2020 개념원리 기하 답지 정답

전체 글

(1)기하. 정답과 풀이.

(2) 개념원리. 익히기•확인체크 ⑷ xÛ`=-12y=4_(-3)y. Ⅰ. 이차곡선. 1. 이므로 p=-3. y. 따라서 초점의 좌표는. 3. ( 0, -3), 준선의 방정식은. O. y=3이고, 그래프는 오른. 답 3, 12x. x. -3. xÛ =-12y. 쪽 그림과 같다.. 답 풀이 참조. . 2. y=3. 4. ⑴ yÛ`=4px라 하면 p=;6!;이므로. yÛ`=-6x=4_{-;2#;}x에서. yÛ`=;3@;x ⑵ xÛ`=4py라 하면 p=-1이므로. 초점의 좌표는 {-;2#;, 0}, 준선의 방정식은 x=;2#;. xÛ`=-4y. 따라서 평행이동한 포물선의 방정식은 답 ⑴ yÛ`=;3@;x ⑵ xÛ`=-4y. (y+3)Û`=-6{x-;2!;}이고, 초점의 좌표는 {-;2#;+;2!;, 0-3}, 즉 (-1, -3),. 3. 준선의 방정식은 x=;2#;+;2!;, 즉 x=2. ⑴ yÛ`=x=4_;4!;x. . 이므로 p=;4!; 따라서 초점의 좌표는 {;4!;, 0}, 준선의 방정식은 x=-;4!;이고, 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. y -;4!;. ⑴ 점 P가 나타내는 도형은 초점이 F(-5, 0)이고 x. ;4!;. x=-;4!;. ⑵ yÛ`=-8x=4_(-2)x. 5. yÛ =x. O. -2. 프는 오른쪽 그림과 같다.. O. 2. x. x=2. yÛ`=-20x. xÛ`=3y 답 ⑴ yÛ`=-20x ⑵ xÛ`=3y. 다른풀이 ⑴ 점 P의 좌표를. ⑶ xÛ`=4y=4_1y. (x, y)라 하고, 점 P에서 직. 이므로 p=1. 선 x=5에 내린 수선의 발을. y. xÛ =4y. 따라서 초점의 좌표는 ( 0, 1), 준선의 방정식은 y=-1이고, 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. 2. Ⅰ. 이차곡선. 1 O -1. 준선이 y=-;4#;인 포물선이므로. 이므로 p=-2 따라서 초점의 좌표는 (-2, 0),. 준선이 x=5인 포물선이므로. ⑵ 점 P가 나타내는 도형은 초점이 F{0, ;4#;}이고. yÛ =-8x y. 준선의 방정식은 x=2이고, 그래. 답 풀이 참조. x y=-1. H라 하면 PFÓ=PHÓ이므로. "Ã(x+5)Û`+yÛ`=|x-5|. 양변을 제곱하여 정리하면 yÛ`=-20x. y. H. P(x, y) F(-5, 0) O. 5. x=5. x.

(3) 라 하고, 점 P에서 직선 y=-;4#;에 내린 수선의. y. F¦0, ;4#;¥. 발을 H라 하면 PFÓ=PHÓ이므로. y. 다른풀이 ⑴ 포물선 위의 한 점. 을 P(x, y)라 하고 점 P에. P(x, y). 확인체크 개념원리 익히기. ⑵ 점 P의 좌표를 (x, y). P(x, y). H. 서 준선에 내린 수선의 발을. x H O -;4#; y=-;4#;. ¾¨xÛ`+{y-;4#;}Û`=|y-{-;4#;}|. H라 하면 포물선의 정의에. F(-2, 3). "Ã(x+2)Û`+(y-3)Û`. 4 x. O. 의하여 PFÓ=PHÓ이므로. x=4. =|4-x|. 양변을 제곱하여 정리하면. 양변을 제곱하여 정리하면. (y-3)Û`=-12(x-1). xÛ`=3y. ⑵ 포물선 위의 한 점을 P(x, y)라 하고 점 P에서. 6. x H y=-2 F(4, -5). H라 하면 포물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ이므로. "Ã(x-4)Û`+(y+5)Û`=|y-(-2)|. yÛ`=4_;2%;_x ∴ yÛ`=10x. 양변을 제곱하여 정리하면. 이 포물선이 점 (a, 10)을 지나므로 100=10a ∴ a=10. 답 10. 7 ⑴ 주어진 포물선은 준선이 y축에 평행하므로 포물선. (x-4)Û`=-6{y+;2&;}. 8 주어진 포물선은 준선이 y축에 평행하므로 포물선의. 의 방정식을 (y-n)Û`=4p(x-m)이라 하면 . 방정식을 (y-n)Û`=4p(x-m)이라 하면. 초점의 좌표는 (p+m, n), . 초점의 좌표는 (p+m, n),. 준선의 방정식은 x=-p+m. 준선의 방정식은 x=-p+m. 따라서 p+m=-2, n=3, -p+m=4이므로 m=1, n=3, p=-3 ∴ (y-3)Û`=-12(x-1) ⑵ 주어진 포물선은 준선이 x축에 평행하므로 포물선 의 방정식을 (x-m)Û`=4p(y-n)이라 하면 초점의 좌표는 (m, p+n), . P(x, y). 준선에 내린 수선의 발을. 준선이 x=-;2%;이고 꼭짓점이 원점인 포물선의 방정 식은. y O -2. 준선의 방정식은 y=-p+n 따라서 m=4, p+n=-5, -p+n=-2이므로 m=4, n=-;2&;, p=-;2#; ∴ (x-4)Û`=-6{y+;2&;}. 답 ⑴ (y-3)Û`=-12(x-1). ⑵ (x-4)Û`=-6{y+;2&;}. 따라서 p+m=;2#;, n=2, -p+m=;2!;이므로 m=1, n=2, p=;2!; ∴ (y-2)Û`=2(x-1) 이 식에 y=0을 대입하면 4=2(x-1) ∴ x=3 즉, 포물선이 x축과 만나는 점의 좌표는 (3, 0)이다. 답 (3, 0). y. 다른풀이 포물선 위의 한 점을. P(x, y)라 하고 점 P에서 준선. H. P(x, y). 에 내린 수선의 발을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ이므로. O. ;2!;. F¦;2#;, 2¥. x=;2!;. 개념원리 익히기·확인체크. x. 3.

(4) ¾¨{x-;2#;}Û`+(y-2)Û`=|x-;2!;|. 준선의 방정식은 y=-;2%;,. 양변을 제곱하여 정리하면. 꼭짓점의 좌표는 {2, -;2!;}. (y-2)Û`=2(x-1). 답 풀이 참조. 이 식에 y=0을 대입하면 4=2(x-1) ∴ x=3 즉, 포물선이 x축과 만나는 점의 좌표는 (3, 0)이다.. 10 주어진 식에서 xÛ`-4x+4=4py+4p ∴ (x-2)Û`=4p(y+1). 9. 이 포물선은 포물선 xÛ`=4py를 x축의 방향으로 2만. ⑴ 주어진 식에서 yÛ`-6y+9=-2x-2. 큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.. ∴ (y-3)Û`=-2(x+1). 따라서 초점의 좌표는 (2, p-1)이므로. 이 포물선은 포물선 yÛ`=-2x를 x축의 방향으로. p-1=-;2!; ∴ p=;2!;. -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이. 답 ;2!;. 다. 이때 포물선 yÛ`=-2x의. 11. 초점의 좌표는 {-;2!;, 0},. 포물선 yÛ`-8x+8a=0, 즉 yÛ`=8(x-a)는 포물선 yÛ`=8x를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한 것이므로. 준선의 방정식은 x=;2!;,. 초점의 좌표는. 꼭짓점의 좌표는 (0, 0). (2+a, 0). 이므로 구하는 포물선의. 포물선 yÛ`+4x+4b=0, 즉 yÛ`=-4(x+b)는 포물. 초점의 좌표는 {-;2#;, 3},. 것이므로 초점의 좌표는. 선 yÛ`=-4x를 x축의 방향으로 -b만큼 평행이동한. 준선의 방정식은 x=-;2!;,. (-1-b, 0). 꼭짓점의 좌표는 (-1, 3). 두 초점이 서로 일치하므로. ⑵ 주어진 식에서 8y=xÛ`-4x. 2+a=-1-b ∴ a+b=-3. 답 -3. xÛ`-4x+4=8y+4. 12. ∴ (x-2)Û`=8{y+;2!;} 이 포물선은 포물선 xÛ`=8y를 x축의 방향으로 2만 큼, y축의 방향으로 -;2!;만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 xÛ`=8y의 초점의 좌표는 (0, 2), 준선의 방정식은 y=-2,. 포물선 위의 한 점을 P(x, y), 준선의 방정식을 y=a라 하고 점 P에서 준선 에 내린 수선의 발을 H라 하. 면 포물선의 정의에 의하여 "Ã(x-4)Û`+(y+2)Û`=|y-a|. 이므로 구하는 포물선의. 양변을 제곱하면. 4. Ⅰ. 이차곡선. 1 O a. F(4, -2) P(x, y) H. x. y=a. PFÓ=PHÓ이므로. 꼭짓점의 좌표는 (0, 0). 초점의 좌표는 {2, ;2#;},. y. (x-4)Û`+(y+2)Û`=(y-a)Û` ㉠이 점 (0, 1)을 지나므로. yy`㉠.

(5) AFÓ=AÕC'Ó, BFÓ=BÕD'Ó. 1-a=5 또는 1-a=-5. 이므로. ∴ a=-4 또는 a=6. ABÓ=AFÓ+BFÓ=AÕC'Ó+BÕD'Ó. Ú a=-4일 때, ㉠에서 . =ACÓ+BDÓ+2. 이때 ABÓ=5이므로. ∴ (x-4)Û`=4(y+3) Û a=6일 때, ㉠에서. =(ACÓ+1)+(BDÓ+1). (x-4)Û`+(y+2)Û`=(y+4)Û`. 확인체크 개념원리 익히기. (1-a)Û`=25 . ACÓ+BDÓ+2=5. (x-4)Û`+(y+2)Û`=(y-6)Û`. ∴ ACÓ+BDÓ=3. 답 3. ∴ (x-4)Û`=-16(y-2) Ú, Û에서 구하는 포물선의 방정식은 (x-4)Û`=4(y+3), (x-4)Û`=-16(y-2) 답 (x-4)Û`=4(y+3), (x-4)Û`=-16(y-2). 15 포물선 yÛ`=-12x=4_(-3)x의 초점은. 13. A(-3, 0)이고 준선의 방정식은 x=3이다.. 축이 y축에 평행하므로 구하는 포물선의 방정식을. 오른쪽 그림과 같이 점 P에서. xÛ`+Ax+By+C=0`(A, B, C는 상수, B+0)이. 준선에 내린 수선의 발을 Q라. 라 하자.. 하면 포물선의 정의에 의하여. 이 포물선은 세 점 (0, 0), (4, 0), (2, -1)을 지나. APÓ=PQÓ이므로. 므로. APÓ+BPÓ=PQÓ+BPÓ. y B(-5, 5). P. Q R. A(-3, 0) O 3 x. yÛ =-12x x=3. C=0. yy`㉠. 점 B에서 직선 x=3에 내린 수. 16+4A+C=0. yy`㉡. 선의 발을 R라 하면 세 점 B, P, R가 일직선 위에 있. 4+2A-B+C=0. yy`㉢. 을 때 APÓ+BPÓ의 값이 최소이므로 APÓ+BPÓ=PQÓ+BPÓ. ㉠, ㉡, ㉢에서 A=-4, B=-4, C=0. 따라서 xÛ`-4x-4y=0이므로. ¾BRÓ . (x-2)Û`=4(y+1). =3-(-5)=8. 즉, 이 포물선은 포물선 xÛ`=4y를 x축의 방향으로 2만. 따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은 8이다.. 답 8. 큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 초 점의 좌표는 (2, 0)이다.. 답 (2, 0). 14. 16. 포물선 xÛ`=4y의 초점 F의 좌표는 (0, 1)이고 준선의 방정식은 y=-1이다.. (-4, 0), (0, 3), (0, -3). y. 오른쪽 그림과 같이 두 A. 점 A, B에서 준선에 내 린 수선의 발을 각각 C', D'이라 하면 포물선의 정의에 의하여. 답 9, '7, ('7, 0), (-'7, 0), 4, 8, 3, 6, (4, 0), . C C'. 5 O -1. xÛ =4y. y 3. F(0, 1) B D D'. -17 x y=-1. -4. O. 17. 4 x. -3. 개념원리 익히기·확인체크. 5.

