그런데 점 C에서 y축에 내린 수선의 발을 C '이라 하면 사각 형 OACC '의 넓이는 1\f{1}=f{1}이므로
/0! f{x}`dx<f{1} ∴ c<b
!, @에서 c<b<a
⑶ 1<t<3일 때 v{t}<0, t>3일 때 v{t}>0이므로 /1$ |v{t}|`dt
=-/1# {t@-4t+3}`dt+/3$ {t@-4t+3}`dt =-{ 13t#-2t@+3t }1# +{ 13t#-2t@+3t }3$
=4 3+4
3=8 3
⑷ x{t}=2에서 1
3t#-2t@+3t+2=2 t#-6t@+9t=0, t{t-3}@=0
t>0이므로 t=3일 때 P가 출발 지점에 다시 돌아온다.
이때까지 P가 움직인 거리는 /0# |v{t}|`dt
=/0! {t@-4t+3}`dt-/1# {t@-4t+3}`dt ={ 13t#-2t@+3t }0!-{ 13t#-2t@+3t }1#
=4 3+4
3=8 3
유제
5-1
x{t} =35+/0T {30-10t}`dt=35+{ 30t-5t@ }0T=-5t@+30t+35
⑴ x{2}=-20+60+35=75`{m}
⑵ 최고 지점에 있을 때, v{t}=0이므로 30-10t=0 ∴ t=3
따라서 최고 높이는 x{3}=-45+90+35=80`{m}
다른 풀이 x{t}=-5{t-3}@+80 이므로 t=3일 때 최고 높이는 80`m
⑶ 지면에 떨어질 때 x{t}=0이므로 -5t@+30t+35=0, t@-6t-7=0 {t+1}{t-7}=0
t>0이므로 t=7(초)
⑷ 0<t<3일 때 v{t}>0, 3<t<4일 때 v{t}<0이므로 /0# {30-10t}`dt-/3$ {30-10t}`dt
={ 30t-5t@ }0#-{ 30t-5t@ }3$=45+5=50`{m}
149쪽 예제
6
① P는 1초간 v{t}=0인 적이 없으므로 출발하고 나서 1초간 멈 춘 적이 없다. (거짓)
② t=2, t=4에서 v=0이고 좌우에서 v{t}의 부호가 바뀌므로 P는 2번 방향을 바꾼다. (거짓)
③ 오른쪽 그림에서 S1, S2, S3의
t y
O 2 4 7
2
-2
y=v{t}
S1 S3
S2
넓이는 각각 2, 2, 4이다. 곧, /0$ v{t}`dt=S1-S2=0 이므로 t=4일 때 P는 출발점 에 있다. (참)
④ /0! v{t}`dt=1
/0^ v{t}`dt=/0$ v{t}`dt+/4^ v{t}`dt=0+3=3 따라서 t=1일 때와 t=6일 때 P의 위치가 다르다. (거짓)
⑤ /0&|v{t}|`dt=S1+S2+S3=8이므로 P가 7초 동안 움직인 거리는 8이다. (참)
따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.
유제
6-1
오른쪽 그림에서 색칠한t y
O a c d
S1
S2 S3
y=v{t}
b
세 부분의 넓이를 각각 S1, S2, S3이 라 하면
/0A v{t}`dt=S1 /aD |v{t}|`dt=S2+S3
또 문제의 조건에서 S1=S2+S3 yy ㉠
① 0<t<a, c<t<d일 때 P는 원점에서 멀어진다.
a<t<c일 때 P는 원점에 가까워지지만 S1>S2이므로 P가 원점까지 움직이지는 않는다. (거짓)
② /0C v{t}`dt=S1-S2, /cD v{t}`dt=S3 이때 ㉠에서 S1-S2=S3이므로 /0C v{t}`dt=/cD v{t}`dt (참)
③ /0B v{t}`dt =/0A v{t}`dt+/aB v{t}`dt
=S1+/aB v{t}`dt yy ㉡ /bD |v{t}|`dt =-/bC v{t}`dt+/cD v{t}`dt
=-/bC v{t}`dt+S3 yy ㉢
㉡-㉢을 하면
S1+/aB v{t}`dt+/bC v{t}`dt-S3
=S1+/aC v{t}`dt-S3=S1-S2-S3=0 (∵ ㉠) 곧, /0B v{t}`dt-/bD |v{t}|`dt=0이므로
/0B v{t}`dt=/bD |v{t}|`dt (참)
④ t=a일 때 P의 위치는 S1, t=d일 때 P의 위치는 S1-S2+S3
따라서 S3>S2이면 t=d일 때 원점에서 가장 멀리 떨어져 있
150쪽 예제
7
출발 지점의 위치를 0이라 하고, t초 후 A, B의 위치를 각각 F{t}, G{t}라 하면
F{t}=/0T f{t}`dt, G{t}=/0T g{t}`dt ∴ F{t}-G{t}=/0T9 f{t}-g{t}0`dt
F{0}-G{0}=0, F{d}-G{d}=/0D f{t}`dt-/0D g{t}`dt=0 이므로 y=f{t}-g{t}의 그래프와 y=F{t}-G{t}의 그래프는 다음 그림과 같다.
t y
O a b c
d y=F{t}-G{t}
t y
O a b
c d
+ +
-y=f{t}-g{t}
① 0<t<d에서 F{t}-G{t}=0의 해가 1개이므로 A, B는 한 번 만난다. (거짓)
② a<t<b에서 F{t}-G{t}>0이므로 A가 B보다 앞에 있다.
