정답과 해설
2
정답과 해설Ⅰ. 기본 도형
1
기본 도형
1
④2
723
18cm4
52.5ù5
Cx=30ù,Cy=80ù6
21cm27
3008
②꼭
나오는대표 빈출
로 핵심 확인 본문 7쪽1
①선과선이만나면교점이생긴다. ②ABê와BAê는같은직선을나타낸다. ③오른쪽그림에서반직선AC와반직선 $ " # AB는시작점이같지만다른반직선을나타낸다. ④선분AB의길이를두점A,B사이의거리라한다. ⑤오른쪽그림에서AÕMÓ=;2!;ABÓ이지만 ADN ADN. " # 점M은선분AB의중점이아니다. 따라서옳은것은④이다. 답④
2
주어진4개의점으로만들수있는직선은ABê,`ACê,`ADê,` BCê,BDê,`CDê의6개이고,만들수있는반직선의개수는 6_2=12(개)이므로 a=6,b=12 ∴ab=6_12=72 답723
점B는ACÓ의중점이므로 ABÓ=BCÓ=;2!;ACÓ=;2!;_12=6(cm) 점C는BDÓ의중점이므로 BCÓ=CDÓ=6cm ∴ADÓ=ACÓ+CDÓ=12+6=18(cm) 답18cm4
CDOE=Ca라하면 CAOC=4CDOE=4Ca,CCOB=5CAOC=20Ca 이때CAOC+CCOB=180ù이므로 24Ca=180ù ∴Ca=7.5ù ∴CCOD=90ù-CAOC-CDOE =90ù-4_7.5ù-7.5ù=52.5ù 답52.5ù5
(3Cx+10ù)+(2Cx+20ù)=180ù이므로 5Cx+30ù=180ù ∴Cx=30ù ∴Cy=2Cx+20ù=2_30ù+20ù=80ù 답Cx=30ù,Cy=80ù6
CDê는ABÓ의수직이등분선이므로 " & # ADN ADN % ' $ 0 AOÓ=OBÓ=;2!;ABÓ =;2!;_14=7(cm) 점F에서ABÓ에내린수선의발은 점B이고점F와ABÓ사이의거리가6cm이므로 FBÓ=6cm ∴(삼각형FOB의넓이)=;2!;_OBÓ_FBÓ =;2!;_7_6=21(cm2) 답 21cm27
Ca=180ù-95ù=85ù이므로x=85 Cc의엇각은크기가120ù인각이므로y=120 C f 의동위각은크기가95ù인각이므로z=95 ∴x+y+z=300 답3008
lm이므로 Cx+80ù=130ù(동위각) Z Y M N ± ± ± ∴Cx=50ù 또한오른쪽그림에서 Cy+80ù=180ù ∴Cy=100ù ∴Cx+Cy=150ù 답② 1 대표문제 24cm 유제1
FBÓ=60cm,DEÓ=65cm 유제2
42cm 유제3
36cm 2 대표문제 83ù
유제4
Cx=80ù,Cy=50ù 유제5
220ù 유제6
125ù 3 대표문제 85ù 유제7
50ù 유제8
Cx=30ù,Cy=55ù 이 단원에서 뽑은고득점 준비 문제
Step1
본문 8 ~ 10쪽1
대표 문제 AÕMÓ=MBÓ,BNÓ=NCÓ이므로 ACÓ=AÕMÓ+MBÓ+BNÓ+NCÓ =2MBÓ+2BNÓ=2MNÓ=2_15 =30(cm) yy㉠ 이때ABÓ=4BCÓ이므로 ACÓ=ABÓ+BCÓ=4BCÓ+BCÓ=5BCÓ ∴BCÓ=;5!;ACÓ=;5!;_30=6(cm)(∵㉠) ∴ABÓ=4BCÓ=4_6=24(cm) 답24cm정답과 해설
책1.indb 2 2018-04-05 오후 6:45:50Ⅰ. 기본 도형
3
유제1
ADÓ=DBÓ=;2!;ABÓ=;2!;_80=40(cm), FDÓ=;2!;ADÓ=;2!;_40=20(cm) ∴FBÓ=FDÓ+DBÓ=20+40=60(cm) BEÓ=;2!;BCÓ=;2!;_50=25(cm) ∴DEÓ=DBÓ+BEÓ=40+25=65(cm) 답FBÓ=60cm,DEÓ=65cm 유제2
AÕMÓ=MCÓ=7cm이므로 ANÓ=5AMÓ=5MCÓ=5_7=35(cm) 또한,ACÓ=7_2=14(cm)이므로 CNÓ=AÕNÓ-ACÓ=35-14=21(cm) ∴CBÓ=2CNÓ=2_21=42(cm) 답42cm 유제3
MNÓ`:`NBÓ=3`:`2이므로MNÓ=;5#;MBÓ ∴MBÓ=;3%;MNÓ=;3%;_12=20(cm) AMÓ`:`MBÓ=4`:`5이므로MBÓ=;9%;ABÓ ∴ABÓ=;5(;MBÓ=;5(;_20=36(cm) 답36cm 다른 풀이 MNÓ`:`NBÓ=3`:`2에서MNÓ=12cm이므로 12`:`NBÓ=3`:`2 ∴NBÓ=:ª3¢:=8(cm) ∴MBÓ=MNÓ+NBÓ=12+8=20(cm) 한편AMÓ`:`MBÓ=4`:`5에서 AMÓ`:`20=4`:`5 ∴AMÓ=:¥5¼:=16(cm) ∴ABÓ=AMÓ+MBÓ=16+20=36(cm)2
대표 문제 두직선l,m에평행한직선n, M O Q N ± ± ± ± ± ± p를그으면엇각의크기는서로 같으므로 Cx=45ù+38ù=83ù 답83ù 유제4
lm이므로 M N Y Y Z Z ± ± Cx+50ù=130ù(엇각) ∴Cx=80ù 또한,Cy=180ù-130ù=50ù 답Cx=80ù,Cy=50ù 유제5
두직선l,m에평행한직선n, M N ± ± Y± Z[ [ [ O Q p를그으면 (Cx-40ù)+(Cy-Cz) =180ù ∴Cx+Cy-Cz=220ù 답220ù 유제6
사각형ABCD는평행사변형이 Y # $ " 1 % ± ± 므로ABÓCDÓ에서 CABC+CBCD=180ù 이때 CABC=45ù+25ù=70ù 이므로 CBCD=180ù-70ù=110ù ∴CBCP=CPCD=;2!;CBCD=;2!;_110ù=55ù 또한,ADÓBCÓ에서 CCPD=CBCP=55ù(엇각) ∴Cx=180ù-CCPD=125ù 답125ù 참고 오른쪽 그림과 같이 평행사변형 ABCD의 변 BC의 연장선 위에 한 점 E를 잡으면 CBCD+CDCE=180ù 이때 ADÓBCÓ이므로 CADC=CDCE (엇각) ∴ CBCD+CADC =CBCD+CDCE =180ù 따라서 평행사변형의 이웃하는 두 각의 크기의 합은 180ù임 을 알 수 있다.3
대표 문제 접은종이를다시펼치면접 Y Y ± ± ZZ 은각의크기는서로같고,직 사각형의마주보는두변은 서로 평행하므로 오른쪽 그 림과같다. 2Cy=50ù(동위각) ∴Cy=25ù 또한,2Cx=70ù+2Cy(엇각) ∴Cx=60ù ∴Cx+Cy=85ù 답85ù 유제7
오른쪽그림에서접은종이 Y Z " # % & 1 $ ± ± 를다시펼치면접은각의 크기는서로같고,삼각형 PCD에서세각의크기의 합은180ù이므로 CDPC=180ù-90ù-35ù=55ù 접은각의크기는서로같으므로 CEPC=CDPC=55ù ∴Cx=180ù-55ù-55ù=70ù " % & # $4
정답과 해설 또한,직사각형의한각의크기는90ù이므로 35ù+35ù+Cy=90ù ∴Cy=20ù ∴Cx-Cy=50ù 답50ù 다른 풀이 접은각의크기는서로같 Y M " # % ' & 1 $ ± ± Z Z 으므로 Cy=90ù-2_35ù=20ù 점E를지나면서변AD에 평행한직선l을그으면 CFEC=Cy=20ù(엇각)이므로 Cx=CPEF(엇각) =90ù-20ù=70ù ∴Cx-Cy=50ù 유제8
