[ 코드가 맞는 수학 친구 ]
1
⑴ f{2}=0 ⑵ ① lim x ! 2 f{x}=1 ② limx ! E f{x}=E(발산) ③ lim x ! -E f{x}=-E(발산)2
⑴ lim x ! -1+ g{x}=0 ⑵ limx ! -1- g{x}=1 ⑶ x ! -1일 때, g{x}의 우극한과 좌극한이 다르므로 극한은 존재하지 않는다.3
⑴ lim x ! 2 f{x}=f{2}=2@+2\2-1=7 ⑵ lim x ! 2 g{x}=g{2}=2\2-3=1 ⑶ lim x ! 2 f{x}g{x}=f{2}g{2}=7 ⑷ g{2}=0이므로 lim x ! 2 f{x} g{x}= f{2} g{2}=74
⑴ x ! 0일 때 x@의 값은 양수이고 한없이 작아지므로 lim x ! 0 1 x@=E(발산) ⑵ x ! E일 때 x@의 값은 한없이 커지므로 lim x ! E 1 x@=0 ⑶ x ! -E일 때 x{x-1}의 값은 한없이 커지므로 lim x ! -E 1 x{x-1}=05
⑴ x ! 1일 때 (분모) ! 0, (분자) ! 0이다. lim x ! 1 x@-1 x-1=limx ! 1 {x+1}{x-1} x-1 =limx ! 1 {x+1}=2 ⑵ x ! E일 때 (분모) ! E, (분자) ! E이다. lim x ! E x+1 x = limx ! E[1+ 1x ]=1 12쪽 예제1
⑴ x#-8 x-2= {x-2}{x@+2x+4} x-2 =x@+2x+4이므로 lim x ! 2 x#-8 x-2=limx ! 2 {x@+2x+4}=2@+2\2+4=12 ⑵ x@+2x+1 x@-x-2= {x+1}@ {x+1}{x-2}= x+1 x-2이므로 lim x ! -1 x@+2x+1 x@-x-2 = limx ! -1 x+1 x-2=-30 =0 ⑶ jx+4l-2 j2x ={jx+4l-2}{jx+4l+2}j2x{jx+4l+2} = {x+4}-4 j2x{jx+4l+2}=j2{jx+4l+2}1 이므로 lim x ! 0 j x+4l-2 j2x =limx ! 0 1 j2{jx+4l+2} = 1 j2{j4+2}=41j2= j28 유제1-1
⑴ {x-1}#+1 x = {x#-3x@+3x-1}+1 x =x@-3x+3 이므로 lim x ! 0 {x-1}#+1 x =limx ! 0 {x@-3x+3}=3 ⑵ x#-x@-3x-1 x#+1 = {x+1}{x@-2x-1} {x+1}{x@-x+1} =x@-2x-1 x@-x+1 이므로 lim x ! -1 x#-x@-3x-1 x#+1 = limx ! -1 x@-2x-1 x@-x+1= 2 3 유제1-2
⑴ x@-1 jx+3l-2 ={jx+3l-2}{jx+3l+2}{x@-1}{jx+3l+2} ={x-1}{x+1}{x-1jx+3l+2} ={x+1}{jx+3l+2} 이므로 lim x ! 1 x@-1 jx+3l-2=limx ! 1 9{x+1}{jx+3l+2}0=8 ⑵ jx@-3x-2l-1 = {x@-3}-1 {x-2}{jx@-3l+1}={x-2}{jx@-3l+1}{x+2}{x-2} = x+2 jx@-3l+1 이므로 lim x ! 2 j x@-3l-1 x-2 =limx ! 2 x+2 jx@-3l+1=42=2 13쪽 예제2
⑴ 분모의 최고차항 x@으로 분모, 분자를 나누면 lim x ! E 2x@+4x 3x@+1= limx ! E 2+4x 3+1 x@ =23 11쪽 개념 확인01
함수의 극한
01
함수의 극한과 연속
⑵ 분모의 최고차항 x#으로 분모, 분자를 나누면 lim x ! E 3x@-x x#+1 = limx ! E 3 x-x@1 1+1 x# =0 1=0 ⑶ 분모의 최고차항 x로 분모, 분자를 나누면 x>0이므로 lim x ! E x 1x@+13+2x =x lim! E 1 q1+x@ e1+2 = 1 j1+2 =13 ⑷ x=-t로 놓으면 x ! -E일 때 t ! E이고 t>0이므로 lim x ! -E 1 x@+13-2x x =limt ! E 1 t@+13+2t -t =lim t ! E q1+t@ e1+2 -1 = j 1+2 -1 =-3 유제
2-1
⑴ 분모의 최고차항 x#으로 분모, 분자를 나누면 lim x ! E 2x#-x+3 5x#+2x@ = limx ! E 2-1 x@+ 3 x# 5+x2 =25 ⑵ 분모의 최고차항 x#으로 분모, 분자를 나누면 lim x ! E x@+x-4 2x#-1 = limx ! E 1 x+ 1 x@ -4 x# 2-1 x# =02=0 ⑶ 2x@[ 1 x+3 -1 x-3 ]=2x@\ {x-3}-{x+3} x@-9 = -12x@ x@-9 이므로 (주어진 식) =lim x ! E -12x@ x@-9 = limx ! E -12 1-9 x@ =-12 유제2-2
⑴ 분모의 최고차항 x로 분모, 분자를 나누면 x>0이므로 lim x ! E 1 2x@-53+x x = limx ! E q2-x@ e5+1 1 =j2+1 ⑵ x=-t로 놓으면 x ! -E일 때 t ! E이고 t>0이므로 lim x ! -E x 12x@+3x3+x =limt ! E -t 12t@-3t3-t =lim t ! E -1 q2-3t e-1 = -1 j2-1 =-j2-1 14쪽 예제3
⑴ x ! 0-일 때 x{x-1}의 값은 양수이고 한없이 작아지므로 lim x ! 0-1 x{x-1}=E(발산) ⑵ 1 x [ 1 x-1+1]= 1x\ 1+x-1 x-1 = 1 x-1이므로 lim x ! 0 1 x [ 1 x-1+1]=limx ! 0 1 x-1=-1 ⑶ x#으로 묶어내면 lim x ! E {x#-4x@+1}=limx ! E x#[1- 4x+ 1 x#]=E(발산) ⑷ 1x@+2x3-x = {1x@+2x3-x}{1x@+2x3+x} 1x@+2x3+x ={x@+2x}-x@ 1x@+2x3+x = 2x 1x@+2x3+x 이므로 lim x ! E {1x@+2x3-x} =limx ! E 2x 1x@+2x3+x = lim x ! E 2 q1+2x e+1 =1+1 =12 유제3-1
⑴ x ! 0+일 때 x{x-1}의 값은 음수이고 절댓값 이 한없이 작아지므로 lim x ! 0+ 1 x{x-1}=-E(발산) ⑵ x ! 1+일 때 x{x-1}의 값은 양수이고 한없이 작아지므로 lim x ! 1+ 1 x{x-1}=E(발산) ⑶ x ! 1-일 때 x{x-1}의 값은 음수이고 절댓값이 한없이 작 아지므로 lim x ! 1-1 x{x-1}=-E(발산) 유제3-2
⑴ x+2 [1 2+x ]4 =x+21 \2x+4x =2x 이므로 lim x ! -2 1 x+2 [2+x ]4 = limx ! -2 2 x=-1 ⑵ 1 x@[ 1x-1+1]= 1x@\ 1+x-1 x-1 = 1 x{x-1}이고, x ! 0+이면 x{x-1}의 값은 음수이고 절댓값이 한없이 작 아지므로 lim x ! 0+ 1 x@[ 1x-1+1]= limx ! 0+ 1 x{x-1}=-E(발산) 유제3-3
⑴ x#으로 묶어내면 lim x ! -E{x#-4x@+1} = limx ! -Ex#[1- 4x+ 1 x#] =-E(발산) ⑵ 1x@+4x+23-1x@-2x-13 1 로 놓고 분모, 분자에 1x@+4x+23+1x@-2x-13을 곱하면 {x@+4x+2}-{x@-2x-1} 1x@+4x+23+1x@-2x-13 = 6x+3 1x@+4x+23+1x@-2x-13 이므로lim x ! E {1x@+4x+23-1x@-2x-13} =lim x ! E 6x+3 1x@+4x+23+1x@-2x-13 =lim x ! E 6+3x q1+4x+2 x@ e+ q1-2 x-x@ e1 = 6 1+1=3 15쪽 예제
4
⑴ lim x ! 1+ x@-1 |x-1|= limx ! 1+ x@-1 x-1= limx ! 1+ {x+1}=2 lim x ! 1-x@-1 |x-1| =x lim! 1-x@-1 -{x-1}= limx ! 1- 9-{x+1}0=-2 우극한과 좌극한이 다르므로 극한이 존재하지 않는다. ⑵ 1<x<2일 때, [x]=1이므로 lim x ! 1+ [x]=x lim! 1+ 1=1 0<x<1일 때, [x]=0이므로 lim x ! 1- [x]=x lim! 1- 0=0 우극한과 좌극한이 다르므로 극한이 존재하지 않는다. ⑶ lim x ! 2+ f{x}=2, x lim! 2- f{x}=1 ! lim x ! 2+ xf{x}=2\2=4, x lim! 2- xf{x}=2\1=2 우극한과 좌극한이 다르므로 lim x ! 2 xf{x}는 극한이 존재하 지 않는다. @ lim x ! 2+ {x-2}f{x}=0\2=0 lim x ! 2- {x-2}f{x}=0\1=0 / lim x ! 2 {x-2}f{x}=0 유제4-1
⑴ x ! 0일 때 |x|의 값은 양수이고 한없이 작아지 므로 lim x ! 0 1 |x|=E(발산) ⑵ lim x ! 0+ x |x|= limx ! 0+ x x= limx ! 0+ 1=1 lim x ! 0-x |x|= limx ! 0-x -x= limx ! 0- {-1}=-1 우극한과 좌극한이 다르므로 극한이 존재하지 않는다. note ⑴의 그래프는 [그림 1]과 같고, ⑵에서 f{x}=|x|x {x=0}이라 하면 f{x}=- 1 {x>0} -1 {x<0}이므로 그래프는 [그림 2]와 같다. O x y 1 |x| y=\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ O x y x |x| y=\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ -1 1 [그림 1] [그림 2] ⑶ lim x ! 0+ x@ |x|= limx ! 0+ x@ x= limx ! 0+ x=0 lim x ! 0-x@ |x|= limx ! 0-x@ -x= limx ! 0- {-x}=0 / lim x ! 0 x@ |x|=0 note f{x}= x@ |x| {x=0}이라 하면 f{x}=- x {x>0}-x {x<0} 유제4-2
⑴ 2<x<3일 때, [x-2]=0이므로 lim x ! 2+ [x-2]=x lim! 2+ 0=0 1<x<2일 때, [x-2]=-1이므로 lim x ! 2- [x-2]=x lim! 2-{-1}=-1 우극한과 좌극한이 다르므로 극한이 존재하지 않는다. ⑵ lim x ! 2+ [x-2]{x-2}=0\0=0 lim x ! 2- [x-2]{x-2}={-1}\0=0 / lim x ! 2 [x-2]{x-2}=0 유제4-3
lim x ! 1+ f{x}=0, limx ! 1+ g{x}=-1이므로 lim x ! 1+ f{x}g{x}=0\{-1}=0 lim x ! 1- f{x}=-1, x lim! 1- g{x}=0이므로 lim x ! 1- f{x}g{x}={-1}\0=0 / lim x ! 1 f{x}g{x}=0 16쪽 예제5
⑴ x ! 1일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. 곧, 1+a+b=0 / b=-a-1 이때 x@+ax+b=x@+ax-a-1={x-1}{x+a+1} 이므로 lim x ! 1 x@+ax+b x@-1 =limx ! 1 {x-1}{x+a+1} {x-1}{x+1} =lim x ! 1 x+a+1 x+1 = a+2 2 곧, a+2 2 =3 / a=4, b=-5 ⑵ x ! -1일 때 (분자) ! 0이고 극한값이 0이 아니므로 (분모) ! 0이다. 곧, j-1+2l+a=0 / a=-1 이때 lim x ! -1 x+1 jx+2l+a =x lim! -1 x+1 jx+2l-1= lim x ! -1 {x+1}{jx+2l+1} {x+2}-1 = lim x ! -1 {jx+2l+1}=2 / b=2 유제
5-1
⑴ x ! -2일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. 곧, {-2}@+a=0 / a=-4 이때 lim x ! -2 x@+a x@+x-2 =x lim! -2 x@-4 x@+x-2 = lim x ! -2 {x+2}{x-2} {x+2}{x-1} = lim x ! -2 x-2 x-1 = 4 3 / b=4 3 ⑵ x ! 0일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. 곧, ja+b=0 / b=-ja 이때 lim x ! 0 j x+al+b 2x =limx ! 0 j x+al-ja 2x =lim x ! 0 x+a-a 2x{jx+al+ja} =lim x ! 0 1 2{jx+al+ja}=4ja k1 곧, 1 4ja k= 3 4, ja k= 13 / a= 1 9, b=-1 3 유제5-2
