8. 상대성 이론

(1)

천체와 우주 천체와 우주

8. 상대성 이론

(2)

빛이란 무엇인가?

 빛은 알갱이 (corpuscle) 빛은 알갱이 (corpuscle)

• Newton – 빛의 직진성 (광선), 반사, 굴절

 빛은 파동 (wave)

• Huygence, Young – 빛의 회절, 간섭

 빛은 전자기파 (electromagnetic wave)

• Maxwell, Hertz – 전자기 현상과 맥스웰 방정식

 빛은 입자 (photon)

• Planck Einstein – 양자화된 빛 에너지

• Planck, Einstein – 양자화된 빛 에너지

 빛은 입자이면서 파동이다 (wave-particle duality)

• 입자 - 에너지와 운동량입자 에너지와 운동량

• 파동 - 간섭

(3)

빛의 속력과 상대성 빛의 속력과 상대성

 빛의 속력

• 자연의 기본상수, 진공에서 빛이 전파하는 속력

상대성 질 에너지 정 가 전달될 있 최대 력

• (특수상대성) 물질, 에너지, 정보가 전달될 수 있는 최대 속력

• 현재 meter 단위를 정의하는 데 쓴다. (위의 c 값이 1 m 를 정의한다.)

 빛의 속력 관련 역사

• 1676년, Ole Rømer가 목성의 달 이오의 겉보기 운동을 관찰하여 빛의 속력이 유한함을 보였다.

• 1729년, James Bradley가 광행차가 유한한 빛의 속력 때문에 생기는 것임을 보이고 이를 바탕으 로 빛의 속력을 추정했다

로 빛의 속력을 추정했다.

• 1865년, James Clerk Maxwell이 빛의 속력이 전자기파의 속력과 일치함을 보였다.

• 1905년, Albert Einstein이 빛의 속력은 광원의 운동과 무관함을 특수상대성의 근본원리로 세웠다.

 빛과 상대성

• 뉴턴 역학은 갈릴레이 상대성을 바탕으로 하고 있다. – 절대 시간과 절대 공간

• 빛을 전자기파로 이해한 전자기학은 갈릴레이 상대성과 맞지 않는다.빛을 전자기파로 이해한 전자기학은 갈릴레이 상대성과 맞지 않는다.

• 빛의 속력에 근접하는 물체의 운동을 다룰 때에는 새로운 상대성이 필요하다.

(4)

갈릴레이 상대성

(5)

운동의 기술 운동의 기술

 물리학(physics)은 물체(천체)의 운동을 연구하는 역학(mechanics)으로 시작 물리학(physics)은 물체(천체)의 운동을 연구하는 역학(mechanics)으로 시작 했다. 역학은 물체의 운동을 기술하는 것에서 시작한다.

 물체의 운동을 기술하는 기본적인 방법은 시간에 따라 달라지는 물체의 위 치를 표시하는 것이다.

• 시간과 위치를 표시하기 위해서 시간좌표와 공간좌표를 도입한다.

• 우리가 살고 있는 공간은 3차원이므로 3개의 공간좌표가 필요하다.

• 운동의 기술을 수학으로 표현하면 공간좌표(r)를 시간좌표(t)의 함수(r(t))로 나타내는 것이다.

• 고전역학(classical mechanics)과 양자역학(quantum mechanics)의 차이 – 고전역학은 물체의 운동(motion)을 기술하고, 양자역학은 물체의 상태(state)를 기술한다.

 시간과 위치를 표시하기 위해 좌표계를 도입한다. 우리가 선택할 수 있는 좌 표계는 무수히 많다. 그 중에서 어떤 좌표계를 선택하는 것이 좋을까?

• 어떤 관찰자가 물체의 운동을 기술하기 위해 도입한 좌표계를 기준계라 부른다

• 어떤 관찰자가 물체의 운동을 기술하기 위해 도입한 좌표계를 기준계라 부른다.

• 관찰자가 선택할 수 있는 기준계는 수 없이 많다. 그 중에 운동을 기술하는 데 더 편리한 기준계는 어떤 기준계일까? 이를 알기 위해서는 물체의 운동이 왜 일어나는 지 생각해 볼 필요가 있다.