접은종이를다시펼치면접은 Z Z ± ± Y Y $ % & ' ( * ) " # 각의크기는서로같고,직사각 형의 마주 보는 두 변은 서로 평행하므로오른쪽그림과같다. 2Cx=60ù(동위각) ∴Cx=30ù 또한,2Cy=50ù+2Cx(엇각) ∴Cy=55ù 답Cx=30ù,Cy=55ù1
382
⑤3
80`m4
147ù5
105ù6
257
162.5ù8
311ù9
①10
140ù11
11ù12
155ù13
2ù고득점 실전 문제
Step2
본문 11 ~ 12쪽1
전략 ABê=BCê=ACê, AB³=AC³, CA³=CB³이다.ABê=BCê=ACê이므로직선의개수는 7_(7-1) 2 -2=19(개) ∴a=19 AB³=AC³,CB³=CA³이므로반직선의개수는 7_(7-1)-2=40(개) ∴b=40 선분의개수는 7_(7-1) 2 =21(개) ∴c=21 ∴a+b-c=19+40-21=38 답38 참고 직선, 반직선, 선분의 개수 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 n개의 점 중 두 점을 지나는 직선, 반직선, 선분의 개수는 다음과 같이 구한다. ⑴ 직선, 선분의 개수: n(n-1)2 개 ⑵ 반직선의 개수: n(n-1)개
2
전략 한 문자를 이용하여 각 선분의 길이를 표현해 본다. ABÓ`:`BCÓ=5`:`4이므로ABÓ=5x,BCÓ=4x라하면 ACÓ=ABÓ+BCÓ=9x,AQÓ=QCÓ=;2!;ACÓ=;2(;x 한편,RCÓ=;2!;BCÓ=;2!;_4x=2x이므로 QRÓ=QCÓ-RCÓ=;2(;x-2x=;2%;x ∴AQÓ`:`QRÓ=;2(;x`:`;2%;x=9`:`5 답⑤3
전략 주어진 조건에 맞게 양현, 소윤, 유림, 정은이를 한 직선 위에 네 점으로 나타내어 본다. 양현이와정은이로부터같은거리에유림이가서있고,유림 이와정은이사이의거리는112m이므로다음그림과같다. 양현 유림 정은 AN AN 즉,양현이와정은이사이의거리는224`m이다. 또한,양현,소윤,유림,정은이의순서로서있고양현이와소 윤이사이의거리는양현이와정은이사이의거리의;7!;이므로 양현이와소윤이사이의거리는 224_;7!;=32(m) 양현 소윤 유림 정은 AN AN AN 따라서소윤이와유림이사이의거리는 112-32=80(m) 답80`m4
전략 크기가 같은 각을 찾고, 평각의 크기를 이용한다. 맞꼭지각의크기는서로같고,평각은180ù이므로 (Cx-11ù)+(2Cx-20ù)+(Cx+5ù)+3Cx+(Cx-10ù) =180ù 8Cx-36ù=180ù ∴Cx=27ù ∴Cy=(2Cx-20ù)+(Cx+5ù)+3Cx =6Cx-15ù=6_27ù-15ù=147ù 답147ù5
전략 점 O는 점 D에서 직선 AB에 내린 수선의 발이므로 CAOD=CBOD=90ù이다. CAOC=CDOE=Ca라하면 CEOB=2CDOE=2Ca ∴CDOB=CDOE+CEOB=Ca+2Ca=3Ca 이때CDOB=90ù이므로 3Ca=90ù ∴Ca=30ù 책1.indb 4 2018-04-05 오후 6:45:52Ⅰ. 기본 도형
5
따라서CCOD=90ù-Ca=90ù-30ù=60ù이고 CDOE=30ù,CEOF=;4!;CEOB=;2!;Ca=15ù이므로 CCOF=CCOD+CDOE+CEOF =60ù+30ù+15ù=105ù 답105ù6
전략 선분의 수직이등분선은 그 선분의 중점을 지난다. EFê는ABÓ의수직이등분선이므로 AOÓ=OBÓ=7cm GHê는CDÓ의수직이등분선이므로 CDÓ=2KDÓ=2_9=18(cm) 따라서a=7,b=18이므로a+b=25 답257
전략 시침은 12시간에 360ù를 움직이므로 1시간에 30ù씩, 즉 1분에 0.5ù씩 움직이고, 분침은 1시간에 360ù를 움직이므로 1분에 6ù씩 움직인다. 시계가나타내는시각은1시35분이다. 시침과분침이모두12를가리킬때부터1시35분을가리킬 때까지움직인각의크기는 시침:30ù_1+0.5ù_35=47.5ù 분침:6ù_35=210ù 따라서구하는각의크기는 210ù-47.5ù=162.5ù 답162.5ù8
전략 직사각형의 마주 보는 두 변은 평행하므로 동위각의 크 기는 같다. 오른쪽그림에서 ± Y Z ± Cx=49ù(동위각) Cy=180ù-49ù=131ù ∴Cx+2Cy=49ù+2_131ù =311ù 답311ù9
전략 점 F를 지나면서 두 직선 AB, CD에 평행한 직선을 그어 본다. CAEF=CGEF=Ca,CEGF=CCGF=Cb라하면 두직선AB,CD가평행하므로2Ca+2Cb=180ù ∴Ca+Cb=90ù yy㉠ 오른쪽그림과같이점F를지 B B B C C C " $ % ) # & ' ( 나면서두직선AB,CD에평 행한직선을긋고이직선위의 한점을H라하면 CEFH=Ca(엇각), CGFH=Cb(엇각) ∴CEFG=CEFH+CGFH =Ca+Cb=90ù(∵㉠) 답① 다른 풀이 ABÓCDÓ이므로 CBEG=CEGC 그런데CAEB=180ù에서 CAEG+CBEG=180ù 즉,CAEG+CEGC=180ù이므로 CAEF+CGEF+CCGF+CEGF=180ù 2(CGEF+CEGF)=180ù ∴CGEF+CEGF=90ù 따라서삼각형EFG에서 CEFG=180ù-(CGEF+CEGF) =180ù-90ù=90ù
10
전략 엇갈린 선분들의 각 교점을 지나면서 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그어 본다. 두직선l,m에평행한직선n,p,q를그으면다음그림과 같다. B C B C B C D D E ± ± M O Q R N B 그림에서Ca+Cb+Cc+Cd+40ù=180ù이므로 Ca+Cb+Cc+Cd=140ù 답140ù11
전략 꼭짓점 B를 지나면서 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그어 본다. 꼭짓점B를지나면서두직선l, Y ± Y± Y± Y ± M NO " # $ % m에 평행한 직선 n을 그으면 오른쪽그림과같다. 정사각형의한각의크기는90ù 이므로 (5Cx+30ù)+(2Cx-17ù)=90ù 7Cx=77ù ∴Cx=11ù 답11ù 다른 풀이 오른쪽그림과같이ABÓ의연장 Y ± Y ± Y± M N " # & $ % 선이직선m과만나는점을E 라하면 CBEC=5Cx+30ù(엇각) 정사각형의한각의크기는 90ù이므로삼각형BEC에서 (5Cx+30ù)+(2Cx-17ù)+90ù=180ù 7Cx=77ù ∴Cx=11ù6
정답과 해설12
전략 접은 각, 평행선의 성질 등을 이용하여 크기가 같은 각 을 찾는다. 접은종이를다시펼치면접은각의크기는서로같으므로다 음그림과같다. ' " % # $ ( ) & ± ± B B D C D 직사각형의마주보는두변은서로평행하므로 2Ca=65ù(엇각) ∴Ca=32.5ù 평각은180ù이므로 Cb+50ù+2Ca=180ù ∴Cb=65ù 2Cc=50ù+2Ca(엇각) ∴Cc=57.5ù ∴Ca+Cb+Cc=155ù 답155ù13
