제 7주 이산형 확률분포
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* 결과가 두 가지만 나오는 실험을 반복하는 경우의 문제를 다룬다.
베르누이 시행 (Bernoulli Trial)
시행 : 두 개의 결과 : 성공 (Success) : 실패 (Failure) 각 시행에서 로 일정하다.
각 시행은 서로 독립이다.
예제 1
만약 1500개의 상품 중 500개 불량품
(Note) 비복원 추출의 경우에도 모집단의 크기가 표본의 크기에 비해 아주 클 때,
(10배정도), 매 추출을 독립이라고 보고 베르누이 시행 모형을 적용시킬 수 있다.
2 2 1
( ) 1/ 3 ( | ) 499 /1499 1/ 3
P S P S S
1/ 3 p
5개 불량품 복원 추출 : 불량품( ) 정상품( ) (독립)
비복원 추출 : 두 개의 결과
(독립X) 15개
( ) P S p
S F
S F
1/ 3 p 2 2 1
( ) 1/ 3 ( | ) 4 /14 P S P S S
: 확률변수 – 번의 베르누이 시행 중 성공의 횟수
: 성공의 확률
: 모수 ( 의 값이 주어지면 의 모든 확률분포가 밝혀진다.)
가 취하는 값 : 0,1,…,
[ 0] (1 )n n 1 P X p q q p
1 1
[ 1]
1
n n n
P X npq pq
2 2
[ 2]
2 n n
P X p q
[ ] n k n k
P X k p q
k
X
n
p
~ ( , )
X Bin n p p p X
X
n
8 6
4 2
0 60
50
40
30
20
10
0 6
5 4 3 2 1 0 60
50
40
30
20
10
0 4 5 6 7 8
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
p =0.3 =0.5 =0.9p p
~ (15, 0.8) [ 7] 0.004
[ 12] [ 11] 0.352
~ (11, 0.3) [ 2] 0.313
[2 6] [ 5] [ 1] 0.922 0.113 0.809
X Bin P X
P X P X
Y Bin P Y
P Y P Y P Y
이항분포의 기대값과 분산
번째 시행에서의 성공횟수 = 서로 독립인 확률변수 (베르누이시행)
1 2 n
X B B B
1 2
( ) ( ) ( ) ( n) E X E B E B E B np
( 1) 1 ( ) 0 ( ) E B P S P F p
2
1 2
( ) ( ) ( ) ( n) ( ) (1 )
Var X Var B Var B Var B n p p np p
2
1 1
( ) ( )
E B E B p 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( ( ))
Var B E B E B p p
(독립)
~ ( , ) X Bin n p
Bi i 1
0
if S if F
모집단의 크기가 크지 않을 때 비복원 추출은 서로 독립이 아니다.
(eg)
일반적으로 크기가 인 모집단 중 의 개수가 일 때, 크기가 인 표본 중 의 개수를 라 하면 는 초기하 분포를 따른다.
5 45 2 8 ( 2)
50 10 P X
5 45 1 9 ( 1)
50 10 P X
5개 불량
50 개 10개
: 불량의 개수
( )
D N D x n x P X x
N n
0 1
a
X
X X
N A D n A
: 모집단의 크기 : 의 개수 : 표본의 크기 : 표본 중 의 갯수
! ( )!
!( )! ( )!( )!
[ ]
!
!( )!
D N D D N D
x n x x D x n x N D n x P X x
N N
n N n n
! ( 1) ( 1) ( )( 1) ( 1)
!( )! ( 1) ( 1)
n D D D x N D N D N D n x
x n x N N N n
( ) ( )
n D D N D N D
x NN N
(1 )
x n x
n p p
x
N D A
n
X A
포아송 분포
베르누이 시행의 횟수가 무한히 많고, 매 시행의 성공확률은 매우 낮으나 단위 시간(구간)에 일어나는 평균 성공횟수는 일정할 때 적용할 수 있는 분포이다.
포아송 분포가 만족하는 특성
항상성: 평균 성공횟수는 구간의 길이에만 영향을 받는다.
비 집락성: 한 순간에 2회 이상 성공이 일어날 확률은 거의 0이다.
독립성: 겹치지 않는 구간에서의 성공횟수는 서로 독립이다.
: 단위 시간당 평균 성공횟수가 일 때 단위 시간당 성공횟수.
~ 평균이 인 포아송 분포
~
[ ] 0,1,2,
!
m x
P X x e m x
x
m
X m
( ) P m
~ ( , ) 0
X Bin n p n p np m
[ ] ! (1 )
!( )!
x n x
P X x n p p
x n x
1 ( 1) ( 1) (1 )
!
x m n x
n n n x p
x n
1 1
( ) (1 ) ( )
! !
x m n x m
np m e
x n x
