제5장선형모형과행렬대수(계속)제5장선형모형과행렬대수(계속))

제5장

선형모형과

행렬대수 (계속) 제5장

선형모형과

행렬대수 (계속)

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 개요 (introduction) u 개요 (introduction)

è

역행렬(inverse matrix)의 존재 검증

è

역행렬의 계산방법

è

경제학에의 적용에 대한 논의

è

역행렬(inverse matrix)의 존재 검증

è

역행렬의 계산방법

è

경제학에의 적용에 대한 논의

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 필요조건 대 충분조건 u 필요조건 대 충분조건

è

필요조건 대 충분조건(necessary vs. sufficient conditions) - 필요조건과 충분조건은 경제학에서 자주 사용되므로

그 개념을 명확하게 할 필요가 있음.

- 두 명제 p, q가 있을 때 이들을 “…이면 …이다”로 연결시켜 만든 합성명제 “p이면 q이다”를 조건문이라 하고 이를 다음과 같이 표시함 :

p → q

- 여기서 p를 이 조건문의 가정(hypothesis)이라 하고 q를 조건문의 결론(conclusion)이라 함.

è

필요조건 대 충분조건(necessary vs. sufficient conditions) - 필요조건과 충분조건은 경제학에서 자주 사용되므로

그 개념을 명확하게 할 필요가 있음.

- 두 명제 p, q가 있을 때 이들을 “…이면 …이다”로 연결시켜 만든 합성명제 “p이면 q이다”를 조건문이라 하고 이를 다음과 같이 표시함 :

p → q

- 여기서 p를 이 조건문의 가정(hypothesis)이라 하고 q를 조건문의 결론(conclusion)이라 함.

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 필요조건 대 충분조건 u 필요조건 대 충분조건

è

필요조건 대 충분조건(necessary vs. sufficient conditions) - 조건문 p → q에서 p가 참이면 반드시 q도 참인 경우에

이 조건문을 p Þ q (p는 q일 경우에 한해서 성립한다;

p only if q 혹은 p이면 q이다; if p then q, p implies q)로 나타냄.

- 또한 이 경우

p는 q의(q가 성립하기 위한) 충분조건 q는 p의(p가 성립하기 위한) 필요조건 - 필요조건은 본질적으로 “전제조건”

- 필요조건은 그 자체만으로는 충분하지 않음에 유의

è

필요조건 대 충분조건(necessary vs. sufficient conditions)

- 조건문 p → q에서 p가 참이면 반드시 q도 참인 경우에 이 조건문을 p Þ q (p는 q일 경우에 한해서 성립한다;

p only if q 혹은 p이면 q이다; if p then q, p implies q)로 나타냄.

- 또한 이 경우

p는 q의(q가 성립하기 위한) 충분조건 q는 p의(p가 성립하기 위한) 필요조건 - 필요조건은 본질적으로 “전제조건”

- 필요조건은 그 자체만으로는 충분하지 않음에 유의

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 필요조건 대 충분조건 u 필요조건 대 충분조건

è

필요조건 대 충분조건(necessary vs. sufficient conditions) - 더욱이 p Þ q인 동시에 q Þ p일 경우 이를 p Û q

(p if and only if q 혹은 p iff q)로 나타내고, p와 q를 서로 동치(equivalent)인 명제라 함.

- 또한 이때

p는 q의(q가 성립하기 위한) 필요충분조건 q는 p의(p가 성립하기 위한) 필요충분조건

è

필요조건 대 충분조건(necessary vs. sufficient conditions) - 더욱이 p Þ q인 동시에 q Þ p일 경우 이를 p Û q

(p if and only if q 혹은 p iff q)로 나타내고, p와 q를 서로 동치(equivalent)인 명제라 함.

- 또한 이때

p는 q의(q가 성립하기 위한) 필요충분조건 q는 p의(p가 성립하기 위한) 필요충분조건

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬의 비특이성 조건 (nonsingularity condition) u 행렬의 비특이성 조건 (nonsingularity condition)

è

주어진 계수행렬 A는 정방행렬(square matrix)인 경우에 역행렬을 가질 수 있음.

그러나 정방성(squareness)이라는 조건은 역행렬의 존재에 대한 필요조건이지 충분조건은 아님.

è

비특이성의 조건(역행렬이 존재할 수 있는 조건) : - 비특이행렬의 필요조건 : 행렬의 형태가 정방성 - 비특이행렬의 충분조건 : 행이나 열들이 선형독립 - 필요충분조건=정방성+선형독립성

비특이성 조건 Û squareness and linear independence

è

주어진 계수행렬 A는 정방행렬(square matrix)인

경우에 역행렬을 가질 수 있음.

그러나 정방성(squareness)이라는 조건은 역행렬의 존재에 대한 필요조건이지 충분조건은 아님.

è

비특이성의 조건(역행렬이 존재할 수 있는 조건) : - 비특이행렬의 필요조건 : 행렬의 형태가 정방성 - 비특이행렬의 충분조건 : 행이나 열들이 선형독립 - 필요충분조건=정방성+선형독립성

비특이성 조건 Û squareness and linear independence

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

è

n´n 계수행렬 A는 행벡터들의 순서집합, 즉 각 행벡터 그 자체를 원소로 하는 열벡터라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있음.

a₁₁ a₁₂ ∙∙∙ a_1n v₁¢ a₂₁ a₂₂ ∙∙∙ a_2n v₂¢

……….. ⋮ a_n1 a_n2 ∙∙∙ a_nn v_n¢ - 여기서 v_i¢=[ a_i1 a_i2 ∙∙∙ a_in ]임.

è

n´n 계수행렬 A는 행벡터들의 순서집합, 즉 각 행벡터 그 자체를 원소로 하는 열벡터라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있음.

a₁₁ a₁₂ ∙∙∙ a_1n v₁¢ a₂₁ a₂₂ ∙∙∙ a_2n v₂¢

……….. ⋮ a_n1 a_n2 ∙∙∙ a_nn v_n¢ - 여기서 v_i¢=[ a_i1 a_i2 ∙∙∙ a_in ]임.

A= =

u 선형독립성 여부

u 선형독립성 여부

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

è

예제 : 계수행렬 A에 대해 각 행벡터 그 자체를 원소로 하는 열벡터로 나타내면 다음과 같음.

3 4 5 v₁¢ A= 0 1 2 = v₂¢ 6 8 10 v₃¢

- 세 번째 행은 첫 번째 행의 2배의 관계이므로 이를 다음과 같이 나타낼 수 있음.

v₃¢=2v₁¢+0v₂¢ ® 2v₁¢+0v₂¢-v₃¢=0

[6 8 10]+[0 0 0]-[6 8 10]=[0 0 0]

è

예제 : 계수행렬 A에 대해 각 행벡터 그 자체를 원소로 하는 열벡터로 나타내면 다음과 같음.

3 4 5 v₁¢ A= 0 1 2 = v₂¢ 6 8 10 v₃¢

- 세 번째 행은 첫 번째 행의 2배의 관계이므로 이를 다음과 같이 나타낼 수 있음.

v₃¢=2v₁¢+0v₂¢ ® 2v₁¢+0v₂¢-v₃¢=0

[6 8 10]+[0 0 0]-[6 8 10]=[0 0 0]

u 선형독립성 여부

u 선형독립성 여부

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

- 즉, 세 번째 행은 나머지 두 행들의 선형결합으로 나타나므로 각 행은 선형독립이 아님.

v₃¢=2v₁¢+0v₂¢ ® [6 8 10]=2[3 4 5]+0[0 1 2]

- 따라서 이 행렬의 행들은 선형종속임.

