57쪽 예제
8
f{x}=x#-x라 하면 f '{x}=3x@-1
⑴ f{-2}=-8+2=-6, f '{-2}=12-1=11이므로 y+6=11{x+2} / y=11x+16
⑵ f{2}=8-2=6, f '{2}=12-1=11이므로 y-6=- 1
11{x-2} / y=- 1 11 x+68
11
⑶ 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하면 f '{a}=2 3a@-1=2, a@=1 / a=-1
a=1일 때, f{1}=1-1=0이므로 y-0=2{x-1} / y=2x-2 a=-1일 때, f{-1}=-1+1=0이므로 y-0=2{x+1} / y=2x+2
⑷ 접점을 {a, f{a}}라 하면 접선의 방정식은 y-f{a}=f '{a}{x-a}
y-{a#-a}={3a@-1}{x-a} yy ① 이 직선이 점 {-1, 1}을 지나므로
1-{a#-a}={3a@-1}{-1-a}
a@{2a+3}=0 / a=0 또는 a=-3 2 a=0일 때, ①에 대입하면 y=-x
a=-3
2 일 때, ①에 대입하면 y-[-27
8 +3 2 ]=[27
4-1][x+3 2 ] / y=23
4 x+27 4
@ a=-2일 때, f{-2}=12이므로 접점은 {-2, 12}
따라서 접선의 방정식은 y-12=3{x+2}
/ y=3x+18
3
접점을 {a, a@+3}이라 하자.y'=2x이므로 접선의 기울기는 2a
곧, 접선의 방정식은 y-a@-3=2a{x-a} yy ① 접선이 점 {1, 0}을 지나므로 -a@-3=2a{1-a}
a@-2a-3=0 / a=-1 또는 a=3
①에 대입하면
a=-1일 때, y-4=-2{x+1} / y=-2x+2 a=3일 때, y-12=6{x-3} / y=6x-6
4
f{3}=6, f{0}=0, f '{x}=2x-1이므로 6-03-0=2c-1 / c=3 2
5
(차례로) <, >, >, <, <유제
8-1
f{x}=x#이라 하면 f '{x}=3x@f{1}=1, f '{1}=3이므로 y-1=-1
3{x-1} / y=-1 3 x+
4 3 유제
8-2
f{x}=x$+x-1이라 하면 f '{x}=4x#+1⑴ 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하자.
직선 y=-3x+4에 평행하므로 f '{a}=-3 4a#+1=-3, a#+1=0, {a+1}{a@-a+1}=0 a는 실수이므로 a=-1
f{-1}=1-1-1=-1이므로
y+1=-3{x+1} / y=-3x-4
⑵ 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하자.
직선 y=-1
5 x-1에 수직이므로 f '{a}=5 4a#+1=5, a#-1=0, {a-1}{a@+a+1}=0 a는 실수이므로 a=1
f{1}=1+1-1=1이므로
y-1=5{x-1} / y=5x-4 유제
8-3
f{x}=x$-x라 하면 f '{x}=4x#-1 접점을 {a, f{a}}라 하면 접선의 방정식은 y-f{a}=f '{a}{x-a}y-{a$-a}={4a#-1}{x-a} yy ① 이 직선이 점 {0, -3}을 지나므로
-3-{a$-a}={4a#-1}{-a}
3a$-3=0, {a@-1}{a@+1}=0 a는 실수이므로 a=-1
a=1일 때 ①은 y=3{x-1} / y=3x-3
a=-1일 때 ①은 y-2=-5{x+1} / y=-5x-3
58쪽 예제
9
⑴ f{x}=x#-x@+1이라 하면 f '{x}=3x@-2x f{-1}=-1-1+1=-1
f '{-1}=3+2=5 이므로 접선의 방정식은
y+1=5{x+1} / y=5x+4 y=f{x}와 y=5x+4에서 y를 소거하면 x#-x@+1=5x+4
x#-x@-5x-3=0
좌변이 {x+1}@으로 나누어떨어지므로 조립제법을 쓰면 {x+1}@{x-3}=0
f{3}=27-9+1=19이므로 만나는 다른 한 점의 좌표는 {3, 19}
⑵ f{x}=x#-3x@-x라 하면 f '{x}=3x@-6x-1 곡선 위의 x=a인 점에서 접선의 기울기는 f '{a}=3a@-6a-1=3{a-1}@-4 이므로 a=1일 때 최소이다.