(6)

물체의 운동과 관성기준계 물체의 운동과 관성기준계

 물체의 운동은 왜 일어나는가? 물체의 운동은 왜 일어나는가?

• 물체의 운동을 일으키는 원인(힘이라고 하자)이 없을 때 물체는 어떤 상태에 있는가?

• 아리스토텔레스는 물체가 운동을 유지하기 위해서는 힘이 필요하다고 믿었고, 물체의 자연 스러운 상태는 정지한 상태라고 생각했다.러운 상태는 정지한 상태라 생각했다

• 갈릴레오는 몇 가지 실험으로부터 물체의 자연스러운 상태는 일정한 속력으로 움직이는 상 태라고 생각했다.

 관성기준계

• 물체의 속도, 속도의 변화(가속도)는 기준계의 선택에 따라 달라진다. 위에서 말한 물체의 자연스러 운 상태가 일정한 속력으로 움직이는 상태라는 것은 그런 기준계가 존재한다는 것을 의미한다.

• 물체에 아무런 힘이 가해지지 않을 때 물체가 일정한 속도로 움직이는 기준계를 관성기준계라 한 다 어떤 기준계가 관성기준계인지 어떻게 아는가? 실험을 통해 확인해보아야 한다

다. 어떤 기준계가 관성기준계인지 어떻게 아는가? – 실험을 통해 확인해보아야 한다.

(7)

힘과 운동 상대성 힘과 운동, 상대성

 (관성기준계에서) 물체에 힘이 작용하면 물체는 가속된다 (관성기준계에서) 물체에 힘이 작용하면 물체는 가속된다.

가속도 = 힘 / 질량

• 물체에 힘이 작용했을 때 생기는 가속도의 크기는 물체의 질량(관성의 크기)에 반비례한다.

가속도 = 힘 / 질량

 관성기준계의 동등성

• 관성기준계에 대해 일정한 속도록 움직이는 기준계 역시 관성기준계가 된다. 즉 관성기준계관성기준계에 대해 일정한 속 록 움직이는 기준계 역시 관성기준계가 된다 즉 관성기준계 는 무수히 많다.

• 모든 관성기준계는 운동을 기술하는데 있어 동등하다.

 물체의 속도는 모두 상대속도이다

 물체의 속도는 모두 상대속도이다.

• 속도는 절대적인 의미가 없다. (내가 탄 차의 속도를 밖을 보지 않고 알 수 있는 방법은 없다.)

• 가속도는 절대적인 의미가 있다. (내가 탄 차의 가속도는 밖을 보지 않고도 알 수 있다.)

• 상대속도의 크기에는 제한이 없다

 상대성 원리

• 물리 법칙을 기술하는 방정식은 허용되는 모든 관성기준계에서 같은 형태를 가진다.

• 상대속도의 크기에는 제한이 없다.

(8)

갈릴레이 변환과 상대성 갈릴레이 변환과 상대성

 두 관성기준계 사이의 좌표변환 두 관성기준계 사이의 좌표변환

• 관성기준계 A와 A에 대하여 상대속도 로 움직이는 관성기준계 B 사이의 좌표변환

• 두 기준계에서 시간(의 흐름)은 같다.

갈릴레이 변환

두 기준계에서 시간(의 흐름)은 같다.

• 기준계 A와 B 사이의 속도 변환

갈릴레이 변환

• 기준계 A와 B 사이의 가속도 변환

• 시간은 두 관성기준계에서 같다 (universal time).

• 모든 속도는 상대속도이다 즉 속도를 말할 때는 어느 기준계에서의 속도인지를 밝혀야 한다

• 모든 속도는 상대속도이다. 즉 속도를 말할 때는 어느 기준계에서의 속도인지를 밝혀야 한다.

• 두 관성기준계에서 가속도는 같다. 따라서 힘이 위치에만 의존하고 속도에 의존하지 않는 경우 에는 두 기준계에서 운동방정식은 같은 형태를 가진다.

(9)

특수 상대성

(10)

전기와 자기 전기와 자기

 19세기 물리학의 대 성과 - 맥스웰 방정식 – 전기와 자기의 통합 19세기 물리학의 대 성과 맥스웰 방정식 전기와 자기의 통합

Hans Christian

Ørsted André-Marie

Ampère Michael

Faraday James Clerk Maxwell 자기현상

전기현상

• 전자기 현상을 일으키는 것은 물질이 가지고 있는 전하다.

