연습문제·실력

연습문제 실력

U P

연습문제·실력 UP

51

Ⅰ .

이차곡선

1

꼭짓점의 좌표가 (0, 0)이므로 구하는 포물선의 방정 식을 yÛ`=4px 또는 xÛ`=4py (p+0)라 하자.

이 포물선이 점 (4, 2)를 지나므로 Ú yÛ`=4px에서 4=16p ∴ p=;4!;

∴ yÛ`=x

Û xÛ`=4py에서 16=8p ∴ p=2

∴ xÛ`=8y

Ú, Û에서 구하는 포물선의 방정식은

yÛ`=x, xÛ`=8y 답 yÛ`=x, xÛ`=8y

2

포물선 (y-3k)Û`=8k(x-k+1)은 포물선 yÛ`=8kx 를 x축의 방향으로 k-1만큼, y축의 방향으로 3k만큼 평행이동한 것이다.

포물선 yÛ`=8kx의

초점의 좌표는 (2k, 0), 준선의 방정식은 x=-2k 이므로 주어진 포물선의

초점의 좌표는 (3k-1, 3k), 준선의 방정식은 x=-k-1이다.

이때 점 (3k-1, 3k)가 y축 위에 있으므로 3k-1=0 ∴ k=;3!;

따라서 준선의 방정식은 x=-;3$; ^답 x=-;3$;

3

포물선 yÛ`+2ay-4x+9=0, 즉

(y+a)Û`=4{x- 9-aÛ`4 }은 포물선 yÛ`=4x를 x축의 방향으로 9-aÛ`4 만큼, y축의 방향으로 -a만큼 평행 이동한 것이므로 꼭짓점의 좌표는 { 9-aÛ`4 , -a}

포물선 xÛ`-2x-8y+b=0, 즉

(x-1)Û`=8{y- b-18 }은 포물선 xÛ`=8y를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 b-18 만큼 평행이동 한 것이므로 꼭짓점의 좌표는

{1, b-18 }

이때 두 점 { 9-aÛ`4 , -a}, {1, b-1

8 }이 직선 y=x 에 대하여 대칭이므로

-a=1에서 a=-1 9-aÛ`

4 =b-1

8 에서 2=b-1

8 ∴ b=17

∴ b-a=17-(-1)=18 답 18

4

포물선 yÛ`=8x=4_2x의 초점

x

x=-2 y

O F H

-2

yÛ =8x P(a,b)

F의 좌표는 (2, 0), 준선의 방 정식은 x=-2이다.

점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 포물선의 정의 에 의하여 PHÓ=PFÓ=4이므로 a+2=4 (∵ a>0) ∴ a=2 이때 점 P는 포물선 yÛ`=8x 위의 점이므로 bÛ`=8_2=16 ∴ b=4 (∵ b>0)

∴ a+b=2+4=6 답 ④

5

포물선 xÛ`=12y=4_3y xÛ =12y

B C A

y=-3 -3

x y

O

의 준선의 방정식은 y=-3이다.

포물선 위의 세 점 A, B, C의 y좌표를 각각 a, b, c

라 하면 세 점에서 준선까지의 거리의 합이 21이므로 (a+3)+(b+3)+(c+3)=21

기본서(기하)해설051~104_연습.indd 51 19. 6. 4. 오후 1:51

6

포물선 yÛ`=kx=4_;4K;x의 초점 F의 좌표는 {;4K;, 0}, 준선의 방정식은 x=-;4K;이다.

점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 Q라 하면 포물선의 정의에 의하여

PQÓ=PFÓ=4

이때 직각삼각형 PFH에서 FHÓ=4`cos`60ù=2

이므로 PQÓ=2OFÓ+FHÓ에서

2_;4K;+2=4, ;2K;=2 ∴ k=4 ^답 4

7

포물선 xÛ`=4y의 초점 F의 좌표는 (0, 1), 준선의 방 정식은 y=-1이다.

오른쪽 그림과 같이 점 F에서 xÛ =4y

F1 H P

Q x y

y=-1 O-1

선분 PH에 내린 수선의 발을 Q라 하면 삼각형 PFH가 정삼 각형이므로 점 Q는 선분 PH를 이등분한다.