f{1}=1-3-1=-3, f '{1}=-4이므로 y+3=-4{x-1} / y=-4x+1
⑶ f{x}=x@이라 하면 f '{x}=2x
접점을 {a, f{a}}라 하면 접선의 방정식은 y-f{a}=f '{a}{x-a}
/ y-a@=2a{x-a}
이 직선이 점 {1, p}를 지나므로
p-a@=2a{1-a} / a@-2a+p=0 yy ① 이 방정식의 두 근을 a, b라 하면
곡선 위의 x=a, x=b인 점에서 접선의 기울기는 f '{a}=2a, f '{b}=2b
두 접선의 기울기의 곱이 -1이므로 4ab=-1
①에서 근과 계수의 관계에 의해 ab=p이므로 4p=-1 / p=-1
4
유제
9-1
f{x}=x$-4x#+2x@+4라 하면 f '{x}=4x#-12x@+4x이고f{2}=16-32+8+4=-4 f '{2}=32-48+8=-8 이므로 접선의 방정식은
y+4=-8{x-2} / y=-8x+12 y=f{x}와 y=-8x+12에서 y를 소거하면 x$-4x#+2x@+4=-8x+12 x$-4x#+2x@+8x-8=0
좌변이 {x-2}@으로 나누어떨어지므로 조립제법을 쓰면 {x-2}@{x@-2}=0
x@-2=0에서 x=-j2
따라서 만나는 다른 점의 x좌표는 j2 k, -j2 k이다.
유제
9-2
f{x}=-x#+x@+x라 하면 f '{x}=-3x@+2x+1곡선 위의 x=a인 점에서 접선의 기울기는 f '{a}=-3a@+2a+1=-3[a- 13 ]@+4
3 이므로 a=1
3일 때 최대이다.
f[ 13 ]=- 1 27+1
9+1 3=11
27이므로 구하는 점의 좌표는 [ 13 ,
11 27 ]
유제
9-3
f{x}=x@+x라 하면 f '{x}=2x+1 접점을 {a, f{a}}라 하면 접선의 방정식은 y-f{a}=f '{a}{x-a}/ y-{a@+a}={2a+1}{x-a}
이 직선이 점 {2, p}를 지나므로 p-{a@+a}={2a+1}{2-a}
/ a@-4a+p-2=0 yy ① 이 방정식의 두 근을 a, b라 하면
곡선 위의 x=a, x=b인 점에서 접선의 기울기는 f '{a}=2a+1, f '{b}=2b+1
두 접선의 기울기의 곱이 -1이므로
{2a+1}{2b+1}=-1, 4ab+2{a+b}+2=0
①에서 근과 계수의 관계에 의해 a+b=4, ab=p-2이므로 4{p-2}+8+2=0 / p=-1
2
59쪽 예제
10
f{x}=x#+ax@+5에서 f '{x}=3x@+2ax
⑴ 두 접선이 평행하므로 기울기가 같다. 곧, f '{-1}=f '{2}
3-2a=12+4a / a=-3 2
⑵ 곡선 위의 x=1인 점에서 접선의 기울기가 -3이므로 f '{1}=-3, 3+2a=-3 / a=-3 이때 f{x}=x#-3x@+5이므로 f{1}=1-3+5=3 곧, 접점이 {1, 3}이고 직선 y=-3x+b가 이 점을 지나므로 3=-3+b / b=6
⑶ g{x}=x@+1이라 하면 g '{x}=2x x=p인 점에서 두 곡선이 접하면
f{p}=g{p}이므로 p#+ap@+5=p@+1 yy ① f '{p}=g '{p}이므로 3p@+2ap=2p yy ② p=0은 ①을 만족하지 않으므로 p=0
따라서 ②를 p로 나누면 3p+2a=2 / a=1-3 2 p ①에 대입하면 p#+[1- 32 p]p@+5=p@+1
p#-8=0, {p-2}{p@+2p+4}=0 p는 실수이므로 p=2 / a=1-3
2 p=-2 유제
10-1
f{x}=x#+ax@-2x+4라 하자.두 점에서 접선의 기울기가 같으므로 f '{-1}=f '{3}
f '{x}=3x@+2ax-2이므로
3-2a-2=27+6a-2 / a=-3 이때 f{x}=x#-3x@-2x+4
f{-1}=b이므로 b=-1-3+2+4=2 f{3}=c이므로 c=27-27-6+4=-2
유제
10-2
f{x}=x#-3x@+ax+b라 하자.점 {1, 2}를 지나므로
1-3+a+b=2 yy ①
점 {1, 2}에서 접선의 기울기가 2이므로 f '{1}=2 f '{x}=3x@-6x+a이므로 3-6+a=2 / a=5
①에 대입하면 b=-1
또 직선 y=2x+c가 점 {1, 2}를 지나므로 2=2+c / c=0
유제
10-3
f{x}=x#+3x@+2라 하면 f '{x}=3x@+6x g{x}=3x@+ax라 하면 g '{x}=6x+a두 곡선이 x=p인 점에서 접한다고 하자.
