02 정적분

119^쪽 예제

3

⑴ /1${2x@+3x-1}`dx ={ 2 3x#+3

2x@-x }1$

=2

3{4#-1#}+3

2{4@-1@}-{4-1}

=123 2

다른 풀이 { 2 3x#+3

2x@-x }1$

=[2 3\4#+3

2\4@-4]-[2 3\1#+3

2\1@-1]

=123 2

⑵ /0${x#+2x}`dx+/4@{x#+2x}`dx

=/0@{x#+2x}`dx={ 1 4x$+x@ }0@

=1

4{2$-0$}+{2@-0@}=8

⑶ /-1@ {x@-1}@`dx-/-1@ {t@+1}@`dt

=/-1@ {x@-1}@`dx-/-1@ {x@+1}@`dx

=/-1@ 9{x@-1}@-{x@+1}@0`dx=/-1@ {-4x@}`dx

={ - 43x# }-1@ =- 4392#-{-1}#0=-12

유제

3-1

^⑴ /-3@ {-3x@+4x}`dx

={ -x#+2x@ }-3@

=-92#-{-3}#0+292@-{-3}@0=-45

⑵ /2){t@-t+1}`dt ={ 13t#-1 2t@+t }2)

=1

3{0#-2#}-1

2{0@-2@}+{0-2}

=-8 3

⑶ /1@{4-x@}`dx+/2#{4-x@}`dx

=/1#{4-x@}`dx={ 4x-1 3x# }1#

=4{3-1}-1

3{3#-1#}=-2 3

⑷ /1$ 4x+2`dx-/1$ y@y+2`dy

=/1$ 4

x+2`dx-/1$ x@

x+2`dx

=/1$ 4-x@

x+2`dx=/1$ -{x+2}{x-2}

x+2 `dx

=-/1$ {x-2}`dx=-{ 1

2x@-2x }1$

=-1

2{4@-1@}+2{4-1}=-3 2

120^쪽 예제

4

⑴ /-2@ {x#+2x@-3x+4}`dx

=/-2@ {x#-3x}`dx+/-2@ {2x@+4}`dx

=0+2/0@{2x@+4}`dx

=2{ 2

3x#+4x }0@=2[2

3\2#+4\2]=80 3

⑵ /;> a{x-a}{x-b}`dx

=a/;>9x@-{a+b}x+ab0`dx

=a{ 1

3x#-a+b

2 x@+abx };>

=a- 1

3{b#-a#}-{a+b}{b@-a@}

2 +ab{b-a} =

=a

6{b-a}92{b@+ab+a@}-3{b+a}@+6ab0

=a

6{b-a}{-b@+2ab-a@}

=-a 6{b-a}#

유제

4-1

^⑴ /-1! {x$-3x@+3x}`dx

=/-1! {x$-3x@}`dx+/-1! 3x`dx

=2/0!{x$-3x@}`dx+0

=2{ 15x%-x# }0!=2[ 15-1]=-8 5

⑵ /-2) {x%+4x#-2x@+1}`dx+/0@{x%+4x#-2x@+1}`dx

=/-2@ {x%+4x#-2x@+1}`dx

=/-2@ {x%+4x#}`dx+/-2@ {-2x@+1}`dx

=0+2/0@{-2x@+1}`dx

=2{ - 23x#+x }0@=2[- 23\2#+2]=-20 3

유제

4-2

/;> a{x-a}{x-b}`dx=- a6{b-a}#

을 이용한다.

⑴ /1# 2{x-1}{x-3}`dx=- 26{3-1}#=-8 3

⑵ -x@-x+2=-{x@+x-2}=-{x+2}{x-1}

이므로

/-2! {-x@-x+2}`dx=- -16 91-{-2}0#= 9 2

121^쪽 예제

5

⑴ /0$ f{x}`dx =/0@ f{x}`dx+/2$ f{x}`dx

=/0@{-2x+4}`dx+/2${x@-2x}`dx

={ -x@+4x }0@+{ 13x#-x@ }2$

={-2@+4\2}+- 13{4#-2#}-{4@-2@} =

=32 3

⑵ -1<x<1일 때 x@-1<0, x>1일 때 x@-1>0이므로 /-1@ |x@-1|`dx

=/-1! 9-{x@-1}0`dx+/1@{x@-1}`dx

={ -1

3 x#+x }-1! +{ 1 3 x#-x }1@

=- -1

3 91#-{-1}#0+1-{-1} =+- 1

3 {2#-1#}-{2-1} =

=8 3

note /-1! 9-{x@-1}0`dx=2/0!9-{x@-1}0`dx 를 이용하여 계산해도 된다.

