정답

올 림 포 스 고 난 도 미적분

정답 ^과 풀이

해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 1 2019-02-15 오후 12:59:44

수열의 극한

01

내신 우수 문항

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

본문 8~11쪽

01

이때 1+;1!;, 1+;2!;, 1+;3!;, 1+;4!;, y이므로 수열 [ n+1n ]은 1로 수렴한다.

ㄴ. sin`;2Ò;, sin`p, sin` 3p2 , sin`2p, y

즉, 1, 0, -1, 0, y이므로 수열 [sin` np2 ]는 진동(발산)한다.

ㄷ. 0, ;2!;, 0, ;8!;, 0, ;3Á2;, y이므로

수열 [{;2!;}Ç` +{-;2!;}Ç` ]은 0으로 수렴한다.

따라서 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄷ이다.

 ④

02

=lim_n`

Ú¦{(aÇ+bÇ)Û`-2aÇ bÇ}

=limn`Ú¦(aÇ+bÇ)lim<sub>n`Ú¦</sub>(aÇ+bÇ)-2 lim_n`Ú¦ aÇ bÇ

=4_4-2_(-5)

=26

 ①

03

aÇ= bÇ+4

2bÇ-7이고 lim

n`Ú¦ bÇ=5이다.

따라서

n`limÚ¦ aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub> bÇ+4 2bÇ-7

= _n`lim

Ú¦ bÇ+lim_{n`Ú¦</sub> 4 2 lim<sub>n`}

Ú¦ bÇ-lim_n`Ú¦ 7 = 5+42_5-7 =3

 ③

04

4n+5 이고 limn`Ú¦ bÇ=6이다.

따라서

n`limÚ¦(3n-1)aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>(3n-1)bÇ 4n+5 =lim_n`

Ú¦ 3n-14n+5 _limn`Ú¦ bÇ =lim

n`Ú¦

3-;n!;

4+;n%;_6 =;4#;_6

=;2(;

 ⑤

다른풀이 lim_n`

Ú¦(3n-1)aÇ=lim_n`Ú¦(4n+5)(3n-1)aÇ 4n+5

=limn`Ú¦(4n+5)aÇ_lim<sub>n`Ú¦</sub> 3n-14n+5

=6_lim_n`

Ú¦

3-;n!;

4+;n%;

=6_;4#;

=;2(;

05

4- 3nÛ`

= 6+04-0 =;2#;

 ③

06

2nÛ`+1

=lim_n`

Ú¦

(nÜ`+3nÛ`+3n+1)-(nÜ`-3nÛ`+3n-1) 2nÛ`+1

=limn`Ú¦ 6nÛ`+22nÛ`+1

=limn`Ú¦

6+ 2nÛ`

2+ 1nÛ`

= 6+02+0

=3

 ①

정답과 풀이 3

=lim_n`

Ú¦

10("ÃnÛ`+an +n) ("ÃnÛ`+an -n)("ÃnÛ`+an +n)

=lim_n`

Ú¦

10("ÃnÛ`+an +n) an

=limn`Ú¦

10{®É1+ an +1}

a

=10('¶1+0 +1) a

= 20a 이므로 20a =4 따라서 a=5

 ⑤

11

=limn`Ú¦

("ÃnÜ`+6n -"ÃnÜ`-6n )("ÃnÜ`+6n +"ÃnÜ`-6n )('Än+2+'Än-2 ) ('¶n+2 -'¶n-2 )('¶n+2 +'¶n-2 )("ÃnÜ`+6n +"ÃnÜ`-6n )

=limn`Ú¦

12n('¶n+2 +'¶n-2 ) 4("ÃnÜ`+6n +"ÃnÜ`-6n )

=lim_n`

Ú¦

3{®É1+ 2n +®É1-2 n }

®É1+ 6nÛ`+®É1- 6nÛ`

=3('Ä1+0+'Ä1-0) 'Ä1+0+'Ä1-0

=3

 ③

12

n 이때

n`limÚ¦ 2n-1n =lim

n`Ú¦

2- 1n 1 =2

n`limÚ¦ 2n+3n =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

2+ 3n 1 =2

이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

n`limÚ¦ aÇ=2

 ②

13

nÛ`<7+ 5n 이때

n`limÚ¦{7+ 2n }=7, lim<sup>n`</sup>Ú¦{7+ 5n }=7

07

=4_k=1Áⁿ kÛ`

=4_n(n+1)(2n+1)

6

=2n(n+1)(2n+1)

3 따라서

n`limÚ¦

3nÜ`

2Û`+4Û`+6Û`+y+4nÛ`=lim_n`

Ú¦

9nÜ`

2n(n+1)(2n+1)

=lim_n`

Ú¦

9 2{1+ 1n }{2+1

n }

= 9

2(1+0)(2+0)

=;4(;

 ④

08

(a+2)nÛ`+bn-1

n+2 =5에서

a+2+0이면 lim

n`Ú¦

(a+2)nÛ`+bn-1

n+2 은 발산하므로 a+2=0이어야 한다.

즉, a=-2 이때

n`limÚ¦

(a+2)nÛ`+bn-1

n+2 =lim

n`Ú¦

b- 1n 1+ 2n

=b=5

따라서

a+b=-2+5=3

 ③

09

=limn`Ú¦

("ÃnÛ`+4n -n)("ÃnÛ`+4n +n)

"ÃnÛ`+4n +n

=limn`Ú¦

4n

"ÃnÛ`+4n +n

=lim_n`

Ú¦

4

¾¨1+ 4n +1

= 4

'Ä1+0+1

=2

 ②

10

10

"ÃnÛ`+an -n

해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 3 2019-02-15 오후 12:59:45

이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

n`limÚ¦

aÇ nÛ`=7 따라서

n`limÚ¦

nÛ`+aÇ 4nÛ`+3n=lim

n`Ú¦

1+aÇ nÛ`

4+ 3n = 1+74+0 =2

 ④

14

n`Ú¦

2_8Ç`+5 (2Ç`+1)(4Ç`+1)