(거짓)
③ t=b일 때 F{t}-G{t}=0이므로 A와 B가 만난다. (거짓)
④ t=c일 때 F{t}-G{t}가 최소이므로 B가 A보다 가장 멀리 앞에 있다. (참)
⑤ F{0}=G{0}, F{d}=G{d}이므로 A, B의 위치 변화량이 같고, 움직인 시간도 d로 같으므로 평균 속도도 같다. (참) 따라서 옳은 것은 ④, ⑤이다.
유제
7-1
출발 지점의 위치를 0이라 하고, t초 후 A, B의 높이 를 각각 F{t}, G{t}라 하면F{t}=/0T f{t}`dt, G{t}=/0T g{t}`dt ∴ F{t}-G{t}=/0T9 f{t}-g{t}0`dt
F{0}-G{0}=0, F{c}-G{c}=/0C f{t}`dt-/0C g{t}`dt=0 이므로 y=f{t}-g{t}의 그래프와 y=F{t}-G{t}의 그래프는 다음 그림과 같다.
다. (거짓)
⑤ P가 t=0에서 t=d까지 움직인 거리는 S1+S2+S3=S1+{S2+S3}=2S1
P가 t=0에서 t=a까지 움직인 거리는 S1 이므로 2배이다. (참)
따라서 옳지 않은 것은 ①, ④이다.
t y
O a b c
y=f{t}-g{t} y=F{t}-G{t}
t y
O a b c
⑴ t=a일 때 F{a}-G{a}>0이므로 A는 B보다 높은 위치에 있다. (참)
⑵ t=b일 때 F{t}-G{t}가 최대이므로 A와 B의 높이 차가 최대이다. (참)
⑶ F{c}=G{c}이므로 t=c일 때 A와 B의 높이가 같다. (참) note ⑴ 넓이를 생각하면 /0A f{t}`dt>/0A g{t}`dt이다.
따라서 t=a에서 A가 B보다 높은 위치에 있다고 해도 된다.
151~152쪽 연습 문제
01
⑴ 8 ⑵ 3202
③03
1004
④05
4초06
①07
①08
③09
①10
144p`cm#01
⑴ t초 후 P의 위치를 x{t}라 하면x{t}=/0T {8-2t}`dt={ 8t-t@ }0T=8t-t@
x{t}=0에서 8t-t@=0, t{t-8}=0 ∴ t=0 또는 t=8
따라서 P는 t=8일 때 다시 원점을 지난다.
⑵ t=0에서 t=8까지 P가 움직인 거리는
/0*|8-2t|`dt =/0$ {8-2t}`dt+/4* {2t-8}`dt
={ 8t-t@ }0$ +{ t@-8t }4*
=16+16=32
02
/0#% v{t}`dtt y
O 20
-10 -20
20 3035 40 y=v{t}
=/0@) t`dt+/20#% {60-2t}`dt
={ 1
2 t@ }0@)+{ 60t-t@ }20#%
=200+75=275
따라서 열기구의 높이는 275`m이다.
03
v{t}=0일 때 멈추므로 30-at=0에서 t=30 a 이때 자동차가 이동한 거리는/0
30
a {30-at}`dt ={ 30t- 12at@ }0
30 a
=900 a -450
a =450 a
주어진 조건에서 450
a =45이므로 a=10
04
ㄱ. a<t<b에서 v{t}>0이므로 위치 변화량이 움직인 거 리이다.따라서 P가 움직인 거리는 /aB v{t}`dt이다. (참)
ㄴ. t=b의 좌우에서 속도의 부호가 바뀌므로 P는 움직이는 방 향을 바꾼다. (참)
ㄷ. 순간적으로 정지 상태일 때 속도는 0이지만 P는 t=a에서 속 도가 양수이다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
05
주어진 그림에서 vp{t}=-t+4, vq{t}=2t-2 시각 t에서 P, Q의 위치를 각각 xp{t}, xq{t}라 하면 xp{t}=/0T {-t+4}`dt={ - 12t@+4t }0T=- 12t@+4t xq{t}=/0T {2t-2}`dt={ t@-2t }0T=t@-2tP, Q가 다시 만날 때 xp{t}=xq{t}이므로 -1
2t@+4t=t@-2t, 3
2t{t-4}=0 t>0이므로 t=4(초)
06
x0에서 출발하면 위치는 x{t}=x0+/0T v{t}`dt이다.시각 t에서 P의 위치를 x{t}라 하면 x{t}=/0T {t@+at+b}`dt= 13t#+1
2at@+bt x{1}=5
6이므로 1 3+1
2a+b=5 6 ∴ a+2b=1 yy ① x{2}=2
3이므로 8
3+2a+2b=2 3 ∴ a+b=-1 yy ②
①, ②를 연립하여 풀면 a=-3, b=2 x{t}=1
3 t#-3
2 t@+2t이므로 t=0에서 t=3까지 P의 위치 변화 량은
x{3}-x{0}=3 2
07
반대 방향으로 움직이면 속도의 부호가 반대이다.v{0}=10>0이므로 P가 처음 출발한 방향과 반대 방향으로 움 직인 시간에는 속도가 음수이다.