• 전혀 달라 보이는 전기현상과 자기현상은 서로 연관되어 있다.

• 전하와 전류(전하의 흐름)가 전기장과 자기장을 만든다.

• 전기장과 자기장에 놓인 전하는 전자 기력을 받는다

기력을 받는다.

• 전자기력은 우리 삶의 대부분을 지배 하는 힘이다.

맥스웰 방정식과 로렌츠 힘

(11)

전자기파 전자기파

Heinrich Hertz

James Clerk Maxwell 전자기파의 진행 전자기파의 존재를 확인한 헤르쯔의 실험장치 모형

 전자기파의 존재와 매질

• 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장이 공간을 전파해가는 전자기 파동을 허용한다 Heinrich Hertz

James Clerk Maxwell 전자기파의 진행 전자기파의 존재를 확인한 헤르쯔의 실험장치 모형

• 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장이 공간을 전파해가는 전자기 파동을 허용한다.

• 전자기파의 전파속력은 유전율과 투자율로 결정되는 상수인데, 빛의 속력과 일치한다. 이를 바탕 으로 맥스웰은 빛도 전자기파임을 알아냈다. 전자기파의 존재는 헤르쯔의 실험으로 확인됐다.

• 19세기의 고민 – 맥스웰 방정식은 갈릴레이 상대성을 따르지 않는다. 전자기파의 속력은 어느 기19세기의 고민 맥스웰 방정식은 갈릴레이 상대성을 따르지 않는다. 전자기파의 속력은 어느 기 준계에서 정의되는가?

• 다른 파동(수면파, 음파 등)의 경우 – 파동의 속력은 매질의 정지계에서 정의된다.

• 그렇다면, 전자기파의 매질은 무엇인가? 19세기말 사람들은 전자기파의 매질을 가정하고 이를 에 테르라 불렀다. 지구 대기 내 뿐만 아니라, 우리가 햇빛과 별빛을 볼 수 있다는 것은 우주 전체가 에테르로 가득 차 있다는 것을 의미한다. 이 에테르의 존재를 실험을 통해 증명할 수 있을까?

(12)

마이켈슨 몰리 실험 마이켈슨-몰리 실험

에테르(빛의 매질) 바람을 검출해 보자

 에테르(빛의 매질) 바람을 검출해 보자.

• 태양의 빛이 지구와 행성까지 오므로, 태양계는 에테르로 차 있다. 별빛도 도달하므로 우주 전체가 에테르로 차 있다.

• 지구는 에테르 속에서 공전과 자전을 하므로 (계절 시간에

• 지구는 에테르 속에서 공전과 자전을 하므로 (계절, 시간에 따라서 변하는) 에테르 바람이 불 것이다.

• 지구에서 측정하는 빛의 속력은 계절, 시간, 방향에 따라서 다를 것이다.

 움직이는 매질에서 파동의 전파

• 흐르는 물을 가로질러 헤엄쳐 건너는 것으로 이해할 수 있다.

흐르는 매질에서 방향에 따른 파동의 전파속력 매질의 흐름

(정지매질)전파속도 진행속도

(13)

 마이켈슨 간섭계를 이용한 경로차 측정

마이켈슨-몰리 실험의 개념도

• 매질의 이동 방향에 대한 각도에 따라 같은 직선거리를 왕복하는데 걸리는 시간이 다르다.

• 서로 수직인 두 왕복 경로 사이의 시간차가 가장 클 때와 작을 때는?

에테르 바람 방향최대 최소

이 작은 차이를 측정할 수 있을까?

최소

• 이 작은 차이를 측정할 수 있을까?

마이켈슨 갑섭계

(Michelson Interferometer)

한 샘에서 나와 서로 수직인 두 경로를 한 샘에서 나와 서로 수직인 두 경로를 지나 다시 합쳐진 빛이 간섭하여 그림의 간섭무늬를 보인다. 두 밝은 간섭무늬 사이의 경로차는 빛의 한 파장과 같다.