x ! 2일 때 (분자) ! 0이고 극한값이 0이 아니므로 (분모) ! 0이다. 곧, 2@+2a+b=0 / b=-2a-4 이때 x@+ax+b=x@+ax-2a-4={x-2}{x+a+2}이므로 lim x ! 2 x#-2x@ x@+ax+b =limx ! 2 x@{x-2} {x-2}{x+a+2} =lim x ! 2 x@ x+a+2= 4 a+4 곧, 4a+4=2, a+4=2 / a=-2, b=0
17쪽 예제
6
⑴ lim x ! E f{x} x@-1=3이므로 f{x}는 이차함수이고 x@의 계수는 3이다. 따라서 f{x}=3x@+ax+b로 놓을 수 있다. lim x ! -1 f{x} x@-1=3에서 x ! -1일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. 곧, f{-1}=0이므로 3-a+b=0 / b=a-3 이때 f{x}=3x@+ax+a-3={x+1}{3x+a-3}이므로 lim x ! -1 f{x} x@-1 =x lim! -1 {x+1}{3x+a-3} {x+1}{x-1} = lim x ! -1 3x+a-3 x-1 = a-6 -2 곧, a-6 -2=3이므로 a=0, b=-3 / f{x}=3x@-3 ⑵ lim x ! 1 f{x} x-1 =-2 yy ①, limx ! 3 f{x} x-3=6 yy ② ①에서 x ! 1일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. / f{1}=0 ②에서 x ! 3일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. / f{3}=0 따라서 f{x}={x-1}{x-3}Q{x} (Q{x}는 다항식)으로 놓을 수 있다. ①에 대입하면 lim x ! 1 {x-3}Q{x}=-2이므로 -2Q{1}=-2 / Q{1}=1 ②에 대입하면 lim x ! 3 {x-1}Q{x}=6이므로 2Q{3}=6 / Q{3}=3 Q{1}=1, Q{3}=3이고 차수가 가장 낮은 다항식 Q{x}는 일차식이므로 Q{x}=ax+b라 하자. Q{1}=1이므로 a+b=1, Q{3}=3이므로 3a+b=3 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=0 Q{x}=x이므로 f{x}=x{x-1}{x-3} 유제6-1
lim x ! E f{x}-3x# x@ =2 yy ① lim x ! 0 f{x} x =2 yy ② ①에서 f{x}-3x#은 이차함수이므로 f{x}=3x#+ax@+bx+c로 놓으면 lim x ! E f{x}-3x# x@ =x lim! E ax@+bx+c x@ = lim x ! E a+x +b c x@ 1 =a / a=2 ②에서 x ! 0일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. 곧, f{0}=0이므로 c=0 이때 lim x ! 0 f{x} x =limx ! 0 3x#+2x@+bx x =limx ! 0 {3x@+2x+b}=b 곧, b=2이므로 f{x}=3x#+2x@+2x 유제
6-2
lim x ! 0 f{x} x =2 yy ①, limx ! -1 f{x} x+1=1 yy ② ①에서 x ! 0일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. / f{0}=0②에서 x ! -1일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. / f{-1}=0 곧, f{x}=x{x+1}Q{x} (Q{x}는 다항식)으로 놓을 수 있다. ①에 대입하면 lim x ! 0 {x+1}Q{x}=2 / Q{0}=2 ②에 대입하면 lim x ! -1 xQ{x}=1 / Q{-1}=-1 Q{0}=2, Q{-1}=-1이고 차수가 가장 낮은 다항식 Q{x}는 일차식이므로 Q{x}=ax+b라 하자. Q{0}=2이므로 b=2 / Q{x}=ax+2 Q{-1}=-1이므로 -a+2=-1 / a=3 Q{x}=3x+2이므로 f{x}=x{x+1}{3x+2} 18쪽 예제
7
⑴ x가 충분히 클 때 2x@-1>0이므로 x@-2x<f{x}<x@+3x의 각 변을 2x@-1로 나누면 x@-2x 2x@-1< f{x} 2x@-1< x@+3x 2x@-1 이때 lim x ! E x@-2x 2x@-1= limx ! E 1-x2 2-1 x@ =12 lim x ! E x@+3x 2x@-1= limx ! E 1+x3 2-1 x@ =12 이므로 1 2< limx ! E f{x} 2x@-1< 12 / x lim! E f{x} 2x@-1= 1 2 ⑵ f{x}-g{x}=h{x}라 하면 g{x}=f{x}-h{x}이므로 lim x ! E f{x}-2g{x} f{x}+g{x} =limx ! E f{x}-29 f{x}-h{x}0 f{x}+9 f{x}-h{x}0 = lim x ! E -f{x}+2h{x} 2f{x}-h{x} = lim x ! E -1+2h{x} f{x} 2-h{x} f{x} 이때 limx ! E f{x}=E, limx ! E h{x}=2이므로 limx ! E h{x} f{x}=0 / lim x ! E f{x}-2g{x} f{x}+g{x} =-1 2 유제
7-1
{2x-1}@<9 f{x}0@<{2x+5}@ 이므로 x의 값이 충분히 크면 4x@-4x+1 3x@+4x-1< 9 f{x}0@ 3x@+4x-1< 4x@+20x+253x@+4x-1 이때 lim x ! E 4x@-4x+1 3x@+4x-1= 4 3, x lim! E 4x@+20x+25 3x@+4x-1 = 4 3이므로 4 3< limx ! E 9 f{x}0@ 3x@+4x-1< 43 / x lim! E 9 f{x}0@ 3x@+4x-1= 43 유제7-2
f{x}+g{x}1-g{x} =h{x}라 하면 f{x}+g{x}=h{x}91-g{x}0 91+h{x}0g{x}=h{x}-f{x} / g{x}=h{x}-f{x} 1+h{x} lim x ! 3 f{x}=3, limx ! 3 h{x}=2이므로 lim x ! 3 g{x}=limx ! 3 h{x}-f{x} 1+h{x} =2-31+2=-13 note x=3에서 g{x}의 극한이 존재함을 알 수 있으면 lim x ! 3 g{x}=a로 놓고 다음과 같이 풀 수 있다. lim x ! 3 f{x}+g{x} 1-g{x} = 3+a 1-a=2 / a=-1 30
1
lim x ! 1 f{x}, limx ! 1 g{x}가 존재하므로 ⑴ lim x ! 1 9 f{x}+g{x}0 =limx ! 1 f{x}+limx ! 1 g{x} =2+{-1}=1 ⑵ lim x ! 1 92f{x}-3g{x}0 =2limx ! 1 f{x}-3limx ! 1 g{x} =2\2-3\{-1}=7 ⑶ lim x ! 1 f{x}g{x}=limx ! 1 f{x}\limx ! 1 g{x}=2\{-1}=-20
2
⑴ x@+7x-18 x-2 = {x+9}{x-2} x-2 =x+9이므로 lim x ! 2 x@+7x-18 x-2 =limx ! 2 {x+9}=11 ⑵ j1+xk-j1-xk x = {1+x}-{1-x} x{j1+xk+j1-xk} = 2 j1+xk+j1-xk 이므로 lim x ! 0 j 1+xk-j1-xk x =limx ! 0 2 j1+xk+j1-xk=10
1
⑴ 1 ⑵ 7 ⑶ -20
2
⑴ 11 ⑵ 1 ⑶ -16 ⑷ 1 -2 ⑸ 0 ⑹ 20
3
10
4
①0
5
⑤0
6
⑤0
7
⑴ 1 ⑵ -60
8
⑤0
9
⑴ 존재하지 않는다. ⑵ 존재하지 않는다. ⑶ 010
⑴ -3 4 ⑵ 1 3011
①, ④12
③13
f{x}=x#-2x@-11x+2414
415
-1116
③17
j2 19~21쪽 연습 문제⑶ 1 x-3 [ 1 x+1 -1 4 ] = 1 x-3\ 4-x-1 4{x+1} =-1 4{x+1} 이므로 lim x ! 3 1 x-3 [ 1 x+1 -1 4 ] =limx ! 3 --1 4{x+1}==- 116 ⑷ 분모의 최고차항 x@으로 분모, 분자를 나누면 lim x ! E -4x@+3x-1 2x@+5x-2 =x lim! E -4+3x-1 x@ 2+x5-2 x@ =-2 ⑸ j2x+3l-j2x-1l ={2x+3}-{2x-1} j2x+3l+j2x-1l = 4 j2x+3l+j2x-1l 이므로 lim x ! E {j2x+3l-j2x-1l} = limx ! E 4 j2x+3l+j2x-1l =0 ⑹ x=-t로 놓으면 x ! -E일 때 t ! E이고 t>0이므로 lim x ! -E x-jx@-1k x+1 =limt ! E -t-jt@-1k -t+1 =lim t ! E -1-q1-1 t@ e -1+1 t =2 다른 풀이 x ! -E이면 x<0이므로 1x 1x@-13=-r x@-1 x@ y=-q1- 1x@e 곧, 분모의 최고차항 x로 분모, 분자를 나누면 lim x ! -E x-jx@-1k x+1 =x lim! -E 1+q1-x@ e1 1+x1 =2
0
3
x>1일 때, f{x}=ax이므로 lim x ! 1+ f{x}=x lim! 1+ ax=a x<1일 때, f{x}=x@-x+1이므로 lim x ! 1- f{x}=x lim! 1- {x@-x+1}=1 lim x ! 1+ f{x}=x lim! 1- f{x}이므로 a=10
4
lim x ! 0 x+f{x} x-f{x}=limx ! 0 1+ f{x}x 1- f{x}x =1+31-3=-20
5
lim x ! E f{x} 2x-1=-3이므로 f{x}는 일차함수이다. 따라서 f{x}=ax+b로 놓을 수 있다. 이때 lim x ! E ax+b 2x-1= limx ! E a+xb 2-x1 =a 2이므로 a 2=-3, a=-6 / f{x}=-6x+b lim x ! 0 f{x}=4에서 f{0}=4이므로 b=4 f{x}=-6x+4이므로 f{-1}=-6\{-1}+4=100
6
주어진 그림에서 lim x ! 1- f{x}=-1 1-x=t로 놓으면 x ! 1-일 때 t ! 0+이므로 lim x ! 1- f{1-x}=t lim! 0+ f{t}=-2 / lim x ! 1- f{x}f{1-x}={-1}\{-2}=20
7
가우스 기호, 절댓값 기호가 있으면 우극한, 좌극한을 생각한다. ⑴ 2<x<3일 때, [x]=2, [x+2]=4이므로 lim x ! 2+ [x]@+[x]-2 [x+2] = 4+2-2 4 =1 note x ! 2-이면 lim x ! 2-[x]@+[x]-2 [x+2] = 1+1-2 3 =0 ⑵ lim x ! 2-x@+2x-8 |x-2| =x lim! 2-{x+4}{x-2} -{x-2} = lim x ! 2- 9-{x+4}0=-60
8
식을 먼저 인수분해한 후 약분한다. 8{x$-1} {x@-1}f{x}= 8{x@+1}{x@-1} {x@-1}f{x} = 8{x@+1} f{x} 이므로 lim x ! 1 8{x$-1} {x@-1}f{x}=1에서 lim x ! 1 8{x@+1} f{x} =1, 16 f{1}=1 / f{1}=160
9
우극한, 좌극한을 나누어 생각한다. ⑴ lim x ! 1+ xf{x}=1\1=1, x lim! 1- xf{x}=1\2=2 따라서 극한이 존재하지 않는다. ⑵ lim x ! -1+ xf{x}={-1}\{-2}=2 lim x ! -1- xf{x}={-1}\{-1}=1 따라서 극한이 존재하지 않는다. ⑶ lim x ! 0+ xf{x}=0\1=0, x lim! 0- xf{x}=0\{-1}=0 / lim x ! 0 xf{x}=010
⑴ 00 꼴의 극한이 아니다. ⑵ lim x ! 2 f{x}-3 x-2 =5를 이용할 수 있는 꼴로 변형한다. x ! 2일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. 곧, lim x ! 2 f{x}=3 ⑴ lim x ! 0 f{x+2}=limx ! 2 f{x}=3이므로 lim x ! 0 f{x+2} x@-4 =-3 4 ⑵ lim x ! 2 x-2 9 f{x}0@-9 =limx ! 2 x-2 9 f{x}-309 f{x}+30 =lim x ! 2- x-2 f{x}-3\ f{x}+31 = = 1 5\ 13+3= 13011