=lim

n`Ú¦

2+ 58Ç`

{1+ 12Ç` }{1+ 1 4Ç` } = 2+0

(1+0)(1+0) =2

 ②

15

aÇ-3bÇ=3^n-1 yy ㉡

3_㉠+㉡을 하면 4aÇ=3_4ⁿ⁺¹+3^n-1 aÇ=3_4ⁿ⁺¹+3^n-1

4 또, ㉠-㉡을 하면 4bÇ=4ⁿ⁺¹-3^n-1 bÇ=4ⁿ⁺¹-3^n-1

4 따라서

n`limÚ¦

aÇbÇ =lim

n`Ú¦ 3_4Çⁿ⁺¹+3^n-1 4ⁿ⁺¹-3^n-1

=lim

n`Ú¦

12+;3!;_{;4#;}Ç`

4-;3!;_{;4#;}Ç`

= 12+04-0 =3

 ③

16

3-1 =3Ç`-1 따라서

n`limÚ¦

aÇ+SÇ 3Ç`+1 =lim

n`Ú¦

2_3^n-1+(3Ç`-1) 3Ç`+1

=lim_n`

Ú¦

;3@;+1-{;3!~;}Ç`

1+{;3!;}Ç`

=;3@;+1-0 1+0 =;3%;

 ①

17

a_4Ç`-3Ç` 은 발산하므로 a+0이다.

n`limÚ¦ 2<sup>2n+1</sup>+3<sup>n+1</sup> a_4Ç`-3Ç` =lim

n`Ú¦ 2_4Ç`+3_3Ç`a_4Ç`-3Ç`

=limn`Ú¦

2+3_{;4#;}Ç`

a-{;4#;}Ç`

= 2+0a-0

=;a@;

이므로

;a@;=8에서 a=;4!;

따라서

n`Ú¦lim

(8a)^2n-1+a^n-1 3Ç`+a^-n+1 =lim

n`Ú¦

;2!;_4Ç`+{;4!;}<sup>n-1</sup> 3Ç`+4^n-1

=lim_n`

Ú¦

;2!;+4_{;1Á6;}ⁿ {;4#;}Ç`+;4!;

=;2!;+0 0+;4!;

=2

 ④

18

{-;4!;}Ç`+2 = 0+20+2 =1 f(3)=lim<sub>n`</sub>

Ú¦ 3ⁿ⁺²-8_3 3Ç`+2 =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

9- 83^n-1 1+ 23Ç`

= 9-01+0 =9

따라서

f {-;4!;}+f(3)=1+9=10

 ⑤

19

정답과 풀이 5

;2!;_{;2!;}Ç`<aÇ 4Ç`<{;2!;}Ç`

이때

n`limÚ¦[;2!;_{;2!;}Ç` ]=0, lim<sub>n`Ú¦</sub>{;2!;}Ç`=0 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

n`limÚ¦

aÇ4Ç`=0 따라서

n`limÚ¦

aÇ+4ⁿ⁺¹ 4Ç`+5 =lim

n`Ú¦

aÇ 4Ç`+4 1+ 5

4Ç`

= 0+41+0 =4

 ②

20

-1< 2x-37 É1이어야 한다.

즉, -7<2x-3É7에서 -2<xÉ5

따라서 주어진 조건을 만족하는 정수 x는 -1, 0, 1, y, 5이고, 그 합은 -1+0+1+2+3+4+5=14

 ②

21

r=1이면 r+1=2이므로 수열 {(r+1)Ç` }은 발산한다.

ㄴ. 수열 [{ r-12 }Ç` ]에서

-1< r-12 É0이므로 수열 [{r-1

2 }Ç` ]은 수렴한다.

ㄷ. 수열 {r ³ⁿ}에서

-1<r Ü`É1이므로 수열 {r ³ⁿ}은 수렴한다.

따라서 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ이다.

 ④

22

2n+1 이고 limn`Ú¦ cÇ=8이다.

(가) 조건 (나)에서 (5n+3)bÇ

aÇ =dÇ이라 하면 bÇ= aÇ dÇ

5n+3 = cÇ dÇ

(2n+1)(5n+3)이고

n`limÚ¦ dÇ=15

(나) 따라서

n`limÚ¦(3nÛ`+n)bÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub> (3nÛ`+n)cÇ dÇ (2n+1)(5n+3)

=limn`Ú¦

3+ 1n {2+ 1n }{5+3

n }

_limn`Ú¦ cÇ_lim<sub>n`Ú¦</sub> dÇ

= 3+0

(2+0)(5+0)_8_15

=36

(다)

 36

단계 채점 기준 비율

(가) aÇ을 cÇ으로 나타낸 경우 20`%

(나) bÇ을 cÇ과 dÇ으로 나타낸 경우 40`%

(다) 주어진 극한값을 구한 경우 40`%

23

S£-SÁ =a°+a¤

aª+a£ =4rÝ`+4rÞ`

4r+4rÛ` =4rÝ`(1+r) 4r(1+r) =rÜ`

rÜ`=8이므로 r=2

(가) 따라서

aÇ=4_2^n-1=2ⁿ⁺¹ SÇ=4(2Ç`-1)

2-1 =2ⁿ⁺²-4

(나) 이므로

n`limÚ¦

SÇaÇ =lim

n`Ú¦ 2ⁿ⁺²-4 2ⁿ⁺¹

=lim_n`

Ú¦

4- 12^n-2 2 = 4-02 =2

(다)

 2

단계 채점 기준 비율

(가) 등비수열 {aÇ}의 공비를 구한 경우 30`%

(나) aÇ과 SÇ을 구한 경우 30`%

(다) 주어진 극한값을 구한 경우 40`%

해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 5 2019-02-15 오후 12:59:46

=;2!;[lim_{n`Ú¦</sub>(aÇ+bÇ)-lim<sub>n`Ú¦}(aÇ-bÇ)]

=;2!;(a-b)

이므로 두 수열 {aÇ}, {bÇ}은 모두 수렴한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

 ④

26

1+5d=4(1+d) d=3

따라서

aÇ=1+(n-1)_3=3n-2 SÇ=_k=1Áⁿ(3k-2)=3n(n+1)

2 -2n= 3nÛ`-n2 이므로

n`Ú¦lim S2n

anan+1=lim

n`Ú¦

3(2n)Û`-2n 2 (3n-2)(3n+1) =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

6nÛ`-n (3n-2)(3n+1)

