제 1 강 미분방정식의 정의와 구성제 1 강 미분방정식의 정의와 구성

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제 1 강

미분방정식의 정의와 구성

두 가지 변수 x 와 y가 있을 때, 변수 x가 일정한 범위 내에서의 값 [치(値)]을 차례로 취할 때 거기에 대응(對應)하고 있는 일정한 규칙으로 변수 y가 변화하는 경우  y를 x의 함수라고 함

일반적으로  y=f(x)로 표시 

(국어대사전,  한국어사전편찬회 편) 

독립변수 x에 대한 종속변수의 값 y(x) (or f(x))를  y를 x의 함수라고 함 이때 y를 구성하는 종속변수로는 일반함수, y(x)=ax ² +bx+c, 삼각함수, 

y=asinbx, 지수함수,  y=ae ^bx , 로그함수, y=alnbx가 있음 (이후 y, f(x)를 함수) 

1. 함수 [凾數, Function]

함수의 정의 1

함수의 정의 2

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문자를 포함한 등식(等式)에 있어서 그 문자에 대입하는 수나 함수의 범위가 지정되어 있는 등식(等式) 

2. 방정식 [方程式, Equation]

방정식의 정의 1

등식(等式, Equal)을 중앙기점으로 좌변과 우변으로 구성된 함수. 

즉,  y(x)=ax ² +bx+c,  y=asinbx + ce ^dx 등 

(국어대사전,  한국어사전편찬회 편) 

방정식의 정의 2

미지 함수(未知 凾數)의 도함수(導凾數)를 포함한 방정식

3. 미분방정식 [微分方程式, Differential equation]

미분방정식의 정의 1 

(국어대사전,  한국어사전편찬회 편) 

미분방정식의 정의 2

미분(微分, Differential)과 방정식(方程式, equation)의 합성어로서, 미분된 도함수가 포함되어 구성된 방정식 

y

′

+ay=r(x), u _xx +u _yy =0 등

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어떤 함수의 미분계수를 구하는 셈법(differential calculus) 

함수 y=f(x)에 있어서, x가 아주 적게 h만큼 변화했을 때, f

′

(x)h를 y 의 미분이라 이르며, dy라 적음, 다만 f

′

(x)는 f(x)의 도함수임(differentials) 

x 

x  y  x  x 

y 

x

D

- D +

® D 

)  (  )  lim  ( 

0 

dx 

dy 

4. 미분( 微分, Differential) I

미분의 정의 1

독립변수 x의 아주 적은 변화 (

Δ

x

→

0)에 대한 함수 y(x) (or f(x)) 의

변화율. 즉,  를 말하며,  이를 y

′

_{(x) 또는 라 한다.} 

(Δx→0를 dx, Δy→0를 dy) 

(국어대사전,  한국어사전편찬회 편) 

미분의 정의 2

y=f(x)의 함수로 표현될 때, 변수 x의 변화(Δx= x _i ­x)에 대한

함수  y(Δy=y _(xi) ­y _(x) )의 변화의 비(ratio)를 y

′

또는 라 하며, 이를 도함수  (導函數, differentials)라 한다.  수식으로 표현하면, 

기학학적 의미로 고찰하면, 변수 x의 변화에 대한 y 함수값의 변화율(비)  임으로 기하학적 의미로는 x점에서의

접선의 기울기라 하며,  가 된다. 

x 

x  y  x 

x  y 

x  x 

x  y  x 

y  x 

y  dx 

y  dy 

x 

i  i  x 

x 

x  _i

D - D

= +

-

= - D

= D

=

® D

®

® D 

)  (  ) 

lim  ( 

)  (  ) 

lim  (  lim 

' 

0 

0  ₀ 

dx  dy

a

  )  tan 

(  )  lim  ( 

'  0 =

D - D

= +

®

D  x 

x  y  x  x 

y  y 

x 

Δy  Δx 

x  x 

_i 

x  0 

y 

y(x)  y(x 

_i 

),y(x+ Δ _x) 

Tangent  (접선) 

(Δx →0, Δy → 0)  y=ax 

² 

(a>0) 

5. 미분( 微分, Differential) II

도함수(導函數, differentials)

