정답

(1)

정답

^과

풀이

01 순열

유제 본문 5~13쪽

1 72 2 18 3 ④ 4 90 5 48 6 12 7 9 8 63 9 20 10 ④

Ú 백의 자리의 숫자가 1인 경우

일의 자리의 숫자에는 3, 5, 7, 9 중에서 하나가 와야 하 므로 그 경우의 수는 4, 십의 자리에는 일의 자리와 백의 자리에 온 수를 제외한 8개 중에서 하나가 와야 하므로 그 경우의 수는 8이다.

따라서 구하는 경우의 수는 4_8=32

Û 백의 자리의 숫자가 2인 경우

일의 자리의 숫자에는 1, 3, 5, 7, 9 중에서 하나가 와야 하므로 그 경우의 수는 5, 십의 자리에는 일의 자리와 백 의 자리에 온 수를 제외한 8개 중에서 하나가 와야 하므 로 그 경우의 수는 8이다.

Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는 32+40=72

 72

1

b, c, d를 일렬로 나열하는 경우의 수는 3!=6

a, e를 양 끝에 나열하는 경우의 수는 2!=2

따라서 구하는 경우의 수는 6_2=12

 ④

3

네 자리의 자연수 중에서 천의 자리의 수가 짝수인 경우의 수는 3이고 각 자리의 수 중 짝수끼리는 서로 이웃하지 않아 야 하므로 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리는

Ú 홀, 홀, 짝 Û 홀, 짝, 홀 Ü 홀, 홀, 홀 이어야 한다.

Ú, Û의 경우의 수는 2_3P2_2=24 Ü의 경우의 수는 3!=6

따라서 구하는 경우의 수는 3_(24+6)=3_30=90

 90

4

부모 2명을 한 사람으로 생각하여 5명의 사람을 원형으로 나열하는 경우의 수는

(5-1)!=4!=24

이 각각에 대하여 부모 2명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는

2!=2

 48

5

3명을 원형으로 나열하는 경우의 수는 (3-1)!=2!=2

이 각각에 대하여 아이스크림을 나누어 주는 경우의 수는

3P3=6

 12

6

조건 (가)에 의하여 f(1)이 홀수, f(3)이 짝수 또는 f(1)이 짝수, f(3)이 홀수이다.

또한 조건 (나)에 의하여 f(2), f(3), f(4)가 모두 홀수이 거나 f(2), f(3), f(4) 중에서 1개만 홀수이어야 한다.

Ú f(1)이 홀수, f(3)이 짝수인 경우

f(2)가 짝수이면 f(4)가 홀수이고, f(2)가 홀수이면 f(4)가 짝수이어야 하므로 그 경우의 수는

2_1_1_2+2_1_2_1=8 Û f(1)이 짝수, f(3)이 홀수인 경우

f(2), f(4)가 모두 홀수이거나 f(2), f(4)가 모두 짝 수이어야 하므로 그 경우의 수는

1_2_2_2+1_2_1_1=10 Ú, Û에 의하여 구하는 함수 f의 개수는 8+10=18

 18

2

(2)

서로 다른 6개의 연필을 3명에게 남김없이 나누어 주는 경 우의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 6개를 선택 해 나열하는 경우의 수와 같으므로

3P6=3⁶ yy ㉠

서로 다른 3개의 지우개를 n명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 n개에서 중복을 허락하여 3개를 선 택해 나열하는 경우의 수와 같으므로

nP3=n³ yy ㉡

㉠, ㉡이 서로 같으므로 n³=3⁶

따라서 n=3²=9

 9

7

각 자리의 수의 합이 홀수가 되기 위해서는 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 수 중에서 홀수 3개 또는 홀수 1개, 짝수 2개이어야 한다.

Ú 홀수 3개인 경우

1, 3, 5 중에서 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는

3P3=3³=27

Û 홀수 1개, 짝수 2개인 경우

백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 수가 짝짝홀, 짝홀짝, 홀짝짝

인 경우로 3가지이고 이 각각에 대하여 1, 3, 5 중에서 1개, 2, 4 중에서 중복을 허락하여 2개를 선택해 나열하 는 경우의 수와 같으므로

3_3P1_2P2=3_3¹_2²=36 Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는 27+36=63

 63

8

서로 구분이 되지 않는 3개의 사탕을 a, a, a라 하고, 서로 구분이 되지 않는 3개의 초콜릿을 b, b, b라 하면 구하는 경 우의 수는 a, a, a, b, b, b를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로

3!3! =206!

 20

9

그림과 같이 모든 도로망이 연결되어 있다고 하면 A지점에 서 출발하여 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

#

" %

$

5!3! =568!

이 중에서 C지점 또는 D지점을 지나는 경우의 수는 1_6!

5! +1_1=7 따라서 구하는 경우의 수는 56-7=49

 ④

2_ 6!

4!2! +{ 6!

3!3! -1}

=30+19=49

10

1 144 2 5 3 144 4 ⑤ 5 ② 6 ①

Level

1

^{기초 연습} ^{본문 14쪽}

남학생 3명을 한 사람으로 생각하여 4명이 한 명씩 출입문 을 지나는 경우의 수는

4!=24

이 각각에 대하여 남학생 3명이 서로 순서를 바꾸어 출입문 을 지나는 경우의 수는

3!=6

 144

1

(3)

아시아 국가의 대표 4명이 원 모양의 탁자에 둘러 앉는 경우 의 수는

(4-1)!=3!=6

아시아 국가의 대표 4명의 사이사이에 유럽 국가의 대표 4 명이 앉는 경우의 수는

4!=24

 144

3

조건 (가), (나)에 의하여 함수 f 의 치역은 {1, 3, 5}이어야 한다.

Ú {1, 2, 3, 4, 5}에서 {1, 3, 5}로의 함수의 개수는

3P5=3⁵=243

Û {1, 2, 3, 4, 5}에서 {1, 3} 또는 {1, 5} 또는 {3, 5}로 의 함수의 개수는

3_2P5=3_2⁵=3_32=96

Ü {1, 2, 3, 4, 5}에서 {1} 또는 {3} 또는 {5}로의 함수 의 개수는

3

Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 함수 f의 개수는 243-(96-3)=150

 ⑤

4

4개의 숫자 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허락하여 만들 수 있 는 세 자리의 자연수 중 3의 배수가 되는 경우는 각 자리의 숫자가 중복된 숫자가 없는 경우와 있는 경우로 나누어 생 각하면

Ú 1, 2, 3 또는 2, 3, 4인 경우 만들 수 있는 세 자리의 자 연수의 개수는 2_3!=12

Û 1, 1, 4 또는 1, 4, 4인 경우 만들 수 있는 세 자리의 자 연수의 개수는 2_3!

2! =6

5

검은 구슬의 개수는 짝수, 흰 구슬의 개수는 홀수이므로 흰 구슬 1개를 가운데에 놓고 나머지 구슬을 좌우대칭이 되도 록 놓으면 된다. 즉, 검은 구슬 2개와 흰 구슬 2개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는

2!2! =64!

