명제 : 대상을 개념화하여 진 술 하는 형태
명제함수
논증 : 명제를 통해 증거를 제시하며 무엇인가를 주장하 는 진술형태
⇒타당한 추리과정
⇒타당한 결론
Miletus(밀레투스)학파
B.C. 6세기경 이오니아지방
변화의 철학
자연현상과 주기의 변화를 설명하는데 있어 초자연적인 존재나 신화적 상상력에만 의존하지 않고 나름의 물리적 법칙으로 설명하려함을
자연철학:자연과학, 천문학, 물리학
만물의 근원이 되는 물질은 물(생명을
움직이게 하는 최초의 물질, 탈레스
B.C. 6세기), 불(헤라클레이토스), 공
기(아낙시메네스), 그리고 흙(헤시오도
스)이다.
파르메니데스(B.C.515~B.C.445) : 존재의 철학. 형이상학, 일원 론
이탈리아 남부
만물의 근원을 만물중의 하나에서 찾는 것은 논리적 모순이다.
제논, 플라톤, 아리스토텔레스, 칸트
논리학, 심리학, 물리학, 신학
원자론(데모크리토스 )
논설의 기초
1. 기본적인 용어(무정의 용어)
원소, 관계 및 연산 등에 대한 명 시적, 묵시적 정의
: 원소, ∈, 집합
예제. 표준적인 사전을 이용하여, 다음 단어 가 순환하는 사슬을 형성할 때까지 추적하여라.
1.소음 2.선 3.사망
2. 공준 또는 공리(P)
완전히 증명되지 않았으나 묵시적으 로 인정되는 문장들 또는
기본적인 용어들에 대한 문장들 : 명제함수 :“y는 서명이다.”
3. 다른 전문적인 용어는 이미 도입된 용어를 사 용하여 정의(D)한다.
4.정리(T):받아들여졌거나 증명된 문장으 로부터 논리적으로 유도된 문장 : 명제함수
5.공준 P는 정리 T를 함의한다.
: 정리 T가 공준 P에 의해 실제
로 함의되면 참인 명제, 그렇지
않으면 거짓인 명제.
무정의 원소 a, b, c,…
집합 K
R : K의 원소의 쌍을 연결하는 무정의 이가 관계
(a는 b와 R-관계에 있다 : aRb) (a는 b와 R-관계가 없다 : a~Rb)
a와 b가 동일하면 a=b
a와 b가 다르면 a≠b
P1. a≠b 이면, aRb 또는 bRa 이다.
P2. aRb이면, a≠b 이다.
P3. aRb 이고 bRc 이면, aRc이다.
P4. K는 정확하게 네 개의 서로 다른
원소로 이루어져 있다.
T1. aRb 이면, b~Ra 이다.
T2. aRb 이고 c가 K의 원소이면, aRc 또는 cRb이다.
T3. K의 임의의 원소와 R-관계
가 없는 K의 원소가 적어도 하나 존재한다.(existence)
T4. K의 임의의 원소와 R-관계
가 없는 K의 유일한 원소가 존재
한다.(uniqueness)
T1. aRb 이면, b~Ra 이다.
[증명]
aRb와 bRa가 동시에 성립한다고 가정하자.
그러면 P3에 의해 aRa이다.
그런데 이것은 P2에 의해 불가능 하다.
따라서 귀류법에 의해 정리는 증
명된다.
T2. aRb 이고 c가 K의 원소이 면, aRc 또는 cRb이다.
[증명]
c=a 이면, cRb이므로 증명은 끝난다.
c≠a이면, P1에 의해 aRc 또는 cRa 이다.
cRa이면 aRb도 또한 성립하기 때문에, P3에 의해 cRb이다.
따라서 정리는 증명된다.
T3. K의 임의의 원소와 R-관계 가 없는 K의 원소가 적어도 하나 존재한다.(existence)
[증명]
T4. K의 임의의 원소와 R-관계 가 없는 K의 유일한 원소가 존재한다.(uniqueness)
[증명]
T3의 [증명]
K의 임의의 원소 a에 대하여 K의 원소 b가 존 재하여 aRb 가 성립한다고 가정하자. P2에 의 하여 a≠b.
가정에 의하여 bRc인 K의 원소 c가 존재한다.
P2에 의하여 b≠c이다. P3에 의해 aRc이므로 P2 에 의해 a≠c.
가정에 의해 cRd인 K의 원소 d가 존재한다. P2 에 의해 c≠d이다. P3에 의해 bRd와 aRd도 성립 한다. P2에 의해 b≠d이고 a≠d이다. 그러므로 a, b, c, d는 K의 서로 다른 원소이다.
가정에 의해 dRe인 K의 원소 e가 존재한다. P2 에 의해 d≠e이다. P3에 의해 cRe, bRe와 aRe도 성립한다. P2에 의해 c≠e, a≠e 이고 b≠e이다.
그러므로 a, b, c, d, e는 K의 서로 다른 원소 이다.
여기에서 P4에 대한 모순을 얻는다. 따라서 귀 류법에 의해 정리는 증명된다.
T4의 [증명]
T3에 의해 이와 같은 원소가 적어도 하나 존재 한다. 그것을 a라 하자. 이제 b를(a≠b) K의 임 의의 원소라 하자.
P1에 의해 aRb 또는 bRa이다. 그런데 가정에 의해 aRb일 수 없다. 따라서 bRa이므로, 정리는 증명된다.