(6) 17. 이므로 구하는 타원의 중심의 좌표는 (3, -1), 초점의 좌표는 (3, 2'3-1), (3, -2'3-1). ⑴ 타원의 한 초점의 좌표를 (c, 0)`(c>0)이라 하면. ⑵ 16(x+5)Û`+25yÛ`=400에서. c='Ä100-36=8 따라서 초점의 좌표는 (8, 0), (-8, 0),. 장축의 길이는 2_10=20, 단축의 길이는 2_6=12 . (x+5)Û` yÛ` + =1 16 25 yÛ` xÛ` 이 타원은 타원 + =1을 x축의 방향으로 25 16. -5만큼 평행이동한 것이다. yÛ` xÛ` 이때 타원 + =1의 중심의 좌표는 (0, 0), 25 16. 이고, 그래프는 다음 그림과 같다. y 6. 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0) -10. O. -8. 10. 8. 이므로 구하는 타원의 중심의 좌표는 (-5, 0), . x. 초점의 좌표는 (-2, 0), (-8, 0). -6. ⑵ 4xÛ`+yÛ`=4에서 xÛ`+. Û 'Ä25-16=3. 답 ⑴ 중심의 좌표: (3, -1) 초점의 좌표: (3, 2'3-1), (3, -2'3-1). yÛ` =1 4. ⑵ 중심의 좌표: (-5, 0). 타원의 한 초점의 좌표를 (0, c)`(c>0)라 하면. 초점의 좌표: (-2, 0), (-8, 0). c='Ä4-1='3. 따라서 초점의 좌표는 (0, '3 ), (0, -'3 ), 장축의 길이는 2_2=4, 단축의 길이는 2_1=2. 19. ⑴ 두 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정. 이고, 그래프는 다음 그림과 같다. y. 식을 2. 13 -1. O. xÛ` yÛ` + =1`(a>b>0) aÛ` bÛ`. 이라 하자. 거리의 합이 10이므로 1. x. 2a=10 ∴ a=5 aÛ`-bÛ`=4Û`에서 bÛ`=5Û`-4Û`=9. -13 -2. ∴ 답 풀이 참조. yÛ` xÛ` + =1 25 9. ⑵ 두 초점이 y축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정 식을. 18. ⑴ 주어진 타원은 타원. yÛ` xÛ` + =1을 x축의 방향으 4 16. 이라 하자. 거리의 합이 14이므로. 로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것. 2b=14 ∴ b=7. 이다.. bÛ`-aÛ`=5Û`에서 aÛ`=7Û`-5Û`=24. yÛ` xÛ` 이 때 타원 + =1의 중심의 좌표는 (0, 0), 4 16. 초점의 좌표는 (0, 2'3), (0, -2'3) Û 'Ä16-4 =2'3. 6. xÛ` yÛ` + =1`(b>a>0) aÛ` bÛ`. Ⅰ. 이차곡선. ∴. yÛ` xÛ` + =1 24 49 답 ⑴. yÛ` yÛ` xÛ` xÛ` + =1 ⑵ + =1 25 24 49 9.

(7) P(x, y)라 하면 타원의 정의에 의하여. bÛ`=8을 ㉠에 대입하면 aÛ`=8-2=6 따라서 구하는 도형의 방정식은 xÛ` yÛ` + =1 6 8. PFÓ+PÕF'Ó=10이므로. "Ã(x-4)Û`+yÛ`+"Ã(x+4)Û`+yÛ`=10. 답. xÛ` yÛ` + =1 6 8. "Ã(x-4)Û`+yÛ`=10-"Ã(x+4)Û`+yÛ` 양변을 제곱하여 정리하면. 21. 5"Ã(x+4)Û`+yÛ`=4x+25. 두 초점이 y축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을 xÛ` yÛ` + =1`(b>a>0) aÛ` bÛ` 이라 하자.. 다시 양변을 제곱하여 정리하면 9xÛ`+25yÛ`=225 ∴. yÛ` xÛ` + =1 25 9. ⑵ 조건을 만족시키는 타원 위의 점을 P(x, y)라 하면 타원의 정의에 의하여 PFÓ+PÕF'Ó=14이므로. "ÃxÛ`+(y-5)Û`+"ÃxÛ`+(y+5)Û`=14. "ÃxÛ`+(y-5)Û`=14-"ÃxÛ`+(y+5)Û`. 단축의 길이가 4이므로 2a=4 ∴ a=2 bÛ`-aÛ`=('3)Û`에서 bÛ`=2Û`+('3)Û`=7 xÛ` yÛ` xÛ` yÛ` 답 ∴ + =1 + =1 4 4 7 7. 양변을 제곱하여 정리하면 7"ÃxÛ`+(y+5)Û`=5y+49. 22. 다시 양변을 제곱하여 정리하면. 두 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을 xÛ` yÛ` + =1`(a>b>0) aÛ` bÛ` 이라 하면 F(8, 0), F'(-8, 0)이므로. 49xÛ`+24yÛ`=1176 ∴. yÛ` xÛ` + =1 24 49. aÛ`-bÛ`=8Û` . 20. 점 P가 나타내는 도형은 두 점 (0, '2), (0, -'2)를 초점으로 하는 타원이다. 두 초점이 y축 위에 있으므로 구하는 도형의 방정식을 xÛ` yÛ` + =1`(b>a>0) aÛ` bÛ`. ㉠을 ㉡에 대입하면 3 4 + =1 bÛ`-2 bÛ` 3bÛ`+4(bÛ`-2)=bÛ`(bÛ`-2) bÝ`-9bÛ`+8=0, (bÛ`-1)(bÛ`-8)=0 ∴ bÛ`=8 (∵ bÛ`>cÛ`=2). 단축의 길이의 차가 8이므로 2a-2b=8 ∴ a-b=4 4(a+b)=64 ∴ a+b=16. yy`㉠. 또, 타원이 점 ('3, 2)를 지나므로 3 4 + =1 aÛ` bÛ`. 이때 장축의 길이는 2a, 단축의 길이는 2b이고 장축과 yy`㉡. ㉡을 ㉠에 대입하면. 이라 하면 bÛ`-aÛ`=('2)Û`에서 aÛ`=bÛ`-2. yy`㉠. ∴ (a+b)(a-b)=64. yy`㉡. yy`㉢. ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=10, b=6 ∴ PFÓ+PÕF'Ó=2a=20. 답 20. 23 4xÛ`+9yÛ`=36에서. xÛ` yÛ` + =1 9 4. 'Ä9-4='5이므로 초점의 좌표는. ('5, 0), (-'5, 0). 개념원리 익히기·확인체크. 7. 확인체크 개념원리 익히기. 다른풀이 ⑴ 조건을 만족시키는 타원 위의 점을.

(8) 이때 두 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 타원의 방. 25. 정식을 xÛ` yÛ` + =1`(a>b>0) aÛ` bÛ` 이라 하자. 장축의 길이가 2'15이므로. 점 P가 나타내는 도형 은 두 점 . -15+1. A('5+1, -1), . ∴ b='10 (∵ b>0). 타원이고, 두 점 A, B. 따라서 구하는 단축의 길이는. 는 타원의 초점이다. 답 2'10. 24 {. 2+2 3+(-1) , }, 즉 2 2. 1 O. (2, 1). -1. ('5+1)+(-'5+1) -1+(-1) , }, 즉 2 2. 이때 두 초점이 x축과 평행한 직선 위에 있으므로 구. F 2 F'. 하는 타원의 방정식을 x. 이때 두 초점이 y축과 평행한 직선 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을 (x-2)Û` (y-1)Û` + =1`(b>a>0) aÛ` bÛ` 이라 하자. 거리의 합이 8이므로 2b=8 ∴ b=4 또한, 중심에서 초점까지의 거리가 2이므로. (x-1)Û` (y+1)Û` + =1`(a>b>0) aÛ` bÛ` 이라 하자. 장축의 길이가 10이므로 2a=10 ∴ a=5. 또한, 중심에서 초점까지의 거리가 '5이므로 ('5)Û`=aÛ`-bÛ`에서 bÛ`=5Û`-('5)Û`=20 따라서 구하는 도형의 방정식은 (x-1)Û` (y+1)Û` + =1 25 20 답. 2Û`=bÛ`-aÛ`에서 aÛ`=4Û`-2Û`=12 따라서 구하는 타원의 방정식은 (x-2)Û` (y-1)Û` + =1 12 16 답. (x-2)Û` (y-1)Û` + =1 12 16. 다른풀이 타원 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 타원의. 정의에 의하여 PFÓ+PÕF'Ó=8이므로. "Ã(x-2)Û`+(y-3)Û`+"Ã(x-2)Û`+(y+1)Û`=8. "Ã(x-2)Û`+(y-3)Û`=8-"Ã(x-2)Û`+(y+1)Û` 양변을 제곱하여 정리하면. 4(x-2)Û`+3(y-1)Û`=48 ∴. 8. (x-2)Û` (y-1)Û` + =1 12 16. Ⅰ. 이차곡선. (x-1)Û` (y+1)Û` + =1 25 20. 26 주어진 식에서 9(x-3)Û`+4(y-2)Û`=36 (x-3)Û` (y-2)Û` + =1 4 9 xÛ` yÛ` 이 타원은 타원 + =1을 x축의 방향으로 3만 4 9 큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 그 그 양변을 36으로 나누면. 래프는 다음 그림과 같다. (x-3)Û (y-2)Û ;;;;;;;4;;;;;;;+;;;;;;;9;;;;;;;=1. y. 2"Ã(x-2)Û`+(y+1)Û`=y+7 다시 양변을 제곱하여 정리하면. x. (1, -1). y 3. A. 타원의 중심은 선분 AB의 중점이므로 {. 점이므로. 15+1. 서의 거리의 합이 10인. aÛ`-bÛ`=('5)Û`에서 bÛ`=('15)Û`-('5)Û`=10. 2b=2_'10=2'10. P. O 1 B-1. B(-'5+1, -1)에. 2a=2'15 ∴ a='15. 타원의 중심은 선분 FF'의 중. y. 2 O. 3. x. yÛ xÛ ;;4;;+;;9;;=1.