- 일반적으로 행들의 선형독립성은 벡터방정식 åk_iv_i¢=0

(0의 차원은 1´n)을 만족시키는 스칼라 k_i들의 집합이 모든 i에 대해서 k_i=0인 경우에만 성립(linear independent) - 여기서 k_i¹0인 경우에는 선형종속(linear dependent) - 즉, 세 번째 행은 나머지 두 행들의 선형결합으로

나타나므로 각 행은 선형독립이 아님.

v₃¢=2v₁¢+0v₂¢ ® [6 8 10]=2[3 4 5]+0[0 1 2]

- 따라서 이 행렬의 행들은 선형종속임.

- 일반적으로 행들의 선형독립성은 벡터방정식 åk_iv_i¢=0

(0의 차원은 1´n)을 만족시키는 스칼라 k_i들의 집합이 모든 i에 대해서 k_i=0인 경우에만 성립(linear independent) - 여기서 k_i¹0인 경우에는 선형종속(linear dependent)

u 선형독립성 여부 u 선형독립성 여부

n

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

è

예제 : 방정식체계 Ax=d가 다음의 형태를 가짐.

10 4 x₁ d₁ ¬ 10x₁+4x₂=d₁ 5 2 x₂ d₂ ¬ 5x₁+2x₂=d₂

- 계수행렬은 선형종속인 행(row)들로 구성됨.

- 뿐만 아니라 계수행렬의 열(column)들도 선형종속 - d₁=2d₂ : 2개의 방정식은 같음(해는 무수히 많음).

예 : d₁=12, d₂=6 - d₁¹2d₂ : 해는 없음(모순).

예 : d₁=12, d₂=0

è

예제 : 방정식체계 Ax=d가 다음의 형태를 가짐.

10 4 x₁ d₁ ¬ 10x₁+4x₂=d₁ 5 2 x₂ d₂ ¬ 5x₁+2x₂=d₂

- 계수행렬은 선형종속인 행(row)들로 구성됨.

- 뿐만 아니라 계수행렬의 열(column)들도 선형종속 - d₁=2d₂ : 2개의 방정식은 같음(해는 무수히 많음).

예 : d₁=12, d₂=6 - d₁¹2d₂ : 해는 없음(모순).

예 : d₁=12, d₂=0

u 선형독립성 여부 u 선형독립성 여부

=

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

è

만약 계수행렬 A의 행(또는 열)들이 선형종속인 한(두 가지 가능성 중 어떤 경우에도) 유일한 해는 존재하지 않음.

è

즉, 유일한 해는 계수행렬의 행(또는 열)들이 선형독립 (row or column linear independence)인 경우에만 얻을 수 있음. 이 경우

- A는 비특이행렬(non-singular matrix)이 되고, - 이것은 역행렬 A^-1가 존재함을 의미하며,

- 유일한 해(a unique solution)는 x*=A^-1d임.

è

만약 계수행렬 A의 행(또는 열)들이 선형종속인 한(두 가지 가능성 중 어떤 경우에도) 유일한 해는 존재하지 않음.

è

즉, 유일한 해는 계수행렬의 행(또는 열)들이 선형독립 (row or column linear independence)인 경우에만 얻을 수 있음. 이 경우

- A는 비특이행렬(non-singular matrix)이 되고, - 이것은 역행렬 A^-1가 존재함을 의미하며,

- 유일한 해(a unique solution)는 x*=A^-1d임.

u 선형독립성 여부 : 결론

u 선형독립성 여부 : 결론

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

è

m´n 직사각형행렬(정방행렬 포함)에서 선형독립인 행 (또는 열)의 최대수를 그 행렬의 위수(rank)라 함.

è

행렬에서 이를 구성하는 각각의 벡터집합이라고 할 때 선형독립인 벡터집합의 개수를 의미함.

- 행과 열의 수 중 작은 것을 기준으로 선형독립성을 정함. 즉, 2행 3열 행렬인 경우 위수는 2를 넘지 못함.

è

n´n 비특이행렬 A는 n개의 선형독립인 행(또는 열)을 가짐. 따라서 위수는 n임.

è

역으로 위수가 n인 n´n 행렬은 비특이행렬임.

è

m´n 직사각형행렬(정방행렬 포함)에서 선형독립인 행 (또는 열)의 최대수를 그 행렬의 위수(rank)라 함.

è

행렬에서 이를 구성하는 각각의 벡터집합이라고 할 때 선형독립인 벡터집합의 개수를 의미함.

- 행과 열의 수 중 작은 것을 기준으로 선형독립성을 정함. 즉, 2행 3열 행렬인 경우 위수는 2를 넘지 못함.

è

n´n 비특이행렬 A는 n개의 선형독립인 행(또는 열)을 가짐. 따라서 위수는 n임.

è

역으로 위수가 n인 n´n 행렬은 비특이행렬임.

u 행렬의 위수 (rank)

u 행렬의 위수 (rank)

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

정방행렬이 비특이행렬인지 여부를 확인하기 위하여 행렬식(determinant)의 개념을 이용함.

è

행렬식(determinant)의 정의 :

정방행렬 A의 행렬식은 |A| 또는 det A로 표시되고,

그 행렬과 관련되어 고유하게 정의되는 스칼라(수)임.

è

행렬식은 정방행렬에 대해서만 정의됨.

è

가장 규모가 작은 행렬은 1´1 행렬 A=[a₁₁]임.

- 정의에 따라 행렬식은 그 단일원소 a₁₁ 그 자체임.

|A|=| a₁₁ |=a₁₁임.

è

정방행렬이 비특이행렬인지 여부를 확인하기 위하여 행렬식(determinant)의 개념을 이용함.

è

행렬식(determinant)의 정의 :

정방행렬 A의 행렬식은 |A| 또는 det A로 표시되고,

그 행렬과 관련되어 고유하게 정의되는 스칼라(수)임.

è

행렬식은 정방행렬에 대해서만 정의됨.

è

가장 규모가 작은 행렬은 1´1 행렬 A=[a₁₁]임.

- 정의에 따라 행렬식은 그 단일원소 a₁₁ 그 자체임.

|A|=| a₁₁ |=a₁₁임.

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

행렬식의 기호는 절대치를 나타내는 것이 아님. 따라서 그 원소의 부호를 유지함.

예를 들어 |8|=8(양수), |-8|=-8(음수)

è

2계 행렬식(second-order determinant) a₁₁ a₁₂

- 2´2 행렬 A= 의 행렬식은 다음과 같이 a₂₁ a₂₂

두 항의 합으로 정의 a₁₁ a₁₂

|A|= =a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁ [=스칼라]

a₂₁ a₂₂

è

행렬식의 기호는 절대치를 나타내는 것이 아님. 따라서 그 원소의 부호를 유지함.

예를 들어 |8|=8(양수), |-8|=-8(음수)

è

2계 행렬식(second-order determinant) a₁₁ a₁₂

- 2´2 행렬 A= 의 행렬식은 다음과 같이 a₂₁ a₂₂

두 항의 합으로 정의 a₁₁ a₁₂

|A|= =a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁ [=스칼라]

a₂₁ a₂₂

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

행렬식은 정의에 따라 스칼라(수)이지만 행렬은 스칼라 (수)를 가지지 않음. 즉, 행렬식은 하나의 수이지만

행렬은 수들의 전체묶음에 불과함.

