제5장 이산확률분포
제1절 베르누이시행과 이항분포 / 1. 베르누이시행
이산확률분포 - 1
X = 1 : 만약 실험이 성공이면, 0 : 만약 실험이 실패이면
P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p
E(X) = ∑ x P(X=x) = 0 x (1-p) + 1 x p = p
E (X
2) = 0 x (1-p) + 1 x p = p
Var(X) = E (X
2) - E(X)
2= p - p
2= p(1-p) 식 (4-15) p 84 참조
실험의 결과가 성공과 실패라는 단 두 가지의 상호배타적인 사상으로 나누어지는
실험
제1절 베르누이시행과 이항분포 / 2. 이항분포
이산확률분포 - 2
이항분포 : n개의 베르누이시행 중 성공의 횟수
P(X=k)=( )p (1-p) , k=0,1,2,…,n
n K k n-kn개의 연속적이며 상호 독립적인 베르누이시행을 베르누이 과정이라고 하며, 이 n 개의 베르누이시행 중 성공의 횟수
실험 결과 조건
1. n개의 실험에서 성공의 확률 p는 모두 동일하다.
2. n개의 베르누이 시행은 각각 상호 독립적이다.
제1절 베르누이시행과 이항분포 / 2. 이항분포
이산확률분포 - 3
[예 5.2] 앞면 발생확률 1/3, 뒷면 발생확률 2/3인 비정상적인 동전을 4번 던질 때 앞면이 2번 나올 확률 ?
계산> 확률분포> 이항분포 P(X=2) = ( ) (1/3) ²(2/3) ²= 8/27 = 0.296 4
2
제1절 베르누이시행과 이항분포 / 2. 이항분포
이산확률분포 - 4
Yi = 1 : 만약 i번째 시행이 성공이면, 0 : 만약 i번째 시행이 실패이면
X= ∑ Yi
E(X)= E(∑ Yi ) = ∑ E(Yi) = np Var(X) = ∑ Var(Yi) = n p(1-p)
이항분포 확률변수의 기대치와 분산을 베르누이 확률변수와 연관지어 구하는 방법
제1절 베르누이시행과 이항분포 / 2. 이항분포
이산확률분포 - 5
이항분포 n=10, p=0.5 분포그림
계산> 랜덤데이터 > 이항분포
그래프> 히스토그램
제1절 베르누이시행과 이항분포 / 2. 이항분포
이산확률분포 - 6
이항분포 n=10, p 값이 다양한 이항분포
계산> 랜덤데이터 > 이항분포 c1 : n=10, p=0.5, c2 : n=10, p=0.3, c3 : n=10, p=0.7
제1절 베르누이시행과 이항분포 / 2. 이항분포
이산확률분포 - 7
그래프> 히스토그램 c1 : n=10, p=0.5, c2 : n=10, p=0.3, c3 : n=10, p=0.7
n=10, p=0.5
n=10, p=0.3
n=10, p=0.7
제1절 베르누이시행과 이항분포 / 2. 이항분포
이산확률분포 - 8
이항분포 n=500 p=0.1 이항분포 그래프> 히스토그램
제2절 포아송분포 / 1. 포아송분포
이산확률분포 - 9
포아송분포 : 인쇄물 한쪽당 오자의수, 단위면적당 불량 부분의 수 P(X=k)= λ e / k! , k=0, 1 ,2,…, ≦
[예5.5) 황금은행의 한 지점에 도착하는 고객의 수 1분당 λ=2.4명의 포아송분포 1분에 2명이 도착할 확률은 ?
P(X=2)= λ2 e-2.4 / 2 ! = 0.261268
k -λ
계산> 확률분포 > 포아송분포
[예5.5) 4명 이상이 1분 이내에 도착할 확률
연습 풀이
제2절 포아송분포 / 1. 포아송분포
이산확률분포 - 10
포아송분포 : 인쇄물 한쪽당 오자의수, 단위면적당 불량 부분의 수 P(X=k)= λ e / k! , k=0, 1 ,2,…, ≦
[예5.5) 황금은행의 한 지점에 도착하는 고객의 수 1분당 λ=2.4명의 포아송분포 1분에 2명이 도착할 확률은 ?
