/0# f{x}`dx=3, /0$ f{x}`dx=5 이므로
/3$ f{x}`dx=/0$ f{x}`dx-/0# f{x}`dx=5-3=2 [그림 1]
/0! f{x}`dx=/3$ f{x}`dx=2, /1# f{x}`dx=3-2=1 [그림 2]
O x y
1 2 3 4 O x
y
1 2 3 4
y=f{x} y=f{x}
[그림 1] [그림 2]
따라서 /1@ f{x}`dx=/2# f{x}`dx=1
2/1# f{x}`dx=1 2이므로 4/1@ f{x}`dx=4\1
2=2
16
f{x}= f{-x} y축에 대칭 g{-x}=-g{x} 원점에 대칭{x-1}f{x}=xf{x}-f{x}에서 곡선 y=f{x}는 y축에 대칭이 고, g{x}=xf{x}라 하면
g{-x}=-xf{-x}=-xf{x}=-g{x}
이므로 곡선 y=g{x}는 원점에 대칭이다.
∴ /-5% {x-1}f{x}`dx =/-5% xf{x}`dx-/-5% f{x}`dx
=0-2/0% f{x}`dx
=-2\{-3}=6
17
f{x}<0이면 정적분의 값도 음수이다.0<x<2일 때 f{x}<0이므로 /0! f{x}<0, /1@ f{x}<0
② /-1) f{x}`dx>0
③ /0@ f{x}`dx<0
④ 그래프가 직선 x=1에 대칭이므로
/1# f{x}`dx</2# f{x}`dx=/-1) f{x} dx
⑤ /4@ f{x}`dx=-/2$ f{x}`dx<0 그런데 ① /-2) f{x}`dx>/-1) f{x}`dx 따라서 ①이 가장 크다.
18
[x] 구간을 0<x<1, 1<x<2, y으로 나눈다.0<x<1일 때 [x]=0, 1<x<2일 때 [x]=1, 2<x<3일 때 [x]=2이므로
/0# [x]{x+1}`dx
=/0! [x]{x+1}dx+/1@ [x]{x+1}`dx +/2# [x]{x+1}`dx
=/0! 0\{x+1}`dx+/1@{x+1}`dx+/2# 2{x+1}`dx =0+{ 12x@+x }1@+{ x@+2x }2#
=1
2{4-1}+{2-1}+{9-4}+2{3-2}=19 2 note f{x}가 연속함수가 아니어도 연속
O x
y y=f{x}
1 2 3 23 6 함수인 구간으로 나누어 정적분을 계산할 수 있 8 다. 이 문제에서 f{x}=[x]{x+1}이라 하면 구 하는 정적분의 값은 오른쪽 그림과 같이 색칠한 부분들의 넓이의 합과 같다.
2a+6=a에서 a=-6
⑵ a=-6을 ①에 대입하면 f{x}=2x-5
5
F{x}=/1X{x@+x+1}`dx는 위끝 x에 대한 함수이므로 F{-x}는 위끝 x에 -x를 대입한 꼴이다.∴ F{-x}=/1_X{x@+x+1}`dx
또 F{-x}=/1_X{x@+x+1}`dx=/1_X{t@+t+1}`dt 따라서 F{-x}와 같은 것은 ②, ④이다.
128쪽 예제
7
f{x}=x#+2x-3의 한 부정적분을 F{x}라 하자.