⑶ /9!@ f{x}`dx =/9!! f{x}`dx+/11!@ f{x}`dx

=/-1! f{x}`dx+/-1) f{x}`dx 이때

/-1! f{x}`dx =/-1! {x@+1}`dx=2/0!{x@+1}`dx

=2{ 1

3x#+x }0!=2[1

3+1]=8 3 /-1) f{x}`dx =/-1) {x@+1}`dx={ 13x#+x }-1)

=-[-1

3 ]-{-1}=4 3 ∴ (주어진 식)=8

3+4 3=4

유제

5-1

/0$ f{x}`dx =/0! f{x}`dx+/1$ f{x}`dx

=/0!{x#+1}`dx+/1${3-x}`dx

={ 1

4x$+x }0!+{ 3x-1 2x@ }1$

=[1

4+1]+- 3{4-1}-1

2{4@-1@} =

=11 4

유제

5-2

⑴ 0<x<3일 때 f{x}=-x@+3x, 3<x<4일 때 f{x}=x@-3x이므로

/0$ f{x}`dx

=/0# f{x}`dx+/3$ f{x}`dx

=/0#{-x@+3x}`dx+/3${x@-3x}`dx ={ - 13x#+3

2x@ }0#+{ 13x#-3 2x@ }3$

=[- 13\3#+3

2\3@]+- 13{4#-3#}-3

2{4@-3@} = =19

3

⑵ /0( g{x}`dx =/0# g{x}`dx+/3^ g{x}`dx+/6( g{x}`dx

=3/0# g{x}`dx=3/0# f{x}`dx 이때

/0# f{x}`dx =/0#{-x@+3x}`dx={ -1 3x#+3

2x@ }0#

=-1 3\3#+3

2\3@=9 2 ∴ (주어진 식)=3\9

2=27 2

y=f{x}

O x y

4 3

y=g{x}

O x y

3 6 9

-3

y y

note /;> a{x-a}{x-b}`dx=-a

6{b-a}#이므로 /0#{-x@+3x}`dx =/0#9-x{x-3}0`dx

=--1

6 {3-0}#=

9 2

122^쪽 예제

6

⑴ f{0}=-1이므로 f{x}=ax@+bx-1이라 하면 /-1! f{x}`dx =/-1! {ax@+bx-1}`dx

=2/0!{ax@-1)`dx

=2{ a

3x#-x }0!=2 3a-2 /0! f{x}`dx =/0!{ax@+bx-1}`dx

={ a 3x#+b

2x@-x }0!=a 3+b

2-1 /-1) f{x}`dx =/-1) {ax@+bx-1}`dx

={ a 3x#+b

2x@-x }-1) =a 3-b

2-1

주어진 조건에서 2

3a-2=a 3+b

2-1=a 3-b

2-1 연립하여 풀면 b=0, a=3

∴ f{x}=3x@-1

⑵ /0$|x-a|`dx =/0A{-x+a}`dx+/a${x-a}`dx

={-1

2x@+ax }0A+{1

2x@-ax }a$

=[-1

2a@+a@]+- 1

2{4@-a@}-a{4-a} =

=a@-4a+8={a-2}@+4 따라서 a=2일 때 최소이고, 최솟값은 4이다.