간섭무늬의 변화를 관측하여 빛의 파장 (400 ~ 800 nm)보다 작은 길이의 경로 차를 정밀하게 측정할 수 있다.

(14)

마이켈슨-몰리 실험에 사용되었던 실험장치

경로를 늘리기 위해 여러 개의 거울을 사용하고 실험대를 진

 마이켈슨-몰리 실험의 결과

에테 바람의 효과 방향과 시간에 따른 간섭무늬의 변화 는 검출되지 않았다 경로를 늘리기 위해 여러 개의 거울을 사용하고 실험대를 진

동 없이 회전시키기 위해 액체 수은 위에 띄워서 실험을 했다.

• 에테르 바람의 효과(방향과 시간에 따른 간섭무늬의 변화)는 검출되지 않았다.

 마이켈슨-몰리 실험결과의 해석

• 에테르는 존재하지 않는다.

• 빛의 속력이란 어느 기준틀에서의 속력을 말하는가?

(전자기파를 기술하는 맥스웰방정식이 성립하는 기준틀은 무엇인가?)

• Emitter theory - 빛샘의 정지틀에서의 속력이다.

• 특수상대성 - 빛의 속력은 모든 기준틀에서 같다.

(15)

특수 상대성 특수 상대성

 갈릴레이 상대성의 한계 갈릴레이 상대성의 한계

• 절대 시간 – 모든 관성계에서 빛의 속력은 같다는 것과 병립할 수 없다.

• 작은 속력에서의 경험을 바탕으로 한 것으로, 빛의 속력에 가까운 큰 속도에서는 맞지 않는다.

 특수상대성 원리

• (서로 일정한 상대속도로 움직이는) 모든 관성계는 동등하다.

• 빛의 속력은 모든 관성계에서 같다 ⇒(확장)⇒ 물리 법칙은 모든 관성계에서 같다

• 빛의 속력은 모든 관성계에서 같다. ⇒(확장)⇒ 물리 법칙은 모든 관성계에서 같다.

 시간 팽창과 길이 수축

• 시간과 길이는 관측자에 따라 다르게 측정된다

• 시간과 길이는 관측자에 따라 다르게 측정된다.

보편적인 동시성(universal simultaneity)은 없다.

• 시간 팽창 - 움직이는 시계는 정지한 시계보다 느리게 간다.

• 길이 수축 - 움직이는 물체의 길이는 작아진다.길이 수축 움직이는 물체의 길이는 작아진다.

 상대론적 운동량과 에너지

(16)

시간 팽창 시간 팽창

 시간팽창 움직이는 시계는 느리게 간다

 시간팽창 – 움직이는 시계는 느리게 간다.

• 빛의 속력이 관찰자의 속력에 상관없이 일정하려면 시간과 길이의 측정이 관찰자마다 달라야 한다.

• 수직으로 광선을 보내 거울에 반사되어 오는 광선

• 수직으로 광선을 보내 거울에 반사되어 오는 광선 을 검출하여 시간을 맞추는 시계를 생각해보자. 시 계의 정지틀과 시계가 속도 v로 움직이고 있는 기 준틀에서 두 사건 (빛의 방출 – 빛의 검출) 사이의

시간 간격을 비교해보자 ^{광속은 기준틀과}

시간 간격을 비교해보자.

• 시계에 대해 정지해 있는 기준틀에서 걸리는 시간 ^{상관없이 같다 !!}

• 시계에 대해 움직이는 기준틀에서 걸리는 시간

• 두 기준틀에서 걸린 시간을 비교해보면

(17)

길이 수축

 길이수축 움직이는 물체는 짧아진다

길이 수축

 길이수축 – 움직이는 물체는 짧아진다.

• 길이수축은 시간팽창과 연관되어 있다.

• 우주왕복선의 길이를 레이저펄스(시계)를 이용하여 측정한다고 해보자 관측자(실험실)의 기준틀에서 측정한다고 해보자. 관측자(실험실)의 기준틀에서 우주왕복선의 속력은 v이고, 우주왕복선의 정지틀 에서 고유길이는 L₀이다.