7 / 21 

0  0  lim  0 

' 

0  , 

0  : 

0  ' 

0

= =

D

= D

= -

= D

= D

=

®

=

®

D 

x 

y  y 

c  c  y 

x 

y  c 

y 

x 

(c:상수, constant ) 

n  n 

n  n 

x  x 

x  y 

x 

nx  y 

x  y

- D

+

= D

® D

=

®

=

^- 

)  ( 

,  0  : 

' 

¹ 

n  n 

n  n  n 

n  n 

n  n 

n  n  n 

n  nx  n 

n 

x  x 

x  x 

nx 

x  x 

x  x 

x  x 

x 

x 

ⁿ

D + +

D

× +

D

×

=

- D

+ +

D

× +

D

× +

D

× +

=

- -

-

- -

- -

- -

L

L 

2  2 

!  2 

)  1  (  1 

3  3 

!  3 

)  2  )( 

1  (  2  2 

!  2 

)  1  ( 

! 

1 

) 

( 

¹ 

1  1 

2 

!  2 

)  1  (  1 

0 

)  lim  ( 

'

^-

- -

- -

®

D

=

D

D

× D

+ +

D

×

=  +

ⁿ 

n  n 

n  n  n 

x 

nx 

x 

x  x 

x  x 

y  nx  L

6. 미분( 微分, Differential) III

미분의 적용 예

bx  a  bx  y 

bx  a 

y  (  )' 

' 

ln ® = ×

=  x 

a  bx 

ab =

= 

bx 

bx 

y  a  bx  e 

ae 

y =  ® '  = × (  )'  × =  ab × e 

^bx 

) 

sin( 

)  sin( 

sin  ) 

sin( 

,  0  : 

cos  ' 

sin 

x  x 

x  x 

x  x 

y  x 

x  y 

x  y

- +

D +

= -

D +

= D

® D

=

®

=

; 결합 법칙 

) 

cos( 

)  sin( 

2  )  cos( 

)  sin( 

2 

^{x + D} ₂ ^{x - x} 

×

^{x + D} ₂ ^{x + x} 

=

^D ₂ ^x 

× x +

^D ₂ ^x 

= 

2 

2  2 

0  2 

2  0 

)  cos( 

)  sin( 

)  lim  cos( 

)  sin( 

lim  2 

x 

x  x 

x  x 

x 

x 

x  x 

x

D

D D

® D D

D

® D

+

= × D

+

× 

x 

x 

x 

x 

x 

sin(  )  cos  lim 

cos 

2  2 

2 0 

=

×

=

D

D

D ®

0

1

; ­sin x = sin (­x) 

6. 미분( 微分, Differential) III

미분의 적용 예

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둘이상의 변수 x, y, z, …의 함수 f(x, y, z, 

…

)가 있을 때 x만이 변하고 y, z, 

…

는 변하지 않는다고 하고, 그 변수로 미분하는 일

편도 함수(偏導函數) 

dx 

z  y  x 

d  dx 

f 

_x 

df  ( 

²

+ 2  +

² 

) 

=

=  =  2  x + 2  y  + z 

² 

2 

2 

2 

)  ,  , 

(  x  y  z  x  y  z 

f =  + +

dy  dx 

f  d  dy 

df  dx  f 

_xy

df 

= ×

×

= 

2 

2 

2  2 

2 

2  2 

)  2 

2  (  ) 

2  ( 

z  x 

dy 

z  y  x 

d  dy 

dx 

z  y  x 

d d 

+ +

=

+

= +

÷ ÷ ø ö ç ç

è

æ + +

=

7. 편미분(偏微分, Partial Differential)

편미분의 정의 1

종속변수가 두개 이상변수 (x, y, z, …)의 함수로 구성된 함수 f(x, y, z,

…

) 일 때, 임의의 변수에 대한 미분을 편미분, 이들 함수를 편도함수라 한다. 