P(X=2)= λ2 e-2.4 / 2 ! = 0.261268
k -λ
계산> 확률분포 > 포아송분포
[예5.5) 4명 이상이 1분 이내에 몰려올 확률
연습 풀이
제2절 포아송분포 / 1. 포아송분포
이산확률분포 - 11
포아송분포 : 인쇄물 한쪽당 오자의수, 단위면적당 불량 부분의 수 E(X)= λ, Var(X) = λ
사망 기병의 수 관측 빈도(부대수) 상대 빈도 이론적 확률
0 145 0.5179 0.4984
1 90 0.3214 0.3471
2 32 0.1143 0.1208
3 11 0.0393 0.0281
4 2 0.0071 0.0049
5이상 0 0.0000 0.0007
계 280 1.0000 1.0000
표본 평균 = ( 0*145+1*90+ …)/ 280=0.6964
표본분산 = ( 145* (0-0.6964)2+ 90*(1-0.6964) 2+ …)/279=0.7641
제2절 포아송분포 / 1. 포아송분포
이산확률분포 - 12
[예 5.7) 아래 자료(bank.mtw)는 어느 날 시중 은행의 본점객장에 입장하는 고객의 수를 5분 단위로 기록한 자료의 일부이다. 이 자료의 표본평균과 표본분산을 구하라.
계산> 확률분포 > 포아송분포
P(X≥80)= 1-P(X≤79)
= 1- 0.8709 = 0.1291
제2절 포아송분포 /
3. 포아송분포의 두 가지 특징이산확률분포 - 13
특징 1
상호 독립인 두 확률 변수 X, Y가 각각 λ₁, λ₂를 모수로 가진 포아송분포 두 확률 변수의 합 (X+Y)는 (λ₁+λ₂)를 모수로 가진 포아송분포
[예 5.9] 일방통행도로와 A와B는 한 지점에서 합쳐져 도로 로 이어진다 계산>확률분포> 포아송분포
도로 A
도로 B
도로 C
c
b a 0.5760
제2절 포아송분포 /
3. 포아송분포의 두 가지 특징이산확률분포 - 14
특징 2
모수 λ를 가진 포아송분포에 따라 발생하는 사상이 기록될 확률을 p라고 하자 사상의 발생과 기록이 상호 독립적이면
기록되는 사상의 수는 λp임
[예 5.10] 대형 슈퍼마켓 계산대에 도착하는 고객의 수는 분당 평균 16명이며, 이들 중 구입 품목이 10개 이내의 소품목 구입 고객 수는 10%라고 한다.
λ=16, p=0.1 λp =1.6
1) 분당 구입 품목이 10개 이내인 고객의 도착 수가 2인 이내일 확률,
P(X≤2)=1.62e -1.6 / 2 ! =0.7834
2)분당 구입 품목이 10개 이내인 고객의 도착 수가 3인 이상일 확률 각자풀이
0.7834
제3절 초기하분포
이산확률분포 - 15
한 모집단이 소집단1과 2로 나누어지고 이 소집단 들의 크기가 K와 (N-K) 라고 하자 이 모집단 n 개의표본을 추출할 때 소집단 1로부터 추출하는 표본의 수가 초기하분포의 확률변수 이다
P(X=k)=( ) ( )/( ) , k=0, 1, …, min (n,K)
소집단 1에서 나오 확률 K/N, 소집단2에서 나올확률 (N-K)/N Y₁,Y₂를 첫 번째 두 번째 추출하는 요소라고 하면
P(Y₂는 소집단 1 소속)/Y₁은 소집단 1소속) = (K-1)/(N-1) P(Y₂는 소집단 1 소속)/Y₁은 소집단 2소속) = K/(N-1) P(Y₂는 소집단 2 소속)/Y₁은 소집단 1소속) = (N-K)/(N-1) P(Y₂는 소집단 2 소속)/Y₁은 소집단 2소속) = (N-K-1)/(N-1)
소집단 1 크기 K
소집단 2 크기 N- K
K k
N-K n-k
N n
제3절 초기하분포
이산확률분포 - 16
복원, 비복원 및 유한, 무한모집단의 차이에 의한 분산의 차이