è

예제 1 : 2계 행렬식(second-order determinant) 10 4 3 5

A= , B=

8 5 0 -1 10 4

|A|= =10(5)-8(4)=18 [=스칼라]

8 5 3 5

|B|= =3(-1)-0(5)=-3 [=스칼라]

0 -1

è

행렬식은 정의에 따라 스칼라(수)이지만 행렬은 스칼라 (수)를 가지지 않음. 즉, 행렬식은 하나의 수이지만

행렬은 수들의 전체묶음에 불과함.

è

예제 1 : 2계 행렬식(second-order determinant) 10 4 3 5

A= , B=

8 5 0 -1 10 4

|A|= =10(5)-8(4)=18 [=스칼라]

8 5 3 5

|B|= =3(-1)-0(5)=-3 [=스칼라]

0 -1

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

예제 2 : 2계 행렬식(second-order determinant) c₁¢ 3 8 d₁¢ 2 6

C= = , D= =

c₂¢ 3 8 d₂¢ 8 24 - 여기서 c₁¢=c₂¢이고 4d₁¢=d₂¢임.

- 따라서 두 행렬은 모두 선형종속인 행들을 가짐.

3 8

|C|= =3(8)-3(8)=0 3 8

2 6

|D|= =2(24)-8(6)=0 8 24

è

예제 2 : 2계 행렬식(second-order determinant) c₁¢ 3 8 d₁¢ 2 6

C= = , D= =

c₂¢ 3 8 d₂¢ 8 24 - 여기서 c₁¢=c₂¢이고 4d₁¢=d₂¢임.

- 따라서 두 행렬은 모두 선형종속인 행들을 가짐.

3 8

|C|= =3(8)-3(8)=0 3 8

2 6

|D|= =2(24)-8(6)=0 8 24

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

앞의 예제에서 처럼 행렬식의 값이 0의 값을 갖는다는 것은 선형종속(linear dependent)임을 시사함.

è

행렬식의 값은 행렬의 행(또는 열)들의 선형독립

(비특이성 : non-singularity)을 검증하는 기준이 될 뿐만 아니라 역행렬이 존재하는 경우에는 그 역행렬 A^-1의 계산에도 이용됨.

è

앞의 예제에서 처럼 행렬식의 값이 0의 값을 갖는다는 것은 선형종속(linear dependent)임을 시사함.

è

행렬식의 값은 행렬의 행(또는 열)들의 선형독립

(비특이성 : non-singularity)을 검증하는 기준이 될 뿐만 아니라 역행렬이 존재하는 경우에는 그 역행렬 A^-1의 계산에도 이용됨.

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

3계 행렬식(third-order determinant) : Sarrus’ Rule

è

3계 행렬식(third-order determinant) : Sarrus’ Rule

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

3계 행렬식(third-order determinant) : Sarrus’ Rule - 첫 번째 행의 각 원소는 2개의 실선화살표를 통해서

다른 2개의 원소와 연결 :

a₁₁®a₂₂®a₃₃, a₁₂®a₂₃®a₃₁, a₁₃®a₃₂®a₂₁

- 이 세 원소들의 각 조는 곱하고, 주어지는 곱의 항들 앞에 양(+)의 부호를 붙임.

è

3계 행렬식(third-order determinant) : Sarrus’ Rule - 첫 번째 행의 각 원소는 2개의 실선화살표를 통해서

다른 2개의 원소와 연결 :

a₁₁®a₂₂®a₃₃, a₁₂®a₂₃®a₃₁, a₁₃®a₃₂®a₂₁

- 이 세 원소들의 각 조는 곱하고, 주어지는 곱의 항들 앞에 양(+)의 부호를 붙임.

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

3계 행렬식(third-order determinant) : Sarrus’ Rule - 한편, 첫 번째 행의 각 원소는 2개의 점선화살표를

통해서 다른 2개의 원소와 연결 :

a₁₁®a₃₂®a₂₃, a₁₂®a₂₁®a₃₃, a₁₃®a₂₂®a₃₁

- 이 세 원소들의 각 조는 곱하고, 주어지는 곱의 항들 앞에 음(-)의 부호를 붙임.

- 이와 같이 교차 대각선으로 곱하는 방법은 3계 행렬식을 계산하는 손쉬운 방법이지만 4계 이상의 행렬식에는 적용될 수 없음.

è

3계 행렬식(third-order determinant) : Sarrus’ Rule - 한편, 첫 번째 행의 각 원소는 2개의 점선화살표를

통해서 다른 2개의 원소와 연결 :

a₁₁®a₃₂®a₂₃, a₁₂®a₂₁®a₃₃, a₁₃®a₂₂®a₃₁

- 이 세 원소들의 각 조는 곱하고, 주어지는 곱의 항들 앞에 음(-)의 부호를 붙임.

- 이와 같이 교차 대각선으로 곱하는 방법은 3계 행렬식을 계산하는 손쉬운 방법이지만 4계 이상의 행렬식에는 적용될 수 없음.

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

3계 행렬식(third-order determinant)의 계산 a₁₁ a₁₂ a₁₃

A= a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

|A|= a₂₁ a₂₂ a₂₃ =a11 -a₁₂ +a₁₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

=a₁₁a₂₂a₃₃-a₁₁a₂₃a₃₂+a₁₂a₂₃a₃₁-a₁₂a₂₁a₃₃ +a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₃a₂₂a₃₁ [=(하나의) 스칼라]

è

3계 행렬식(third-order determinant)의 계산 a₁₁ a₁₂ a₁₃

A= a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

|A|= a₂₁ a₂₂ a₂₃ =a11 -a₁₂ +a₁₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

=a₁₁a₂₂a₃₃-a₁₁a₂₃a₃₂+a₁₂a₂₃a₃₁-a₁₂a₂₁a₃₃ +a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₃a₂₂a₃₁ [=(하나의) 스칼라]

a₂₂ a₂₃ a₃₂ a₃₃

a₂₁ a₂₃ a₃₁ a₃₃

a₂₁ a₂₂ a₃₁ a₃₂

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

라플라스전개방법에 의한 n계 행렬식의 계산

- 앞에서 행렬식의 계산과정을 보면 3계 행렬식의 첫 번째 행의 원소와 특정한 2계 행렬식의 곱으로 나타나고 있음.

- 첫 번째 행렬식 은 |A|의 첫 번째 행과 첫 번째 열을 삭제함으로써 얻어지는 A의 부분행렬식임.

- 이것을 원소 a₁₁(삭제된 행과 열의 공통부분의 원소)의 소행렬식(minor)이라 함.

è

라플라스전개방법에 의한 n계 행렬식의 계산

- 앞에서 행렬식의 계산과정을 보면 3계 행렬식의 첫 번째 행의 원소와 특정한 2계 행렬식의 곱으로 나타나고 있음.

- 첫 번째 행렬식 은 |A|의 첫 번째 행과 첫 번째 열을 삭제함으로써 얻어지는 A의 부분행렬식임.