다른 풀이 /0$|x-a|`dx는

O x

y y=|x-a|

a 4-a 4

오른쪽 그림에서 색칠한 두 삼각형 의 넓이의 합이므로

1 2a@+1

2{4-a}@=a@-4a+8 유제

6-1

f{x}=ax@+bx+c라 하면 /0P f{x}`dx =/0P{ax@+bx+c}`dx

={ a 3x#+b

2x@+cx }0P

=a 3p#+b

2p@+cp yy ① /-p) f{x}`dx =/-p) {ax@+bx+c}`dx

={ a 3x#+b

2x@+cx }-p)

=a 3p#-b

2p@+cp yy ② 주어진 조건에서 ①=②이므로

a 3p#+b

2p@+cp=a 3p#-b

2p@+cp, bp@=0 p=0이므로 b=0

따라서 포물선의 축은 직선 x=0, 곧 y축이다.

유제

6-2

/-1! 9a@+{2-a#}x@0`dx

=2/0!9a@+{2-a#}x@0`dx

=2{ a@x+1

3{2-a#}x# }0!=-2

3a#+2a@+4 3 f{a}=-2

3a#+2a@+4 3라 하면 f '{a}=-2a@+4a=-2a{a-2}

f '{a}=0에서 a=0 또는 a=2 f{a}의 증감표는 다음과 같다.

a -1 y 0 y 2 y 3

f '{a} - 0 + 0

f{a} 4 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 3$

f{a}는 a=-1 또는 a=2에서 최대이고, f{-1}=4, f{2}=4

이므로 최댓값은 4이다.

유제

6-3

f{x}=ax#+bx@+cx+d라 하면 /-1! f{x}`dx =/-1! {ax#+bx@+cx+d}`dx

=2/0!{bx@+d}`dx=2{ b

3x#+dx }0!

=2

3b+2d yy ①

p f{j2 k}+p f{-j2 k}에서 x#과 x에 대입하는 경우는 소거되므로 p f{j2 k}+q f{0}+p f{-j2 k}

=p{2b+d}+qd+p{2b+d}

=4pb+{2p+q}d yy ② 주어진 조건에서 ①=②이므로

2

3b+2d=4pb+{2p+q}d

이 등식이 삼차 이하의 모든 다항식 f{x}에 대하여 성립하므로 모든 b, d에 대하여 성립한다. 곧,

2

3=4p, 2=2p+q ∴ p=1 6, q=5

3

123^~125^쪽 연습 문제

01

^③

02

^④

03

^{⑴ 0 ⑵ 16}_{3 ⑶} ^-2

04

⑴ 2022 ⑵ 59

3

05

^④

06

^②

07

^①

08

^③

09

^③

10

⁸

11

^-16₃

12

^④

13

^①

14

¹⁶

15

^②

16

⁶

17

^①

18

^③

01

/0!{2x+a}`dx={ x@+ax }0!=1+a 이므로 1+a=4 ∴ a=3

02

/-aA {3x@+2x}`dx=2/0A 3x@`dx=2{ x# }0A=2a#

이므로 2a#=1 4, a#=1

8 a는 실수이므로 a=1

2 ∴ 50a=25

03

^⑴ /1#{2x@-x+1}`dx+/3!{2x@-x+1}`dx

=/1#{2x@-x+1}`dx-/1#{2x@-x+1}`dx=0

⑵ /-2@ x{x#+x@-1}`dx+/-2@ y@{y#-y@+1}`dy `

=/-2@ x{x#+x@-1}`dx+/-2@ x@{x#-x@+1}`dx

=/-2@ 9x{x#+x@-1}+x@{x#-x@+1}0`dx

=/-2@ {x%+x#+x@-x}`dx

=2/0@ x@`dx=2{ 1

3x# }0@=16 3

⑶ /0${2x#-6x+1}`dx+/4^{2x#-6x+1}`dx +/6@{2x#-6x+1}`dx

=/0^{2x#-6x+1}`dx+/6@{2x#-6x+1}`dx

=/0@{2x#-6x+1}`dx={ 1

2x$-3x@+x }0@

=8-12+2=-2

04

^⑴ /-1! {1+2x+3x@+y+2022x@)@!}`dx

=2/0!{1+3x@+5x$+y+2021x@)@)}`dx

=2{ x+x#+x%+y+x@)@! }0!

