§ 1. 미분기호의 속박을 풀고 자유롭게!
어떤 함수의 미분(derivative)은 여러분이 잘 알고 있듯이 아래의 같이 정의합니다.
lim
→
식(1)
식(1)에서 라는 기호는 뉴턴(Issac Newton, 1643-1727)의 표현에 따른 것이고,
혹은
는 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)의 표현에 따른 것입니다. 우리는 이 책을 통해서 뉴턴과 라이프니츠의 표현을 모두 사용할 것입 니다 (그 때 그 때 상황에 편리한 것을 사용할 것입니다).
Note.
미분이라는 용어를 잠깐 정리하도록 하겠습니다. 어떤 함수 를 미분하는 것은 영어로 "differentiate"한다고 합니다. 이것의 명사형은 “differentiation"이니까 이것은 미분하는 행위를 뜻하는 명사가 됩니다.
한편, 를 미분한 결과, 즉,
를 지칭할 때는 이를 “derivative of "
라고 해야 합니다. 우리말로는 둘 다 미분이라고 할 때가 많지만, 정확히는 구분해 놓는 것이 좋겠지요?
식(1)에서 여러분은 아마도
라는 기호가 어떤 함수 의 왼쪽에 붙어서 미분을 나타내 주는 것으로 배웠을 것입니다. 그러니까
라는 것은 하나의 기호로써 항상 함 께 다녀야 하는 것으로 생각될 것입니다. 물론 이것은 맞는 이야기입니다. 엄밀하게 말 하자면 그렇게 해석하는 것이 옳을 것입니다.
그러나 우리는 지금부터 그 속박을 풀고 조금 더 자유롭게 생각하기로 합니다. 원래 식 (1)의 가장 우측에 있는 식은 다음과 같이 의 작은 변위 에 대한 함수 의 작 은 변화 의 변화의 극한값입니다.
lim
lim
식(2)
그러므로 식(2)로부터 우리가 미분을 함수 의 기울기로 해석하는 것이기도 하지요.
식(1)과 식(2)에 의하면, 이제
혹은
를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
lim
→
식(3)
이제 우리는 식(3)에서 조금 더 나아가 이렇게 생각하도록 하겠습니다. 가 엄청나게 작을 때, 그것을 로 표현하도록 합니다. 가 얼마나 작아야 하는지를 굳이 정할 필 요는 없습니다. 다만 가 거의 영(零, zero)에 무척 가깝게 갔다고만 생각하면 됩니 다. 그리고 는 마찬가지로 그러한 엄청나게 작은 의 변화인 에 대한 함수
의 변화량으로 생각합니다. 즉, 다음과 같습니다.
식(4)
식(4)에서는 를 로 줄여서 쓴 것에도 주의하십시오. 함수 의 변수가 확실할 때는 그 변수를 생략하여, 더 간략한 표현인 를 사용하는 경우도 많을 것입니다.
여러분은 이 표현이 마음에 들지 않을 수도 있습니다. “왜 엄밀한 표현을 쓰지 않고, 제멋대로 만든 기호들을 쓸까? 그것도 가 얼마나 작아야 하는지 아무런 규정도 없 이. 수학을 이렇게 대충 해도 되는 거야?”
그러나 이런 표현을 쓰는 것은 분명한 이유가 있습니다. 이렇게 하면, 많은 미적분과 관련한 공식들이 이해가 쉽고, 그래서 계산도 크게 간편해집니다. 그리고 오히려 미적 분에 대한 개념들이 더 확실하게 잡힙니다. 라이프니츠도 라는 기호를 적분의 반대로 서 파악하고,
는 적분과 미분이 서로 상쇄되어, 그 결과가 가 된다고 했습니다.미적분 만든 분도 그렇게 생각하셨고, 거기다가 여러 가지 장점들도 많다는데, 우리가 망설일 이유가 없습니다. 물론 고등학교 참고서에서도 이렇게 표현을 하는 것도 있습니 다만, 그 사용은 비교적 제한적입니다. 그래서 우리는 지금부터 와 를 마치 일반 숫자처럼 마구 쓸 것입니다. 그래도 아무 걱정하지 마시기 바랍니다. 처음에는 좀 어색 한 것 같아도, 나중에는 “이렇게 편한 걸 왜 진작 안 알려주었을까?” 하고 생각이 들 것입니다.
이제 우리의 이상한 표현과 좀 더 익숙해질 차례입니다. 뭔가 쓸모 있는 면모를 보여줘 야 여러분이 좋아하겠지요? 우선 이라고 합시다. 이제 가 어떻게 될까요?
