LINEAR ALGEBRA 2
2012 LECTURE NOTE - WEEK 9
prepared by 강병련 revised at 2012. 11. 18 7.
Eigenvalues, Eigenvectors and Diagonalizations
이 절의 내용은 간단히 전개 방식만 소개하며, 따로 강의록은 만들지 않고 교재의 차례를 따라 하고자 한다. 물론 앞의 내용과 겹치는 부분들은 여러분 스스로 하도록 양보하고요. (이 장의 내용 완성 후 수정할 것)
7.1. Eigenvalues and Eigenvectors. 4장에서 행렬식의 성질에 대항 응용으로 정사각행렬 의고유치와 고유벡터가 간단히 소개되었었다. 이 장에서는 이들을 좀 더 자세히 공부한다.
Definition 7.1.1. 행렬의 고유치와 고유벡터 n차 행렬 A에 대하여, 스칼라 λ와 영이 아닌 벡터 v ∈ Rn가 존재하여
Av = λv
를 만족하면 λ를 A의 고유치, v를 A이 고유벡터라고 한다.
선형변환의 고유치와 고유벡터 T : V → V 가 벡터공간 V 사이의 선형변환일 때, T v = λv
를 만족하는 스칼라 λ와 영이 아닌 벡터 v ∈ V 가 존재하면, λ를 T 의 고유치, v를 T 이 고유벡터라고 한다.
A0 = 0, T 0 = 0이므로 임의의 λ에 대하여
A0 = λ0, T 0 = λ0
를 만족한다. 영벡터를 고유벡터에서 제외하여야 하는 이유이다.
고유치 구하기
스칼라 λ와 영이 아닌 벡터 v ∈ Rn가
Av = λv 를 만족하면
(A − λI)v = 0.
즉, 정사각행렬 A − λI가 영이 아닌 벡터를 해로 가져야 하고, 이는 det(A − λI) = 0
가 동치이다.
1
예제 7.1.1. 행렬 A의 고유치와 고유벡터를 구하여라.
A =
−2 0 −6 0 1 0
−4 1 0
풀이.
|λI − A| =
λ + 2 0 6 0 λ − 1 0 4 −1 λ − 0
= (λ + 2)λ(λ − 1) + 6(−4)(λ − 1)
= (λ − 1)(λ2+ 2λ − 24)
= (λ − 1)(λ − 4)(λ + 6).
따라서 A는 세 개의 고유치 1, 4, −6을 갖는다.
λ = 1이면 고유벡터 [x, y, z]T는
3 0 6 0 0 0 4 −1 1
x y z
=
0 0 0
를 만족한다. 따라서
x y z
=
−2
−7 1
. λ = 4이면 고유벡터 [x, y, z]T는
6 0 6 0 3 0 4 −1 4
x y z
=
0 0 0
를 만족한다. 따라서
x y z
=
1 0
−1
. λ = −6이면 고유벡터 [x, y, z]T는
−4 0 6 0 −7 0 4 −1 −6
x y z
=
0 0 0
를 만족한다. 따라서
x y z
=
3 0 2
.
즉, 행렬 A의 고유치 λ는 다항식 p(t) = det(tI − A)의 해이다. 이 다항식이 행렬 A의 특성다항식 (characteristic polynomial)이다.
왜 고유치와 고유벡터? 예 7.1.1의 행렬 A는
(7.1)
−2 1 3
−7 0 0 1 −1 2
−1
−2 0 −6 0 1 0
−4 1 0
−2 1 3
−7 0 0 1 −1 2
=
1 0 0 0 4 0 0 0 6
를 만족한다. 여기서
P =
−2 1 3
−7 0 0 1 −1 2
는 A의 고유벡터가 각 열을 이루는 행렬이고,
D =
1 0 0 0 4 0 0 0 6
는 대각원소가 A의 고유치로 이루어진 대각행렬이다.
선형변환 T : Rn→ Rn가 T (x) = Ax로 정의되었고, B가 A의 고유벡터로 이루어진 R3의 기저, P 를 기저 B로부터 표준기저 S로의 전이행렬이라하자. 그러면, 식 (7.1)은
(7.2) P−1[T ]SSP = [T ]BB.
단 A는 기저 S에 관한 T 의 행렬 [T ]SS이고, D는 기저 B에 관한 T 의 행렬 [T ]BB이다. 오래 전에 배웠지만, 기저 B로부터 표준기저 S로의 전이행렬 P 은 기저 B의 벡터가 열벡터인 행렬이다.
이와 같이 행렬 A의 고유치와 고유벡터는 행렬 A가 대각행렬과 유사한 행렬인지를 판별 할 수 있게 하고, 그런 경우, 유사(similar)한 대각행렬을 쉽게 찾게 해 준다. 이런 경우에는 6 장에서 소개하였듯이 A의 거듭제곱을 빠르고 간단하게 계산할 수 있도록 한다. A의 행렬이 커지는 경우에는 계산 시간의 차이는 훨씬 커질 수 밖에 없으며, 속도의 전쟁에서는 아주 중요한 역활을 할 수 밖에 없다.