f{p}=g{p}이므로
p#+3p@+2=3p@+ap, p#+2=ap yy ① f '{p}=g '{p}이므로
3p@+6p=6p+a, a=3p@ yy ②
②를 ①에 대입하면 p#+2=3p#
p#-1=0, {p-1}{p@+p+1}=0 p는 실수이므로 p=1
②에 대입하면 a=3
60쪽 예제
11
⑴ f{x}=x#-3x이므로 f '{x}=3x@-3
또 f{-3}=-18, f{3}=18이므로 평균값 정리에 의해 18-{-18}
3-{-3} =3c@-3, c@=3 -3<c<3이므로 c=-j3
⑵ 오른쪽 그림과 같이
O x y
5 y=f{x}
점 {0, f{0}}, {5, f{5}}를 지 나는 직선과 평행한 접선을 4개 그을 수 있으므로 실수 c의 개수 는 4
⑶ a<x<b일 때, 구간 [a, x]에 서 평균값 정리를 생각하면 f{x}-f{a}
x-a =f '{c}
를 만족하는 c가 구간 {a, x}에 적어도 하나 존재한다.
그런데 f '{c}=0이므로 f{x}-f{a}=0
따라서 f{a}=k {k는 상수}라 하면 f{x}=k이다.
유제
11-1
⑴ f{x}=x{x@-3x+2}=x#-3x@+2x 이므로 f '{x}=3x@-6x+2또 f{0}=0, f{3}=6이므로 평균값 정리에 의해
6-0
3-0 =3c@-6c+2, c@-2c=0, c{c-2}=0 0<c<3이므로 c=2
⑵ f{x}=9{x-1}{x+1}0@={x@-1}@=x$-2x@+1 이므로 f '{x}=4x#-4x
또 f{-2}=f{2}=9이므로 평균값 정리에 의해 9-9
2-{-2}=4c#-4c, c{c@-1}=0 -2<c<2이므로 c=0 또는 c=-1
note f{-2}=f{2}이므로 롤의 정리라 해도 된다.
유제
11-2
f '{x}-g '{x}=0이므로 9 f{x}-g{x}0'=0 따라서 예제 11 ⑶에 의해 f{x}-g{x}=k, 곧f{x}=g{x}+k {k는 상수}이다.
01
기울기가 4인 접선의 방정식을 찾으면 된다.f{x}=x#+x라 하면 f '{x}=3x@+1 곡선 위의 x=a인 점에서 접한다고 하면 f '{a}=4, 3a@+1=4 / a=-1
곧, 접점은 {1, 2}, {-1, －2}이므로 접선의 방정식은 y-2=4{x-1}, y+2=4{x+1}
/ y=4x-2, y=4x+2
02
f{x}=x$+x#+x@+ax라 하면 f{1}=a+3이므로 접점의 좌표는 {1, a+3}f '{x}=4x#+3x@+2x+a이므로 x=1인 점에서 접선의 기울기 는 f '{1}=a+9
따라서 접선의 방정식은 y-{a+3}={a+9}{x-1}
이 직선이 점 {-2, 4}를 지나므로 1-a=-3{a+9} / a=-14
03
f{x}=x$-2x@이라 하면 f '{x}=4x#-4x 접점을 {a, f{a}}라 하면 f '{a}=4a#-4a 접선의 방정식은y-{a$-2a@}={4a#-4a}{x-a} yy ① 이 직선이 점 {0, -1}을 지나므로
01
①, ⑤02
②03
y=-104
a=-2, b=105
a=0, b=-2, c=106
②07
108
②09
1 : 1 : 110
②11
4312
⑤61~62쪽 연습 문제
-1-{a$-2a@}={4a#-4a}{-a}
3a$-2a@-1=0, {3a@+1}{a@-1}=0 a는 실수이므로 a@=1 / a=-1 a=1일 때, ①에 대입하면 y+1=0 a=-1일 때, ①에 대입하면 y+1=0 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-1
note 곡선 y=x$-2x@에 접하고
x O
y y=f{x}
y=-1 -1
점 {0, -1}을 지나는 직선은 오른쪽 그 림과 같다. 곡선 y=x$-2x@을 그리는 방 법은 03단원에서 공부한다.