(9) xÛ` yÛ` + =1의 4 9. 삼각형 ABF'의 둘레의 길이는 ABÓ+BÕF'Ó+FÕ'AÓ. 초점의 좌표는 (0, '5), (0, -'5),. 꼭짓점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0), (0, 3), (0, -3),. 중심의 좌표는 (0, 0). =AFÓ+BFÓ+BÕF'Ó+AÕF'Ó =(AFÓ+AÕF'Ó)+(BFÓ+BÕF'Ó) =2b+2b=4b. 이므로 구하는 타원의. 즉, 4b=36이므로 b=9. 초점의 좌표는 (3, '5+2), (3, -'5+2),. 꼭짓점의 좌표는 (5, 2), (1, 2), (3, 5), (3, -1), 중심의 좌표는 (3, 2), . 장축의 길이는 2_3=6, . 단축의 길이는 2_2=4. 이때 타원의 초점의 좌표가 (0, 6), (0, -6)이므로 6Û`=bÛ`-aÛ` ∴ aÛ`=9Û`-6Û`=45 ∴ aÛ`+bÛ`=45+9Û`=126. 답 126. 답 풀이 참조. 30. 27. 2xÛ`+yÛ`=6에서. 2xÛ`+3yÛ`-16x+6y+11=0에서. a+b=2_'6=2'6. (x-4)Û` (y+1)Û` + =1 12 8. 이 타원은 타원. 이때 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계. yÛ` xÛ` + =1을 x축의 방향으로 4만 12 8. 큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.. 에 의하여 a+b¾2'ab (단, 등호는 a=b일 때 성립). 2'6¾2'ab, 'abÉ'6 . 따라서 a=4, b=-1이므로 a+b=3. xÛ` yÛ` + =1 3 6. PFÓ=a, PÕF'Ó=b라 하면 타원의 정의에 의하여. 2(x-4)Û`+3(y+1)Û`=24 ∴. 확인체크 개념원리 익히기. 이때 타원. 답 3. ∴ abÉ6. 따라서 PFÓ_PÕF'Ó의 최댓값은 6이다.. 답 6. 28 yÛ` xÛ` + =1에서 타원의 정의에 의하여 12 4. 31. PFÓ+PÕF'Ó=QFÓ+QÕF'Ó=2_2'3=4'3. 점 P(a, b)가 타원. 따라서 사각형 PF'QF의 둘레의 길이는. aÛ` bÛ` + =1 25 16. PFÓ+FQÓ+QÕF'Ó+FÕ'PÓ. 이때 aÛ`>0, bÛ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계. =(PFÓ+PÕF'Ó)+(QFÓ+QÕF'Ó) =4'3+4'3=8'3. 답 8'3. 29 타원. yÛ` xÛ` + =1 위의 점이므로 25 16. 에 의하여 aÛ` bÛ` aÛ` bÛ` + ¾2¾¨ _ 25 16 25 16 {단, 등호는. yÛ` xÛ` + =1에서 b>a>0이라 하면 타원의 bÛ` aÛ`. 1¾. aÛ` bÛ` = 일 때 성립} 25 16. ab (∵ a>0, b>0) 10. 정의에 의하여. ∴ 0<abÉ10. AFÓ+AÕF'Ó=BFÓ+BÕF'Ó=2b. 따라서 ab의 최댓값은 10이다. . 답 10. 개념원리 익히기·확인체크. 9.

(10) 32. 34. 오른쪽 그림과 같이 제 1 사 A. 분면 위의 점 D의 좌표를 (a, b)라 하면 a>0, b>0. y 2. D(a, b). O. 3 x. yÛ` xÛ` + =1에서 'Ä25-9=4이므로 두 초점 F, F'의 25 9 좌표는 각각. -3. 이고. B -2. aÛ` bÛ` + =1 9 4. C. (4, 0), (-4, 0) ∴ FÕF'Ó=8 PFÓ=a, PÕF'Ó=b라 하면 타원의 정의에 의하여 yy`㉠. 이때 aÛ`>0, bÛ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계. a+b=2_5=10. 에 의하여. 한편, FÕF'Ó은 원의 지름이고, 지름에 대한 원주각의 크. aÛ` bÛ` aÛ` bÛ` + ¾2¾¨ _ 9 4 9 4. 기는 90ù이므로. 1¾. ∠FPF'=90ù. aÛ` bÛ` {단, 등호는 = 일 때 성립} 9 4 ab (∵ a>0, b>0) 3. 즉, 삼각형 PF'F는 ∠FPF'=90ù인 직각삼각형이므 로 aÛ`+bÛ`=8Û` yy`㉡. ∴ abÉ3. ∴ (a+b)Û`-2ab=64. 따라서 직사각형 ABCD의 넓이는. ㉠을 ㉡에 대입하면. 2a_2b=4abÉ4_3=12. 10Û`-2ab=64 ∴ ab=18. 이므로 구하는 넓이의 최댓값은 12이다. . 답 12. 따라서 삼각형 PF'F의 넓이는 ;2!;_PÕF'Ó_PFÓ=;2!;ab=;2!;_18=9. 답 9. 35. 33 2xÛ`+yÛ`=4에서. 답 6, 3, (3, 0), (-3, 0), '3, 2'3, ('3, 0),. xÛ` yÛ` + =1 2 4. (-'3, 0). 'Ä4-2='2이므로 두 초점 F, F'의 좌표는 각각. y. (0, '2 ), (0, -'2 ). 13. ∴ FÕF'Ó=2'2. -3. 3. x. --13. PFÓ=a, PÕF'Ó=b라 하면 타원의 정의에 의하여 a+b=2_2=4. O. yy`㉠. 이때 삼각형 PFF'은 ∠FPF'=90ù인 직각삼각형이. 36. 므로 피타고라스 정리에 의하여 aÛ`+bÛ`=(2'2 )Û` ∴ (a+b)Û`-2ab=8. yy`㉡. ㉠을 ㉡에 대입하면. 꼭짓점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0), . 따라서 삼각형 PFF'의 넓이는. 10. Ⅰ. 이차곡선. c='Ä4+1='5 따라서 초점의 좌표는 ('5, 0), (-'5, 0), . 4Û`-2ab=8 ∴ ab=4 ;2!;_PFÓ_PÕF'Ó=;2!;ab=;2!;_4=2. ⑴ 쌍곡선의 한 초점의 좌표를 (c, 0)`(c>0)이라 하면. 주축의 길이는 2_2=4 답 2. 이고, 그래프는 다음 그림과 같다..

(11) -15. O -2. 이때 쌍곡선 2. 15. xÛ` yÛ` - =-1의 4 5. 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3), . x. 꼭짓점의 좌표는 (0, '5), (0, -'5). Û 'Ä4+5=3. 이므로 구하는 쌍곡선의 ⑵ xÛ`-2yÛ`=-12에서. 초점의 좌표는 (-1, 4), (-1, -2),. yÛ` xÛ` - =-1 12 6. 쌍곡선의 한 초점의 좌표를 (0, c)`(c>0)라 하면 c='Ä12+6=3'2. 꼭짓점의 좌표는 (-1, '5+1), (-1, -'5+1) 답 ⑴ 초점의 좌표:(3'5, 3), (-3'5, 3). 꼭짓점의 좌표:(3, 3), (-3, 3). 따라서 초점의 좌표는 (0, 3'2), (0, -3'2), 꼭짓점의 좌표는 (0, '6), (0, -'6),. 38. 이고, 그래프는 다음 그림과 같다.. O. ⑴ 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은. 312 16. -16. 꼭짓점의 좌표:(-1, '5+1), (-1, -'5+1). 주축의 길이는 2_'6=2'6 y. ⑵ 초점의 좌표:(-1, 4), (-1, -2). y=Ñ;6$;x ∴ y=Ñ;3@;x. x. ⑵ 주어진 쌍곡선은 쌍곡선. -312. yÛ` xÛ` - =-1을 x축의 4 25. 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동 답 풀이 참조. . 한 것이다. 쌍곡선. y=Ñ;2%;x. 37. 이므로 구하는 쌍곡선의 점근선의 방정식은. yÛ` xÛ` ⑴ 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 - =1을 y축의 방 9 36 향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 이때 쌍곡선. 꼭짓점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0). y-3=Ñ;2%;(x+2) ∴ y=;2%;x+8, y=-;2%;x-2. yÛ` xÛ` - =1의 9 36. 초점의 좌표는 (3'5, 0), (-3'5, 0), Û 'Ä9+36 =3'5. 이므로 구하는 쌍곡선의 초점의 좌표는 (3'5, 3), (-3'5, 3), 꼭짓점의 좌표는 (3, 3), (-3, 3) ⑵ -5(x+1)Û`+4(y-1)Û`=20에서 (x+1)Û` (y-1)Û` =-1 4 5 xÛ` yÛ` 이 쌍곡선은 쌍곡선 - =-1을 x축의 방향 4 5. 으로 -1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.. yÛ` xÛ` - =-1의 점근선의 방정식은 4 25. 답 ⑴ y=Ñ;3@;x. ⑵ y=;2%;x+8, y=-;2%;x-2. 39 두 초점이 y축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을 xÛ` yÛ` - =-1`(a>0, b>0) aÛ` bÛ` 이라 하면 aÛ`+bÛ`=2Û`에서 bÛ`=2Û`-aÛ` yy`㉠ 또, 쌍곡선이 점 (2, '6 )을 지나므로. 4 6 - =-1 aÛ` bÛ` ∴ 6aÛ`-4bÛ`=aÛ`bÛ`. yy`㉡. 개념원리 익히기·확인체크. 11. 확인체크 개념원리 익히기. y.

(12) ㉠을 ㉡에 대입하면. ㉠을 ㉡에 대입하면 a=1. 6aÛ`-4(4-aÛ`)=aÛ`(4-aÛ`). ∴ aÛ`+bÛ`=1+4=5. 답 5. aÝ`+6aÛ`-16=0, (aÛ`+8)(aÛ`-2)=0. 43. ∴ aÛ`=2 (∵ aÛ`>0) aÛ`=2를 ㉠에 대입하면 bÛ`=2 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 xÛ` yÛ` xÛ` yÛ` 답 - =-1 - =-1 2 2 2 2. 쌍곡선의 중심은 선분 FF'의 중점. y 8. 이므로 {. 1+1 8+0 , }, 즉 (1, 4) 2 2. 4. 이때 두 초점이 y축과 평행한 직. 40. O 1. 선 위에 있으므로 구하는 쌍곡선. 두 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을 xÛ` yÛ` - =1`(a>0, b>0) aÛ` bÛ` 이라 하자. 주축의 길이가 2'2이므로 2a=2'2 ∴ a='2. x F'. 의 방정식을 (x-1)Û` (y-4)Û` =-1`(a>0, b>0) aÛ` bÛ` 이라 하자. 거리의 차가 6이므로. aÛ`+bÛ`=3Û`에서 bÛ`=3Û`-('2 )Û`=7 xÛ` yÛ` ∴ - =1 2 7. 2b=6 ∴ b=3 또한, 중심에서 초점까지의 거리가 4이므로 aÛ`+bÛ`=4Û`에서 aÛ`=4Û`-3Û`=7. 이 쌍곡선이 점 (k, 7)을 지나므로 kÛ` 7Û` - =1, kÛ`=16 2 7. ∴. ∴ k=4 (∵ k>0). 답 4. (x-1)Û` (y-4)Û` =-1 7 9 (x-1)Û` (y-4)Û` 답 =-1 7 9. 다른풀이 쌍곡선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 쌍곡. 41. 선의 정의에 의하여 |PFÓ-PÕF'Ó|=6이므로. 두 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을 xÛ` yÛ` - =1`(a>0, b>0) aÛ` bÛ` 이라 하면 aÛ`+bÛ`=(2'3 )Û`=12 yy`㉠. "Ã(x-1)Û`+(y-8)Û`="Ã(x-1)Û`+yÛ`Ñ6. 또, 점근선의 방정식이 y=Ñ'3x이므로. -4y+7=Ñ3"Ã(x-1)Û`+yÛ`. ;aB;='3 ∴ b='3a ㉠, ㉡에서 aÛ`=3, bÛ`=9 xÛ` yÛ` ∴ - =1 3 9. yy`㉡ xÛ` yÛ` 답 - =1 3 9. |"Ã(x-1)Û`+(y-8)Û`-"Ã(x-1)Û`+yÛ`|=6 양변을 제곱하여 정리하면 다시 양변을 제곱하여 정리하면 9(x-1)Û`-7(y-4)Û`=-63 ∴. (x-1)Û` (y-4)Û` =-1 7 9. 44. 42. 점 P가 나타내는 도형은 두 점. a>0, b>0이라 하면 주축의 길이가 4이므로 2b=4 ∴ b=2. yy`㉠. 또, 한 점근선의 방정식이 y=2x이므로 ;aB;=2 ∴ b=2a. 12. F. Ⅰ. 이차곡선. yy`㉡. y. F(4, 2), F'(-6, 2)에서의 거리의 차가 8인 쌍곡선이고, 두 점 F, F'은 쌍곡선의 초점 이다.. F' -6. 2 -1 O. F 4. x.

