우석대학교 에너지전기공학과

공학수학 (23 & 24)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

 미분방정식의 정의: 𝑦

′

, 𝑦“ 등의 도함수를 포함하는 방정식.

 미분방정식의 예

1) 상미분방정식(ordinary differential equation): 독립변수 x와 미지함수 y의 도함수 만을 포함

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 5𝑥,

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2

+ 3

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 4𝑦 = 0, (

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2

)

3

₊₃₍

𝑑𝑦 𝑑𝑥

)

4

_{+4𝑦 = 0}

2) 편미분방정식(partial differential equation): 두 개 이상 독립변수(x, y)와 미지함수 z의 편도함수 포함

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2

+

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2

= 𝑥𝑦

3) 완전미분방정식 (exact differential equation): 독립변수와 종속변수 구분 없이 변수와 미분 사이의 관계를 나타냄.

 미분방정식의 계수(order): 미지함수의 최고계 도함수의 계수.

 미분방정식의 차수(degree): 최고계 도함수의 차수

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 5𝑥

:

𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂

+ 3

𝑑𝑦_𝑑𝑥

+ 4𝑦 = 0

:

(

𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂

)

3

+3(

𝑑𝑦_𝑑𝑥

)

4

+4𝑦 = 0 :

_𝜕𝑥𝜕2𝑧₂

+

_𝜕𝑦𝜕2𝑧₂

= 𝑥𝑦

:

 선형 미분방정식 (linear differential equation)

- 특히, 미지함수 y 및 그 도함수 𝑦′_{, 𝑦}′′_{… 등에 관하여 1차인 미분방정식}

1계 1차 상미분방정식

2계 1차 상미분방정식

2계 3차 상미분방정식 2계 1차 편미분방정식

9-2. 1계 미분방정식

case 1) 변수분리형 case 2) 동차형 case 3) 완전 미분방정식

9-2-1. 변수 분리형

 변수 𝑥 와 𝑦 및 𝑦 의 함수 𝑓(𝑥) 가 각각 좌우로 분리 가능한 형태

𝑔 𝑦

𝑑𝑦_𝑑𝑥

= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

 양쪽을 적분하면,

_{𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶}

예제 9-1) 다음 미분방정식의 해를 구하라.

 변수분리

:

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= −

𝑥 𝑦

𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥

 양변을 적분

𝑦𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

1₂

𝑦

2

_{= −}

1 2

𝑥

2

+ C 𝑥

2

+ 𝑦

2

= 2C

 그러므로, 미분방정식의 일반 해는

𝑥

2

_{+ 𝑦}

2

_{= C}

예제 9-2)

1 + 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 1 + 𝑦

을 풀어라

1 + 𝑥

𝑑𝑦_𝑑𝑥

= 1 + 𝑦

𝑑𝑦 1+𝑦

=

𝑑𝑥 1+𝑥

1 1+𝑦

𝑑𝑦 =

1 1+𝑥

𝑑𝑥 + 𝐶 𝑙𝑛 1 + 𝑦 = 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 𝐶

𝑙𝑛

1+𝑦_1+𝑥

= 𝐶

1+𝑦_1+𝑥

= 𝑒

𝑐

1+𝑦_1+𝑥

= 𝐶

9. 미분방정식

9-2-2. 동차형

 1계 미분방정식의 형식이

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 = 0

이고,



𝑀, 𝑁

이

𝑥, 𝑦

에 관하여 같은 차수일 때 이를 동차형 미분방정식 이라함. 1)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥

3

+ 2𝑥𝑦

2

+ 𝑦

3 : 세 항 모두 3차 이므로 동차함수. 2)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥

2

+ 2𝑥𝑦

2

+ 𝑦

2

: 1, 3 항은 2차, 2항은 3차 이므로 동차함수가 아님. 3)

𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝑥+2𝑦 3𝑥−2𝑦 : 네 항 모두 1차 이므로 동차함수  동차함수의 적분 1) 각 항의 차수가 같으므로 각 항을 𝑦 𝑥 형으로 변환하면: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑓(

𝑦 𝑥

)

2)

𝑦 = 𝑣𝑥

로 놓고, 이것을

𝑥

에 관해 미분하면: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣 𝑑𝑥 그러므로 1)과 2)로 부터:

𝑓 𝑣 = 𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣 𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑣 𝑑𝑥

= 𝑓 𝑣 − 𝑣

3) 위 식을 변수분리형으로 변환하여 적분하면,

𝑑𝑣 𝑓 𝑣 −𝑣

=

𝑑𝑥 𝑥

𝑑𝑣 𝑓 𝑣 −𝑣

=

𝑑𝑥 𝑥

+ 𝐶

𝑑𝑣 𝑓 𝑣 −𝑣

= ln 𝑥 + C

예제) 다음 미분방정식의 해를 구하라.