⑴ /1X@ f{t}`dt=F{x@}-F{1}이므로 lim
x`! 1
1 x-1 /1X
@ f{t}`dt
=lim
x`! 1
F{x@}-F{1}
x-1 =lim
x`! 1- F{x@}-F{1}
x@-1 \{x+1} = =F'{1}\2=2f{1}
=2\0=0
⑵ /2@"@H f{t}`dt=F{2+2h}-F{2}이므로 lim
h`! 0
1
3h /2@"@H f{t}`dt =lim
h`! 0
F{2+2h}-F{2}
3h
=limh`! 0- F{2+2h}-F{2}
2h \2
3 =
=F'{2}\2 3=2
3`f{2}
=2 3\9=6
⑶ g{x}=/-1X f{t}`dt라 하면
g '{x}=f{x}=x#+2x-3={x-1}{x@+x+3}
g '{x}=0의 실근은 x=1 g{x}의 증감표는 다음과 같다.
x y 1 y
g '{x} - 0 +
g{x} ↘ 극소 ↗
함수 g{x}의 극댓값은 없고, 극솟값은 g{1} =/-1! f{t}`dt=/-1! {t#+2t-3}`dt
=/-1! {t#+2t}`dt+/-1! {-3}`dt
=0+2/0!{-3}`dt=2{ -3t}0!=-6
유제
7-1
f{x}=x$-4x@+1의 한 부정적분을 F{x}라 하자.⑴ /2@X f{t}`dt=F{2x}-F{2}이므로 lim
x`! 1
1
x-1 /2@X f{t}`dt =lim
x`! 1
F{2x}-F{2}
x-1
=limx`! 1- F{2x}-F{2}
2x-2 \2 =
=F'{2}\2=2f{2}
=2\1=2
⑵ /2X f{t}`dt=F{x}-F{2}이므로 lim
x`! 2
1
x@-4/2X f{t}`dt =limx`! 2F{x}-F{2}
x@-4
=limx`! 2- F{x}-F{2}
x-2 \ 1
x+2=
=F'{2}\1 4=1
4 f{2}
=1 4\1=1
4
⑶ /1!_#H f{t}`dt=F{1-3h}-F{1}이므로 lim
h`! 0
1
2h /1!_#H f{t}`dt =lim
h`! 0
F{1-3h}-F{1}
2h =lim
h`! 0- F{1-3h}-F{1}
-3h \-3
2 = =F'{1}\[-3
2 ]=-3
2 f{1}=-3
2\{-2}=3
⑷ /1-h!"H f{t}`dt=F{1+h}-F{1-h}이므로 lim
h`! 0
1
h /1-h!"H f{t}`dt =lim
h`! 0
F{1+h}-F{1-h}
h =lim
h`! 0- F{1+h}-F{1}
h +F{1-h}-F{1}
-h =
=F'{1}+F'{1}=2f{1}=2\{-2}=-4 유제
7-2
⑴ f '{x}={2+x}{2-x}f '{x}=0에서 x=-2 또는 x=2 f{x}의 증감표는 다음과 같다.
x y -2 y 2 y
f '{x} - 0 + 0
f{x} ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
극솟값은 f{-2}=/-2_@ {2+t}{2-t}`dt=0 극댓값은 f{2} =/-2@ {2+t}{2-t}`dt
=/-2@ {4-t@}`dt=2/0@{4-t@}`dt
=2{ 4t- 13t# }0@= 323
⑵ f{3} =/-2# {2+t}{2-t}`dt=/-2# {4-t@}`dt
={ 4t- 13t# }-2# =4{3+2}- 13{3#+2#}=25 3 따라서 ⑴을 이용하여 구간
O x y
-2 2 3
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\32 3 25\\\\\\\\\\\\\\\\\\\3
y=f{x}
[-2, 3]에서 y=f{x}의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다.
최댓값은 f{2}=32 3 최솟값은 f{-2}=0
note f{x} =/-2X {4-t@}`dt={ 4t-1 3t# }-2X
=-1
3x#+4x+16 3
을 이용하여 f{-2}, f{2}, f{3}의 값을 구할 수도 있다.