04
f{x}=2x#+ax@+b라 하자.곡선 y=f{x}가 점 {1, 1}을 지나므로 1=2+a+b yy ①
f '{x}=6x@+2ax이므로 점 {1, 1}에서 접선의 기울기는 f '{1}=6+2a
접선이 직선 y=-1
2 x+2에 수직이므로 f '{1}=2 6+2a=2 / a=-2
①에 대입하면 b=1
05
f{x}=x$+ax#+bx@+c라 하자.곡선이 점 {0, 1}을 지나므로 c=1 / f{x}=x$+ax#+bx@+1 곡선이 점 {1, 0}을 지나므로 1+a+b+1=0 yy ①
곡선 위의 x=0, x=1인 점에서 접선의 기울기가 같으므로 f '{0}=f '{1}
f '{x}=4x#+3ax@+2bx이므로 0=4+3a+2b yy ②
①, ②를 연립하여 풀면 a=0, b=-2
06
f{-1}=f{5}=-2이므로 롤의 정리에 의해 구간 (-1, 5}에 f '{c}=0을 만족하는 c가 적어도 하나 존재한다.f '{x}=-2x+4이므로 f '{c}=-2c+4=0 / c=2
07
기울기가 -1인 접선이 없으므로 미분계수가 -1인 경 우는 없다.f{x}=x#-2x@+ax+3이라 하면 f '{x}=3x@-4x+a 직선 y=-x+3에 평행한 접선이 없으므로 접점의 x좌표를 t라 하면 f '{t}=-1인 실수 t가 없다.
따라서 f '{t}=3t@-4t+a=-1, 곧 방정식 3t@-4t+a+1=0 의 실근이 없으므로
D
4={-2}@-3{a+1}=1-3a<0 / a>1 3 따라서 정수 a의 최솟값은 1이다.
08
y=f{x}, y=g{x}라 하면 f{-1}=1, g{-1}=1, f '{-1}g '{-1}=-1이다.f{x}=x#-ax@, g{x}=2x@+bx+c라 하면 f '{x}=3x@-2ax, g '{x}=4x+b 두 곡선이 점 {-1, 1}을 지나므로
f{-1}=-1-a=1 / a=-2 yy ① g{-1}=2-b+c=1 / b-c=1 yy ② 점 {-1, 1}에서 두 곡선에 그은 접선이 서로 수직이므로 f '{-1}g '{-1}=-1, {3+2a}{-4+b}=-1
①을 대입하면 b=5
②에 대입하면 c=4
/ abc={-2}\5\4=-40
09
곡선의 방정식과 접선의 방정식을 연립하여 점 B의 좌표 를 구한다.f{x}=x#-5x라 하면
O x y
1
-4 D C B
A y=x#-5x
f '{x}=3x@-5이므로 f '{1}=-2 따라서 접선의 방정식은
y+4=-2{x-1}
/ y=-2x-2
이 직선의 x절편은 -1, y절편은 -2 이므로 C{-1, 0}, D{0, -2}
또 곡선과 접선이 만나는 점의 x좌표는 x#-5x=-2x-2, x#-3x+2=0
{x-1}@{x+2}=0 / x=1(중근), x=-2 곧, 점 B의 x좌표는 -2이고, f{-2}=2이므로 B{-2, 2}
네 점 A, B, C, D가 모두 직선 y=-2x-2 위에 있으므로 A, B에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라 하고, 닮은 직각삼각형을 생각하면
ADZ : CDZ : CBZ =A'OZ : OCZ : CB'Z=1 : 1 : 1
10
접점을 {a, f{a}}라 하고 접점부터 구한다.f{x}=x$-2x@+8이라 하면 f '{x}=4x#-4x
접점을 {a, f{a}}라 하면 접선의 기울기는 f '{a}=4a#-4a 접선의 방정식은 y-{a$-2a@+8}={4a#-4a}{x-a}
