4 장. 다 자유도 시스템

4 장. 다 자유도 시스템

서론

3 장까지는 1 자유도 시스템에 대한 진동만을 다루었다. 그러나 실제 공학적 예제들의 경우 1 자유도로 모델링 해서는 해석의 정확도를 적절히 보장할 수 없는 경우들이 많이 발생한다. 예를 들어 전 장에서 다룬 기반 가진(Base Excitation)에 의한 진동의 경우는 기반 운동이 시간에 대해 주어지는 것으로 하였으나 기반 운동도 자유운동으로 다루게 되면 또 다른 운동방정식을 세워서 풀어야 하는 것이다. 이 외에도 현가 장치 운동을 고려한 자동차의 진동이나 고층건물의 진동은 일반적으로 다 자유도 시스템으로 모델링 하여 다루게 된다. 다 자유도 시스템들은 그 자유도 수만큼의 고유진동수를 갖게 되며 1 자유도 시스템에는 없는 모드라는 개념이 등장한다.

2 자유도 무감쇠 모델

그림에서 보는 진동계는 그 형태를 기술하기 위해서 적어도 2 개의 변수들이 필요하며 따라서 2 자유도 시스템이다. 이 시스템의 운동 방정식을 자유물체도를 그려 유도하면 다음과 같다.

)

( 2

) (

2 1 2 2

1 2 1 1

kx x x k x m

x x k kx x m





















위 두 방정식 모두에는

x

₁과

x

₂가 함께 나타나므로 각각 풀이할 수 없고 함께 풀어야 한다. 이와 같이 두 변수들이 함께 나타나는 경우, 방정식이 연성되어 있다고 말한다.

위 방정식들을 행렬식을 이용하여 표시하면 다음과 같다.

 



 

 

 



 

 



 







 

 



 

 



 





0 0 2

2 2

0 0

2 1 2

1

x x k k

k k x

x m m





여기서 좌변 첫째 항은 질량행렬 그리고 두 번째 항은 강성행렬이라 부른다. 다 자유도 시스템들은 통상 이와 같이 행렬식을 이용하여 운동 방정식을 나타낸다. 질량 및 강성 행렬은 통상 대칭 정방행렬이 되며 시스템이 2 자유도면 크기가 2 x 2 이고, 3 자유도면 3 x 3 크기를 갖게 된다. 위 식은 아래와 같이 간략히 나타낼 수 있다.

  M   x     K   x  0

⁽¹⁾

(1)식이 1 자유도일 때 지수함수

e

^jt 를 미분 방정식의 해로 가지므로, 다자유도인 이 방정식의 해도 다음과 같은 형태를 가질 것으로 예측할 수 있다.

    ^{x  u e}

^{jt (2)}

식 (2)를 식 (1)에 대입하면, 다음 식이 얻어진다.

   

 ^{K  }

²

^M  ^{  u e}

^jt

^{ 0}

⁽³⁾

이 방정식이

  u  0

인 해, 즉 무의미한 해만을 (Trivial solution) 갖지 않으려면,

   

  ⁰

det K  

²

M 

(4)

즉,

2 0 2

2

2

2

 

 

  

m k k

k m

k

(5)

위 식에서

  

²이라 하고 식을 전개하면 다음과 같은 특성방정식이 얻어 진다.

2 0

3 3

2

2

 



 



 

 

 



 

m k m

k 



(6)

2 차 식인 위 방정식의 해는 두 개이며, 그 값들은 크기 순서대로 아래와 같이 구해진다.

m k m

k

m k m

k

3660 . 2

2

3 2 3

6340 . 0

2

3 2 3

2 2 2

1 1 1





 



 



 







 





 

 















(7)

여기서 구한 두 개의



값들을 (혹은



의 값들을) 식 (3)에 대입하면, 두 개의

  u

를 구할 수 있는데 이들을 고유벡터 혹은 모드벡터라 부른다.

