Lecture Note: Kinematics of Rigid Bodies I
우리가 궁극적으로 잘만 보면 대부분의 사람들은 다 멋지단다.
(하퍼 리의 ‘앵무새 죽이기’ 중에서)
강체의 운동학 (Kinematics of rigid bodies)
주요 용어
강체: 공간 상 분포된 무한히 많은 질점들로 구성되며, 외력을 받더라도 이에 속한 임의의 두 질점간 거리변화가 발생하지 않는다고 이상화된 물체를 의미한다. 자유로운 운동을 하는 하나의 강체는 공간에서 6 개, 평면에서 3 개의 자유도를 갖는다.
자세: 강체가 공간에 놓여 있는 형태를 의미하며 기준 자세에 대해 정량적으로 정의될 수 있다. 기준 자세에 대해 임의의 자세를 정의하는 방법으로 가장 널리 사용되는 방법은 방향 코사인 표이다. 방향코사인은 기준 자세를 갖는 강체에 고정된 단위벡터들과 임의 자세의 강체에 고정된 단위벡터들의 벡터내적 값으로 정의된다.
j i ij
a b c ˆ ˆ
여기서
aˆ
i와bˆ
j는 강체에 부착된 좌표계의 처음과 나중을 의미하는데 첨자는 각각 1, 2, 3 으로 변화하므로c
ij는 9 개의 값이 존재한다.(예) 다음 그림의 좌표계간 방향 코사인 값들을 구하라.
위의 방향 코사인 표에서 알 수 있듯이 이 값들은 비 대칭성을 갖는다. 즉,
c
ij c
ji이다.이 표를 이용하면 좌표계간 관계를 쉽게 구할 수 있다. 예를 들면,
2 1
1 cos ˆ sin ˆ
ˆ b b
a
2 1
2 sin ˆ cos ˆ
ˆ a a
b
ˆb1 ˆb2 ˆb3
ˆa1
cos
-sin
0ˆa2
sin cos
0ˆa3 0 0 1
ˆa
1ˆa
1ˆa
3ˆa
2ˆb
1ˆa
1ˆb
2ˆb
3ˆa
1ˆa
1ˆa
2ˆb
1ˆa
1ˆb
2질점의 위치를 나타내기 위해 기준점이 필요하듯이 강체의 자세를 나타내기 위해서도 기준 자세가 필요하다. 기준점에서 출발하여 세 축 방향으로 변위를 연속적으로 일으키면 임의의 위치에 도달할 수 있다. 이와 마찬가지로 기준자세에서 출발하여 세 축 방향으로 각변위를 연속적으로 일으키면 임의의 자세에 도달할 수 있다. 이 때 사용하는 세 각을 오일러 각이라고 부른다. 변위를 일으키는 순서는 세 축 방향으로의 어떻게 해도 상관이 없다. 즉 변위는 벡터의 성질을 갖는다. 그렇다면 각변위도 발생하는 순서에 상관없이 같을까? 만일 각변위가 벡터라면 다음 식이 성립할 것이다.
1
i ˆ
2ˆ j
2ˆ j
1i ˆ
위 식이 의미하는 바는 어떤 강체를 기준자세에서 출발시켜서 X 축에 대해서
1만큼 먼저회전시키고 다음에 Y 축에 대해
2 만큼 회전시키는 결과는 Y 축에 대해서
2 만큼회전시키고 나중에 X 축에 대해
1만큼 회전시키는 결과와 같다는 의미이다. 그러나 아래 그림에서 알 수 있듯이 각변위는 회전시키는 순서가 바뀌면 최종 결과도 달라진다. 따라서 각변위는 교환법칙이 성립하지 않고 따라서 벡터가 아니다. 따라서 자세도 벡터가 아니다.강체의 회전운동
좌측 그림에서 강체 A 에 고정된 한 점이 원운동을 하지만 이 강체는 회전하지 않는다.
좌측 그림에서 강체 B 상의 두 점이 모두 직선운동을 하지만 이 강체는 회전한다.
이상의 두 예제를 통해서 알 수 있듯이 강체가 회전운동을 하는가의 여부를 강체에 고정된 한 점이나 두 점의 운동형태를 통해 판단하는 것은 오류를 유발할 수 있다.
각속도 (Angular Velocity)
각속도는 단위시간당 강체의 자세변화를 나타내는 물리량으로 평면회전운동을 (회전방향이 일정함) 하는 경우는 아래와 같이 간단하게 구할 수 있다.
원판 D 의 각속도는 다음과 같다.