함수의 극한의 기본 성질을 이용한다. ① 극한의 성질에서 lim x ! a 9 f{x}+g{x}0+limx ! a 9 f{x}-g{x}0 =lim x ! a 9 f{x}+g{x}+f{x}-g{x}0 =lim x ! a 92 f{x}0=2limx ! a f{x} 이므로 lim x ! a f{x}가 존재한다. 또 lim x ! a 9 f{x}+g{x}0-limx ! a 9 f{x}-g{x}0=2 limx ! a g{x} 이므로 lim x ! a g{x}가 존재한다. (참) ② f{x}=x, g{x}=x1이라 하면 lim x ! 0 f{x}g{x}=limx ! 0[x\ 1x ]=1이지만 limx ! 0 g{x}는 존재하 지 않는다. (거짓) ③ f{x}=x, g{x}=1 x이라 하면 lim x ! 0 f{x}=0, limx ! 0 f{x} g{x}=limx ! 0 x@=0이지만 limx ! 0 g{x}는 존 재하지 않는다. (거짓) ④ 극한의 성질에서 lim x ! a g{x}\limx ! a f{x} g{x} =limx ! a- g{x}\ f{x} g{x}= =lim x ! a f{x} 이므로 lim x ! a f{x}는 존재한다. (참) ⑤ f{x}=1, g{x}=- x@+1 {x=0} 2 {x=0}이면 f{x}<g{x}이지만 lim x ! 0 f{x}=limx ! 0 g{x}=1이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ①, ④이다.12
극한이 존재하고, x ! 1일 때 (분모) ! 0이면 (분자) ! 0이다. x ! 1일 때 (분모) ! 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ! 0이다. 곧, a+b=0 / b=-a yy ① 이때 lim x ! 1 ax+b jx+1l-j2 =limx ! 1 a{x-1} jx+1l-j2 =lim x ! 1 a{x-1}{jx+1l+j2} x+1-2 =lim x ! 1 a{jx+1l+j2}=2j2a 곧, 2j2a=2j2 / a=1 ①에 대입하면 b=-1 / ab=-113
f{x}-x#의 차수와 최고차항의 계수부터 정한다. lim x ! E f{x}-x# x@+2x =-2 yy ①, limx ! 3 f{x} x@-2x-3=1 yy ② ①에서 f{x}-x#=-2x@+ax+b로 놓을 수 있다. / f{x}=x#-2x@+ax+b ②에서 lim x ! 3 f{x} {x+1}{x-3}=1이고 x ! 3일 때 (분모) ! 0이 므로 (분자) ! 0이다. 곧, f{3}=0이므로 f{3}=27-18+3a+b=0 / b=-3a-9 yy ③ 이때 f{x}=x#-2x@+ax-3a-9={x-3}{x@+x+a+3} 이므로 lim x ! 3 f{x} x@-2x-3 =limx ! 3 {x-3}{x@+x+a+3} {x+1}{x-3} =lim x ! 3 x@+x+a+3 x+1 = a+15 4 곧, a+15 4 =1 / a=-11 ③에 대입하면 b=24 / f{x}=x#-2x@-11x+2414
f{x}<g{x} lim x ! s f{x}< limx ! s g{x} 3x@-8x+4={3x-2}{x-2} 5x@-16x+12={5x-6}{x-2} ! x>2일 때, 주어진 부등식의 각 변을 x-2로 나누면 3x-2< f{x} x-2<5x-6 lim x ! 2+{3x-2}=4, limx ! 2+{5x-6}=4이므로 4<lim x ! 2+ f{x} x-2<4 / limx ! 2+ f{x} x-2=4 @ x<2일 때, 주어진 부등식의 각 변을 x-2로 나누면 3x-2> f{x} x-2>5x-6 lim x ! 2-{3x-2}=4, limx ! 2-{5x-6}=4이므로 4>lim x ! 2- f{x} x-2>4 / limx ! f{x} x-2=4 !, @에서 lim x ! 2 f{x} x-2=415
lim x ! 2 f{x}=E이므로 f{x}로 분모, 분자를 나눈다. lim x ! 2 2f{x}-3g{x} f{x} =0에서 limx ! 2-2-3\ g{x} f{x}==0 2-3\g{x} f{x}=h{x}로 놓으면 limx ! 2 h{x}=0이고 g{x} f{x}= 2-h{x} 3 이므로 lim x ! 2 g{x} f{x}=limx ! 2 2-h{x} 3 = 2 3 / lim x ! 2 f{x}+4g{x} f{x}-2g{x} =limx ! 2 1+4\g{x} f{x} 1-2\g{x} f{x} = 1+4\23 1-2\23 = 11 3 -13 =-1116
수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1이다. 직선 PQ는 직선 y=x+1과 수직이므로 기울기는 -1이고 점 P{t, t+1}을 지난다.따라서 직선 PQ의 방정식은 y-{t+1}=-{x-t} / y=-x+2t+1 곧, Q{0, 2t+1}이므로 APZ @={t+1}@+{t+1}@=2t@+4t+2 AQZ @={0+1}@+{2t+1}@=4t@+4t+2 / lim t ! E AQZ @ APZ @ =limt ! E 4t@+4t+2 2t@+4t+2 =lim t ! E 4+4t+2 t@ 2+4t+2 t@ =2
17
원점과 원의 중심 사이의 거리를 이용한다. 주어진 원의 반지름의 길이를 r, 중심을 C라 하면 r는 C[a, a+ 1a ]과 직선 y=x, 곧 x-y=0 사이의 거리이므로r =|a-[a+ 1a ]| 11@+{-1}@3 = |- 1a | j2 = j2a2 {? a>0} 오른쪽 그림에서 원점 O와 원 위의 x y y=x O r f{a} C[a, a+a!] D 점 사이의 거리의 최솟값 f{a}는 ODZ=OCZ-r이므로 f{a} =OCZ-r =ra@+[a+ 1 a ]@y- j 2 2a =r2a@+2+ 1 a@ y- j 2 2a / lim a ! E f{a} a =a lim! E r2a@+2+a@ y1- j2a2 a = lim a ! E[r2+ 2a@+ 1 a$ y- j 2 2a@ ]=j2
1
⑴ 9x|-3<x<50 ⑵ 9x|4<x<100 ⑶ 9x|x<30 ⑷ 9x|x>202
② lim x ! b f{x}가 존재하지 않는다. ③ lim x ! c f{x}=f{c}이다. ④ x=d에서 정의되지 않는다. 따라서 주어진 x의 값에서 연속인 것은 ①, ⑤이다. 25쪽 개념 확인02
연속함수
3
⑴ lim x ! 1 f{x}=limx ! 1 x@-1 x-1=limx ! 1 {x+1}=2 f{1}=2 따라서 f{x}는 x=1에서 연속이다. ⑵ lim x ! 1+ f{x}=x lim! 1+ x-1 x-1=1 lim x ! 1- f{x}=x lim! 1--{x-1} x-1 =-1 따라서 lim x ! 1 f{x}가 존재하지 않으므로 f{x}는 x=1에서 불연속이다.4
⑴ 모든 실수에서 연속이므로 {-E, E} ⑵ 분모가 0이 아닌 모든 실수에서 연속이다. 곧, x=-2이므로 {-E, -2}6{-2, E} ⑶ 근호 안이 음이 아닌 모든 실수에서 연속이므로 x@-1>0 곧, x>1 또는 x<-1이므로 {-E, -1]6[1, E}5
f{-1}=-1-2-3=-6, f{1}=1+2-3=0이므로 f{-1}<-3<f{1} 또 f{x}는 구간 [-1, 1]에서 연속이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 f{c}=-3인 c가 구간 {-1, 1}에 적어도 하나 존재한다. 26쪽 예제8
⑴ 1<x<2일 때, [x]=1이므로 lim x ! 1+ f{x}=x lim! 1+ {x-[x]}=1-1=0 0<x<1일 때, [x]=0이므로 lim x ! 1- f{x}=x lim! 1- {x-[x]}=1-0=1 따라서 lim x ! 1 f{x}가 존재하지 않으므로 f{x}는 x=1에서 불연속이다. ⑵ 연속인 구간이 {-E, 3}6{3, E}이므로 f{x}의 분모가 0이 되는 x의 값은 3뿐이다. 곧, x@+ax+b=0의 해는 x=3뿐이다. / x@+ax+b={x-3}@=x@-6x+9 / a=-6, b=9 ⑶ x=-1일 때, f{x}=x@+5x+a x+1 곧, f{x}는 x=-1에서 연속이다. 그런데 f{x}는 모든 실수에서 연속이므로 x=-1에서도 연 속이다. / lim x ! -1 x@+5x+a x+1 =f{-1} yy ①x ! -1일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. 곧, 1-5+a=0 / a=4 ①에 대입하면 f{-1} = lim x ! -1 x@+5x+4 x+1 = limx ! -1 {x+1}{x+4} x+1 = lim x ! -1 {x+4}=3 유제
8-1
⑴ -1<x<0일 때, x O y y=[x] 2 3 1 -1 -1 1 2 y=-1 0<x<1일 때, y=0 1<x<2일 때, y=1 2<x<3일 때, y=2 따라서 불연속인 x의 값은 0, 1, 2이다. ⑵ -1<x<0일 때, y=-x x O y 2 3 1 -1 2 1 4 6 y=x[x] 0<x<1일 때, y=0 1<x<2일 때, y=x 2<x<3일 때, y=2x 따라서 불연속인 x의 값은 1, 2이다. note 불연속인 점은 그래프를 그려서 찾아도 된다. 유제8-2
f{x}는 x=1에서 연속이다. 그런데 f{x}는 모든 실수에서 연속이므로 x=1에서도 연속이다. / lim x ! 1 x@+a x-1=b yy ① x ! 1일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. 곧, 1+a=0 / a=-1 ①에 대입하면 lim x ! 1 x@-1 x-1=limx ! 1 {x+1}=2 / b=2 유제8-3
x>0에서 x=2일 때 f{x}= jx k+ax-2 이고, f{x}는 연속이다. 그런데 f{x}는 x>0인 모든 실수에서 연속이므로 x=2에서도 연속이다. / lim x ! 2 j x k+a x-2 =f{2} yy ① x ! 2일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. 곧, j2+a=0 / a=-j2 ①에 대입하면 f{2} =lim x ! 2 j x k-j2 x-2 =lim x ! 2 x-2 {x-2}{jx k+j2} =lim x ! 2 1` jx k+j2=21`j2= j 2 4 27쪽 예제9
⑴ x ! 0+일 때 {2-x} ! 2-이므로 lim x ! 0+ f{2-x}=t lim! 2- f{t}=-1 / lim x ! 0+ f{x}f{2-x}=1\{-1}=-1 yy ① x ! 0-일 때 {2-x} ! 2+이므로 lim x ! 0- f{2-x}=t lim! 2+ f{t}=1 / lim x ! 0- f{x}f{2-x}={-1}\1=-1 yy ② ①, ②에서 lim x ! 0 f{x}f{2-x}=-1 한편 f{0}f{2-0}={-1}\1=-1 따라서 f{x}f{2-x}는 x=0에서 연속이다. ⑵ g{x}=x@+ax+b라 하자. ! f{x}g{x}가 x=0에서 연속이므로 lim x ! 0 f{x}g{x}=f{0}g{0}이다. lim x ! 0+ f{x}g{x}=1\b=b lim x ! 0- f{x}g{x}={-1}\b=-b f{0}g{0}={-1}\b=-b 곧, b=-b / b=0 @ g{x}=x@+ax이고 f{x}g{x}가 x=2에서 연속이므로 lim x ! 2 f{x}g{x}=f{2}g{2}이다. lim x ! 2+ f{x}g{x}=1\{4+2a}=4+2a lim x ! 2- f{x}g{x}={-1}\{4+2a}=-4-2a f{2}g{2}=1\{4+2a}=4+2a 곧, 4+2a=-4-2a / a=-2 !, @에서 g{x}=x@-2x 유제9-1
⑴ lim x ! 1+ 9 f{x}0@={-1}@=1, limx ! 1- 9 f{x}0@=1@=1 이므로 lim x ! 1 9 f{x}0@=1 9 f{1}0@={-1}@=1이므로 x=1에서 연속이다. ⑵ ! x ! 1+일 때 -x ! -1-이므로 lim x ! 1+ f{-x}=t ! -1-lim f{t}=1 또 lim x ! 1+ f{x}=-1 / lim x ! 1+ f{x}f{-x}={-1}\1=-1 @ x ! 1-일 때 -x ! -1+이므로 lim x ! 1- f{-x}=t ! -1+lim f{t}=-1 또 lim x ! 1- f{x}=1 / lim x ! 1- f{x}f{-x}=1\{-1}=-1 !, @에서 lim x ! 1 f{x}f{-x}=-1 한편 f{1}f{-1}={-1}\{-1}=1 따라서 f{x}f{-x}는 x=1에서 불연속이다.유제
9-2