전략 햇빛을 평행한 두 직선으로 생각하고 평행선의 성질을 이용한다. 평행하게들어오는햇빛을두직선l,m이라하고,물방울A, B에각각반사되어사람의시야C로들어오는빨간색빛을 직선p,보라색빛을직선q라하자. 다음그림과같이점C를지나면서두직선l,m에평행한직 선n을긋고,이직선위의한점을D라하면 " # % $ ± ± Q R M N O Y CACD=42ù(엇각) CBCD=40ù(엇각) ∴Cx=42ù-40ù=2ù 답2ù1
1cm,3cm,9cm,11cm2
330ù3
30ù4
28.8ù5
8ù만점 굳히기 문제
Step3
본문 13쪽1
점C가ABÓ의중점이고점D는3ACÓ=ADÓ를만족시키므로 다음두가지경우가가능하다. " $ # % % " $ # [그림 1] [그림 2] 위의각경우에대하여점E가BCÓ=2BEÓ를만족시키므로다 음과같이경우를나누어생각할수있다. Ú[그림 1]이고점E가점B의오른쪽에있을때 DEÓ=BDÓ-BEÓ " $ #& % =BCÓ-BEÓ =2BEÓ-BEÓ=BEÓ=1(cm) Û[그림 1]이고점E가점B의왼쪽에있을때 DEÓ=BDÓ+BEÓ " $ & # % =BCÓ+BEÓ =2BEÓ+BEÓ=3BEÓ=3(cm) Ü[그림 2]이고점E가점B의오른쪽에있을때 % " $ # & DEÓ=ADÓ+ACÓ+BCÓ+BEÓ =5BCÓ+BEÓ=10BEÓ+BEÓ=11BEÓ=11(cm) Ý[그림 2]이고점E가점B의왼쪽에있을때 % " $ & # DEÓ=ADÓ+ACÓ+BCÓ-BEÓ =5BCÓ-BEÓ=10BEÓ-BEÓ=9BEÓ=9(cm) Ú∼Ý에의하여DEÓ의길이로가능한값은 1cm,3cm,9cm,11cm 답1cm,3cm,9cm,11cm2
삼각형ABC에서 CACB=180ù-(Ca+Cb)=CGCD 삼각형DEF에서 CEDF=180ù-(Cd+30ù)=CCDG 평각은180ù이므로 CCGD=180ù-Cc 따라서삼각형CDG에서 {180ù-(Ca+Cb)}+{180ù-(Cd+30ù)} +(180ù-Cc) =180ù ∴Ca+Cb+Cc+Cd=330ù 답330ù3
오른쪽그림과같이두직선l, B Y± B C C D D E Y± M O Q R N m에평행한직선n,p,q를그 으면 Ca=180ù-(5Cx-20ù) =-5Cx+200ù Ca+Cb=Cx+40ù에서 Cb=Cx+40ù -(-5Cx+200ù) =Cx+40ù+5Cx-200ù =6Cx-160ù 책1.indb 6 2018-04-05 오후 6:45:55Ⅰ. 기본 도형
7
Cb+Cc=3Cx+10ù에서 Cc=3Cx+10ù-(6Cx-160ù) =3Cx+10ù-6Cx+160ù =-3Cx+170ù Cc+Cd=90ù에서 Cd=90ù-(-3Cx+170ù) =90ù+3Cx-170ù =3Cx-80ù 이때Cd=2Cx-50ù이므로 3Cx-80ù=2Cx-50ù ∴Cx=30ù 답30ù4
정오각형의한각의크기는108ù이므로 CFAB=180ù-(Cx+108ù) =72ù-Cx 같은방법으로CGCB=72ù-Cy 오른쪽그림과같이두점B와 ' " ( # $ % & Y ±Y ± ± ±Y ± Y ± Y ±Z Z M O Q N D를각각지나면서두직선l, m에평행한직선n,p를그으 면 36ù+Cx=72ù-Cy(동위각) ∴Cx+Cy=36ù 이때Cx`:`Cy=4`:`1,즉Cx=4Cy이므로 4Cy+Cy=36ù ∴Cy=7.2ù ∴Cx=7.2ù_4=28.8ù 답28.8ù5
직사각형의마주보는두변은서로평행하다. 즉,BCÓAIÓ에서CBCJ=CAIC(동위각) 또한,JMÓKLÕ에서CAIC=CIDK(동위각) ∴CIDK=CBCJ=180ù-CBCI =180ù-126ù=54ù B C " # * + , . -% & ' ( ± ± ± ± $ ) CKDH=CMHE(엇각)이므로 54ù+Ca=2_58ù에서Ca=62ù Cb=CMHD`(동위각) =2_58ù=116ù ∴2Ca-Cb=2_62ù-116ù=8ù 답8ù2
위치 관계
1
22
④3
4개4
75
⑤6
면ABCD,면EFGH,면AEGC7
③꼭
나오는대표 빈출
로 핵심 확인 본문 15쪽1
㈎서로다른두점을지나는직선은1개뿐이므로 a=1 ㈏한직선과두점에서만만나는다른직선은없으므로 b=0 ㈐한직선위에있지않은점을지나고,이직선과수직인직 선은1개뿐이므로 c=1 ∴a+b+c=2 답22
④꼬인위치는공간에서만있는위치관계이다.주어진그림 에서직선AB와직선CD는한점에서만난다. ⑤점A와직선BC사이의거리는선분AB의길이와같으 므로6cm이다. 따라서옳지않은것은④이다. 답④3
어느세점도한직선위에있지않은네점A,B,C,D로만 들수있는평면은 면ABC,면ABD,면BCD,면ACD 의4개이다. 답4개4
모서리BC와꼬인위치에있는모서리는 ADÓ,DEÓ,DFÓ 의3개이므로x=3 모서리BC와만나는모서리는 ABÓ,ACÓ,BEÓ,CFÓ 의4개이므로y=4 ∴x+y=7 답75
점A를지나는직선l이평면P위의 1 M N O " ) 두직선m,n에모두수직이므로직선 l과평면P는서로수직이다. ①점A와평면P사이의거리는선분 AH의길이와같으므로 AHÓ=12cm ②,③,④주어진그림에서AHÓ\m,l\m,l\n ⑤평면P위의두직선m,n의위치관계는알수없다. 따라서옳지않은것은⑤이다. 답⑤8
정답과 해설6
직육면체의여섯개의면중면BFHD와 " % ) ' ( $ # & 수직인면은면ABCD,면EFGH이다. 한편,사각형ABCD,사각형EFGH가 모두 정사각형이므로 두 밑면의 대각선 ACÓ,BDÓ,EGÓ,FHÓ에대하여ACÓ\BDÓ, EGÓ\FHÓ이다. 즉,면AEGC도면BFHD와수직인면이다. 따라서구하는면은면ABCD,면EFGH,면AEGC이다.답면 ABCD,면 EFGH,면 AEGC
7
①한평면위에있고서로만나지않는두직선은평행하다. ②공간에서한직선과꼬인위치에있는두직선은한점에서 만나거나평행하거나꼬인위치에있다. ③한평면에수직인서로다른두직선은평행하다. ④한직선에수직인서로다른두평면은평행하다. ⑤공간에서두직선이만나지도않고한평면위에있지도않 을때,두직선은꼬인위치에있다. 따라서옳은것은③이다. 답③ 1 대표문제 7개 유제1
ㄱ,ㄹ유제2
4개 유제3
32개 2 대표문제 15 유제4
6개 유제5
8개 3 대표문제 ㄱ,ㄴ 유제6
13 유제7
ㄴ,ㅁ 4 대표문제 ㄴ,ㄹ 유제8
ㄴ,ㄷ유제9
ㄹ 이 단원에서 뽑은고득점 준비 문제
Step1
본문 16 ~ 19쪽1
대표 문제 평면P위에있는세점으로정해지는평면인 면BCD,면BCE,면BDE,면CDE 는모두같은평면이므로네점B,C,D,E로만들수있는 평면의개수는1개이다. 한편,평면P위에있지않은한점과평면P위에있는두 점으로정해지는평면은 면ABC,면ABD,면ABE,면ACD,면ACE,면ADE 의6개이다. 따라서주어진다섯개의점으로만들수있는서로다른평면 의개수는 1+6=7(개) 답7개 유제1
ㄱ.서로평행한두직선이주어지면평면은하나로정해진다. ㄴ.한직선과그직선위의한점이주어지는경우는직선만 하나주어지는경우와같으므로평면은무수히많이존재 한다. ㄷ.꼬인위치에있는두직선은한평면위에존재하지않으 므로평면을하나로정할수없다. ㄹ.한점에서만나는서로다른두직선이주어지면평면은 하나로정해진다. 따라서평면이하나로정해지는경우는ㄱ,ㄹ이다. 답ㄱ, ㄹ 유제2
