01 방정식과 부등식

04 ^{. 미분의 활용}

^{f '{x}} _f{x}^{x y-}_↘ ^-1_-2^{0 y+}_{↗ -1}^{00 y-}_{↘ -2}^{10 y+}_↗

따라서 y=f{x}의 그래프는 x축과 두 점에서 만나므로 주어진 방정식 의 실근의 개수는 2이다.

⑵ f{x}=3x$-4x#-12x@+4라 하자.

f '{x} =12x#-12x@-24x=12x{x+1}{x-2}

f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=2 f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y -1 y 0 y 2 y

f '{x} - 0 + 0 - 0 +

f{x} ↘ -1 ↗ 4 ↘ -28 ↗

따라서 y=f{x}의 그래프는 x축 과 네 점에서 만나므로 주어진 방 정식의 실근의 개수는 4이다.

⑶ f{x}=3x$+4x#+4라 하자.

f '{x} =12x#+12x@=12x@{x+1}

f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=0(중근) f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y -1 y 0 y

f '{x} - 0 + 0 +

f{x} ↘ 3 ↗ 4 ↗

따라서 y=f{x}의 그래프는 x축과 만 나지 않으므로 주어진 방정식의 실근의 개수는 0이다.

3

f{x}=x#-3x+k에서

f '{x}=3x@-3=3{x+1}{x-1}

f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=1

f{x}는 x=-1에서 극대, x=1에서 극소이고 f{-1}=k+2, f{1}=k-2

⑴ 오른쪽 그림과 같이 y=f{x}의 그래프가 x축과 세 점에서 만나면 f{-1}>0이고 f{1}<0이다. 곧, k+2>0이고 k-2<0 / -2<k<2

O y

x

-2 -1

-1 1

y=f{x}

y

2 x -1 4

-1

-28

y=f{x}

O

O y

x 4

-1 3

y=f{x}

O y

-1 x 1 y=f{x}

⑵ 오른쪽 그림의 ①, ②와 같이 y=f{x}의 그래프가 x축에 접하면 f{-1}=0 또는 f{1}=0이다.

/ k=-2 또는 k=2

⑶ 오른쪽 그림의 ①, ②와 같이 y=f{x}의 그래프가 x축과 한 점에 서 만나면

f{-1}<0 또는 f{1}>0이다. 곧, k+2<0 또는 k-2>0 / k<-2 또는 k>2

4

f{x}=x#-3x@+a라 하면 f '{x}=3x@-6x=3x{x-2}

x>1에서 f '{x}=0의 해는 x=2 f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x {1} y 2 y

f '{x} - 0 +

f{x} ↘ 극소 ↗

f{x}는 x=2에서 극소이고 최소이다.

따라서 x>1에서 f{x}>0이면 f{2}>0 이다.

8-12+a>0 / a>4

5

f{x}=x$+4x+a라 하면

f '{x}=4x#+4=4{x+1}{x@-x+1}

f '{x}=0의 실근은 x=-1

f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y -1 y

f '{x} - 0 +

f{x} ↘ 극소 ↗

f{x}는 x=-1에서 극소이고 최소이다.

따라서 f{x}>0이면 f{-1}>0이다.

1-4+a>0 / a>3

y

-1 O 1 x

①

②

O y

-1 x

1

①

②

O y

1 2 x y=f{x}

O y

-1 x y=f{x}

92^쪽 예제

1

x#+3x@-9x=-k에서 f{x}=x#+3x@-9x라 하면 f '{x}=3x@+6x-9=3{x+3}{x-1}

f '{x}=0에서 x=-3 또는 x=1 f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y -3 y 1 y