이때 점 Q의 y좌표는 점 F의 y좌표와 같으므로 QHÓ=1-(-1)=2 ∴ PHÓ=2QHÓ=4 따라서 점 P의 좌표를 {a, aÛ`4 }`(a>0)이라 하면 PHÓ= aÛ`4 -(-1)=4, aÛ`=12

∴ a=2'3 (∵ a>0)

∴ P(2'3, 3) ^답 (2'3, 3) 다른풀이 포물선 xÛ`=4y의 초점 F의 좌표는 (0, 1), 준선의 방정식은 y=-1이다.

점 P의 좌표를 {a, aÛ`4 }`(a>0)이라 하면 H(a, -1) 이때 삼각형 PFH가 정삼각형이므로 FHÓ=PHÓ

"ÃaÛ`+(-1-1)Û`= aÛ`4 +1 양변을 제곱하여 정리하면

aÝ`-8aÛ`-48=0, (aÛ`+4)(aÛ`-12)=0 aÛ`=12 ∴ a=2'3 (∵ a>0)

∴ P(2'3, 3)

8

포물선 yÛ`=4x의 초점 F의 좌표는 (1, 0), 준선의 방 정식은 x=-1이다.

오른쪽 그림과 같이 두 점 A, yÛ =4x

x

x=-1 -1

y 3k 3k

l

k k2k O F A' A

B' C

B

B에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라 하면 포물선의 정의에 의하여 AFÓ=AÕA'Ó, BFÓ=BÕB'Ó 또, 점 A에서 BÕ'BÓ의 연장선 에 내린 수선의 발을 C라 하

고 AFÓ=3k`(k>0)라 하면 AFÓ`:`BFÓ=3`:`1이므로 BÕ'BÓ=BFÓ=k, BÕ'CÓ=AÕ'AÓ=3k

이고

BCÓ =BÕ'CÓ-BÕ'BÓ=3k-k=2k 직각삼각형 ABC에서

ACÓ="Ã(4k)Û`-(2k)Û`=2'3k 따라서 직선 l의 기울기는

ACÓ BCÓ=2'3k

2k ='3 ^답 '3

∴ a+b+c=12

따라서 삼각형 ABC의 무게중심의 y좌표는 a+b+c

3 =:Á3ª:=4 ^답 4

9

xÛ`-8y+16=0에서 xÛ`=8(y-2)

점 P의 좌표를 (a, b)라 하면 점 P는 포물선 위의 점 이므로

aÛ`=8(b-2) yy`㉠

선분 OP의 중점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면 x=;2A;, y=;2B;

∴ a=2x, b=2y yy`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 (2x)Û`=8(2y-2)

∴ xÛ`=4(y-1) 답 ②

연습문제 실력 yÛ`=8_4=32에서 y=4'2

∴ D(4, 4'2) aÛ`-5a+4=0, (a-1)(a-4)=0

∴ a=1 (∵ 0<a<2)

bÛ`=1`(a>b>0) 이라 하자.

bÛ`=1`(b>a>0) 이라 하자. ABÓ+APÓ+PBÓ ¾ABÓ+BÕH'Ó

="Ã3Û`+(-5+1)Û`+6

=5+6=11

따라서 삼각형 ABP의 둘레의 길이의 최솟값은 11이

다. 답 11

기본서(기하)해설051~104_연습.indd 53 19. 6. 4. 오후 1:51

14

타원 (x-2)Û`

a +(y-2)Û`

4 =1은 타원 xÛ`a +yÛ`

4 =1 을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행 이동한 것이다.

또, 두 초점이 x축과 평행한 직선 위에 있으므로 a>4

이때 타원 xÛ`a +yÛ`

4 =1의 초점의 좌표는 ('Äa-4, 0), (-'Äa-4, 0)

이므로 타원 (x-2)Û`

a +(y-2)Û`

4 =1의 초점의 좌표는 ('Äa-4+2, 2), (-'Äa-4+2, 2)

이것이 (6, b), (-2, b)와 일치하므로 'Äa-4+2=6, 2=b, -'Äa-4+2=-2에서 a-4=16, b=2

따라서 a=20, b=2이므로

ab=40 답 ①

15

4xÛ`-24x+16yÛ`-64y+84=0에서 4(x-3)Û`+16(y-2)Û`=16

∴ (x-3)Û`

4 +(y-2)Û`=1

즉, 주어진 타원은 타원 xÛ`4 +yÛ`=1을 x축의 방향으 로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.