- 이것을 원소 a₁₁(삭제된 행과 열의 공통부분의 원소)의 소행렬식(minor)이라 함.

a₂₂ a₂₃ a₃₂ a₃₃

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

라플라스전개방법에 의한 n계 행렬식의 계산 - 소행렬식(minor : M) :

원소 a_ij에 대한 소행렬식은 주어진 행렬의 i번째 행과 j번째 열을 삭제한 후 남은 원소들로 이루어진 행렬식 - 소행렬식은 그 자체가 행렬식이므로 하나의 스칼라

값을 가짐.

|M₁₁|º |M₁₂|º |M₁₃|º Þ |A|=a₁₁|M₁₁|-a₁₂|M₁₂|+a₁₃|M₁₃|

è

라플라스전개방법에 의한 n계 행렬식의 계산 - 소행렬식(minor : M) :

원소 a_ij에 대한 소행렬식은 주어진 행렬의 i번째 행과 j번째 열을 삭제한 후 남은 원소들로 이루어진 행렬식 - 소행렬식은 그 자체가 행렬식이므로 하나의 스칼라

값을 가짐.

|M₁₁|º |M₁₂|º |M₁₃|º Þ |A|=a₁₁|M₁₁|-a₁₂|M₁₂|+a₁₃|M₁₃|

a₂₂ a₂₃ a₃₂ a₃₃

a₂₁ a₂₃ a₃₁ a₃₃

a₂₁ a₂₂ a₃₁ a₃₂

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

라플라스전개방법에 의한 n계 행렬식의 계산 - 여인자(=여인수 : cofactor : C) :

소행렬식과 밀접한 관련이 있는 여인자라는 개념이 있음.

여인자는 소행렬식에 적절한 부호(+/-)를 붙인 것

|C_ij|º(-1)^i+j|M_ij|

여기서 소행렬식 |M_ij|에서 두 하첨자 i와 j의 합이 짝수이면 소행렬식과 같은 부호를 갖고,

홀수이면 소행렬식과 반대의 부호를 가짐.

è

라플라스전개방법에 의한 n계 행렬식의 계산

- 여인자(=여인수 : cofactor : C) :

소행렬식과 밀접한 관련이 있는 여인자라는 개념이 있음.

여인자는 소행렬식에 적절한 부호(+/-)를 붙인 것

|C_ij|º(-1)^i+j|M_ij|

여기서 소행렬식 |M_ij|에서 두 하첨자 i와 j의 합이 짝수이면 소행렬식과 같은 부호를 갖고,

홀수이면 소행렬식과 반대의 부호를 가짐.

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

라플라스전개방법에 의한 n계 행렬식의 계산

- 여인자 개념을 이용하면 앞의 3계 행렬식은 다음과 같이 표시할 수 있음.

|A|=a₁₁|M₁₁|-a₁₂|M₁₂|+a₁₃|M₁₃|

=a₁₁|C₁₁|+a₁₂|C₁₂|+a₁₃|C₁₃|

=åa_1j|C_1j| (j=1, 2, 3) [행(row)기준 전개]

|A|=a₁₁|M₁₁|-a₂₁|M₂₁|+a₃₁|M₃₁|

=a₁₁|C₁₁|+a₂₁|C₂₁|+a₃₁|C₃₁|

=åa_i1|C_i1| (i=1, 2, 3) [열(column)기준 전개]

è

라플라스전개방법에 의한 n계 행렬식의 계산

- 여인자 개념을 이용하면 앞의 3계 행렬식은 다음과 같이 표시할 수 있음.

|A|=a₁₁|M₁₁|-a₁₂|M₁₂|+a₁₃|M₁₃|

=a₁₁|C₁₁|+a₁₂|C₁₂|+a₁₃|C₁₃|

=åa_1j|C_1j| (j=1, 2, 3) [행(row)기준 전개]

|A|=a₁₁|M₁₁|-a₂₁|M₂₁|+a₃₁|M₃₁|

=a₁₁|C₁₁|+a₂₁|C₂₁|+a₃₁|C₃₁|

=åa_i1|C_i1| (i=1, 2, 3) [열(column)기준 전개]

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식에 의한 비특이성 판정 u 행렬식에 의한 비특이성 판정

è

예제 : 라플라스전개방법(method of Laplace Expansion) 5 6 1

A= 2 3 0 7 -3 0

- 행렬식을 계산할 때 0이나 1이 가장 많이 포함된 행 이나 열을 선택하여 계산하는 것이 유리(편리)함. - 제3열 기준으로 행렬식의 계산하면 다음과 같음.

|A|=1 -0 +0 =-27+0+0=-27

è

예제 : 라플라스전개방법(method of Laplace Expansion) 5 6 1

A= 2 3 0 7 -3 0

- 행렬식을 계산할 때 0이나 1이 가장 많이 포함된 행 이나 열을 선택하여 계산하는 것이 유리(편리)함. - 제3열 기준으로 행렬식의 계산하면 다음과 같음.

|A|=1 -0 +0 =-27+0+0=-272 3 7 -3

5 6 7 -3

5 6 2 3

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

성질 1 : 전치행렬의 행렬식은 본래 행렬의 행렬식과 같음 : |A|=|A¢|

즉, 전치행렬은 행렬식의 값에 영향을 미치지 않음.

è

성질 1 : 전치행렬의 행렬식은 본래 행렬의 행렬식과 같음 : |A|=|A¢|

즉, 전치행렬은 행렬식의 값에 영향을 미치지 않음.

4 3 5 6

4 5

= 3 6 =9 a b c d

a c

= b d =ad-bc

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

성질 2 : 임의 두 행(또는 두 열)을 교환하면 행렬식의 부호는 변하지만 그 수치는 불변임.

대각행렬의 행렬식의 값은 주대각원소들의 곱과 같음. 따라서 대응하는 행과 열을 모두 바꿔도 행렬식의 값은 변하지 않음.

è

성질 2 : 임의 두 행(또는 두 열)을 교환하면 행렬식의 부호는 변하지만 그 수치는 불변임.

대각행렬의 행렬식의 값은 주대각원소들의 곱과 같음. 따라서 대응하는 행과 열을 모두 바꿔도 행렬식의 값은 변하지 않음.

a b c d

c d

a b =bc-ad=-(ad-bc)

=ad-bc

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

성질 3 : 임의의 한 행(또는 한 열)에 스칼라 k를 곱하면 행렬식의 값은 k배가 됨.

즉, 한 행(또는 한 열)의 공통인수는 행렬식 밖으로 빼낼 수 있음.

1) 한 행(또는 한 열)의 원소가 모두 0이면 행렬식의 값은 0임.

è

성질 3 : 임의의 한 행(또는 한 열)에 스칼라 k를 곱하면 행렬식의 값은 k배가 됨.

즉, 한 행(또는 한 열)의 공통인수는 행렬식 밖으로 빼낼 수 있음.

1) 한 행(또는 한 열)의 원소가 모두 0이면 행렬식의 값은 0임.

a b

0 0 =0

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

성질 3 : 임의의 한 행(또는 한 열)에 스칼라 k를 곱하면 행렬식의 값은 k배가 됨.

즉, 한 행(또는 한 열)의 공통인수는 행렬식 밖으로 빼낼 수 있음.

2) n차 행렬 A에 대하여 kA의 행렬식의 값은 kⁿ|A|임.

è

성질 3 : 임의의 한 행(또는 한 열)에 스칼라 k를 곱하면 행렬식의 값은 k배가 됨.

즉, 한 행(또는 한 열)의 공통인수는 행렬식 밖으로 빼낼 수 있음.

2) n차 행렬 A에 대하여 kA의 행렬식의 값은 kⁿ|A|임.

ka kb

c d =kad-kbc=k(ad-bc)=k a b c d

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

행렬식과 행렬의 인수분해(factoring) 차이

- 행렬식의 경우 어떤 하나의 행 또는 열이 공약수를 가지면 그 공약수를 인수분해하여 행렬식 밖으로 빼낼 수 있음.