f '{x} + 0 - 0 +

f{x} ↗ 27 ↘ -5 ↗

⑴ 서로 다른 세 실근을 가지면 -5<-k<27 / -27<k<5

⑵ 음의 실근 한 개와 서로 다른 양의 실근 두 개를 가지면 -5<-k<0 / 0<k<5

⑶ 실근 한 개와 중근을 가지면

-k=27 또는 -k=-5 / k=-27 또는 k=5

⑷ 양의 실근 한 개와 허근 두 개를 가지면 -k>27 / k<-27

다른 풀이 f{x}=x#+3x@-9x+k라 하면 f '{x}=3x@+6x-9=3{x+3}{x-1}

f '{x}=0에서 x=-3 또는 x=1 f{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y -3 y 1 y

f '{x} + 0 - 0 +

f{x} ↗ 27+k ↘ -5+k ↗

⑴ y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로

f{-3}>0이고 f{1}<0 27+k>0이고 -5+k<0 / -27<k<5

⑵ y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로

f{-3}>0이고 f{0}>0이고 f{1}<0

27+k>0이고 k>0이고 -5+k<0

/ 0<k<5

⑶ y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로

f{-3}=0 또는 f{1}=0 27+k=0 또는 -5+k=0 / k=-27 또는 k=5

⑷ y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로

f{-3}<0, 27+k<0 / k<-27

-3 O1 27

-5

⑴

⑵

⑶

⑶

⑷ y

x y=f{x}

y=-k

O y

-3 1 x

y=f{x}

O y

x

-3 1

y=f{x}

O y

-3 1

x y=f{x}

O y

x

-3 1

y=f{x}

유제

1-1

3x$-8x#-6x@+24x=k에서 f{x}=3x$-8x#-6x@+24x라 하면 f '{x} =12x#-24x@-12x+24

=12x@{x-2}-12{x-2}

=12{x@-1}{x-2}=12{x+1}{x-1}{x-2}

f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=1 또는 x=2 f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y -1 y 1 y 2 y

f '{x} - 0 + 0 - 0 +

f{x} ↘ -19 ↗ 13 ↘ 8 ↗

⑴ 서로 다른 네 실근을 가지면 8<k<13

⑵ 중근 한 개와 서로 다른 실근 두 개 를 가지면 k=8 또는 k=13

⑶ 중근 한 개와 허근 두 개를 가지면 k=-19

⑷ 서로 다른 실근 두 개와 허근 두 개를 가지면 -19<k<8 또는 k>13

⑸ 서로 다른 음의 실근 두 개와 허근 두 개를 가지면 -19<k<0

다른 풀이 f{x}=3x$-8x#-6x@+24x-k라 하면 f '{x} =12x#-24x@-12x+24

=12x@{x-2}-12{x-2}

=12{x@-1}{x-2}=12{x+1}{x-1}{x-2}

f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=1 또는 x=2 f{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y -1 y 1 y 2 y

f '{x} - 0 + 0 - 0 +

f{x} ↘ -19-k ↗ 13-k ↘ 8-k ↗

⑴ y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로

f{-1}<0이고 f{1}>0이고 f{2}<0 -19-k<0이고 13-k>0이고 8-k<0 / 8<k<13

⑵ y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로

f{1}=0 또는 f{2}=0 / k=13 또는 k=8

O

⑵

⑷

⑸

⑵⑴

⑶

⑷

-1 1 2 x

y

8 13

-19 y=f{x}

y=k

O 1

-1 2

x y y=f{x}

O 1

-1 2 x

y y=f{x}

⑶ y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과

O 1

-1 2 x

y y=f{x}

같으므로

f{-1}=0 / k=-19

⑷ y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로

{ f{-1}<0이고 f{2}>0}

또는 f{1}<0

{-19-k<0이고 8-k>0}

또는 13-k<0

/ -19<k<8 또는 k>13

⑸ y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로

f{-1}<0이고 f{0}>0이고 f{2}>0

-19-k<0이고 -k>0이고 8-k>0

/ -19<k<0

O -1 1

2 x

y y=f{x}

O 1 -1

2 x

y y=f{x}

93^쪽 예제

2

⑴ x#-2x+1=x+k에서 x#-3x+1=k f{x}=x#-3x+1이라 하면

f '{x}=3x@-3=3{x+1}{x-1}

f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=1 f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y -1 y 1 y