129쪽 예제
8
⑴ /0! f{x}`dx=p yy ① 로 놓으면 f{x}=x#-2x-2p이므로 /0! f{x}`dx =/0!{x#-2x-2p}`dx
={ 14x$-x@-2px }0!=- 34-2p
①에 대입하면 -3
4-2p=p ∴ p=-1 4 ∴ f{x}=x#-2x+1
2
⑵ /-1X f{t}`dt=x$+x#+px-2 yy ① x=-1을 ①에 대입하면
0=1-1-p-2 ∴ p=-2
①의 양변을 x에 대하여 미분하면 f{x}=4x#+3x@+p=4x#+3x@-2
⑶ /1X {x-t}f{t}`dt=x#+px@+7x-3 yy ① x=1을 ①에 대입하면
0=1+p+7-3 ∴ p=-5
①에서 (좌변)=x/1X f{t}`dt-/1X tf{t}`dt이므로
①의 양변을 x에 대하여 미분하면
/1X f{t}`dt+xf{x}-xf{x}=3x@+2px+7 /1X f{t}`dt=3x@+2px+7 yy ②
②의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=6x+2p ∴ f{x}=6x-10 note x=1을 ②에 대입하여 p의 값을 구해도 된다.
곧, 0=3+2p+7 ∴ p=-5
유제
8-1
/0! xf{x}`dx=p yy ① 로 놓으면 f{x}=x-2+p이므로 /0! xf{x}`dx =/0! {x@-2x+px}`dx={ 13x#-x@+p
2x@ }0!=- 23+p 2
①에 대입하면 -2
3+p
2=p, p=-4
3 ∴ f{x}=x-10 3 유제
8-2
⑴ /x! f{t}`dt=x#-2px@+3x+4 yy ①x=1을 ①에 대입하면
0=1-2p+3+4 ∴ p=4
①에서 /x! f{t}`dt=-/1X f{t}`dt이므로 -/1X f{t}`dt=x#-2px@+3x+4 /1X f{t}`dt=-x#+2px@-3x-4 이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f{x}=-3x@+4px-3 ∴ f{x}=-3x@+16x-3
note f{x}의 한 부정적분을 F{x}라 하면 /x! f{t}`dt=F{1}-F{x}
∴ d
dx /x! f{t}`dt=-F'{x}=-f{x}
이를 이용하여 ①의 양변을 x에 대하여 미분하면
-f{x}=3x@-4px+3 ∴ f{x}=-3x@+4px-3
⑵ /-1X {x-t}f{t}`dt=x$+px#+x+1 yy ① x=-1을 ①에 대입하면
0=1-p-1+1 ∴ p=1
①에서 (좌변)=x/-1X f{t}`dt-/-1X tf{t}`dt이므로
①의 양변을 x에 대하여 미분하면
/-1X f{t}`dt+xf{x}-xf{x}=4x#+3px@+1 /-1X f{t}`dt=4x#+3px@+1
이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=12x@+6px ∴ f{x}=12x@+6x
130쪽 연습 문제
01
③02
④03
16304
②05
①06
a=4, b=-1601
f{x}=x@-2x+2라 하고 f{x}의 한 부정적분을 F{x}라 하면lim
h`! 0
1 h /2+h
2+3h
f{x}
=lim
h`! 0
F{2+3h}-F{2+h}
h =lim
h`! 0- 3\F{2+3h}-F{2}
3h -F{2+h}-F{2}
h =
=3F '{2}-F '{2}=2F '{2}=2f{2}=2\2=4
02
/aX f{t}`dt=x@-x-12 yy ① x=a를 대입하면0=a@-a-12, {a+3}{a-4}=0 a>0이므로 a=4
①의 양변을 x에 대하여 미분하면 f{x}=2x-1 ∴ f{a}=f{4}=7
03
f '{x}=x{x-1}{x+2}이므로 f '{x}=0의 해는 x=0 또는 x=1 또는 x=-2-2<x<2에서 f{x}의 증감표는 다음과 같다.
x -2 y 0 y 1 y 2
f '{x} + 0 - 0 +
f{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
따라서 f{x}는 x=0 또는 x=2에서 최대이다.
f{x} =/-2X {t#+t@-2t}`dt={ 1 4t$+1
3t#-t@ }-2X
=1 4x$+1
3x#-x@+8 3 이므로 f{0}=8
3 , f{2}=16 3 따라서 최댓값은 f{2}=16
3
note f{0}=/-2) t{t-1}{t+2}`dt,
f{2}=/-2@ t{t-1}{t+2}`dt를 계산해도 된다.
