Lecture Note: Velocity Analysis II

Lecture Note: Velocity Analysis II

슬기로운 자는 지식을 감추어 두어도 미련한 자의 마음은 미련한 것을 전파하느니라

(잠언 12 장 23 절)

운동기하 계수법 (Method of Kinematic Coefficients)

기구의 운동과 관련한 유용한 정보를 얻는 방법으로서,

x

^와

y

성분방향 폐루프 방정식을 시간이 아닌 입력 변수로 미분함으로써 획득하도록 하는 방법을 운동기하 계수법이라 부른다. 이 방법을 예제를 통해 (4 절 기구와 편심 슬라이더-크랭크 기구) 설명하려 한다.

4 절 기구 예제

<문제>

위 기구에서 점

A

와

D

의 거리를

r

₁이라 하자. 이제 입력 링크 2 의 각속도가 반시계 방향으로



₂라 할 때, 커플러와 출력 링크들의 각속도와 점

E

의 속도를 구하라.

<풀이>

벡터 폐루프 방정식을

x

^와

y

성분방향 두 스칼라 성분으로 분해하여 표기하면,

0 cos cos

cos

cos

_{1 2 2 3 3 4 4}

1

  r   r   r  

r

0 sin

sin sin

sin

_{1 2 2 3 3 4 4}

1

  r   r   r  

r

이 식을 입력 변수



₂^{에 대해 미분하면}

0 sin

sin

sin

_{2 3 3 3 4 4 4}

2

    

 r  r   r   0 cos

cos

cos

_{2 3 3 3 4 4 4}

2

  r     r    

r

위 식은

 

₃^과



₄



에 대한 연립 선형대수 방정식이다. 이를 풀이하면,

 

sin  

  ^ r ^   ^ r ^sin   ^  

위 두 변수를 운동기하 계수라 부르는데 이들을 이용하면 각속도 간의 관계를 체인 룰을 이용하여 다음과 같이 편리하게 구할 수 있다.

2 3

3

 

   

₄

 

₄

 

₂

이제 두 점의 속도를 구해 보자. 그림에서

   

  



₂

cos

_{2 EB}

cos

₃

E

r r

x y

_E

 r

₂

sin 

₂

 r

_EB

sin  

₃

  

여기서



^{는 선분}

BE

^와

BC

가 이루는 각도이다. 위 식을 미분하면,



3



3

2

2

sin   sin     



 

_EB

E

r r

x y 

_E

 r

2

cos 

2

 r

_EB

cos  

3

   

3



이제 점의 속도를 구하면,

 ˆ ˆ 

2

ˆ

ˆ y j x i y j 

i x

v 

_E

 

_E

 

_E



_E

 

_E



점

F

의 속도도 위와 동일한 절차를 이용하여 구할 수 있다.

편심 슬라이더-크랭크 기구 예제

<문제>

위 기구 상의

A

점에서 슬라이더 중심 점

C

까지의 수평거리를

r

₄ 라 하고 수직거리를

r

1이라 하자. 슬라이더가

r

₄의 속도를 가질 때, 링크 2 와 3 의 각속도와 점

D

^{의 속도를}

구하라.

<풀이>

벡터 폐루프 방정식을 두 스칼라 성분으로 분해하여 표기하면,

0 cos cos

cos

cos

_{1 2 2 3 3 4 4}

1

  r   r   r  

r

0 sin

sin sin

sin

_{1 2 2 3 3 4 4}

1

  r   r   r  

r

이 식을 입력 변수

r

₄에 대해 미분하면 (



₁^과



₄는 상수임을 참조)

0 cos

sin

sin

_{2 2 3 3 3 4}

2

    

 r   r   

0 sin cos

cos

_{2 2 3 3 3 4}

2

    r      

r

위 두 식을 풀이하면,

 



3 2



2

4 3

2

sin

cos







 



 

 r

 



3 2



3

4 2

3

sin

cos







 





 

 r

위 두 운동기하 계수를 이용하여 각속도 간의 관계를 (체인 룰을 이용하여) 다음과 같이 편리하게 구할 수 있다.