- 행렬의 경우 모든 원소들에 대한 공약수가 있어야 함.

è

행렬식과 행렬의 인수분해(factoring) 차이

- 행렬식의 경우 어떤 하나의 행 또는 열이 공약수를 가지면 그 공약수를 인수분해하여 행렬식 밖으로 빼낼 수 있음.

- 행렬의 경우 모든 원소들에 대한 공약수가 있어야 함.

15a 7b

12c 2d =6(5ad-14bc)

ka kb kc kd

=3

5a 7b

4c 2d

=3(2) 5a 7b 2c 1d

=k a b c d

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

성질 4 : 어떤 행(또는 열)을 곱해서 다른 행(또는 열)에 더하거나 빼더라도 행렬식의 값은 변하지 않음 (행렬식의 기본 성질 3의 연산과 관련됨).

è

성질 4 : 어떤 행(또는 열)을 곱해서 다른 행(또는 열)에 더하거나 빼더라도 행렬식의 값은 변하지 않음 (행렬식의 기본 성질 3의 연산과 관련됨).

a b c+ka d+kb

a b

=a(d+kb)-b(c+ka)=ad-bc= c d

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

성질 5 : 두 행(또는 두 열)이 서로 같거나 비례하면 행렬식의 값은 0임.

즉, 어떤 한 행(또는 열)이 다른 행(또는 열)의 배수이거나 두 개의 행(또는 두 개의 열)이 동일하면(같으면) 행렬식은 0임.

è

성질 5 : 두 행(또는 두 열)이 서로 같거나 비례하면 행렬식의 값은 0임.

즉, 어떤 한 행(또는 열)이 다른 행(또는 열)의 배수이거나 두 개의 행(또는 두 개의 열)이 동일하면(같으면) 행렬식은 0임.

2a 2b

a b =2ab-2ab=0 c c

d d =cd-cd=0

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

성질 6 : 행렬식을 하나의 타행 또는 타열의 여인자들 (즉, 타여인자들(alien cofactors))에 의해 전개 하면 그 값은 항상 0임 : ∑a_1j|C_2j|=0

행렬식 을 첫 번째 행의 원소들(a_1j)에 의해 전개하면서, 그러나 여인자들은 두 번째 행의 원소들의 여인자들, 즉 |C₂₁|=-3, |C₂₂|=10,

|C₂₃|=1들을 이용. 이를 전개하면 다음과 같음.

Þ |A|=a₁₁|C₂₁|+a₁₂|C₂₂|+a₁₃|C₂₃|=4(-3)+1(10)+2(1)=0

è

성질 6 : 행렬식을 하나의 타행 또는 타열의 여인자들

(즉, 타여인자들(alien cofactors))에 의해 전개 하면 그 값은 항상 0임 : ∑a_1j|C_2j|=0

행렬식 을 첫 번째 행의 원소들(a_1j)에 의해 전개하면서, 그러나 여인자들은 두 번째 행의 원소들의 여인자들, 즉 |C₂₁|=-3, |C₂₂|=10,

|C₂₃|=1들을 이용. 이를 전개하면 다음과 같음.

Þ |A|=a₁₁|C₂₁|+a₁₂|C₂₂|+a₁₃|C₂₃|=4(-3)+1(10)+2(1)=0 4 1 2

5 2 1 1 0 3

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

행렬식에 의한 비특이성의 판정

- A가 n´n 계수행렬인 선형방정식체계 Ax=d가 주어지면 다음과 같은 관계가 성립함.

|A|¹0 Û A의 행(열)은 선형독립(linear independent)임.

Û A는 비특이행렬(non-singular matrix)임.

Û 역행렬 A^-1가 존재함.

Û 유일한 해 x*=A^-1d가 존재함.

- |A|¹0이어서 유일한 해가 보장되더라도 경제학에서 허용될 수 없는 음(-)의 해를 가질 수도 있음.

è

행렬식에 의한 비특이성의 판정

- A가 n´n 계수행렬인 선형방정식체계 Ax=d가 주어지면 다음과 같은 관계가 성립함.

|A|¹0 Û A의 행(열)은 선형독립(linear independent)임.

Û A는 비특이행렬(non-singular matrix)임.

Û 역행렬 A^-1가 존재함.

Û 유일한 해 x*=A^-1d가 존재함.

- |A|¹0이어서 유일한 해가 보장되더라도 경제학에서 허용될 수 없는 음(-)의 해를 가질 수도 있음.

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬식의 기본 성질 (basic properties) u 행렬식의 기본 성질 (basic properties)

è

행렬식에 의한 비특이성의 판정 : 예제

- 다음의 방정식체계는 유일한 해(a unique solution)를 갖는가?

7x₁-3x₂-3x₃=7 2x₁+4x₂+x₃=0 -2x₂-x₃=2

- 행렬식 |A|의 값이 0이 아니므로 유일한 해를 가짐.

è

행렬식에 의한 비특이성의 판정 : 예제

- 다음의 방정식체계는 유일한 해(a unique solution)를 갖는가?

7x₁-3x₂-3x₃=7 2x₁+4x₂+x₃=0 -2x₂-x₃=2

- 행렬식 |A|의 값이 0이 아니므로 유일한 해를 가짐.

7 -3 -3 2 4 1 0 -2 -1

=-8¹0

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 행렬의 위수의 재정의 (rank of a matrix redefined) u 행렬의 위수의 재정의 (rank of a matrix redefined)

è

위수(rank)는 행렬 A의 선형독립인 행(열)들의 최대수를 말함.

- m´n 행렬의 위수는 그 행렬의 행들과 열들로 구성될 수 있는 0이 아닌 값을 갖는 행렬식들 중에서

그 계수가 가장 큰 것의 계수(maximum order)

è

행렬A의 위수는 두 수 m과 n 중 작은 값보다 클 수 없거나 같음(왜냐하면 행렬식은 정방행렬에 대해서만 정의).

r(A)£min{m, n}

è

두 행렬곱의 위수 : r(AB)£min{r(A), r(B)}

è

위수(rank)는 행렬 A의 선형독립인 행(열)들의 최대수를 말함.

- m´n 행렬의 위수는 그 행렬의 행들과 열들로 구성될 수 있는 0이 아닌 값을 갖는 행렬식들 중에서

그 계수가 가장 큰 것의 계수(maximum order)

è

행렬A의 위수는 두 수 m과 n 중 작은 값보다 클 수 없거나 같음(왜냐하면 행렬식은 정방행렬에 대해서만 정의).

r(A)£min{m, n}

è

두 행렬곱의 위수 : r(AB)£min{r(A), r(B)}

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 역행렬을 구하는 방법 u 역행렬을 구하는 방법

è

타행(또는 타열)의 여인자들에 의한 행렬식의 전개(성질 6) - 행렬식의 성질 6은 일반적으로 n계 행렬식에 대해서도

적용됨.

- 따라서 n계 행렬식에 대하여 다음 식이 성립함.

∑a_ij|C_i¢j|=0 (i¹i¢) : i번째 행의 원소들과 i¢번째 행의 여인자들에 의한 전개

∑a_ij|C_ij¢|=0 (j¹j¢) : j번째 열의 원소들과 j¢번째 열의 여인자들에 의한 전개

è

타행(또는 타열)의 여인자들에 의한 행렬식의 전개(성질 6) - 행렬식의 성질 6은 일반적으로 n계 행렬식에 대해서도

적용됨.