𝑥

2

_{+ 𝑦}

2

_{𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0}

1) 각 항이 동차(2차) 이므로 𝑦 𝑥 형으로 변환: 2

)

𝑦 𝑥

= 𝑣

로 놓고, 이것을 𝑥 에 관해 미분하면: ※ 2)를 1)에 대입하면: 3) 변수분리형 적분: 4) 𝑦 𝑥 = 𝑣 로 환원: 1 + 𝑦 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2𝑦 𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥

(1 +

𝑣

2

) = 2𝑣(𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣_𝑑𝑥

)

𝑥

𝑑𝑣_𝑑𝑥

=

(1+𝑣_2𝑣2)

− 𝑣

𝑑𝑥_𝑥

=

_(1−𝑣2𝑣₂₎

𝑑𝑣 + 𝐶

𝑙𝑛𝑥 = 2𝑣 (1 − 𝑣2₎𝑑𝑣 + C 𝑙𝑛𝑥 = − ln 1 − 𝑣2 + C 𝑙𝑛 𝑥 1 − 𝑣2 = C 𝑙𝑛 𝑥 1 − 𝑣2 _{= C 𝑙𝑛 𝑥 1 −} 𝑦 𝑥 2 = C 𝑙𝑛 (𝑥 −𝑦_𝑥2 ) = C 𝑥2_−𝑦2 _{= 𝐶𝑥} 9. 미분방정식

9-2-3. 완전 미분방정식

 임의의 함수

𝑢 𝑥, 𝑦

의

𝑥, 𝑦

에 대한 1계 편도함수( 𝜕𝑢 𝜕𝑥

,

𝜕𝑢 𝜕𝑦 )를 각각

𝑀, 𝑁

이라 할 때, 즉,

𝑀 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑢 𝜕𝑥

,

𝑁 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑢 𝜕𝑦  1계 미분방정식의 형식이

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

의 미분방정식은 함수

𝑢 𝑥, 𝑦

의 완전미분이 되며, 이것을 완전미분방정식이라 함. 즉,

𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑢 𝜕𝑥

𝑑𝑥 +

𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝑑𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

 위의 완전미분방정식을 적분하면,

𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 0 𝑢 𝑥, 𝑦 = C

 1계 편도함수

𝑀 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑢 𝜕𝑥 ,

𝑁 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑢 𝜕𝑦 로 부터 2계 편도함수를 구하면, 𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥

,

𝜕𝑁 𝜕𝑥

=

𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥

※

𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥 는

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

이 완전미분방정식이 되기 위한 필요충분 조건 즉, 𝜕𝑀

≠

𝜕𝑁 이면

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

은 완전미분방정식이 아님.

9-2-3. 완전 미분방정식(계속)

 완전미분방정식의 일반 해 (1) 1)

𝑀 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑢 𝜕𝑥 을

𝑥

에 관해 적분: 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓(𝑦) ※ 이때, 𝑓(𝑦) 는 적분상수 2) 𝑓(𝑦) 를 구하기 위해,

𝑁 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑢_𝜕𝑦 와 _{𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓(𝑦) 을 이용} 즉,

𝑁 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑢 𝜕𝑦

=

𝜕 𝜕𝑦

{ 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓(𝑦)} =

𝜕 𝜕𝑦

𝑀𝑑𝑥 + 𝑓′(𝑦) 𝑓

′

_{𝑦 = 𝑁 −}

𝜕 𝜕𝑦

𝑀𝑑𝑥

3) 𝑓′ _{𝑦 를}

_𝑦

_{에 대해 적분:}

_{𝑓 𝑦 = {𝑁 −}

𝜕 𝜕𝑦

𝑀𝑑𝑥}𝑑𝑦 + 𝐶

4) 그러므로 완전미분방정식의 일반 해는 1)과 3) &

𝑢 𝑥, 𝑦 = C

으로부터,

_{𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓(𝑦) = 𝑀𝑑𝑥 + {𝑁 −}

𝜕 𝜕𝑦

𝑀𝑑𝑥}𝑑𝑦 = 𝐶

9. 미분방정식

예제1) 다음 완전 미분방정식의 해를 구하라 (𝑥3_{+ 2𝑥𝑦 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦}3_{+ 𝑥}2 _{+ 𝑥)𝑑𝑦 = 0 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0}  Check: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥  완전미분방정식의 일반 해 _{𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓(𝑦) = 𝑀𝑑𝑥 + {𝑁 −} 𝜕 𝜕𝑦 𝑀𝑑𝑥}𝑑𝑦 = 𝐶 1) 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥3+ 2𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝜕𝑢_𝜕𝑥 을 𝑥 에 관해 적분: 𝑀𝑑𝑥 = 𝑥3+ 2𝑥𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥 =𝑥₄4 + 𝑥2_{𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝐶} 2) _{{𝑁 −} 𝜕 𝜕𝑦 𝑀𝑑𝑥}𝑑𝑦 를 구하기 위해,  𝜕 𝜕𝑦 𝑀𝑑𝑥 를 구하면: 𝜕 𝜕𝑦 𝑀𝑑𝑥 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑥4 4 + 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝐶 = 𝑥2 + 𝑥  {𝑁 −_𝜕𝑦𝜕 𝑀𝑑𝑥}𝑑𝑦 = { 𝑦3 + 𝑥2 _{+ 𝑥 − (𝑥}2_{+𝑥)}𝑑𝑦 = 𝑦}3_{𝑑𝑦 =} 𝑦4 4 + 𝐶 3) 일반 해는 1)과 2)로 부터,