f{x}, g{x}는 x=-1, x=1에서 연속이므로 f{x}g{x}도 x=-1, x=1에서 연속이다. ! lim x ! -1+ f{x}g{x}={-1}\1=-1 lim x ! -1- f{x}g{x}={-1}\{-1}=1 이므로 lim x ! -1 f{x}g{x}가 존재하지 않는다. 따라서 x=-1에서 f{x}g{x}는 불연속이다. @ lim x ! 1+ f{x}g{x}=1\1=1 lim x ! 1- f{x}g{x}={-1}\{-1}=1 이므로 lim x ! 1 f{x}g{x}=1 한편 f{1}g{1}=1\{-1}=-1 따라서 f{x}g{x}는 x=1에서 불연속이다. !, @에서 불연속인 x의 값은 -1, 1이다. 28쪽 예제10
① f{x}는 구간 [0, 5]에서 연속이므로 최댓값과 최솟값을 반드 시 가진다. (참) ② f{x}는 x=1에서 불연속이므로 구간 [0, 3]에서 최대, 최소 정리를 이용할 수 없다. 또 limx ! 1+ f{x}=-E, limx ! 1- f{x}=E이므로 구간 [0, 3]에 서 최댓값과 최솟값을 갖지 않는다. (거짓) ③ f{x}=2x#+x@-5라 하면 f{x}는 구간 [1, 2]에서 연속이 고 f{1}<0, f{2}>0이다. 곧, f{x}=0은 구간 [1, 2]에서 적어도 한 개의 실근을 가진다. (참) ④ f{x}가 구간 [-2, 3]에서 연속이라는 조건이 없으므로 알 수 없다. (거짓) ⑤ f{x}는 구간 [1, 5]에서 연속이므로 구간 {1, 2}에서 적어도 한 개의 실근을 가지고, 구간 {3, 5}에서 적어도 한 개의 실근 을 가진다. (참) 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다. 유제
10-1
⑴ f{x}=x#+x+1이라 하면 f{x}는 구간 [-1, 1]에서 연속이고 f{-1}<0, f{1}>0 따라서 사잇값 정리에 의해 f{x}=0인 x가 구간 {-1, 1}에 적어도 하나 있다. ⑵ f{x}=x$+x@+3x-6이라 하면 f{x}는 구간 [-2, 1]에서 연속이고 f{-2}>0, f{1}<0 따라서 사잇값 정리에 의해 f{x}=0인 x가 구간 {-2, 1}에 적어도 하나 있다. 유제10-2
방정식 f{x}=0은 구간 {-E, -2}에서 적어도 한 개 구간 {-2, -1}에서 적어도 한 개 구간 {1, 2}에서 적어도 한 개 구간 {2, 4}에서 적어도 한 개 구간 {4, E}에서 적어도 한 개 의 실근을 가진다. 따라서 f{x}=0은 실근을 적어도 5개 가진다.0
1
②, ⑤0
2
-40
3
⑤0
4
③, ⑤0
5
④0
6
④0
7
00
8
-7, -1, 30
9
④10
② 29~30쪽 연습 문제0
1
① lim x ! 1 f{x}=2 (거짓) ② f{1}=1이므로 lim x ! 1 f{x}=f{1} 따라서 x=1에서 불연속이다. (참) ③ lim x ! 1 {x-1}f{x}=0\2=0 (거짓) ④ g{x}={x-1}f{x}라 하면 g{1}=0, lim x ! 1 g{x}=0이므로 x=1에서 연속이다. (거짓) ⑤ h{x}=x@f{x}라 하면 h{1}=1, lim x ! 1 h{x}=1\2=2이므 로 x=1에서 불연속이다. (참) 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.0
2
f{2}=2@+2+a=6+a yy ① lim x ! 2+ f{x}=x lim! 2+ {x@+x+a}=6+a yy ② lim x ! 2- f{x}=x lim! 2- {x+b}=2+b yy ③ ①, ②, ③이 같아야 하므로 6+a=2+b / a-b=-40
3
두 함수 f{x}, g{x}가 모든 실수에서 연속함수이므로 더 하거나 곱해도 연속함수이다. 곧, ①, ②, ③은 연속함수이다. ④ g{x}=x@+1>1이므로 f{x} g{x} 는 연속함수이다. ⑤ x=-1일 때 분모가 0이므로 g{x} f{x} 는 연속함수가 아니다. 따라서 연속함수가 아닌 것은 ⑤이다.0
4
x y O x y O y=f{x} y=f{x} a b a b [그림 1] [그림 2] ① [그림 1] f{a}f{b}>0이지만 구간 [a, b]에서 실근을 가진다. (거짓)② [그림 2] f{a}f{b}<0이지만 구간 [a, b]에서 3개의 실근을 가진다. (거짓) ③ f{a}f{b}=0이면 f{a}=0 또는 f{b}=0이므로 구간 [a, b]에서 적어도 하나의 실근을 가진다. (참) ④ f{x}=x이면 구간 {a, b}에서 최댓값과 최솟값이 없다. (거짓) ⑤ 최대, 최소 정리에 의해 구간 [a, b]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. (참) 따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.
0
5
f{x}=x@+4x+a라 하면 f{x}는 연속함수이다. ! f{-3}f{1}<0일 때 {a-3}{a+5}<0 / -5<a<3 @ f{x}={x+2}@+a-4이므로 y=f{x}의 그래프가 구간 {-3, 1}에서 x축에 접할 때 a-4=0 / a=4 !, @에서 ④ a=3은 가능하지 않다.0
6
x=2에서 극한값과 함숫값을 구한다. g{x}={3x-a}f{x}라 하면 g{2}={6-a}f{2}={6-a}\1=6-a yy ① lim x ! 2+ g{x} =x lim! 2+{3x-a}f{x} ={6-a}\1=6-a yy ② lim x ! 2- g{x} =x lim! 2-{3x-a}f{x}={6-a}\3 =18-3a yy ③ ①, ②, ③이 같아야 하므로 6-a=18-3a / a=60
7
x=1에서 연속을 확인하고, 구간 [ 0, 4 ]에서의 함수가 반복됨을 이용한다. ! f{x}는 x=1에서 연속이다. f{1}=1+a+b lim x ! 1+ f{x}=x lim! 1+ {x@+ax+b}=1+a+b lim x ! 1- f{x}=x lim! 1- 3x=3 곧, 3=1+a+b / a+b=2 yy ① @ 함수 f{x}는 모든 실수에서 연속이고, f{x+4}=f{x}이므로 f{0}=f{4} 곧, 0=16+4a+b / 4a+b=-16 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=-6, b=8 x y O y=f{x} 1 -3 -4 3 4 5 8 y y f{x}=- 3x {0<x<1} x@-6x+8 {1<x<4}이므로 f{10}=f{2}=2@-6\2+8=00
8
f{x}g{x}가 x=a에서 연속이면 된다. f{x}는 x=a에서만 불연속일 수 있고, g{x}는 모든 실수 x에서 연속이므로 f{x}g{x}는 x=a에서만 불연속일 수 있다. 따라서 f{x}g{x}가 x=a에서 연속이면 된다. f{a}g{a} ={a+3}{-a-7} yy ① lim x ! a+ f{x}g{x} =x lim! a+{x+3}9x-{2a+7}0 ={a+3}{-a-7} yy ② lim x ! a- f{x}g{x} =x lim! a-{x@-x}9x-{2a+7}0 ={a@-a}{-a-7} yy ③ ①, ②, ③이 같으므로 {a+3}{-a-7}={a@-a}{-a-7} / -a-7=0 또는 a+3=a@-a -a-7=0에서 a=-7a+3=a@-a에서 a@-2a-3=0 / a=-1 또는 a=3 따라서 a의 값은 -7, -1, 3이다.
note f{x}가 x=a에서 연속일 조건만 찾으면 안 된다.
f{x}가 x=a에서 불연속이어도 g{x}에 따라 x=a에서 f{x}g{x}가 연속일 수 있기 때문이다. 이 문제에서는 f{x}가 x=a에서 불연속이어 도 g{a}=0, 곧 a=-7이면 f{x}g{x}는 x=a에서 연속이다.
0
9
최대, 최소 정리나 사잇값 정리는 연속함수에서 성립한다. ㄱ. lim x ! -2+ f{x}g{x}=2\2=4 lim x ! -2- f{x}g{x}={-2}\{-2}=4 f{-2}g{-2}=2\2=4 따라서 f{x}g{x}는 x=-2에서 연속이다. (거짓) ㄴ. f{x}g{x}가 구간 [-4, 1]에서 연속이므로 최댓값과 최솟값 을 가진다. (참) ㄷ. f{x}g{x}가 구간 [-4, 1]에서 연속이다. 또 f{-4}g{-4}>0, f{1}g{1}<0이므로 9 f{-4}g{-4}09 f{1}g{1}0<0 곧, f{x}g{x}=0인 실근 x가 구간 {-4, 1}에서 적어도 하 나 존재한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.10
사잇값 정리를 이용하여 정수 k의 값의 범위를 구한다. h{x}=f{x}-g{x}라 하면 h{x} ={x%+x#-3x@+7k}-{x#-5x@+3} =x%+2x@+7k-3 h{x}는 구간 [1, 2]에서 연속이므로 사잇값 정리에 의해 h{1}h{2}<0이면 구간 {1, 2}에서 적어도 하나의 실근을 가진다. h{1}h{2}=7k{7k+37}<0 / -377<k<0 따라서 보기 중 정수 k의 값으로 가능한 것은 -3이다.0
1
g{ f{x}}의 극한 f{x}=t로 놓고 우극한, 좌극한에 주의한다.0
1
⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 00
2
②0
3
10
4
f{x}=x#+5x@-12x+60
5
①0
6
-1, 140
7
④0
8
④ 실력 문제 32~33쪽 ⑴ x ! 2+일 때 f{x} ! 1+이므로 f{x}=t로 놓으면 lim x ! 2+ f{ f{x}}=t lim! 1+ f{t}=0 ⑵ x ! 2-일 때 f{x} ! 1-이므로 f{x}=t로 놓으면 lim x ! 2- f{ f{x}}=t lim! 1- f{t}=1 ⑶ x ! 1+일 때 f{x} ! 0+이므로 f{x}=t로 놓으면 lim x ! 1+ f{ f{x}}=t lim! 0+ f{t}=1 ⑷ x ! 1-일 때 f{x}=1이므로 lim x ! 1- f{ f{x}}=x lim! 1- f{1}=f{1}=00
2
극한과 미정계수 00 꼴의 극한인지 확인한다. lim x ! 0 1 x@+ax+b2-a ja+xk-ja-xk=12 yy ① 에서 x ! 0일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. 곧, jb-a=0 / b=a@ {? a>0, b>0} yy ② ①에 대입하면 lim x ! 0 1 x@+ax+a@2-a ja+xk-ja-xk =lim x ! 0 {x@+ax+a@}-a@ {ja+xk-ja-xk}{1x@+ax+a@2+a} =lim x ! 0 x@+ax {ja+xk-ja-xk}{1x@+ax+a@2+a} =lim x ! 0 x{x+a}{ja+xk+ja-xk} 9{a+x}-{a-x}0{1x@+ax+a@2+a} =lim x ! 0 {x+a}{ja+xk+ja-xk} 2{1x@+ax+a@2+a} =a{ja k+ja k} 2{a+a} = 2aja k 4a = j a k 2 ①에서 ja 2 = 1 2 / a=1 ②에 대입하면 b=1 / a+b=20
3
lim x ! 1 g{x}-2x x-1 의 값이 존재하므로 0 0 꼴의 극한이다. lim x ! 1 g{x}-2x x-1 의 값이 존재하고 x ! 1일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. 곧, g{1}-2=0 / g{1}=2 f{x}={x-1}9 g{x}-10이므로 lim x ! 1 f{x}g{x} x@-1 =limx ! 1 {x-1}9 g{x}-10g{x} {x-1}{x+1} =lim x ! 1 9 g{x}-10g{x} x+1 =9 g{1}-10g{1}2 ={2-1}\22 =10
4
1x=t로 치환하여 생각한다. lim x ! 0+ x#f[ 1 x ]-1 x#+x =5 yy ①, limx ! 1 f{x} x@+x-2= 1 3 yy ② 31쪽1-1
