LINEAR ALGEBRA 2
2012 LECTURE NOTE - WEEK 10
prepared by 강병련 revised at 2012. 11. 18
7.2. Diagonalization
앞 절을 비롯하여 여러번 행렬 A는 대각행렬이 아니지만 적당한 가역행렬 P 가 존재하여 P−1AP 가 대각행렬이 되는 예를 많이 보았다. 행렬 A가 이런 예들처럼 대각행렬과 similar 하면대각화 가능(diagonalizable)하다고 한다.
이 절에서는 대각화 가능한 행렬들을 특징을 살핌으로써 행렬이 대각화 가능하기 위한 (필요)충분조건을 찾아 본다. 먼저 고유치의 관점에서 두 유사행렬의 공통점을 찾아본다.
대각원소가 d1, d2, · · · , dn인 n차 대각행렬은 diag(d1, d2, · · · , dn)로 표현한다.
정리 7.2. n차 정사각행렬 A와 B가 P−1AP = B를 만족하면 A와 B는 같은 고유치를 갖는 다.
증명. Bv = λv라고 가정하자. 그러면
(P−1AP )v = Bv = λv
⇒ A(P v) = P λv = λ(P v).
따라서 λ는 A의 고유치, P v는 고유벡터이다.
사실이는 다음보조정리로부터도 바로 유도된다.
Lemma 7.3. P−1AP = B이면 A와 B의 특성다항식이 같다.
증명. B의 특성다항식을 pB(t)라 쓰자. 그러면 pB(t) = |tI − B| = |tI − P−1AP | = |tP−1IP − P−1AP | = |P−1(tI − A)P | = |P−1| |tI − A| |P | = |P−1| |P | |tI − A| = |tI − A| = pA(t) since
|P−1| |P | = 1.
대각화 가능한 행렬에 대한 성질을 얻기 위한다면 당연히 먼저 대각행렬들을 살펴봐야 할 것이다. 7.1절의 예로부터 알 수 있듯이, e1, e2, · · · , en이고유치가 각각 d1, d2, · · · , dn인 대각 행렬 D = diag(d1, d2, · · · , dn)의 고유벡터이다. 따라서 정리 7.2로 부터, 행렬 A가 P−1AP = D를 만족하는 대각화 가능한 행렬이 되기 위해서는 그 필요조건으로 P e1, P e2, · · · , P en을 고유벡터로 가져야만 한다. 그런대 학기말 시험문제에서 확인했듯이 P e1, P e2, · · · , P en은 e1, e2, · · · , en처럼 Rn의기저가 된다(참조: 연습문제 7.1의 8번). 이제 우리는 이 필요조건이 충분조건임을 확인한다.
정리 7.4. n × n 행렬 A가 대각화가능한 행렬이 되기 위한 필요충분조건은 A가 일차독립인 n개의 고유벡터를 가지는 것이다.
1
증명. 충분조건만 보이면 된다. 충분조건의 구체적인 증명은 예 7.1.1과 식 (7.1)이다.
S를 Rn의 표준기저, B = {v1, v2, · · · , vn}를 A의 고유벡터들로 구성된 Rn의기저, Avi = divi라고 하자. 그러면, P 가 기저 B로부터 기저 S로의 전이행렬이라면, 식 (7.2)에서처럼
P−1[T ]SSP = [T ]BB
이 성립하고, [T ]SS = A, [T ]BB = diag(d1, d2, · · · , dn)이므로 P−1AP = diag(d1, d2, · · · , dn).
따라서 A는 대각행렬과 similar하다.
Lemma 7.5. P 는 n차 가역행렬이다. {v1, v2, · · · , vn}이 Rn의 기저이면, {P v1, P v2, · · · , P vn}
도 Rn의 기저이다.
증명. {P v1, P v2, · · · , P vn}는 n개의 벡터이므로 일차독립임을 보이면 기저가 된다 . c1P v1+ c2P v2+ · · · + cnP vn= 0
이라고 가정하자. c1P v1+ c2P v2+ · · · + cnP vn= P (c1v1+ c2v2+ · · · + cnvn)이므로 양변에 P−1를곱하면 c1v1+ c2v2+ · · · + cnvn= 0. {v1, v2, · · · , vn}이 기저이므로 일차독립, 따라서
c1= c2= · · · = cn= 0.
따라서 {P v1, P v2, · · · , P vn}은 기저가 된다. 이 절의 주정리인 정리 7.4로부터 행렬 A가 대각화 가능한지를 알기 위해서는 우리는 A의 고유벡터들을 다 찾아 기저를 이루는 지를 확인하기만 하면된다. 이 경우 성공한다면, good!