고유벡터의 두 요소들을

u

₁과

u

₂라고 하면, 즉

 

 



 

 

2 1

u

u u

라고 하면, (3) 식으로부터

고유벡터의 요소들 간의 관계는 다음과 같이 구해진다.

k m k m

k k u

u

²

2 2

1

2 2

2





 

 

(8)

따라서 첫 번째 고유치



₁에 대해서,

731 . 0 2

3 2 1

1

2 3 2 2 3

2

₁²

2

1







 



 

 



 



k k

k m

k k u

u



⁽⁹⁾

또한 두 번째 고유치



₂^{에 대해서,}

73 . 2 2

3 2 1

1

2 3 2 2 3

2

₂²

2

1

 





 



 

 



 



k k

k m

k k u

u



⁽¹⁰⁾

이를 그림으로 표시하면, 두 모드 벡터들은 아래와 같이 도식적으로 나타내 수 있다.

모드 벡터는 그 요소들간 비율이 중요한 의미를 갖는다. 이 모드들이 나타내는 운동이 어떤지 생각해 보자.

초기조건과 모드의 영향

앞에서 살펴본 예제로부터 두 고유진동수에 의한 두 고유모드 운동은 다음과 같다.

 



_{2 2}



) 2 (

2 1

1 1 )

1 (

2 1

00 sin . 1

73 . 2 00 sin . 1

730 . 0









 

 

 

 

 



 



 

 

 

 

 



 



x t x x t x

임의의 운동에서는 위의 두 모드가 섞여서 나타난다. 따라서,



1 1



2



2 2



1 2

1

sin

00 . 1

73 . sin 2

00 . 1

730 .

0     

 



 

 

 

 

 

 

 



 

 c t c t

x

x

(11)

여기서

c

₁

, c

₂

, 

₁

, 

₂는 주어진 초기조건으로부터 결정된다. 예를 들어서,

 



 

 

 



 



 



 

 

 



 



0 0 ) 0 (

) 0 , (

4 2 ) 0 (

) 0 (

2 1 2

1

x x x

x





이라면 (12)

(1)식에 (2)식의 조건들을 대입하면,

 

 





















0 cos cos

0 cos 73

. 2 cos 731

. 0

4 sin sin

2 sin 73 . 2 sin 731 . 0

2 2 2 1 1 1

2 2 2 1

1 1

2 2 1 1

2 2 1

1

























c c

c c

c c

c c

위 식들을 풀이하면,

c

₁

 3 . 732 , c

₂

 0 . 268 , 

₁

 

₂

 90

⁰ 따라서

1

1 2

2

0.730 2.73

3.732 cos 0.268 cos

1.00 1.00

x t t

x  ^ 

       

     

   

 

⁽¹³⁾

(13)식의 결과를 살펴보면, 주어진 초기 조건이 첫 번째 모드와 비슷했으므로 그 결과도 첫 번째 모드가 지배적으로 나타나는 것을 알 수 있다.

고유치와 고유진동수

진동 방정식으로부터 고유진동수들을 구하는 문제는 고유치 문제라고 (Eigenvalue problem) 불리는 수학적인 형태로 변환될 수 있다. 본 절에서는 이 변환 과정에 필요한 행렬에 관한 기본적인 내용들을 설명하고 어떻게 진동 방정식으로부터 고유치 문제가 변환되어 얻어지는 지와 고유치와 고유진동수간의 관계 그리고 고유 벡터의 정규 값과 모드 행렬 등에 대해서 상세하게 설명하려 한다. 우선 행렬과 관련된 기본적인 지식을 설명하도록 하자.

제곱근 행렬 (Square root matrix) 및 역행렬 (Inverse matrix)

     A A  M

을 만족시키는 행렬

  A

를 행렬

  M

의 제곱근 행렬이라 부르고

  M

²¹로 표시한다. 예를 들어,

  _



 



 

m M m

2 0

0

이면

  _



 



 

m M m

2 0

2

0

1

위의 경우는

  ^M

이 대각행렬이라 제곱근 행렬 계산이 간단하였으나

  ^M

^{이 일반적인}

형태를 갖는 경우는 그 계산이 간단하지 않다.