 ①

6

1 ② 2 ④ 3 600 4 43

Level

2

^{기본 연습} ^{본문 15쪽}

Ú 2부 공연에 A가 F1에 앉는 경우의 수는 B, C, D, E가 나머지 네 자리에 앉는 경우의 수와 같으므로

4!=24

Û 2부 공연에 B가 F2에 앉는 경우의 수는 A, C, D, E가 나머지 네 자리에 앉는 경우의 수와 같으므로

4!=24

Ü 2부 공연에 A와 B가 각각 F1, F2에 앉는 경우의 수는 C, D, E가 나머지 세 자리에 앉는 경우의 수와 같으므 로

3!=6

Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 경우의 수는 24+24-6=42

 ②

1

1부터 10까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 구슬 중에서 2 개의 구슬에 적혀 있는 수의 합이 일정하도록 하기 위해서는 (1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6)

과 같이 2개씩 구슬을 상자에 넣어야 한다.

2

Ü 111, 222, 333, 444인 경우의 수는 4 따라서 구하는 자연수의 개수는 12+6+4=22

 ② A가 커피를 주문하는 경우의 수는 n이고 이 각각에 대하여

B가 커피를 주문하는 경우의 수는 n-1이다. 또한 A가 케 이크를 주문하는 경우의 수는 4이고 이 각각에 대하여 B가 케이크를 주문하는 경우의 수는 3이므로

n_(n-1)_4_3=240, n²-n-20=0 (n-5)(n+4)=0

즉, n=5

 5

2

(4)

조건 (가)를 만족시키는 경우는 A, B, C를 X, X, X로 놓 고 일렬로 세운 후에 X, X, X의 순서대로 A, B, C를 세 우면 되므로 그 경우의 수는

7!3! =840

이 중에서 D, E가 이웃하는 경우의 수는 D, E를 한 사람으 로 생각하면 되므로 그 경우의 수는

6!3! _2=120_2=240

따라서 구하는 경우의 수는 840-240=600

 600

D, E를 제외한 5명을 일렬로 세울 때 A, B, C를 X, X, X로 놓고 일렬로 세우는 경우의 수는

5!3! =20

이 각각에 대하여 5명의 사이사이와 맨 앞, 맨 뒤의 6곳에 D, E를 세우는 경우의 수는

¤Pª=6_5=30

따라서 구하는 경우의 수는 20_30=600

3

도로망에 그림과 같이 C, D, E, F의 지점을 정하자.

" '

&

$

%

#

4

Ú B와 H에는 같은 색을 칠하므로 그 경우의 수는 3이다.

Û G에 색칠하는 것은 H와는 다른 색이므로 그 경우의 수 는 2, F에 색칠하는 것은 B, G와는 다른 색이어야 하므 로 그 경우의 수는 1이다.

따라서 F, G에 색칠하는 경우의 수는 2_1=2

또한 C, D에 색칠하는 경우의 수는 G가 정해지므로 1 이다.

Ü A, E, I에 색칠하는 경우의 수는 각각 2이다.

Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 경우의 수는 3_2_1_2³=48

 ④

1

1 ④ 2 84 3 ④ 4 ②

Level

3

^{실력 완성} ^{본문 16쪽}

바나나 우유가 3개, 1개 들어가는 주머니가 각각 1개씩 있 으므로 나머지 바나나 우유 4개는 2개, 2개씩 다른 주머니 2개에 들어가야 한다.

즉, 바나나 우유가 들어가는 경우는 3개, 1개, 2개, 2개이어 야 한다. 이때 나머지 우유가 들어가는 경우는 바나나 우유 가 1개 들어간 주머니를 기준으로 다음과 같다.

2

따라서 1, 2, 3, 4, 5의 수가 적혀 있는 구슬을 상자에 담는 경우의 수는 원순열의 수이므로

(5-1)!=4!=24

이 각각에 대하여 1, 2, 3, 4, 5의 수가 적혀 있는 구슬이 담 긴 상자에 각각 10, 9, 8, 7, 6의 수가 적혀 있는 구슬을 담 으면 되므로 그 경우의 수는 1이다.

 ④

Ú A → C → B로 가는 경우의 수 1_1=1

Û A → D → B로 가는 경우의 수 { 5!3!2! - 3!

2!1! _ 2!

1!1! }_{ 5!

3!2! - 2!

1!1! _ 3!

2!1! } =4_4

=16

Ü A → E → B로 가는 경우의 수 5!

4! _5!

4! =5_5=25 Ý A → F → B로 가는 경우의 수 1_1=1

Ú ~ Ý에 의하여 구하는 경우의 수는 1+16+25+1=43

 43

(5)

그림과 같이 A가 앉은 자리를 1번으로 하고 남은 자리는 시 계 방향으로 2번부터 7번까지 차례대로 정하고 5번 자리에 B를 앉힌다.

"

#

Ú C가 2번 또는 7번 자리에 앉은 경우

C가 2번 자리에 앉으면 D, E, F 중에서 2명이 3번과 7 번 자리에 앉으면 되고, C가 7번 자리에 앉으면 D, E, F 중에서 2명이 2번과 6번 자리에 앉으면 된다. 이때 나 머지 2명은 남은 자리에 앉으면 되므로 그 경우의 수는 2_3P2_2!=24

Û C가 3번 자리에 앉은 경우

D, E, F, G는 남은 자리에 앉으면 되므로 그 경우의 수 는

4!=24

Ü C가 4번 또는 6번 자리에 앉은 경우

C가 4번 자리에 앉은 경우 D, E, F 중에서 1명이 3번 자리에 앉으면 되고, C가 6번 자리에 앉으면 D, E, F 중에서 1명이 7번 자리에 앉으면 된다. 이때 나머지 3명 은 남은 자리에 앉으면 되므로 그 경우의 수는

2_3P1_3!=36

Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 경우의 수는 24+24+36=84

 ②

4

일주일 동안 하루에 한 과목씩 공부를 할 때 수학을 3일 이 상 연속으로 공부를 해야 하므로

Ú 수학을 3일 연속으로 공부하도록 계획을 세우는 경우는 ① 수수수영  ,   영수수수

② 영수수수영 , 영수수수영,  영수수수영 이고 ①의 경우 수수수영수 수 수, 수 수 수영수수수는

같은 경우이므로 그 경우의 수는

(2_2P3-1)+3_2P2=(2_2³-1)+3_2²=27 Û 수학을 4일 연속으로 공부하도록 계획을 세우는 경우는 ① 수수수수영 ,  영수수수수

② 영수수수수영, 영수수수수영 이므로 그 경우의 수는

2_2P2+2_2P1=2_2²+2_2=12

Ü 수학을 5일 연속으로 공부하도록 계획을 세우는 경우는 ① 수수수수수영, 영수수수수수

② 영수수수수수영 이므로 그 경우의 수는 2_2P1+1=2_2+1=5

Ý 수학을 6일 연속으로 공부하도록 계획을 세우는 경우는 수수수수수수영, 영수수수수수수

이므로 그 경우의 수는 2

Ú ~ Ý에 의하여 구하는 경우의 수는 27+12+5+2=46

 ④

3

Ú 딸기 우유 2개가 들어간 경우

Û 딸기 우유 1개, 초코 우유 1개가 들어간 경우 Ü 딸기 우유 1개, 흰 우유 1개가 들어간 경우 Ý 초코 우유 1개, 흰 우유 1개가 들어간 경우

Ú, Û, Ü, Ý의 각 경우에 나머지 우유는 바나나 우유가 2개 들어간 주머니에 각각 1개씩 넣는다.