f '{x} + 0 - 0 +

f{x} ↗ 3 ↘ -1 ↗

y=f{x}의 그래프와 직선 y=k가 세 점에서 만나면

-1<k<3

⑵ 방정식 f{x}=2x-1의 실근이 x=0(중근), x=2(중근)이고 f{x}의 x$의 계수가 1이므로

f{x}-2x+1=x@{x-2}@

/ f{x} =x@{x-2}@+2x-1

=x@{x@-4x+4}+2x-1

=x$-4x#+4x@+2x-1

O x

y

-1-1 1 3

y=f{x}

y=k

94^쪽 예제

3

⑴ f{x}=x$+4a#x+48이라 하면

f '{x}=4x#+4a#=4{x+a}{x@-ax+a@}

f '{x}=0의 실근은 x=-a

f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

유제

2-1

x$-2x@-2x-1=-2x+k에서 x$-2x@-1=k

f{x}=x$-2x@-1이라 하면

f '{x}=4x#-4x=4x{x+1}{x-1}

f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1 f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y -1 y 0 y 1 y

f '{x} - 0 + 0 - 0 +

f{x} ↘ -2 ↗ -1 ↘ -2 ↗

⑴ y=f{x}의 그래프와 직선 y=k가 네 점에서 만나면

-2<k<-1

⑵ y=f{x}의 그래프와 직선 y=k가 접하면

k=-2 또는 k=-1

유제

2-2

방정식 f{x}=-3x+1의 실근이 x=1(중근) 또는 x=-2이고, f{x}의 x#의 계수가 1이므로

f{x}+3x-1={x-1}@{x+2}

f{x} ={x-1}@{x+2}-3x+1

={x@-2x+1}{x+2}-3x+1

=x#-6x+3

이때 f '{x}=3x@-6=3{x@-2}

f '{x}=0에서 x=-j2 f{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y -j2 y j2 y

f '{x} + 0 - 0 +

f{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f{x}의 극댓값은

f{-j2}={-j2}#-6{-j2}+3=4j2+3 극솟값은

f{j2}={j2}#-6j2+3=-4j2+3

O x y

-1

-2

-1 1

⑴

⑵

⑵ y=f{x}

y=k

x y -a y

f '{x} - 0 +

f{x} ↘ 극소 ↗

f{x}는 x=-a에서 극소이고 최소 이다.

따라서 f{x}>0이면 f{-a}>0이다.

f{-a}=a$-4a$+48>0 a$<16, {a@-4}{a@+4}<0 a@>0이므로 0<a@<4 / -2<a<2

⑵ h{x}=f{x}-g{x}라 하면

h{x}=5x#-10x@+k-{5x@+2}=5x#-15x@+k-2 h'{x}=15x@-30x=15x{x-2}

h'{x}=0에서 x=0 또는 x=2 h{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x {0} y 2 y {3}

h '{x} - 0 +

h{x} ↘ 극소 ↗

h{x}는 x=2에서 극소이고 최소이다.

곧, 0<x<3에서 h{x}>0이면 h{2}>0이다.

40-60+k-2>0 / k>22

따라서 k의 최솟값은 22이다.

유제

3-1

f{x}=x$-4x-a@+4a에서

f '{x}=4x#-4=4{x-1}{x@+x+1}

f '{x}=0의 실근은 x=1

f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y 1 y

f '{x} - 0 +

f{x} ↘ 극소 ↗

f{x}는 x=1에서 극소이고 최소이다.