⑴ t= x x-1=1+ 1 x-1로 놓으면 x O t x x-1 t=\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 1 1 x ! E일 때 t ! 1+ / lim x ! E f[ xx-1 ] = limt ! 1+ f{t} =0 ⑵ t=x-2 x-1 =1-1 x-1로 놓으면 x O t x-2 x-1 t=\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 1 2 1 2 x ! E일 때 t ! / lim x ! E f[ x-2x-1 ] = limt ! 1- f{t} =1 ⑶ ! -1<x<0일 때 |x+1|-|x|=x+1+x=2x+1이고 x ! -1+일 때 {2x+1} ! -1+이므로 lim x ! -1+ f{|x+1|-|x|} =x ! -1+lim f{2x+1} = lim t ! -1+ f{t}=-1 @ x<-1일 때 |x+1|-|x|=-{x+1}+x=-1이므로 lim x ! -1- f{|x+1|-|x|} =x ! -1-lim f{-1} =f{-1}=-1 !, @에서 lim x ! -1 f{|x+1|-|x|}=-12-1
! f{x}는 x=1에서 불연속이다. lim x ! 1+ f{ f{x}}=t lim! 0- f{t}=1 lim x ! 1- f{ f{x}}=t lim! 2- f{t}=f{2}=1 이므로 f{ f{x}}는 x=1에서 불연속이다. @ f{x}는 x=1에서 불연속이므로 f{x}=1인 경우, 곧 x=0에서 lim x ! 0+ f{ f{x}}=t lim! 1+ f{t}=0 lim x ! 0- f{ f{x}}=t lim! 1+ f{t}=0 f{ f{0}}=f{1}=0 이므로 f{ f{x}}는 x=0에서 연속이다. !, @에서 f{ f{x}}가 불연속인 x의 값은 1이다.①에서 1 x=t라 하면 x ! 0+일 때 t ! E이므로 lim x ! 0+ x#f[ 1 x ]-1 x#+x =limt ! E 1 t# f{t}-1 1 t#+ 1 t =lim t ! E f{t}-t# 1+t@ =5 따라서 f{t}-t#은 이차항의 계수가 5인 이차함수이다. f{t}-t#=5t@+at+b {a, b는 상수}로 놓으면 f{t}=t#+5t@+at+b yy ③ ②에서 x ! 1일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. 곧, f{1}=1+5+a+b=0 / b=-a-6 ③에서 f{x}=x#+5x@+ax-a-6={x-1}{x@+6x+a+6} ②에 대입하면 lim x ! 1 {x-1}{x@+6x+a+6} {x-1}{x+2} =limx ! 1 x@+6x+a+6 x+2 =a+133 곧, a+133 =13 / a=-12 / f{x}=x#+5x@-12x+6
0
5
lim x ! 1 9g{x}0@=9g{1}0@일 조건을 찾는다. 9g{1}0@=9 f{1}+10@={1-a+1}@={2-a}@ yy ① lim x ! 1- 9g{x}0@ =x lim! 1- 9 f{x}+10@=9 f{1}+10@ ={2-a}@ yy ② lim x ! 1+ 9g{x}0@ =x lim! 1+ 9 f{x-1}0@ =9 f{0}0@={-2a}@=4a@ yy ③ ①, ②, ③이 같아야 하므로 {2-a}@=4a@ 3a@+4a-4=0, {a+2}{3a-2}=0 a>0이므로 a=230
6
lim x ! a f{x}f{x-a}=f{a}f{0}일 조건을 찾는다. f{x}f{x-a}가 x=a에서 연속 x y O 7 14 -1 1 y=f{x} 이면 lim x ! a f{x}f{x-a} =f{a}f{0} yy ① a=0이므로 lim x ! a f{x}=f{a}이다. x ! a+일 때 {x-a} ! 0+이므로 lim x ! a+ f{x-a}=t lim! 0+ f{t}=7 / lim x ! a+ f{x}f{x-a}=7f{a} yy ② 또 x ! a-일 때 {x-a} ! 0-이므로 lim x ! a- f{x-a}=t lim! 0- f{t}=1 / lim x ! a- f{x}f{x-a}=f{a} yy ③ ①, ②, ③에서 7f{a}=f{a}=f{a}f{0} 이때 f{0}=1이므로 f{a}=0! a<0일 때, f{a}=a+1=0 / a=-1 @ a>0일 때, f{a}=-12a+7=0 / a=14 !, @에서 a=-1, 14
0
7
내접하는 경우와 외접하는 경우를 생각한다. ! 0<r<1일 때, f{r}=0 @ [그림 1] r=1일 때, 원 C와 외접하는 원이 1개 있으므로 f{1}=1 # [그림 2] 1<r<2일 때, 원 C와 외접하는 원이 2개 있으므로 f{r}=2 $ [그림 3] r=2일 때, 원 C와 내접하는 원이 1개, 외접하는 원 이 2개 있으므로 f{2}=3 % [그림 4] r>2일 때, 원 C와 내접하는 원이 2개, 외접하는 원 이 2개 있으므로 f{r}=4 x y O 1 3 r=1 x y O 3 [그림 1] [그림 2] x y O 2 3 r=2 x y O 3 [그림 3] [그림 4] 따라서 y=f{r)의 그래프는 오른쪽 그림 r y y=f{r} O 1 1 2 3 4 2 과 같다. ㄱ. f{2}=3 (참) ㄴ. lim r ! 1+ f{r}=2, f{1}=1이므로 lim r ! 1+ f{r}=f{1} (거짓) ㄷ. 불연속인 r의 값은 1, 2이고 2개이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.0
8
함수가 연속일 때, 방정식의 실근의 개수의 최솟값 사잇값 정리를 이용한다. f{-x}=-f{x}이므로 y=f{x}의 그래프는 원점에 대칭이고 원점을 지난다. 또 f{1}f{2}<0이므로 f{-1}f{-2}<0이고 f{3}f{4}<0이므로 f{-3}f{-4}<0이다. 곧, 사잇값 정리에 의해 f{x}=0은 구간 {1, 2}, {-2, -1}, {3, 4}, {-4, -3}에서 각각 적어도 하나의 실근을 가진다. 따라서 f{x}=0의 실근은 x=0을 포함하여 적어도 5개이다.1
⑴ f{x}=2x@-1이라 하면 DyDx = f{2}-f{0}2-0 ={2\2@-1}-{-1}2 =4 ⑵ f{x}=x#+x라 하면 DyDx = f{3}-f{-1} 3-{-1} = {3#+3}-9{-1}#+{-1}0 4 =82
⑴ f{x}=2x+3이라 하면 f '{1} =lim h ! 0 f{1+h}-f{1} h =limh ! 0 {2h+5}-5 h =lim h ! 0 2=2 ⑵ f{x}=-x@이라 하면 f '{1} =lim h ! 0 f{1+h}-f{1} h =lim h ! 0 -{1+h}@-{-1} h =lim h ! 0 {-2-h}=-23
⑴ f{x}=2x@이라 하면 접선의 기울기는 f '{2}이므로 f '{2} =lim h ! 0 f{2+h}-f{2} h =limh ! 0 2{2+h}@-8 h =lim h ! 0 {8+2h}=8 ⑵ f{x}=x#이라 하면 접선의 기울기는 f '{0}이므로 f '{0} =lim h ! 0 f{0+h}-f{0} h =limh ! 0 h# h =lim h ! 0 h@=04
⑴ x=2 ⑵ 연속이 아니거나 뾰족한 점을 찾으면 f{x}가 미분가능하지 않은 x의 값은 x=2, x=45
⑴ x=0에서 연속이 아니므로 미분가능하지 않다. ⑵ 그래프가 x=1에서 뾰족하므로 미분가능하지 않다. 다른 풀이 ⑵ f{x}=|x-1|이라 하면 lim h ! 0 f{1+h}-f{1} h =limh ! 0 |h| h 그런데 lim h ! 0+ |h| h = limh ! 0+ h h= limh ! 0+ 1=1 40쪽 예제1
⑴ f{x}=x@-1의 평균변화율은 f{2}-f{-1} 2-{-1} = 3-0 3 =1 yy ① x=a에서 f{x}=x@-1의 순간변화율은 f '{a} =lim h ! 0 f{a+h}-f{a} h =lim h ! 0 9{a+h}@-10-{a@-1} h =lim h ! 0 {2a+h}=2a yy ② ①과 ②가 같으므로 2a=1 / a=1 2 ⑵ f{x}=jx k라 하면 접선의 기울기는 f '{2}이므로 f '{2} =lim h ! 0 f{2+h}-f{2} h =limh ! 0 j 2+hl-j2 h =lim h ! 0 {2+h}-2 h{j2+hl+j2} =lim h ! 0 1 j2+hl+j2=21j2= j 2 4 ⑶ f{x}={x-1}|x-1|이라 하자. lim h ! 0 f{1+h}-f{1} h =limh ! 0 h|h| h =limh ! 0 |h| 에서 lim h ! 0+ |h|=h lim! 0- |h|=0 따라서 x=1에서 미분가능하다. 유제1-1
f{x}=x#의 평균변화율은 f{3}-f{0}3-0 =3#-03 =9 yy ① x=a에서 f{x}=x#의 순간변화율은 f '{a} =lim h ! 0 f{a+h}-f{a} h =limh ! 0 {a+h}#-a# h =lim h ! 0 {3a@+3ah+h@}=3a@ yy ② ①과 ②가 같으므로 3a@=9 / a=j3 {? 0<a<3} 유제1-2
f{x}=j2x+1l이라 하면 접선의 기울기는 f '{0}이므로 f '{0} =lim h ! 0 f{0+h}-f{0} h =limh ! 0 j 2h+1l-1 h =lim h ! 0 {2h+1}-1 h{j2h+1l+1} =lim h ! 0 2 j2h+1l+1=1 유제1-3
f{x}=[x]라 하면 f{1.5}=1 또 h의 절댓값이 충분히 작을 때 f{1.5+h}=1 39쪽 개념 확인01
미분계수
02
미분
lim h ! 0-|h| h = limh ! 0--h h = limh ! 0- {-1}=-1 곧, 극한값이 존재하지 않으므로 x=1에서 미분가능하지 않다./ lim h ! 0 f{1.5+h}-f{1.5} h =limh ! 0 1-1 h =limh ! 0 0=0 따라서 x=1.5에서 미분가능하다. 41쪽 예제
2
⑴ lim h ! 0 f{1+2h}-f{1} h =limh ! 0- f{1+2h}-f{1} 2h \2 = =2f '{1}=2\2=4 ⑵ lim h ! 0 f{1+h@}-f{1} h =limh ! 0- f{1+h@}-f{1} h@ \h = =f '{1}\0=2\0=0 ⑶ lim h ! 0 f{1+h}-f{1-3h} h =lim h ! 0- f{1+h}-f{1} h f{1-3h}-f{1} h = =lim h ! 0- f{1+h}-f{1} h f{1-3h}-f{1} -3h \{-3} = =f '{1}+3f '{1}=4f '{1}=4\2=8 유제2-1
⑴ lim h ! 0 f{a-2h}-f{a} h =lim h ! 0- f{a-2h}-f{a} -2h \{-2} = =-2f '{a}=4f '{1}=4\2=-6 ⑵ lim h ! 0 f{a+2h}-f{a} 3h =limh ! 0- f{a+2h}-f{a} 2h \ 2 3 = =23 f '{a}=2 3\3=2 ⑶ lim h ! 0 f{a+2h#}-f{a} h@ =limh ! 0- f{a+2h#}-f{a}2h# \2h = =f '{a}\0=3\0=0 ⑷ lim h ! 0 f{a+2h}-f{a-h} h =lim h ! 0- f{a+2h}-f{a} h f{a-h}-f{a} h = =lim h ! 0- f{a+2h}-f{a} 2h f{a-h}-f{a} -h \{-1} = =2f '{a}+f '{a}=3f '{a}=3\3=942쪽 예제
3
⑴ lim x ! 1 f{x}-f{1} x@-1 =limx ! 1- f{x}-f{1} x-1 \x+11 = =f '{1}\12=2\12=1 ⑵ lim x ! 1 f{x@}-f{1} x-1 =limx ! 1- f{x@}-f{1} x@-1 \{x+1}= =f '{1}\2=2\2=4 ⑶ lim x ! 1 x#-1 f{x}-f{1} =limx ! 1- x-1 f{x}-f{1}\{x@+x+1}= = 1 f '{1}\3= 1 2\3=32 ⑷ f{x@}-x@f{1}=9 f{x@}-f{1}0-{x@-1}f{1}이므로 lim x ! 1 f{x@}-x@f{1} x-1 =lim x ! 1- f{x@}-f{1} x-1 -{x@-1}f{1}x-1 = =lim x ! 1- f{x@}-f{1} x@-1 \{x+1}-{x+1}f{1} = =f '{1}\2-2\f{1}=2\2-2\3=-2 유제3-1
⑴ lim x ! a f{x}-f{a} x#-a# =lim x ! a- f{x}-f{a} x-a \x@+ax+a@1 = =f '{a}\ 1 3a@ =-1 3a@ ⑵ lim x ! a f{x@}-f{a@} x#-a# =limx ! a- f{x@}-f{a@} x@-a@ \ x@-a@ x#-a#= =lim x ! a- f{x@}-f{a@} x@-a@ \ x+a x@+ax+a@= =f '{a@}\2a 3a@=3\ 2 3a=2a ⑶ lim x ! a x@-a@f{x}-f{a} =limx ! a- x-a f{x}-f{a}\{x+a} = = 1 f '{a}\2a=-2a ⑷ af{x}-xf{a}=9af{x}-af{a}0-{x-a}f{a}이므로 lim x ! a af{x}-xf{a} x-a =lim x ! a- af{x}-af{a}