D k ˆ
그러나 3 차원 공간에서 회전운동을 (회전방향이 바뀜) 하는 강체의 각속도는 이 같은 방법 으로 얻을 수 없다. 즉, 공간회전운동을 하는 강체의 각속도는 다음과 같이 나타낼 수 없다.
A
i ˆ j ˆ k ˆ
3 2
1
물론 공간회전운동을 하는 강체의 각속도는 3 방향 성분을 갖는 벡터로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
k j
A
i ˆ ˆ ˆ
3 2
1
평면 회전운동 (Plane Motion)
질점이 양방향운동을 하는 경우 속도나 가속도를 벡터로서 표시하지 않아도 되듯이 강체가 평면운동을 하면 각속도나 각가속도는 평면에 수직인 일정 방향을 갖는 벡터이므로 벡터로 표시하지 않고 스칼라로 표시하여 서로의 관계를 구할 수 있다.
dt d
k dt d
k
A A
ˆ ˆ
또한 양방향운동의 경우와 유사하게 등각속도 운동의 경우는
t
0 x x
0 vt
또한 등각가속도 운동의 경우는
) ( 2
) (
2
2 1
2
1
0 2
0 2 0
2 0 2
2 0
0 2
0 0
0 0
x x a v v
at t v x x t
t
at v v t
위 식으로부터 양방향 운동과 평면상 회전 운동은 서로 상사성을 갖는 것을 알 수 있다.
기준틀 (Reference frames)
기준틀이란 강체와 거의 동일한 의미를 갖는다 (강체와 달리 기준틀의 개념에는 질량관련 특성이 고려될 필요가 없다). 기준틀은 보통 영문 대문자를 이용하여 나타낸다. 지구상 운동을 다룰 때 종종 지구를 공간에 고정된 기준틀로서 간주하고
N
으로 표시하는데 이를 절대기준틀 혹은 관성기준틀이라 부른다.좌표계 (Coordinate Systems)
좌표계는 공간에서 벡터의 방향과 크기를 나타내기 위해 사용하는 기준 벡터들의 집합으로 일반적으로 서로 수직인 단위벡터 집합이 사용된다. 예를 들어 (
iˆ
,jˆ
,kˆ
)나 (eˆ
t,eˆ
n,eˆ
b) 그리고 (ˆa
1,ˆa
2,ˆa
3) 등이 그것이며 이들을 이용하여 벡터는 아래와 같이 표시한다.
k u j u i u u
a v a v a v v
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
3 2 1
3 3 2 2 1 1
좌표계로는 기준틀에 고정된 서로 수직인 세 단위벡터들이 통상 사용되며 관례적으로
A
기준틀에 고정된 경우
a ˆ
1, a ˆ
2, a ˆ
3로,B
기준틀에 고정된 경우는b ˆ
1, b ˆ
2, b ˆ
3 로 표기한다.절대기준틀
N
을 위한 좌표계로는 (n ˆ
1, n ˆ
2, n ˆ
3)를 사용하거나 (i ˆ , j ˆ , k ˆ
)를 사용한다.좌표 (Coordinates)
시스템의 형태를 나타내기 위해 사용하는 스칼라 변수로 시스템 형상을 나타내는데 쓰인다.
이 때 좌표의 수가 필요한 형태 표시에 필요한 최소 수일 때 (흔히 자유도 수) 그들을 일반좌표 (Generalized coordinates) 라고 부른다. 예로서 한 질점의 공간에서의 위치를 나타내는 (
x , y , z
)나 혹은 (r , , z
) 들을 좌표라 부른다.k z j r i r
k z j y i x p
ˆ ˆ ˆ sin
cos
ˆ ˆ ˆ
앞서 설명된 대로 위 표기에서
x , y , z
는 좌표이고i ˆ , ˆ j , k ˆ
는 좌표계이다.아래 그림은
O
점에 핀 조인트로 지반N
에 고정된 강체 진자를 보여준다.
ˆa
2
ˆa
1
ˆ
2cos ˆ sin ˆ
ˆ ˆ
a L j L i L
j y i x OP
여기서
y
x,
: 좌표
: 일반좌표 (시스템 형상을 나타내기에 필요한 최소 수의 변수)j
i ˆ ˆ ,
: 고정된 좌표계a ˆ a
1, ˆ
2: 움직이는 좌표계벡터의 미분
운동학이란 형상을 갖는 시스템의 시간에 따른 변화를 분석하는 학문이라 정의할 수 있다.