=lim

n`Ú¦

6- 1n {3- 2n }{3+1

n } = 6-0

(3-0)(3+0) =;3@;

 ①

27

n`Ú¦lim

aÇn =limn`Ú¦

dn+aÁ-d

n =lim

n`Ú¦

d+aÁ-d

1n =d=2 조건 (나)에서

Á5

n=1aÇ=5(2aÁ+4_2)

2 =5aÁ+20=45 aÁ=5

따라서

aÇ=5+(n-1)_2=2n+3 이므로

n`limÚ¦

(aÇ)Û`-4nÛ`

2n =lim

n`Ú¦

(2n+3)Û`-4nÛ`

2n =lim_n`

Ú¦ 12n+92n

=lim

n`Ú¦

12+ 9n 2

내신 고득점 문항

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

본문 12~16쪽 7%

24

또 lim_n`

Ú¦ cÇ=6이므로 조건 (가)에 의하여

n`limÚ¦

aÇ =0cÇ

따라서

n`limÚ¦

4aÇ+5bÇ aÇ+bÇ =lim

n`Ú¦

4aÇ+;2%;(3aÇ-cÇ) aÇ+;2!;(3aÇ-cÇ) =lim

n`Ú¦

23aÇ-5cÇ 5aÇ-cÇ

=lim_n`

Ú¦

23-5cÇ aÇ 5-cÇ

aÇ = 23-05-0 =:ª5£:

 ④

25

n`limÚ¦ aÇ=¦, lim<sub>n`Ú¦</sub> bÇ=¦이지만

n`limÚ¦(aÇ-bÇ)=lim<sub>n`Ú¦</sub> 1=1 (거짓) ㄴ. lim_n`

Ú¦ aÇ=¦이고, lim_n`Ú¦(aÇ-bÇ)=a이므로

n`limÚ¦

aÇ-bÇ

aÇ =0, 즉 lim_n`

Ú¦{1-bÇ

aÇ }=0이다.

따라서

n`limÚ¦

bÇaÇ =lim

n`Ú¦[1-{1-bÇ

aÇ }]=1-0=1 (참) ㄷ. lim

n`Ú¦(aÇ+bÇ)=a, lim<sub>n`Ú¦</sub>(aÇ-bÇ)=b(a, b는 상수)라 하면

n`limÚ¦ aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>;2!;{(aÇ+bÇ)+(aÇ-bÇ)}

=;2!;[lim_{n`Ú¦</sub>(aÇ+bÇ)+lim<sub>n`Ú¦}(aÇ-bÇ)]

=;2!;(a+b)

n`Ú¦lim bÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>;2!;{(aÇ+bÇ)-(aÇ-bÇ)}

정답과 풀이 7 =lim

n`Ú¦

2ndª+2bÁ-dª ndÁ+aÁ-dÁ

=lim_n`

Ú¦

2dª+2bÁ-dª n dÁ+aÁ-dÁ

n =2dª

dÁ =2dª

4dª =;2!;

 ②

30

aÇ+bÇ=6(nÛ`+1) n aÇbÇ=nÛ`+2n

n =n+2 따라서

n`limÚ¦{ 1aÇ + 1 bÇ }=lim

n`Ú¦

aÇ+bÇ aÇbÇ

=lim

n`Ú¦

6(nÛ`+1) n+2n

=lim

n`Ú¦ 6nÛ`+6nÛ`+2n

=lim_n`

Ú¦

6+ 6nÛ`

1+ 2n = 6+01+0

=6

 ④

31

이때 aÇ, bÇ이 모두 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 aÇ+3n=nÛ`, 2bÇ+5=-6n

따라서

aÇ=nÛ`-3n, bÇ=-6n-5 2 이므로

n`limÚ¦

aÇbÇ nÜ` =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

(nÛ`-3n)_ -6n-52 nÜ`

=lim

n`Ú¦

(n-3)(-6n-5) 2nÛ`

=lim

n`Ú¦

{1- 3n }{-6-5 n } 2

= 12+02 =6

 ③

28

6 이므로

n`limÚ¦

6_k=1Áⁿ kÛ`

nÜ`+1=lim

n`Ú¦

n(n+1)(2n+1) nÜ`+1

=lim

n`Ú¦

{1+ 1n }{2+1 n } 1+ 1nÜ`

=(1+0)(2+0) 1+0 =2

이때 lim

n`Ú¦

4aÇ-10

aÇ =2이므로 4aÇ-10

aÇ =bÇ이라 하면 aÇ= 10

4-bÇ이고 lim_n`

Ú¦ bÇ=2이다.

따라서

n`limÚ¦ aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub> 104-bÇ = 10 4-2 =5

 ⑤

29

2 ,

TÇ=n{2bÁ+(n-1)dª}

2 이때

n`limÚ¦

TÇ =SÇ lim

n`Ú¦

n{2aÁ+(n-1)dÁ}

2 n{2bÁ+(n-1)dª}

2 =lim

n`Ú¦

dÁn+2aÁ-dÁ dªn+2bÁ-dª

=lim_n`

Ú¦

dÁ+2aÁ-dÁ n dª+2bÁ-dª

n =dÁ

dª 이므로

dÁ

dª =4에서 dÁ=4dª 따라서

n`limÚ¦

bn+bn+1

aÇ =lim

n`Ú¦

{bÁ+(n-1)dª}+{bÁ+ndª}

aÁ+(n-1)dÁ

해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 7 2019-02-15 오후 12:59:47

n`limÚ¦'§n ('¶aÇ -'¶bÇ )=lim<sub>n`Ú¦</sub>'§n ('¶2n+4 -'¶2n-4 )

=limn`Ú¦ '§n {(2n+4)-(2n-4)}

'¶2n+4 +'¶2n-4

=limn`Ú¦

8'§n '¶2n+4 +'¶2n-4

=lim_n`

Ú¦

8

®É2+ 4n +®É2-4 n

= 8

'2+'2

=2'2

 ②

35

n`limÚ¦

aÇ bÇ

"Ã16nÛ`+1=lim

n`Ú¦

n("ÃnÛ`+2n -n)