대각행렬 중 그 대각 요소들의 값이 모두 1 인 행렬을 단위행렬이라 한다. 어떤 행렬과 곱하여 단위행렬이 되는 행렬을 역 행렬이라 부른다. 즉, 단위행렬을

  I

로 표시한다면

     A M  I

이면,

  A

는

  M

의 역 행렬이라 부르고

  ^M

^1로 표시한다. 따라서

  M

^21은

  M

¹²의 역 행렬을 나타내며, 예를 들어

  _



 



 

m M m

2 0

2

0

1

이면

 

 

 





 

 









m M m

2 0 1 1 0

2 1

행렬이 대각행렬이면 그 역 행렬도 이 같이 쉽게 계산할 수 있으나 대각행렬이 아니면 행렬의 크기가 커질수록 해석적 해를 구하기가 복잡해진다. 이에 관한 상세한 내용은 행렬 연산에 관한 문헌들을 참조하라.

진동 문제의 고유치 문제화 과정

진동방정식

  M    x    K   x  0

^에

  x   M

2

  q

1



를 대입한 후 결과 식에

  ^M

^{21 을}

곱하면 다음의 결과를 얻게 된다.

           

2

  0

1 2

1 2

1 2

1 ^



^{ }





q M K M q M M

M 

따라서 위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  ^I   ^q  ^   ^{K ~   q  0}

여기서

  K ^~       M

^21

K M

^21 이고 이 행렬은 대칭 행렬이다. 위 식의 해를

    q  v e

^jt라 가정하면 대입하여 다음 식을 구할 수 있다.

  ^{K ~   v  }

²

^{  v}

여기서

  

²으로 대치하면,

  ^{K ~     v   v}

이러한 형태의 식을 수학적으로는 고유치 문제라 부르며 이 식을 만족시키는 0 이 아닌

  v

값을 고유 벡터라고 부르고 그 때의



값을 고유치라 부른다. 이 때

  ^{K ~}

^{가 대칭}

행렬이면 이 고유치 문제는 대칭형 고유치 문제라 부른다.

벡터의 크기와 직교성

벡터

x 

의 크기는 (Norm)

x 

로 나타내며 그 의미는 다음과 같다.

x x x     

벡터

x 

_와

y 

가 곱하여 0 이 될 때 (즉

x   y   0

), 두 벡터는 서로 직교한다고 말한다.

또한 서로 수직이고 크기의 값이 모두 1 인 벡터들의 집합을 정규 직교 벡터 집합이라 (Orthonormal set of vectors) 부른다. 크기가 1 이 아닌 벡터의 크기를 1 로 만드는 과정을 정규화라 부른다. 예를 들어

x 

의 크기가 1 이 아닐 때, 이 벡터를 정규화한 벡터

z

는 아래와 같이 구한다.

x z x 

  

정규화된 모드행렬과 가중 모드행렬

어떤 행렬

  v

가 아래 식의 관계를 만족시키면 이 행렬은 질량 행렬에 대해 정규화가 이루어졌다고 말한다.

  v

^T

  M   v  1

만일

  v

_i가 진동 문제의 고유벡터를 정규화 하여 얻어진 행렬이라면,

        0

2

 

 

_i

M v

_i

K v

_i

이 식에

  v

_i^T 를 곱하면,

            0

2

 

 

_i

v

_i^T

M v

_i

v

_i^T

K v

_i 따라서,

  v

_i^T

  K   v

_i

 

_i²

  v

_i로 구성된 행렬을 정규화된 모드행렬이라고 (Normalized modal matrix) 부른다. 즉,

  V           v

₁

v

₂

v

₃

  v

_n



이 모드 행렬이 가지는 성질은 다음과 같다.

       V

^T

M V  I

       V

^T

K V  

만일

  w   M

2

  v



1 라면,

         

2

        1

1 2

1

  



 



 

_{i i}^T _i

T i i

T

i

w M v M v v M v

w

  w

_i로 구성된 아래와 같은 행렬을 가중 모드행렬이라 (Weighted modal matrix) 부른다.