2021=2\1011-1이므로 구하는 값은 2\1011=2022

⑵ x@+2x-3={x+3}{x-1}이므로

-2<x<1에서 x@+2x-3<0, x>1에서 x@+2x-3>0 ∴ /-2# |x@+2x-3|`dx

=/-2! 9-{x@+2x-3}0`dx+/1# {x@+2x-3}`dx

=-{ 1

3x#+x@-3x }-2! +{ 1

3x#+x@-3x }1#

=-- 1

3{1+8}+{1-4}-3{1+2} =

+1

3{27-1}+{9-1}-3{3-1}

=59 3

05

/-1! 9 f{x}0@`dx =/-1! {x@+2x+1}`dx

=2/0!{x@+1}`dx=2{ 1

3x#+x }0!=8 3 k- /-1! {x+1}`dx =@=k[2/0! 1`dx]@=k[2{ x }0!]@=4k 이므로 8

3=4k에서 k=2 3

06

/1% f{x}`dx =/1$ f{x}`dx+/4% f{x}`dx

=/1$ f{x}`dx+/3% f{x}`dx-/3$ f{x}`dx

=A+C-B

다른 풀이 다음 그림에서 /1% f{x}`dx=A+C-B

x y=f{x}

1 3 4 5

B C

x y=f{x}

1 3 4 5

A

07

_k=1^?nak=a1+a2+a3+y+an (수학 I 과정)

an =/0! xN{x-1}`dx=/0! {xN"!-xN}`dx

={ 1

n+2xN"@- 1

n+1xN"! }0!= 1 n+2- 1

n+1

∴ ?¹⁰

n=1an =?¹⁰

n=1[ 1n+2- 1 n+1 ]

=[1 3-1

2 ]+[1 4-1

3 ]+[1 5-1

4 ]+y+[ 1 12- 1

11 ]

=-1 2+ 1

12=- 5 12

08

그래프를 평행이동하면 정적분의 적분구간도 같이 평행 이동한다.

곡선 y=f{x+5}는 곡선 y=f{x}를 x축 방향으로 -5만큼 평 행이동한 것이므로 적분구간도 -5씩 평행이동되었다 생각할 수 있다.

∴ /-7! f{x+5}`dx=/-2^ f{x}`dx=10

x y=f{x}

-2 6 x

y=f{x+5}

-7 1

09

정적분의 정의와 미분의 정의를 생각한다.

S{a}=0, S '{t}=f{t}이므로 lim

t`! a

S{t}

t-a=lim

t`! a

S{t}-S{a}

t-a =S '{a}=f{a}=b

10

f '{x}의 부호를 조사한 다음 /aB f '{x}`dx=f{b}-f{a}임을 이용한다.

0<x<1에서 f{x}가 증가하므로 f '{x}>0 1<x<3에서 f{x}가 감소하므로 f '{x}<0

∴ /0#| f '{x}|`dx =/0! f '{x}`dx-/1# f '{x}`dx

={ f{x} }0!-{ f{x} }1#

=f{1}-f{0}-9 f{3}-f{1}0

=1-{-3}-{-3}+1=8

다른 풀이 f '{x}=0의 해가 x=1 또는 x=3이므로 f '{x}=a{x-1}{x-3}으로 놓으면

f{x}=?a{x-1}{x-3}`dx=a[ 13x#-2x@+3x]+C f{1}=1이므로 4

3a+C=1 yy`① f{3}=-3이므로 C=-3

①에 대입하면 4

3a-3=1 ∴ a=3 ∴ /0# | f '{x}|`dx

=3/0# |{x-1}{x-3}|`dx

=3/0! {x-1}{x-3}`dx-3/1# {x-1}{x-3}`dx

=8

11

f{x}=ax@+bx+c로 놓고 a, b, c의 값을 구한다.

f{x}가 이차함수이므로 f{x}=ax@+bx+c로 놓을 수 있다.