"Ã16nÛ`+1 =lim

n`Ú¦

n("ÃnÛ`+2n -n)("ÃnÛ`+2n +n)

"Ã16nÛ`+1_("ÃnÛ`+2n+n) =lim_n`

Ú¦

2nÛ`

"Ã16nÛ`+1_("ÃnÛ`+2n+n) =lim_n`

Ú¦

2

®É16+ 1nÛ`_

{

}

= 2

'Ä16+0_('Ä1+0+1) =;4!;

 ①

36

logª`ab=1, ab=2 조건 (나)에서

n`limÚ¦('Än+a 'Än+b -n)=lim<sub>n`Ú¦</sub>(n+a)(n+b)-nÛ`

'Än+a 'Än+b +n

=lim

n`Ú¦

(a+b)n+ab 'Än+a 'Än+b +n

=lim

n`Ú¦

a+b+ abn

®É1+ an ®É1+b n +1

= a+b2

이므로 a+b

2 =;4(;, a+b=;2(;

따라서

aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab =(1-0)(-6-0)

2 =-3

 ③

32

:)2` n` (5xÝ`+n)dx =[xÞ`+nx]2)n`

= 32nÞ`+2nÛ` yy ㉠

직선 y=aÇx와 x축 및 직선 x=2n으로 둘러싸인 부분의 넓이는

;2!;_2n_2naÇ=2nÛ`aÇ yy ㉡

㉠, ㉡에서

;2!;(32nÞ`+2nÛ`)=2nÛ`aÇ aÇ=16nÜ`+1

2 따라서

n`limÚ¦

aÇ nÜ`=lim

n`Ú¦ 16nÜ`+1 2nÜ`

=lim

n`Ú¦

16+ 1 2nÜ`

=8

 ①

33

aÇ= |-6|

"Ã(2n+1)Û`+(4n)Û`

= 6

"Ã20nÛ`+4n+1 따라서

n`limÚ¦('5n+1 )aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub> 6('5n+1)

"Ã20nÛ`+4n+1

=lim

n`Ú¦

6{'5 + 1n }

®É20+ 4n + 1 nÛ`

= 6('5 +0) 'Ä20+0+0 =6'5

2'5

=3

 ②

34

x=2n-4 또는 x=2n+4

따라서 aÇ=2n+4, bÇ=2n-4이므로

정답과 풀이 9

39

2p<a£<2p+;2Ò;

4p<a°<4p+;2Ò;

 이므로

2(n-1)p<a2n-1<2(n-1)p+;2Ò;

위 부등식의 각 변을 n으로 나누면 2(n-1)p

n <a2n-1

n <

2(n-1)p+;2Ò;

n 이때

n`limÚ¦

2(n-1)p n =lim

n`Ú¦

2{1- 1n }p

1 =2p

n`limÚ¦

2(n-1)p+;2Ò;

n =lim_n`

Ú¦

2{1- 1n }p+ p2n

1 =2p

이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

n`limÚ¦

a2n-1

n =2p

 ②

40

2r+2rÜ`=60

rÜ`+r-30=0, (r-3)(rÛ`+3r+10)=0 r=3

따라서 aÇ=2_3^n-1 SÇ=2(3Ç`-1)

3-1 =3Ç`-1 이므로

n`limÚ¦

aÇ SÇ=lim

n`Ú¦ 2_3<sup>n-1</sup> 3Ç`-1

=lim_n`

Ú¦

2_;3!;

1-{;3!;}Ç`

=;3@;

 ③

41

즉, an+1=3aÇ

이므로 수열 {aÇ}은 공비가 3인 등비수열이다.

={;2(;}Û`-2_2=:¤4°:

 ④

37

이므로 이 이차방정식의 양의 실근 aÇ은 aÇ=-4n+"Ã16nÛ`+6n

따라서

n`Ú¦lim aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>(-4n+"Ã16nÛ`+6n) =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

("Ã16nÛ`+6n-4n)("Ã16nÛ`+6n+4n)

"Ã16nÛ`+6n+4n =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

6n

"Ã16nÛ`+6n+4n =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

6

®É16+ 6n +4 = 6

'Ä16+0 +4 =;4#;

 ⑤

38

DÁ

4 =(-2n)Û`-aǾ0이어야 한다.

즉, aÇÉ4nÛ` yy ㉠

또, 곡선 y=xÛ`+(4n-1)x+aÇ이 x축과 만나지 않으므로 이차방정식 xÛ`+(4n-1)x+aÇ=0의 판별식을 Dª라 하면 Dª=(4n-1)Û`-4aÇ<0이어야 한다.

즉, aÇ>(4n-1)Û`

4 yy ㉡

㉠, ㉡에서 (4n-1)Û`

4 <aÇÉ4nÛ`

위 부등식의 각 변을 nÛ`으로 나누면 (4n-1)Û`

4nÛ` <aÇ nÛ`É4 이때

n`limÚ¦

(4n-1)Û`

4nÛ` =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

{4- 1n }Û`

4 =(4-0)Û`

4 =4

n`Ú¦lim 4=4

이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

n`limÚ¦

aÇ nÛ`=4

 ④

해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 9 2019-02-15 오후 12:59:47

이때 aÁ=1이므로 aÇ=3^n-1 SÇ=3Ç`-1

3-1 =3Ç`-1 2 따라서

n`limÚ¦

aÇ+SÇ (aª)Ç` =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

3^n-1+ 3Ç`-12 3Ç`

=lim_n`

Ú¦

2_3^n-1+(3Ç`-1) 2_3Ç`

=limn`Ú¦

;3@;+{1- 13Ç` } 2

=;3@;+1 2

=;6%;

 ⑤

42

aÇ=3_2Ç`+8

f(x)를 x-4로 나눈 나머지는 f(4)=16+2Ç`_4-1=2ⁿ⁺²+15 이므로

bÇ=2ⁿ⁺²+15 따라서

n`limÚ¦

bÇaÇ =lim

n`Ú¦ 2<sup>n+2</sup>+15 3_2Ç`+8

=lim

n`Ú¦

4+ 15 2Ç`

3+ 82Ç`

= 4+03+0 =;3$;

 ⑤

43

이때 모든 자연수 n에 대하여 aÇ>0이므로 an+1=2aÇ

따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이 4이고 공비가 2인 등비수열이므로 aÇ=4_2^n-1=2ⁿ⁺¹