x-a -{x-a}f{a}x-a = =lim x ! a- f{x}-f{a} x-a \a-f{a} = =af '{a}-f{a}=-a-2
0
1
x=2에서 f{x}의 미분계수는 f '{2} =lim h ! 0 f{2+h}-f{2} h =limh ! 0 {2+h}@-4 h =lim h ! 0 {h+4}=4 x의 값이 a에서 a+2까지 변할 때 f{x}의 평균변화율은0
1
①0
2
a=4, b=-10
3
④0
4
④0
5
⑴ -2 ⑵ -60
6
②0
7
-10
8
①, ④0
9
⑤10
②11
⑴ 0 ⑵ 512
③ 43~44쪽 연습 문제f{a+2}-f{a} a+2-a = {a+2}@-a@ 2 =2a+2 조건에서 4=2a+2이므로 a=1
0
2
f '{a} =lim h ! 0 f{a+h}-f{a} h =lim h ! 0 9{a+h}@-5{a+h}+30-{a@-5a+3} h =lim h ! 0 {2a+h-5}=2a-5 점 {a, b}에서 접선의 기울기가 3이므로 2a-5=3 / a=4 또 f{a}=b이므로 b=4@-5\4+3=-10
3
① f '{1}은 곡선 y=f{x} 위의 x=1인 점에서 접선의 기울 기이므로 f '{1}>0 (거짓) ② lim x ! 2 f{x}-f{2} x-2 =f '{2}이고, f '{2}는 곡선 y=f{x} 위의 x=2인 점에서 접선의 기울기이므로 f '{2}>0 (거짓) ③ lim x ! -2+ f{x}>0이므로 x ! -2+lim f{x}-f{-2} x+2 에서 x ! -2+일 때 (분모) ! 0이지만 (분자) ! 0이 아니다. 곧, 수렴하지 않는다. (거짓) ④ f{x}는 x=-2, x=3에서 미분가능하지 않다. (참) ⑤ 미분가능하고 접선의 기울기가 0인 점은 2개이므로 f '{x}=0인 x의 값은 2개이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ④이다.0
4
lim h ! 0 f{1+3h}-f{1} 2h =limh ! 0- f{1+3h}-f{1} 3h \ 3 2 = =32 f '{1}=2 / f '{1}=4 30
5
⑴ lim x ! -2 f{x}-f{-2} x@-4 = lim x ! -2- f{x}-f{-2} x+2 \x-2 = 1 =f '{-2}\[-14 ]=8\[-14 ]=-2 ⑵ lim x ! 2 xf{2}-2f{x} x-2 =lim x ! 2 xf{2}-2f{2}-2f{x}+2f{2} x-2 =lim x ! 2- {x-2}f{2} x-2 -2\ f{x}-f{2} x-2 = =lim x ! 2- f{2}-2\ f{x}-f{2} x-2 = =f{2}-2f '{2}=2-2\4=-60
6
lim x ! 2 f{x+1}-8 x-2 =5에서 x ! 2일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. / f{3}=8 x+1=t로 놓으면 x ! 2일 때 t ! 3이므로 lim x ! 2 f{x+1}-8 x-2 =limt ! 3 f{t}-f{3} t-3 =f '{3} 곧, f '{3}=5 / f{3}+f '{3}=8+5=130
7
미분계수의 정의를 이용하여 f '{1}을 구한다. f '{1} =lim h ! 0 f{1+h}-f{1} h =limh ! 0 1 1+h-1 h =lim h ! 0 1-{1+h} h{1+h} =limh ! 0 -1 1+h=-10
8
lim x ! 1 f{x}-f{1} x-1 을 조사한다. ① x>1일 때, f{x}=x@-1이므로 lim x ! 1+ f{x}-f{1} x-1 =x lim! 1+ {x@-1}-0 x-1 = lim x ! 1+ {x+1}=2 -1<x<1일 때, f{x}=-{x@-1}이므로 lim x ! f{x}-f{1} x-1 =x lim! 1--{x@-1}-0 x-1 = lim x ! 1- 9-{x+1}0=-2 곧, 극한값이 존재하지 않으므로 x=1에서 미분가능하지 않다. ② x>1일 때, f{x}={x-1}#이므로 lim x ! 1+ f{x}-f{1} x-1 =x lim! 1+ {x-1}#-0 x-1 = lim x ! 1+ {x-1}@=0 x<1일 때, f{x}=-{x-1}#이므로 lim x ! f{x}-f{1} x-1 =x lim! 1--{x-1}#-0 x-1 = lim x ! 1- 9-{x-1}@0=0 따라서 x=1에서 미분가능하다. ③ x>0일 때, f{x}=x{x-1}@이므로 lim x ! 1 f{x}-f{1} x-1 =limx ! 1 x{x-1}@-0 x-1 =lim x ! 1 x{x-1}=0 따라서 x=1에서 미분가능하다. ④ 1<x<2일 때, f{x}=x\0=0 0<x<1일 때, f{x}=x\{-1}=-x 이므로 x=1에서 불연속이다. 따라서 x=1에서 미분가능하지 않다. ⑤ lim x ! 1+ f{x}-f{1} x-1 =x lim! 1+ {x-1}@-0 x-1 = limx ! 1+ {x-1}=0 lim x ! f{x}-f{1} x-1 =x lim! 1--{x-1}@-0 x-1 = lim x ! 1- 9-{x-1}0=0 따라서 x=1에서 미분가능하다. note ① y=|x@-1|의 그래프를 생각하면 x=-1에서 뾰족하 므로 미분가능하지 않다. ← 분모, 분자에 1+h를 곱한다.0
9
주어진 함수를 g{x}라 하고 lim x ! 0 g{x}-g{0} x-0 이 존재 하는지 조사한다. f{x}가 x=0에서 연속이므로 lim x ! 0 f{x}=f{0}이다. ㄱ. g{x}=xf{x}라 하면 lim x ! 0 g{x}-g{0} x-0 =limx ! 0 xf{x}-0 x =lim x ! 0 f{x}=f{0} 따라서 x=0에서 미분가능하다. ㄴ. g{x}=x@f{x}라 하면 lim x ! 0 g{x}-g{0} x-0 =limx ! 0 x@f{x}-0 x =lim x ! 0 xf{x}=0 따라서 x=0에서 미분가능하다. ㄷ. g{x}= 1 1+xf{x} 이라 하면 lim x ! 0 g{x}-g{0} x-0 =limx ! 0 1 1+xf{x}-1 x =lim x ! 0 1-91+xf{x}0 x91+xf{x}0 =lim x ! 0 -f{x} 1+xf{x}=-f{0} 따라서 x=0에서 미분가능하다.10
00 꼴의 극한이므로 lim x ! 1 f{x}-f{1} x-1 =f '{1}을 이용할 수 있도록 정리한다. 9 f{x}0@-2f{x} x-1 = 9 f{x}0@ x-1 -2\ f{x} x-1 이고, f{1}=0이므로 9 f{x}0@x-1 =9 f{x}0@-9 f{1}0@x-1 = f{x}-f{1}x-1 \9 f{x}+f{1}0 f{x}x-1 = f{x}-f{1}x-1 / lim x ! 1 9 f{x}0@-2f{x} x-1 =lim x ! 1{ f{x}-f{1} x-1 \9 f{x}+f{1}0 -2\ f{x}-f{1}x-1 } =f '{1}\2f{1}-2f '{1}=-2f '{1} 조건에서 -2f '{1}=2 / f '{1}=-111
f '{2}=lim h ! 0 f{2+h}-f{2} h , g '{0}=lim h ! 0 g{0+h}-g{0} h 을 이용한다. ⑴ h ! 0일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. 또 f{x}, g{x}는 미분가능하므로 연속이다. 곧, f{2}-f{2}-g{0}=0 / g{0}=0 ← 분모, 분자에 1+xf{x}를 곱한다. ⑵ lim h ! 0 f{2+2h}-f{2}-g{h} h =lim h ! 0 f{2+2h}-f{2}-9 g{h}-g{0}0 h =lim h ! 0- 2\ f{2+2h}-f{2} 2h g{0+h}-g{0} h = =2f '{2}-g '{0}=6-g '{0} 조건에서 6-g '{0}=1 / g '{0}=512
n1=h로 치환하면 정리하기 편하다. 1 n=h라 하면 n= 1 h 이고 n ! E일 때 h ! 0+이므로 lim n ! E n- f [x+ 1 n ]-f [x-n ] =1 =lim h ! 0+ f{x+h}-f{x-h} h =lim h ! 0+ f{x+h}-f{x}-9 f{x-h}-f{x}0 h =lim h ! 0+- f{x+h}-f{x} h + f{x-h}-f{x} -h = =2f '{x} 조건에서 2f '{x}=2x+4, f '{x}=x+2 / f '{1}=31
⑴ y'=0 ⑵ y'=4 ⑶ y'=-4x# ⑷ y'=2\5x$=10x$2
⑴ y'=3\2x+2=6x+2 또 x=1일 때, y'=6+2=8 따라서 x=1에서 미분계수는 8이다. ⑵ y'=4x#-2\3x@-5=4x#-6x@-5 또 x=1일 때, y'=4-6-5=-7 따라서 x=1에서 미분계수는 -7이다.3
y'=3{3x+1}@\{3x+1}'=3{3x+1}@\3 곧, y'=9{3x+1}@ 또 x=0일 때, y'=9 따라서 x=0에서 미분계수는 9이다. note y={3x+1}#의 우변을 전개하여 풀어도 된다.4
㈎ : kxK_!, ㈏ : {k+1}xK 47쪽 개념 확인02
도함수
48쪽 예제
4
⑴ y'=5-4\2x+2\3x@=6x@-8x+5 ⑵ y' ={x@+x+1}'{2x-1}+{x@+x+1}{2x-1}' ={2x+1}{2x-1}+{x@+x+1}\2=6x@+2x+1 ⑶ y' ={x+1}'{x-2}{x@-x}+{x+1}{x-2}'{x@-x} +{x+1}{x-2}{x@-x}' ={x-2}{x@-x}+{x+1}{x@-x} +{x+1}{x-2}{2x-1} =4x#-6x@-2x+2 ⑷ {x@-2x+3}'=2x-2=2{x-1} / y' =2{x@-2x+3}@_!\2{x-1} =4{x-1}{x@-2x+3} ⑸ {x$}'=4x# 9{2x-1}#0'=3{2x-1}#_!\{2x-1}'=6{2x-1}@ / y' =4x#{2x-1}#+x$\6{2x-1}@ =2x#{2x-1}@92{2x-1}+3x0 =2x#{2x-1}@{7x-2} 유제4-1
⑴ y'=15\5x$-34\4x#-2=x$-3x#-2 ⑵ y' ={x#+2}'{1-2x}+{x#+2}{1-2x}' =3x@{1-2x}+{x#+2}\{-2}=-8x#+3x@-4 ⑶ y' ={x@-3x+4}'{x#-2x}+{x@-3x+4}{x#-2x}' ={2x-3}{x#-2x}+{x@-3x+4}{3x@-2} =5x$-12x#+6x@+12x-8 ⑷ y' ={x-1}'{2x+1}{5x-2}+{x-1}{2x+1}'{5x-2} +{x-1}{2x+1}{5x-2}' ={2x+1}{5x-2}+{x-1}\2\{5x-2} +{x-1}{2x+1}\5 =30x@-18x-3 유제4-2
⑴ {ax+b}'=a이므로 y'=n{ax+b}N_!\a=an{ax+b}N_! ⑵ {x@+1}'=2x 9{1-3x}$0'=4{1-3x}$_!\{1-3x}'=-12{1-3x}# / y' =2x{1-3x}$+{x@+1}9-12{1-3x}#0 =2{1-3x}#9x{1-3x}-6{x@+1}0 =-2{1-3x}#{9x@-x+6} 49쪽 예제5
⑴ f{x}=ax@+bx+c라 하면 f '{x}=2ax+b f{2}=3, f '{1}=1, f '{0}=-3이므로 4a+2b+c=3, 2a+b=1, b=-3 연립하여 풀면 a=2, c=1 / f{x}=2x@-3x+1 ⑵ f{x}+f '{x}=2x#+6x@+3x+4 yy ① 이므로 f{x}는 삼차식이고 삼차항은 2x#이다. f{x}=2x#+ax@+bx+c로 놓으면 f '{x}=6x@+2ax+b / f{x}+f '{x}=2x#+{a+6}x@+{b+2a}x+c+b ①과 비교하면 6=a+6, 3=b+2a, 4=c+b / a=0, b=3, c=1 / f{x}=2x#+3x+1 ⑶ f{x}를 {x-1}@으로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 x!)+px+q={x-1}@Q{x} yy ① ①은 x에 대한 항등식이고 Q{x}는 다항식이므로 양변을 미분하면 10x(+p=2{x-1}Q{x}+{x-1}@Q'{x} yy ② ①에 x=1을 대입하면 1+p+q=0 ②에 x=1을 대입하면 10+p=0 / p=-10, q=9 유제5-1
f{x}=x#-a@x@+ax+b에서 f{1}=1-a@+a+b=-1 yy ① f '{x}=3x@-2a@x+a이고, f '{1}=3이므로 3-2a@+a=3, 2a@-a=0, a{2a-1}=0 a=0이므로 a=12 ①에 대입하면 b=-94 유제5-2