• 실험실에서 길이측정 방법 : 실험실에 정지된 시계 사용 우 왕복선이 지나가면서 레이저가 차단되 사용 - 우주왕복선이 지나가면서 레이저가 차단되 는 시간 Δt₀

시계의 정지틀에서 측정한 시간

• 우주왕복선에서 길이측정 방법 : 왕복선에 고정된 시계로 우주왕복선이 지나가면서 레이저가 머리를 지날 때와 꼬리를 지날 때 사이의 시간 Δt 측정

• 두 기준틀에서 측정된 길이를 비교해보면

시계에 대해 속력 v로 움직이 는 기준틀에서 측정한 시간

시간팽창

시간팽창 길이수축

여기서 시계란 실험실에 고정된 시계 에서 나오는 레이저 펄스를 의미한다.

(18)

로렌츠 변환 로렌츠 변환

 로렌츠 변환 - 상대속도 v로 움직이는 두 관성계 사이의 좌표 변환 로렌츠 변환 상대속도 v로 움직이는 두 관성계 사이의 좌표 변환 로렌츠 변환

상대론적 속도 변환

갈릴레이 변환

 상대론적 속도 변환

(19)

스칼라 벡터와 텐서 스칼라, 벡터와 텐서

 스칼라 (scalar) - 불변량 (invariant) 칼라 ( ) 불변량 ( )

• 스칼라 – 로렌츠 변환에 대해 변하지 않는 양 모든 기준틀에서 같은 크기를 갖는다.

• 시공간 간격은 로렌츠 변환에 대해 불변량이다.

인과관계는 기준틀에 따라 달라지지 않는다 인과관계는 기준틀에 따라 달라지지 않는다.

벡터 ( t ) 텐서 (t ) 공변 ( i )

 벡터 (vector), 텐서 (tensor), 공변 (covariance)

• 벡터 – 로렌츠 변환에 대해 시공간좌표와 같은 방식으로 변하는 양

• 텐서 – 로렌츠 변환에 대해 벡터의 곱들과 같은 방식으로 변하는 양

• 대부분의 물리 법칙들은 벡터 또는 텐서 방정식으로 나타낼 수 있다.

이 방정식들은 특수상대성 원리를 자동으로 만족한다.

전자기장 텐서와 텐서방정식으로 쓴 맥스웰 방정식 시공간 좌표 벡터 :

시공간 좌표 벡터 : 속력 벡터

운동량 벡터

(20)

상대론적 운동량과 에너지 상대론적 운동량과 에너지

 상대론적 운동량 상대론적 운동량

• 시공간 좌표 벡터 :

• 운동량 벡터 :

에너지

• 에너지 :

운동에너지 질량에너지

 물질-에너지 변환 물질 에너지 변환

• 상대론적 에너지에는 운동에 의한 에너지에 더해서 물체의 질량에 의 한 에너지도 포함되어 있다. 이는 에너지로부터 물질이 새로 만들어질 수도 있다는 가능성을 내포하며, 20세기의 많은 실험들은 에너지로부 터 많은 새로운 입자들을 만들어냄으로써 물질과 에너지는 서로 변환 터 많은 새로운 입자들을 만들어냄으로써 물질과 에너지는 서로 변환 될 수 있다는 것을 실제로 보여주었다.

(21)

뮤온 붕괴와 시간 팽창 뮤온 붕괴와 시간 팽창

 뮤온 뮤온

• 뮤온은 전자와 질량만 다르고 나머지 특성은 다 같은 입자로, 평균수명 τ₀가 2.2μs인 불안정한 소립자이다.

 뮤온 붕괴와 시간 팽창

• 1977년에 유럽의 CERN 입자가속기에서 속력 v=0.9994c의 뮤온이 생성되었다.

• 시간팽창의 효과가 없다면 뮤온이 날아가는 평균거리는시 의 과가 없다 뮤 이 아가 평 거리

• 시간팽창의 효과 때문에 실제로 날아가는 평균거리는

뮤온의 정지틀에서는 길이 수축에 의해 이 거리가 660 로

우주에서 날아온 양성자는 대기권 상층부(고 도 10 km 이상)에서 대기 분자의 핵과 충돌 하여 파이온들을 만들고, 파이온들은 빠르게 붕괴하면서 뮤온을 생성한다. 뮤온은 최종적

• 뮤온의 정지틀에서는 길이 수축에 의해 이 거리가 660m로

보인다. 으로 전자로 붕괴하기 전에 시간 팽창 효과

에 의해 지면에 도달할 수 있다.