- 따라서 n계 행렬식에 대하여 다음 식이 성립함.

∑a_ij|C_i¢j|=0 (i¹i¢) : i번째 행의 원소들과 i¢번째 행의 여인자들에 의한 전개

∑a_ij|C_ij¢|=0 (j¹j¢) : j번째 열의 원소들과 j¢번째 열의 여인자들에 의한 전개

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix) u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix)

è

타행(또는 타열)의 여인자들에 의한 행렬식의 전개(성질 6)

- 또 다른 행렬식

- 위 행렬식에서 제1행과 제2행이 같음.

- 이 경우 앞에서 행렬식의 성질 5에서 살펴본 바와 같이 두 행이 같거나 배수이면 0임.

- 한편, 위 행렬식은 두 번째 행의 여인자들이 나타난 것과 동일함. 두 행이 같기 때문에 |A*|=0이고,

다른 여인자들에 의하여 행해질 경우에도 적용됨.

è

타행(또는 타열)의 여인자들에 의한 행렬식의 전개(성질 6)

- 또 다른 행렬식

- 위 행렬식에서 제1행과 제2행이 같음.

- 이 경우 앞에서 행렬식의 성질 5에서 살펴본 바와 같이 두 행이 같거나 배수이면 0임.

- 한편, 위 행렬식은 두 번째 행의 여인자들이 나타난 것과 동일함. 두 행이 같기 때문에 |A*|=0이고,

다른 여인자들에 의하여 행해질 경우에도 적용됨. a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

|A*|=

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix) u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix)

è

앞의 행렬식의 기본 성질 6은 행렬의 역행렬을 구하는 방법을 찾는데 직접 도움을 줌.

è

하나의 n´n 비특이행렬 A가 다음과 같다고 하면

- A의 각 원소는 여인자 |C_ij|를 가지므로 각 원소 a_ij를 그 원소의 여인자로 대체하여 여인자들의 행렬을 만들 수 있음.

è

앞의 행렬식의 기본 성질 6은 행렬의 역행렬을 구하는 방법을 찾는데 직접 도움을 줌.

è

하나의 n´n 비특이행렬 A가 다음과 같다고 하면

- A의 각 원소는 여인자 |C_ij|를 가지므로 각 원소 a_ij를 그 원소의 여인자로 대체하여 여인자들의 행렬을 만들 수 있음.

A=

a₁₁ a₁₂ ∙∙∙ a_1n a₂₁ a₂₂ ∙∙∙ a_2n

………..

a_n1 a_n2 ∙∙∙ a_nn

(단, |A|¹0)

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix) u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix)

- 행렬 A의 여인자 행렬을 C=[|C_ij|]로 표현하면 여인자 행렬의 전치행렬 C¢을 행렬 A의 부수행렬(또는 수반 행렬 : adjoint)이라 하고 adj A로 표기함.

- 행렬 A의 여인자 행렬을 C=[|C_ij|]로 표현하면 여인자 행렬의 전치행렬 C¢을 행렬 A의 부수행렬(또는 수반 행렬 : adjoint)이라 하고 adj A로 표기함.

C=

|C₁₁| |C₁₂| ∙∙∙ |C_1n|

|C₂₁| |C₂₂| ∙∙∙ |C_2n|

………..

|C_n1| |C_n2| ∙∙∙ |C_nn| C¢ºadj Aº

|C₁₁| |C₂₁| ∙∙∙ |C_n1|

|C₁₂| |C₂₂| ∙∙∙ |C_n2|

………..

|C_1n| |C_2n| ∙∙∙ |C_nn|

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix) u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix)

- 라플라스전개공식과 행렬식의 성질 6을 이용하면 행렬 A와 C¢은 곱 AC¢를 구하면 다음과 같음.

- 라플라스전개공식과 행렬식의 성질 6을 이용하면 행렬 A와 C¢은 곱 AC¢를 구하면 다음과 같음.

AC¢=

∑a_1j|C_1j| ∑a_1j|C_2j| ∙∙∙ ∑a_1j|C_nj|

∑a_2j|C_1j| ∑a_2j|C_2j| ∙∙∙ ∑a_2j|C_nj|

………..

∑a_nj|C_1j| ∑a_nj|C_2j| ∙∙∙ ∑a_nj|C_nj|

=

|A| 0 ∙∙∙ 0 0 |A| ∙∙∙ 0

………..

0 0 ∙∙∙ |A|

= |A|

1 0 ∙∙∙ 0 0 1 ∙∙∙ 0

………….

0 0 ∙∙∙ 1

= |A|I_n

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix) u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix)

- 앞의 식에서 행렬식 |A|는 0이 아닌 스칼라이므로 AC¢=|A|I_n의 양변을 |A|로 나누면

=I_n 또는 =I_n

- 위 식의 양변을 A^-1로 앞 곱하고 A^-1 A=I_n을 감안하면

= A^-1 또는 A^-1= adj A

- 앞의 식에서 행렬식 |A|는 0이 아닌 스칼라이므로 AC¢=|A|I_n의 양변을 |A|로 나누면

=I_n 또는 =I_n

- 위 식의 양변을 A^-1로 앞 곱하고 A^-1 A=I_n을 감안하면

= A^-1 또는 A^-1= adj A AC¢ A

|A|

C¢

|A|

C¢

|A|

1

|A|

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix) u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix)

è

정방행렬(비특이행렬) A의 역행렬을 구하는 일반적인 과정을 요약하면 다음과 같음.

- |A|를 구함(|A|=0일 경우에는 역행렬은 정의되지 않기 때문에 |A|¹0일 경우에만 다음 단계로 이행).

- A의 모든 원소에 대하여 여인자를 구하고 여인자 행렬 C=[|C_ij|]를 만듬.

- 여인자 행렬 C를 전치시켜 A의 부수행렬 adj A를 구함.

- adj A를 |A|로 나누면 A의 역행렬 A^-1를 구할 수 있음.

è

정방행렬(비특이행렬) A의 역행렬을 구하는 일반적인

과정을 요약하면 다음과 같음.

- |A|를 구함(|A|=0일 경우에는 역행렬은 정의되지 않기 때문에 |A|¹0일 경우에만 다음 단계로 이행).

- A의 모든 원소에 대하여 여인자를 구하고 여인자 행렬 C=[|C_ij|]를 만듬.

- 여인자 행렬 C를 전치시켜 A의 부수행렬 adj A를 구함.

- adj A를 |A|로 나누면 A의 역행렬 A^-1를 구할 수 있음.

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix) u 역행렬 구하기 (finding the inverse matrix)

è

예제 : 다음 행렬 A의 역행렬을 구하라.

A=

- |A|=-2¹0이므로 역행렬 A^-1가 존재함. - 여인자 행렬 C= =

- 부수행렬 adj A=

- 역행렬 A^-1= adj A= - =

è

예제 : 다음 행렬 A의 역행렬을 구하라.

A=

- |A|=-2¹0이므로 역행렬 A^-1가 존재함. - 여인자 행렬 C= =

- 부수행렬 adj A=

- 역행렬 A^-1= adj A= - = 3 2

1 0

|C₁₁| |C₁₂|

|C₂₁| |C₂₂|

0 -1 -2 3 0 -2

-1 3 1

|A|

1 2

0 -2 -1 3

0 1 1/2 -3/2

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

è

앞에서 살펴본 역행렬 방법을 이용하여 선형방정식 체계를 푸는 실제적이고 편리한 방법인 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)을 도출할 수 있음.