① 장축은 x축과 평행하다.

② 중심의 좌표는 (3, 2)이다.

③ 타원 xÛ`4 +yÛ`=1의 초점의 좌표는 ('3, 0), (-'3, 0)이므로 타원 (x-3)Û`

4 +(y-2)Û`=1의 초점의 좌표는 ('3+3, 2), (-'3+3, 2)

즉, 두 초점 사이의 거리는 '3+3-(-'3+3)=2'3

④ 장축의 길이는 2_2=4, 단축의 길이는 2_1=2 이므로 장축의 길이는 단축의 길이의 2배이다.

16

삼각형 AF'F는 한 변의 길이가 6인 정삼각형이므로 타원 xÛ`

aÛ`+yÛ`

bÛ`=1의 두 초점 F, F'의 좌표를 각각 (c, 0), (-c, 0)`(c>0)이라 하면

FÕF'Ó=2c=6 ∴ c=3 또, 타원의 정의에 의하여

AFÓ+AÕF'Ó=2a=12 ∴ a=6 따라서 bÛ`=aÛ`-cÛ`=36-9=27이므로

aÛ`+bÛ`=36+27=63 답 63

17

5xÛ`+9yÛ`=45에서 xÛ`9 +yÛ`

5 =1 'Ä9-5=2이므로 타원의 초점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)

즉, 점 A(-2, 0)은 타원의 한 초점이다.

한편, 포물선 yÛ`=8x=4_2x의 초점의 좌표는 (2, 0), 준선의 방정식은 x=-2이다.

따라서 F(2, 0)이라 하면 타원과 포물선의 정의에 의 하여

APÓ+PQÓ=APÓ+PFÓ=2_3=6 답 6

18

A(a, 0), A'(-a, 0), F(c, 0), F'(-c, 0)`(c>0) 이라 하자.

삼각형 PA'A의 넓이가 삼각형 PF'F의 넓이의 2배이 고 높이가 같으므로

AÕ'AÓ=2FÕ'ÕFÓ

a-(-a)=2{c-(-c)} ∴ a=2c yy`㉠

또, 타원의 정의에 의하여 PFÓ+PÕF'Ó=2a이고 삼각형 PF'F의 둘레의 길이가 6이므로

PFÓ+PÕF'Ó+FÕ'FÓ=2a+2c=6

∴ a+c=3 yy`㉡

⑤ 타원 위의 임의의 점에서 두 초점까지의 거리의 합 은 장축의 길이와 같으므로 2_2=4

따라서 옳은 것은 ③이다. 답 ③

연습문제 실력

U P

연습문제·실력 UP

55

19

주어진 타원의 두 초점은

c x y

-c O cF P F'

F(c, 0), F'(-c, 0)이 므로 FÕF'Ó=2c

원의 반지름의 길이가 c이 므로 PFÓ=c

한편, 직선 PF'은 원 위의 한 점 P에서의 접선이므로

∠F'PF=90ù

즉, 삼각형 PF'F는 ∠F'PF=90ù인 직각삼각형이 므로

PÕF'Ó="Ã(2c)Û`-cÛ`='3c

이때 타원의 장축의 길이가 4이므로 타원의 정의에 의 하여

PFÓ+PÕF'Ó=c+'3c=4

∴ c= 4

'3+1= 4('3-1) ('3+1)('3-1)

=2'3-2 ^답 ④

다른풀이 FÕF'Ó=2c, PFÓ=c이고, 타원의 정의에 의하 여 PFÓ+PÕF'Ó=4이므로

PÕF'Ó=4-c

한편, 삼각형 PF'F는 ∠F'PF=90ù인 직각삼각형이 므로

(4-c)Û`+cÛ`=(2c)Û`, cÛ`+4c-8=0

∴ c=2'3-2 (∵ c>0)

20

다리를 x축, 타원의 중심을 지나고 x축에 수직인 직선 을 y축이라 하고 타원의 방정식을

xÛ`

aÛ`+yÛ`

bÛ`=1`(a>b>0) 이라 하자.