그러나 실패한다면, 대각화가 가능하지 않음을 확인하기 위하여 너무 많은 계산을 하여야만 한다. 따라서 구하기 전에 그런 행렬들을 판단할 수 있다면 아주 유용할 것이다. 고유벡터를 구하기 위해 우리는 고유치를 먼저 구해야만 한다. 그러면 고유치만으로 대각화 가능함을 판단할 수 없을까? 다음 정리가 이 질문에 대한 답이다.
정리 7.6. n차 행렬 A가 n개의 서로 다른 고유치를 가지면, A는 대각화 가능하다. 즉 Avi = λivi이고, 모든 i와 j에 대하여 λi6= λj이면 {v1, v2, · · · , vn}는 일차독립이다.
증명. n에 대한 수학적귀납법을 사용하자. 고유벡터는 영벡터가 아니므로 {v1}은 일차독립 이다. n − 1개에 대하여 성립한다고 가정하고
c1v1+ c2v2+ · · · + cn−1vn−1+ cnvn= 0 (1) 라놓자. A를 식 (1)에 적용하면,
c1λ1v1+ c2λ2v2+ · · · + cn−1λn−1vn−1+ cnλnvn= 0. (2) 식(1)에 λn을곱한 후 식(2)를 빼면
c1(λn− λ1)v1+ c2(λn− λ2)v2+ · · · + cn−1(λn− λn−1)vn−1 = 0.
수학적 귀납적 가정에 의하여 {v1, v2, · · · , vn−1}는 일차독립이므로, 모든 1 ≤ i ≤ n − 1에 대하여 ci(λn− λi) = 0. 정리의 가정에 의하여, 1 ≤ i ≤ n − 1에 대하여 λn6= λi이므로
ci = 0 (1 ≤ i ≤ n − 1).
이결과를 식 (1)에 대입하면 cnvn= 0
를 얻고, vn6= 0이므로 cn= 0.
물론 위 정리의 역은 성립하지 않는다. n차 단위 행렬은 고유치가 1 하나뿐이나 고유벡터 로 이루어진기저를 가짐은 이미 잘 알고 있는 사실이다. 예 7.1.3의 예들에서도 위의 정리의 역이 참이 아님을 확인해 보기 바란다.
예제 7.2.1. (1) 예 7.1.1의 3차 행렬은 세 개의 다른 고유치를 갖는다. 따라서 대각화 가능하 였다.
(2) 대각행렬 diag(1, 1, 1)을 비롯하여 7.1절의 예에서 서로 다른 고유치를 갖지 않으면서 일차독립인고유벡터들이 기저를 이루는 예들을 확인하여라.
따름정리. T : V → V 는 n차원 벡터공간 V 의 선형변환이다. T 가 n개의 서로 다른 고유치를 가지면, V 는 T 의 고유벡터들로 구성된 기저를 갖는다. 또한 이 기저에 관한 T 의 행렬은 대각행렬이다.
다음은 행렬을 이용하여 선형변환 T : V → V 의 고유치와 고유벡터를 계산하는 방법이다.
(1) V 의 기저 B를 선택한다.
(2) 기저 B에 관한 T 의 행렬 A를 계산한다.
(3) 행렬 A의 고유치와 고유벡터를 구한다. 이때 얻은 고유벡터는 고유벡터 v의 [v]B
이다.
(4) [v]B로부터 v를 구한다.
고유치를 계산하지 않고도 행렬의 형태만으로 대각화 가능한지를 판정할 수 없을까? 놀랍 게도 대칭행렬은 대각화가능할만큼 충분한 고유벡터를 제공하는 것을 7.3절에서 확인할 수 있다. (우리 교재에서는 이 부분의 증명은 생략되어 있다. 구체적인 증명은 이 강의록의 8장 의 내용을 필요로 한다. ) 물론 예제 7.1.1.처럼 대칭행렬이 아니라도 대각화 가능한 행렬들은 아주 많다.
연습문제 7.2
1. 선형변환 T : V → V 가 대각화가능하다는 것을 정의하라.
2. 정리 7.6은 정리 7.4보다 도움이 되는가? 도움이 된다면 어떤 점이? 도움이 안 된다면 어떤 점 때문에?
교재연습문제
1-34번은 주어진 행렬이 대각화 가능한지를 판정할 수 있고, 대각화 가능한 경우 P−1AP = D인 P, D를 구할 수 있으면 통과!
증명문제: 39, 40, 51, 52
7.3. 대칭행렬과 직교대각화 Symmetrc Matrices and Orthogonal Diagonalization 2차 대칭행렬
대칭행렬은 단순히 대각화가능한 것보다 더 많은 정보를 우리에게 준다. 먼저 (00반의 경우 1학기 학기말 과제였던) 2차 대칭행렬의 경우를 자세히 살펴봄으로써 n차 대칭행렬에 대한 일반적인 성질들을 추론하여본다.