따라서 f{x}>0이면 f{1}>0이다.

f{1}=1-4-a@+4a>0, a@-4a+3<0 {a-1}{a-3}<0 / 1<a<3 유제

3-2

f{x}=x#-3ax+2에서

f '{x}=3x@-3a=3{x@-a}

x>0에서 f '{x}=0의 해는 x=ja k f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x {0} y ja k y

f '{x} - 0 +

f{x} ↘ 극소 ↗

-a x

y=f{x}

O y

3 x 2

y=h{x}

1 x y=f{x}

O 2 y

jak x -jak

y=f{x}

f{x}는 x=ja k에서 극소이고 최소이다.

따라서 x>0에서 f{x}>0이면 f{ja k}>0이다.

aja k-3aja k+2>0, aja k<1, a^2#<1 a>0이므로 0<a<1

유제

3-3

h{x}=f{x}-g{x}라 하면

h{x} =x$-x#+5x+k@-{-x#+6x@-3x+2k}

=x$-6x@+8x+k@-2k

h'{x}=4x#-12x+8=4{x-1}@{x+2}

h'{x}=0에서 x=-2 또는 x=1 (중근) h{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y -2 y 1 y

h'{x} - 0 + 0 +

h{x} ↘ 극소 ↗ ↗

h{x}는 x=-2에서 극소이고 최소이다.

따라서 h{x}>0이면 h{-2}>0이다.

16-24-16+k@-2k>0 k@-2k-24>0

{k+4}{k-6}>0 / k<-4 또는 k>6

O 1 x

-2

y y=h{x}

95^쪽 예제

4

① y=f '{x}의 그래프가 x축과 만나는 원점이 아닌 점의 x좌표 를 p라 하자.

방정식 f '{x}=0의 실근은 x=0 또는 x=p이다.

f{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y 0 y p y

f '{x} + 0 - 0 +

f{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f{x}는 x=0에서 극대이고, x=p 에서 극소이다.

이때 y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그 림과 같으면 방정식 f{x}=0은 서로 다른 세 실근을 갖지 않는다. (거짓)

② g'{x}=0에서 x=0

g{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y 0 y

g '{x} + 0

-g{x} ↗ 극대 ↘

g{x}는 x=0에서 극대이고 극댓값은 g{0}=f{0}이다.

O x

y

p f{2}

y=f{x}

2

그런데 y=f{x}의 그래프에서 f{0}>f{2}이므로 g{0}>f{2}

곧, g{x}의 극댓값은 f{2}보다 크다. (참)

③, ④, ⑤ h'{x}=f '{x}-g '{x}이므로 h'{x}=0에서 x=0 또는 x=2 h{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y 0 y 2 y

h '{x} + 0 - 0 +

h{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

h{x}는 x=0에서 극대이고, x=2에서 극소이다.

또 h{0}=f{0}-g{0}=0이므로 y=h{x}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

③ 구간 {-E, 2}에서 h{x}의 최댓값 은 h{0}=0이다. (참)

④ 방정식 h{x}=0은 한 실근과 중근을 가진다. (거짓)

⑤ x>2에서 h{x}<0인 부분이 있다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ②, ③이다.

유제

4-1

f '{x}=0에서 x=a 또는 x=b 또는 x=c f{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y a y b y c y

f '{x} + 0 - 0 + 0

f{x} ↗ 극대{4} ↘ 극소{-4} ↗ 극대{-1} ↘

⑴ y=f{x}의 그래프와 직선 y=3 은 두 점에서 만나므로 방정식 f{x}-3=0의 실근의 개수는 2이다.

⑵ | f{x}|=3에서 f{x}=-3 y=f{x}의 그래프는 직선 y=3

과 두 점에서 만나고, 직선 y=-3과 네 점에서 만나므로 방 정식 | f{x}|-3=0의 실근의 개수는 6이다.

note 오른쪽 그림과 같이 y = | f{x}|의 그래프를 그리고 직선 y=3과 만나는 점의 개수를 구해도 된다.