f{x}-f '{x}=-x@-2 yy ① 이므로 f{x}는 이차식이고 이차항은 -x@이다. f{x}=-x@+ax+b로 놓으면 f '{x}=-2x+a ①에 대입하면 -x@+ax+b+2x-a=-x@-2 / {a+2}x+b-a=-2 x에 대한 항등식이므로 a+2=0, b-a=-2 / a=-2, b=-4 / f{x}=-x@-2x-4 유제5-3
f{x}를 {x-2}@으로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b라 하면 f{x}={x-2}@Q{x}+ax+b yy ① ①은 x에 대한 항등식이고 Q{x}는 다항식이므로 양변을 미분하면 f '{x}=2{x-2}Q{x}+{x-2}@Q'{x}+a yy ② f{2}=5이므로 ①에 x=2를 대입하면 5=2a+b f '{2}=-2이므로 ②에 x=2를 대입하면 -2=a a=-2, b=9이므로 나머지는 -2x+950쪽 예제
6
⑴ lim h ! 0 f{1+2h}-f{1} h =limh ! 0- f{1+2h}-f{1} 2h \2 = =2f '{1} f '{x}=4x#+4x이므로 2f '{1}=2\{4+4}=16 ⑵ f{x}=x#+ax@+bx+c이므로 f '{x}=3x@+2ax+b ! lim x ! 2 f{x} x-2 =5에서 x ! 2일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0, 곧 f{2}=0 / 8+4a+2b+c=0 yy ① 이때 lim x ! 2 f{x}-f{2} x-2 =5이므로 f '{2}=5 / 12+4a+b=5 yy ② @ lim x ! 1 f{x}-f{1} x@-1 =limx ! 1- f{x}-f{1} x-1 \x+1 = 1 =f '{1}\12 f '{1}2 =-1이므로 f '{1}=-2 / 3+2a+b=-2 yy ③ ②, ③을 연립하여 풀면 a=-1, b=-3 ①에 대입하면 c=2 ⑶ f{x}=x^+3x+2라 하면 f{-1}=0이므로 lim x ! -1 x^+3x+2 x+1 = limx ! -1 f{x}-f{-1} x+1 =f '{-1} f '{x}=6x%+3이므로 f '{-1}=-3 유제6-1
f{1+3h}-f{1-2h} =9 f{1+3h}-f{1}0-9 f{1-2h}-f{1}0 이므로 lim h ! 0 f{1+3h}-f{1-2h} h =lim h ! 0- f{1+3h}-f{1} 3h \3 - f{1-2h}-f{1} -2h \{-2}= =3f '{1}+2f '{1}=5f '{1} 조건에서 5f '{1}=10 / f '{1}=2 f '{x}=4x#+a이므로 4+a=2 / a=-2 유제
6-2
조건 ㈎에서 lim x ! E f{x} x# =2이므로 f{x}는 최고차항 이 2x#이다. 따라서 f{x}=2x#+ax@+bx+c라 하자. 조건 ㈏의 lim x ! 0 f{x} x =-2에서 x ! 0일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. 곧, f{0}=0 / c=0 이때 lim x ! 0 f{x}-f{0} x-0 =-2이므로 f '{0}=-2 f '{x}=6x@+2ax+b이므로 b=-2 조건 ㈐에서 곡선 y=f{x} 위의 x=-1인 점에서 접선의 기울기 가 3이므로 f '{-1}=3 f '{x}=6x@+2ax-2이므로 6-2a-2=3 / a=12 / f{x}=2x#+12x@-2x 유제6-3
x ! 1일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0이다. 곧, 1-4+a=0에서 a=3 f{x}=xN-4x@+3으로 놓으면 f{1}=0이므로 lim x ! 1 xN-4x@+3 x-1 =limx ! 1 f{x}-f{1} x-1 =f '{1} f '{x}=nxN_!-8x이고 조건에서 f '{1}=-3이므로 n-8=-3 / n=5 51쪽 예제7
f1{x}=x#+ax+b, f2{x}=-x@+1이라 하자. ! f {x}는 x=1에서 연속이므로 f1{1}=f2{1} 1+a+b=-1+1 / a+b+1=0 yy ① @ f {x}는 x=1에서 미분가능하므로 f1'{1}=f2'{1} f1'{x}=3x@+a, f2'{x}=-2x이므로 3+a=-2 / a=-5 ①에 대입하면 b=4 유제7-1
f1{x}=x$+ax+1, f2{x}=bx@+x라 하자. ! f {x}는 x=-1에서 연속이므로 f1{-1}=f2{-1} 1-a+1=b-1 / a+b=3 yy ① @ f {x}는 x=-1에서 미분가능하므로 f1'{-1}=f2'{-1} f1'{x}=4x#+a, f2'{x}=2bx+1이므로 -4+a=-2b+1 / a+2b=5 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=1, b=2 유제7-2
f1{x}=1, f2{x}=x@+ax+b라 할 때, f{x}=- f1{x} {x>1} f2{x} {x<1}이 x=1에서 미분가능하다. ! f {x}는 x=1에서 연속이므로 f1{1}=f2{1} 1=1+a+b / a+b=0 yy ① @ f {x}는 x=1에서 미분가능하므로 f1'{1}=f2'{1} f1'{x}=0, f2'{x}=2x+a이므로 0=2+a / a=-2 ①에 대입하면 b=20
1
f '{x}={2x+1}{ax$+3x-2}+{x@+x}{4ax#+3} f '{1}=-2이므로 3{a+1}+2{4a+3}=-2 11a+9=-2 / a=-10
2
f '{x}=1+2@x+3@x@+y+10@x(이므로 f '{1} =1@+2@+3@+y+10@= 10 ? k=1 k@ =10\11\216 =385 note 수학 I에서 공부한 다음 공식을 이용하였다. n ? k=1 k@= n{n+1}{2n+1} 60
3
몫을 Q{x}, 나머지를 R{x}=ax+b라 하면 x!))+x-1={x-1}@Q{x}+ax+b yy ① x=1을 대입하면 1+1-1=0+a+b / a+b=1 yy ② ①은 x에 대한 항등식이고 Q{x}는 다항식이므로 양변을 미분하면 100x((+1=2{x-1}Q{x}+{x-1}@Q'{x}+a x=1을 대입하면 100+1=a / a=101 ②에 대입하면 b=-100 R{x}=101x-100이므로 R{-1}=-2010
4
lim h ! 0 f{1+h}-f{1} h =6에서 f '{1}=6이고, f '{x}=4x+a이므로 f '{1}=4+a=6 / a=20
5
lim x ! 1 x#+ax+b x-1 =2 yy ① 에서 f{x}=x#+ax+b라 하자. x ! 1일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0, 곧 f{1}=1+a+b=0 yy ② 이때 ①에서 lim x ! 1 f{x}-f{1} x-1 =2 / f '{1}=2 f '{x}=3x@+a이므로 3+a=2 / a=-1 ②에 대입하면 b=0 / a@+b@=10
6
f1{x}=x#+ax, f2{x}=bx@+x+1이라 하면 f1, f2는 미 분가능한 함수이다. ! f{x}가 x=1에서 연속이므로 f1{1}=f2{1} a+1=b+2 / a-b=1 yy ①0
1
①0
2
3850
3
⑤0
4
④0
5
①0
6
④0
7
②0
8
50
9
-610
④11
c=6, f{x}=x@-3x-212
f{x}=-1 4 x#+ 3 4 x+ 1 2 52~53쪽 연습 문제 @ f{x}가 x=1에서 미분가능하므로 f1'{1}=f2'{1} f1'{x}=3x@+a, f2'{x}=2bx+1이므로 3+a=2b+1 / a-2b=-2 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=4, b=3 / a+b=70
7
f '{x}에 x=1, x=4를 대입한 꼴만 생각한다. f '{x} ={x-2}{x-3}y{x-10} +{x-1}{x-3}y{x-10} +{x-1}{x-2}{x-4}y{x-10} ⋮ +{x-1}{x-2}{x-3}y{x-9} 이 식에 x=1을 대입하면 x-1을 포함한 9개의 항은 0이므로 f '{1} ={1-2}{1-3}{1-4}y{1-10} ={-1}(\1\2\3\y\9 또 x=4를 대입하면 x-4를 포함한 9개의 항은 0이므로 f '{4} ={4-1}{4-2}{4-3}{4-5}y{4-10} =3\2\1\{-1}^\1\2\y\6 / f '{1} f '{4}={-1}#\ 7\8\9 3\2\1=-840
8
00 꼴의 극한이므로 각각 f ', g '을 생각한다. lim x ! 3 f{x}-2 x-3 =1 yy ①, limx ! 3 g{x}-1 x-3 =2 yy ② ①에서 극한값이 존재하고 x ! 3일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0, 곧 f{3}=2이다. 이때 ①은 lim x ! 3 f{x}-f{3} x-3 =1 / f '{3}=1 ②에서 극한값이 존재하고 x ! 3일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0, 곧 g{3}=1이다. 이때 ②는 lim x ! 3 g{x}-g{3} x-3 =2 / g '{3}=2 y=f{x}g{x}에서 y'=f '{x}g{x}+f{x}g '{x} 따라서 x=3에서 미분계수는 f '{3}g{3}+f{3}g '{3}=1\1+2\2=50
9
00 꼴의 극한이므로 { fg}'을 생각한다. lim x ! 1 f{x}g{x}-6 x-1 =5 yy ① 에서 극한값이 존재하고 x ! 1일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0, 곧 f{1}g{1}=6이다. f{1}=2이므로 g{1}=3 이때 h{x}=f{x}g{x}라 하면 ①은 lim x ! 1 h{x}-h{1} x-1 =5 / h'{1}=5 h'{x}=f '{x}g{x}+f{x}g '{x}이므로 h'{1}=f '{1}g{1}+f{1}g '{1}=5 조건에서 3\3+2g '{1}=5 / g '{1}=-2 / g{1}g '{1}=3\{-2}=-610
00 꼴의 극한이므로 각각 f '{x}를 생각한다. lim x ! 1 f{x} x-1 =6 yy ①, limx ! -1 f{x} x+1 =2 yy ② ①에서 극한값이 존재하고 x ! 1일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0, 곧 f{1}=0 ②에서 극한값이 존재하고 x ! -1일 때 (분모) ! 0이므로 (분자) ! 0, 곧 f{-1}=0 이때 f{x}가 삼차함수이므로 f{x}={x-1}{x+1}{ax+b} 로 놓을 수 있다. ①에서 lim x ! 1 f{x}-f{1} x-1 =6 / f '{1}=6 또 ②에서 lim x ! -1 f{x}-f{-1} x+1 =2 / f '{-1}=2 f '{x} ={x+1}{ax+b}+{x-1}{ax+b} +{x-1}{x+1}a 이므로 x=1, x=-1을 각각 대입하면 f '{1}=2a+2b=6, f '{-1}=2a-2b=2 연립하여 풀면 a=2, b=1 f{x}={x-1}{x+1}{2x+1}이므로 f{2}=15 note f{x}=ax#+bx@+cx+d로 놓고 f{1}=0, f{-1}=0, f '{1}=6, f '{-1}=2 인 조건으로 f{x}를 구해도 된다.11
f{x}의 차수부터 구한다. f{x}가 n차 다항식이라 하면 f '{x}는 {n-1}차 다항식이므로 f{x}f '{x}는 {n+n-1}차 다항식이다. 이때 f{x}f '{x}는 3차 다항식이므로 2n-1=3 / n=2 f{x}의 최고차항의 계수가 1이므로 f{x}=x@+ax+b로 놓으면 f '{x}=2x+a / f{x}f '{x} ={x@+ax+b}{2x+a} =2x#+3ax@+{a@+2b}x+ab 2x#-9x@+5x+c와 비교하면3a=-9, a@+2b=5, ab=c
a=-3, b=-2, c=6 / f{x}=x@-3x-2
12