SÇ=4(2Ç`-1)

2-1 =2ⁿ⁺²-4 이므로

n`Ú¦lim

SÇaÇ =lim

n`Ú¦ 2 -4

2ⁿ⁺¹

=lim_n`

Ú¦

4- 42Ç`

2

=2

 ④

44

bÇ=OQÇÓ="ÃnÛ`+(4Ç`)Û`="ÃnÛ`+4²ⁿ 따라서

n`limÚ¦

(bÇ)Û`-(aÇ)Û`

2^4n-1 =lim

n`Ú¦

("ÃnÛ`+4<sup>2n</sup>)Û`-("ÃnÛ`+2<sup>2n</sup>)Û`

2^4n-1

=limn`Ú¦

(nÛ`+4<sup>2n</sup>)-(nÛ`+2²ⁿ) 2^4n-1

=lim_n`

Ú¦ 16Ç`-4Ç`2^-1_16Ç`

=limn`Ú¦

1- 14Ç`

;2!;

=2

 ①

45

n`limÚ¦("ÃnÛ`+8n-n)=lim<sub>n`Ú¦</sub> ("ÃnÛ`+8n-n)("ÃnÛ`+8n+n)

"ÃnÛ`+8n+n

=limn`Ú¦

8n

"ÃnÛ`+8n+n

=limn`Ú¦

8

®É1+ 8n +1

= 8

'Ä1+0+1

=4

n`limÚ¦ 3<sup>n</sup>+4Ç`

1+4^n-1=lim

n`Ú¦

3_{;4#;}^n-1+4 {;4!;}^n-1+1

= 0+40+1

=4

따라서 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

n`limÚ¦ aÇ=4 이때 조건 (나)에서

n`limÚ¦

bÇn =2

이므로

정답과 풀이 11

n`limÚ¦

(3n+1)aÇ bÇ =lim_n`

Ú¦

{3+ 1n }aÇ bÇn

=(3+0)_4 2 =6

 ④

46

SÇ=_k=1Áⁿ 4^k-1= 4Ç`-14-1 =4Ç`-1 3

또, 등비수열 {bÇ}은 첫째항이 1이고 공비가 2이므로 bÇ=2^n-1

TÇ=_k=1Áⁿ 2^k-1= 2Ç`-12-1 =2Ç`-1 ㄱ. bÇ

aÇ =2^n-1

4^n-1={;2!;}^n-1 수열 [bÇ

aÇ ]은 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 0으로 수렴한다.

ㄴ. SÇ TÇ =

4Ç`-1 3

2Ç`-1 = 2Ç`+13 이므로

n`limÚ¦

TÇ =SÇ lim

n`Ú¦ 2Ç`+13 =¦

따라서 수열 [SÇ

TÇ ]은 발산한다.

ㄷ. SÇ+TÇ aÇ+bÇ =

4Ç`-1

3 +(2Ç`-1) 4<sup>n-1</sup>+2<sup>n-1</sup> = 4Ç`+3_2Ç`-4

3_4^n-1+3_2^n-1 이므로

n`limÚ¦

SÇ+TÇ aÇ+bÇ =lim

n`Ú¦ 4Ç`+3_2Ç`-43_4^n-1+3_2^n-1

=lim

n`Ú¦

4+6_{;2!;}^n-1-4_{;4!;}^n-1 3+3_{;2!;}^n-1 = 4+0-03+0 =;3$;

따라서 수열 [SÇ+TÇ

aÇ+bÇ ]은 ;3$;로 수렴한다.

이상에서 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄷ이다.

 ③

47

즉, -;2!;<cos`;5Ò; xÉ;2!; yy ㉠

한편 0<xÉ10일 때, 0<;5Ò; xÉ2p이므로 ㉠에서

;3Ò;É;5Ò; x<;3@; p 또는 4p3 <;5Ò; xÉ;3%; p

따라서 주어진 조건을 만족하는 10 이하의 자연수 x는 2, 3, 7, 8이고, 그 개수는 4이다.

 ②

48

즉, -3<xÉ5 yy ㉠

수열 {(1-log£`x)Ç` }이 수렴하려면 x>0, -1<1-log£`xÉ1이어야 한다.

즉, 0Élog£`x<2에서 1Éx<9 yy ㉡

㉠, ㉡에서 1ÉxÉ5

따라서 두 수열이 수렴하도록 하는 정수 x는 1, 2, 3, 4, 5이고, 그 개수는 5이다.

 ③

49

OQÇÓ=Á°('7n)Û`+(3n)Û` =4n

(가) 원 xÛ`+yÛ`=16nÛ`-6n의 반지름의 길이는

"Ã16nÛ`-6n

선분 PÇQÇ의 길이의 최솟값 aÇ은 aÇ=OQÇÓ-"Ã16nÛ`-6n

=4n-"Ã16nÛ`-6n

(나) 따라서

n`limÚ¦ aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>(4n-"Ã16nÛ`-6n ) =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

(4n-"Ã16nÛ`-6n )(4n+"Ã16nÛ`-6n ) 4n+"Ã16nÛ`-6n

=lim

n`Ú¦

6n 4n+"Ã16nÛ`-6n =lim

n`Ú¦ 6

4+®É16- 6n

해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 11 2019-02-15 오후 12:59:48

= 6 4+'Ä16-0 =;4#;

(다)

 ;4#;

단계 채점 기준 비율

(가) 선분 OQÇ의 길이를 구한 경우 30`%

(나) aÇ을 n으로 나타낸 경우 30`%

(다) aÇ의 극한값을 구한 경우 40`%

50

4nÛ`-5이고 lim<sub>n`</sub>

Ú¦ cÇ=24이다.