이 직선이 원점 {0, 0}을 지나므로 -a$+2a@-8={4a#-4a}{-a}
3a$-2a@-8=0, {a@-2}{3a@+4}=0 a는 실수이므로 a@=2 / a=-j2 a=j2일 때, f{j2}=4-4+8=8 a=-j2일 때, f{-j2}=4-4+8=8 접점의 좌표는 {j2, 8}, {-j2, 8}이므로 삼각형의 넓이는 1
2\2j2\8=8j2
63쪽
1-1
P{a, f{a}}, Q{b, f{b}}라 하자.O x y
y=x y=f{x}
Q
O x
y y=f{x}
f{b}
f{a} P Q
P f{b}
f{a}
a b a b
⑴ f{0}=0이므로 f{a}
a =
f{a}-f{0}
a-0 은 직선 OP의 기울기 f{b}
b = f{b}-f{0}
b-0 은 직선 OQ의 기울기 / f{a}
a < f{b}
b
11
넓이의 최댓값 기울기가 같은 접선을 생각한다.점 P와 직선 y=x 사이의 거리가
O x y
y=f{x}
y=x
2 P
A
2!
최대일 때, 곧 P에서 곡선 y=f{x}
의 접선이 직선 y=x에 평행할 때, 삼각형 OAP의 넓이가 최대이다.
따라서 곡선 y=f{x} 위의 x=1 2 인 점에서 접선의 기울기가 1이다.
f '{x}=a{x-2}@+2ax{x-2}=a{x-2}{3x-2}이므로 f '[1
2 ]=1에서 a\[-3
2 ]\[-1
2 ]=1 / a=4 3
12
평균값 정리 f{b}-f{a}b-a =f '{c} {a<c<b}구간 [0, 3]에서 평균값 정리를 만족하는 실수가 2이므로 f{3}-f{0}
3-0 =f '{2}
f{x}=x#-kx@+2x에서
f{3}=27-9k+6=33-9k, f{0}=0 f '{x}=3x@-2kx+2에서 f '{2}=14-4k 곧, 33-9k
3 =14-4k이므로 k=3
/ f{x}=x#-3x@+2x, f '{x}=3x@-6x+2
또 f{1}=f{2}=0이므로 구간 [1, 2]에서 롤의 정리를 만족하 는 실수가 c이면
f '{c}=3c@-6c+2=0 / c=3-j3 3 이때 1<c<2이므로 c=3+j3
3 / k+c=3+3+j3
3 =4+ j3 3
⑵ f{b}-f{a}
b-a 는 직선 PQ의 기울기이므로 f{b}-f{a}
b-a >1 / f{b}-f{a}>b-a
⑶ f '{a}는 곡선 y=f{x} 위의 점 P에서 접선의 기울기이고 f '{b}는 곡선 y=f{x} 위의 점 Q에서 접선의 기울기이다.
/ f '{a}<f '{b}
2-1
접선의 방정식은 y-f{1}=f '{1}{x-1}이므로 f{1}과 f '{1}의 값을 구하면 된다.
f '{x}=f '{0}+2x yy ① lim
x ! 1
f{x}-f '{x}
x@-1 =1 yy ② g{x}=f{x}-f '{x}라 하면
g{x}=f{x}-f '{0}-2x yy ③ 또 ②는 lim
x ! 1
g{x}
x@-1=1이고
x ! 1일 때 (분모) ! 0이므로 g{1}=0 곧, ③에서 f{1}-f '{0}-2=0 yy ④ 이때 lim
x ! 1- g{x}-g{1}
x-1 \ 1
x+1 ==1이므로 g '{1}\1
2=1, g '{1}=2
③에서 g '{x}=f '{x}-2이므로 x=1을 대입하면 2=f '{1}-2 / f '{1}=4
①에 x=1을 대입하면 4=f '{0}+2 / f '{0}=2
④에서 f{1}=4
따라서 접선의 방정식은 y-4=4{x-1} / y=4x
01
③02
1903
⑴ 0 ⑵ 2a+504
- j3605
⑴ f{x}=x#-x+1 ⑵ 2- j33