다음에 소개하는 2차 대칭행렬의 풀이는 한 학생의 풀이 방법에 기초하여 재구성한 것 이다.
먼저 A =1 0 0 1
, 혹은 A =0 0 0 0
이면 당연히 대각화 가능하다. 따라서 A는 aI가아닌 2 차 대칭행렬이라고 가정한다.
A =a b b d
. pA(t) =
t − a −b
−b t − d
= t2− (a + d)t + ad − b2 가 다른 두 실근을 가질 조건은
D = (a + d)2− 4(ad − b2) = (a − d)2+ (2b)2 > 0
그런데 이 식은 a = d, b = 0인 경우를 제외하고는 즉, A는 aI를 제외하고는 항상 성립한다.
따라서 aI가 아닌 모든 2차 대칭행렬도 서로 다른 두 고유치를 가지므로 정리 7.6에 의하여 항상 대각화 가능하다. 따라서 다음 정리의 첫번째 주장은 증명되었다.
정리 7.7. 2차 대칭행렬 A는 (1) 대각화가능하다.
(2) 자신의 고유벡터로 구성된 정규직교기저를 생산한다.
(3) 행렬 P 를 A의 고유벡터로 구성된 정규직교기저가 열이 되는 행렬로 잡으면, P−1AP 가 대각행렬이다.
증명. (2) A = aI인 경우는 표준기저가 A의 고유벡터로 구성된 직교기저이다. 따라서 A 6= aI 라고 가정하자. 앞의 표현을 그대로 빌리면, A의 두 고유치는
(a + d) +√ D
2 , (a + d) −√ D
2 .
λ1 = (a+d)+
√ D
2 이면, 이에 대응하는 고유벡터 v1는
"(a+d)+√D
2 − a −b
−b (a+d)+
√D
2 − d
#x y
=0 0
⇒x y
=
2b
−a + d +√ D
= v1
λ2 = (a+d)−
√ D
2 이면, 이에 대응하는 고유벡터 v2는
"(a+d)−√D
2 − a −b
−b (a+d)−
√ D
2 − d
#x y
=0 0
⇒x y
=
2b
−a + d −√ D
= v2 두벡터의 내적은
(2b)(2b) + (−a + d +√
D)(−a + d −√ D)
D = (a − d)2+ (2b)2을 이용하면, 누구든지 계산하여 0이 됨을 확인할 수 있는 식!! 이제, u1 = v1
||v1||, u2 = v2
||v2||
로 놓으면 u1, u2는 고유치가 각각 λ1, λ2인 A의 고유벡터로서 R2의 정규직교기저가 된다.
(3)은 (2)에 7.2절의 내용을 적용하면 된다. (정리7.4) 위 정리는 2차 대칭행렬은 좀 더 강한 조건으로 대각화가 됨을 보여준다. 즉, A가 2차 대칭 행렬이면, 행렬의 열벡터가 정규직교기저가 되는 행렬 P = [u1 u2]가 존재하여 P−1AP = D 임을 말해준다.
직교행렬 orthogonal matrix
n차 행렬 P 의 열벡터가 Rn의 정규직교기저이면, P 를 직교행렬 (orthogonal matrix) 이라 부른다.
{v1, v2, · · · , vn}이 Rn의 정규직교기저라고 하자. 그러면 vTi · vj = vi· vTj =
(1 for i = j 0 for i 6= j 단,
vj =
v1j
v2j ... vnj
.
따라서 직교행렬 P = [v1v2 · · · vn]는 다음을 만족한다.
(7.1) PT P =
v1T v2T
· · · vnT
v1 v2 · · · vn = In, P PT =v1 v2 · · · vn
vT1 vT2
· · · vTn
= In.
역으로 어떤 행렬 P = [v1v2 · · · vn]가 식 (7.2) 를 만족하면, P 의 열벡터가 정규직교기저를 이루는것은 당연하다. 따라서 직교행렬은 다음과 같이 정의하기도 한다.
Definition 7.3.1.
P : 직교행렬 ⇐⇒ P PT = PTP = I ⇐⇒ P−1 = PT
당연히 n차 행렬 P 가 직교행렬이면 PT도 직교행렬이고, 따라서 P 의 행도 Rn의 정규직 교기저를 이룬다.
직교대각화 orthogoally diagonalizable
2차 대칭행렬 A는 직교행렬 P 가 존재하여 P−1AP = D를 만족한다. 임의의 n차 정사 각 행렬 A에 대하여 적당한 직교행렬 P 가 존재하여 P−1AP 대각행렬이 될 때 직교대각화 (orthogoally diagonalizable)한다고 부르자. 따라서 2차 대칭행렬은 직교대각화 가능하다.
직교대각화 가능한 2차 행렬은 모두 대칭행렬일까? 정리 7.7의 역을 자연스럽게 생각할 수 있다. 그런데 P 가 직교행렬이고 P−1AP = D(D : 대각행렬)이면, A = P DP−1= P APT (∵ PT = P−1이므로 ).