따라서 Ú, Û, Ü의 각 경우에 대하여 3개씩 나눈 우유를 A, B, C, D의 주머니에 넣는 경우의 수는

4!_3=72 yy ㉠

Ý의 경우에 3개씩 나눈 우유를 A, B, C, D의 주머니에 넣는 경우의 수는

4!2! =12 yy ㉡

㉠, ㉡에서 구하는 경우의 수는 72+12=84

 84

(6)

02 조합

1 ③ 2 ① 3 55 4 50 5 ③ 6 ① 7 ④ 8 ⑤

이 동아리의 남학생 수를 n이라 하면 여학생 수는 9-n 이다.

동아리의 구성원 9명에서 대표 2명을 뽑을 때 적어도 한 명 의 여학생을 뽑는 경우의 수는 9명에서 2명을 뽑는 경우의 수에서 2명 모두 남학생을 뽑는 경우의 수를 빼면 된다.

9C2-nC2=30 9_82_1 - n(n-1)

2 =30 n(n-1)

2 =6

n²-n-12=0, (n+3)(n-4)=0 n은 자연수이므로 n=4

따라서 남학생 수가 4이므로 여학생 수는 9-4=5

 ③

1

평행한 두 직선을 각각 l1, l2라 하자.

Ú 직선 l1을 제외한 9개의 직선에서 3개를 택하면 하나의 삼각형을 만들 수 있으므로 그 경우의 수는

9C3= 9_8_73_2_1 =84

Û 직선 lÁ을 포함하고 lª를 제외한 나머지 8개의 직선에서 2개를 택하면 하나의 삼각형을 만들 수 있으므로 그 경 우의 수는

8C2= 8_72_1 =28

Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 84+28=112

 ①

전체 10개의 직선에서 3개를 택하는 경우의 수는

10C3= 10_9_83_2_1 =120

2

평행한 두 직선과 다른 한 직선을 택하는 경우 삼각형이 만 들어지지 않으므로 구하는 경우의 수는

10C3-8C1

=120-8

=112

이 음식점에서 서로 다른 5가지의 음식을 주문할 때 피자 한 종류와 스파게티 두 종류가 반드시 포함되도록 주문하는 경 우는 다음 세 가지가 있다.

Ú 피자 한 종류와 스파게티 네 종류를 주문하는 경우

3C1_5C4=3C1_5C1=3_5=15

Û 피자 두 종류와 스파게티 세 종류를 주문하는 경우

3C2_5C3 =3C1_5C2

=3_5_4 2_1 =30

Ü 피자 세 종류와 스파게티 두 종류를 주문하는 경우

3C3_5C2=1_5_4 2_1 =10 Ú, Û, Ü에서 구하는 경우의 수는 15+30+10=55

 55

구하는 경우는 8가지 음식 중 서로 다른 5가지 음식을 택하 는 경우에서 스파게티 5종류를 모두 택하는 경우를 제외하 면 되므로 구하는 경우의 수는

8C5-5C5=56-1=55

3

조건 (가)에서 f(-2)=-f(2)이므로 순서쌍 ( f(-2), f(2))로 가능한 경우는

(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, -1), (2, -2) 의 5가지이다.

조건 (나)에서 f(-1)<f(0)<f(1)이므로 집합 X에서 서로 다른 3개의 원소를 택하여 작은 수부터 차례로 -1, 0, 1에 대응시키면 된다. 이 경우의 수는

5C3=5C2= 5_42_1 =10 따라서 구하는 경우의 수는 5_10=50

 50

4

먼저 승철이에게 강아지 인형 1개, 영희에게 곰 인형 1개를 주고 나머지 강아지 인형 3개, 곰 인형 2개를 승철이와 영희 에게 나누어 주는 경우의 수를 구하면 된다.

5

(7)

승철과 영희에게 강아지 인형 3개를 나누어 주는 경우의 수 는 승철, 영희 중 중복을 허락하여 세 사람을 택하는 경우의 수와 같으므로

2H3 =2+3-1C3=4C3=4C1=4

승철과 영희에게 곰 인형 2개를 나누어 주는 경우의 수는 승 철, 영희 중 중복을 허락하여 두 사람을 택하는 경우의 수와 같으므로

2H2 =2+2-1C2=3C2=3C1=3 따라서 구하는 경우의 수는 4_3=12

 ③

세 자리의 자연수이므로 a¾1이어야 한다.

1ÉaÉbÉc이므로 1부터 9까지의 자연수에서 중복을 허락 하여 3개를 택한 후 크기순으로 a, b, c로 정하면 된다.

따라서 구하는 경우의 수는

9H3=9+3-1C3=11C3

=11_10_9 3_2_1 =165

 ①

6

조건 (나)에서 방정식 d+e=3을 만족시키는 자연수 d, e 의 모든 순서쌍 (d, e)는

8

x=x'+2, y=y'+2, z=z'+2 (x', y', z'은 음이 아닌 정수)라 하면 x+y+z=15에서

(x'+2)+(y'+2)+(z'+2)=15 x'+y'+z'=9

방정식 x'+y'+z'=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 모든 순서쌍 (x', y', z')의 개수는 서로 다른 3개 에서 중복을 허락하여 9개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로

3H9=3+9-1C9=11C9

=11C2

=11_10 2_1 =55

 ④

7

(1, 2), (2, 1) 의 2가지이다.

Ú d=1, e=2일 때

a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1 (a', b', c'은 음이 아닌 정수)로 놓으면 a+b+c+d=8에서

(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+1=8 a'+b'+c'=4

방정식 a'+b'+c'=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c'의 모든 순서쌍 (a', b', c')의 개수는 서로 다른 3 개에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

3H4=3+4-1C4=6C4=6C2

=6_5 2_1 =15 Û d=2, e=1일 때

a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1 (a', b', c'은 음이 아닌 정수)로 놓으면 a+b+c+d=8에서

(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+2=8 a'+b'+c'=3

방정식 a'+b'+c'=3을 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c'의 모든 순서쌍 (a', b', c')의 개수는 서로 다른 3 개에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

3H3=3+3-1C3=5C3=5C2

=5_4 2_1 =10

 ⑤

nC2+n+1C2=49에서 n(n-1)

2_1 +n(n+1) 2_1 =49

1

1 ④ 2 ① 3 ③ 4 ② 5 ① 6 ⑤ 7 ② 8 ⑤ 9 25 10 21

Level

1

^{기초 연습} ^{본문 26~27쪽}

(8)

1층에서 직업체험을 하는 경우의 수는

5C3=5C2= 5_42_1 =10

2층에서 직업체험을 하는 경우의 수는

3C2=3C1=3

 ①

2

1부터 7까지의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 택하는 경 우의 수는 7C3이다.