평면P위에있지않은한점과평면P위에있는두점으로 정해지는평면은면CAB,면DAB의2개이다. 또한,평면P위에있지않은두점과평면P위에있는한 점으로정해지는평면은면ACD,면BCD의2개이다. 따라서주어진네개의점으로만들수있는서로다른평면의 개수는 2+2=4(개) 답4개 유제3
평면P위에있는세점으로정해지는평면은면ABC의1개 이고,평면Q위에있는세점으로정해지는평면인면DEF, 면DEG,면DFG,면EFG는모두같은평면이므로네점 D,E,F,G로만들수있는평면의개수는1개이다. 한편,평면P위에있는점A와평면Q위에있는두점으로 정해지는평면은면ADE,면ADF,면ADG,면AEF,면 AEG,면AFG의6개이다. 평면P위에있는다른두점B,C에대해서도각각6개씩존 재하므로평면P위의한점과평면Q위의두점으로정해지 는서로다른평면의개수는 6+6+6=18(개) 또한,평면Q위에있는점D와평면P위에있는두점으로 정해지는평면은면ABD,면ACD,면BCD의3개이다. 평면Q위에있는다른세점E,F,G에대해서도각각3개 씩존재하므로평면Q위의한점과평면P위의두점으로 정해지는서로다른평면의개수는 3+3+3+3=12(개) 따라서주어진일곱개의점으로만들수있는서로다른평면 의개수는 1+1+18+12=32(개) 답32개2
대표 문제 BCÓ와평행한모서리는ADÓ,FGÓ,EHÓ의3개이므로 x=3 EGÓ와만나는모서리는AEÓ,CGÓ,EFÓ,EHÓ,FGÓ,GHÓ의6개 이므로 y=6 한편,EGÓ와평행한모서리는없다. 즉,EGÓ와꼬인위치에있는모서리는ABÓ,BCÓ,CDÓ,ADÓ, BFÓ,DHÓ의6개이므로 z=6 ∴3x+2y-z=9+12-6=15 답15 책1.indb 8 2018-04-05 오후 6:45:57Ⅰ. 기본 도형
9
유제4
주어진전개도로입체도형을만들면오 $ # ( ' ' + * % " " ) & 른쪽그림과같은오각기둥이다. 따라서모서리AF와꼬인위치에있 는모서리는BCÓ,CDÓ,DEÓ,GHÓ,HIÕ, IJÕ의6개이다. 답6개 유제5
각모서리는그모서리를포함하는직선으로생각하므로모서 리PR와만나는모서리는BPÓ,PQÓ,QRÓ,RCÓ,ABÓ,ACÓ의 6개이고모서리PR와평행한모서리는없다. 따라서모서리PR와꼬인위치에있는모서리는 ADÓ,BEÓ,CGÓ,QFÓ,EFÓ,FGÓ,GDÓ,DEÓ 의8개이다. 답8개 참고 한 평면 위에 있고 평행하지 않은 " $ ( & ' 3 1 2 # % 서로 다른 두 직선의 위치 관계는 한 점에서 만나는 경우뿐이다. 즉, 각 모서리를 포함하는 직선을 생각하면 면 ABPRC 위의 모서리 중 모서리 PR와 평행한 모서리는 없으므로 모든 모서리가 모서리 PR와 만난다.3
대표 문제 ㄱ.면BFEA와수직인모서리는 " % ) ' ( $ # & ADÓ,BCÓ,FGÓ,EHÓ의4개이다. ㄴ.면BFHD와평행한모서리는 AEÓ,CGÓ의2개이다. ㄷ.BFÓ와수직인면은면ABCD, 면EFGH의2개이다. 따라서옳은것은ㄱ,ㄴ이다. 답ㄱ, ㄴ 유제6
면BFGC와평행한모서리는AEÓ,EHÓ,HDÓ,DAÓ의4개이 므로a=4 면DCGH와수직으로만나는면은면AEHD,면BFGC의 2개이므로b=2 면ABCD와면EFGH사이의거리는BFÓ의길이와같으므 로c=7 ∴a+b+c=13 답13 유제7
주어진전개도로직육면체를만들 면오른쪽그림과같다. 따라서ABÓ와수직인면은 면BEHM,면LIJK이다. 답ㄴ, ㅁ4
대표 문제 ㄱ.l\m이고l\n이면두직선m,n은다음그림과같이 한점에서만나거나평행하거나꼬인위치에있다. # . ) ' % A+ ( * / -" $ A, & M O N M O N M O N 만난다. mn 꼬인위치에있다. ㄴ.PQ이고P\R이면두평면Q,R는오 2 3 1 Q\R 른쪽그림과같이수직으로만난다. ㄷ.l\P이고mP이면두직선l,m은다음그림과같이 한점에서만나거나꼬인위치에있다. M N 1 M 1 N 만난다. 꼬인위치에있다. ㄹ.lm이고l\P이면직선m과평면P m\P 1 M N 는오른쪽그림과같이수직으로만난 다. 따라서옳은것은ㄴ,ㄹ이다. 답ㄴ, ㄹ 유제8
ㄱ.한직선에평행한두평면은 만난다. 평행하다. 오른쪽 그림과 같이 한 직 선에서만나거나평행하다. ㄴ.한직선에수직인두평면은오른쪽그림과 같이항상평행하다. ㄷ.한평면에평행한두평면은오른쪽그림과 같이항상평행하다. ㄹ.한평면에수직인두평면은 오른쪽그림과같이한직선 에서만나거나평행하다. 따라서공간에서서로다른두평면이항상평행한경우는 ㄴ,ㄷ이다. 답ㄴ, ㄷ 유제9
ㄱ.lm이고m\n이면두직선l,n은다음그림과같이 한점에서만나거나꼬인위치에있다. M O N M O N 만난다. 꼬인위치에있다. 만난다. 평행하다.10
정답과 해설 ㄴ.l\m이고l\n이면두직선m,n은다음그림과같이 한점에서만나거나평행하거나꼬인위치에있다. M O N M O N M O N 만난다. mn 꼬인위치에있다. ㄷ.P\Q이고Q\R이면두평면P,R는다음그림과같이 한직선에서만나거나평행하다. 2 3 1 2 3 1 만난다. PR ㄹ.l\P이고l\Q이면두평면P,Q는오른 PQ 1 2 M 쪽그림과같이평행하다. 따라서옳은것은ㄹ뿐이다. 답ㄹ1
④2
⑤3
l\n4
②5
10개6
117
④8
②9
ㄱ10
④11
ㄱ,ㄷ12
513
5개14
5개15
⑤16
④17
ㄴ18
⑴m,n ⑵m,q ⑶풀이참조고득점 실전 문제
Step2
본문 20 ~ 22쪽1
전략 동위각의 크기를 이용하여 두 직선이 평행인지 확인할 수 있다. ①점A는직선EF위에있지않다. ②점B는직선BF위에있다. ③직선AB와직선BF가이루는각의크기는80ù이므로두 직선은수직으로만나지않는다. ④직선AB와직선EF가직선BF와만나생기는동위각의 크기가80ù로같으므로두직선은평행하다.즉,직선AB 와직선EF는만나지않는다. ⑤직선AE와직선EF는한점E에서만난다. 따라서옳은것은④이다. 답④2
전략 교점의 개수가 0개, 1개, 2개, y인 경우로 나누어 세 직선을 그려 본다. 한평면위에있는서로다른3개의직선의위치관계및각 경우에생길수있는교점의개수는다음그림과같다. 0개 1개 2개 3개 따라서교점의개수가아닌것은⑤이다. 답⑤3
전략 주어진 조건에 맞게 세 직선 l, m, n을 그림으로 그려 생각한다. lm,m\n이므로세직선l,m,n은 오른쪽그림과같다. 따라서두직선l,n의위치관계를기호를 사용하여나타내면l\n이다. 답l\n4
전략 주어진 조건에 맞게 5개의 직선을 그림으로 그려 위치 관 계를 생각한다. 주어진조건을만족시키는5개의직선 a,b,c,d,e의위치관계는오른쪽그 림과같다. ∴a\c,c\e,ae 답②5
전략 평면 P 위에 있는 점이 0개, 1개, 2개 포함되는 경우로 나누어 생각한다. 평면P위에있지않은세점으로정해지는평면은면ABC 의1개이다. 평면P위에있지않은두점과평면P위에있는한점으로 정해지는평면은면ABD,면ABE,면ACD,면ACE,면 BCD,면BCE의6개이다. 또한,평면P위에있지않은한점과평면P위에있는두 점으로정해지는평면은면ADE,면BDE,면CDE의3개 이다. 따라서주어진다섯개의점으로만들수있는서로다른평면 의개수는 1+6+3=10(개) 답10개6