따라서 형상을 나타내는데 사용되는 벡터의 미분 방법을 알아야 한다. 벡터의 시간에 대한 미분은 벡터의 시간에 따른 변화를 의미하는데 이는 관찰자의 위치에 따라서 결과가 달라지게 된다. 예를 들어 우주공간에서 본다면 지구는 자전운동을 하는 것이 관찰되겠으나 지구 상에서 보면 지구는 멈추어 있는 것처럼 보인다. 이런 이유 때문에 벡터를 미분할 때는 어떤 기준틀에 위치한 관찰자가 관찰한 변화인가를 나타내어야 하며 이것이 없을 때는 고정된 절대기준틀
N
에 대한 미분을 관례적으로 의미한다. 예로
dt p
A
d
: 기준틀 A 에서 관찰한 벡터 p
의 시간에 따른 변화
L iˆ
P
O ˆj
A
N
벡터의 표시
벡터를 미분할 경우 그 결과가 관찰자가 위치한 기준틀에 따라 달라지므로 시간에 대해 미분된 벡터 양을 표시할 때는 관찰자의 위치를 나타내야 한다. 여기서 관찰자의 위치라 하는 것은 관찰자가 어느 기준틀에 고정되어 움직이는가 하는 것을 의미하며 관찰자의 위치나 자세 등과는 아무 상관이 없다.
기준틀
A
에 위치한 관찰자가 관찰한 속도벡터를 정의하려면, 그 기준틀에 고정된 기준점에 대해 위치벡터가 먼저 정의되어야 한다. 그렇게 정해진 위치벡터를p
라고 하면, 속도벡터는 다음과 같이 정의된다.
) dt ( p v d
A P
A
가 된다기준점이 관찰자가 위치한 기준틀에 고정되므로 위치벡터
p
는 표기상에는 기준틀과 관련된 내용이 나타나지 않으나 실제로는 암시적으로 포함이 되어 있다고 볼 수 있다. 이에 반하여 속도벡터는 그를 표기할 때 기준틀 정보가 명시적으로 나타난다. 이와 유사하게 가속도 AaP
각속도 A
B 각가속도 A
B 등도 어떤 기준틀에서 관찰된 시간에 따른 변화율로 정의된 벡터들이므로 그들을 표시할 때 기준틀 정보의 표시가 필요하다. 따라서 위첨자 중 왼쪽에 위치한 것은 관찰자가 위치한 기준틀 정보를 나타내며 오른쪽에 위치한 것은 속도나 가속도의 경우는 관찰대상 점을 의미하고 각속도나 각가속도의 경우는 관찰대상 강체를 의미한다. 가속도와 각가속도는 속도와 각속도를 다음과 같이 미분하여 구한다.*
) (
) (
B A A B A
P A A P A
dt d dt v a d
점의 각속도나 강체의 속도라는 표현들은 특별한 경우가 아니면 사용하지 않아야 한다.
관찰자의 위치를 표시하지 않는 경우는 대체로 관찰자가 절대기준틀
N
에 위치하는 것을 묵시적으로 의미한다. 즉P N
P
a
a
B N
B
p
운동학 계산을 위한 네 가지 기본 정리
1. 벡터 미분 정리 (Vector differentiation theorem)
임의의 벡터
u
에 대해서 (즉,
u
는 위치, 속도, 각속도 등 모든 벡터가 될 수 있음) 임의의 기준틀 A 와 B 에 대해 다음 식이 성립한다.
A
dt u u d dt
u
d
B
A
B
이 정리를 앞으로 간략히 미분 정리라고 부르기로 한다
.
이 정리는 벡터u
가 기준틀 A 가 아닌 기준틀 B 에 고정된 좌표계를 이용하여 표시될 때 유용하게 사용될 수 있다.
예제)
ˆ
3 N A a
ˆa
1r OP
p
2 1
1 3 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
a r a r
a r a a r
dt p p d dt
p
v d
N AA N P N
예제에서 보듯이
ˆa
1은 절대기준틀 N 에 위치한 관찰자가 보면 시간에 따라 그 방향이 변화 하므로 미분 정리를 이용해 위치벡터의 미분 값을 구하면 된다. 또한, 속도가 좌표계aˆ
i로 표기되어 있으므로 그 미분 값인 가속도를 구할 때에도 미분 정리를 이용한다. 즉,2 1
3 2
1
( ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ )
ˆ
a r a r a a r r a r
dt v v d dt
v
a d
N A N PP A N P N N P N
2. 각속도 덧셈 정리 (Angular velocity addition theorem)
D C C B B A D A
C B B A C A
일반적으로
3
1 1 2 2 n-1
A
An
A
A
A
A
A
An이 정리를 앞으로 간략히 덧셈 정리라고 부르기로 한다. 이 정리는 공간상 회전운동을 하는 강체의 각속도를 구할 때 주로 사용된다.