(13) {. 4-6 2+2 , }, 즉 (-1, 2) 2 2. 점근선의 방정식은 y=Ñ 이므로 구하는 쌍곡선의. 이때 두 초점이 x축과 평행한 직선 위에 있으므로 구. 2'5 2 x x, 즉 y=Ñ 5 '5. 초점의 좌표는 (-2, 4), (-2, -2),. 하는 쌍곡선의 방정식을. 꼭짓점의 좌표는 (-2, 3), (-2, -1),. (x+1)Û` (y-2)Û` =1`(a>0, b>0) aÛ` bÛ`. 주축의 길이는 2_2=4. 이라 하자.. 확인체크 개념원리 익히기. 쌍곡선의 중심은 선분 FF'의 중점이므로. 중심의 좌표는 (-2, 1),. 2'5 (x+2), 즉 5 2'5 4'5 2'5 4'5 y= x+ +1, y=x+1 5 5 5 5 점근선의 방정식은 y-1=Ñ. 거리의 차가 8이므로 2a=8 ∴ a=4 또한, 중심에서 초점까지의 거리가 5이므로. 답 풀이 참조. aÛ`+bÛ`=5Û`에서 bÛ`=5Û`-4Û`=9 따라서 구하는 도형의 방정식은 (x+1)Û` (y-2)Û` =1 16 9 (x+1)Û` (y-2)Û` 답 =1 16 9. 45. 46 주어진 식에서 (x-1)Û`-8yÛ`=8 (x-1)Û` -yÛ`=1 8 xÛ` 이 쌍곡선은 쌍곡선 -yÛ`=1을 x축의 방향으로 8 ∴. 1만큼 평행이동한 것이다.. 주어진 식에서. 이때 쌍곡선. 4(x+2)Û`-5(y-1)Û`=-20. xÛ` -yÛ`=1의 초점의 좌표는 8. (3, 0), (-3, 0) Û 'Ä8+1=3. 양변을 20으로 나누면 (x+2)Û` (y-1)Û` =-1 5 4 xÛ` yÛ` 이 쌍곡선은 쌍곡선 - =-1을 x축의 방향으 5 4 로 -2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므. 이므로 구하는 쌍곡선의 초점의 좌표는 (4, 0), (-2, 0) 따라서 a=4, b=-2 (∵ a>b)이므로 ab=-8. 답 -8. 로 그 그래프는 다음 그림과 같다. (x+2)Û (y-1)Û ;///////////5///////////; - ;///////////4///////////; =-1. y. 47 주어진 식에서 3(x+3)Û`-(y-2)Û`=-3. (-2, 4) (-2, -2). O. x. yÛ xÛ -;//4/// ;//5/// =-1. (y-2)Û` =-1 3 yÛ` 이 쌍곡선은 쌍곡선 xÛ`- =-1을 x축의 방향으로 3 ∴ (x+3)Û`-. xÛ` yÛ` 이때 쌍곡선 - =-1의 5 4. -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. yÛ` 이때 쌍곡선 xÛ`- =-1의 초점의 좌표는 3. 꼭짓점의 좌표는 (0, 2), (0, -2),. 이므로 구하는 쌍곡선의 초점의 좌표는. 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3), Û 'Ä5+4=3. 중심의 좌표는 (0, 0),. (0, 2), (0, -2) Û 'Ä1+3=2 (-3, 4), (-3, 0). 개념원리 익히기·확인체크. 13.

(14) A(-3, 4), B(-3, 0)이라. A. 하면 ABÓ=4. 50. y. 오른쪽 그림과 같이. ⑴ xÛ` 항과 xy항이 없으므로 포물선이다.. 4. ⑵ xÛ` 항과 yÛ` 항의 계수의 곱이 양수이고 서로 다르므. -3 B. 따라서 삼각형 OAB의 넓이는. O. 로 타원이다.. x. 답 ⑴ 포물선 ⑵ 타원. . ;2!;_4_3=6. 다른풀이 ⑴ yÛ`+12x+6y-3=0에서 답 6. . (y+3)Û`=-12(x-1) 따라서 주어진 방정식은 포물선 yÛ`=-12x를 x축 의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행. 48. 이동한 포물선을 나타낸다.. 쌍곡선의 정의에 의하여 AÕF'Ó-AFÓ=2_'3=2'3. yy`㉠. BÕF'Ó-BFÓ=2_'3=2'3. yy`㉡. ⑵ 3xÛ`+2yÛ`-12x+4y-4=0에서 3(x-2)Û`+2(y+1)Û`=18 ∴. ㉠+㉡을 하면 AÕF'Ó-AFÓ+BÕF'Ó-BFÓ=4'3. (x-2)Û` (y+1)Û` + =1 6 9. 따라서 주어진 방정식은 타원. AÕF'Ó+BÕF'Ó-(AFÓ+BFÓ)=4'3. xÛ` yÛ` + =1을 x축 6 9. 의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행. AÕF'Ó+BÕF'Ó-ABÓ=4'3. 이동한 타원을 나타낸다.. 이때 ABÓ=4'3이므로. 51. AÕF'Ó+BÕF'Ó-4'3=4'3 ∴ AÕF'Ó+BÕF'Ó=8'3. 답 8'3. ⑴ 타원을 나타내려면 xÛ` 항과 yÛ` 항의 계수의 곱이 양 수이고 서로 달라야 하므로. 49. 2k>0, k+2. 쌍곡선. yÛ` xÛ` - =1에서 16 9. 'Ä 1 6+9=5이므로 두 초점 중 x좌표가 양수인 점을 F,. ∴ 0<k<2 또는 k>2. y. ⑵ 쌍곡선을 나타내려면 xÛ` 항과 yÛ` 항의 계수의 곱이. P -5 5 F' -4 O 4 F. 음수이어야 하므로. x. 음수인 점을 F'이라 하면. 2k<0 ∴ k<0 답 ⑴ 0<k<2 또는 k>2 ⑵ k<0. . F(5, 0), F'(-5, 0) ∴ FÕF'Ó=10. 52. 쌍곡선의 정의에 의하여. x+2y-2=0에서 y=-;2!;x+1. PÕF'Ó-PFÓ=2_4=8. ⑴ ㉠을 xÛ`=2y에 대입하면. 이때 PÕF'Ó=2PFÓ이므로 PÕF'Ó=2k, PFÓ=k`(k>0). xÛ`=2{-;2!;x+1}. 라 하면. ∴ xÛ`+x-2=0. PÕF'Ó-PFÓ=2k-k=8 ∴ k=8. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면. ∴ PÕF'Ó=16, PFÓ=8. D=1Û`-4_1_(-2)=9>0. 따라서 삼각형 PFF'의 둘레의 길이는 PÕF'Ó+PFÓ+FÕF'Ó=16+8+10=34. 14. Ⅰ. 이차곡선. yy`㉠. 따라서 주어진 이차곡선과 직선은 서로 다른 두 점 답 34. 에서 만난다..

(15) xÛ`+4{-;2!;x+1}Û`=2. y=x+k를. ∴ xÛ`-2x+1=0 D =(-1)Û`-1=0 4. ∴ xÛ`+4kx+2kÛ`+2=0. 따라서 주어진 이차곡선과 직선은 한 점에서 만난 다. (접한다.) ⑶ ㉠을. xÛ` 4. 3. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D =(2k)Û`-(2kÛ`+2) 4. ⑴ 서로 다른 두 점에서 만나면 D>0이므로 2(k+1)(k-1)>0. =-1. ∴ k<-1 또는 k>1. ∴ xÛ`+2x+4=0. ⑵ 접하면 D=0이므로. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면. 2(k+1)(k-1)=0. D =1Û`-4=-3<0 4. ∴ k=-1 또는 k=1. 따라서 주어진 이차곡선과 직선은 만나지 않는다. 답 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.. =2kÛ`-2=2(k+1)(k-1). xÛ` yÛ` - =-1에 대입하면 4 3 {-;2!;x+1}Û`. xÛ` -yÛ`=1에 대입하면 2. xÛ` -(x+k)Û`=1 2. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면. 확인체크 개념원리 익히기. 54. ⑵ ㉠을 xÛ`+4yÛ`=2에 대입하면. ⑵ 한 점에서 만난다. (접한다.) ⑶ 만나지 않는다.. ⑶ 만나지 않으면 D<0이므로 2(k+1)(k-1)<0 ∴ -1<k<1 답 ⑴ k<-1 또는 k>1. ⑵ k=-1 또는 k=1 ⑶ -1<k<1. 55 xÛ` yÛ` + =1에 대입하면 a 3 xÛ` (x-3)Û` + =1 a 3. 53. y=x-3을. xÛ` yÛ` - =-1에 대입하면 2 2 xÛ` (3x)Û` =-1 2 2. y=3x를. ∴ (a+3)xÛ`-6ax+6a=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면. 4xÛ`-1=0, (2x+1)(2x-1)=0. D =(-3a)Û`-(a+3)_6a=0 4. ∴ x=-;2!; 또는 x=;2!;. 3aÛ`-18a=0, 3a(a-6)=0. 이것을 y=3x에 대입하면. ∴ a=6 (∵ a>0). y=-;2#; 또는 y=;2#;. 56. 따라서 A{-;2!;, -;2#;}, B{;2!;, ;2#;}이라 하면. Ú y=-x+m을 xÛ`=-y에 대입하면. ABÓ=¾¨[;2!;-{-;2!;}]Û`+[;2#;-{-;2#;}]Û` ='10. 답 6. 답 '10. xÛ`=-(-x+m) ∴ xÛ`-x+m=0. 이 이차방정식의 판별식을 DÁ이라 하면. DÁ=(-1)Û`-4m<0 ∴ m>;4!;. 개념원리 익히기·확인체크. 15.