곧, v{t}=t@-7t+10<0에서 {t-2}{t-5}<0 ∴ 2<t<5
따라서 처음 출발한 방향과 반대 방향으로 움직인 거리는 /2%9-{t@-7t+10}0`dt =/2%9-{t-2}{t-5}0`dt
=1
6\{5-2}#=9 2
08
위치 변화량 /aB v{t}`dt 이동한 거리 /aB|v{t}|`dt① /0@ v{t}`dt= 12\2\2=2
/3& v{t}`dt=- 12\{4+2}\2=-6 /7!) v{t}`dt= 12\{3+1}\2=4
따라서 위치 변화량은 /0!) v{t}`dt=0이므로 P는 출발하고 10초 후 다시 원점에 도착한다. (참)
② 2초에서 3초까지 속도가 0이므로 P가 출발하고 1초간 멈춘 다. (참)
③ 2<t<3, 4<t<6, 8<t<9에서 가속도가 0이므로 P의 가속 도가 0인 시간은 4초이다. (거짓)
④ ①에서 /0!)|v{t}|`dt=2+6+4=12이므로 P가 움직인 거 리는 12이다. (참)
⑤ 속도의 부호가 2번 바뀌므로 P는 움직이는 동안 방향을 2번 바꾼다. (참)
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
09
x0에서 출발하면 위치는 x{t}=x0+/0T v{t}`dt이다.시각 t에서 P, Q의 위치를 각각 xp{t}, xq{t}라 하면 xp{t}=2+/0T {-2t+1}`dt=-t@+t+2 xq{t}=6+/0T {4t-5}`dt=2t@-5t+6 시각 t에서 P, Q 사이의 거리는
|{2t@-5t+6}-{-t@+t+2}| =|3t@-6t+4|
=|3{t-1}@+1|
따라서 t=1일 때 최소이다.
10
t초 동안 흘러 나온 물의 양은 (단면적)\/0T|v{t}|`dt 물이 멈출 때 v{t}=0이므로 -t@+6t=0에서-t{t-6}=0 ∴ t=0 또는 t=6 물이 멈출 때까지 흘러 나온 물의 양은 4p/0^{-t@+6t}`dt =4p{ -1
3t#+3t@ }0^
=4p\36=144p`{cm#}
1-1
f{x}=x#-x@=x@{x-1}이라 하면 곡선 y=f{x}는 원 점 O에서 x축에 접하고 점 C를 지난다.153쪽
01
①02
3403
⑤04
4실력 문제 154쪽
01
정적분을 이용하여 S1, S2, S3을 구하고 2S2=S1+S3 을 이용한다.! S1=/0! 1
2x@`dx={ 1 6x# }0!=1
6
@ 오른쪽 그림과 같이 S3은 직사각형
x y
O
y=ax@
1 1
S3
A B C
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ja1
O A B C의 넓이에서 색칠한 부분의 넓이를 뺀 값이다.
ax@=1에서 x>0이므로 x= 1 ja k 이때 오른쪽 그림에서 색칠한 두 부분
x y
O
y=f{x}
-1
2 1
A B
D C
4
y=ax
의 넓이가 같으므로 /0@9 f{x}-ax0`dx=0 /0@ {x#-x@-ax}`dx=0 { 14x$-1
3x#-a 2x@ }0@=0 4-8
3-2a=0 ∴ a=2 3
2-1
주어진 조건을 좌표평면 위에 나타낼 때, S{t}는 다음 두 그림에서 색칠한 부분들의 넓이의 합{S1+S2}이다.x y
O A{t, 0}
B{t, t@}
x y
O A{t, 0}
B{t, t@}
S1
S2
y=x@ y=x@
C C
[그림 1] [그림 2]
![그림 1]에서 S1=/0T x@`dx={ 1 3x# }0T=1
3t#
@[그림 2]에서 S2=(반원의 넓이)-△OAB 원 C의 반지름의 길이를 r라 하면 r=1
2 OBZ= 12 1t@+t$ 3
△OAB=1
2\OAZ\ABZ= 12\t\t@=1 2t#이므로 S2=p
2 r@-1 2t#=p
8 {t@+t$}-1 2t#
!, @에서 S{t}=S1+S2=p
8 {t$+t@}-1 6t#
S '{t}=p
4 {2t#+t}-1
2 t@이므로 S '{1}=
3p-2 4
∴ S3=1\ 1 note /0!9ax{1-x}-{x$-x#}0`dx=7
40 을 계산해도 된다.