이 중 세 수의 곱이 짝수인 경우는 세 수 모두 홀수인 경우 를 제외하면 되므로 구하는 경우의 수는

7C3-4C3

= 7_6_53_2_1 -4

=35-4=31

 ①

5

무기명 투표이므로 10명이 세 지역 A, B, C에 투표한 결 과로 나올 수 있는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 10개를 택하는 경우의 수와 같다.

따라서 그 경우의 수는

3H10=3+10-1C10=12C10=12C2

= 12_112_1 =66

 ⑤

6

같은 종류의 연필 6자루를 학생 3명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 6개 를 택하는 경우의 수와 같으므로

3H6=3+6-1C6=8C6=8C2

= 8_72_1 =28

서로 다른 종류의 지우개 2개를 학생 3명에게 남김없이 나 누어 주는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 2개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로

3P2=3²=9

 ②

7

(a+b+c)⁵의 전개식에서 항의 개수는 a, b, c에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 경우의 수와 같으므로 3H5

이 중 a를 인수로 갖지 않는 항의 개수는 b, c에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 경우의 수와 같으므로 2H5

따라서 a를 인수로 갖는 항의 개수는

8

집합 X의 부분집합에서 8을 포함하고 원소의 개수가 4인 집합의 개수는 8을 먼저 택한 후 나머지 7개 중 3개를 택하 는 경우의 수와 같으므로

7C3= 7_6_53_2_1 =35

 ③

3

Ú 여학생 두 명이 A지역으로 가는 경우

A지역에 갈 남학생 2명을 택하고 나머지 6명은 B지역 으로 가면 되므로 그 경우의 수는

8C2= 8_72_1 =28

Û 여학생 두 명이 B지역으로 가는 경우

B지역에 갈 남학생 4명을 택하고 나머지 4명은 A지역 으로 가면 되므로 그 경우의 수는

8C4= 8_7_6_54_3_2_1 =70 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 28+70=98

 ②

4

n²-n+n²+n=2_49 2n²=2_49

n²=49

n은 자연수이므로 n=7

 ④

(9)

3H5-2H5 =3+5-1C5-2+5-1C5

=7C5-6C5

=7C2-6C1

= 7_62_1 -6

=21-6=15

 ⑤

장미, 백합, 튤립 중에서 중복을 허락하여 6송이를 택하는 경우의 수는

3H6=3+6-1C6=8C6=8C2= 8_72_1 =28

이 중 튤립을 5송이 이상 택한 경우는 제외해야 한다.

튤립을 5송이 택한 경우 장미와 백합 중에서 나머지 1송이 를 택해야 하므로 그 경우의 수는 2이다.

튤립을 6송이 택한 경우의 수는 1이다.

따라서 구하는 경우의 수는 28-(2+1)=25

 25

9

x는 홀수, y와 z는 짝수이므로 x=2x'+1, y=2y'+2, z=2z'+2 (x', y', z'은 음이 아닌 정수)로 놓으면 x+y+z=15에서

(2x'+1)+(2y'+2)+(2z'+2)=15 2x'+2y'+2z'=10

x'+y'+z'=5

방정식 x'+y'+z'=5를 만족시키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 모든 순서쌍 (x', y', z')의 개수는 서로 다른 3개 에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 경우의 수와 같으므로

3H5=3+5-1C5=7C5=7C2= 7_62_1 =21

 21

10

1 ① 2 ⑤ 3 ① 4 ④ 5 ⑤ 6 ① 7 ② 8 30

Level

2

^{기본 연습} ^{본문 28~29쪽}

1부터 5까지의 자연수 중 숫자 2개를 택하는 경우의 수는

5C2= 5_42_1 =10

선택된 각 숫자에 대하여 3개의 색 중 2개를 각각 택하면 되 므로 그 경우의 수는 3C2_3C2=3_3=9

따라서 4장의 카드를 택할 때, 같은 숫자가 적힌 카드를 각 각 2장씩 택하는 경우의 수는

10_9=90

 ①

1부터 5까지의 자연수 중 숫자 2개를 택하는 경우의 수는

5C2= 5_42_1 =10

이 각각의 경우에 대하여 4장의 카드의 색이 2가지인 경우 와 3가지인 경우가 있다.

Ú 카드의 색이 2가지인 경우

2개의 숫자가 적힌 카드를 2가지 색에서 각각 택하면 되 므로 3가지 색 중 2가지 색을 택하는 경우의 수는 3C2=3

Û 카드의 색이 3가지인 경우

2개의 숫자가 a, b일 때 한 가지 색은 a, b가 적힌 카드 2장이고 나머지 두 가지 색은 a가 적힌 카드가 1장, b가 적힌 카드가 1장인 경우이다. 이 경우의 수는

3C1_2!=3_2=6

Ú, Û에서 카드의 색을 택하는 경우의 수는 3+6=9

따라서 4장의 카드를 택할 때, 같은 숫자가 적힌 카드를 각 각 2장씩 택하는 경우의 수는

10_9=90

1

이 수학 시험에서 맞힌 3점짜리 문항의 수를 x, 4점짜리 문 항의 수를 y라 하면

x+y=12, 3x+4y¾40 (단, 0ÉxÉ10, 0ÉyÉ5) 이다. 이때

3x+4y=3(x+y)+y=36+y¾40 에서 y¾4이다.

이때 x, y의 순서쌍 (x, y)로 가능한 것은 (8, 4), (7, 5)

2

(10)

1부터 20까지의 자연수 중 서로 다른 4개의 수를 택할 때, 가장 작은 수를 a, 가장 큰 수를 b라 하면 b-a=8이 되는 a, b의 모든 순서쌍 (a, b)는

(1, 9), (2, 10), (3, 11), y, (12, 20) 의 12가지이다.

이 각각에 대하여 두 수 a, b 사이의 7개의 수에서 2개의 수 를 택하는 경우의 수는 7C2이므로 구하는 경우의 수는 12_7C2=12_ 7_62_1 =12_21=252

 ①

3

b¾a+2, c¾b+2, d¾c+2이므로 b'=b-1, c'=c-2, d'=d-3이라 하면 b'¾a+1, c'¾b'+1, d'¾c'+1이므로 1Éa<b'<c'<d'É12이다.

1부터 12까지의 자연수 중에서 서로 다른 네 수 a, b', c', d'을 택하면 네 수 a, b, c, d는 주어진 조건을 만족시킨다.