  W           w

₁

w

₂

w

₃

  w

_n



  w

_i의 특성에 의하여 이 모드 행렬은 다음 성질을 갖는다.

      W

^T

W  I

예제: 다음 행렬의 제곱근을 구하라.

 

 







 

8 10

10 M 13

 

 



  c b

b M

²

a

1

라면





 













²



² _{2 2}

c b bc ab

bc ab b M a

따라서

2

13

2

 b  a

 10



 bc ab

2

8

2

 c  b

이 방정식들은 비선형 연립방정식으로 해석적으로 풀이할 수 있는 일관성 있는 방법은 없고 Newton-Raphson 방법과 같은 수치적 방법을 이용해 풀이하여야 한다. 이문제의 경우 해는

a  3 b   2 c  2

예제: 이 강의노트 87 쪽의 예제에 대해 정규화된 모드행렬과 가중 모드행렬을 구하라.

 

 



 

m M m

2 0

0

 



 

  1 731 . 0 u

1

 



 

 

1 73 . 2 u

2

1

1

u

v  

그리고

v

₂

  u

₂라 하면

1 ) 2 731 . 0

(

²

2 1

1

Mv   m 

v

^T



m 628 .

 0

 1

) 2 73 . 2

(

²

2 2

2

Mv   m 

v

^T



m 325 .

 0



따라서

 



 

 

628 . 0

459 . 1 0

1

m

v   

 

 

325 . 0

887 . 1 0

2

m

v

 



 

 

 0 . 888

459 . 0

1 2 1

1

M v

w   

 

 

 0 . 460

887 . 0

2 2 1

2

M v

w

그러므로

  _



 



 

 0 . 628 0 . 325 887 . 0 459 . 1 0

m

V   _



 



 

 0 . 888 0 . 460

887

.

0

459

.

W 0

모드 해석 (Modal Analysis)

2 자유도 이상의 자유도를 갖는 시스템의 진동 방정식은 통상적으로 서로 연성되어 (Coupled) 있다. 따라서 이 방정식을 해석적으로 풀이하는 것은 간단하지 않다. 이와 같이 연성된 방정식을 앞서 소개된 모드 행렬을 이용해 연성되지 않은 형태로 만들어서 풀이하는 과정을 모드 해석이라 부른다. 다음은 그 과정들을 보여준다.

가중 모드행렬을 이용한 모드 해석

연성된 무감쇠 진동방정식

  M   x     K   x  0

을 풀기 위하여 앞 절에서 보여준 대로

  x   M

2

  q

1



의 관계를 갖는 새로운 좌표를 이용하면,

  ^I   ^q  ^   ^{K ~   q  0}

여기서

  K ^~       M

^21

K M

^21이다. 이 방정식은

  ^{K ~}

가 대각 행렬이 아니므로 여전히 연성된 방정식이다. 가중 모드행렬

  W

를 이용하여 새로운 좌표

  r

을 정의한다. 즉,

  q    W   r

이면 위에 나타난 방정식은 다음과 같이 변환한다.

    ^W

^T

^W   ^r  ^   ^W

^T

  ^{K ~   W   r  0}

이를 가중 모드 행렬의 성질을 이용하여 정리하면,

  I    r       r  0

여기서

  

는 대각 행렬이며 위 식은 이제 두 방정식이 서로 연성되어 있지 않게 되며 따라서 1 자유도 시스템의 진동 문제를

n

개 푸는 꼴이 된다. 이 방정식을 풀려면

  r ( 0 )

^과

  r ( 0 )

이 필요하므로 아래 관계식을 이용하여 구한다.

  ( 0 )  

²

  ( 0 )

1

x M

q    ( 0 )  

²

  ( 0 )

1

x M q   

  r ( 0 )    W

^T

  q ( 0 )   r  ( 0 )    W

^T

  q  ( 0 )

정규화된 모드행렬을 이용한 모드 해석

연성된 무감쇠 진동방정식

  M   x     K     x  f (t )

을 풀이하기 위하여 이 식에

  x    V   r

을 대입한 후

  V

^T를 곱하면 다음의 관계식을 얻을 수 있다.