즉, 

(국어대사전,  한국어사전편찬회 편) 

편미분의 정의 1

cu  cu )'  = 

( 

'  ' 

)' 

(  u +  v  = u  + v 

'  ' 

)' 

(  uv =  u  × v  + u  × v 

2 

'  )'  ' 

(  v 

v  u  v  u  v 

u × - ×

= 

dx  du  du 

dy  dx 

dy = ×

(c : 상수, constant)

(chain rule)

8. 도함수의 기본 공식

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)  (  ) 

( 

'  x  f  x 

f  ^미분

적분

9. 적분 [積分, Integral] I

적분의 정의 1 

(국어대사전,  한국어사전편찬회 편)  함수를 나타내는 곡선과  x 좌표축 위의 일정한 구간으로 싸인 면적을, 

어떤 극한치로 구한 것

변수의 변화에 대한 함수의 변화값의 전체 합, 즉 변수의 적은 변화량에 함수 변화량을 곱한 전체 변화량

미분된 함수 도함수의 미분 전 원래의 함수로 의 변환을 적분이라고 함

적분의 정의 2

c  x 

f  dx 

x  f  x 

x 

f  _i 

n

i 

n å i  × D = ò × = +

¥ =

®  '  (  )  '  (  )  (  ) 

lim 

1 

(c: 적분상수, integral constant)

ò å

¥ =

=  ®

n

n  i 

1 

lim  ⇒ Integrate / Integral  dx 

x  ® 0 :  D

9. 적분 [積分, Integral] I

적분의 기호

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정적분 (定積分,  Definite integral) 

적분구간이 정하여진, 적분 값이 하나인 적분. 즉, 

이외 정적분에는 의 면적분,  의 부피적분이 있다. 

a  b 

x 

xdx  ^b  _a 

b 

a  sin = [  - cos  ]  = - cos  + cos 

ò

òò òòò

10. 적분 [積分, Integral] II

적분의 종류

부정적분 (不定積分,  Indefinite integral) 

적분의 구간이 정해지지 않은 적분, 일반적으로 나타내는 적분상수,  c를 포함하는 적분. 즉, 

ò  xdx = ^{2  1} x  ²  + c 

선적분 (線積分, Line integral) 

적분의 구간이 곡선, c (curve)로 구성된 적분을 선적분이라 함 선적분은 적분구간이 있음으로 일종의 정적분임

선적분의 적용은 복소적분과 벡터적분이 있음. 즉, 

변수 이 하나의 변수가 아닌 x, y / x, y, z에 의한

의 곡선으로 구성되어 적분됨으로 선적분이라 함

ò c  f  (  z  )  dz  ,  ò  c  F  (  r  r  )  dr  r 

z  r  , 

)  ,  ,  (  ),  , 

(  x  y  r  x  y  z 

z  r

적분의 종류

10. 적분 [積分, Integral] II

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미분과 적분은 상호 분리된 수식이 아니므로, 미분과 적분의 기본공식을 함께 생각하여 암기

ò

ò ^{uv  '  dx  =  uv  - u  '  vdx} 

)  1 

1  ( 

1

+ ¹ -

= ₊

⁺

ò  ^{x  n  dx  x  n} 

ⁿ 

^{c  n} 

c  x 

x dx  = +

ò  ^{1  ln} 

c  e 

dx 

e  ^ax = _a  ^ax  +

ò  ¹ 

c  x  xdx = - +

ò  ^{sin  cos} 

11. 적분 [積分, Integral] III

적분의 기본 공식(예)

dx  y  dy 

cy 

y '  +  = 0  ,  '  =

12. 미분방정식의 명칭

미분방정식

미분 함수로 구성된 방정식을 미분 방정식이라 함

미분방정식은 구성형태에 따라 미분방정식은 분류, 명명됨

상 미분방정식 (Ordinary D. E.) / 편 미분방정식 (Partial D. E.)