전략 모든 모서리 중 만나는 모서리, 평행한 모서리를 제외 하면 꼬인 위치에 있는 모서리이다. 모서리AB와평행한모서리는DEÓ,GHÓ,JKÓ의3개이므로 x=3 모서리AB와꼬인위치에있는모서리는 CÕIÕ,DÕJÕ,EÕKÓ,FLÓ,HÕIÕ,IJÕ,KÕLÓ,LGÓ의8개이므로y=8 ∴x+y=11 답11 M N O B E D C F 책1.indb 10 2018-04-05 오후 6:46:01Ⅰ. 기본 도형
11
7
전략 꼬인 위치에 있는 모서리는 서로 만나지도 않고, 평행하지 도 않다. 모서리BC와만나는모서리는ABÓ,BGÓ,DCÓ,CHÓ,EDÓ이고, 평행한모서리는AEÓ,FIÓ,GHÓ이다. 즉,모서리BC와꼬인위치에있는모서리는AFÓ,EIÓ,DIÓ, FGÓ,IHÓ이다. 따라서모서리BC와꼬인위치에있는모서리가아닌것은 ④이다. 답④8
전략 주어진 전개도로 입체도형을 만들어 본다. 주어진전개도로입체도형을만들 면오른쪽그림과같다. ②ACÓ와DEÓ는한점A(E)에서 만난다. ①,③,④,⑤ABÓ와CFÓ, AFÓ와CDÓ,BCÓ와EFÓ,CFÓ와DEÓ는꼬인위치에있다. 따라서두모서리의위치관계가나머지넷과다른하나는② 이다. 답②9
전략 삼각기둥의 밑면이 정삼각형임을 생각한다. ㄱ.AFÓ와JIÓ는만나지도않고평행하지도않으므로꼬인위 치에있다. ㄴ.BEÓ와면AEJF가이루는각의크기는60ù이므로수직으 로만나지않는다. ㄷ.FJÓ와평행한면은면ABCDE이다. 따라서옳은것은ㄱ뿐이다. 답ㄱ10
전략 주어진 전개도로 입체도형을 만들어 본다. 주어진전개도로입체도형을만들 면오른쪽그림과같다. ④모서리CD는모서리LM과꼬 인위치에있다. 따라서옳지않은것은④이다. 답④11
전략 직선 AB가 점 B를 지나면서 평면 P에 포함된 모든 직 선에 수직이면 직선 AB와 평면 P는 수직이다. 평면P와ABÓ가수직이려면점B를지나면서평면P에포함 된모든직선과ABÓ가수직이어야한다.이때ABÓ가점B를 지나면서평면P에포함된두직선과수직이면된다. 따라서평면P와ABÓ가수직임을설명하기위해필요한것은 ㄱ,ㄷ이다. 답ㄱ, ㄷ12
전략 오각기둥에서 밑면과 옆면은 서로 수직으로 만난다. ABÓ와꼬인위치에있는모서리는CHÓ,DIÓ,EJÓ,GHÓ,HIÓ, $ ' " & # % , A0" + A'# 2 % 31 ( * ) / - . & $ IJÓ,JFÓ의7개이므로a=7 ABÓ와평행한모서리는FGÓ의1개이므로b=1 면ABCDE와수직인평면은옆면5개이므로c=5 면ABGF와수직인평면은면ABCDE,면FGHIJ의2개 이므로d=2 ∴a+b-c+d=7+1-5+2=5 답513
전략 평면 P가 될 수 있는 면부터 찾는다. 면CEJH와수직인평면P가될수있는것은면ABCDE 와면FGHIJ이다. 이때면CEJH를제외하고면ABCDE와수직인면은면 ABGF,면BCHG,면CDIH,면EDIJ,면AEJF의5개이 다.또한,면FGHIJ와수직인면도이5개의면과동일하다. 따라서구하는면의개수는5개이다. 답5개14
전략 입체도형의 면을 포함하는 평면을 생각하므로 각 면을 연장하여 생각한다. 처음직육면체에서잘려나간나머지 꼭짓점을 K라 하면 오른쪽 그림과 같으므로면EIJF는직육면체의면 KIJC에포함된다. 즉,직육면체의 면중면KIJC와수직인면ABC, 면DHIE,면AGJC,면GHIJ는모 두면EIJF와수직이다. 또한,삼각기둥모양을잘라내고생긴면중면BDFC는면 EIJF와만나지만수직은아니며면DEF는면EIJF와수직 으로만난다. 따라서구하는면은 면ABC,면DHIE,면AGJC,면GHIJ,면DEF 의5개이다. 답5개15
전략 평면 P가 평면 Q에 수직인 직선 m을 포함할 때, 평면 P와 평면 Q는 수직이다. 두평면P,Q가서로수직이려 면평면P에포함된직선m이 평면Q와수직이어야한다. 또한,직선m이평면Q와수 직이려면직선m이점O를지 나면서평면Q에포함된모든직선과수직이어야한다.이때 점O를지나면서평면Q에포함된서로다른두직선에수직 이면직선m은평면Q에수직이다. 따라서두평면P,Q가수직이기위한조건은l\m,m\n 이다. 답⑤16
전략 공간에서 직선과 평면, 평면과 평면의 위치 관계는 직 육면체의 모서리와 면 사이의 위치 관계로 바꾸어 생각한다. " $ ' , + ) * & # % ( 2 1 N O M 012
정답과 해설 ①lP,mP이면두직선l,m은다음그림과같이한점 에서만나거나평행하거나꼬인위치에있다. 1 M N 1 M N M N 1 만난다. lm 꼬인위치에있다. ②lP,m\P이면두직선l,m은다음그림과같이한점 에서만나거나꼬인위치에있다. MN 1 1 M N 만난다. 꼬인위치에있다. ③lP,lQ이면두평면P,Q는다음그림과같이한직 선에서만나거나평행하다. M 2 1 M 2 1 만난다. PQ ④l\P,l\Q이면두평면P,Q는다음그림과같이평행 하다. 2 1 M PQ ⑤P\Q,Q\R이면두평면P,R는다음그림과같이한직 선에서만나거나평행하다. 2 3 1 2 3 1 만난다. PR 따라서옳은것은④이다. 답④17
전략 직육면체의 모서리를 직선으로 생각하고 조건에 맞는 직선을 나타내어 위치 관계를 확인한다. ㄱ.직선l에수직인서로다른두직선m,n은다음그림과 같이한점에서만나거나평행하거나꼬인위치에있다. N M O MN O M N O 만난다. mn 꼬인위치에있다. ㄴ.서로평행한두직선에의해한평면이정해지므로서로 평행한두직선은한평면위에있다. ㄷ.한직선l과그직선위에있지않은한점P에대하여점 P를지나는직선중l과만나지않는직선m은다음그림 과같이평행하거나꼬인위치에있다.즉,무수히많다. M 1 N M 1 N lm 꼬인위치에있다. 따라서옳은것은ㄴ뿐이다. 답ㄴ18
전략 철로와 통로를 각각 직선으로 생각하고 공간에서 두 직 선의 위치 관계를 따진다. ⑴5호선철로,즉직선q와평 행한 직선은 직선m과직 선n이다. ⑵8호선철로,즉직선p와꼬 인 위치에 있는 직선은 직 선m과직선q이다. ⑶5호선철로와8호선철로, 즉두직선p,q는꼬인위치에있다.지하철환승역에서 두노선의방향이다르고지하철끼리서로부딪히지않아 야하므로꼬인위치로설계한다. 답⑴ m,n ⑵ m,q ⑶ 풀이 참조1
9개2
꼬인위치에있다.,평행하다.3
44
195ù5
9만점 굳히기 문제
Step3
본문 23쪽1
Ú평면P위의세점으로만들수있는평면 면ABC,면ABD,면ABE,면ACD,면ACE,면 ADE,면BCD,면BCE,면CDE이고이들은모두같 은평면이므로다섯개의점A,B,C,D,E로만들수있 는평면의개수는1개이다. Û평면P위에있지않은한점F와평면P위의두점으로 만들수있는평면 세점B,D,E가한직선 위에있으므로면FBD,면 FBE,면FDE는모두같 은평면이다. 즉,점F와평면P위의두 점으로정해지는평면은면FAB,면FAC,면FAD,면 FAE,면FBC,면FBD,면FCD,면FCE의8개이다. Ú,Û에의하여주어진여섯개의점으로만들수있는서로 다른평면의개수는9개이다. 답9개 M N Q O R ḡ⦹⊖ ḡ⦹⊖ ḡ⦹⊖ ' " # 1 $ % & 책1.indb 12 2018-04-05 오후 6:46:04Ⅰ. 기본 도형