타원의 장축의 길이가 40`m이므로 2a=40 ∴ a=20

타원의 중심에서 아치의 높이가 12`m이므로 b=12

21

타원의 방정식을 xÛ`

aÛ`+yÛ`

bÛ`=1`(a>b>0)이라 하면 장축의 길이는 2a이고, 밑면의 지름의 길이는 20이므로 2a_cos`45ù=20 ∴ a=10'2

단축의 길이는 2b이므로 2b=20 ∴ b=10

이때 "Ã(10'2)Û`-10Û`=10이므로 두 초점의 좌표는 (10, 0), (-10, 0)

따라서 두 초점 사이의 거리는 20이다. 답 20

22

타원 xÛ`100 +yÛ`

36 =1의 또 다른 초점을 F'이라 하면 'Ä100-36=8이므로 두 초점 F, F'의 좌표는 각각 (8, 0), (-8, 0)

타원의 정의에 의하여

FÕP_kÓ+FÕ'P_kÓ=2_10=20 (단, k=1, 2, y, 9) 주어진 타원은 y축에 대하여 대칭이므로

FÕ'PÁÓ=FÕP»Ó, FÕ'PªÓ=FÕP¥Ó, FÕ'P£Ó=FÕP¦Ó, FÕ'P¢Ó=FÕP¤Ó 또한, 직각삼각형 P°OF에서

FÕP°Ó="Ã8Û`+6Û`=10

∴ FÕPÁÓ+FÕPªÓ+FÕP£Ó+`y`+FÕP»Ó

=FÕPÁÓ+FÕPªÓ+FÕP£Ó+FÕP¢ÓÓ+FÕP°Ó+FÕ'P¢Ó+FÕ'P£Ó +FÕ'PªÓ+FÕ'PÁÓ =(FÕPÁÓ+FÕ'PÁÓ)+(FÕPªÓ+FÕ'PªÓ)

+(FÕP£Ó+FÕ'P£Ó)+(FÕP¢Ó+FÕ'P¢Ó)+FÕP°Ó

=4_20+10=90 답 90

∴ xÛ`400 + yÛ`

144 =1 (단, y¾0) yy`㉠

이때 중심으로부터 10`m 떨어진 다리 위의 지점에서 아치의 높이가 h`m이므로 ㉠에 x=10, y=h를 대입 하면

;4!0)0);+ hÛ`144 =1, hÛ`=108

∴ h=6'3 (∵ h>0) ^답 6'3

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, c=1 따라서 bÛ`=aÛ`-cÛ`=4-1=3이므로

aÛ`+bÛ`=4+3=7 답 7

기본서(기하)해설051~104_연습.indd 55 19. 6. 4. 오후 1:51

24

타원 xÛ`16 +yÛ`

7 =1에서

x y

F' O F

P H

-4 4

-17

'Ä16-7=3이므로 두 초 17

점 중 x좌표가 양수인 점 을 F, 음수인 점을 F'이라 하면

F(3, 0), F'(-3, 0)

∴ FÕ'FÓ=6

타원의 정의에 의하여 PFÓ+PÕF'Ó=2_4=8 이때 PÕF'Ó`:`PFÓ=3`:`1이므로 PÕF'Ó=3PFÓ

PFÓ+PÕF'Ó=PFÓ+3PFÓ=4PFÓ=8

∴ PFÓ=2, PÕF'Ó=6

한편, 삼각형 PF'F는 FÕ'PÓ=FÕ'FÓ=6인 이등변삼각형 이므로 점 F'에서 선분 PF에 내린 수선의 발을 H라 하면

FHÓ=;2!; PFÓ=;2!;_2=1 직각삼각형 F'FH에서 FÕ'HÓ="Ã6Û`-1Û`='3Œ5 따라서 삼각형 PFF'의 넓이는

;2!;_PFÓ_FÕ'HÓ=;2!;_2_'3Œ5='3Œ5 ^답 '3Œ5

25

두 점 A, B의 좌표를 각각 (a, 0), (0, b)라 하면 선분 AB의 길이는 5이므로

"ÃaÛ`+bÛ`=5

∴ aÛ`+bÛ`=25 yy`㉠

한편, 선분 AB를 3`:`2로 내분하는 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

x= 3_0+2_a3+2 = 2a5 y= 3_b+2_03+2 = 3b5

∴ a= 5x2 , b=5y

3 yy`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 { 5x2 }Û`+{ 5y3 }Û`=25