12C4= 12_11_10_94_3_2_1 =495

 ④

4

a=2^xÁ3^yÁ, b=2^xª3^yª, c=2^x£3^y£

(단, x1, xª, x3, y1, y2, y3은 음이 아닌 정수) 로 놓으면

abc=2^xÁ+xª+x£3^yÁ+yª+y£

abc=2⁶_3⁴에서

x1+x2+x3=6, y1+y2+y3=4

방정식 x1+x2+x3=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 x1, x2, x3의 모든 순서쌍 (x1, x2, x3)의 개수는 서로 다른 3 개에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

3H6=3+6-1C6=8C6=8C2

= 8_72_1 =28

방정식 y1+y2+y3=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 y1, y2, y3의 모든 순서쌍 (y1, y2, y3)의 개수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

3H4=3+4-1C4=6C4=6C2

= 6_52_1 =15

따라서 자연수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 28_15=420

 ①

6

좌표평면에서 부등식 x²+y²É4가 나타내는 영역은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 2인 원의 경계 및 내부이고, 이 영역에 있는 x좌표와 y좌표가 정수인 점을 나타내면 다음 그림과 같다.

0

Z

Y

5

13개의 점에서 3개를 택하는 경우의 수는

13C3= 13_12_113_2_1 =286

이때 한 직선 위에 있는 세 점을 택하면 삼각형이 만들어지 지 않으므로 그 경우를 구하면 다음과 같다.

Ú x축 및 y축에 놓여 있는 5개의 점에서 3개를 택하는 경우 2_5C3=2_5C2

=2_ 5_42_1 =2_10=20

Û 한 직선 위에 있는 3개의 점에서 3개를 택하는 경우 그림에서 3개의 점이 한 직선에 놓여 있는 경우는 10가

지이다.

따라서 구하는 경우의 수는 286-(20+10)=256

 ⑤

조건 (나)에서 x+0이고 y+0이므로 z=0인 경우와 z+0 인 경우로 나눌 수 있다.

7

이다. 따라서 구하는 경우의 수는

10C8_5C4+10C7_5C5

=10C2_5C1+10C3_1

= 10_92_1 _5+10_9_8 3_2_1

=225+120

=345

 ⑤

(11)

Ú z=0일 때 조건 (가)에서

|x|+|y|=10이고 |x|, |y|는 1 이상의 정수이므로 |x|=x1+1,|y|=y1+1 (x1, y1은 음이 아닌 정수)로

놓으면

(x1+1)+(y1+1)=10 x1+y1=8

방정식 x1+y1=8을 만족시키는 음이 아닌 정수 x1, y1

의 모든 순서쌍 (x1, y1)의 개수는 2H8=2+8-1C8=9C8=9C1=9

이때 하나의 순서쌍 (x1, y1)에 대하여 x=Ñ(x1+1), y=Ñ(y1+1)일 때

방정식 |x|+|y|=10이 성립하므로 모든 순서쌍 (x, y) 의 개수는

2H8_2²=9_4=36 Û z+0일 때

조건 (가)에서 |x|+|y|+|z|=10

이고 |x|,|y|,|z|는 1 이상의 정수이므로

|x|=x2+1,|y|=y2+1,|z|=z2+1 (x2, y2, z2는 음 이 아닌 정수)로 놓으면

(x2+1)+(y2+1)+(z2+1)=10 x2+y2+z2=7

방정식 x2+y2+z2=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 x2, y2, z2의 모든 순서쌍 (x2, y2, z2)의 개수는

3H7=3+7-1C7=9C7=9C2

=9_8 2_1 =36

이때 하나의 순서쌍 (x2, y2, z2)에 대하여

x=Ñ(x2+1), y=Ñ(y2+1), z=Ñ(z2+1)일 때 방정식 |x|+|y|+|z|=10이 성립하므로 모든 순서 쌍 (x, y, z)의 개수는

3H7_2³=36_8=288

Ú, Û에서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 36+288=324

 ②

조건 (가)에서 f(1)f(5)=6이므로 f(5)가 가질 수 있는 값은 2 또는 3이다.

Ú f(5)=2일 때

f(1)=3이고 f(2)¾ f(3)¾ f(4)¾ 2이므로 2, 3, 4, 5 에서 중복을 허락하여 3개를 택한 후 크기순으로 차례로

8

1 ② 2 ④ 3 ③

Level

3

^{실력 완성} ^{본문 30쪽}

일곱 개의 문자를 나열하는 경우의 수는 2!2! =12607!

RE와 ER를 포함하지 않기 위해서는 3문자 P, M, I를 나 열한 후 양 끝이나 각 문자의 사이 4군데에 다음 ①, ②, ③,

④의 각 문자나 문자열이 들어가야 한다.

P M I

① R, R, E, E ② RR, E, E ③ EE, R, R ④ RR, EE 각각의 경우의 수를 구해 보자.

①의 경우 4군데 중 R가 들어갈 2군데를 고르고 나머지 2군 데에 E를 배열하면 되므로 그 경우의 수는

4C2_2C2=6_1=6

②의 경우 RR가 들어갈 1군데를 고르고, E가 들어갈 2군 데를 고르면 되므로 그 경우의 수는

4C1_3C2=4_3=12

1

f(2), f(3), f(4)의 값으로 정하면 된다.

그 경우의 수는

4H3=4+3-1C3=6C3=6_5_4 3_2_1 =20 Û f(5)=3일 때

f(1)=2이고 f(2)¾ f(3)¾ f(4)¾3이므로 3, 4, 5에 서 중복을 허락하여 3개를 택한 후 크기순으로 차례로 f(2), f(3), f(4)의 값으로 정하면 된다.

그 경우의 수는

3H3=3+3-1C3=5C3=5C2=5_4 2_1 =10 Ú, Û에서 구하는 함수 f 의 개수는 20+10=30

 30

(12)

상자 A에 넣을 3개의 공에 적힌 수의 합이 3의 배수가 되 는 경우는 세 집합

S1={1, 4, 7, 10}, S2={2, 5, 8}, S3={3, 6, 9}

에 대하여 각 공에 적힌 수가 다음과 같은 경우이다.