(16) Û y=2x+m을 xÛ`=-y에 대입하면. xÛ`=-(2x+m) ∴ xÛ`+2x+m=0. 이차방정식의 판별식을 Dª라 하면 이 Dª =1Û`-m>0 ∴ m<1 4. 59 답 -;2!;(x+xÁ), -;2!;(1+xÁ), -1, -1, 1,. ;2!;x-;2!;, -;2!;x+;2!;. Ú, Û에서 실수 m의 값의 범위는 답 ;4!;<m<1. ;4!;<m<1. 60 직선 2x+y+3=0, 즉 y=-2x-3에 수직인 직선. 57. 의 기울기는 ;2!;이므로 포물선 yÛ`=-8x=4_(-2)x. ⑴ yÛ`=12x=4_3x이므로 구하는 직선의 방정식은. 에 접하고 기울기가 ;2!;인 직선의 방정식은. y=2x+;2#; ⑵ yÛ`=-2x=4_{-;2!;}x이므로 구하는 직선의 방. -2 ;2!;. ∴ y=;2!;x-4. 이 직선이 점 (-2, k)를 지나므로. 정식은 y=;5!;x+. y=;2!;x+. -;2!; ;5!;. ∴ y=;5!;x-;2%;. k=;2!;_(-2)-4=-5. 답 -5. 참고 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1이다.. 답 ⑴ y=2x+;2#; ⑵ y=;5!;x-;2%;. 61 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45ù인 직선의. 58 ⑴ yÛ`=-8x=4_(-2)x이므로 구하는 접선의 방 정식은. 기울기는 tan`45ù=1이므로 포물선 yÛ`=;3!;x=4_;1Á2;x에 접하고 기울기가 1인 직선의 방. -4y=2_(-2)_(x-2) ∴ y=x-2. 정식은. ⑵ xÛ`=12y=4_3y이므로 구하는 접선의 방정식은. y=x+;1Á2; ∴ 12x-12y+1=0. -6x=2_3_(y+3) ∴ y=-x-3 ⑶ yÛ`=3x=4_;4#;x이므로 구하는 접선의 방정식은. 따라서 a=12, b=-12이므로 a-b=24. 답 24. -3y=2_;4#;_(x+3) ∴ y=-;2!;x-;2#; ⑷ ;2!;xÛ`=-4y에서 xÛ`=-8y=4_(-2)y이므로 구하는 접선의 방정식은. 직선 y=-x+2와 평행한 직선의 기울기는 -1이므. 4x=2_(-2)_(y-2) . 로 포물선 yÛ`=-6x=4_{-;2#;}x에 접하고 기울기. ∴ y=-x+2. 답 ⑴ y=x-2 . 16. ⑵ y=-x-3. ⑶ y=-;2!;x-;2#; ⑷ y=-x+2. Ⅰ. 이차곡선. 62. 가 -1인 직선의 방정식은 y=-x+;2#;.

(17) 넓이는 답 ;8(;. ;2!;_;2#;_;2#;=;8(;. 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 '2이다.. 이때 기울기가 '2이고 점 (-1, 0)을 지나는 직선의. 방정식은 y='2(x+1) ∴ y='2x+'2. 답 '2. 따라서 구하는 y절편은 '2이다.. 63 점 (6, 3)이 포물선. xÛ` =y 위의 점이므로 k. 66. 6Û` =3 ∴ k=12 k 따라서 포물선. 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 포물선. xÛ` =y, 즉 xÛ`=12y=4_3y 위의 점 12. (6, 3)에서의 접선의 방정식은. xÛ`=-2y=4_{-;2!;}y 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접 선의 방정식은 xÁx=2_{-;2!;}_(y+yÁ) . 6x=2_3_(y+3) ∴ y=x-3 답 y=x-3. ∴ y=-xÁx-yÁ 이 직선이 점 (0, 2)를 지나므로. 64. 2=-yÁ ∴ yÁ=-2. 포물선 yÛ`=6x=4_;2#;x의 초점의 좌표는 {;2#;, 0}. xÁÛ`=-2yÁ. 또, 점 {;2!;, '3}에서의 접선의 방정식은. ㉠을 ㉡에 대입하여 풀면. 또, 점 (xÁ, yÁ)이 포물선 xÛ`=-2y 위의 점이므로 yy`㉡. xÁ=-2, yÁ=-2 또는 xÁ=2, yÁ=-2. '3y=2_;2#;_{x+;2!;}. 따라서 구하는 접선의 방정식은. ∴ 6x-2'3y+3=0. y=-2x+2, y=2x+2. 따라서 구하는 거리는. . |6_;2#;-2'3_0+3|. 다른풀이 1. "Ã6Û`+(-2'3)Û`. =. 12 ='3 4'3. 답 '3. KEY Point 점 (xÁ, yÁ)과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리 ⇨. yy`㉠. |axÁ+byÁ+c| "ÃaÛ`+bÛ`. 답 y=-2x+2, y=2x+2. 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정. 식은 y=mx+. mÛ` 2. 이 직선이 점 (0, 2)를 지나므로 2=. mÛ` , mÛ`=4 2. ∴ m=-2 또는 m=2 따라서 구하는 접선의 방정식은. 65. y=-2x+2, y=2x+2. 포물선 yÛ`=-4x=4_(-1)x의 초점의 좌표는. 다른풀이 2. (-1, 0). 방정식은. 점 (-2, 2'2)에서의 접선의 방정식은 2'2y=2_(-1)_(x-2) ∴ y=-. '2 x+'2 2. 점 (0, 2)를 지나고 기울기가 m인 직선의. y-2=m(x-0) ∴ y=mx+2 이것을 xÛ`=-2y에 대입하면 xÛ`=-2(mx+2) xÛ`+2mx+4=0. 개념원리 익히기·확인체크. 17. 확인체크 개념원리 익히기. 따라서 A{;2#;, 0}, B{0, ;2#;}이므로 삼각형 OAB의.

(18) 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면. ⑵ 4xÛ`+3yÛ`=12에서. D =mÛ`-4=0 4. xÛ` yÛ` + =1이므로 구하는 접 3 4. 선의 방정식은. mÛ`=4 ∴ m=-2 또는 m=2. y=-2xÑ"Ã3_(-2)Û`+4. 따라서 구하는 접선의 방정식은. ∴ y=-2xÑ4 답 ⑴ y=;3!;xÑ'6 ⑵ y=-2xÑ4. y=-2x+2, y=2x+2. 69. 67 yÛ`=-4x=4_(-1)x 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선 의 방정식은. ⑶ 4x+4y=20 ∴ y=-x+5. yÁ y=2_(-1)_(x+xÁ). ⑷ 2x-2y=6 ∴ y=x-3. ∴ yÁ y=-2x-2xÁ. 이 직선이 점 (2, 1)을 지나므로 yÁ=-4-2xÁ. -2x +;2};=1 ∴ y=;2!;x+2 8 '6x '2y '3 5'2 ⑵ + =1 ∴ y=x+ 10 5 2 2 ⑴. 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 포물선. yy`㉠. 답 ⑴ y=;2!;x+2 ⑵ y=-. '3 5'2 x+ 2 2. ⑶ y=-x+5 ⑷ y=x-3. 또, 점 (xÁ, yÁ)이 포물선 yÛ`=-4x 위의 점이므로 yÁÛ`=-4xÁ. yy`㉡. ㉠을 ㉡에 대입하면. 70 답 xÁx, yÁy, 2xÁ, 1, ;3$;, -;3!;, 1, 2x-3. (-4-2xÁ)Û`=-4xÁ xÁÛ`+5xÁ+4=0, (xÁ+4)(xÁ+1)=0 ∴ xÁ=-4 또는 xÁ=-1 ㉠에서 xÁ=-4일 때 yÁ=4, xÁ=-1일 때 yÁ=-2 이므로 접선의 방정식은 y=-;2!;x+2, y=x-1. 직선 x-y+4=0, 즉 y=x+4에 수직인 직선의 기 xÛ` yÛ` 울기는 -1이므로 타원 xÛ`+2yÛ`=6, 즉 + =1 6 3 에 접하고 기울기가 -1인 직선의 방정식은. Ú 직선 y=-;2!;x+2가 점 (4, k)를 지날 때. 71. y=-xÑ"Ã6_(-1)Û`+3 ∴ y=-xÑ3. k=-2+2=0. 답 y=-xÑ3. Û 직선 y=x-1이 점 (4, k)를 지날 때. k=4-1=3. Ú, Û에서 실수 k의 값은 0, 3이다.. 답 0, 3. 72 타원. xÛ` yÛ` + =1의 한 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이므로 aÛ` bÛ`. a=2 (∵ a>0). 68. 이때 타원. ⑴ y=;3!;xÑ¾¨9_{;3!;}Û`+5 ∴ y=;3!;xÑ'6. 18. Ⅰ. 이차곡선. xÛ` yÛ` + =1에 접하고 기울기가 -2인 직 4 bÛ`. 선의 방정식은 y=-2xÑ"Ã4_(-2)Û`+bÛ` ∴ y=-2xÑ"Ã16+bÛ`.

(19) 따라서 기울기가 2이고 점 (3, 4)를 지나는 직선의 방. 일치하므로. 정식은. "Ã16+bÛ`=5. y-4=2(x-3) ∴ y=2x-2. 양변을 제곱하면. 답 y=2x-2. 16+bÛ`=25, bÛ`=9 ∴ b=3 (∵ b>0) ∴ ab=2_3=6. 답 6. 76 타원. 73 xÛ` yÛ` 타원 + =1에 접하고 기울기가 1인 직선의 방 5 4 정식은. yÛ` xÛ` + =1 위의 점 (3, 1)에서의 접선의 방정 12 4. 식은 3x +;4};=1 ∴ y=-x+4 12 이 직선의 x절편은 4, y절편은 4이므로 구하는 삼각형. y=xÑ"Ã5_1Û`+4 ∴ y=xÑ3. 의 넓이는. 따라서 두 직선 사이의 거리는 직선 y=x+3 위의 점 (0, 3)과 직선 y=x-3, 즉 x-y-3=0 사이의 거. ;2!;_4_4=8. 답 8. 리와 같으므로 |-3-3| =3'2 "Ã1Û`+(-1)Û`. 답 3'2. 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 타원 xÛ`+6yÛ`=6 위 의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은. 74. xÁx+6yÁy=6. 점 ('2, 1)이 타원. xÛ` yÛ` + =1 위의 점이므로 a 2. 이 직선이 점 (2, 1)을 지나므로 2xÁ+6yÁ=6 ∴ yÁ=-;3!;xÁ+1. ;a@;+;2!;=1 ∴ a=4 이때 타원. 77. xÛ` yÛ` + =1 위의 점 ('2, 1)에서의 접선 4 2. 또, 점 (xÁ, yÁ)이 타원 xÛ`+6yÛ`=6 위의 점이므로 yy`㉡. xÁÛ`+6yÁÛ`=6 ㉠을 ㉡에 대입하면. 의 방정식은. '2x '2 +;2};=1 ∴ y=x+2 4 2. xÁÛ`+6{-;3!; xÁ+1}Û`=6, 5xÁÛ`-12xÁ=0. 이 직선의 y절편이 2이므로 b=2 ∴ ab=4_2=8. yy`㉠. 답 8. xÁ(5xÁ-12)=0 ∴ xÁ=0 또는 xÁ=:Á5ª: ㉠에서 xÁ=0일 때 yÁ=1, xÁ=:Á5ª:일 때 yÁ=;5!;이므 로 접선의 방정식은. 75 타원 3xÛ`+4yÛ`=48 위의 점 (2, 3)에서의 접선의 방 정식은. y=1, y=-2x+5 따라서 두 접선의 y절편은 각각 1, 5이므로 그 합은 1+5=6. 답 6. 다른풀이 점 (2, 1)을 지나고 기울기가 m인 직선의. 3_2x+4_3y=48 ∴ y=-;2!;x+4. 방정식은. 이 직선과 수직인 직선의 기울기는 2이다.. y-1=m(x-2) ∴ y=mx-2m+1. 개념원리 익히기·확인체크. 19. 확인체크 개념원리 익히기. 즉, 직선 y=-2x+"Ã16+bÛ`이 직선 y=-2x+5와.