(22)

쌍둥이 역설 쌍둥이 역설

 우주비행사 앨리스에게 쌍둥이 남동생 밥이 있다. 20 세에 앨리스 광년 떨어진 우 정거장을 왕복하 우 비행선을 탄다 는 3.25 광년 떨어진 우주정거장을 왕복하는 우주비행선을 탄다.

우주비행선의 속력은 광속의 65.0%(γ=1.32)이다.

• 지구의 밥이 보기에는 앨리스가 비행한 총 거리는 2(3.25 광년)

= 6.50 광년이고, 여행에 걸리는 시간은 t = 6.50 광년 / 0.65c = 10.0 년이다.

• 앨리스의 정지틀에서는 지구와 우주정거장 사이의 거리가 수축 앨리 의 정지틀에서는 지구와 우주정거장 사이의 거리가 수축 되므로 그녀는 d = 6.50 광년 / γ = 4.92 광년의 거리를 여행하 고, 왕복여행 시간은 t = 4.92 광년 / 0.650c = 7.57 년이다.

• 밥은 앨리스가 우주비행선 밖으로 나올 때 밥은 30 0세이고 앨 밥은 앨리스가 우주비행선 밖으로 나올 때 밥은 30.0세이고 앨 리스는 27.57세가 될 것으로 기대한다.

• 앨리스의 정지틀에서는 그녀가 정지해 있고 밥이 광속의 65.0%

로 움직인다 따라서 앨리스는 밥보다 γ=1 32 배 더 나이가 들 로 움직인다. 따라서 앨리스는 밥보다 γ=1.32 배 더 나이가 들 어야 한다. 앨리스는 자신이 7.57 년의 나이가 들었음을 알기 때 문에 남동생 밥과 다시 만날 때 그가 20 + 7.57/1.32 = 25.8 세 일 것으로 기대한다

일 것으로 기대한다.

 둘의 추론 중 어느 것이 옳은가?

(23)

 밥과 앨리스 사이에 대칭성이 깨져 있음을 주의한다.

• 밥 : 하나의 관성틀(지구의 정지틀)에 남아 있다.하나의 성틀(지구의 정지틀)에 남아 있다

• 앨리스 : 우주비행선 정지틀은 한 관성틀(지구→)에서 다른 관성틀 (지구←)로 바뀐다.

 한 관성틀에 계속 머문 밥의 추론은 옳다.

• 앨리스가 올바른 추론을 얻으려면 기준틀이 바뀌는 순간 동시간 면이 바뀐다는 것을 고려해 주어야 한다.

시공간그림을 통한 설명 앨리스(지구→)와 밥의 정지틀에서 본 쌍둥이의 여행 정지틀에서 본 쌍둥이의 여행

(24)

일반 상대성

(25)

뉴턴 중력과 특수상대성 뉴턴 중력과 특수상대성

 뉴턴 중력 뉴턴 중력

• 질량이 있는 두 물체 사이에는 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하는 인력이 작용한다.

• 중력장과 중력퍼텐셜중력장과 중력퍼텐셜

뉴턴 중력을 스칼라 미분방정식으로 표현할 수 있다.

 뉴턴 중력과 특수상대성

• 뉴턴 중력은 특수상대성과 맞지 않는다.

로렌츠 변환에 대해 공변이 아니다: 포아송 방정식 오른쪽 항의 질량밀 는 2계 텐서의 한 성분 왼쪽 항의 중력퍼텐셜은?

질량밀도는 2계 텐서의 한 성분, 왼쪽 항의 중력퍼텐셜은?

• 물체가 나타나면 뉴턴의 중력은 즉각 작용한다, 즉 전파속력이 무한대이다. 이는 어떤 전파속력도 빛의 속력보다 클 수 없다는 특수상대성과 맞지 않는다.

특수상대성과 맞지 않는다

• 특수상대성과 맞는 중력이론은?

(26)

등가 원리 등가 원리

 중력의 특성 중력의 특성

• (약한 의미의) 등가 원리 : 관성질량 = 중력질량

⇒ 중력의 의한 운동은 질량과 무관하다.