13
2
주어진전개도로정육면체를만 " . A* # % A) - + & ( $ ' , / 들면 오른쪽 그림과 같다. 즉, BNÓ과CEÓ는꼬인위치에있고, BNÓ과GKÓ는평행하다. 답꼬인 위치에 있다., 평행하다.3
공간을서로다른세평면P,Q,R로나눌때,나누어진공 간의개수가최대인경우는다음의Ú,최소인경우는다음의 Û와같이나누는것이다. Ú최대인경우 Û최소인경우 1 2 3 1 2 3 Ú에서생기는공간의개수는8개,Û에서생기는공간의개 수는4개이므로 a=8,b=4 ∴a-b=4 답44
모서리FG와면ABFE는수직으로만난다. 즉,모서리FG를포함하는직선은점F를지 나고면ABFE에포함되는모든직선과수 직으로만나므로 Cx=CAFG=90ù 정육면체의각면은똑같은정사각형이고 AFÓ,FHÓ,AHÓ는그대각선이므로 AFÓ=FHÓ=AHÓ 즉,삼각형AFH는정삼각형이므로 Cy=CAFH=60ù 한편,정사각형ABFE에서AFÓ는대각선이 므로 Cz=CAFE=45ù ∴Cx+Cy+Cz=195ù 답195ù5
CGÓ와평행한면은면AHJD, 면ABEFIH의2개이므로 a=2 FGÓ와꼬인위치에있는모서리는 ABÓ,ADÓ,BCÓ,BEÓ,IHÓ,HJÓ,AHÓ의7 개이므로 b=7 ∴a+b=2+7=9 답9 ' ( " # & ' " ) ' " # & " % + * ' # $ ( ) &3
작도와 합동
1
④2
①3
①,⑤,②,⑥,③,④4
⑤5
①6
67
ㄱ,ㄹ,ASA합동8
sBCE,SAS합동꼭
나오는대표 빈출
로 핵심 확인 본문 25쪽1
①작도할때는눈금이없는자와컴퍼스를사용한다. ②선분의길이를잴때는컴퍼스를사용한다. ③두선분의길이를비교할때는컴퍼스를사용한다. ⑤선분을연장할때는눈금이없는자를사용한다. 따라서옳은것은④이다. 답④2
①,②㉠은점O를중심으로하고반지름의길이가OAÓ인원 을그려두반직선OX,OY와만나는점을각각A,B라 한것이므로OAÓ=OBÓ이지만OAÓ,ABÓ의길이는다를수 있다. ③㉡,㉢은두점B,D를각각중심으로하고반지름의길이 가같은원을그린것이므로ABÓ=CDÓ이다. ④CXOY와크기가같고반직선PQ를한변으로하는각을 작도한것이므로CAOB=CCPD이다. ⑤작도순서는㉠,㉣,㉡,㉢,㉤이다. 따라서옳지않은것은①이다. 답①3
작도순서는다음과같다. ①직선l밖의한점P를지나고 직선l과만나는직선을그어교 점을O라한다. ⑤점O를중심으로하는원을그려 두직선①,l과의교점을각각 A,B라한다. ②점P를중심으로하고반지름의길이가⑤와같은원을그 려직선①과만나는점을C라한다. ⑥선분AB의길이를잰다. ③점C를중심으로하고반지름의길이가ABÓ인원을그려 ②의원과만나는점을D라한다. ④두점P,D를지나는직선을그으면구하는평행선m이다. 따라서작도순서는①,⑤,②,⑥,③,④이다. 답①, ⑤, ②, ⑥, ③, ④4
두변의길이가5cm,7cm인삼각형의나머지한변의길이 를xcm라하면 Ú가장긴변의길이가xcm일때 x<5+7이어야하므로x<12 0 " 1 $ % # M N ③ ⑥ ② ⑤ ④ ①14
정답과 해설 Û가장긴변의길이가7cm일때 7<x+5이어야하므로x>2 Ú,Û에의하여나머지한변의길이가될수없는것은⑤이 다. 답⑤5
CA,CB의크기와ABÓ의길이가주어질때,삼각형ABC 의올바른작도순서는다음과같다. Ú변을먼저작도할때 ABÓ→CA→CB또는ABÓ→CB→CA Û각을먼저작도할때 CA→ABÓ→CB또는CB→ABÓ→CA Ú,Û에의하여작도순서로옳지않은것은①이다. 답①6
GHÓ의대응변은CDÓ이므로y=11 CA의대응각은CE,CC의대응각은CG이므로 x=360-(120+90+80)=70 ∴ x-y =4 70-411 =6 답67
주어진삼각형에서찾을수있는나머지요소를모두표시하 면다음그림과같다. ㄱ. ± ± ± ADN ㄴ. ± ± ± ADN ㄷ. ± ± ± ADN ㄹ. ± ± ± ADN 두삼각형ㄱ,ㄹ에서한변의길이가6cm로같고그양끝 각의크기가50ù,60ù로각각같다. 따라서합동인두삼각형은ㄱ,ㄹ이고합동조건은대응하는 한변의길이가같고,그양끝각의크기가각각같을때,즉 ASA합동이다. 답ㄱ, ㄹ,ASA합동8
sACD와sBCE에서삼각형 # $ % " 1 & ABC가정삼각형이므로 ACÓ=BCÓ yy㉠ 삼각형CDE도정삼각형이므로 CDÓ=CEÓ yy ㉡ 두삼각형ABC,CDE가모두정삼각형이므로 CACB=CECD=60ù ∴CACE=60ù∴CACD=CBCE=120ù yy㉢
㉠,㉡,㉢에의하여
sACDªsBCE(SAS합동)
따라서색칠한삼각형과합동인삼각형은sBCE이고합동
조건은대응하는두변의길이가각각같고,그끼인각의크기 가같을때,즉SAS합동이다. 답sBCE,SAS합동
1 대표문제 ㄷ,ㄹ 유제
1
③ 유제2
③ 2 대표문제 4개 유제3
1cm초과11cm미만 유제4
3개 유제5
2개 3 대표문제 120ù 유제6
60ù 유제7
30cm 이 단원에서 뽑은고득점 준비 문제
Step1
본문 26 ~ 28쪽1
대표 문제 ㄱ,ㄴ.일반적으로90ù등의특수한각을제외한임의의각의 삼등분선은작도할수없다.즉,;3!;CA와;6!;CA의작도 는불가능하다. ㄷ.;8!;=;2!;_;2!;_;2!;이므로각의이등분선의작도를이용하여 ;2!;CA,;4!;CA,;8!;CA의순서로작도할수있다. ㄹ.둔각인CA의작도가가능하고크기가30ù인각의작도 도가능하다.두각을각각작도한후,크기가같은각의 작도를이용하여CA,크기가30ù인각중어느한각을 이동시켜CA+30ù를작도할수있다. 따라서작도할수있는크기의각은ㄷ,ㄹ이다. 답ㄷ, ㄹ 유제1
①두점A,B는점O를중심으로하는원위의두점이므로 OAÓ=OBÓ ②점P는두점A,B를각각중심으로하고반지름의길이 가같은두원의교점이므로PAÓ=PBÓ ③두선분OX,OY의길이가같은지는알수없다. ④반직선OP는CXOY의이등분선이므로 CAOP=CBOP ∴CAOB=2CAOP ⑤각의이등분선위의점에서각의두변에이르는거리는서 로같으므로점P에서두반직선OX,OY에이르는거리 는서로같다. 따라서옳지않은것은③이다. 답③ 유제2
직선l과평행한직선m을다음과같이작도한것이다. N M 1 " 2 # ㉤ ㉢ ㉣ ㉠ ㉡ ㉠직선l위의점A를중심으로하고반지름의길이가PAÓ 인원을그려직선l과의교점을B라한다. ㉡점P를중심으로반지름의길이가PAÓ인원을그린다. ㉢컴퍼스로PBÓ의길이를잰다. ㉣점A를중심으로하고반지름의길이가PBÓ인원을그려 ㉡에서그린원과의교점을Q라한다. ㉤두점P,Q를지나는직선을그리면이직선이직선l과 평행한직선m이다. 책1.indb 14 2018-04-05 오후 6:46:07Ⅰ. 기본 도형
15
이때③APÓ=BPÓ는sABP가정삼각형일때만성립한다. 따라서옳지않은것은③이다. 답③2
대표 문제 막대의길이3cm,4cm,5cm,6cm에대하여 5<3+4,6<3+4,6<3+5,6<4+5 따라서삼각형의세변의길이가각각 Ú3cm,4cm,5cm Û3cm,4cm,6cm Ü3cm,5cm,6cm Ý4cm,5cm,6cm 인경우에삼각형을만들수있다. 즉,3개의막대를골라만들수있는서로다른삼각형의개수 는4개이다. 답4개 유제3