(20) 79. 이것을 xÛ`+6yÛ`=6에 대입하면 xÛ`+6(mx-2m+1)Û`=6 ∴ (6mÛ`+1)xÛ`-12m(2m-1)x+24mÛ`-24m=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D ={-6m(2m-1)}Û` 4 -(6mÛ`+1)_(24mÛ`-24m)=0. . ⑴ 2xÛ`-yÛ`=4의 양변을 x에 대하여 미분하면 dy dy 2x 4x-2y =0 ∴ (단, y+0) = y dx dx -4 이때 주어진 점에서의 접선의 기울기는 =-2 2 이므로 구하는 접선의 방정식은. mÛ`+2m=0, m(m+2)=0. y-2=-2(x+2) ∴ y=-2x-2. ∴ m=-2 또는 m=0. ⑵ xÛ`-y=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 dy dy 2x=0 ∴ =2x dx dx. 따라서 접선의 방정식은 y=-2x+5, y=1. 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 이 점에서의 접선. 이므로 두 접선의 y절편의 합은. 의 기울기가 4이므로. 5+1=6. 2xÁ=4 ∴ xÁ=2. yy`㉠. 또, 점 (xÁ, yÁ)이 포물선 xÛ`-y=0 위의 점이므로 yy`㉡. xÁÛ`-yÁ=0 ㉠을 ㉡에 대입하면. 78. 4-yÁ=0 ∴ yÁ=4. yÛ` xÛ` 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 타원 + =1 16 4. 따라서 점 (2, 4)를 지나고 기울기가 4인 직선의. 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁx yÁy + =1 16 4. y-4=4(x-2) ∴ y=4x-4. 방정식은 답 ⑴ y=-2x-2 ⑵ y=4x-4. 이 직선이 점 P(4, 1)을 지나므로 4xÁ yÁ yy`㉠ + =1 ∴ yÁ=-xÁ+4 16 4 yÛ` xÛ` 또, 점 (xÁ, yÁ)이 타원 + =1 위의 점이므로 16 4 xÁÛ` yÁÛ` yy`㉡ + =1 16 4. 80 ⑴ y=-xÑ"Ã5_(-1)Û`-4 ∴ y=-xÑ1. ㉠을 ㉡에 대입하면. ⑵ y=;4!;xÑ¾¨9-16_{;4!;}Û` . xÁÛ` (-xÁ+4)Û` + =1, 5xÁÛ`-32xÁ+48=0 16 4. ∴ y=;4!;xÑ2'2. (5xÁ-12)(xÁ-4)=0. 답 ⑴ y=-xÑ1 ⑵ y=;4!;xÑ2'2. ∴ xÁ=:Á5ª: 또는 xÁ=4 ㉠에서 xÁ=:Á5ª:일 때 yÁ=;5*;, xÁ=4일 때 yÁ=0이다. 따라서 A{:Á5ª:, ;5*;}, B(4, 0)이라 하면 삼각형 PAB 의 무게중심의 y좌표는 1+;5*;+0 3. 20. =;1!5#;. Ⅰ. 이차곡선. 답 ;1!5#;. 81. '2 -4x -'2y =1 ∴ y= x+'2 8 2 2 2y ⑵ - =-1 ∴ y=2 4 ⑴. ⑶ 2x-y=3 ∴ y=2x-3.

(21) . 답 ⑴ y=. '2 x+'2 ⑵ y=2 2. 쌍곡선. ⑶ y=2x-3 ⑷ y=-;9$;x+;9!;. 85 yÛ` xÛ` - =1에 접하고 기울기가 2인 직선의 방 9 16. 정식은 y=2xÑ"Ã9_2Û`-16 ∴ y=2xÑ2'5. 82. 따라서 두 직선 사이의 거리는 직선 y=2x+2'5 위 의 점 (0, 2'5)와 직선 y=2x-2'5, 즉. 답 xÁx, yÁy, 3xÁ, 4yÁ, -5, 3, 0, ;6%;x+;2#;, 3. xÛ` yÛ` 참고 위의 문제와 같이 - =1 꼴의 쌍곡선 밖 aÛ` bÛ` 의 점의 x좌표가 꼭짓점의 x좌표와 같은 경우 판별식 을 이용하여 풀면 두 접선의 방정식을 구할 수 없다.. 2x-y-2'5=0 사이의 거리와 같으므로 |-2'5-2'5| =4 "Ã2Û`+(-1)Û`. 답 4. 따라서 그림을 그려 확인하고 접선의 방정식을 구해야. 86. 한다.. 점 (2, a)가 쌍곡선 -xÛ`+2yÛ`=10 위의 점이므로 -4+2aÛ`=10 ∴ aÛ`=7. 83. 이때 쌍곡선 -xÛ`+2yÛ`=10 위의 점 (2, a)에서의 접. x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45ù인 직선의. 선의 방정식은. 기울기는 tan`45ù=1이므로 쌍곡선 2xÛ`-yÛ`+4=0, xÛ` yÛ` 즉 - =-1에 접하고 기울기가 1인 직선의 방 2 4. -2x+2ay=10. 정식은. ∴ aÛ`+bÛ`=7+(-5)Û`=32. 이 직선이 점 (b, 0)을 지나므로 -2b=10 ∴ b=-5 답 32. y=xÑ"Ã4-2_1Û` ∴ y=xÑ'2. 답 y=xÑ'2. 84 쌍곡선. 87 쌍곡선 2xÛ`-yÛ`=-18 위의 점 (3, -6)에서의 접선. xÛ` yÛ` - =1에 접하고 기울기가 2인 직선의 방 5 a. 의 방정식은 2_3x-(-6y)=-18 . 정식은. ∴ y=-x-3. y=2xÑ"Ã5_2Û`-a ∴ y=2xÑ'Ä20-a. 이 직선과 수직인 직선의 기울기는 1이다.. 즉, 직선 y=2x+'Ä20-a 가 직선 y=2x+4와 일치. 따라서 기울기가 1이고 점 (2, 5)를 지나는 직선의 방. 하므로. 정식은. 'Ä20-a=4. y-5=x-2 ∴ y=x+3. 양변을 제곱하면 20-a=16 ∴ a=4 xÛ` yÛ` 따라서 쌍곡선 - =1에서 'Ä5+4=3이므로 두 5 4 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0). 88 쌍곡선 xÛ`-4yÛ`=12 위의 점 (4, 1)에서의 접선의 방. 따라서 두 초점 사이의 거리는 3-(-3)=6. 답 y=x+3. 정식은 답 6. 4x-4y=12 ∴ y=x-3. 개념원리 익히기·확인체크. 21. 확인체크 개념원리 익히기. ⑷ 2_(-2x)-9y=-1 ∴ y=-;9$;x+;9!;.

(22) 이 직선의 x절편은 3, y절편은 -3이므로 구하는 삼각. 또, 점 (xÁ, yÁ)이 쌍곡선 xÛ`-4yÛ`=4 위의 점이므로. 형의 넓이는. xÁÛ`-4yÁÛ`=4 답 ;2(;. ;2!;_3_3=;2(;. ㉠을 ㉡에 대입하면 16-4yÁÛ`=4, yÁÛ`=3 ∴ yÁ=Ñ'3. 따라서 P(4, '3), Q(4, -'3)이라 하면 선분 PQ의. 89. 길이는. 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 쌍곡선 3xÛ`-yÛ`=-9 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식 은 3xÁx-yÁy=-9. 이 직선이 점 (0, '3)을 지나므로 -'3yÁ=-9 ∴ yÁ=3'3. yy`㉠. 또, 점 (xÁ, yÁ)이 쌍곡선 3xÛ`-yÛ`=-9 위의 점이므로 yy`㉡. 3xÁÛ`-yÁÛ`=-9 ㉠을 ㉡에 대입하여 풀면 xÁ='6, yÁ=3'3 또는 xÁ=-'6, yÁ=3'3 따라서 구하는 접선의 방정식은 y='2x+'3, y=-'2x+'3. 답 y='2x+'3, y=-'2x+'3. . 다른풀이 점 (0, '3)을 지나고 기울기가 m인 직선의. 방정식은 y-'3=mx ∴ y=mx+'3 이것을 3xÛ`-yÛ`=-9에 대입하면 3xÛ`-(mx+'3)Û`=-9 ∴ (mÛ`-3)xÛ`+2'3mx-6=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D =('3m)Û`-(mÛ`-3)_(-6)=0 4 9mÛ`-18=0, mÛ`=2 ∴ m=Ñ'2 따라서 구하는 접선의 방정식은 y='2x+'3, y=-'2x+'3. 90 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 쌍곡선 xÛ`-4yÛ`=4 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁx-4yÁy=4 이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로 xÁ=4. 22. yy`㉡. Ⅰ. 이차곡선. yy`㉠. '3-(-'3)=2'3. 답 2'3.

(23) 확인체크 개념원리 익히기. 97. Ⅱ. 평면벡터. 답. ⑴. ⑵. aø+bø. 91. ⑶. aø. 답 ⑴ 시점: O, 종점: B. aø+bø. aø+bø. bø. bø. bø. aø. aø. ⑵ 시점: D, 종점: C. 92 답 A. 98. B. ⑴. 답. ⑵. ⑴. ⑵. C. ⑶. D. aø-bø. aø. ⑷. bø. ⑶ aø-bø. bø. aø-bø. bø. aø aø. 93 ⑴ |BC³|=BCÓ=4. ⑵ ACÓ="Ã3Û`+4Û`=5. 99. ∴ |AC³|=ACÓ=5 답 ⑴ 4 ⑵ 5. 94. 답 ⑴ AB³ ⑵ CA³ ⑶ AC³, BC³ ⑷ BC³, AC³. 100. 답 ⑴ hø ⑵ fø ⑶ gø ⑷ dø. ⑴ BD³+CA³+DC³. 95. =BD³+DC³+CA³. =BD³+(DC³+CA³) (결합법칙). ㄱ. BC³=AD³=cø . =BD³+DÕA³. ㄴ. CA³=-AC³=-bø . =BÕA³. ㄷ. CD³=BÕA³=-AB³=-aø 따라서 옳은 것은 ㄱ,`ㄴ이다.. (교환법칙). 답 ㄱ, ㄴ. ⑵ AB³+CD³+BC³+DE³ =AB³+BC³+CD³+DE³ . (교환법칙). =(AB³+BC³)+(CD³+DE³) (결합법칙). 96 ⑴ AD³와 크기와 방향이 각각 같은 벡터는 DB³, FE³ ⑵ BE³와 크기는 같지만 방향이 반대인 벡터는 CE³, EB³, FD³³ ⑶ 선분 DE의 길이는 선분 AC의 길이의 ;2!;배이므로 |DE³|=DEÓ=1 답 ⑴ DB³, FE³ ⑵ CE³, EB³, FD³ ⑶ 1. =AC³+CE³ =AE³ ⑶ AB³+DC³+BD³+CA³ =AB³+BD³+DC³+CA³ . (교환법칙). =(AB³+BD³)+(DC³+CA³) (결합법칙) =AD³+DÕA³=AÕA³ =0ø 답 ⑴ BÕA ³ ⑵ AE³ ⑶ 0ø. 개념원리 익히기·확인체크. 23.