• 중력 = 관성력중력 관성력 ⇒ 자유낙하계를 잡으면 중력을 없앨 수 있다.자유낙하계를 잡 면 중력을 없앨 수 있다 중력이 있어도, 자유낙하계(이 계는 가속계이다.)는 관성계로, 이 계에서는 특수상대성(을 포함한 여러 물리법칙)이 성립한다.

• 국소적 (local) 관성계 – 중력이 있을 때, 관성계는 국소적으로 만 가능하며 유한한 지역의 중력을 모두 없앨 수는 없다

관성질량 중력질량 운동의 법칙 중력의 법칙 만 가능하며, 유한한 지역의 중력을 모두 없앨 수는 없다.

(27)

시공간의 기하학으로서의 중력 시공간의 기하학으로서의 중력

 중력, 힘에서 시공간의 기하로 중력, 힘에서 시공간의 기하로

• 중력 = 시공간의 휘어짐 : 국소적 관성계를 연속적으로 이어 붙이면 유한한 시공간이 만들어 진다. 국소적 관성계를 어떻게 이어 붙이는가가, 즉, 바로 옆의 관성계와 어떻게 연결되는가가 중력을 결정한다. (시공간은 밍코프스키 공간을 연속적으로 붙여서 만든 다양체다.)

• 중력에 의한 물체의 운동 : 운동 방정식 ⇒ (자유낙하) 측지선 방정식 (geodesic equation)

평면의 곡면의 차이는?

구면의 한 점 근처를 국소적으로 보면 평면으로 보인다 평면의 곡면의 차이는?

- 삼각형 내각의 합 - 원주율

구면의 한 점 근처를 국소적으로 보면 평면으로 보인다.

구면의 두 점 사이의 거리는 평면의 경우와 다르다.

(28)

Metric Connection Curvature Metric, Connection, Curvature

 좌표 ( 좌표 ( ) 공간 위의 위치를 나타낸다. ) – 공간 위의 위치를 나타낸다

^• 한 공간의 좌표를 잡는 방법은

 Metric ( ) – 두 점 사이의 거리를 정의한다.

한 공간의 좌 를 잡는 방법은 무수히 많다.

• Metric, Connection, Curvature는 잡은 좌표에 따라 달라진다.

Metric과 Curvature는 텐서이나

거리를 결정하는 메트릭은 2계 텐서이다.

Metric과 Curvature는 텐서이나, Connection은 텐서가 아니다.

• 공간의 기하는 좌표의 선택과 무 거리를 결정하는 메트릭은 2계 텐서이다. 관하다.

 Connection ( ) – 벡터의 평행 이동을 정의한다.

• (휘어진) 공간에서 벡터의 미분법을 결정한다.

• 메트릭이 정해지면 connection도 결정된다.

 Curvature ( ) – 공간의 휘어짐을 나타낸다.

• 벡터를 평행 이동해서 고리를 한 바퀴 돌아왔을 때 달라진 정도

휘어진 공간에서는 고리를 따라 휘어진 공간에서는 고리를 따라 벡터를 평행 이동하여 한 바퀴 돌아오면 벡터가 처음 벡터와 달라진다.

(29)

아인슈타인 방정식 아인슈타인 방정식

 아인슈타인 방정식 :

아인슈타인 텐서 = 스트레스-에너지 텐서 (시공간 휘어짐) (물질 분포)

(시공간 휘어짐) (물질 분포)

리치 텐서 리치 스칼라 아인슈타인 텐서

Metric 중력퍼텐셜

 뉴턴 중력과 아인슈타인 중력 (일반 상대성 이론)

• Metric ↔ 중력퍼텐셜

• Connection ↔ 중력장

• Curvature ↔ 기조력

뉴턴 중력 아인슈타인 중력

질량  힘 물질  시공간 기하

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등가원리의 결과들

 일반상대성 원리

등가원리의 결과들

일반상대성 원리

• (강한 의미의) 등가 원리 – 모든 (자유낙하) 관성계는 동등하다.

• 물리 법칙은 모든 관성계에서 같다, 즉 같은 형태를 가진다.