두변의길이가5cm,6cm인삼각형의나머지한변의길이 를xcm라하면 Ú가장긴변의길이가xcm일때 x<5+6이어야하므로x<11 Û가장긴변의길이가6cm일때 6<x+5이어야하므로x>1 Ú,Û에의하여나머지한변의길이의범위는1cm초과 11cm미만이다. 답1cm초과11cm미만 유제4
두자연수x,y에대하여 x 1 2 3 4 5 6 y 12 11 10 9 8 7 xÉy,x+y=13이므로 x,y의값으로가능한것 은오른쪽표와같다. 그런데삼각형의세변의길이가되려면가장긴변의길이가 나머지두변의길이의합보다작아야하므로 x=4,y=9일때,9<4+6 x=5,y=8일때,8<5+6 x=6,y=7일때,7<6+6 따라서주어진조건을만족시키는삼각형의개수는3개이다. 답3개 유제5
ABÓ=4cm,ACÓ=3cm로길이가주어진이두변의끼인 각인CA가예각일때와둔각일때,각각다음그림과같다. # $ ADN ADN ± " # $ ADN ADN ±Á " 따라서주어진조건을만족시키는서로다른삼각형ABC는 2개만들수있다. 답2개3
대표 문제 sADF,sBED,sCFE에서 ADÓ=BEÓ=CFÓ,AFÓ=BDÓ=CEÓ, CDAF=CEBD=CFCE=60ù 즉,sADFªsBEDªsCFE(SAS합동)이므로 FDÓ=DEÓ=EFÓ 따라서sDEF는정삼각형이므로 CDEF=CEFD=CFDE=60ù ∴CBED+CFEC=180ù-CDEF =180ù-60ù=120ù 답120ù 유제6
sAEB와sADC에서 ABÓ=ACÓ,AEÓ=ADÓ 또한,CBAE=CEAD+CDAB=60ù+CDAB이고 CCAD=CCAB+CDAB=60ù+CDAB이므로 CBAE=CCAD 따라서sAEBªsADC(SAS합동)이므로 CEBA=CDCA=60ù ∴CDBE=180ù-(CEBA+CABC) =180ù-(60ù+60ù)=60ù 답60ù 유제7
sEBC와sFDC에서 BCÓ=DCÓ,ECÓ=FCÓ,CBCE=CDCF=90ù 이므로sEBCªsFDC(SAS합동) ∴(sEBC의둘레의길이)=(sFDC의둘레의길이) =5+12+13=30(cm) 답30cm1
②2
⑤3
②4
③,④5
356
⑤7
408
⑤9
3310
④11
④12
②13
②14
③15
45ù16
⑤17
④18
54cm219
60ù20
81cm221
③22
풀이참조고득점 실전 문제
Step2
본문 29 ~ 32쪽1
전략 한 선분의 수직이등분선 위의 점에서 그 선분의 양 끝 점에 이르는 거리는 같다. ①,③,⑤직선PQ는선분AB의수직이등분선이므로 OAÓ=OBÓ,APÓ=BPÓ,CAOP=CBOQ=90ù ②두선분ABÓ,PQÓ의길이가같은지는알수없다. ④두점P,Q는두점A,B를각각중심으로하고반지름의 길이가같은두원의교점이므로APÓ=AQÓ 따라서옳지않은것은②이다. 답②16
정답과 해설2
전략 정삼각형 AOQ, 정삼각형 POB를 함께 작도하여 직각 의 삼등분선을 작도한 것이다. ①작도순서는㉠,㉢,㉣,㉡,㉤이다.이때㉢과㉣,㉡과㉤ 의순서는각각서로바뀌어도된다. ②sAOQ,sPOB가정삼각형이고두삼각형의한변의길 이는서로같으므로 AQÓ=BPÓ ③,④,⑤OP³,OQ³가CXOY의삼등분선이므로 CAOP=CPOQ=CBOQ=30ù, CAOQ=CBOP=60ù 따라서옳지않은것은⑤이다. 답⑤3
전략 CAPB=CCQD임을 이용하여 작도한 것이다. 작도순서는오른쪽그림과같다. ㄱ.두점A,B는점P를중심으로하 는한원위의점이므로PAÓ=PBÓ 이지만PAÓ,ABÓ의길이가같은지 는알수없다. ㄴ,ㄷ.CCQD와크기가같은각인 CAPB의작도를이용한것이다. ㄹ.두직선l,m에대하여CAPB=CCQD임을이용한작 도이므로엇각의크기가같으면두직선은서로평행하다 는성질을이용한것이다. 따라서옳은것은ㄴ,ㄷ이다. 답②4
전략 180ù ⇨ 90ù ⇨ 45ù의 순서로 작도한다. 선분의수직이등분선(또는평각의이등분선)의작도를이용하 여크기가90ù인각을만든후각의이등분선의작도를이용 하여크기가45ù인각을작도할수있다. 따라서이용되는작도방법은③,④이다. 답③,④5
전략 가장 긴 변의 길이에 따라 경우를 나누어 a의 값의 범 위를 구한다. Ú가장긴변의길이가2a-1일때 2a-1<9+7 ∴a<:Á2¦: Û가장긴변의길이가9일때 9<7+(2a-1) ∴a>;2#; Ú,Û를모두만족시키는자연수a는 2,3,4,5,6,7,8 따라서구하는합은 2+3+4+5+6+7+8=35 답356
전략 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 이용하여 조건을 만족시키는 a, b의 값을 찾는다. a<b<8이므로세변의길이가a,b,8인삼각형이만들어지 ③ ① ② 2 $ 1 " # % M N ⑤ ⑥ ④ 려면8<a+b를만족시켜야한다. 8<a+b이면서a<b<8을만족시키는순서쌍(a,b)는 b=7일때,(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(6,7) b=6일때,(3,6),(4,6),(5,6) b=5일때,(4,5) bÉ4일때,순서쌍(a,b)는존재하지않는다. 즉,a+b의값으로가능한것은 9,10,11,12,13 따라서a+b의값이될수없는것은⑤이다. 답⑤7
전략 가장 짧은 변의 길이를 한 문자로 놓고 나머지 변의 길 이를 이 문자를 이용하여 나타낸다. 조건㈐에의하여길이가가장긴변을제외한나머지두변의 길이를각각a,2a(a>0)라하면조건㈏에의하여나머지 한변의길이는11-3a이다. 11-3a가가장긴변의길이이므로 11-3a>2a5a<11 ∴a<:Á5Á: yy㉠
이때가장긴변의길이는나머지두변의길이의합보다작아 야하므로
11-3a<a+2a
6a>11 ∴a>:Á6Á: yy㉡
조건㈎에서삼각형의세변의길이가모두정수이므로가장 짧은변의길이a도정수이다.즉,㉠,㉡을동시에만족시키 는정수a는2이므로조건을만족시키는삼각형의세변의길 이는2,4,5이다. ∴xyz=2_4_5=40 답40
8
전략 삼각형이 하나로 정해질 조건 및 삼각형의 세 변의 길 이 사이의 관계를 생각한다. ㄱ.ABÓ=5,BCÓ=6,CAÓ=12이면 CAÓ>ABÓ+BCÓ 즉,삼각형이만들어지지않는다. ㄴ.ABÓ=6,BCÓ=5,CB=90ù이면두변의길이와그끼인 각의크기가주어졌으므로삼각형이오직하나로정해진 다. ㄷ.삼각형ABC에서CB=60ù,CC=70ù이면 CA=50ù 즉,ABÓ=4,CA=50ù,CB=60ù가주어진것과같다. 따라서한변의길이와그양끝각의크기가주어졌으므 로삼각형이오직하나로정해진다. 그러므로삼각형ABC가오직하나로정해지는것은 ㄴ,ㄷ이다. 답⑤ 책1.indb 16 2018-04-05 오후 6:46:08Ⅰ. 기본 도형
17
9