잘 모르시겠습니까? 그럼 다음 식을 보시기 바랍니다.
식(5)
여러분, 식(5)는 우리가 와 를 숫자처럼 생각한다면 너무나 당연한 바보 같은 공 식입니다. 그러므로 이 공식을 앞으로 바보공식이라고 하겠습니다. 그러나 이 바보공식 은 는 의 미분(derivative)과 를 곱한 것이라는 것을 알려주고 있습니다. 우리 는 바보공식이 알려 준대로 합니다.
식(6)
그렇다면 다음과 같은 것들도 이젠 자연스럽게 알 수가 있겠습니다.
→ 식(7)
→ 식(8)
→
식(9)
→ 식(10)
식(10)에서는 사인함수의 미분이 코사인이 된다는 것을 미리 알고 있어야 합니다. 우리 는 아직 그것을 증명하지 않았지만, 머지않아 곧 증명을 할 것이므로 조금 앞당겨서 사 용하였습니다.
아직도 이런 표현이 마음에 안 드신다면 이런 것은 어떻습니까? 함수 가 변수 의 함 수인데, 다시 변수 가 변수 의 함수인 경우를 생각합니다. 즉, 다음과 같은 경우이지 요.
, 식(11)
이 때, 는 최종적으로 의 함수로 볼 수 있습니다. 그렇다면 를 에 대해 미분하면 어떤 결과를 얻게 됩니까? 여러분이 무척 잘 알고 있는 합성함수의 미분공식을 떠올려 야 하겠지요. 그런데 우리는 , , 를 모두 숫자처럼 취급하기로 했습니다. 그러 니까 다음과 같은 식들이 성립할 것입니다.
바보공식에 의해,
식(12)
식(13)
식(13)을 식(12)에 대입하면,
⋅
식(14)
또 다른 바보 같은 수식이지요? 원래 바보에서 나온 파생 바보공식입니다. 신경 쓰지 말고, 식(14)의 양변을 로 나누어 줍니다.
⋅
식(15)
식(15)는 어디서 많이 보던 공식입니다. 바로 아주 유용하기가 그지없는 합성함수의 미 분, 혹은 치환미분의 공식(chain rule)입니다! 점점 바보공식이 마음에 들지요?
다음으로는 함수 의 역함수 에 관한 미분을 살펴보겠습니다. 인 함수 가 있다고 하고, 이것의 역함수인 가 존재한다고 합시다. 그럼 역함수의 정의에 의해 다 음의 식이 성립합니다.
, 식(16)
식(16)에 두 식에 각각 바보공식을 적용하면,
식(17)
식(18)
식(18)을 식(17)에 대입하면,
식(19)
식(19)의 양변을 로 나누고, 정리하면,
식(20)
식(20)도 어디서 많이 보던 것인데요, 바로 역함수의 미분공식입니다. 가만히 다시 보 니까, 다음을 다시 써 놓은 것에 불과하네요.
식(21)
또 다른 파생 바보공식입니다!
참으로 이상한 일입니다. 왜 아무 의미도 없을 것 같은 식(5)에서 우리가 제법 여러 과 정을 거쳐서 증명했던 유용한 미분공식들이 허탈할 정도로 정확하게 튀어나올까요?
그렇습니다. , 등을 하나의 숫자로 다루는 것은 수학적으로 아주 정확한 표현은 아니지만, 대부분의 경우에 그다지 틀리지 않은 결과를 가져다주며 갖가지 미분공식을 기억하는 데에 아주 유용한 tip이 됩니다.
Note.
식(11)부터 식(21)까지의 여러 가지 유도 과정을 여러분이 정확하다고 여기지는 마 시기를 바랍니다. 우리는 많은 경우에 나 등을 숫자처럼 생각하면 편리하다는 것을 보여주고, 특히 공식들을 여러분이 쉽게 기억할 수 있도록 돕기 위해 그렇게 한 것입니다. 여러분이 가지고 있는 참고서들에 나온 증명들이 정확한 것입니다.
또한,
와
는 일반 숫자와는 분명이 다른 성질을 가지고 있습니다. 그런 것은 더
높은 수준이므로 여기서는 깊이 다루지는 않기로 합니다.이제 다음과 같은 문제들을 풀면서, 익숙해지는 연습만 좀 하도록 합시다. 왜 이것에 익숙해지면 좋은지는 지금은 묻지 마시기 바랍니다. 나중에 적분을 할 때, 여러분은 이 런 표현이 얼마나 유용한지를 보게 될 것입니다.
<연습>
다음을 증명하시오. (별도의 풀이는 없습니다).
(1)
(2) (3)
(4)