04
구간 [x, x+1]에서 y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘 러싸인 부분의 넓이가 최대인 경우를 찾는다.이차함수 y=f{x}의 그래프의 축이 직선 x=-1+3
2 , 곧 x=1 이므로 g{x}=/xX"! f{t}`dt를 그래프에서 도형의 넓이로 생각 하면 다음 그림과 같다.
O x y
3! 3$1 O x
y
2! 2#1 O x
y
1 2 y=f{x}
g[3!]
y=f{x} y=f{x}
-1 3 -1 3 -1 3
g[2!] g{1}
O x y
12# 2% O x
y
1 2 y=f{x}
g[2#]
y=f{x}
-1 3 -1 3
g{2}
g[ 12 ]의 넓이가 최대이므로 최댓값은 g[ 12 ]이다.
다른 풀이 f{x}의 한 부정적분을 F{x}라 하면 g{x}=/xX"! f{t}`dt=F{x+1}-F{x}
g '{x} =F '{x+1}-F '{x}=f{x+1}-f{x}
그래프에서
f{x}=a{x+1}{x-3}=ax@-2ax-3a {a<0}
으로 놓을 수 있으므로
g '{x} =a{x+1}@-2a{x+1}-3a-ax@+2ax+3a
=a{2x-1}
g '{x}=0에서 x=1 2
a<0이므로 증감을 조사하면 g{x}는 x=1
2에서 극대이고, 극댓 값이 하나뿐이므로 극대에서 최대이다.
05
/0!{2x-1}f{t}`dt={2x-1}/0! f{t}`dt f{x}=3x@+{2x-1}/0! f{t}`dt이므로/0! f{t}`dt=k
로 놓으면 f{x}=3x@+{2x-1}k
/0! f{x}`dx =/0!93x@+{2x-1}k0`dx
={ x#+kx@-kx}0!=1+k-k=1 ∴ k=1
06
/2X{x-t}f{t}`dt=x/2X f{t}`dt-/2X tf{t}`dt 로 고친 다음 미분한다./2X{x-t}f{t}`dt=-x#+3ax+b yy ① x=2를 ①에 대입하면 0=-8+6a+b yy ② 또 ①의 좌변을 정리하면
x/2X f{t}`dt-/2X tf{t}`dt=-x#+3ax+b yy ③
③의 양변을 x에 대하여 미분하면
/2X f{t}`dt+xf{x}-xf{x}=-3x@+3a ∴ /2X f{t}`dt=-3x@+3a
x=2를 대입하면 0=-12+3a ∴ a=4 a=4를 ②에 대입하면 b=-16
01
조건식을 미분하거나 적분하여 f{x}와 g{x}에 대한 식 을 구한다.?9 f{x}+g{x}0`dx=1
3x#+x@+x+C의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}+g{x}=x@+2x+1 yy ① 또 d
dx9 f{x}g{x}0=3x@+6x+1에서 f{x}g{x} =?{3x@+6x+1}`dx
=x#+3x@+x+C1 yy ② x=1을 ①에 대입하면 f{1}+g{1}=4 f{1}=1이므로 g{1}=3
또 x=1을 ②에 대입하면 f{1}g{1}=1+3+1+C1 1\3=5+C1 ∴ C1=-2
따라서 ②에서
f{x}g{x}=x#+3x@+x-2={x+2}{x@+x-1}
그런데 f{1}=1이므로
f{x}=x@+x-1, g{x}=x+2 이 식은 ①을 만족한다.
02
다항식을 구할 때에는 차수부터 생각한다.f{x}는 이차함수이고 f{x}g{x}=-2x$+8x#은 사차함수이므 로 g{x}는 이차함수이다.
