이항분포 (binomial distribution)

(1)

이항분포 (binomial distribution)

이항실험의 네 가지 속성

3. 성공 확률을 p로 표시하는데 이 확률은 시행에 따라 변하지 않는다

4. 각 시행은 독립적이다.

2. 각 시행에서 두 개의 결과가 가능하다. 결과 중 하나는 성공(success), 다른 하나는 실패(failure)라고 부른다. 1. 실험은 n개의 연속된 동일한 시행으로 구성된다.

시행마다 동 일한 가정

(2)

이항 분포

관심사항은 n회 시행에서 성공횟수는 얼마인가?

이다.

x

를

n

회 시행에서 성공한 횟수라고 하자.

(3)

여기서 :

f(x) = n회 시행 중 x회 성공 확률

n = ^{시행 횟수}

p = 하나의 시행에서 성공 확률

( )

( ) ! (1 )

!( )!

x n x

f x n p p

x n x

 



( )

( ) ! (1 )

!( )!

x n x

f x n p p

x n x

 



이항 분포

 이항확률 함수

(4)

( )

( ) ! (1 )

!( )!

x n x

f x n p p

x n x

 



( )

( ) ! (1 )

!( )!

x n x

f x n p p

x n x

 



이항 분포

!

!( )!

n x n x 

!

!( )!

n

x n x  p p

^x^x

(1 (1   p p ) )

⁽⁽^{n x}^{n x}^^ ⁾⁾

 이항확률 함수

n회 시행 중 x회 성공을 가져오는 특정한 일련의 실험결과에

대한 확률 n회 시행 중 딱 x회 성공할

실험결과의 수

(5)

이항 분포

■

^예: Evans Electronics

 Evans회사는 근로자들에 대한 낮은 근속율을 걱정하고 있다. 최근, 경영진은 시간제 근로자 중 연간 10%가 이동 한 것으로 알고 있다.

 그래서, 경영진은 무작위로 선정한 시간제 근로자에 대하 여, 그 근로자가 내년에 회사에서 일하지 않을 확률이 0.1 이라고 추정하였다.

(6)

이항 분포

 이항확률 함수 이용

시간제 근로자 3명을 무작위로 뽑을 경우, 그 중에 한 명이 금년에 회사를 떠날 확률이 얼마인가?

f x n

x n x p

^x

p

^{n x}

( ) !

!( )! ( )

⁽ ⁾

  1 

^

f x n

x n x p

^x

p

^{n x}

( ) !

!( )! ( )

⁽ ⁾

  1 

^

1 2

(1) 3! (0.1) (0.9) 3(.1)(.81) .243 1!(3 1)!

f   



1 2

(1) 3! (0.1) (0.9) 3(.1)(.81) .243 1!(3 1)!

f   



Let: p = .10, n = 3, x = 1

(7)

이항 분포

계통도(tree diagram)

1^st 근로자 2^nd 근로자 3^rd 근로자 x ^확률.

Leaves Leaves(.1)

(.1)

Stays (.9) Stays

(.9)

33

22

00 22 22

Leaves (.1) Leaves (.1) Leaves (.1) Leaves (.1)

S (.9) S (.9)

Stays (.9) Stays (.9)

S (.9) S (.9)

S (.9) S (.9) L (.1)

L (.1)

L (.1) L (.1) L (.1) L (.1) L (.1)

L (.1) .0010.0010

.0090 .0090

.7290 .7290 .0090 .0090

11 11

.0810 .0810

.0810 .0810 .0810 .0810 11

(8)

 이항확률 테이블 이용

n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

3 0 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250 1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750 2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750 3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250

p

n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

3 0 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250 1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750 2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750 3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250

p

이항 분포

(9)

 이항확률 테이블 이용

n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

3 0 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250 1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750 2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750 3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250

p

n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

3 0 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250 1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750 2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750 3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250

p

이항 분포

(10)

이항 분포

E(x) =



= 3(.1) = .3 3명 중

Var(x) =



² = 3(.1)(.9) = .27 기대값

분산

표준편차



 3(.1)(.9) =.52 명