유제

4-2

y=f{x}와 y=g{x}의 그래프가 x=a, x=3인 점에 서 만난다고 하자.

h'{x}=f '{x}-g '{x}이므로 h'{x}=0에서 x=a 또는 x=3 h{x}의 증감표는 다음과 같다.

O

x y

2 y=h{x}

O

x y

a b c

-4-3 -1

y=3

y=-3 y=f{x} 4

O x

y

a b c

y=3 4

3

1

y=|f{x}|

x y a y 3 y

h '{x} - 0 + 0

-h{x} ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

h{x}는 x=a에서 극소이고, x=3에서 극대이다.

또 h{3}=f{3}-g{3}=0이므로 y=h{x}의 그래프는 오른쪽과 그림과 같다.

ㄱ. 방정식 h{x}=0은 음의 실근을 가진다. (참)

ㄴ. 방정식 h{x}=0은 한 실근과 중근을 가지므로 허근을 갖지 않는다. (거짓)

ㄷ. x>0에서 h{x}<0이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

O x

y

a 3

y=h{x}

01

f{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y -1 y 1 y 3 y

f '{x} - 0 + 0 - 0 +

f{x} ↘ -3 ↗ 4 ↘ 2 ↗

y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같이 x축과 두 점에서 만나므로 방 정식 f{x}=0의 서로 다른 실근은 두 개이다.

02

f{x}=2x#-9x@+12x-5라 하면 f '{x}=6x@-18x+12=6{x-1}{x-2}

f '{x}=0에서 x=1 또는 x=2 f{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y 1 y 2 y

f '{x} + 0 - 0 +

f{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f{x}의 극댓값은 f{1}=0, 극솟값은 f{2}=-1

O x

y y=f{x}

3 2 4

-1 1

-3 96~97^쪽 연습 문제

01

^③

02

0<n<1

03

^①

04

^①

05

^k<-4

06

1<a<3

07

⁵³

08

-3<k<-2

09

^②

10

-4<k<2

11

^{④, ⑤}

12

^②

이므로 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. 곡선 y=f{x}를 y축 방향으로 n만큼 평행이동하면

극댓값은 f{1}=n, 극솟값은 f{2}=-1+n

극댓값이 양수, 극솟값이 음수이면 x축 과 세 점에서 만나므로

n>0, -1+n<0 / 0<n<1

03

x#-3x@-4x=5x+k에서 x#-3x@-9x=k f{x}=x#-3x@-9x라 하면

f '{x}=3x@-6x-9=3{x+1}{x-3}

f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=3 f{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y -1 y 3 y

f '{x} + 0 - 0 +

f{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f{x}의 극댓값은 f{-1}=5, 극솟값은 f{3}=-27

이므로 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

이때 주어진 곡선과 직선이 두 점에서 만나면 y=f{x}의 그래프와 직선 y=k가 접하므로

k=-27 또는 k=5

따라서 k의 값의 합은 -27+5=-22

04

x$-x@=-x$+3x@+a에서 2x$-4x@=a

f{x}=2x$-4x@이라 하면 y=f{x}의 그래프와 직선 y=a가 네 점에서 만난다.

f '{x}=8x#-8x=8x{x@-1}=8x{x+1}{x-1}

f '{x}=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1 f{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y -1 y 0 y 1 y

f '{x} - 0 + 0 - 0 +

f{x} ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f{-1}=f{1}=-2, f{0}=0 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 -2<a<0

따라서 정수 a는 -1이고 1개이다.

x O

y y=f{x}

2 1 -1

-5

x O

y y=f{x}

3

-27

y=k 5 y=k

-1

x O

y y=f{x}

1 -1

-2

y=a

05

f{x} =x#-3x@-k라 하면 f '{x}=3x@-6x=3x{x-2}

f '{x}=0에서 x=0 또는 x=2 f{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y 0 y 2 y

f '{x} + 0 - 0 +

f{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x>2에서 주어진 부등식이 성립하면 x>2에서 f{x}>0이다.