01
f{x}=x@+x-1, g{x}=x+202
②03
⑤04
k=1?n ak=n{n+1}2 , an=n05
③06
a<-2 또는 a>207
①08
풀이 참조실력 문제 132~133쪽 g '{x}=-x@+x=-x{x-1}
x>1에서 g '{x}<0이므로 g{x}는 감소한다.
!, @에서 y=g{x}의 그래프의 개형
O y
1 2
-1
-6!
3@ 6%
x y=g{x}
은 오른쪽 그림과 같다.
g{-1}=0, g{0}=5 6 , g{1}=2
3 , g{2}=-1 6 이므로
최댓값은 g{0}=5
6, 최솟값은 g{2}=-1 6 note lim
x`! 1- g '{x}= lim
x`! 1+ g '{x}=0이므로 g{x}는 x=1에서 미분가능하고 g '{1}=0이다.
1-1
f{x}=f{-x}이므로 f{x}는 우함수(그래프가 y축에 대 칭)이고 f{2-x}=f{x}이므로 y=f{x}의 그래프는 직선 x=1 에 대칭이다.곧, 0<x<2에서 y=f{x}의 그래프의 개형은 [그림1]과 같고, f{x}는 [그림2]와 같이 주기함수 형태이다.
O 1 x -1
-2 2 3
y=f{x}
y=f{x}
O x
y y
1 2
x=1 x
2-x x
y y
[그림 1] [그림 2]
이때
/-6^ {x+3}f{x}`dx=/-6^ xf{x}`dx+3/-6^ f{x}`dx 에서 xf{x}는 기함수(그래프가 원점에 대칭)이므로 /-6^ xf{x}`dx=0
또 /0! f{x}`dx=2이고 이 값은 [그림2]에서 색칠한 부분의 넓이 이므로 /0@ f{x}`dx=4
∴ /-6^ {x+3}f{x}`dx =3/-6^ f{x}`dx
=3\6/0@ f{x}`dx
=3\6\4=72 note /-6^ f{x}`dx=12/0! f{x}`dx라 해도 된다.
2-1
f{x-1}=- x-1 -{x-1} {x-1>0}{x-1<0}이므로 f{x-1}=- x-1 {x<1}-x+1 {x>1}
! x<1일 때
g{x} =/-1X t{t-1}`dt={ 1 3t#-1
2t@ }-1X
=1 3x#-1
2x@+5 6 g '{x}=x@-x=x{x-1}
x<1에서 g '{x}=0의 해는 x=0
x<1에서 증감을 조사하면 x=0에서 극대이다.
@ x>1일 때
g{x} =/-1! t{t-1}`dt+/1X t{-t+1}`dt
={ 13t#-1
2t@ }-1! +{ - 13t#+1 2t@ }1X
=-1 3x#+1
2x@+1 2
131쪽
곧, g{x}=?9x@+ f{x}0`dx에서 x@+f{x}는 일차함수이므로 f{x}=-x@+ax+b
로 놓을 수 있다. 이때
g{x} =?9x@+ f{x}0`dx=?{ax+b}`dx
=a
2x@+bx+C f{x}g{x}=-2x$+8x#이므로
{-x@+ax+b}[ a2x@+bx+C]=-2x$+8x#
사차항의 계수를 비교하면 -a
2=-2 ∴ a=4 삼차항의 계수를 비교하면 a@
2-b=8 ∴ b=0 일차항의 계수를 비교하면 aC+b@=0 ∴ C=0 따라서 g{x}=2x@이므로 g{1}=2
03
y축에 대칭 /aB f{x}`dx=/-b_A f{x}`dx 원점에 대칭 /aB f{x}`dx=-/-b_A f{x}`dx 주어진 조건에서/0! f{x}`dx=3, /1@ f{x}`dx=5, /1@ x f{x}`dx=7 곡선 y=f{x}가 y축에 대칭이므로
/-1) f{x}`dx=/0! f{x}`dx=3 /-2_! f{x}`dx=/1@ f{x}`dx=5 또 곡선 y=xf{x}는 원점에 대칭이므로 /-2_! xf{x}`dx=-/1@xf{x}`dx=-7
따라서 /-2! {x+3}f{x}`dx=/-2! xf{x}`dx+3/-2! f{x} dx 에서