Ú 세 공에 적힌 수가 모두 한 집합의 원소인 경우

세 집합 중 한 집합에서 3개의 원소를 택하는 경우와 같 으므로 이 경우의 수는

4C3+3C3+3C3=4+1+1=6

Û 세 공에 적힌 수가 세 집합에 각각 하나씩 있는 경우 각 집합에서 한 개의 원소를 택하는 경우와 같으므로 이

경우의 수는

4C1_3C1_3C1=4_3_3=36

Ú, Û에서 상자 A에 넣을 공 3개를 택하는 경우의 수는 6+36=42

이 각각에 대하여 상자 B에 넣을 공 3개를 택하는 경우의 수는

7C3=7_6_5 3_2_1 =35 따라서 구하는 경우의 수는 42_35=1470

 ④

2

A역과 출발 후 첫 번째 정차한 역 사이의 역의 개수를 a, 첫 번째 정차한 역과 두 번째 정차한 역 사이의 역의 개수를 b, 두 번째 정차한 역과 세 번째 정차한 역 사이의 역의 개 수를 c, 세 번째 정차한 역과 B역 사이의 역의 개수를 d라 하자. 이때 a, b, c, d는 음이 아닌 정수이고

a+b+c+d=12, b¾1, c¾2

3

음이 아닌 정수 b', c'에 대하여 b=b'+1, c=c'+2라 하 면

a+(b'+1)+(c'+2)+d=12 a+b'+c'+d=9 yy ㉠

구하는 경우의 수는 방정식 ㉠을 만족시키는 음이 아닌 정 수 a, b', c', d의 순서쌍 (a, b', c', d)의 개수와 같으므로 그 경우의 수는

4H9=4+9-1C9

=12C9

=12C3

=12_11_10 3_2_1

=220

 ③

A역에서 출발 후 첫 번째, 두 번째, 세 번째 정차한 역까지 의 역의 개수를 각각 x, y, z라 하면

x, y, z는 자연수이고

1Éx<y<zÉ15, x+1<y, y+2<z 이다. 이때

1Éx<y-1<z-3É12

이므로 y'=y-1, z'=z-3이라 하면 구하는 경우의 수는 부등식

1Éx<y'<z'É12

를 만족시키는 자연수 x, y', z'의 순서쌍 (x, y', z')의 개 수와 같으므로 그 경우의 수는

12C3=12_11_10 3_2_1 =220

③의 경우 EE가 들어갈 1군데를 고르고, R가 들어갈 2군 데를 고르면 되므로 그 경우의 수는

4C1_3C2=4_3=12

④의 경우 RR가 들어갈 1군데와 EE가 들어갈 1군데를 고 르면 되므로 그 경우의 수는

4C1_3C1=4_3=12

이때 P, M, I를 나열하는 경우의 수는 3!이므로 구하는 경 우의 수는

1260-3!_(6+12+12+12)

=1260-6_42=1008

 ②

(13)

분할과 이항정리

03

1 ④ 2 ② 3 ⑤ 4 ③ 5 ⑤ 6 ④ 7 ② 8 ⑤

집합 A를 공집합이 아닌 7개의 서로소인 부분집합으로 분 할하는 방법의 수는 S(8, 7)이다. 이는 집합 A를 원소의 개수가 각각 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2인 7개의 서로소인 부분집 합으로 분할하는 경우의 수이다.

즉, 집합 A의 8개의 원소 중 2개를 택하여 부분집합을 만들 고 나머지 원소를 각각 하나씩 원소로 갖는 부분집합을 만 드는 경우의 수이므로 구하는 방법의 수는

S(8, 7)=8C2=8_7 2_1 =28

 ④

1

8명의 학생을 각 조의 인원이 모두 다르도록 세 조로 나누는 방법은 각 조의 인원이 각각 1, 2, 5 또는 1, 3, 4인 두 가지 경우가 있다.

Ú 각 조의 인원이 각각 1, 2, 5인 경우

8C1_7C2_5C5

=8_21_1

=168

Û 각 조의 인원이 각각 1, 3, 4인 경우

8C1_7C3_4C4

=8_35_1

=280

Ú, Û에서 구하는 방법의 수는 168+280=448

 ②

2

자연수 9를 홀수인 자연수로 분할하면 9=9

=7+1+1=5+3+1=3+3+3

=5+1+1+1+1=3+3+1+1+1

3

최대 4개의 장난감을 담을 수 있는 같은 종류의 선물상자 5 개에 같은 종류의 장난감 8개를 남김없이 나누어 담는 경우 의 수는 자연수 8을 4 이하의 자연수 5개 이하로 분할하는 경우의 수와 같다.

8=4+4

=4+3+1=4+2+2=3+3+2

=4+2+1+1=3+3+1+1

=3+2+2+1=2+2+2+2

=4+1+1+1+1=3+2+1+1+1=2+2+2+1+1 따라서 구하는 경우의 수는 11이다.

 ③

4

{x³-;[@;}⁵의 전개식에서 일반항은

5Cr(x³)^5-r{-;[@;}^r=5Cr(-2)^rx^15-4r

따라서 x³항은 15-4r=3, 즉 r=3일 때이므로 구하는 xÜ`

의 계수는

5C3_(-2)Ü` =10_(-8)

=-80

 ⑤

5

{x-;[#;}²=x²-6+9

xÛ`이므로 주어진 식에서 x²의 계수는 {xÛ`- 2xÛ` }

6의 전개식에서 상수항, x²의 계수, x⁴의 계수에 각각 1, -6, 9를 곱하여 더하면 된다.

{xÛ`- 2xÛ` }

6의 전개식에서 일반항은

6Cr(x²)^6-r{- 2xÛ` }

r=6Cr (-2)^rx^12-4r

Ú {xÛ`- 2xÛ` }

6의 전개식에서 상수항은 12-4r=0, 즉 r=3일 때이므로

6C3_(-2)³=20_(-8)=-160

6

=3+1+1+1+1+1+1

=1+1+1+1+1+1+1+1+1 따라서 구하는 방법의 수는 8이다.

 ⑤

(14)

Û {xÛ`- 2xÛ` }

6의 전개식에서 x²항은

12-4r=2에서 r=;2%;이므로 존재하지 않는다.

Ü {xÛ`- 2xÛ` }

6의 전개식에서 x⁴항은

12-4r=4, 즉 r=2일 때이므로 x⁴의 계수는

6C2_(-2)²=15_4=60 따라서 {x-;[#;}²{xÛ`- 2xÛ` }

6의 전개식에서 x²의 계수는 1_(-160)+9_60=380

 ④

2nC0+2nC2+2nC4+y+2nC2n=2^2n-1 이고 512=2⁹이므로

2^2n-1=2⁹에서 2n-1=9 따라서 n=5

 ②

7

종이꽃 또는 사탕 중 10개를 택하여 꽃다발을 만드는 경우 의 수는 서로 다른 종류의 사탕 아홉 개에서 r (r=1, 2, y, 9)개를 택하고 나머지 (10-r)개는 같은 종류의 종이 꽃에서 택하는 경우의 수와 같다.

