미분
목포해양대학교 김 용 화개요
미분
특정 지점에서 함수의 변화를 분석함수 변화율 계산을 위한 공식
공학에서 상용되는 미분
미분의 성질
2미분에 대한 그래픽 접근
그림 10.1
3구간에 대한 함수 평균율
함수의 평균 변화율
그림 10.2 현 (chord) A와 B를 연결한 직선 그래디언트 (gradient) 또는 선의 기울기 (slop) 현 AB가 기울어진 정도, 선의 경사정도 (steepness) 두 점 A, B 사이에서 함수의 평균 변화율은 현 AB의 그래디언트이다 4( ) ( )
1 2 1 2 t t t t y t y y − − = 변화량 의 변화량 의( ) ( )
1 2 1 2 t t t y t y AC BC − − =구간에 대한 함수 평균율
그래디언트
그림 10.3 : 양의 그래디언트, 음의 그래디언트, 영의 그래디언트 5임의의 점에서 함수 변화율
점 A에서 함수의 변화율
현 AB의 그래디언트 B가 A에 가까울 수록, 점 A에서의 기울기를 정확히 근사할 수 있음 그림 10.4 점 A에서 곡선에 대한 접선 (tangent) 접선점 A가 점 B쪽으로 접근하여 일치될 때의 직선 곡선에 접하는 직선 점 A에서의 접선의 변화율 = 점 A에서의 함수의 변화율 (그래디언트) 6극한과 연속성
극한값 (limit)
t가 c에 접근할 수록, t의 함수가 접근하는 값예
일 때, 가 접근하는 값은? 그림 10.5 7c
t →
f
( )
t
=
t
2+
2
t
−
3
(
2
3
)
5
lim
2 2+
−
=
→t
t
t극한과 연속성
예
그림 10.6 8( )
> + = < − = 0 , 1 0 , 3 0 , 1 x x x x x x y( )
x y x 3 lim →( )
x y xlim→−1( )
x y x 0 lim →극한과 연속성
예
그림 10.7 9( )
> − ≤ < ≤ = 2 , 2 2 0 , 0 , 0 x x x x x x y( )
x y x 3 lim →( )
x y x 2 lim →( )
x y x 0 lim →극한과 연속성
좌극한값 (left-hand)과 우극한값 (right-hand)
그림 10.7 임의의 점 x=a에서 좌극한값과 우극한값이 서로 같을 때 함수의 극 한값 (limit)은 존재한다 10( )
2 lim 2− = → y x x( )
0 lim 2 = + → y x x극한과 연속성
함수의 연속과 불연속
연속 (continuous) 이면, 함수 f는 x=a에서 연속 불연속 (discontinuous) 함수 f는 임의의 점 x=a에서 연속이다. 이것의 필요충분조건은 즉, x=a에서 f의 극한은 존재하며 그 값은 f(a)가 된다. 11( )
x f( )
a f a x→ = lim( )
x f( )
a f a x→ = lim특정 점에서 변화율
구간 축소법 (shrinking interval method)
일 때, 다음 구간에 대한 y의 변화율 구간 [3, 4]에서의 평균 변화율 구간 [3, 3.1]에서의 평균 변화율 구간 [3, 3.01]에서의 평균 변화율 12
( )
=3 2+2 = f x x y ( ) ( )(
( ))
(
( ))
21 3 4 29 50 3 4 2 3 3 2 4 3 3 4 3 4 2 2 = − − = − + − + = − − =y y x y 변화량 의 변화량 의 ( ) ( )(
( ))
(
( ))
18.3 3 1 . 3 29 83 . 30 3 1 . 3 2 3 3 2 1 . 3 3 3 1 . 3 3 1 . 3 2 2 = − − = − + − + = − − =y y x y 변화량 의 변화량 의 ( ) ( )(
( ))
(
( ))
18.03 3 01 . 3 29 1803 . 29 3 01 . 3 2 3 3 2 01 . 3 3 3 01 . 3 3 01 . 3 2 2 = − − = − + − + = − − =y y x y 변화량 의 변화량 의특정 점에서 변화율
그림 10.8
구간 [3, 4]의 변화율, 구간 [3, 3.1]의 변화율, 구간 [3, 3.01]의 변화율 구간이 좁아질 수록, 점 A (x=3)에서의 변화율을 좀 더 정확히 추정 점 A에서의 접선의 기울기 값에 대응 13( )
=3 2+2 = f x x y특정 점에서 변화율
증분 (increment)를 활용한 구간 축소
구간 [3, 3+δx]에서δx가 0에 접근할 때, x=3에서 y(x)=3x2+2 의 변화율 x가 3일 때 y의 평균 변화율 14( ) ( )
(
) (
)
( )
(
)
( )
18 29 3 2 6 9 3 2 3 3 3 29 2 3 3 3 2 2 2 2 + + = + + + = + + = + = + = x x x x x x y y δ δ δ δ δ δ( )
(
)
(
)
( )
18 3 18 3 3 3 29 29 18 3 2 2 + = + = − + − + + = x x x x x x x x y δ δ δ δ δ δ δ 변화량 의 변화량 의 18 18 3 lim 0 + = → x x δ δ(
) ( )
( )
(
3 18)
18 lim 18 3 lim 3 3 lim 0 2 0 0 = + = + = + − → → → x x x x x y x y x x x δ δ δ δ δ δ δ δ δ임의의 점에서 변화율
구간 축소 [x, x+
δ
x]
y의 평균 변화율 그림 10.9 y의 변화율 구간 축소 15(
) ( )
x y x x y x x y x y δ δ δ δ − = + = 변화량 의 변화량 의(
) ( )
x y x x y x x y x x δ δ δ δ δ δlim→0 =lim→0 − +임의의 점에서 변화율
예
함수 y(x)=2x2+3x의 변화율 y의 변화량 y의 변화율 x=2에서 y의 변화율은 4(2)+3=11 x=-3에서 y의 변화율은 4(-3)+3=-9 16(
) (
)
(
)
( )
x x x x x x x x x x x x y δ δ δ δ δ δ 3 3 2 4 2 3 2 2 2 2 + + + + = + + + = +(
x x) ( ) ( )
y x x x x x y +δ − =2δ 2+4 δ +3δ(
) ( )
( )
(
)
3 4 3 4 2 lim 3 4 2 lim lim 0 2 0 0 + = + + = + + = − + → → → x x x x x x x x x x y x x y x x x δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ임의의 점에서 변화율
미분 (derivative) y의 변화율
Dee y by dee x
y dash 또는 y prime, y dot
y로부터 y’을 찾는 절차를 미분 (differentiation)으로 부름
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