/-2! xf{x}`dx =/-2_! xf{x}`dx+/-1! xf{x}`dx
=-7+0=-7
/-2! f{x}`dx =/-2_! f{x}`dx+/-1! f{x}`dx
=/-2_! f{x}`dx+2/0! f{x}`dx
=5+2\3=11
∴ /-2! {x+3}f{x}`dx=-7+3\11=26
04
fn{x}는 fn'{x}의 한 부정적분이므로 /0! fn'{x}`dx=fn{1}-fn{0}!/0! fn'{x}`dx=-n#에서 fn{1}-fn{0}=-n# yy ① fn{x} =[nx-?n
k=1ak]@
=n@x@-2nx
?n k=1ak+[?n
k=1ak]@
∴ fn{1}-fn{0}=n@-2n
?n k=1ak
①과 비교하면 n@-2n
?n
k=1ak=-n# ∴
?n
k=1ak=n{n+1}
2
@ ?n
k=1ak=Sn이라 하면 Sn=n{n+1}
2 이므로 n>2일 때 an=Sn-Sn-1=n{n+1}
2 -n{n-1}
2 =n yy ② n=1일 때 a1=S1=1
②는 n=1일 때도 성립한다.
∴ an=n
05
1. f{b}-f{a}b-a 꼴은 평균값 정리를 생각한다.2. 적분을 포함한 부등식은 넓이를 생각한다.
ㄱ. 구간 {a, b}에서 F '{x}=f{x}>0이므로 함수 F{x}는 구 간 [a, b]에서 증가한다. (참)
ㄴ. 평균값 정리에 의하여 F{b}-F{a}
b-a =F '{c} {a<c<b}
인 c가 있다.
그런데 F '{c}=f{c}>0이지만 직선 PQ의 기울기는 음수이 다. (거짓)
ㄷ. y=f{x}-f{b}의 그래프는
O x y
P'
R Q'
a b
y=f{x}-f{b}
y=f{x}의 그래프를 y축 방향으로 -f{b}만큼 평행이동한 것이므로 /aB9 f{x}-f{b}0`dx는 오른쪽 그 림에서 색칠한 부분의 넓이이다.
또 △P 'RQ '={b-a}\9 f{a}-f{b}0 2
따라서 주어진 부등식이 성립한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
다른 풀이 ㄷ의 경우
/aB f{x}`dx</aB f{b}`dx+{b-a}\9 f{a}-f{b}0 2
가 성립하는지 생각해도 된다.
/aB f{b}`dx={ f{b}x }aB =f{b}{b-a}이므로
(우변)={b-a}\9 f{a}+f{b}0 2
이 값은 직선 x=a, x=b, x축, 직선 PQ로 둘러싸인 사다리꼴 의 넓이이므로 주어진 부등식이 성립한다.
06
사차함수 F{x}의 극값이 1개일 때 F '{x}=0의 해에 대한 조건을 생각한다.F '{x}=f{x}=x#-3x+a f '{x}=3x@-3=3{x+1}{x-1}
F{x}는 사차함수이고 극값이 1개이므로 방정식 F '{x}=0, 곧 f{x}=0의 해가 실근이 1개이거나 중근과 실근이 1개이다.
f '{x}=0의 해는 x=-1 또는 x=1 f{x}의 증감표는 다음과 같다.
x y -1 y 1 y
f '{x} + 0 - 0 +
f{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
이때 극댓값 f{-1}=a+2, 극솟값 f{1}=a-2이고, 조건을 만족하는 y= f{x}의 그래프의 개형은 다음 4개 중 하나이다.
x
실근이 1개일 때 f{-1}f{1}>0
{a+2}{a-2}>0 ∴ a<-2 또는 a>2 yy ① 중근과 실근이 1개일 때 f{-1}=0 또는 f{1}=0
∴ a=-2 또는 a=2 yy ②
①, ②에서 a<-2 또는 a>2
note f{x}=0의 해가 삼중근인 경우에도 F{x}의 극값은 1개 이다. 주어진 문제에서는 f{x}=0의 해가 삼중근일 수 없으므로 f{x}=0의 해가 실근이 1개이거나 중근과 실근이 1개인 경우만 생각한 다.