9C1+9C2+9C3+y+9C9

=(9C0+9C1+9C2+9C3+y+9C9)-9C0

=2⁹-1

=511

 ⑤

8

1 ② 2 ⑤ 3 ④ 4 ③ 5 ③

Level

1

^{기초 연습} ^{본문 40쪽}

S(5, 4)는 원소의 개수가 5인 집합을 공집합이 아닌 4개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수이다. 이는 원소 의 개수가 2인 집합 1개와 원소의 개수가 1인 집합 3개로

1

분할하면 되므로 그 경우의 수는 5개의 원소에서 2개의 원 소를 택하는 경우의 수와 같고

S(5, 4)=5C2=10

같은 방법으로 S(4, 3)은 원소의 개수가 4인 집합을 원소 의 개수가 2인 집합 1개와 원소의 개수가 1인 집합 2개로 분할하는 경우의 수이므로 4개의 원소 중 2개를 택하는 경 우의 수와 같고

S(4, 3)=4C2=6

따라서 S(5, 4)-S(4, 3)=10-6=4

 ②

S(5, 4)는 먼저 특정한 한 원소를 제외한 원소 4개를 공집 합이 아닌 서로소인 세 부분집합으로 분할하고 특정한 원소 를 원소로 가지는 부분집합으로 분할하는 경우의 수 S(4, 3)과 특정한 한 원소를 제외한 원소 4개를 공집합이 아닌 서로소인 네 부분집합으로 분할하고 특정한 원소를 네 부분 집합 중 하나에 넣는 경우의 수인 S(4, 4)_4의 합으로 나 타낼 수 있다. 즉

S(5, 4)=S(4, 3)+S(4, 4)_4 에서

S(5, 4)-S(4, 3)=S(4, 4)_4=1_4=4

서로 다른 공 8개를 같은 종류의 바구니 3개에 남김없이 나 누어 담을 때, 각 바구니에 적어도 2개의 공이 들어가도록 담는 경우의 수는 원소의 개수가 8인 집합을 원소의 개수가 2 이상인 3개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수 와 같다.

Ú 원소의 개수가 각각 2, 2, 4인 3개의 서로소인 부분집합 으로 분할하는 경우

8C2_6C2_4C4_ 1 2!

=28_15_1_;2!;=210

Û 원소의 개수가 각각 2, 3, 3인 3개의 서로소인 부분집합 으로 분할하는 경우

8C2_6C3_3C3_ 1 2!

=28_20_1_;2!;=280 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 210+280=490

 ⑤

2

(15)

자연수 10을 2의 거듭제곱 또는 1로 분할하면 10=8+2

=8+1+1=4+4+2

=4+4+1+1=4+2+2+2

=4+2+2+1+1=2+2+2+2+2

=4+2+1+1+1+1

=2+2+2+2+1+1

=4+1+1+1+1+1+1

=2+2+2+1+1+1+1

=2+2+1+1+1+1+1+1

=2+1+1+1+1+1+1+1+1

=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 따라서 구하는 방법의 수는 14이다.

 ④

3

{2x³-;[!;}⁷의 전개식에서 일반항은

7Cr(2x³)^7-r{-;[!;}^r=7Cr 2^7-r(-1)^rx^21-4r

x⁵항은 21-4r=5, 즉 r=4일 때이므로 x⁵의 계수는

7C4_2³_(-1)⁴=35_8_1

=280

 ③

4

5명의 학생이 방과후 수업으로 배구, 테니스, 농구 중 한 강좌를 택하여 신청하는 경우의 수는 원소의 개수가 5인 집합을 공집합이 아닌 서로소인 3개의 부분집합으로 분할하 는 방법의 수 S(5, 3)에 세 부분집합을 일렬로 배열하는 경 우의 수 3!을 곱한 것과 같다.

Ú 원소의 개수가 각각 1, 1, 3인 3개의 서로소인 부분집합 으로 분할하는 경우

5C1_4C1_3C3_ 1 2!

=5_4_1_;2!;

=10

Û 원소의 개수가 각각 1, 2, 2인 3개의 서로소인 부분집합 으로 분할하는 경우

5C1_4C2_2C2_ 1 2!

=5_6_1_;2!;

=15

5

Ú, Û에서 S(5, 3)=25이므로 구하는 경우의 수는 S(5, 3)_3!=25_6=150

 ③

1 ⑤ 2 ⑤ 3 ② 4 ②

Level

2

^{기본 연습} ^{본문 41쪽}

2310=2_3_5_7_11

이므로 2310을 서로 다른 세 자연수의 곱으로 나타낼 때 이 세 자연수 중 1이 있는 경우와 1이 없는 경우로 나누어 구할 수 있다.

Ú 서로 다른 세 자연수에 1이 포함되는 경우

{2, 3, 5, 7, 11}을 공집합이 아닌 2개의 서로소인 부분 집합으로 분할하는 방법의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 S(5, 2)이다.

① 원소의 개수가 각각 1, 4인 2개의 서로소인 부분집합 으로 분할하는 경우

5C1_4C4=5

② 원소의 개수가 각각 2, 3인 2개의 서로소인 부분집합 으로 분할하는 경우

5C2_3C3=10 따라서 S(5, 2)=15

Û 서로 다른 세 자연수에 1이 포함되지 않는 경우 {2, 3, 5, 7, 11}을 공집합이 아닌 3개의 서로소인 부분

집합으로 분할하는 방법의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 S(5, 3)이다.

① 원소의 개수가 각각 1, 1, 3인 3개의 서로소인 부분 집합으로 분할하는 경우

5C1_4C1_3C3_ 1 2! =10

② 원소의 개수가 각각 1, 2, 2인 3개의 서로소인 부분 집합으로 분할하는 경우

5C1_4C2_2C2_ 1 2! =15 따라서 S(5, 3)=25 Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 S(5, 2)+S(5, 3)=15+25=40

 ⑤

1

(16)

ㄱ. S(4, 2)는 원소의 개수가 4인 집합을 공집합이 아닌 2 개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수와 같 다.

Ú 원소의 개수가 각각 1, 3인 2개의 서로소인 부분집 합으로 분할하는 경우

¢CÁ_£C£=4_1=4

Û 원소의 개수가 각각 2, 2인 2개의 서로소인 부분집 합으로 분할하는 경우

¢Cª_ªCª_ 12! =6_1_;2!;=3 Ú, Û에서

S(4, 2)=4+3=7 (참)

ㄴ. S(n, n-1)은 원소의 개수가 n인 집합을 공집합이 아 닌 (n-1)개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법 의 수이고, 원소의 개수가 1인 집합 (n-2)개와 원소 의 개수가 2인 집합 1개로 분할하는 경우이다. 이 경우 의 수는 n개의 원소 중 2개를 택하여 한 부분집합을 만 들고 나머지 원소를 하나씩 원소로 가지는 부분집합으 로 분할하면 되므로

S(n, n-1)=nC2 (참)

ㄷ. S(n+1, 3)은 원소의 개수가 n+1인 집합을 공집합 이 아닌 3개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수이다.

원소의 개수가 n+1인 집합을 공집합이 아닌 3개의 서 로소인 부분집합으로 분할할 때 다음 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

Ú 특정한 한 원소를 제외한 원소의 개수가 n인 집합을 공집합이 아닌 2개의 서로소인 부분집합으로 분할하 고 특정한 원소를 원소로 가지는 부분집합으로 분할 하는 경우

이 경우의 수는 S(n, 2)이다.

Û 특정한 한 원소를 제외한 원소의 개수가 n인 집합을 공집합이 아닌 3개의 서로소인 부분집합으로 분할하 고 특정한 원소를 각 부분집합 중 하나에 포함시키 는 경우

이 경우의 수는 3_S(n, 3)이다.