9-2-3. 완전 미분방정식 (계속)

 완전미분방정식의 일반 해 (2)  완전 미방의 일반 해를 구하는 다른 방법으로 𝑢 𝑥, 𝑦 의 전미분의 성질을 이용 1) 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 의 양변을 각각 적분하면 _{𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶} 2) 위 _{식에서 일반해는 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 와 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 의 값에서 동일한 값을 갖는 공통항의} 한 값과 다른 값을 갖는 항과의 덧셈으로 표시 됨. 예제) 𝑦 + 4 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 의 해를 구하면, _{𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑦 + 4 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 𝐶} 좌변 1항: _{𝑦 + 4 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 + 4𝑥 + 𝐶1} 좌변 2항: _{𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝐶2} 여기서 일반 해는 공통항 인

𝑥𝑦

와 다른 항

4𝑥 로 표현됨.

그러므로 완전미분방정식의 일반 해는 좌변 1항과 2항) 으로부터,

𝑥𝑦 + 4𝑥 + 𝐶

₃

= 𝐶 𝑥𝑦 + 4𝑥 = 𝐶

9. 미분방정식

예제2) 다음 미분방정식이 완전미분방정식인지 확인하고, 일반 해를 구하라

(𝑥

3

_{+ 2𝑥𝑦 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦}

3

_{+ 𝑥}

2

_{+ 𝑥)𝑑𝑦 = 0}

1) 완전미분 방정식: 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢_𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑢_𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑢 𝜕𝑥

= (𝑥

3

_{+ 2𝑥𝑦 + 𝑦), 𝑁 𝑥, 𝑦 =}

𝜕𝑢 𝜕𝑦

= (𝑦

3

_{+ 𝑥}

2

_{+ 𝑥)}

2) 완전미분방정식의 확인

𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥

=

𝜕 𝜕𝑦

𝑥

3

_{+ 2𝑥𝑦 + 𝑦 = 2𝑥 + 1}

𝜕𝑁_𝜕𝑥

=

_{𝜕𝑥𝜕𝑦}𝜕2𝑢

=

_𝜕𝑥𝜕

𝑦

3

_{+ 𝑥}

2

_{+ 𝑥 = 2𝑥 + 1}

3)

𝑀

을 𝑥 에 관해,

𝑁

을 𝑦 에 관해 각각 적분

𝑀𝑑𝑥 = 𝑥

3

+ 2𝑥𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥 =

𝑥4 4

+ 𝑥

2

_{𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝐶}

𝑁𝑑𝑦 = (𝑦

3

_{+ 𝑥}

2

_{+ 𝑥)𝑑𝑦 =}

𝑦4 4

+ 𝑥

2

_{𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝐶}

9-2-4. 1계 선형 미분방정식

 선형 미분방정식 (linear differential equation)

- 미지함수 𝑦 및 그 도함수 𝑦′, y" , … 등에 관하여 1차인 미분방정식  특히, 1계 도함수 (즉, 𝑦′ _{) 와 𝑦 로 주어지는 선형 미분방정식을 1계 선형 미분방정식 이라 함.} 𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑜𝑟 𝑦

′

_{+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)}

※ 이때, _{𝑄 𝑥 = 0 : 1계 제자 선형 미분방정식} 𝑄 𝑥 ≠ 0 : 1계 비제차 선형 미분방정식  1계 제차 선형 미분방정식의 해

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 0

- 변수분리: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 0

𝑑𝑦 𝑦

= −𝑃 𝑥 𝑑𝑥

- 적분:

𝑑𝑦 𝑦

= − 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝑒

− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥+𝐶

_{= 𝐴𝑒}

− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 9. 미분방정식

예제3) 다음의 미분방정식을 풀어라

𝑑𝑦 𝑑𝑥

− 𝑦 = 0

 1계 선형 미분방정식: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥  𝑃 𝑥 와 𝑄(𝑥) 를 확인: 𝑃 𝑥 = 1, 𝑄 𝑥 = 0 1계 선형 제차 미분방정식  1계 선형 제차 미방의 해: 𝑦 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥  𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑦 = 𝐴𝑒−𝑥  다른 방법으로 해를 구하면… 𝑑𝑦 𝑑𝑥− 𝑦 = 0 : 변수분리형 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝑒 𝑥+𝐶 _{= 𝑒}𝑥_𝑒𝐶 _{= 𝐴𝑒}𝑥