07
f{x}의 차수부터 구한다.f{x}를 n차 다항함수라 하면 f{ f{x}}는 n@차 다항함수이고, /0X f{t}`dt는 {n+1}차 다항함수이다.
곧, f{ f{x}}=/0X f{t}`dt-x@+3x+3에서
! n>2일 때 좌변은 n@차, 우변은 {n+1}차이므로 n@=n+1
이 식을 만족하는 자연수 n의 값은 없다.
@ n=1일 때 f{x}=ax+b라 하면
f{ f{x}}=f{ax+b}=a{ax+b}+b=a@x+ab+b 이므로
a@x+ab+b=/0X{at+b}`dt-x@+3x+3 yy ① 양변을 x에 대하여 미분하면
a@=ax+b-2x+3 ∴ {a-2}x-a@+b+3=0
x에 대한 항등식이므로 a-2=0, -a@+b+3=0 ∴ a=2, b=1
f{x}=2x+1이므로 모든 항의 계수와 상수항의 합은 3이다.
note ①에서 /0X f{t}`dt=/0X{at+b}`dt를 직접 계산하고 계 수를 비교해도 된다.
08
h{x}=/0X f{t}`dt로 놓고 y=h{x}의 그래프부터 생 각한다.h{x}=/0X f{t}`dt로 놓으면 g{x}=|h{x}|이고 h{x}는 사차 함수이므로 다음 2가지 경우로 나눌 수 있다.
O x
y y=g{x}
y=h{x}
2 5 8 O x
y y=g{x}
y=h{x}
2 5 8
[그림 1] [그림 2]
h'{x}=f{x}이고 h'{0}=f{0}>0이므로 y=h{x}는 x=0에 서 증가한다.
따라서 y=h{x}의 그래프는 [그림2]이다.
또 h '{x}=f{x}이므로 증감을 조 사하여 y=f{x}의 그래프의 개형 을 그리면 오른쪽 그림과 같다.
x
x O
y
y=h{x}
y=f{x}
2
2 5
5 8
O 8 y
1
⑴, ⑵를 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같으므로 색칠한 부분의 넓이를 구한다.⑴
O x y
2 -2
y=-{x+2}{x-2}
⑵
O x y
4 -1
y=x@-3x-4
⑴ S=/-2@ 9-{x+2}{x-2}0`dx=1
692-{-2}0#= 32 3
⑵ 곡선과 x축의 교점의 x좌표는 x@-3x-4=0에서 {x+1}{x-4}=0 ∴ x=-1 또는 x=4 ∴ S =-/-1$ {x@-3x-4}`dx
=1
694-{-1}0#= 1256
2
⑴, ⑵, ⑶을 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같으므로 색 칠한 부분의 넓이를 구한다.⑴
x O
y
2
y=x@{x-2} ⑵
x O
y
1 2
y=x{x-1}{x-2}
⑶
O x y
2 y=x@{x-2}@
⑴ S =-/0@ x@{x-2}`dx=-/0@ {x#-2x@}`dx
=-{ 1 4x$-2
3x# }0@=4 3
⑵ S =/0! x{x-1}{x-2}`dx-/1@ x{x-1}{x-2}`dx
=/0! {x#-3x@+2x}`dx-/1@ {x#-3x@+2x}`dx
={ 1
4x$-x#+x@ }0!-{ 1
4x$-x#+x@ }1@=1 4+1
4=1 2
138쪽 개념 확인