4 2 2

 r

   

₃

 

₃

 r

₄

이제 점

D

의 속도를 구하기 위해

   

  



₂

cos

_{2 DB}

cos

₃

D

r r

x y

_D

 r

₂

sin 

₂

 r

_DB

sin  

₃

  

여기서



^{는 선분}

BC

^와

BD

가 이루는 각도이다.

위 식을 입력변수

r

₄에 대해 미분하면,



3



3

2 2

2

sin     sin     



 

_DB

D

r r

x y 

_D

 r

2

cos 

2



2

  r

_DB

cos  

3

   

3



이제 점

D

의 속도를 구하면,

r

4

x

x 

_D

 

_D

 y 

_D

 y

_D

 r 

₄

<Comment>

이 기구에서 2 번 링크의 각속도를 입력으로 하고 3 번 링크의 각속도와 4 번 링크의 속도를

구름 마찰차 기구 예제

<문제>

위 그림에서 반경이



₂인 마찰차 2 와 반경이



₃인 마찰차 3 이 서로 구름 접촉을 하고 있다. 마찰차 2 의 각속도가 입력으로 주어질 때, 나머지 링크 3, 4, 5 의 각속도를 구하라.

<풀이>

그림에서 루프 방정식을 두 스칼라성분으로 표기하면,

0 cos cos

cos

cos

_{4 3 3 5 5 1 1}

4

  r   r   r  

r

0 sin sin

sin

sin

_{4 3 3 5 5 1 1}

4

  r   r   r  

r

이 식을 입력 변수



₂에 대해 미분하면 (



₁은 상수임을 참조)

0 sin

sin

sin

_{4 4 3 3 3 5 5 5}

4

     

 r   r   r  

^{--- (1)}

0

cos cos

cos

_{4 4 3 3 3 5 5 5}

4

    r     r    

r

^{--- (2)}

여기서 식은 두 개인데 미지수는 3 개이므로 (



₄

 , 

₃

 , 

₅



) 추가 식이 필요하다. 추가 식은 링크 3 과 4 사이의 구름접촉 조건으로부터 얻어진다. 구름 접촉 조건은 두 마찰차가 접하는 점에서의 관찰 변위가 (또는 관찰 속도가) 같아야 한다는 조건이다. 접촉점에서의 관찰 변위는 링크 4 에서 관찰하면 다음과 같이 (

A

점의 관찰변위가 0 이므로) 얻어질 수 있다.



2 4



3



3 4



2

    

        

위 식을

 

₂^{로 나누고}

 

₂

 0

하면, 다음 미분방정식을 얻을 수 있다.



4



3



3 4



2

1    

       

^{--- (3)}

이제 (1-3) 식을 연립하여 운동기하 계수들을 구할 수 있으며, 그를 이용하면 각속도들도



2





_k



_k



의 식을 이용해 구할 수 있다.

벡터 연산 이용법

이 방법은 위치 해석에서 등장한 체이스의 방법을 연장한 속도해석 방법이라 할 수 있다.

우선 크기와 방향을 갖는 하나의 벡터는 다음과 같이 표기할 수 있다.

R R R   ˆ

이 식을 미분하면 다음 관계를 얻을 수 있다.

  ^R

R R R R R R R

R ^  ^ ˆ  ˆ ^  ^ ˆ   ^  ˆ

여기서

 ^

^{는 벡터}

R 

이 고정된 링크의 각속도이다.

평면 운동을 하는 경우라면

  ^{k R}

R R R

R ^  ^ ˆ   ˆ  ˆ

이제 위에서 얻어진 관계를 벡터 루프 방정식에 적용해 보자.