따라서 오른쪽 그림과 같이 f{2}>0 이다.

f{2}=8-12-k>0 / k<-4

06

h{x}=f{x}-g{x}라 하면

h{x} =x$-2x@+x-a@-{-2x@+5x-4a}

=x$-4x-a@+4a

h'{x}=4x#-4=4{x-1}{x@+x+1}

h'{x}=0의 실근은 x=1

h{x}의 증감표와 그래프는 다음과 같다.

x y 1 y

h'{x} - 0 +

h{x} ↘ 극소 ↗

h{x}는 x=1에서 극소이고 최소이다.

따라서 y=f{x}의 그래프가 y=g{x}의

그래프보다 항상 위쪽에 있으면 h{x}>0이므로 h{1}>0이다.

h{1}=1-4-a@+4a>0, a@-4a+3<0 {a-1}{a-3}<0 / 1<a<3

07

x$의 계수가 양수인 사차함수 f{x}의 극댓값이 존재한 다. f '{x}=0의 해는 서로 다른 세 실수

x$의 계수가 양수인 사차함수 f{x}가 극댓값을 가지면 방정식 f '{x}=0은 서로 다른 세 실근을 가진다.

4x#-6x@-24x-a=0에서 4x#-6x@-24x=a g{x}=4x#-6x@-24x라 하면

g'{x}=12x@-12x-24=12{x+1}{x-2}

g'{x}=0에서 x=-1 또는 x=2 g{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y -1 y 2 y

g '{x} + 0 - 0 +

g{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

O x

y y=f{x}

2

1 x y=h{x}

g{x}의 극댓값은 g{-1}=14, 극솟값은 g{2}=-40

이므로 y=g{x}의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. y=g{x}의 그래프와 직선 y=a가 세 점에서 만나므로 -40<a<14 따라서 정수 a는

-39, -38, -37, y, 13 이고 53개이다.

08

곡선과 직선의 접점의 좌표를 {a, a#-3a}라 하고, 접 선의 방정식부터 구한다.

y'=3x@-3이므로 곡선 y=x#-3x 위의 점 {a, a#-3a}에서의 접선의 방정식은

y-a#+3a={3a@-3}{x-a}

이 접선이 점 {1, k}를 지나므로 k-a#+3a={3a@-3}{1-a}

/ k=-2a#+3a@-3

이 방정식의 해가 서로 다른 세 실수이다.

f{a}=-2a#+3a@-3이라 하면 f '{a}=-6a@+6a=-6a{a-1}

f '{a}=0에서 a=0 또는 a=1 f{a}의 증감표는 다음과 같다.

a y 0 y 1 y

f '{a} - 0 + 0

f{a} ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

f{a}의 극댓값은 f{1}=-2, 극솟값은 f{0}=-3

이므로 y=f{a}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 곡선 y=f{a}와 직선 y=k가 세 점에서 만나면

-3<k<-2

09

f{3}-f{-1}

3-{-1} =f '{c}를 만족하는 실수 c {-1<c<3}의 개수를 찾는다.

f{x}=x$-2x#+x에 대하여 구간 [-1, 3]에서 평균값 정리를 만족하는 값을 c {-1<c<3}이라 하면

f{3}-f{-1}

3-{-1} =f '{c} yy ① f{3}=30, f{-1}=2이므로

①의 좌변은 30-2 4 =7

①의 우변은 f '{c}=4c#-6c@+1

x O

y y=g{x}

2

-40 -1

14

y=a

O a y=f{a} y

1

-3 -2

y=k

곧, -1<c<3에서 7=4c#-6c@+1의 해의 개수를 구한다.

g{c}=4c#-6c@+1이라 하면 g '{c}=12c@-12c=12c{c-1}

g '{c}=0에서 c=0 또는 c=1

구간 {-1, 3}에서 g{c}의 증감표는 다음과 같다.