(7.2) AT = (P DPT)T = (PT)TDTPT = P DPT = A.
AT = A이므로, A는 대칭행렬이다. 따라서 직교대각화 가능한 n차 행렬은 대칭행렬이다.
이제 2차 대칭행렬에 대한 정리 7.7과 위의 관찰에 의해 다음을 얻는다.
정리 7.8. 2차 행렬에 대하여 다음 두 사실은 동치이다.
(1) A는 대칭행렬이다.
(2) A는 직교대각화가능하다.
그럼 3차 이상의 대칭행렬은?
식 (7.4)로부터 n ≥ 3이라도 n차 직교대각화가능한 행렬은 대칭행렬임은 알 수 있다. 역 으로 대칭행렬은 직교대각화가능할까? 이에 대한 답을 추측하기 위하여 다음 대칭행렬들이 대각화, 혹은 직교대각화 가능한지 살펴보자.
예제 7.3.1 (교재의 7.3절의 예 3). 다음 행렬의 고유벡터를 구하고, 직교대각화 가능한지 판정하여라.
1 −2 0 0
−2 1 0 0 0 0 1 −2 0 0 −2 1
예제 7.3.2 (교재의 7.3절의 예 9). 다음 행렬의 고유벡터를 구하고, 직교대각화 가능한지 판정하여라.
2 2 −2 2 −1 4
−2 4 −1
예제 7.3.1가 7.3.2의 계산은 이 강의록에서는 생략한다. 교재의 풀이를 참고하기 바람 위의예제의 대칭행렬은 모두 직교대각화 가능하였다. 예제 7.1.3의 4차 행렬의 특성 다항 식과 고유공간의 차원은 각각 다음과 같았다.
p(t) = (t + 1)2(t − 3)2, dim E−1 = 2, dim E3 = 2
또 예제 7.1.4의 3차 행렬의 특성 다항식과 고유공간의 차원은 각각 다음과 같았다. Eλ는 고유치가 λ인 고유공간이다.
p(t) = (t − 3)2(t + 6), dim E3= 2, dim E−6 = 1
사실 n차 대칭행렬이 n개의 서로 다른 고유치를 가지면 대각화 가능(정리 7.6)할 뿐만 아니라 직교대각화가 가능하다. 왜냐하면, Av1= λ1v1, Av2 = λ1v2이고 λ1 6= λ1일 때, A가 대칭행렬이면 v1· v2임을 쉽게 보일 수 있다 (연습문제). 따라서, n차 대칭행렬 A가 n개의 서로 다른 고유치를 가지면 직교대각화 가능하다. 따라서 n 차 대칭행렬의 대각화의 계산 과정에서 다음과 같은 일이 일어날 확률이 아주 높음을 짐작해 볼 수 있다.
대칭행렬의 대각화 과정 A는 n차 대칭행렬이다.
(1) pA(t) = (x − λ1)s1(x − λ2)s2· · · (x − λr)sr with s1+ s2+ · · · sr= n (2) dim Eλi = si (1 ≤ i ≤ r)
(3) 1 ≤ i ≤ r에 대하여 고유공간 Eλi의 직교기저을 구한다. 그러면 이 직교기저들의 합집 합이 A의 고유벡터가 되는 Rn의 직교기저이다. 따라서 (1), (2)가 항상 일어난다면 n차 대칭행렬 A는 직교대각화 가능하다.
우리는 8.1절에서 (1)을, 8.3절에서 (2)를 증명한다.
연습문제 7.2
1. (1) A는 n차 행렬이고 x ∈ Rn이면 Ax · y = A · ATy임을 보여라.
(2) A는 n차 대칭행렬이고, Av1 = λ1v1, Av2 = λ1v2이고 λ16= λ1이면 v1· v2임을보여라.
교재연습문제
주어진 행렬이 대각화 혹은 직교 대각화 가능한지 판정할 수 있고 P−1AP = D인 P 와 대각행렬 D를 구할 수 있다면 충분!!
7.4. 고유치와 고유벡터의 응용
이 절에서 소개하는 고유치와 고유벡터의 응용은 크게 3 가지로 나눌 수 있다. 첫번째는 개 체수증가문제에의 응용이고, 두번째와 세번째는 선형미분방정식과 이차동차다항식에서의 응용이다. 이차동차다항식에의 응용은 이미 앞에서 공부한 이차평면곡선의 분류에도 이용할 수 있다. 이 절의 구체적인 예들은 교재의 예를 따르므로 이 강의록에 더 첨가하지는 않는다.
여기에는 교과서와 똑 같은 내용이므로 생략되었지만, 사실 7장의 가장 중요한 부분이라 할 수 있다.