아래 그림의 역 슬라이더-크랭크 기구의 예제로부터

4 2

1

r r

r   





슬라이더 크랭크 기구에서

r

₁,

ˆr

₁^{, 그리고}

r

₂가 일정하므로 위 식을 미분하면

 

2 4 4 4 4

 

4 2

2

r k ˆ  r ˆ  r r ˆ   r k ˆ  r ˆ

 

위 식은 벡터 식이고 미지수는

r

₄과



₄이므로 그 해를 다음과 같이 구할 수 있다. 우선

r

4를 구하려면, 위 식의 양변에

ˆr

₄를 내적 하면 우변의 두 번째 항이 사라지므로

 

2 4 2

2

4

r k ˆ r ˆ r ˆ r     

이제



₄를 구하려면 양변에

  k ˆ r  ˆ

4 를 내적 하면 이번에는 우변 첫 번째 항이 사라진다.

   

4

4 2

2 2 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

r

r k r k

r   

 



위의 두 식으로도 해는 충분히 얻었다고 할 수 있으나 식에 등장하는 내적과 외적의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

  k ˆ  r ˆ

2

 r ˆ

4

 sin ^ 

4

 

2

^

    k ˆ  r ˆ

2

 k ˆ  r ˆ

4

 cos  

4

 

2



위 두 식을 이용하면



4 2



2 2

4

  r sin    r

 

4 2 4 2 2 4

cos r

r  

   ^

<참조>

위에 등장하는 내적 및 외적 관계식들은 직관을 이용해서도 어렵지 않게 구할 수 있으나,

j i

r ˆ

₂

 cos 

₂

ˆ  sin 

₂

ˆ

^과

r ˆ

₄

 cos 

₄

i ˆ  sin 

₄

j ˆ

를 이용하면 삼각함수 식을 이용해 유도할 수 있다.

순간 중심점

평면운동을 하는 두 링크의 순간 중심이란 평면 상의 동일한 위치에서 두 링크에 속한 두 점의 속도가 같아지는 점을 말한다. 즉 링크

A

^{에 속한 점을}

A

^{*라 하고 링크}

B

^{에 속한}

점을

B

^{* 라 할 때,}

A

^{* 와}

B

^* 가 공간 상 동일한 위치에 있고 속도가 서로 같다면 그 위치를 두 링크의 순간 중심점이라고 한다. 순간 중심점은 일반적으로 그 위치가 계속 변해 가기 때문에 그것이 순간적으로만 중심이 된다는 의미로 순간중심이라 불린다. 순간중심은 2 개의 링크에 대해 정의되므로, 만일 링크가

n

^{개 존재한다면} _n

C

₂ ^{개의 순간중심이}

존재하게 된다. 즉 순간중심의 개수를

N

이라 표시하면

2 ) 1 (

2

 

 n n

C N

_n

두 링크

m

과

n

의 순간 중심점은 앞으로

P

_mn으로 표기하기로 하자. 움직이지 않는 기반 링크 상 모든 점의 속도는 0 이므로 기반 링크와 다른 어느 링크 사이의 순간 중심점의 속도는 0 이다. 어떤 링크

m

의 각속도

 

_m

과 그 링크 상 한 점

A

의 위치와 속도

v 

^A

가 알려져 있다고 하자. 이 경우 링크

m

과 기반링크 간 순간 중심점의 속도는 0 이므로

1

0

1



^A



_m



_{P A}



P

m

m

v R

v     

. 이제 이 식에 링크

m

의 각속도

 

_m

을 외적 하여 정리하면,

A P m A P m m A

m

v R

_m

R

_m

1 1

)

2

(   

 

   

      

. 따라서, 순간중심점

P

_m1 의 위치는 다음과 같이 구해진다.

2

1

m A m A P

R v

m



 ^{ }

 



--- (1)

만일 링크 상 두 점의 속도가 알려져 있다면 기반 링크와 그 링크 간의 순간중심은 아래 보이는 그림 (a)처럼 두 속도에 수직방향 선이 만나는 점에 위치하게 된다. 그러나 만일 두 점의 속도가 평행하면 순간중심의 위치는 그림 (b)의 방법으로 찾을 수 있다.