전략 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 이용한다. 그림과같이은행을점A,병원을점B,서점을점C,석찬이 네집을점D라하자. sDAB에서 ABÓ<4+6=10 sDBC에서 BCÓ<6+7=13 ∴x=4+ABÓÕ+BCÓ+7<4+10+13+7=34 따라서가장큰자연수x는33이다. 답33 주의 석찬이가 이동한 거리 x km가 자연수라고 하여 ABÓ, BCÓ의 길이가 자연수인 것으로 오해하지 않도록 주의한다.10
전략 두 각이 주어진 삼각형의 경우, 나머지 한 각의 크기를 구한다. 주어진삼각형의나머지한각의크기는 180ù-75ù-45ù=60ù이므로오른쪽그 림과같다. 또한,③,④의삼각형의나머지한각의 크기도같은방법으로구할수있으므로다음그림과같다. ③ ± ± ± ADN ④ ± ± ± ADN 주어진삼각형과④의삼각형에서한변의길이가6cm로같 고그양끝각의크기가60ù,45ù로각각같으므로ASA합 동에의하여두삼각형은합동이다. 답④11
전략 한 변의 길이와 한 각의 크기가 주어졌으므로 SAS 합 동 또는 ASA 합동이 되는 나머지 한 조건을 찾으면 된다. ㄱ.ABÓ=DEÓ가주어져도끼인각인CA,CD의크기는알 수없으므로sABC와sDEF가합동인지알수없다. ㄴ.BCÓ=EFÓ이면두변의길이가각각같고그끼인각의크 기도같으므로sABCªsDEF이다. ㄷ.CB=CE이면CA=CD 즉,한변의길이가같고그양끝각의크기도각각같으 므로sABCªsDEF이다. 따라서sABCªsDEF이기위하여필요한나머지한조건 으로알맞은것은ㄴ,ㄷ이다. 답④12
전략 sABE, sACD에서 CA는 공통이다.sABE와sACD에서 ABÓ=ACÓ=6cm,CA는공통, CABE=CACD=30ù이므로 sABEª sACD (ASA 합동) 즉,AEÓ=ADÓ이므로 ALN ALN ALN 집 % 병원 # $서점 은행 " ADN ADN ± ± ± # % & " ' $ ADN ± ± ADN BDÓ=ABÓ-ADÓ =ACÓ-AEÓ=CEÓ yy㉠ sBFD와sCFE에서 CFBD=CFCE=30ù,BDÓ=CEÓ(∵㉠)이고 CBFD=CCFE(맞꼭지각)에서 CBDF=180ù-30ù-CBFD =180ù-30ù-CCFE=CCEF 이므로sBFDª sCFE (ASA합동)이다. 따라서㈎,㈏,㈐에알맞은것은차례대로sACD,ASA, sCFE이므로바르게짝지어진것은②이다. 답②
13
전략 sABE와 sCBF가 합동임을 이용한다. sABE와sCBF에서 AEÓ=CFÓ,ABÓ=CBÓ,CBAE=CBCF=90ù이므로 sABEªsCBF(SAS합동) ∴BEÓ=BFÓ 즉,sBFE는이등변삼각형이므로 CEBF=180ù-2_80ù=20ù 답②14
전략 sADB와 sCEA가 합동임을 이용한다. sADB와sCEA에서 ABÓ=CAÓ CABD=90ù-CDAB=CCAE CDAB=90ù-CABD=90ù-CCAE=CECA ∴sADBªsCEA(ASA합동) 따라서AEÓ=BDÓ=8cm,DAÓ=14-8=6(cm)이므로 ECÓ=DAÓ=6cm 답③15
전략 주어진 변의 길이의 비를 이용하여 각 선분의 길이를 한 문자로 나타내고, 합동인 삼각형을 찾는다. BEÓ=a라하면BEÓ`:`ECÓ=1`:`2에서ECÓ=2a 즉,BCÓ=BEÓ+ECÓ=3a이고ABÓ`:`BCÓ=2`:`3이므로 ABÓ=2a 또한,DFÓ=FCÓ=;2!;ABÓ=a sABE와sECF에서 ABÓ=ECÓ,BEÓ=CFÓ,CB=CC=90ù ∴sABEªsECF(SAS합동) ∴CAEF=180ù-(CAEB+CFEC) =180ù-(CAEB+CEAB) =180ù-90ù=90ù 또한,AEÓ=EFÓ이므로CEAF=45ù ∴CDAF+CCEF=CDAF+CBAE =90ù-CEAF =90ù-45ù=45ù 답45ù18
정답과 해설16
전략 정삼각형의 세 변의 길이는 모두 같고, 세 각의 크기 역 시 모두 같음을 이용한다. ㄱ.sACD,sCBE가모두정삼 % " $ # & ± ± 각형이므로 CDAC=60ù,CECB=60ù 즉,두직선AD,CE가직선 AC와만나서생기는동위각의크기가서로같으므로 ADÓCEÓ ㄴ.sACD,sCBE가모두정삼각형이므로 CDCA=60ù,CECB=60ù ∴CDCE=180ù-CDCA-CECB=60ù ㄷ,ㄹ.sACE와sDCB에서 sACD가정삼각형이므로 ACÓ=DCÓ yy㉠ sBEC도정삼각형이므로 CEÓÕ=CBÓ yy㉡ 또한,CACE=CDCB=120ù(∵ㄴ) yy㉢ ㉠,㉡,㉢에의하여sACEªsDCB(SAS합동) 합동인두도형의대응각의크기는서로같으므로 CEAC=CBDC 따라서ㄱ,ㄴ,ㄷ,ㄹ모두옳다. 답⑤17
전략 합동인 삼각형과 직각이등변삼각형의 성질을 이용한다. sABD와sEBD에서 CABD=CEBD CBAD=CBED=90ù이므로CBDA=CBDE BDÓ는공통 ∴sABDªsEBD(ASA합동) ∴ADÓ=EDÓ=8cm 한편,sABC는직각이등변삼각형이므로 CB=CC=45ù sDEC에서CEDC=180ù-(45ù+90ù)=45ù 즉,CEDC=CECD=45ù이므로 EDÓ=ECÓ=8cm ∴(sDEC의넓이)=;2!;_EDÓ_ECÓ =;2!;_8_8=32(cm2) 답④18
전략 합동인 삼각형을 찾는다. sABE와sCFE에서 ABÓ=CFÓ=6cm CB=CF=90ù CAEB=CCEF(맞꼭지각)이므로CBAE=CFCE ∴sABEªsCFE(ASA합동) 따라서BEÓ=FEÓ=8cm이므로 % " $ # & ' (sABC의넓이)=;2!;_BCÓ_ABÓ=;2!;_(8+10)_6 =54(cm2) 답54cm219
전략 sAED와 합동인 삼각형을 찾는다. sABF에서 CABF=180ù-(30ù+90ù)=60ù sAEB와sAED에서 ABÓ=ADÓ,CBAE=CDAE=45ù,AEÓ는공통이므로 sAEBªsAED(SAS합동) ∴CADE=CABE=60ù 답60ù20
전략 삼각형의 합동을 이용하여 색칠한 부분과 넓이가 같은 다른 부분을 찾아본다. sEIC와sHJC에서 CCEI=CCHJ=45ù,CEÓ=CHÓ, CECI=CICJ-CECJ=90ù-CECJ=CHCJ ∴sEICªsHJC(ASA합동) 따라서색칠한부분의넓이는삼각형ECH의넓이와같다. ∴(사각형EICJ의넓이)=(sECH의넓이) =;4!;_(사각형EFGH의넓이) =;4!;_18_18=81(cm2) 답81cm221
전략 정삼각형의 세 변의 길이, 세 각의 크기는 각각 같음을 이용하여 합동인 삼각형을 찾는다. ㄱ.sDBA와sEBC가모두정삼 % & ' " # ± $ ± 각형이므로 CDBA=CEBC=60ù ∴CDBE=CDBA-CEBA =60ù-CEBA =CEBC-CEBA =CABC ㄴ.sDBE와sABC에서 sDBA가정삼각형이므로 DBÓ=ABÓ sEBC도정삼각형이므로 BEÓ=BCÓ ㄱ에서CDBE=CABC ∴sDBEªsABC(SAS합동) sABC와sFEC에서 sEBC가정삼각형이므로 BCÓ=ECÓ sFAC도정삼각형이므로 ACÓ=FCÓ % & ' " # $ % & ' " # $ 책1.indb 18 2018-04-05 오후 6:46:11Ⅰ. 기본 도형