예제)
강체 A 는 강체 N 에 대해, 그리고 강체 B 는 강체 A 에 대해 평면회전운동을 하므로
2
1
ˆ ˆ
N A
A B
a
a
덧셈 정리에 의해
1 2
ˆ ˆ
N B N A A B
a a
참고로 각가속도 덧셈 정리는 일반적으로 성립하지 않는다. 즉,
C B
C
A
B
A
각가속도 덧셈 정리가 성립하는 경우는 모든 강체들이 동일 평면 상에서 운동하는 경우이다.
즉 강체들의 회전방향이 모두 같을 경우이다.
N
3. 동일 강체에 고정된 두 점의 속도 및 가속도 관계에 관한 정리
P
점과Q
점이 동일한 강체B
에 고정된 점이라면 (이 점을 항상 주의해야 한다)( )
A Q A P A B
A Q A P A B A B A B
v v r
a a r r
centrifugal
성분tangential
성분이 정리를 앞으로 간략하게 2 점 정리라고 부르기로 한다
.
이 정리는 운동학 정리들 중에서 가장 자주 사용되는 정리이다.
4. 강체에 대해 상대운동을 하는 한 점의 속도 및 가속도에 관한 정리
P
와P
*는 관찰 순간 동일 위치에 있음.*
*
2
A P A P B P
A P A P B P A B B P
v v v
a a a v
Coriolis 성분
P
r Q
B
A
P B
A
P
* B
예제) 2 점 정리
1
*
3 3
OP ˆ
ˆ ˆ ,
a r p
a
a
AA
2 1
2
1 3 1
3 3
2 1
3
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ )
ˆ ˆ ( 0
) (
ˆ ˆ
0 ˆ
*
*
a r a r
a r a a
r a a
p p
a a
a r a r a
p v
v
A A
A O P
A O P
예제) 1 점 정리
2 1
2
1 3 1
2 1
2 1 2
) ˆ 2 ˆ (
) (
ˆ 2 ˆ
ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ
2
ˆ ˆ
*
*
a r r a r r
a r a a
r a r a r
v a
a a
a r a r
v v v
P A A P A P P
P A P P
강체의 기하학적 형상과 관련된 운동학의 문제
원판의 구름 접촉
점
ˆA
는 강체A
에 고정된 점원판
A
가 지면 위를 굴러가는 운동을 할 때, 접점ˆA
의 속도는 0 이며 가속도는jˆ
방향 성분만을 갖고iˆ
방향 성분은 갖지 않는다.<증명>
2
2
sin cos
sin cos
sin cos
cos sin
r r
y r
r r x
r y r
r y
r r x r
r x
에서 ˆA
지면
x
y
A
B
구름 접촉 (Rolling Contact)
접촉하는
A
강체에 속한 점을Aˆ
라 하고B
강체에 속한 점을Bˆ
라 할 때B
A
v
v
ˆ
ˆ즉, A
v
Bˆ 0
일 때, 두 강체는 서로 구름접촉을 하고 있다고 말한다.
두 점
Aˆ
와Bˆ
의 가속도는 앞의 디스크 예에서 보았듯이 일반적으로 서로 다르다. 그러나 위 그림에서nˆ
방향 가속도 성분은 서로 같다. 즉, 위 그림에서B n A
n
a
a
ˆ
ˆ
<증명>
1 점 정리에 의하면,
B A A N B A A N B
N
a
ˆ a
ˆ a
ˆ 2 v
ˆ따라서 두 점
Aˆ
와Bˆ
의 가속도 차가 Aa
Bˆ가 되는 것을 알 수 있다. 그런데, 위 그림에서 나타내듯이 구름접촉 시 기준틀
A
에서 관찰한Bˆ
점의 경로는 뾰족한 모양을 형성하는데 가속도 Aa
Bˆ의 성분은 경로에 접하는
tˆ
방향과 그에 수직인nˆ
방향의 성분을 갖는다.그런데 경로에 수직한
nˆ
방향 성분은, 경로가 만드는 곡률반경을
라 하면,n
v a
B A B n
A
ˆ
ˆ 2 ˆ
그런데 Av
Bˆ 0
이므로 A
a
nBˆ 0
이다.
따라서 N
a
Bˆ와 N
a
Aˆ의 차이는