f=- f1 {x<a} f2 {x>a}가 x=a에서 미분가능f1{a}=f2{a}, f1'{a}=f2'{a} f{x}=ax#+bx@+cx+d라 하자. x=-1, x=1에서 연속이므로 f{-1}=0, f{1}=1 / f{-1}=-a+b-c+d=0 yy ① f{1}=a+b+c+d=1 f1{x}=0, f2{x}=1이라 하면 f1'{x}=0이고 x=-1에서 미분가능하므로 f '{-1}=0 f2'{x}=0이고 x=1에서 미분가능하므로 f '{1}=0 f '{x}=3ax@+2bx+c이므로 f '{-1}=3a-2b+c=0 yy ② f '{1}=3a+2b+c=0 ②의 두 식을 변변 빼면 -4b=0 / b=0, 3a+c=0 yy ③ ①의 두 식을 변변 더하면 2b+2d=1 b=0이므로 d=12 이고, 두 값을 ①에 대입하고 정리하면 a+c=1 2 yy ④ ③, ④를 연립하여 풀면 a=-14, c=34 / f{x}=-14 x#+34 x+12
1
⑴ 접점은 {-1, 3} f '{x}=2x-2이므로 접선의 기울기는 f '{-1}=-4 따라서 접선의 방정식은 y-3=-4{x+1} / y=-4x-1 ⑵ 접점은 {-1, 1} f '{x}=3x@+2x이므로 접선의 기울기는 f '{-1}=1 따라서 접선의 방정식은 y-1=1\{x+1} / y=x+22
⑴ 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하자. f '{x}=-4x+1이므로 접선의 기울기가 3이면 f '{a}=3, -4a+1=3 / a=-12 f[-1 2 ]=-1이므로 접점은 [-1 2 , -1] 따라서 접선의 방정식은 y+1=3[x+1 2 ] / y=3x+ 12 ⑵ 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하자. f '{x}=3x@-9이므로 접선의 기울기가 3이면 f '{a}=3, 3a@-9=3, a@=4 / a=-2! a=2일 때, f{2}=-8이므로 접점은 {2, -8} 따라서 접선의 방정식은 y+8=3{x-2} / y=3x-14 56쪽 개념 확인
03
접선과 평균값 정리
57쪽 예제
8
f{x}=x#-x라 하면 f '{x}=3x@-1 ⑴ f{-2}=-8+2=-6, f '{-2}=12-1=11이므로 y+6=11{x+2} / y=11x+16 ⑵ f{2}=8-2=6, f '{2}=12-1=11이므로 y-6=- 1 11{x-2} / y=-1 11 x+6811 ⑶ 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하면 f '{a}=2 3a@-1=2, a@=1 / a=-1a=1일 때, f{1}=1-1=0이므로 y-0=2{x-1} / y=2x-2 a=-1일 때, f{-1}=-1+1=0이므로 y-0=2{x+1} / y=2x+2 ⑷ 접점을 {a, f{a}}라 하면 접선의 방정식은 y-f{a}=f '{a}{x-a} y-{a#-a}={3a@-1}{x-a} yy ① 이 직선이 점 {-1, 1}을 지나므로 1-{a#-a}={3a@-1}{-1-a} a@{2a+3}=0 / a=0 또는 a=-32 a=0일 때, ①에 대입하면 y=-x a=-32 일 때, ①에 대입하면 y-[-278 +32 ]=[274-1][x+32 ] / y=234 x+274 @ a=-2일 때, f{-2}=12이므로 접점은 {-2, 12} 따라서 접선의 방정식은 y-12=3{x+2} / y=3x+18
3
접점을 {a, a@+3}이라 하자. y'=2x이므로 접선의 기울기는 2a 곧, 접선의 방정식은 y-a@-3=2a{x-a} yy ① 접선이 점 {1, 0}을 지나므로 -a@-3=2a{1-a} a@-2a-3=0 / a=-1 또는 a=3 ①에 대입하면a=-1일 때, y-4=-2{x+1} / y=-2x+2 a=3일 때, y-12=6{x-3} / y=6x-6
4
f{3}=6, f{0}=0, f '{x}=2x-1이므로 6-03-0=2c-1 / c=325
(차례로) <, >, >, <, < 유제8-1
f{x}=x#이라 하면 f '{x}=3x@ f{1}=1, f '{1}=3이므로 y-1=-1 3{x-1} / y=-1 3 x+ 4 3 유제8-2
f{x}=x$+x-1이라 하면 f '{x}=4x#+1 ⑴ 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하자. 직선 y=-3x+4에 평행하므로 f '{a}=-3 4a#+1=-3, a#+1=0, {a+1}{a@-a+1}=0 a는 실수이므로 a=-1 f{-1}=1-1-1=-1이므로 y+1=-3{x+1} / y=-3x-4 ⑵ 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하자. 직선 y=-1 5 x-1에 수직이므로 f '{a}=5 4a#+1=5, a#-1=0, {a-1}{a@+a+1}=0 a는 실수이므로 a=1 f{1}=1+1-1=1이므로 y-1=5{x-1} / y=5x-4 유제8-3
f{x}=x$-x라 하면 f '{x}=4x#-1 접점을 {a, f{a}}라 하면 접선의 방정식은 y-f{a}=f '{a}{x-a} y-{a$-a}={4a#-1}{x-a} yy ① 이 직선이 점 {0, -3}을 지나므로 -3-{a$-a}={4a#-1}{-a} 3a$-3=0, {a@-1}{a@+1}=0 a는 실수이므로 a=-1a=1일 때 ①은 y=3{x-1} / y=3x-3
a=-1일 때 ①은 y-2=-5{x+1} / y=-5x-3
58쪽 예제
9
⑴ f{x}=x#-x@+1이라 하면 f '{x}=3x@-2x f{-1}=-1-1+1=-1 f '{-1}=3+2=5 이므로 접선의 방정식은 y+1=5{x+1} / y=5x+4 y=f{x}와 y=5x+4에서 y를 소거하면 x#-x@+1=5x+4 x#-x@-5x-3=0 좌변이 {x+1}@으로 나누어떨어지므로 조립제법을 쓰면 {x+1}@{x-3}=0 f{3}=27-9+1=19이므로 만나는 다른 한 점의 좌표는 {3, 19}⑵ f{x}=x#-3x@-x라 하면 f '{x}=3x@-6x-1 곡선 위의 x=a인 점에서 접선의 기울기는 f '{a}=3a@-6a-1=3{a-1}@-4 이므로 a=1일 때 최소이다. f{1}=1-3-1=-3, f '{1}=-4이므로 y+3=-4{x-1} / y=-4x+1 ⑶ f{x}=x@이라 하면 f '{x}=2x 접점을 {a, f{a}}라 하면 접선의 방정식은 y-f{a}=f '{a}{x-a} / y-a@=2a{x-a} 이 직선이 점 {1, p}를 지나므로 p-a@=2a{1-a} / a@-2a+p=0 yy ① 이 방정식의 두 근을 a, b라 하면 곡선 위의 x=a, x=b인 점에서 접선의 기울기는 f '{a}=2a, f '{b}=2b 두 접선의 기울기의 곱이 -1이므로 4ab=-1 ①에서 근과 계수의 관계에 의해 ab=p이므로 4p=-1 / p=-14 유제
9-1
f{x}=x$-4x#+2x@+4라 하면 f '{x}=4x#-12x@+4x이고 f{2}=16-32+8+4=-4 f '{2}=32-48+8=-8 이므로 접선의 방정식은 y+4=-8{x-2} / y=-8x+12 y=f{x}와 y=-8x+12에서 y를 소거하면 x$-4x#+2x@+4=-8x+12 x$-4x#+2x@+8x-8=0 좌변이 {x-2}@으로 나누어떨어지므로 조립제법을 쓰면 {x-2}@{x@-2}=0 x@-2=0에서 x=-j2 따라서 만나는 다른 점의 x좌표는 j2 k, -j2 k이다. 유제9-2
f{x}=-x#+x@+x라 하면 f '{x}=-3x@+2x+1 곡선 위의 x=a인 점에서 접선의 기울기는 f '{a}=-3a@+2a+1=-3[a- 1 3 ]@+43 이므로 a=13일 때 최대이다. f[ 13 ]=-271 +19+13=1127이므로 구하는 점의 좌표는 [ 1 3 , 11 27 ] 유제9-3
f{x}=x@+x라 하면 f '{x}=2x+1 접점을 {a, f{a}}라 하면 접선의 방정식은 y-f{a}=f '{a}{x-a} / y-{a@+a}={2a+1}{x-a} 이 직선이 점 {2, p}를 지나므로 p-{a@+a}={2a+1}{2-a} / a@-4a+p-2=0 yy ① 이 방정식의 두 근을 a, b라 하면 곡선 위의 x=a, x=b인 점에서 접선의 기울기는 f '{a}=2a+1, f '{b}=2b+1 두 접선의 기울기의 곱이 -1이므로 {2a+1}{2b+1}=-1, 4ab+2{a+b}+2=0 ①에서 근과 계수의 관계에 의해 a+b=4, ab=p-2이므로 4{p-2}+8+2=0 / p=-12 59쪽 예제10
f{x}=x#+ax@+5에서 f '{x}=3x@+2ax ⑴ 두 접선이 평행하므로 기울기가 같다. 곧, f '{-1}=f '{2} 3-2a=12+4a / a=-32 ⑵ 곡선 위의 x=1인 점에서 접선의 기울기가 -3이므로 f '{1}=-3, 3+2a=-3 / a=-3 이때 f{x}=x#-3x@+5이므로 f{1}=1-3+5=3 곧, 접점이 {1, 3}이고 직선 y=-3x+b가 이 점을 지나므로 3=-3+b / b=6 ⑶ g{x}=x@+1이라 하면 g '{x}=2x x=p인 점에서 두 곡선이 접하면 f{p}=g{p}이므로 p#+ap@+5=p@+1 yy ① f '{p}=g '{p}이므로 3p@+2ap=2p yy ② p=0은 ①을 만족하지 않으므로 p=0 따라서 ②를 p로 나누면 3p+2a=2 / a=1-3 2 p ①에 대입하면 p#+[1- 3 2 p]p@+5=p@+1 p#-8=0, {p-2}{p@+2p+4}=0 p는 실수이므로 p=2 / a=1-3 2 p=-2 유제10-1
f{x}=x#+ax@-2x+4라 하자. 두 점에서 접선의 기울기가 같으므로 f '{-1}=f '{3} f '{x}=3x@+2ax-2이므로 3-2a-2=27+6a-2 / a=-3 이때 f{x}=x#-3x@-2x+4 f{-1}=b이므로 b=-1-3+2+4=2 f{3}=c이므로 c=27-27-6+4=-2유제
10-2
f{x}=x#-3x@+ax+b라 하자. 점 {1, 2}를 지나므로1-3+a+b=2 yy ①
점 {1, 2}에서 접선의 기울기가 2이므로 f '{1}=2 f '{x}=3x@-6x+a이므로 3-6+a=2 / a=5 ①에 대입하면 b=-1 또 직선 y=2x+c가 점 {1, 2}를 지나므로 2=2+c / c=0 유제
10-3
f{x}=x#+3x@+2라 하면 f '{x}=3x@+6x g{x}=3x@+ax라 하면 g '{x}=6x+a 두 곡선이 x=p인 점에서 접한다고 하자. f{p}=g{p}이므로 p#+3p@+2=3p@+ap, p#+2=ap yy ① f '{p}=g '{p}이므로 3p@+6p=6p+a, a=3p@ yy ② ②를 ①에 대입하면 p#+2=3p# p#-1=0, {p-1}{p@+p+1}=0 p는 실수이므로 p=1 ②에 대입하면 a=3 60쪽 예제11
⑴ f{x}=x#-3x이므로 f '{x}=3x@-3 또 f{-3}=-18, f{3}=18이므로 평균값 정리에 의해 18-{-18} 3-{-3} =3c@-3, c@=3 -3<c<3이므로 c=-j3 ⑵ 오른쪽 그림과 같이 x O y 5 y=f{x} 점 {0, f{0}}, {5, f{5}}를 지 나는 직선과 평행한 접선을 4개 그을 수 있으므로 실수 c의 개수 는 4 ⑶ a<x<b일 때, 구간 [a, x]에 서 평균값 정리를 생각하면 f{x}-f{a}x-a =f '{c} 를 만족하는 c가 구간 {a, x}에 적어도 하나 존재한다. 그런데 f '{c}=0이므로 f{x}-f{a}=0 따라서 f{a}=k {k는 상수}라 하면 f{x}=k이다. 유제11-1
⑴ f{x}=x{x@-3x+2}=x#-3x@+2x 이므로 f '{x}=3x@-6x+2 또 f{0}=0, f{3}=6이므로 평균값 정리에 의해 6-03-0 =3c@-6c+2, c@-2c=0, c{c-2}=0 0<c<3이므로 c=2 ⑵ f{x}=9{x-1}{x+1}0@={x@-1}@=x$-2x@+1 이므로 f '{x}=4x#-4x 또 f{-2}=f{2}=9이므로 평균값 정리에 의해 2-{-2}9-9 =4c#-4c, c{c@-1}=0 -2<c<2이므로 c=0 또는 c=-1 note f{-2}=f{2}이므로 롤의 정리라 해도 된다. 유제11-2
f '{x}-g '{x}=0이므로 9 f{x}-g{x}0'=0 따라서 예제11 ⑶에 의해 f{x}-g{x}=k, 곧 f{x}=g{x}+k {k는 상수}이다.0
1
기울기가 4인 접선의 방정식을 찾으면 된다. f{x}=x#+x라 하면 f '{x}=3x@+1 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하면 f '{a}=4, 3a@+1=4 / a=-1곧, 접점은 {1, 2}, {-1, －2}이므로 접선의 방정식은 y-2=4{x-1}, y+2=4{x+1} / y=4x-2, y=4x+2