(가) 조건 (나)에서 3n-1<bÇ<3n+1의 각 변을 n으로 나누면

3n-1n <bÇ

n <3n+1 n 이때

n`limÚ¦ 3n-1n =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

3- 1n 1 =3,

n`limÚ¦ 3n+1n =lim

n`Ú¦

3+ 1n 1 =3 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

n`limÚ¦

bÇn =3

(나) 따라서

n`limÚ¦

(nÜ`+1)aÇ bÇ =lim

n`Ú¦

(nÜ`+1)cÇ (4nÛ`-5)bÇ

=lim

n`Ú¦

{1+ 1nÜ` }cÇ {4- 5nÛ` }_bÇ

n =(1+0)_24

(4-0)_3 =2

(다)

 2

단계 채점 기준 비율

(가) aÇ을 cÇ으로 나타낸 경우 20`%

(나) 수열의 극한의 대소 관계를 이용하여 lim_n`

Ú¦

bÇn 의 값을 구한 경우

40`%

(다) 주어진 극한값을 구한 경우 40`%

내신 변별력 문항

51

52

53

54

55

56

57

58

본문 17~18쪽 4%

51

함수 f(x)=lim_n`

Ú¦ xⁿ⁺¹+7Ç`

xÇ`+7<sup>n+1</sup>일 때, <sub>k=1</sub>Á<sup>10</sup>`f(k)의 값은?

① 2007 ② 2027 ③ 2047

④ 2067 ⑤ 2087

x의 값의 범위를 1Éx<7, x=7, x>7로 나눈 후 극한값을 구한다.

등비수열의 극한을 이용한다.

x의 값의 범위를 나누어서 극한값을 구한다.

Ú 1Éx<7일 때 f(x)=lim

n`Ú¦ x<sup>n+1</sup>+7Ç`

xÇ`+7ⁿ⁺¹

=limn`Ú¦

x_{;7{;}Ç`+1 {;7{;}Ç`+7

= 0+10+7

=;7!;

Û x=7일 때 f(7)=lim_n`

Ú¦ 7ⁿ⁺¹+7Ç`

7Ç`+7ⁿ⁺¹=1 Ü 7<xÉ10일 때

f(x)=lim

n`Ú¦ x<sup>n+1</sup>+7Ç`

xÇ`+7ⁿ⁺¹

=lim_n`

Ú¦

x+{;[&;}Ç`

1+7_{;[&;}Ç`

= x+01+0

=x

함수의 값을 구하여 Á¹⁰

k=1`f(k)의 값을 구한다.

Ú, Û, Ü에 의하여 Á10

k=1`f(k)=<sub>k=1</sub>Á<sup>6</sup> `f(k)+f(7)+_k=8Á¹⁰`f(k)

=6_;7!;+1+(8+9+10)

= 2027

 ②

풀이전략

문제풀이

-1<r<1일 때 lim<sub>n`Ú¦</sub> rÇ`=0이다.

정답과 풀이 13

52

두 양수 a, b가 다음 조건을 만족시킬 때, a+b의 값은?

(가) lim_n`Ú¦ a

"ÃnÛ`+bn -n=3 (나) lim<sub>n`Ú¦</sub> aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹

aÇ`+bÇ` =6 분모를 유리화한 후 극한값을 구한다.

① 6 ② 8 ③ 10

④ 12 ⑤ 14

¦-¦의 극한과 등비수열의 극한을 이용한다.

¦-¦의 극한을 이용하여 a, b 사이의 관계를 구한다.

조건 (가)에서

n`Ú¦lim a

"ÃnÛ`+bn-n

=limn`Ú¦

a("ÃnÛ`+bn+n) ("ÃnÛ`+bn-n)("ÃnÛ`+bn+n)

=limn`Ú¦

a("ÃnÛ`+bn+n) bn

=lim_n`

Ú¦;bA; {¾¨1+ bn +1}

= 2ab 이므로

2ab =3에서 2a=3b yy ㉠

등비수열의 극한을 이용하여 a의 값을 구한다.

이때 a>b>0이므로 조건 (나)에서

n`limÚ¦ a<sup>n+1</sup>+b<sup>n+1</sup> aÇ`+bÇ` =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

a+b_{;aB;}Ç`

1+{;aB;}Ç`

= a+0 1+0 =a

이므로 a=6 yy ㉡

a+b의 값을 구한다.

㉡을 ㉠에 대입하면 12=3b, b=4 따라서 a+b=10

 ③

풀이전략

문제풀이

a>b>0이므로 0<;aB;<1이다.

이때 lim

n`Ú¦{;aB;}Ç`=0이다.

53

두 수열 {aÇ}, {bÇ}이 모든 자연수 n에 대하여 다음 조건을 만족 시킬 때, lim_n`

Ú¦ aÇbÇ의 값은?

(가) 9+ 3n-1n <2aÇ+bÇ<9+3n+1 n (나) 8- 4n+1n <2aÇ-bÇ<8-4n-1

n

①4 ② 8 ③ 12

④ 16 ⑤ 20

수열의 극한의 대소 관계를 이용한다.

수열의 극한의 대소 관계를 이용하여 aÇ의 극한값을 구한다.

조건 (가)와 조건 (나)에서 각 변끼리 서로 더하면 17+ 3n-1n - 4n+1n <4aÇ<17+3n+1

n - 4n-1n 이때

n`limÚ¦{17+ 3n-1n - 4n+1n }

=17+lim

n`Ú¦

3- 1n 1 -lim

n`Ú¦

4+ 1n 1

=17+3-4

=16

n`limÚ¦{17+ 3n+1n - 4n-1n }

=17+lim

n`Ú¦

3+ 1n 1 -lim

n`Ú¦

4- 1n 1

=17+3-4

=16

이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

n`limÚ¦ 4aÇ=16, 즉 lim<sub>n`Ú¦</sub> aÇ=4

수열의 극한의 대소 관계를 이용하여 bÇ의 극한값을 구한다.

조건 (가)에서

n`limÚ¦{9+ 3n-1n }=9+lim<sub>n`Ú¦</sub>3- 1n

1 =9+3=12

n`Ú¦lim{9+ 3n+1n }=9+lim<sub>n`Ú¦</sub>3+ 1n

1 =9+3=12 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

n`Ú¦lim(2aÇ+bÇ)=12 이때 2aÇ+bÇ=cÇ이라 하면 bÇ=cÇ-2aÇ이고 lim<sub>n`Ú¦</sub> cÇ=12이므로

풀이전략

문제풀이

aÇ<cÇ<bÇ이고

n`Ú¦lim aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub> bÇ=a(a는 상수)일 때 lim_n`Ú¦ cÇ=a이다.

