공업수학 II
강의 (14)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
2-4. 1계 선형 미분방정식 1계 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑜𝑟 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥) 𝑞 𝑥 = 0 : 1계 제차 선형 미분방정식 𝑞 𝑥 ≠ 0 : 1계 비제차 선형 미분방정식 예시) (1) 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑦 기본형으로 변환: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2 𝑥𝑦 = 0 ∴ 𝑝 𝑥 = −2𝑥 & 𝑞 𝑥 = 0 1계 제차 선형미분방정식 (2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑒 2𝑥 = 0 기본형으로 변환: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑥 ∴ 𝑝 𝑥 = 0 & 𝑞 𝑥 = 𝑒2𝑥 1계 비제차 선형미분방정식 1계 제차 선형 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥+𝐶 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 , (𝐴 = 상수) 1계 비제차 선형 미분방정식의 해 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 (지난 시간 강의 복습) 𝐴(𝑥)
예제) 다음 미분방정식의 일반 해를 구하라. (1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 0 𝑝 𝑥 & 𝑞(𝑥) 확인: 𝑝 𝑥 = 2𝑥 & 𝑞 𝑥 = 0 제차 미분방정식 1계 선형 제차 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 ∴ 𝑦 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴𝑒−𝑥2 직접 변수분리 하여 해를 구하면… 변수분리: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑦 = −2𝑥𝑑𝑥 양변을 적분: 𝑑𝑦 𝑦 = − 2𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑙𝑛 𝑦 = −𝑥2 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 𝑒 −𝑥2+𝐶 1계 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑒−𝑥2𝑒𝐶 = 𝐶𝑒−𝑥2 2. 1계 미분방정식
(2) 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 4 기본형으로 변형: 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 4 𝑝 𝑥 & 𝑞(𝑥)
를 확인:
𝑝 𝑥 = 𝑥1 & 𝑞 𝑥 = 𝑥4 1계 비제차 선형 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ∙ 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) 4 𝑥 ∙ 𝑒 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑥−1 4 𝑥 ∙ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: − 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥−1 & 𝑒𝑙𝑛 (𝑥) = 𝑥 ∴ 𝑦 = 1 𝑥 4 𝑑𝑥 + 𝐶 = 1 𝑥 4𝑥 + 𝐶 = 4 + 𝐶 𝑥 다른 풀이 법 주어진 방정식: 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 4 (𝑥𝑦)′ = 4 𝐶 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 𝑥𝑦 = 4 𝑥 1계 비제차 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥(3) 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
1계 선형 미분방정식의 기본형으로 변형: 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑝 𝑥 & 𝑞(𝑥) 확인: 𝑝 𝑥 = 1 𝑥 & 𝑞 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1계 선형 비제차 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ∙ 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑒𝑙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑥−1 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: −𝑙 𝑛 𝑥 = 𝑙 𝑛 𝑥−1 & 𝑒𝑙𝑛 (𝑥) = 𝑥 ∴ 𝑦 = 𝑥1 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 2. 1계 미분방정식 1계 비제차 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 부분적분법 (삼각함수와 대수함수) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 𝑥𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
(3) 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
(계속)
𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 의 적분 setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 1 ∴ 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1계 선형 비제차 미분방정식의 해: 𝑦 = 1 𝑥 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 1 𝑥 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 + 𝐶 𝑥 다른 풀이 법 주어진 방정식: 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (𝑥𝑦)′ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 양변을 적분: (𝑥𝑦)′𝑑𝑥 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +𝐶(4) 𝑦 = 𝑥 3 −𝑑𝑦𝑑𝑥 1계 선형 미분방정식의 기본형으로 변형: 𝑦 = 𝑥 3 −𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 𝑥𝑦 = 3 𝑝 𝑥 & 𝑞(𝑥) 확인: 𝑝 𝑥 = 1 𝑥 & 𝑞 𝑥 = 3 1계 선형 비제차 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) 3𝑒𝑙𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑥−1 3𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 = 1 𝑥 3𝑥2 2 + 𝐶 = 3𝑥 2 + 𝐶 𝑥 다른 풀이 법 주어진 방정식 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 (𝑥𝑦)′ = 3𝑥 양변을 적분: (𝑥𝑦)′𝑑𝑥 = 3𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥𝑦 = 3𝑥2 2 + 𝐶 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝐶 𝑥 1계 비제차 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 2. 1계 미분방정식 (숙제) 다음 미분방정식의 일반해를 구하라. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 제출 일시: 11월5일 (월) 2교시 수업시작 전 까지 (시간엄수)
