQ”+4PR”)

=6_4PR”-(2_3PR”+4PR”) (∵∵ QR”=PQ”+PR”=4PR”)

=14PR”

ABCD=24PR”

∴∴ (△ABP+△DCP)： ABCD

=14PR”：24PR”=7：12

⑴ 3：1 ⑵ 7：12

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본문 84~93쪽

도형의 닮음

1

도형의 닮음 1. 도형의 닮음

Ⅲ ⁵

⑴ DC”=y라 하면

AD”²=DB”_DC”에서 4²=3_y, y=;;¡3§;;이므로 BC”=;;™3∞;;

AB”²=BD”_BC”에서 x²=3_;;™3∞;;=25

∴

∴ x=5(∵∵ x>0)

⑵ BD”=y라 하면

AC”²=CD”_CB”에서 15²=9_(9+y), y=16이 므로 BD”=16

AD”²=DB”_DC”에서 x²=16_9=144

∴

∴ x=12(∵∵ x>0)

⑶ BD”=y라 하면

AB”²=BD”_B’C’에서 4²=y_5, y=;;¡5§;;이므로 CD”=;5(;

AC”²=CD”_CB”에서 x²=;5(;_5=9

∴

∴ x=3(∵∵ x>0)

⑴ 5 ⑵ 12 ⑶ 3

01^EH”^{, ∠}^B ^`02^면^JKL^{, 면}^GJLI ^`03^{ㄷ, ㅂ} 04^④ 05^③ 06^34.2^`^cm 07^④ 08¹⁵ 09¹² 10△ABCª△MNO(또는 △ONM)(SSS`닮 음), △DEFª△JLK(AA`닮음), △GHIª△PRQ (SAS`닮음) 11^④ 12^△^ABCª^△^{AED, SAS}^`닮 음 13¹² 14⁹^`^cm 15¹⁰^`^cm 16⁴^`^cm 17;;¡3º;;^`cm 18;5(;^`cm 19¹⁴^`^cm 20⁴^`^cm 21^④ 22¹ 23⁸⁰^`^cm² 24^⑴⁶ ^⑵¹² 25⁶ 26;;∞7º;;`cm 27;;¡2∞;;`cm 28;;™2∞;;`cm 29²⁰`cm

p. 93 ~97

1^단계

C

^Step

0 1

AD”의 대응변은 EH”이고 ∠F의 대응각은 ∠B이다.

EH”, ∠B

0 2

BE”에 대응하는 모서리가 HK”이므로 면 DEF에 대응 하는 면은 면 JKL이고, 면 ADFC에 대응하는 면은 면 GJLI이다.

면 JKL, 면 GJLI

도 형의 닮음

III

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