해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 13 2019-02-15 오후 12:59:49

 ①

55

좌표평면에서 곡선 y= 1nx 위의 한 점 AÇ{1, 1

n }을 지나고 x축 에 평행한 직선이 곡선 y= 2nx 과 만나는 점을 BÇ, 점 AÇ을 지나 고 y축에 평행한 직선이 곡선 y= 2nx 과 만나는 점을 CÇ이라 하 자. 삼각형 AÇBÇCÇ의 무게중심을 GÇ(xÇ, yÇ)이라 할 때, limn`Ú¦

xÇ yÇ

nÜ` 의 값은? (단, n은 자연수이다.)

① ;3!; ② ;9$; ③ ;9%;

④ ;3@; ⑤ ;9&;

세 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª), C(x£, y£) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게 중심을 G(x, y)라 하면

x=xÁ+xª+x£

3 , y=yÁ+yª+y£

3 수열의 극한의 성질을 이용한다.

두 점 BÇ, CÇ의 좌표를 구한다.

점 AÇ{1, 1

n }을 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식은 y=1 n 곡선 y= 2nx 과 직선 y=1

n 의 교점의 x좌표는 2nx =1

n 에서 x=2nÛ`

따라서 점 BÇ의 좌표는 BÇ{2nÛ`, 1 n }이다.

또 점 AÇ을 지나고 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=1이므로 점 CÇ 의 좌표는 CÇ(1, 2n)이다.

삼각형 AÇBÇCÇ의 무게중심 GÇ의 좌표를 구한다.

이때 삼각형 AÇBÇCÇ의 무게중심이 GÇ(xÇ, yÇ)이므로 xÇ=1+2nÛ`+1

3 =2(nÛ`+1) 3

yÇ=

n +1 1 n +2n

3 =2(nÛ`+1) 3n 주어진 식의 극한값을 구한다.

따라서

n`limÚ¦

xÇ yÇ nÜ` =lim

n`Ú¦

4(nÛ`+1)(nÛ`+1) 9nÝ`

=lim_n`

Ú¦

4{1+ 1nÛ` }{1+ 1nÛ` } 9

=;9$;

 ②

풀이전략

문제풀이 n`limÚ¦ bÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>(cÇ-2aÇ)=lim_{n`Ú¦</sub> cÇ-2lim<sub>n`Ú¦} aÇ=12-2_4=4

n`Ú¦lim aÇ bÇ의 값을 구한다.

따라서

n`limÚ¦ aÇbÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub> aÇ_lim_n`Ú¦ bÇ=4_4=16

 ④

54

자연수 n에 대하여 그림과 같이 좌표평면에서 직선 x=2Ç` 과 곡선 y='§x 및 x축의 교점을 각각 PÇ, QÇ이라 하자. 사각형

PÇQÇQⁿ⁺¹Pn+1의 넓이를 SÇ이라 할 때, lim_n`Ú¦ SÇ

1+"2³ⁿ의 값은?

y

x y=1x

O PÇ

QÇ PÇ*Á

x=2Ç ±Ú x=2Ç

QÇ*Á

① 1+'2

2 ② 1+'3

2 ③ '2+'3

2

④ 2+'2

2 ⑤ 2+'3

2

등비수열의 극한을 이용한다.

사각형 PÇQÇQn+1Pn+1의 넓이 SÇ을 구한다.

두 점 PÇ, QÇ의 좌표는 PÇ(2Ç`, "2Ç` ), QÇ(2Ç`, 0) 이때 두 점 Pn+1, Qn+1의 좌표는

Pn+1(2ⁿ⁺¹, "Ã2ⁿ⁺¹ ), Qn+1(2ⁿ⁺¹, 0) 사각형 PÇQÇQn+1Pn+1의 넓이 SÇ은 SÇ=;2!;_("2Ç` +"Ã2<sup>n+1</sup> )(2<sup>n+1</sup>-2Ç`)

=2^n-1("2Ç` +"Ã2ⁿ⁺¹ )

등비수열의 극한을 이용하여 주어진 식의 극한값을 구한다.

따라서

n`Ú¦lim SÇ

1+"Ã2³ⁿ=lim

n`Ú¦

2^n-1("2Ç` +"Ã2<sup>n+1</sup> ) 1+"Ã2<sup>3n</sup> =lim<sub>n`</sub>

Ú¦

;2!;('1 +'2 ) 1

"Ã2³ⁿ+1 =;2!;('1 +'2 )

0+1 =1+'2

2

풀이전략

문제풀이

사다리꼴 PÇQÇQn+1Pn+1의 넓이 SÇ은 SÇ=;2!;_(PÇQÇÓ+Pn+1Qn+1Ó)_QÇQn+1Ó

정답과 풀이 15 -8<b-1É8

-7<bÉ9 yy ㉡

a+b의 최댓값을 구한다.

㉠, ㉡에서 -3<a+bÉ13 따라서 a+b의 최댓값은 13

 ③

57

자연수 n에 대하여 그림과 같이 좌표평면에서 곡선 y=4Å` 과 두 직 선 x=-2 logª`n, x=logª`n이 만나는 점을 각각 PÇ, QÇ이라 하 고, 두 점 PÇ, QÇ을 지나는 직선과 y축이 만나는 점을 RÇ이라 하 자. 선분 ORÇ의 길이를 lÇ이라 할 때, lim<sub>n`Ú¦</sub>lÇ

nÛ`의 값은?

(단, O는 원점이다.) y

RÇ QÇ

PÇ

y=4Å

O x

① ;6!; ② ;3!; ③ ;2!;

④ ;3@; ⑤ ;6%;

지수와 로그의 성질, 내분점 및 극한의 성질을 이용한다.

지수와 로그의 성질을 이용하여 두 점 PÇ, QÇ의 좌표를 구한다.