근본적으로 벡터공간 V 의 선형변환은 V 에서 같은 집합으로 가는 함수이며, 고유벡터는 이 함수에 의하여 바뀌지 않는(stable) 것에 관한 정보를 주며, 이는 이 함수를 훨씬 쉽게 이해할 수 있도록 하고 적절히 활용할 수 있는 정보를 준다.
사실, T v = λv는 T |span(v) = span(v)이므로, 고유벡터가 생성하는 직선은 선형변환 T 에 의하여고정된다.
교재 7.4절의 개체수의 문제에서 알 수 있듯이 선형변환에서 input과 output과의 비를 일정하게 유지시킬 수 있는 input이 바로 고유벡터이다.
대각행렬의 고유치와 고유벡터 행렬 I와 영행렬을 포함하여 대각행렬의 고유치와 고유벡터 는 정의에 의하여 쉽게 보여진다. 예를 들어
D =
d1 0 0 0 d2 0 0 0 d3
이면,
De1 = d1e1, De2 = d2e2, De3 = d3e3
임은 자명하다. 따라서 고유치는 d1, d2, d3이고 해당하는 고유벡터는 각각 e1, e2, e3이다.
예제 7.1.2. [대각행렬의 고유치와 고유벡터] 대각행렬 D =1 0 0 3
의 고유치와 고유벡터를 구하라. 또, 이 행렬에 의하여 정의된 선형변환이 면적이 1인 정사각형
{(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
을 어떻게 변환하는지 확인하여라.
풀이. De1 = e1, De2 = 3e2이므로 정사각형 R = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}이 직사각형 R0 = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3}으로 변환된다. R의 면적은 1, R0의 면적은 3배이며, A의 행렬식은 3임을 참고하도록.
삼각행렬의 고유치와 고유벡터 삼각행렬도 대각선의 원소가 고유치가 된다. 아래 두 예는 형태에 따라서 고유벡터를 쉽게 추측할 수 있는 삼각행렬이다. 예를 풀어보면서 결론을 추 측하여보자.
예제 7.1.3. [2차 삼각행렬의 고유치와 고유벡터]
(1) A = 1 k 0 1
의 고유치와 고유벡터를 구하라. 이 행렬에 의하여 정의된 선형변환이 다음 정사각형 {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}을 어떻게 변환하는지 확인하여라.
(2) A = 1 k 0 3
의 고유치와 고유벡터를 구하라. 이 행렬에 의하여 정의된 선형변환이 다음 정사각형 {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}을 어떻게 변환하는지 확인하여라.
풀이.
(1) Aei는 A의 i열이므로, Ae1 = e1, Ae2 =k 1
으로 크기는 변하지 않고 (A의 행렬식이 1!) x축 방향으로 기울어지는 평면의 shear 변환이다.(교재의 6.5절 참조. shear 변환 : 체적(혹은 면적) 변환을 수반하지 않고 물체내의 평면(직선)이 일정한 각도만큼 기울어져 있는 선형변환)
|tI − A| =
t − 1 −k 0 t − 1
= 0의 해는 t = 1. 따라서 고유치 1뿐이며, 이 경우 고유 벡터는
0 −k 0 0
x1 x2
=0 0
를 만족하므로, x2 = 0. 따라서 고유벡터는 x11 0
, x1 6= 0.
(2) |tI − A| =
t − 1 −k 0 t − 3
= 0의 해는 t = 1, 혹은 t = 3. 고유치 1인 고유벡터는
0 −k 0 −2
x1 x2
를 만족하므로, x2 = 0. 따라서 고유벡터는 x11 0
, (x1 6= 0). 고유치 3인 고유벡터는
2 −k 0 0
x1 x2
를 만족하므로, 2x1− kx2= 0. 따라서 고유벡터는 x2k/2 1
, (x2 6= 0).
예제 7.1.4. [모든 행렬이 고유치를 갖지는 않는다.] A = 0 −1 1 0
의 고유치와 고유벡터를 구하라.
행렬 A =0 −1 1 0
는 평면에서 90도 회전하는 변환으로 원점을 지나는 어떤 직선도 고정 되지 않으므로 고유벡터가 없다. 따라서 당연히 고유치도 없다.
평면의 회전 변환 중에서 고유치를 갖는 변환은?
행렬1 0 0 1
와 1 k 0 1
은 같은 특성다항식을 가지므로 고유치 1을 공통으로 갖는다. 그러 나 고유벡터들의 집합은 같지가 않다. 따라서 고유치가 같은 고유벡터들의 집합을 살펴볼 필요가 있다.
Definition 7.1.2. [고유공간] λ가 n차 행렬 A (혹은 선형변환 T : V → V )의 고유치일 때 Eλ= {v ∈ Rn|Av = λv} ( 혹은 Eλ= {v ∈ V |T v = λv}
가 행렬 A ( 혹은 선형변환 T )의 고유공간(eigenspace)이다. 실제 Eλ는 벡터공간이다.
(정리 7.1)
위의 정의에서 Eλ는 고유치가 λ인 고유벡터들의 집합에 0을 더한 집합이다.