<3 중심점 정리>

서로 상대운동을 하는 세 강체 간의 순간 중심점들은 일직선 상에 위치한다. 즉

P

₂₃ ^은

P

12^와

P

₁₃를 연결하는 직선 상의 어디인가에 존재한다. 이 정리는 발견자의 이름을 붙여서 케네디 정리라고도 부르며, 논리적 모순을 이용한 방법으로 증명할 수 있다.

만일

P

₂₃^가

P

₁₂^와

P

₁₃를 연결하는 직선 상에 존재하지 않는다면, 예를 들어 위 그림에서 점

P

에 위치한다면 링크 2 에 속한

P

의 속도

P2

V 

와 링크 3 에 속한

P

의 속도

P3

V 

은 서로 다른 방향을 갖게 되어 서로 속도가 달라지므로 그 점은 링크 2 와 3 의 순간중심이 될 수 없다. 이러한 모순이 발생하지 않으려면

P

₂₃ 는

P

₁₂ 와

P

₁₃ 를 연결하는 직선 상에 존재해야 한다.

<순간중심점을 구하는 방법들>

1. 링크 기구에 등장하는 핀 조인트의 위치는 그 점에서 두 링크가 연결되어 있고 속도가 같아지므로 두 링크의 순간중심점이다.

2. 두 링크가 구름접촉을 하고 있다면 그 접촉점에서 두 링크에 속한 두 점의 속도가 같아지므로 그 점은 두 링크의 순간중심점이다.

3. 두 링크가 서로 미끄럼 접촉을 하고 있다면 두 링크의 순간중심점은 접촉면에 수직인 선상에 존재한다. 왜냐하면 두 링크간 상대 속도를 이 점에서 접선방향으로 갖게 되므로 두 링크의 순간중심점은, 관찰자가 두 링크 중 한 링크 상에서 관찰한다면, 앞의 쪽 (1)식에 의해 그 법선 상에 존재할 수밖에 없기 때문이다.

4. 직선 슬라이딩 조인트로 연결된 두 링크의 순간중심점은 슬라이딩 조인트 운동방향에 수직인 방향으로 무한대의 위치에 존재한다.

5. 두 링크가 곡선 슬라이딩 조인트로 연결될 때, 두 링크의 순간중심은 곡선의 곡률반경 중심점에 위치한다.

6. 나머지 순간 중심점들은 3 중심점 (케네디) 정리에 의해 구한다.

4 절 기구

위 4 절 기구는 ₄

C

₂ 즉 6 개의 순간중심점을 갖는다. 4 개의 핀 조인트 위치에서 순간중심점 4 개를 (

P

₁₂^,

P

₂₃^,

P

₃₄^,

P

₁₄) 먼저 구한 후 3 중심점 정리를 이용하여 그들을 연결한 점에서 나머지 순간중심점을 (

P

₂₄^,

P

₁₃) 구한다.

구름접촉 조인트 포함 기구

위 기구는 세 핀 조인트 위치에

P

₁₂ ^,

P

₂₃^,

P

₃₄의 순간중심점이 위치하고 구름 접촉점에

P

14 의 순간중심점이 위치한다. 나머지 두 순간 중심점

P

₂₄ ^와

P

₁₃는 3 중심점 정리를 이용하여 구할 수 있다.

미끄럼 접촉 조인트 포함 기구

위 기구는 3 개의 링크로 이루어지므로 총 ₃

C

₂ 즉 3 개의 순간중심점을 갖는다. 우선 두 개의 핀 조인트 위치에 순간중심점

P

₁₂ ^와

P

₁₃ 가 존재한다. 나머지 하나의 순간중심점

P

23는 이미 구한 두 순간중심점을 연결하는 직선과 두 링크가 접하는 곳에서 그은 법선이 만나는 점에 위치하게 된다.