Ú, Û에서

S(n+1, 3)=S(n, 2)+3_S(n, 3) (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

2

(x+2)ⁿ의 전개식에서 일반항은 nCr2^n-rx^r

3

Án

k=02n+1Ck=2n+1C0+2n+1C1+y+2n+1Cn

=;2!;(²ⁿ⁺¹C0+2n+1C1+y+2n+1C2n+1) =;2!;_2²ⁿ⁺¹

=2²ⁿ Án

k=0nCk=nC0+nC1+y+nCn

=2ⁿ 이므로

Sn=_k=0Áⁿ (2n+1Ck-nCk)

=_k=0Áⁿ 2n+1Ck-_k=0Áⁿ nCk

=2²ⁿ-2ⁿ S5=2¹⁰-2⁵

=1024-32=992

4

이때 x³, x⁴, x⁵의 계수는 각각

nC3_2^n-3, nC4_2^n-4, nC5_2^n-5 이다.

이 세 수가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

nC3_2^n-3+nC5_2^n-5=2_nC4_2^n-4 양변을 2^n-5으로 나누면

nC3_4+nC5=nC4_4 n(n-1)(n-2)

3_2_1 _4+ n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)5_4_3_2_1

= n(n-1)(n-2)(n-3)4_3_2_1 _4

n¾6이므로 양변을 n(n-1)(n-2)로 나누면 16 _4+(n-3)(n-4)

120 = n-324 _4 정리하면

n²-27n+152=0 (n-8)(n-19)=0

n은 6 이상이고 10 이하인 자연수이므로 n=8

따라서 x⁶의 계수는

8C6_2^8-6=28_4

=112

 ②

(17)

1 ⑤ 2 ① 3 62

Level

3

^{실력 완성} ^{본문 42쪽}

{x²+;[P;}ⁿ의 전개식에서 일반항은

nCr(x²)^n-r{;[P;}^r=nCr p^rx^2n-3r

상수항은 2n-3r=0에서 r=;3@;n일 때이다.

이때 n이 자연수이고 r는 0ÉrÉn인 정수이므로 n은 3의 배수이고 r는 짝수이다.

1215=3⁵_5이므로 r=;3@;n일 때

nCr_p^r=3⁵_5

이다. p는 소수이고 r는 짝수이므로 p=3이고 r는 2 또는 4 이다.

Ú r=2일 때 n=3이고

3C2_3²=3³+3⁵_5 이므로 성립하지 않는다.

Û r=4일 때 n=6이고

6C4_3⁴=3⁵_5 이므로 성립한다.

Ú, Û에서 n=6이고 주어진 식의 일반항은

6Cr 3^rx^12-3r

x³항은 12-3r=3, 즉 r=3일 때이므로 구하는 x³의 계수 는

6C3_3³=20_27=540

 ⑤

1

1부터 5까지의 자연수가 하나씩 적힌 공 5개를 같은 종류의 상자 3개에 각 상자에 적어도 하나의 공이 들어가도록 남김 없이 넣는 경우는 각 상자에 들어가는 공의 개수가 1, 1, 3 인 경우 또는 1, 2, 2인 경우이다.

Ú 각 상자에 들어가는 공의 개수가 1, 1, 3인 경우 1부터 5까지의 자연수 중 3개를 택하여 더하면 모두 나 머지 두 수보다 크므로

5C1_4C1_3C3_ 1 2!

=5_4_1_;2!;

=10

Û 각 상자에 들어가는 공의 개수가 1, 2, 2인 경우 먼저 5개의 공을 넣는 경우의 수는

5C1_4C2_2C2_ 1 2!

=5_6_1_;2!;

=15

이때 각 상자에 들어 있는 공에 적힌 수의 합이 같은 것 이 있는 경우는

(1, 2+5, 3+4) (3, 1+5, 2+4) (3, 1+2, 4+5) (4, 1+3, 2+5) (5, 1+4, 2+3)

에서 5가지가 있으므로 각 상자에 들어 있는 공에 적힌 수의 합이 모두 다른 경우의 수는

15-5=10

 ①

2

네 자리의 자연수의 각 자리의 수를 a, b, c, d라 하면 a, b, c, d는 5 이하의 자연수이다.

또, 이 네 자리의 자연수의 각 자리의 수의 합이 9의 배수이 므로 a+b+c+d가 9의 배수, 즉 9 또는 18이어야 한다.

자연수 9를 5 이하의 자연수 4개로 분할하면

3

S4=2⁸-2⁴

=256-16=240 따라서

S5-S4 =992-240

=752

 ②

(18)

9=5+2+1+1

=4+3+1+1

=4+2+2+1

=3+3+2+1

=3+2+2+2

자연수 18을 5 이하의 자연수 4개로 분할하면 18=5+5+5+3

=5+5+4+4

구하는 네 자리의 자연수의 개수는 위의 9 또는 18을 분할 한 자연수를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다.

Ú 같은 수가 2개만 있는 경우

(5, 2, 1, 1), (4, 3, 1, 1), (4, 2, 2, 1), (3, 3, 2, 1) 과 같이 4가지 경우이고 각각의 경우 네 자연수를 나열 하는 경우의 수는

4!2! =12

이므로 이 경우의 수는 4_12=48

Û 같은 수가 3개 있는 경우 (3, 2, 2, 2), (5, 5, 5, 3)

과 같이 2가지 경우이고 각각의 경우 네 자연수를 나열 하는 경우의 수는

4!3! =4

이므로 이 경우의 수는 2_4=8

Ü 같은 수가 2개씩 2쌍 있는 경우 (5, 5, 4, 4)

의 1가지 경우이므로 이 경우의 수는 2!2! =64!

Ú, Û, Ü에서 구하는 경우의 수는 48+8+6=62

 62

04 확률

1 ④ 2 31 3 ⑤ 4 ② 5 ⑤ 6 ⑤ 7 ⑤ 8 19

A` =S-A이므로 A` ={5, 6, 7}

이때

BÁ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Bª={2, 4, 6, 8}

B£={3, 6, 9}

B¢={4, 8}

n이 5 이상일 때에는 Bn={n}

이므로 사건 A` 과 사건 Bn이 서로 배반사건이 되도록 하는 n의 값은

4, 8, 9

이고 이들의 합은 4+8+9=21

 ④

1

표본공간을 S라 하면 n(S)=5C2

=5_4 2_1 =10

2개의 공에 적힌 자연수가 모두 홀수인 사건이 A이므로 A={(1, 3), (1, 5), (3, 5)}

2개의 공에 적힌 자연수가 모두 소수인 사건이 B이므로 B={(2, 3), (2, 5), (3, 5)}

이때 A ' B={(3, 5)}이므로

A'B={(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5)}

n(A'B)=5이고 n((A'B)` )=5

따라서 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 시행 에서 사건 A'B와 서로 배반인 ∅이 아닌 사건 C의 개수 는 (A'B)` 의 공집합이 아닌 부분집합의 개수와 같으므 로

2⁵-1=31

 31