예제 7.1.5. [3차 삼각행렬의 고유치와 고유벡터] 특성다항식이 같은 다음 행렬의 고유벡터, 고유공간을 비교하여라.
(1) A =
1 0 3 0 1 0 0 0 2
(2) A =
1 0 0 0 1 3 0 0 2
(3) A =
1 0 4 0 1 5 0 0 2
(4) A =
1 3 0 0 1 0 0 0 2
(5) A =
1 3 4 0 1 5 0 0 2
풀이. 구체적인 계산은 스스로 해 보도록.
(1) E1 = D
1 0 0
,
0 1 0
E
, E2= D
3 0 1
E
(2) E1 =D
1 0 0
,
0 1 0
E
, E2=D
0 3 1
E
(3) E1 = D
1 0 0
,
0 1 0
E
, E2= D
4 5 1
E
(4) E1 =D
1 0 0
E
, E2=D
0 0 1
E
(5) E1 =D
1 0 0
E
, E2=D
−15 5 1
E
이제 주어진 행렬들을 아래와 같이 블록으로 나누어 예제 7.1.3의 관찰을 근거로 하여 고유 벡터들을 추측하고 위의 답들과 비교하여라.
(1) A =
1 0 3 0 1 0 0 0 2
(2) A =
1 0 0 0 1 3 0 0 2
(3) A =
1 0 4 0 1 5 0 0 2
(4) A =
1 3 0 0 1 0 0 0 2
(5) A =
1 3 4 0 1 5 0 0 2
정리 7.1. λ가 n차 행렬 A (혹은 선형변환 T : V → V )의 고유치이면 Eλ는 Rn(혹은 V )의 부분공간이다.
증명. 연습문제
예제 7.1.5는 고유치와 고유벡터에 관한 정보를 쉽게 보여주는 행렬이다. 다음 예의 행렬 들은 특성다항식에 관한 정보를 품고 있는 행렬들이다.
예제 7.1.6. [3차 삼각행렬의 고유치와 고유벡터] 다음 행렬의 특성다항식과 고유치를 구하 라. 스스로 풀어보고 느껴야 하는 문제이므로 풀이는 생략.
(1) A =0 −2 1 3
(2) A =
0 0 −12 1 0 4 0 1 3
(3) A =
0 0 −c0 1 0 −c1 0 1 −c2
연습문제 7.1 1. D =2 0
0 −1
의 고유치와 고유벡터를 구하라. 또, 이 행렬에 의하여 정의된 선형변환이 다음 정사각형 {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}을 어떻게 변환하는지 확인하여라.
2. (a) A = 1 0 k 3
의 고유치와 고유벡터를 구하라. 또, (k = 2일 때) 이 행렬에 의하여 정의된 선형변환이 다음 정사각형 {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}을 어떻게 변환하는지 확인하여라.
(b) A = 3 0 k 3
의 고유치와 고유벡터를 구하라. 또, (k = 2일 때) 이 행렬에 의하여 정의된 선형변환이 다음 정사각형 {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}을 어떻게 변환하는지 확인하여라.
3. 다음 행렬의 고유치와 고유벡터를 구하여라.
(a)1 3 2 0
(b) 1 3 4 2
4. (a) 2 5 3 4
(b) 영행렬이 아닌 정사각행렬 A의 각 행의 원소를 더한 값이 α로 일정하면, A는 α를 고유치로 가짐을 보여라.
5. (a) 2 3 5 4
(b) 영행렬이 아닌 정사각행렬 A의 각 열의 원소를 더한 값이 α로 일정하면, A는 α를 고유치로 가짐을 보여라.
6. 정리 7.1을 증명하여라.
7. 예7.1.5의 예들을 보고 다음 질문들에 대한 추측이 가능한가?
(a) 고유벡터들이 기저를 이루는 행렬들은 어떤 행렬들인가?
(b) 대각행렬과 유사한 행렬은 어느것들인가? 그렇게 추측한 이유는 무엇인가?
(c) 위에서 대각화 가능하다고 추측한 삼각행렬들은 어떤 특징을 갖는지 추측이 가능한 가?
(d) 위에 주어진 윗삼각행렬을 보고 4차 삼각행렬에서도 대각화 가능한 삼각행렬의 추 측이가능한가?
(e) 위의 주어진 각 행렬의 특성다항식을 계산한 후, 행렬로 부터 특성다항식의 추측이 가능한 행렬들은 어떤 형태인가? 일반적인 차수의 정사각행렬에 대해서도 일반화가 가능한가?
8. P 는 가역행렬, e1, e2, · · · , end은 Rn의 표준기저이다. P e1, P e2, · · · , P en은Rn의기저임을 보여라.
9. P 는 가역행렬이다. {v1, v2, · · · , vr} ⊂ Rn은 일차독립이면, {P v1, P v2, · · · , P vr}도 일차 독립임을 보여라.
[교재연습문제] 계산문제 1-28번은 계산에 자신이 붙을때까지만 풀어보면 충분하겠지요.