(24) 101. ⑶. ⑴ AC³+DÕA³+CB³=DÕA³+AC³+CB³. =(DÕA³+AC³)+CB³ =DC³+CB³. 2aø+3bø. 3bø. 2aø. =DB³. ⑷. ⑵ (좌변)=AC³+BÕA ³. =BA³+AC³. 3bø. =BC³. -2aø+3bø. -2aø. (우변)=AÕD³+BA³+DC³. =AÕD³+DC³+BÕA ³. =(AÕD³+DC³)+BÕA ³. =AC³+BA³. =BA³+AC³. 답 풀이 참조. 105 ⑴ 3(2aø+bø-3cø)-(6aø+5bø-cø). =BC³. =6aø+3bø-9cø-6aø-5bø+cø. ∴ AC³-AB³=AÕD³-AB³+DC³ 답 풀이 참조. =(6-6)aø+(3-5)bø+(-9+1)cø =-2bø-8cø ⑵ ;2!;(aø+2bø-3cø)-;2#;(aø-2bø+cø). 102 ⑴ AB³= AO³+OB³. =;2!;aø+bø-;2#;cø-;2#;aø+3bø-;2#;cø. =-OÕA³+OB³=-aø+bø ⑵ AE³= AO³+OE³=AO³+BO³. ={;2!;-;2#;}aø+(1+3)bø-{;2#;+;2#;}cø. =-OÕA³-OB³=-aø-bø. =-aø+4bø-3cø. 답 ⑴ -aø+bø ⑵ -aø-bø. 답 ⑴ -2bø-8cø ⑵ -aø+4bø-3cø. 다른풀이 ⑴ AB³=OB³-OA³=-aø+bø. ⑵ AE³= OE³-OA³=BO³-OÕA ³. =-OB³-OÕA³=-aø-bø. 106. 103. 두 벡터의 방향이 같거나 반대이면 두 벡터가 서로 평. aø+bø+cø+dø=AB³+BC³+CD³+DÕA ³ =(AB³+BC³)+(CD³+DÕA³). 행하다고 한다.. 따라서 pø와 평행한 벡터는 bø, cø이다.. 답 bø, cø. =AC³+CÕA ³ =AÕA³=0ø. 답 풀이 참조. 107. 104. BA³=CD³=OD³-OC³=aø-bø. ⑴. ⑵ 2aø. 3bø. CA³=-AC³=-2OC³=-2bø ∴ BÕA³+CA³=(aø-bø)+(-2bø) =aø-3bø. 24. Ⅱ. 평면벡터. 답 aø-3bø.

(25) 112. BC³=AC³-AB³=bø-aø이므로. (3x+y-7)aø+(2x-y-8)bø=0ø에서. AE³=AD³+DE³=2BC³+BÕA ³ =2(bø-aø)+(-aø). =-3aø+2bø. 답 ②. 3x+y-7=0. yy`㉠. 2x-y-8=0. yy`㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=-2 ∴ x+y=1. 109. 답 1. ⑴ 3(aø+bø+xø)=2(3bø-2aø)+2xø에서 3aø+3bø+3xø=6bø-4aø+2xø ∴ xø=-7aø+3bø. 113. ⑵ 4(xø-aø+2bø)=3{2aø-;3@; bø }-xø에서. (3k+2l)aø+(k-l-2)bø=(k-l)aø+(l+5)bø. 4xø-4aø+8bø=6aø-2bø-xø. 에서. 5xø=10aø-10bø. 3k+2l=k-l, k-l-2=l+5. ∴ xø=2aø-2bø. ∴ 2k+3l=0, k-2l=7. 답 ⑴ xø=-7aø+3bø ⑵ xø=2aø-2bø. 위의 두 식을 연립하여 풀면 k=3, l=-2 ∴ k-l=5. 110 2xø-yø=-aø. yy`㉠. -3xø+2yø=-bø. yy`㉡. ㉠_2+㉡을 하면 xø=-2aø-bø. 답 5. 다른풀이 주어진 식의 우변을 좌변으로 이항하여 간단. 히 하면 (2k+3l)aø+(k-2l-7)bø=0ø ∴ 2k+3l=0, k-2l-7=0. 이것을 ㉠에 대입하면. 위의 두 식을 연립하여 풀면. -4aø-2bø-yø=-aø. k=3, l=-2 ∴ k-l=5. ∴ yø=-3aø-2bø 답 xø=-2aø-bø, yø=-3aø-2bø. . 111. 114. 2xø-3yø=aø. yy`㉠. 3xø-5yø=bø. yy`㉡. BC³=OC³-OB³=(2aø+kbø)-bø =2aø+(k-1)bø. ㉠_3-㉡_2를 하면 yø=3aø-2bø. BÕA³=OA³-OB³=aø-bø. 이것을 ㉠에 대입하면. 이때 4BC³=mBÕA에 ³ 서. 2xø-9aø+6bø=aø, 2xø=10aø-6bø . 4{2aø+(k-1)bø}=m(aø-bø). ∴ xø=5aø-3bø. 8aø+4(k-1)bø=maø-mbø. ∴ xø-3yø=(5aø-3bø)-3(3aø-2bø) . 따라서 8=m, 4(k-1)=-m이므로. =5aø-3bø-9aø+6bø =-4aø+3bø. 답 -4aø+3bø. m=8, k=-1 ∴ m+2k=8+2_(-1)=6. 개념원리 익히기·확인체크. 답 6. 25. 확인체크 개념원리 익히기. 108.

(26) 115. 118. 두 벡터 pø=4aø-6bø 와 qø=2aø+kbø 가 서로 평행하므. 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면. 로 0이 아닌 실수 m에 대하여. AC³=kAB³. 4aø-6bø=m(2aø+kbø). 를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재해야 한다.. ∴ 4aø-6bø=2maø+kmbø. 이때. 따라서 4=2m, -6=km이므로. AC³=OC³-OÕA³=(3aø+mbø)-aø. m=2, k=-3. 답 -3. yy`㉠. =2aø+mbø AB³=OB³-OÕA³=bø-aø 이므로 이 식을 ㉠에 대입하면. 116. 2aø+mbø=k(bø-aø). 두 벡터 pø-qø와 qø+rø가 서로 평행하려면 yy`㉠. pø-qø=m(qø+rø). 를 만족시키는 0이 아닌 실수 m이 존재해야 한다.. ∴ 2aø+mbø=-kaø+kbø 따라서 2=-k, m=k이므로 k=-2, m=-2. 답 -2. 이때 pø-qø=(9aø-3bø)-(2aø+kbø). 119. =7aø-(k+3)bø qø+rø=(2aø+kbø)+(-8aø+2bø). 답 OA³, OC³, bø, aø, cø, 4, 3. =-6aø+(k+2)bø 이므로 이 식을 ㉠에 대입하면. 120. 7aø-(k+3)bø=m{-6aø+(k+2)bø} ∴ 7aø-(k+3)bø=-6maø+m(k+2)bø. ⑴ AB³-BC³=(OB³-OÕA³)-(OC³-OB³). 따라서 7=-6m, -(k+3)=m(k+2)이므로 m=-;6&;, k=4. =(bø-aø)-(cø-bø) 답 4. =-aø+2bø-cø. 다른풀이 (pø-qø)(qø+rø)이므로. ⑵ 2AB³+BC³-3CA³. pø-qø=7aø-(k+3)bø 와 qø+rø=-6aø+(k+2)bø 에. =2(OB³-OÕA³)+(OC³-OB³)-3(OÕA³-OC³) =2(bø-aø)+(cø-bø)-3(aø-cø) . 서 aø 와 bø의 계수의 비가 같다. 즉,. =-5aø+bø+4cø. -(k+3) 7 이므로 k=4 = -6 k+2. 답 ⑴ -aø+2bø-cø ⑵ -5aø+bø+4cø. 117. 121. 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AC³=kAB³를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재해 야 한다. 즉, (m+1)aø+3bø=k(2aø-bø)에서 (m+1)aø+3bø=2kaø-kbø. 26. Ⅱ. 평면벡터. 3bø+2aø 2aø+3bø = 3+2 5. ⑵ qø=. 3bø-2aø =-2aø+3bø 3-2. ⑶ m²=. 따라서 m+1=2k, 3=-k이므로 k=-3, m=-7. ⑴ pø=. 답 -7. aø+bø 2 답 ⑴. 2aø+3bø aø+bø ⑵ -2aø+3bø ⑶ 5 2.

(27) 125 점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이므로. 3bø+4aø 4aø+3bø = 3+4 7. pø=. 확인체크 개념원리 익히기. 122. GÕA³+GB³+GC³=0ø. 3bø-4aø qø= =4aø-3bø 3-4 답 pø=. 즉, GC³=-GA³-GB³=-aø-bø이므로 4aø+3bø , qø=4aø-3bø 7. BC³=GC³-GB³=(-aø-bø)-bø. =-aø-2bø 따라서 x=-1, y=-2이므로 xÛ`+yÛ`=(-1)Û`+(-2)Û`=5. 126. 123 OÕA³=aø, OB³=bø라 하면 점 M은 선분 OB의 중점이 므로. BP³=;2!; BA³=;2!; aø 2`:`1로 내분하는 점이다.. 점 N은 선분 AM을 2`:`3으로 내분하는 점이므로. =. 점 P는 선분 AB의 중점이므로. 점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이므로 선분 CP를 . OÕM³=;2!; OB³=;2!; bø. ON³=. 답 5. ∴ GP³=;3!; CP³. 2OÕM³+3OÕA³ 2+3. 이때 CP³=BP³-BC³=;2!; aø-bø이므로. 2_;2!;bø+3aø. GP³=;3!;{;2!;aø-bø}. 5. =;5#; aø+;5!; bø 따라서 x=;5#;, y=;5!;이므로. 답 ;5$;. x+y=;5$;. 다른풀이 BP³=;2!; BA³=;2!; aø이고 점 G는 삼각형. ABC의 무게중심이므로 BG³=. 점 P는 선분 OA를 3`:`2로 내. 네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø, pø라 하. bø O. 2. 3 aø. P. A. 또, 점 Q는 선분 PB를 1`:`2로 외분하는 점이므로. aø+bø =;6!; aø-;3!; bø 3. 127. B. 분하는 점이므로. Q. 면 2PA³+3PB³+3PC³=2BA³에서 2(aø-pø)+3(bø-pø)+3(cø-pø)=2(aø-bø) 5bø+3cø=8pø ∴ pø=. OB³-2OP³ =-OB³+2OP³ OQ³= 1-2. 5bø+3cø 3_cø+5_bø = 8 3+5. 따라서 점 P는 선분 BC를 3`:`5로 내분하는 점이므로. =-bø+2_;5#;aø =;5^;aø-bø. BA³+BB³+BC³ aø+bø = 3 3. ∴ GP³=BP³-BG³=;2!; aø-. 124 OP³=;5#; OA³=;5#; aø. 답 ;6!; aø-;3!; bø. =;6!; aø-;3!; bø. m=3k, n=5k (k>0) 답 ;5^;aø-bø. ∴. m =;5#; n. 답 ;5#;. 개념원리 익히기·확인체크. 27.