력에 의한 빛의 휘어짐 력에 의한 시간 팽창

 중력에 의한 빛의 휘어짐

• 무거운 물체 근처에서 빛의 경로가 휜다.

 중력에 의한 시간 팽창

• 무거운 물체로부터 멀어지는 빛은 적색편이가 일어난다 (진동수가 작아진다).

무거운 물체(예 지구)로부터 멀리 있는 시계는

• 무거운 물체(예: 지구)로부터 멀리 있는 시계는 가까이 있는 시계보다 더 빨리 간다.

일반상대론의 효과를 확인 한 첫 실험 에딩턴의 일식 한 첫 실험 : 에딩턴의 일식 관측팀이 1919년5월29일 아프리카 근처의 프리시페 섬에서 찍은 사진. 수평 막 대는 별들의 위치를 표시한

Pound–Rebka experiment 다. 태양 근처의 별들이 평

소의 위치에서 아주 조금 벗어난 것을 관측했다.

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쉬바르츠쉴트 해 쉬바르츠쉴트 해

 Schwarzschild metric

• 구 대칭을 가진 진공 아인슈타인 방정식( )의 해

• m=GM/c², 구대칭의 중심에 있는 물체의 질량으로 해석

• Schwarzschild 반지름 : r = 2m 에서 좌표 특이점이 있 사건의 지평선이 된다 특이점이 있고, 사건의 지평선이 된다.

• 질량 M인 물체의 크기가 R_S보다 작으면 블랙홀이 된다.

• r ≫ 2m 인 영역에서, 뉴턴 중력의 결과를 준다.

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수성의 궤도 세차 수성의 궤도 세차

 행성의 궤도 행성의 궤도

• 뉴턴의 중력은 행성의 운동을 아주 정밀하게 설명한다.

• 뉴턴의 중력에 따르면 태양의 중력에 의해 공전하는 행성의 궤도는 고정된 타원이다. 그러나 주변 행성의 영향 등에 의해 타원의 축이 조금씩 회전한다.

행성의 영향 등에 의해 타원의 축이 금씩 회전한다

• 주변 행성의 영향을 고려하면 행성 궤도의 세차 운동은 잘 설명이 되는데, 수성만 예외로 100년당 574”의 값 중 43”의 차이를 보였다.

일부 학자들은 이 차이를 설명

• 일부 학자들은 이 차이를 설명 하기 위해 수성 안쪽에 발견되 지 않은 행성이 있다고 생각했 다.

• 이 차이는 일반상대론 효과로 잘 설명되고 있다.

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GPS와 상대론적 시간보정 GPS와 상대론적 시간보정

 GPS (Global Positioning System) 위성 GPS (Global Positioning System) 위성

• 지면 위 20,200 km, 반 항성일의 주기로 지구궤도를 운행 중인 (최소) 24개의 위성들로 구성

• 모든 위성에 탑재된 초정밀도로 동기화된 시계 (원자시계, 1/10¹³의 정밀도)

적도면과 55°를 이루는 6개의 궤도면 각 면당 4개의 위성

GPS에 사용되는 원자시계의 일종. 각 위 성에는 이런 원자시계 여러 개가 장착되 어 있다.

적도면과 55 를 이루는 6개의 궤도면, 각 면당 4개의 위성

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 GPS 수신기

• 위성으로부터 동기화된 타이밍 신호를 받아서 현재의 시간과 위치를 결정한다.

• 4개의 변수 에 대한 방정식 :

• 4개(이상)의 위성으로부터 신호를 받으면 현재의 시간과 위치를 알 수 있다.

 상대론적 효과

• 특수상대성에 의한 시간팽창

지구에 대해 상대속도 3 9 km/s로 움직이는 위성의 원자시계는 지상의 원자시계에 비해 7 1 지구에 대해 상대속도 3.9 km/s로 움직이는 위성의 원자시계는 지상의 원자시계에 비해 7.1 μs/일 만큼 늦어진다.

• 일반상대성에 의한 중력보정 : 중력장에서 시계는 느려진다.

고도 20,200 km인 위성의 원자시계는 지상의 원자시계에 비해 45.7μs/일 만큼 빨라진다.

 특수상대성과 일반상대성에 의한 효과는 위성에서 신호를 보낼 때 보정해서 보낸다.