c {-1} y 0 y 1 y {3}

g '{c} + 0 - 0 +

g{c} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

g{c}의 극댓값은 g{0}=1, 극솟값은 g{1}=-1이고 g{-1}=-9, g{3}=55 이므로 y=g{c}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 -1<c<3에서 y=g{c}의 그래프와 직선 y=7은 한 점에서 만 나므로 c의 개수는 1이다.

note 곡선 y=f{x}에 접하고 기 울기가 f{3}-f{-1}

3-{-1} = 7인 접선이 몇 개 있는지 구하는 문제이다. 오른쪽 그림 에서 ①과 같은 경우는 접선이 아니라는 것을 주의한다.

10

구간 [0, 2]에서 연립부등식 -x@-4<x#-x@+x+k<x@+4를 푼다.

|x#-x@+x+k|<x@+4에서 -x@-4<x#-x@+x+k<x@+4

! -x@-4<x#-x@+x+k일 때, x#+x+k+4>0 f{x}=x#+x+k+4라 하면

f '{x}=3x@+1>0

곧, f{x}는 증가하는 함수이므로 구간 [0, 2]에서 f{x}>0 이면 f{0}>0이다.

k+4>0 / k>-4 yy ①

@ x#-x@+x+k<x@+4일 때, x#-2x@+x+k-4<0 g{x}=x#-2x@+x+k-4라 하면

g'{x}=3x@-4x+1={3x-1}{x-1}

g'{x}=0에서 x=1

3 또는 x=1

구간 [0, 2]에서 g{x}의 증감표는 다음과 같다.

x 0 y 3! y 1 y 2

g '{x} + 0 - 0 +

g{x} k-4 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ k-2

O c

y y=g{c}

1 1

3 -1

-1 -9

y=7 55

x O

y ① y=f{x}

②

따라서 y=g{x}의 그래프는 오른쪽

O x

y y=g{x}

2 3! 1

그림과 같다.

구간 [0, 2]에서 g{x}<0이면 g [ 13 ]<0이고, g{2}<0이다.

g [ 13 ]<0에서 1

27-2 9+1

3+k-4<0 -104

27 +k<0 / k< 10427 yy ② g{2}<0에서 k-2<0 / k<2 yy ③

①, ②, ③의 공통부분은 -4<k<2

11

모든 실수 x에 대하여 f '{x}<g '{x}

f{x}-g{x}는 감소한다.

모든 실수 x에 대하여 f '{x}-g '{x}<0이므로 h{x}=f{x}-g{x}라 하면 h{x}는 감소한다.

또 f{0}=g{0}에서 h{0}=f{0}-g{0}=0

! x<0일 때 h{x}>0이므로 h{-1}=f{-1}-g{-1}>0 / f{-1}>g{-1}

@ x>0일 때 h{x}<0이므로 h{1}=f{1}-g{1}<0 / f{1}<g{1}

또 g{x}는 감소하므로 !, @에서 f{1}<g{1}<g{-1}<f{-1}

따라서 옳은 것은 ④, ⑤이다.

note f{x}=h{x}+g{x}이고 h{x}, g{x}가 감소하므로 f{x}도 감소한다.

12

h{x}의 증감표와 그래프를 그린다.

h'{x}=f '{x}-g '{x}이므로

h'{x}=0에서 x=a 또는 x=b 또는 x=c h{x}의 증감표는 다음과 같다.

x y a y b y c y

h '{x} - 0 + 0 - 0 +

h{x} ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

이때 h{b}=0이므로 y=h{x}의 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

ㄱ. a<x<b에서 h{x}는 증가한다. (참) ㄴ. h{x}는 x=b에서 극댓값을 가진다. (참)

ㄱ. a<x<b에서 h{x}는 증가한다. (참) ㄴ. h{x}는 x=b에서 극댓값을 가진다. (참)

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