è

법칙의 도출(derivation of the rule)

- A가 n´n인 비특이행렬이면 방정식체계 Ax=d의 해는 다음과 같이 쓸 수 있음.

x*=A^-1d= (adj A)d

è

앞에서 살펴본 역행렬 방법을 이용하여 선형방정식 체계를 푸는 실제적이고 편리한 방법인 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)을 도출할 수 있음.

è

법칙의 도출(derivation of the rule)

- A가 n´n인 비특이행렬이면 방정식체계 Ax=d의 해는 다음과 같이 쓸 수 있음.

x*=A^-1d= (adj A)d1

|A|

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

- 앞의 식을 다시 정리하면 다음을 의미함.

- 앞의 식을 다시 정리하면 다음을 의미함.

=

|C₁₁| |C₂₁| ∙∙∙ |C_n1|

|C₁₂| |C₂₂| ∙∙∙ |C_n2|

………..

|C_1n| |C_2n| ∙∙∙ |C_nn| 1

|A|

x₁* x₂*

⋮ x_n*

d₁ d₂

⋮ d_n

= 1

|A|

d₁|C₁₁|+d₂|C₂₁|+ ∙∙∙ +d_n|C_n1| d₁|C₁₂|+d₂|C₂₂|+ ∙∙∙ +d_n|C_n2|

………

d₁|C_1n|+d₂|C_2n|+ ∙∙∙ +d_n|C_nn|

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

- 이를 다시 정리하면 다음과 같음.

- 방정식의 양변에 있는 서로 대응하는 원소들을 같게 놓음으로써 다음과 같은 해를 얻음.

- 이를 다시 정리하면 다음과 같음.

- 방정식의 양변에 있는 서로 대응하는 원소들을 같게 놓음으로써 다음과 같은 해를 얻음.

= 1

|A|

∑d_i|C_i1|

∑d_i|C_i2|

………

∑d_i|C_in|

x₁*= 1

|A|

1

∑d_i|C_i1|, x₂*= |A| ∑d_i|C_i2|, ××× , x_n*= 1

|A| ∑d_i|C_in|

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

- 예를 들어 앞에서 구한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있음.

- 여기서 |A₁|은 앞에서 |A|의 첫 번째 열을 열벡터 d로 대체하고 다른 모든 열은 그대로 두었을 때 나타나는 새로운 행렬식임.

- 예를 들어 앞에서 구한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있음.

- 여기서 |A₁|은 앞에서 |A|의 첫 번째 열을 열벡터 d로 대체하고 다른 모든 열은 그대로 두었을 때 나타나는 새로운 행렬식임.

x₁*= 1

|A| |A₁|

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

- 따라서 연립방정식 Ax=d의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있음.

(여기서 j번째 열이 d로 대체되었음.) - 이러한 결과가 바로 크래머의 법칙(Cramer’s rule)

임.

- 따라서 연립방정식 Ax=d의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있음.

(여기서 j번째 열이 d로 대체되었음.) - 이러한 결과가 바로 크래머의 법칙(Cramer’s rule)

임.

x_j*= |A_j|

|A| = 1

|A|

a₁₁ a₁₂ ∙∙∙ d₁ ∙∙∙ a_1n a₂₁ a₂₂ ∙∙∙ d₂ ∙∙∙ a_2n

………..…..…..

a_n1 a_n2 ∙∙∙ d_n ∙∙∙ a_nn

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

è

예제 : 다음 방정식의 해를 구하라.

5x₁+3x₂=30 6x₁-2x₂=8

- 계수와 상수항으로부터 다음의 행렬식을 얻음.

|A|= =-28

|A₁|= =-84 |A₂|= =-140

- 따라서 x₁*= = =3 x₂*= = =5

è

예제 : 다음 방정식의 해를 구하라.

5x₁+3x₂=30 6x₁-2x₂=8

- 계수와 상수항으로부터 다음의 행렬식을 얻음.

|A|= =-28

|A₁|= =-84 |A₂|= =-140

- 따라서 x₁*= = =3 x₂*= = =5 5 3

6 -2 30 3

8 -2

5 30 6 8

|A₁|

|A|

|A₂|

|A|

-84 -28

-140 -28

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

è

예제 : 다음 방정식의 해를 구하라.

7x₁-x₂-x₃=0 10x₁-2x₂+x₃=8 6x₁+3x₂-2x₃=7

|A|= =-61 |A₁|= =-61

|A₂|= =-183 |A₃|= =-244 - 따라서 해는 x₁*= =1 x₂*= =3 x₃*= =4

è

예제 : 다음 방정식의 해를 구하라.

7x₁-x₂-x₃=0 10x₁-2x₂+x₃=8 6x₁+3x₂-2x₃=7

|A|= =-61 |A₁|= =-61

|A₂|= =-183 |A₃|= =-244 - 따라서 해는 x₁*= =1 x₂*= =3 x₃*= =4

7 -1 -1 10 -2 1 6 3 -2

|A₁|

|A|

0 -1 -1 8 -2 1 7 3 -2 7 0 -1

10 8 1 6 7 -2

7 -1 0 10 -2 8 6 3 7

|A₂|

|A|

|A₃|

|A|

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

è

역행렬에 의한 방법 :

- 모든 내생변수의 균형해를 동시에 구하는 방법임.

è

크래머의 법칙에 의한 방법 :

- 개별 내생변수의 균형해(x_j*)만 구하는 방법임.

- 따라서 특정 내생변수의 값만을 구하고자 할 때 또는 상수항의 변화가 있을 때 크래머의 법칙을 이용하면 편리함.

è

역행렬에 의한 방법 :

- 모든 내생변수의 균형해를 동시에 구하는 방법임.

è

크래머의 법칙에 의한 방법 :

- 개별 내생변수의 균형해(x_j*)만 구하는 방법임.

- 따라서 특정 내생변수의 값만을 구하고자 할 때 또는 상수항의 변화가 있을 때 크래머의 법칙을 이용하면 편리함.

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

è

동차방정식체계(homogeneous equation system)

- 앞에서 살펴본 방정식체계 Ax=d의 벡터 d는 어떠한 상수라도 가질 수 있음.

- 그런데 d=0(d₁=d₂= ∙∙∙ =d_n=0)이면 방정식체계는 a₁₁x₁+a₁₂x₂+ ∙∙∙ +a_1nx_n=0

a₂₁x₁+a₂₂x₂+ ∙∙∙ +a_2nx_n=0

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

a_n1x₁+a_n2x₂+ ∙∙∙ +a_nnx_n=0

- 이러한 경우를 동차방정식체계라 함. 즉, 상수항이 모두 0인 연립방정식

è

동차방정식체계(homogeneous equation system)

- 앞에서 살펴본 방정식체계 Ax=d의 벡터 d는 어떠한 상수라도 가질 수 있음.

- 그런데 d=0(d₁=d₂= ∙∙∙ =d_n=0)이면 방정식체계는 a₁₁x₁+a₁₂x₂+ ∙∙∙ +a_1nx_n=0

a₂₁x₁+a₂₂x₂+ ∙∙∙ +a_2nx_n=0

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

a_n1x₁+a_n2x₂+ ∙∙∙ +a_nnx_n=0

- 이러한 경우를 동차방정식체계라 함. 즉, 상수항이 모두 0인 연립방정식

Þ Ax=0

(여기서 0은 영벡터임.)