     V

^T

M V   r        V

^T

K V   r    V

^T

  f (t )

여기서 모드 행렬의 성질을 이용하면,

  ^I   ^r          ^r  ^{g (t )}

여기서

  

는 대각 행렬이 되며 위 식은 이제 방정식이 서로 연성되어 있지 않게 되며 따라서 1 자유도 시스템의 진동 문제를 2 개 푸는 꼴이 된다. 이 방정식을 풀려면

  r ( 0 )

과

  r ( 0 )

이 필요하므로 아래 관계식을 이용하여 구한다.

  r ( 0 )      V

^T

M   x ( 0 )   r  ( 0 )      V

^T

M   x  ( 0 )

사실은 가중 모드 행렬을 이용한 모드 해석보다 일반 모드 행렬을 이용한 모드 해석이 더 널리 사용된다.

연성과 정규좌표

일반적인 무감쇠 진동계의 방정식은 다음과 같이 표시된다.

0

2 1 22 21

12 11 2

1 22 21

12

11



 



 

 



 



 

 



 

 



 





x x k k

k k x x m m

m m





(14)

연성된 질량행렬 연성된 강성행렬

  

 



 

 

 



 



2 1 2

1

 U  x

x

선형 변환 (Linear Transformation)

선형변환을 (14)식에 적용하고

  U

^T를 전적하면

0 0

0 0

0

2 1

* 2

* 1 2 1

* 2

*

1



 



 

 



 



 

 



 

 



 













k k m

m





위와 같이 선형변환을 통해 연성이 풀릴 때,



₁^과



₂를 정규좌표라 (Normal coordinate) 부른다. 일반적으로 무감쇠 진동계는 항상 실 변수 정규좌표를 구할 수 있으나, 나중에 설명되듯이 감쇠진동계는 그렇지 않다.

4 2 3

1

l k l

k 

강성 연성 (Stiffness coupled) 예제

위 시스템의 운동방정식은

 



 

 

 



 

 



 











 



 





 

 



 





0 0

0

0

2 1 3 2 2

2 2

1 2 1 2 1









k k k

k k

k J

J





질량 연성 (Mass coupled) 예제

만일 2 자유도 시스템인 이 시스템의 일반좌표를 아래와 같이 선정한다면

운동방정식은

 



 

 

 



 

 



 







 

 



 

 



 





0 0 0

0 )

(

2 4 2 2 3 1 2 1





c c

c

x l k l k k k x

J me

me m





예제: 다음 질량행렬과 강성행렬을 가진 진동계의 고유진동수와 모드벡터를 구하고 다시 정규화된 모드벡터를 구하라.

1 1

2 2

4 0 1 1

10 0

0 1 1 1

x x

x x

    

         

    

       





무의미한 해만 갖지 않기 위한 조건은

   



²



² 2 ^{4 2}

10 4 10

det det 4 50 0

10 10

K M 

  



   

          

따라서

1

0

 

2

3.536

 

1

0

 

와

   ^{K  }

²

  ^M  ^{  u  0}

를 이용하여 첫 번째 모드벡터를 구하면,

 

₁

¹

u   1

  

 

2

3.536

 

와

   ^{K  }

²

  ^M  ^{  u  0}

를 이용하여 두 번째 모드벡터를 구하면,

 

₂

¹

u   4

     

정규화된 첫 번째 모드벡터를

 

₁

¹

v _{  }  ^{ } 1

 

^{라 하면}

  v

^T

  M   v  1

이므로

 

2

4 0 1

1 1 1

0 1 1

 ^   ^{  }       

^따라서

1

  5

정규화된 두 번째 모드벡터를

 

₂

¹

v _{  }  ^{ } 4

  

^{라 하면}

  v

^T

  M   v  1

이므로

 

2

4 0 1

1 4 1

0 1 4

  ^   ^{  }        

^따라서

1

  20

Homework Problems

3, 4, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 18, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45