D1. bRa이면, aDb라 정의한다.
T5. aDb이고 bDc이면, aDc이다.
[증명]
D1에 의해 bRa이고 cRb이다.
P3에 의해 cRa이다.
따라서, D1에 의해 aDc이다.
D2. aRb이고 aRc와 cRb를 동시 에 만족시키는 K의 원소 c가 존재하지 않으면 aFb라 정의 한다.
T6. aFc이고 bFc이면 a=b이다.
[증명]
a≠b라 가정하자.
그러면 P1에 의해 aRb 또는 bRa이다.
Case1. aRb.
bFc이므로, D2에 의해 bRc이다.
aFc이기 때문에, 이것은 불가능하다.
Case2. bRa.
aFc이므로, D2에 의해 aRc이다.
bFc이기 때문에, 이것은 불가능하다.
각 경우 가정에 모순이므로, 귀류법에 의해 정리 는 증명된다.
T7. aFb이고 bFc이면, a∼Fc이 다.
[증명]
D3. aFb이고 bFc이면, aGc라
정의한다.
어떤 사람, 그의 아버지, 그의 할아버지, 그의 증조 할아버지 등 네 사람을 K라 하 자.
R을 ‘…은 …의 조상이다’를 뜻한다고 하자.
D1. b가 a의 조상이면 a는 b의 후손이다.
D2. a는 b의 조상이고 a가 c의 조상이면서 c는 b의 조상인 c가 없 으면, a를 b의 아버지라 하자.
D3. a가 b의 아버지이고 b는 c의 아버지이면 a를 c의 할아버지라 하자.
K 는 수직선 위의 서로 다른 네 점이라 하자.
R은 ‘…은 …의 왼쪽에 있다’
D는 ‘…은 …의 오른쪽에 있다’
F은 ‘…은 …의 왼쪽에 있는 K의 첫번째 점이다’
G은 ‘…은 …의 왼쪽에 있는 K의
두번째 점이다’
K의 원소를 네 개의 정수 1, 2, 3, 4라 하자.
R은 ‘…은 …보다 작다’
D는 ‘…은 …보다 크다’
F은 ‘…은 …보다 1만큼 작다’
G은 ‘…은 …보다 2만큼 작다’
연습문제 Ⅰ
정리 aGc이고 bGc이면 a=b이다.
정의 B(abc)는 (aRb와 bRc) 또는
(cRb와 bRa)를 뜻한다고 하자.
정리 B(abc)면 B(acb)는 성립하지 않 는다.
정리 B(abc)의 의미는 무엇인가?
연습문제 Ⅱ
기본적인 용어: 벌, 벌떼
공준 P1. 각 벌떼는 벌들의 집합이다.
P2. 임의의 서로 다른 두 벌떼는 단 하나의 벌을 공유한다.
P3. 각 벌은 꼭 두개의 벌떼에 속 한다.
P4. 정확하게 네 개의 벌떼가 있 다.