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

è

동차방정식체계(homogeneous equation system) - 행렬 A가 비특이행렬이면(|A|¹0) 동차방정식체계는

오직 0인 해(x₁*=x₂*= ∙∙∙ =x_n*=0)만 가짐.

x*=A^-1d ® x*=A^-10=0

è

동차방정식체계(homogeneous equation system) - 행렬 A가 비특이행렬이면(|A|¹0) 동차방정식체계는

오직 0인 해(x₁*=x₂*= ∙∙∙ =x_n*=0)만 가짐.

x*=A^-1d ® x*=A^-10=0

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

è

동차방정식체계(homogeneous equation system)

- 이 결과는 크래머의 법칙에 의해서도 도출이 가능함.

- d=0이라는 사실은 모든 j에 대하여 |A_j|가 0으로만 이루어진 열을 포함할 수밖에 없음을 의미함.

- 따라서 해는 x_j*= = =0 (j=1, 2, ∙∙∙, n)

- 그런데 동차방정식체계에서 0이 아닌 해를 얻는 유일한 경우는 |A|=0, 즉 계수행렬 A가 특이행렬인 경우뿐임.

è

동차방정식체계(homogeneous equation system)

- 이 결과는 크래머의 법칙에 의해서도 도출이 가능함.

- d=0이라는 사실은 모든 j에 대하여 |A_j|가 0으로만 이루어진 열을 포함할 수밖에 없음을 의미함.

- 따라서 해는 x_j*= = =0 (j=1, 2, ∙∙∙, n)

- 그런데 동차방정식체계에서 0이 아닌 해를 얻는 유일한 경우는 |A|=0, 즉 계수행렬 A가 특이행렬인 경우뿐임.

|A_j|

|A| 0

|A|

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

è

동차방정식체계(homogeneous equation system) - 따라서 이 경우에는 다음과 같음.

x_j*= =

- 위 식에서 0/0은 0이 아니라 부정형임.

- 결과적으로 크래머의 법칙은 적용될 수 없음.

- 이는 해를 구할 수 없음을 의미하는 것이 아니라, 단지 유일한 해를 구할 수 없음을 의미함.

- 결국, 동차방정식체계는 0이 아닌 유일한 해는 존재 하지 않음.

è

동차방정식체계(homogeneous equation system) - 따라서 이 경우에는 다음과 같음.

x_j*= =

- 위 식에서 0/0은 0이 아니라 부정형임.

- 결과적으로 크래머의 법칙은 적용될 수 없음.

- 이는 해를 구할 수 없음을 의미하는 것이 아니라, 단지 유일한 해를 구할 수 없음을 의미함.

- 결국, 동차방정식체계는 0이 아닌 유일한 해는 존재 하지 않음.

|A_j|

|A| 0 0

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule) u 크래머의 법칙 (Cramer’s rule)

è

선형방정식체계에서의 해의 결과

è

선형방정식체계에서의 해의 결과

벡터 d

행렬식 |A| d¹0

(비동차방정식체계)

d=0

(동차방정식체계)

|A|¹0 (비특이행렬)

0이 아닌 유일해

x*¹0가 존재 0인 유일해 x*=0가 존재

|A|=0 (특이행렬)

방정식체계 종속임.

무수한 해가 존재 (0인 해 비포함)

무수한 해가 존재 (0인 해 포함)

방정식체계

모순됨.

해가 존재하지 않음 . 모순될 수 없음 .

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용 u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용

è

시장모형(market model)

è

시장모형(market model)

Q_d1-Q_s1=0

Q_d1=a₀+a₁P₁+a₂P₂ Q_s1=b₀+b₁P₁+b₂P₂ Q_d2-Q_s2=0

Q_d2=α₀+α₁P₁+α₂P₂ Q_s2=β₀+β₁P₁+β₂P₂

(a₀-b₀)+(a₁-b₁)P₁+(a₂-b₂)P₂=0

® c₁P₁+c₂P₂=-c₀

(α₀-β₀)+(α₁-β₁)P₁+(α₂-β₂)P₂=0

® γ₁P₁+γ₂P₂=-γ₀

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용 u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용

è

시장모형(market model)

- 이를 다시 정리하면 다음과 같음.

c₁P₁+c₂P₂=-c₀ γ₁P₁+γ₂P₂=-γ₀

- 해를 구하는데 필요한 3개의 행렬식을 나타내면

|A|= =c₁γ₂-c₂γ₁

|A₁|= =-c₀γ₂+c₂γ₀ |A₂|= =-c₁γ₀+c₀γ₁

è

시장모형(market model)

- 이를 다시 정리하면 다음과 같음.

c₁P₁+c₂P₂=-c₀ γ₁P₁+γ₂P₂=-γ₀

- 해를 구하는데 필요한 3개의 행렬식을 나타내면

|A|= =c₁γ₂-c₂γ₁

|A₁|= =-c₀γ₂+c₂γ₀ |A₂|= =-c₁γ₀+c₀γ₁ c₁ c₂

γ₁ γ₂ -c₀ c₂ -γ₀ γ₂

c₁ -c₀ γ₁ -γ₀

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용 u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용

è

시장모형(market model)

- 따라서 균형가격은 다음과 같음.

P₁*= = P₂*= =

- 균형량은 수요함수 또는 공급함수에서 P₁=P₁* 및 P₂=P₂*로 놓고 구할 수 있음.

è

시장모형(market model)

- 따라서 균형가격은 다음과 같음.

P₁*= = P₂*= =

- 균형량은 수요함수 또는 공급함수에서 P₁=P₁* 및 P₂=P₂*로 놓고 구할 수 있음.

|A₁|

|A| |A₂|

c₂γ₀-c₀γ₂ |A|

c₁γ₂-c₂γ₁

c₀γ₁-c₁γ₀ c₁γ₂-c₂γ₁

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용 u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용

è

국민소득모형(national income model)

- 케인즈의 단순국민소득모형은 다음의 두 연립방정식 으로 이루어짐.

Y=C+I₀+G₀

C=a+bY (여기서 a>0, 0<b<1) - 위 식을 다시 배열 정리하면

Y-C=I₀+G₀ -bY+C=a

è

국민소득모형(national income model)

- 케인즈의 단순국민소득모형은 다음의 두 연립방정식 으로 이루어짐.

Y=C+I₀+G₀

C=a+bY (여기서 a>0, 0<b<1) - 위 식을 다시 배열 정리하면

Y-C=I₀+G₀ -bY+C=a

l 선형모형과 행렬대수(계속) l 선형모형과 행렬대수(계속)

u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용 u 시장모형과 국민소득모형에 대한 응용

è

국민소득모형(national income model)

- 해를 구하기 위해 필요한 3개의 행렬식을 나타내면

|A|= =1-b

|A₁|= =I₀+G₀+a

|A₂|= =a+b(I₀+G₀)

- 그러므로 Y*= = C*= =

è

국민소득모형(national income model)

- 해를 구하기 위해 필요한 3개의 행렬식을 나타내면

|A|= =1-b

|A₁|= =I₀+G₀+a

|A₂|= =a+b(I₀+G₀)

- 그러므로 Y*= = C*= =|A₁|

|A| |A₂| I₀+G₀+a |A|

1-b

a+b(I₀+G₀) 1-b

1 -1 -b 1

1 (I₀+G₀) -b a (I₀+G₀) -1

a 1