f{0}=-2이므로 c=-2

f{-x}=f{x}이므로 ax@-bx-2=ax@+bx-2 2bx=0 ∴ b=0

따라서 f{x}=ax@-2이고, f '{x}=2ax이므로 f{ f '{x}}=f{2ax}=4a#x@-2

f '{ f{x}}=f '{ax@-2}=2a{ax@-2}=2a@x@-4a 에서 4a#x@-2=2a@x@-4a

상수항을 비교하면 -2=-4a ∴ a=1 2 이때 4a#=2a@이므로 f{x}=1

2x@-2 부등식 f{x}<0의 해는 1

2x@-2<0, x@<4 ∴ -2<x<2 ∴ a=-2, b=2 ∴ /-2@ f{x}`dx =/-2@ [1

2x@-2]`dx=/0@ {x@-4}`dx

={ 1

3x#-4x }0@=-16 3

12

f{x}를 구한 다음, x에 x-1을 대입하여 f{x-1}을 구한다.

f{x}=- 2x+4 {x<0}

4 {x>0}이므로

f{x-1}=- 2{x-1}+4 {x-1<0}

4 {x-1>0}

∴ f{x-1}=- 2x+2 {x<1}

4 {x>1}

∴ /-2@ xf{x-1}`dx =/-2! x{2x+2}`dx+/1@ 4x`dx

={ 2

3x#+x@ }-2! +{ 2x@ }1@

=2

3{1+8}+{1-4}+2{4-1}

=9

13

f{x}의 주기가 3임을 이용하여 y=f{x}의 그래프를 그린다.

O x y

1 -1

-2 -3 -4

-5 2 3 4 5

1 y=f{x}

y= f{x}의 그래프가 위의 그림과 같이 y축에 대칭이므로 /-aA f{x}`dx=2/0A f{x}`dx=13 ∴ /0A f{x}`dx= 132` 따라서 구간 [0, a]에서 y=f{x}의 그래프와 x축, 직선 x=a로 둘러싸인 부분의 넓이가 13

2 이다.

한편 구간 [0, 3]에서 y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부 분의 넓이는 1

2\1\1+1@+1

2\1\1=2이므로 /0# f{x}`dx=2

13

2=2\3+1

2이므로 a=3\3+1=10

14

함수 g{x}부터 구한다.

g{x}={x-a}#+b이고, g{0}=0이므로

-a#+b=0, b=a# ∴ g{x}={x-a}#+a#

이때

/a#A g{x}`dx-/0@A f{x}`dx

=/a#A9{x-a}#+a#0`dx-/0@A x#`dx ={ {x-a}$

4 +a#x }a#A-{ x$4}0@A`

=4a$+3a$-a$-4a$=2a$

주어진 조건에서 2a$=32 ∴ a$=16

다른 풀이 y=f{x}, y=g{x}의 그래프는 다음 그림과 같고, 색칠한 두 부분의 넓이는 같다.

O x

y y=f{x} y

S1

2a O x

y=g{x}

S1 3a a

b

S1=/0@A f{x}`dx라 하면 /a#A g{x}`dx=S1+b{3a-a}

∴ /a#A g{x}`dx-/0@A f{x}`dx=b{3a-a}

주어진 조건에서 b{3a-a}=32이므로 ab=16 또 g{0}=0에서 b=a#이므로 a$=ab=16

15

y=f{x}의 그래프가 직선 x=2에 대칭임을 이용하여 /0! f{x}`dx, /1@ f{x}`dx의 값을 구한다.

y=f{x}의 그래프가 직선 x=2에 대칭이고

1

^{⑴ f{-1}=}/-1_! {t@-2t}`dt=0

⑵ f{x} =/-1X {t@-2t}`dt={ 1

3t#-t@ }-1X

=1

3{x#+1}-{x@-1}=1

3 x#-x@+

4 3

⑶ f '{x}=x@-2x

2

^{⑴ f{x} =}/x@X"!{1-2t}`dt ={ t-t@ }x@X"!

={2x+1-x}-9{2x+1}@-x@0=-3x@-3x

⑵ f '{x}=-6x-3

3

/1X f{t}`dt=2x@+x-3의 양변을 x에 대하여 미분하면 f{x}=4x+1

4

⑴ f{x}=2x+1+a yy ① 이므로 /0@ f{x}`dx=a에서 /0@{2x+1+a}`dx=a

(좌변)={ x@+{1+a}x}0@=4+2{1+a}=2a+6이므로 127^쪽 개념 확인

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