(28) 132. 다른풀이 2PA³+3PB³+3PC³=2BA³에서. 2PA³+3PB³+3PC³=2(PA³-PB³). ⑴ 2aø-3bø=2(3, -2)-3(-1, 4) . ∴ 5PB³=-3PC³. =(6, -4)+(3, -12) . 따라서 세 점 B, P, C는 한 직선 위에 있고 PB³, PC³. =(6+3, -4-12). 의 방향이 서로 반대이므로 점 P는 선분 BC를 3`:`5 로 내분하는 점이다.. =(9, -16) ⑵ 3(2aø+bø)-2(3aø-2bø)=6aø+3bø-6aø+4bø. m ∴ m=3k, n=5k (k>0) ∴ =;5#; n. =7bø=7(-1, 4) =(-7, 28). 128. 답 ⑴ (9, -16) ⑵ (-7, 28). 네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø, pø라 하 면 4PA³+PB³+2PC³=AB³에서. 133 ⑴ AB³= OB³-OA³. 4(aø-pø)+(bø-pø)+2(cø-pø)=(bø-aø). =(-5, -1)-(3, 2). 5aø+2cø=7pø ∴ pø=. 5aø+2cø 2_cø+5_aø = 7 2+5. 이므로 |AB³|="Ã(-8)Û`+(-3)Û`='73. 따라서 점 P는 선분 AC를. A. 2`:`5로 내분하는 점이므로. △PBC=;7%;△ABC. =(-8, -3). 2. ⑵ AB³= OB³-OA³. P. =(4, -1)-(-2, 3). 5 B. C. =;7%;_42 =30. =(6, -4) 이므로 |AB³|="Ã6Û`+(-4)Û`=2'13 답 ⑴ AB³=(-8, -3), |AB³³|='73. ⑵ AB³=(6, -4), |AB³|=2'13 `. 답 30. 129. 134. 답 ⑴ (2, -5) ⑵ (0, -5). 2(aø+xø)-5(bø-cø)=3(aø-bø+xø)에서 2aø+2xø-5bø+5cø=3aø-3bø+3xø. ⑶ -3eÁ²+2eª² ⑷ 4eÁ². ∴ xø=-aø-2bø+5cø. 130. =-(1, 2)-2(6, 2)+5(3, -1). ⑴ |aø|="Ã(-7)Û`+0Û`=7. =(-1-12+15, -2-4-5) . ⑵ |bø|="Ã4Û`+(-3)Û`=5. =(2, -11). 답 ⑴7 ⑵5. ∴ |xø|="Ã2Û`+(-11)Û`='¶125 =5'5. 131 ⑴ m+2n=3, 6=2m+n. 135. 위의 두 식을 연립하여 풀면. 3(-aø+bø-2cø)+2(2aø-2bø+cø). m=3, n=0. =-3aø+3bø-6cø+4aø-4bø+2cø. ⑵ 2=n-m, 3+m=4에서. =aø-bø-4cø. m=1, n=3. =(3, 2)-(-4, 2)-4(1, -1). 답 ⑴ m=3, n=0 ⑵ m=1, n=3. 28. Ⅱ. 평면벡터. =(3+4-4, 2-2+4)=(3, 4). 답 5'5.

(29) |3(-aø+bø-2cø)+2(2aø-2bø+cø)| ="Ã3Û`+4Û`=5. cø=2aø+3bø를 성분으로 나타내면. 답 성분: (3, 4), 크기: 5. (-3q, 4)=2(3, -p)+3(p+q, 2) =(6, -2p)+(3p+3q, 6). . =(3p+3q+6, -2p+6). 136 -taø+bø=-t(-1, 2)+(3, 4). 두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여 . -3q=3p+3q+6, 4=-2p+6. =(t+3, -2t+4). ∴ |-taø+bø|="Ã(t+3)Û`+(-2t+4)Û` ="Ã5tÛ`-10t+25. 위의 두 식을 연립하여 풀면 . p=1, q=-;2#; ∴ bø={-;2!;, 2}. . '17 ∴ |bø|=¾¨{-;2!;}Û`+2Û`= 2. ="Ã5(t-1)Û`+20 y. 이때 f(t)=5(t-1)Û`+20이라 하면 0ÉtÉ2에서 f(t)는 t=0 또는 t=2일 때 최댓값 25, t=1. y=f(t). '17 2. 25 20. 일 때 최솟값 20을 갖는다. 따라서 |-taø + bø | 의 최댓값과. 답. O 12. t. 최솟값을 구하면. t=0 또는 t=2일 때, 최댓값은 '25=5. t=1일 때, 최솟값은 '20=2'5. 답 최댓값: 5, 최솟값: 2'5. 139 AB³=OB³-OA³=(1, 1)-(0, 3) =(1, -2) DC³=OC³-OD³=(x, y)-(2, 6). . =(x-2, y-6) 이때 AB³=DC³이므로 (1, -2)=(x-2, y-6) 두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여 1=x-2, -2=y-6 ∴ x=3, y=4 . 137 ⑴ cø=kaø+lbø`(k, l은 실수)라 하면. ∴ x+y=7. 답 7. (3, -2)=k(-1, 4)+l(2, -3) =(-k+2l, 4k-3l) 두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여. 140. 3=-k+2l, -2=4k-3l. 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면. 위의 두 식을 연립하여 풀면. PA³=(2, 0)-(x, y)=(2-x, -y). k=1, l=2 ∴ cø=aø+2bø. PB³= (-3, 1)-(x, y)=(-3-x, 1-y). ⑵ dø=kaø+lbø`(k, l은 실수)라 하면. CP³=(x, y)-(4, 5)=(x-4, y-5). (-5, 0)=k(-1, 4)+l(2, -3) . 이때 PA³+PB³=CP³이므로. =(-k+2l, 4k-3l). (2-x, -y)+(-3-x, 1-y)=(x-4, y-5). 두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여. (-1-2x, 1-2y)=(x-4, y-5). -5=-k+2l, 0=4k-3l. 두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여. 위의 두 식을 연립하여 풀면. -1-2x=x-4, 1-2y=y-5. k=-3, l=-4 ∴ dø=-3aø-4bø. ∴ x=1, y=2. 답 ⑴ aø+2bø ⑵ -3aø-4bø. 따라서 구하는 점 P의 좌표는 (1, 2). 답 (1, 2). 개념원리 익히기·확인체크. 29. 확인체크 개념원리 익히기. 138. 또, 주어진 벡터의 크기를 구하면.

(30) 다른풀이 PA³+PB³=CP³에서. 다른풀이 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)에 대하여 aøbø일. PA³+PB³-CP³=0ø ∴ PA³+PB³+PC³=0ø. yy`㉠. 이때 PA³, PB³, PC³는 각각 점 P에 대한 세 점 A, B, C의 위치벡터이므로 ㉠을 만족시키는 점 P는 삼각형 ABC의 무게중심이다.. bÁ bª = 임을 이용하면 aÁ aª. 5+3k 4+7k ∴ k=-;2!; = -7 -1. 143. 따라서 점 P의 좌표는 {. 때. 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면. 2-3+4 0+1+5 , } ∴ (1, 2) 3 3. AP³=(x, y)-(-2, 4)=(x+2, y-4) BP³=(x, y)-(5, 3)=(x-5, y-3) 이때 |AP³|=|BP³|이므로. "Ã(x+2)Û`+(y-4)Û`="Ã(x-5)Û`+(y-3)Û`. 141. 양변을 제곱하여 정리하면. aøbø이므로 aø=kbø`(k+0)라 하면. 7x-y-7=0. (3x+1, -5)=k(-2, x)=(-2k, kx). 답 7x-y-7=0. 참고 세 점 A, B, P에 대하여. 두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여. |AP³|=|BP³|에서 APÓ=BPÓ. 3x+1=-2k, -5=kx -5=kx에서 k=-;[%;이므로 이것을 3x+1=-2k. 즉, 점 P는 두 점 A, B로부터의 거리가 같은 점이므 로 점 P의 자취는 ABÓ의 수직이등분선이다.. 에 대입하면 3x+1=. 144. 10 , 3xÛ`+x-10=0 x. (x+2)(3x-5)=0 . 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면. ∴ x=-2 또는 x=;3%;. PA³=(1, 2)-(x, y)=(1-x, 2-y) PB³=(3, -1)-(x, y)=(3-x, -1-y). 따라서 모든 x의 값의 합은. PC³=(-1, -2)-(x, y)=(-1-x, -2-y). -2+;3%;=-;3!;. 답 -;3!;. ∴ PA³+PB³+PC³ =(1-x, 2-y)+(3-x, -1-y) +(-1-x, -2-y). =(3-3x, -1-3y). 142 aø+kcø=(5, 4)+k(3, 7)=(5+3k, 4+7k) bø-aø=(-2, 3)-(5, 4)=(-7, -1) 이때 두 벡터 aø+kcø와 bø-aø가 서로 평행하므로 aø+kcø=t(bø-aø) (t+0)라 하면 (5+3k, 4+7k)=t(-7, -1)=(-7t, -t) 두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여. 이때 |PA³+PB³+PC³|=2이므로 "Ã(3-3x)Û`+(-1-3y)Û`=2. 양변을 제곱하면 (3-3x)Û`+(-1-3y)Û`=4 ∴ (x-1)Û`+{y+;3!;}Û`=;9$;` 따라서 점 P가 그리는 도형은 점 {1, -;3!;}을 중심으. 5+3k=-7t, 4+7k=-t. 로 하고 반지름의 길이가 ;3@;인 원이므로 구하는 둘레. 위의 두 식을 연립하여 풀면. 의 길이는. t=-;2!;, k=-;2!;. 30. Ⅱ. 평면벡터. 답 -;2!;. 2p_;3@;=;3$;p. 답 ;3$;p.

(31) ⑵ a• ø bø=2_(-'3 )+(-2'3 )_1=-4'3 a• ø bø<0이므로 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 . ⑴ aø•bø=|aø||bø| cos`30ù =4_3_. '3 =6'3 2. h`(90ù<hÉ180ù)라 하면 cos (180ù-h). ⑵ aø•bø=-|aø||bø| cos (180ù-120ù) =-4_3_;2!;=-6. ⑶ aø•bø=-|aø||bø| cos (180ù-180ù) =-4_3_1=-12. 답 ⑴ 6'3 ⑵ -6 ⑶ -12. =-. aø•bø |aø||bø|. -4'3 "Ã2Û`+(-2'3 )Û` "Ã(-'3 )Û`+1Û` '3 = 2. =-. 따라서 180ù-h=30ù이므로 h=150ù 답 ⑴ 60ù ⑵ 150ù. 146. 149. ⑴ aø•bø=3_(-4)+2_6=0 ⑵ aø•bø=2_3+(-1)_4=2. 오른쪽 그림과 같이 OAÓ의 연장. ⑶ aø•bø=(-2)_5+4_0=-10. O. 선 위에 OA³=AC³인 점 C를 잡. 답 ⑴ 0 ⑵ 2 ⑶ -10. 으면 두 벡터 AC³와 AB³가 이루. A. B. 120ù. 는 각의 크기는 120ù이므로 OA³•AB³. 147. =AC³•AB³. ⑴ aø•(aø+2bø). =-|AC³||AB³|cos (180ù-120ù). =aø•aø+2aø•bø. =-4_4_;2!;=-8. =|aø|Û`+2aø•bø. C. 다른풀이 OA³•AB³. =3Û`+2_5=19 ⑵ (3aø-bø)•(aø+bø) =3aø•aø+3aø•bø-bø•aø-bø•bø. 답 -8. =OA³•(OB³-OA³). =OA³•OB³-|OA³|Û`. =|OA³||OB³| cos`60ù-|OA³|Û`. =3|aø|Û`+2aø•bø-|bø|Û`. =4_4_;2!;-4Û`=-8. =3_3Û`+2_5-4Û`=21 답 ⑴ 19 ⑵ 21. . 150 148 ⑴ aø•bø=0_(-2'3 )+1_2=2 a• ø bø¾0이므로 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면 aø•bø 2 cos`h= =;2!; = |aø||bø| "Ã0Û`+1Û` "Ã(-2'3)Û`+2Û` ∴ h=60ù. ⑴ OA³•OB³=|OA³||OB³|cos`60ù =2_2_;2!;=2 ⑵ FE³=BC³이고 ∠ABC=120ù이므로 BA³•FE³=BA³•BC³. =-|BA³||BC³|cos (180ù-120ù) =-2_2_;2!;=-2. 개념원리 익히기·확인체크. 31. 확인체크 개념원리 익히기. 145.