슬라이딩 조인트 포함 기구

4 개의 링크로 이루어진 이 예제에는 3 개의 핀 조인트와 1 개의 슬라이딩 조인트가 존재한다. 먼저 3 핀조인트의 위치에

P

₁₂^,

P

₁₄^{, 그리고}

P

₂₃가 존재한다. 링크 3 과 4 가 슬라이딩 조인트로 연결되므로

P

₃₄ 는 슬라이딩 조인트 운동방향에 수직으로 무한대의 위치에 존재한다. 이제

P

₁₃ ^와

P

₂₄ 의 위치는 두 핀조인트를 연결하는 직선과 한 핀조인트에서 슬라이딩 조인트 운동방향과 수직으로 직선을 그어 만나는 점에서 결정된다.

여기서 주의해야 하는 점은, 예를 들어

P

₁₃^{를 결정할 때는}

P

₁₂^와

P

₂₃를 연결하는 직선과

P

14^와

P

₃₄를 연결하는 직선을 사용해야 한다는 점이다. 즉, 직선을 만드는 두 점의 공통 숫자를 제하면 구하려는 순간중심점의 숫자만 남게 된다.

곡선 슬라이딩 조인트 포함 기구

이 기구는 5 개의 링크로 이루어졌으므로 ₅

C

₂ 즉 10 개의 순간중심점을 갖는다.

우선 3 개의 핀 조인트와 구름접촉 조인트의 위치에 4 개의 순간중심점

P

₁₃^,

P

₃₄^,

P

₁₅^,

P

12를 구한다.

다음 링크 2 와 4 가 곡선 슬라이딩 조인트로 연결되어 있으므로 곡률의 중심점 위치에

P

24를 구한다.

다음에는

P

₁₂^와

P

₁₅를 연결하는 직선과 링크 2 와 5 가 미끄럼 접촉하는 면에 수직선 선을 그어 만나는 점에서

P

₂₅^{를 구한다.}

나머지 4 개의 순간중심점들은 이제까지 구한 6 개의 순간중심점의 정보와 3 중심점 정리를 이용하여 구한다.

미끄럼접촉 조인트

구름접촉 조인트

순간 중심점을 이용한 속도 해석

4 절 기구

<문제>

 ^

2가 주어졌을 때, 점

B

,

D

,

E

의 속도를 구하라.

<풀이>

1. 우선 순간중심점을 구하는 방법으로

P

₁₃^와

P

₂₄의 위치를 구한다.

2.

V

_A^{를 구한다. 즉,}

V

_A

 

₂

R

_AO

3.



₃^{를 구한다. 즉,}

3 AP13

A

R

V  

^에서

1 3

3 AP

A

R

 V



4.

V

_D와

V

_B를 구한다. 즉,

3 DP13

D

R

V  

^이고

3 BP13

B

R

V  

이다.

5.



₄^{를 구한다. 즉,}

4 BP14

B

R

V  

^에서

1 4

4 AP

B

R

 V



6.

V

_E를 구한다. 즉,

4 EP14

E

R

V  

미확인 정보 포함 기구

<문제>

위 기구에서 박스 속 기구의 형태는 알려져 있지 않다고 할 때, 순간중심점

P

₂₅^{의 위치를}

알고 있다면 슬라이더의 속도

V

_C

 10

m/s 를 발생시키는 링크 2 의 각속도를 구하라.

<풀이>

1.

P

₁₅^{가 위치한 선을}

P

₁₂^와

P

₂₅를 연결하여 그린다.

2. 직선 슬라이딩 조인트로 연결되므로

P

₁₆의 위치를



의 위치에 그린다.

3.

P

₅₆^과

P

₁₆^{의 연결 선상에}

P

₁₅가 존재하므로 1 의 결과와 종합하면

P

₁₅^는



^의

위치에 존재한다는 결론을 얻는다.

4.