점 PÇ의 x좌표가 -2logª`n이므로 점 PÇ의 y좌표는 y=4<sup>-2 logª`n</sup>={ 1nÛ` }Û`= 1

nÝ`

이다. 따라서 점 PÇ의 좌표는 PÇ{-2 logª`n, 1 nÝ` }

또, 점 QÇ의 x좌표가 logª`n이므로 점 QÇ의 y좌표는 y=4<sup>logª`n</sup>=nÛ`이 다. 따라서 점 QÇ의 좌표는 QÇ(logª`n, nÛ`)

y

RÇ

AÇ

BÇ QÇ

PÇ

y=4Å

O x

삼각형의 닮음과 내분점을 이용하여 점 RÇ의 좌표를 구한다.

두 점 PÇ, QÇ에서 y축에 내린 수선의 발을 각각 AÇ, BÇ이라 하면

풀이전략

문제풀이

56

양수 a와 상수 b가 다음 조건을 만족시킬 때, a+b의 최댓값은?

(가) lim<sub>n`Ú¦</sub> a<sup>n+1</sup>+3Ç`

a^n-1+3ⁿ⁺¹=16 (나) 수열 [{ b-12a }Ç` ]은 수렴한다.

수열 {rⁿ}이 수렴할

필요충분조건은 -1<rÉ1이다.

① 11 ② 12 ③ 13

④ 14 ⑤ 15

등비수열의 극한과 수열 {rÇ`}이 수렴할 조건을 이용한다.

조건 (가)를 만족시키는 a의 값을 구한다.

Ú 0<a<3일 때

n`limÚ¦ a<sup>n+1</sup>+3Ç a<sup>n-1</sup>+3<sup>n+1</sup>=lim<sub>n`</sub>

Ú¦

a_{;3A;}Ç`+1

;a!;_{;3A;}Ç`+3` = 0+10+3

=;3!;

이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

Û a=3일 때

n`limÚ¦ a<sup>n+1</sup>+3Ç`

a^n-1+3ⁿ⁺¹=lim_n`

Ú¦ 3ⁿ⁺¹+3Ç`

3^n-1+3ⁿ⁺¹ =lim_n`

Ú¦ 3+1

;3!;+3 =;5^;

이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

Ü a>3일 때

n`Ú¦lim a<sup>n+1</sup>+3Ç`

a^n-1+3ⁿ⁺¹=lim

n`Ú¦

a+{;a#;}Ç`

;a!;+3{;a#;}Ç`` = a+0

;a!;+0 =aÛ`

이므로 aÛ`=16 이때 a>0이므로 a=4

Ú, Û, Ü에서 a=4 yy ㉠

수열 {rÇ`}이 수렴할 조건을 이용하여 b의 값의 범위를 구한다.

조건 (나)에서

수열 [{ b-12a }Ç` ]이 수렴하므로 -1< b-12a É1 즉, -1< b-18 É1이므로

풀이전략

문제풀이

해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 15 2019-02-15 오후 12:59:50

△PÇAÇRÇ»△QÇBÇRÇ

이때 PÇAÇÓ`:`QÇBÇÓ=2`:`1이므로 점 RÇ은 선분 PÇQÇ을 2`:`1로 내분 하는 점이다.

점 RÇ의 y좌표는 2_nÛ`+1_ 1

2+1 nÝ` = 2nÛ`3 + 1 3nÝ`

이므로 lÇ=2nÛ`

3 + 1 3nÝ`

n`Ú¦lim lÇ

nÛ`의 값을 구한다.

따라서

n`limÚ¦

lÇ nÛ`=lim

n`Ú¦

2nÛ`3 + 1 3nÝ`

nÛ`

=lim

n`Ú¦

;3@;+ 13nß`

1

=;3@;+0 1 =;3@;

 ④

58

자연수 n에 대하여 그림과 같이 좌표평면에서 두 곡선 y=xÛ`, y=-xÛ`+2nÛ`으로 둘러싸인 영역의 내부 및 그 경계에 포함된 점 중 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 aÇ이라 할 때, limn`Ú¦

4nÜ`+1aÇ 의 값은?

y

y=xÛ

y=-xÛ`+2nÛ O x

① ;3!; ② ;1°2; ③ ;2!;

④ ;1¦2; ⑤ ;3@;

Á의 성질과 극한의 성질을 이용한다.

Á의 성질을 이용하여 aÇ의 값을 구한다.

두 곡선 y=xÛ`, y=-xÛ`+2nÛ`의 교점의 x좌표를 구해 보자.

두 삼각형 PÇAÇRÇ, QÇBÇRÇ은 닮음이다.

두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에 대하여 선분 AB를 m`:`n(m>0, n>0)으로 내분하는 점을 P(x, y)라 하면 x=mxª+nxÁ

m+n , y=myª+nyÁ m+n

풀이전략

문제풀이

xÛ`=-xÛ`+2nÛ`에서 xÛ`=nÛ`

x=-n 또는 x=n

y y=xÛ

y=-xÛ`+2nÛ x -n O n

0<kÉn인 자연수 k에 대하여 직선 x=k 위의 점 중 주어진 조건을 만족시키는 점의 개수는

(-kÛ`+2nÛ`)-kÛ`+1=-2kÛ`+2nÛ`+1

직선 x=0 위의 점 중 주어진 조건을 만족시키는 점의 개수는 2nÛ`+1

한편 두 곡선 y=xÛ`, y=-xÛ`+2nÛ`은 모두 y축에 대하여 대칭이므로 aÇ=2<sub>k=1</sub>Á<sup>n</sup> (-2kÛ`+2nÛ`+1)+(2nÛ`+1)

=-4_n(n+1)(2n+1)

6 +2_(2nÛ`+1)_n+(2nÛ`+1)

=-2n(n+1)(2n+1)

3 +(2nÛ`+1)(2n+1)

=(2n+1)(4nÛ`-2n+3) 3

극한의 성질을 이용하여 주어진 식의 극한값을 구한다.

따라서

n`limÚ¦

aÇ

4nÜ`+1=lim

n`Ú¦

(2n+1)(4nÛ`-2n+3) 12nÜ`+3

=limn`Ú¦

{2+ 1n }{4-2 n + 3

nÛ` } 12+ 3

nÜ`

=(2+0)(4-0+0) 12+0

=;3@;

 ⑤ f(-x)=f(x)이면

함수 y=f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.

Án

k=1 k=n(n+1) 2 Án

k=1 kÛ`=n(n+1)(2n+1) 6 Án

k=1 c=cn(c는 상수)