상 미분방정식은 독립변수가 하나로 구성된 미분방정식

편 미분방정식은 독립변수가 둘 이상이며, 각 독립변수에 대한 편미분을 포함하는 미분방정식 

v  u 

v 

u +  = 0 ,  = -

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선형 미분방정식

함수 y(x) 및 그 도함수 y ⁽ⁿ⁾ 들이

와 같이 각각의 항들의 1차 거듭제곱으로 구성된 방정식 

[  로 변환됨] 

e 

x 

y  xy 

y  y 

y  y 

xdy  dx 

x 

y -  )  + 4  = 0  ,  '  '  - 2  '  + = 0  ,  '  '  '  + 3  '  - 5  = ( 

ax  y 

y  y 

b  ay 

e  y  y 

y  + = ^x + = + =

-  )  '  ,  '  '  cos  0  ,  '  '  ' 

^1 2 

1 

( 

)  (  ) 

(  ) 

(  ) 

(  ) 

(  x  y  a 

₁ 

x  y 

¹ 

a 

₁ 

x  y 

¹ 

a 

₀ 

x  y  r  x  a 

_n ⁿ 

+

_n - ^n -

+ L  + + =

x  y  x 

xdy  dx 

x 

y  -  )  + 4  = 0  ® 4 

^dy _dx 

+ = ( 

12. 미분방정식의 명칭

선형 (Linear) / 비선형 미분방정식 (Non linear D. E.)

비선형 미분방정식

선형성(linearity)이 없는 미분방정식. 즉, 선형 미분방정식이 아닌 함수로서, 도 함수의 1차 거듭제곱이 아니거나, 계수 a(x)가 변수 x의 함수로 구성되지 않은 경우의 함수

상미분방정식에 나타나는 가장 높은 도함수를 그 방정식의 계수라 함 의 경우,  n계 미분방정식이라 함 

0  )  ( x  =  r 

)  (  ) 

(  ) 

(  ) 

(  ) 

(  x  y  a 

₁ 

x  y 

¹ 

a 

₁ 

x  y 

¹ 

a 

₀ 

x  y  r  x  a 

_n ⁿ 

+

_n - ^n -

+ L  + + =

0  )  ( x  ¹  r 

→ 제차 미분방정식

→ 비제차 미분방정식 

)  (  ) 

(  ) 

(  ) 

(  ) 

(  x  y  a 

₁ 

x  y 

¹ 

a 

₁ 

x  y 

¹ 

a 

₀ 

x  y  r  x  a 

_n ⁿ 

+

_n - ^n -

+ L + + =

12. 미분방정식의 명칭

제차(Homogeneous) / 비제차 (Non-homogeneous D. E.)

계수 (Order)

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cx  y 

xy 

y '  )  -  '  + 2  = ( 

2 

² 

0  ' 

' + y  = y 

)  (  ) 

(  ) 

(  ) 

(  ) 

(  x  y  a 

₁ 

x  y 

¹ 

a 

₁ 

x  y 

¹ 

a 

₀ 

x  y  r  x  a 

_n ⁿ 

+

_n - ^n -

+ L + + = 차수(Degree)

12. 미분방정식의 명칭

가장 높은 도함수가 몇 차인지를 그 미분방정식의 차수라 함

① 

n계 1차 미분방정식

② , 2계 1차 미분방정식

③  , 1계 2차 미분방정식

13. 해(Solution)

일반해 (General solution)

적분상수, c 가 임의의 상수로 포함된 해

특별해 (Particular solution)

조건이 부여되어 적분상수가 임의상수가 아닌 특정한 값을 갖는 해 조건

초기값 조건(initial value condition)  경계값 조건(boundary condition) 

특이해 (Singular solution)

일반해로부터 얻을 수 없는 추가적인 해

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14. Summary 

)  (  ) 

(  ) 

(  ) 

(  ) 

(  x  y  a  ₁  x  y  ¹  a  ₁  x  y  ¹  a  ₀  x  y  r  x  a  _n ⁿ  + _{n  -} ^{n  -} + L + + =

i) Full name

: 선형 비제차 n 계 1차 상미분 방정식

(Ordinary linear non homogeneous n order first degree D. E.) 

ii)  해 :      : 제차 미방의 n 개 해 (y 1 , y 2 , y 3 …, y n )로 구성된 

r  ( x  )  =  0 

n  n 

h  c  y  c  y  c  y 

y = _{1  1}  + _{2  2}  + L  +

_{의 일반해 (c} 

1 , c 2 , 

…, _{c n :상수)} 

0  )  ( x  ¹ 

r 

: 제차 미방의 n 개 해 y n 와 r(x)에 대한 y p 로 구성된 일반해

특별해  : 초기값조건 또는 경계값 조건이 있는 해