P

₁₅^가



의 위치에 존재한다는 것은 링크 5 가 병진운동을 한다는 의미이므로

P

25점을 포함하여 링크 5 위에 존재하는 모든 점은 동일한 속도를 갖는다. 즉,

V 

_P

V 

_C

25



5. 이제

P

₂₅는 링크 2 상의 점이기도 하므로

12 25

25 2 P P

P

R

V  

^{. 따라서}

1 2 2 5

2 5

2

P P

P

R

 V



위 기구의 박스 안의 보이지 않는 부분을 아래 그림은 보여주고 있다.

각속도 비 정리

순간중심점을 이용하면 유용한 관계식들을 유도할 수 있다. 여기 소개되는 각속도 비 정리가 그러한 내용이다.

순간 중심점

P

₂₄의 속도를 구해보면

14 24 14

12 24 12

24 P 2 P P P 4 P P

P

V R V R

V       











  

P

12와

P

₁₄의 속도는 0 이므로

14 24 12

24 4

2

R

P P

 R

P P

 

따라서

1 2 2 4

1 4 2 4

4 2

P P

P P

R

 R





이를 좀 더 일반적으로 기술하면 (순간중심점

P

_jk의 속도를 이용하여 유도)

P ik P jk R

P ij P jk R

i j

i

k 

/

 /



즉, 예를 들면

1 2 3 2

1 3 3 2

3 2

P P

P P

R

 R





일반화한 정리에 대한 증명은 학부 학습범위를 넘어서므로 여기서는 생략된다.

운동기하 계수와 순간중심의 관계

4 절 기구에 대해 운동기하 계수는 다음 관계를 갖는다.

i j

j

 

  

따라서

i j

j



   

그런데 각속도 비 정리에 의해

j ij

i ij

P P

P P

j

R

R

1



1

 

예를 들어

1 3 2 3

1 2 2 3

3

P P

P P

R

 R

 

슬라이더의 운동을 입력으로 하는 슬라이더-크랭크 기구의 경우는

j k k

r

   

--- (1)

그런데 각속도 비 정리에 의해

ik jk

ij jk

P P

P P

j k

R

 R





--- (2)

그런데 _{j P P j}

ij

R

jk

r   

(



_j

 0

^이고

ij jkP

R

P 는 무한대의 값을 갖는다)

j P P

k

j k

ij

R

jk

r 



 



^{--- (3)}

(3)식에 (2)식을 대입하면

ik jkP P j k

R r

 1





--- (4)

(1)식과 (4)식을 비교하면,

 1

 

^{예를 들어}

   1

^,

   ¹

프로이덴슈타인 정리

4 절 기구에서 두 순간중심

P

₁₃^와

P

₂₄를 연결하는 선을 공통직선축이라 (Collineation Axis) 부르며 프로이덴슈타인은 커플러가 이 공통직선축에 수직일 때 입력 각속도 분에 출력 각속도의 비가 최대가 된다는 사실을 밝혀 내었다. 이를 프로이덴슈타인 정리라 부른다.

각속도 비 정리에 의해서

1 4 1 2 1 2 2 4

1 2 2 4

1 4 2 4

1 2 2 4

2 4

P P P P

P P

P P

P P

R R

R R

R

 

 



그런데

14 12P

R

P 는 고정된 값이므로 다음 함수의 최대값을 구하는 문제가 된다.

a x x x f ( )  

그런데 이 함수는 단순 증가함수이므로

x

가 최소일 때 최소값을 가지고

x

가 최대일 때 최대값을 갖게 된다.

12 24P

R

P 의 길이가 최대가 되는 때는

P

₂₄가 가장 왼쪽으로 가서 더 이상 왼쪽으로 움직일 수 없는 경우이며, 이는 커플러 연장선이 공통직선축과 수직인 경우이다.

순간중심점

P

₂₄는

P

₁₂에서 시작하여 이 지점까지 움직였다가 다시 돌아오는 운동 궤적을 그린다. 따라서 이 지점에서

P

₂₄의 궤적움직임 속도가 0 이 된다.

참고로



₃

/ 

₂ 가 최대가 되는 경우는 출력 링크가 공통직선축과 수직인 경우이며 이 내용을 증명하고 정리한 이론을 변환정리라 (Inversion theorem) 한다.

기구 건전성 지표: 역학적 유효 비

각속도 비 정리로부터

PD PA

R

 R

2 4





이제 링크에 작용하는 마찰력이나 관성력이 입력 링크에 가해지는 토크

T

₂와 출력 링크에 가해지는 토크

T

₄에 비해 무시할 만 하다면, 입력과 출력 링크에 주어지는 작용 반작용 힘들에 의한 일률의 합이 0 이 되어야 하므로 다음 관계가 성립해야 한다.

PA PD

R R T

T    

4 2 2

4





역학적 유효비는 출력 힘의 크기를 (또는 토크) 입력 힘의 크기로 (또는 토크) 나눈 값을 말한다. 이는 기구가 힘 또는 일률을 전달할 수 있는 능력을 의미한다. 아래 왼쪽 그림과 같이 역학적 유효비가



가 되는 위치를 토글 위치라고 부른다. 아래 오른쪽 그림은 토글 위치를 갖는 크램프 기구이다. 즉,

A , B , C

가 일직선상에 놓일 때 출력 링크에 큰 힘이 걸리게 된다.

그런데



 sin

sin

BA CD

A B

D C

PA PD

R R R

R R

R  





따라서



 sin

sin

2 4

BA CD

R R T

T  

따라서



가 0 또는 180 도일 때 이 기구는 토글 위치를 갖게 되는 것을 알 수 있다.

1 장과 2 장에서 우리는



를 전달각이라 칭하였다. 위 식에서 알 수 있듯이 전달각의 값이 작아지면 역학적 유효비는 작아지는 것을 알 수 있다. 역학적 유효비가 너무 작아지면 심지어는 링크 사이에 작용하는 작은 마찰력도 이기지 못하게 되어 기구가 작동하지 못하는 지경에 이르게 된다. 물론 전달각이 작아져서

sin 

가 작아지더라도

sin 

값이 더 작아지면 역학적 유효비는 커질 수 있다. 통상 전달각은 최소한 45 도에서 50 도 이상의 값을 갖도록 기구를 설계하도록 권장하고 있다.

전달각이나 역학적 유효 비가 일반 기구의 건전성 지표로 사용되듯이 다른 종류의 건전성 지표들도 존재한다. 예를 들어 캠이나 기어를 이용한 기구에서는 압력각이라는 (Pressure angle) 건전성 지표가 사용되는데 이 각도는 힘의 작용선과 그 힘이 작용하는 점의 속도 방향이 이루는 각도를 말한다. 아래 두 그림은 캠과 기어 기구에서 사용하는 압력각을 보여준다. 압력각은 통상 20 도 정도가 사용되며 최대

30

^

 35

^도를 초과하지 않는 것이 좋다.

순간중심 궤적 (Centrodes)

순간중심

P

_ij의 궤적은 링크

i

나 링크

j

, 혹은 고정된 기반 링크 1 위에 모두 잡을 수 있다. 고정된 기반 링크 위에 잡은 순간중심의 궤적을 고정 순간중심 궤적이라 칭하며 움직이는 링크 위에 잡은 순간 중심의 궤적은 운동 순간중심 궤적이라 칭한다. 이러한 궤적들은 기구를 설계할 때 유용하게 사용할 수 있다.

위 그림은 링크 1 위에 고정된 순간중심

P

₁₃의 궤적과 링크 3 위에 고정된 순간중심

P

₁₃의 궤적을 보여준다. 링크 3 에 고정된 궤적은 기구의 운동에 따라 링크 1 위에 고정된 순간중심 궤적과 구름운동을 하게 된다.

위 그림은 링크 2 와 4 에 고정된 순간중심

P

₂₄의 궤적들을 보여준다. 이렇게 두 궤적을