∴ xÛ`4 +yÛ`

9 =1 ^답 xÛ`

4 +yÛ`

9 =1

26

a>0이라 하면 주어진 쌍곡선의 주축의 길이는 2a이 므로 쌍곡선의 초점의 좌표를

(c, 0), (-c, 0)`(c>0) 이라 하면

cÛ`=aÛ`+bÛ` yy`㉠

또, 두 초점 사이의 거리가 주축의 길이의 4배이므로 c-(-c)=4_2a ∴ c=4a

c=4a를 ㉠에 대입하면 (4a)Û`=aÛ`+bÛ`, bÛ`=15aÛ`

{;aB;}Û`=15 ∴ ;aB;=Ñ'1Œ5 따라서 쌍곡선의 점근선의 방정식은

y=Ñ'1Œ5x ^답 y=Ñ'1Œ5x

27

두 초점이 x축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정식을 xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=1`(a>0, b>0) 이라 하자.

23

PFÓ=a, PÕF'Ó=b`(b>a)라 하면 타원의 정의에 의하여

a+b=2_3=6 yy`㉠

'Ä9-4='5이므로 FÕF'Ó=2'5

삼각형 PF'F는 ∠FPF'=90ù인 직각삼각형이므로 aÛ`+bÛ`=(2'5)Û`=20 yy`㉡

㉠에서 b=6-a이므로 이것을 ㉡에 대입하면 aÛ`+(6-a)Û`=20

aÛ`-6a+8=0, (a-2)(a-4)=0

∴ a=2, b=4 (∵ b>a) 따라서 삼각형 QF'F의 넓이는

;2!;_QFÓ_PÕF'Ó=;2!;_6_4=12 ^답 12

연습문제 실력

U P

연습문제·실력 UP

57

28

4xÛ`-yÛ`-24x+4y+28=0에서 4(x-3)Û`-(y-2)Û`=4

∴ (x-3)Û`-(y-2)Û`

4 =1

즉, 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 xÛ`-yÛ`

4 =1을 x축의 방 향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.

ㄱ. 주축의 길이는 2_1=2 ㄴ. 주축은 x축에 평행하다.

ㄷ. 쌍곡선 xÛ`-yÛ`

4 =1의 초점의 좌표는 ('5, 0), (-'5, 0) ^{Û 'Ä1+4='5} 이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는 ('5+3, 2), (-'5+3, 2)

ㄹ. 쌍곡선 xÛ`-yÛ`

4 =1의 점근선의 방정식이 y=Ñ2x 이므로 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y-2=Ñ2(x-3)

∴ y=2x-4, y=-2x+8

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ

29

xÛ`-yÛ`+2y+k=0에서 xÛ`-(y-1)Û`=-k-1

∴ xÛ`

k1 -(y-1)Û`

-k-1 =1 yy`㉠

㉠이 x축에 평행한 주축을 갖는 쌍곡선의 방정식이 되 려면 xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=1 꼴이어야 하므로

-k-1>0 ∴ k<-1 답 ①

30

쌍곡선 xÛ`4 -yÛ`

12 =1에서

O P

F' F

-2

2 x

y

'Ä4+12=4이므로 두 초점 중 x 좌표가 양수인 점을 F, 음수인 점을 F'이라 하면

F(4, 0), F'(-4, 0)

∴ FÕF'Ó=8

쌍곡선의 정의에 의하여 PFÓ-PÕF'Ó=2_2=4 이때 PFÓ`:`PÕF'Ó=3`:`2이므로 PFÓ=3k, PÕF'Ó=2k`(k>0)라 하면 PFÓ-PÕF'Ó=3k-2k=4 ∴ k=4

∴ PFÓ=12, PÕF'Ó=8

따라서 삼각형 PFF'의 둘레의 길이는

PFÓ+PÕF'Ó+FÕF'Ó=12+8+8=28 답 28

31

타원 xÛ`

aÛ`+yÛ`

cÛ`=1과 쌍곡선 xÛ`bÛ`-yÛ`

cÛ`=1의 두 초점이 일치하므로

aÛ`-cÛ`=bÛ`+cÛ` ∴ 2cÛ`=aÛ`-bÛ` yy`㉠

타원의 정의에 의하여 PFÓ+PÕF'Ó=2|a|이므로 4+12=2|a| ∴ |a|=8

쌍곡선의 정의에 의하여 PÕF'Ó-PFÓ=2|b|이므로 12-4=2|b| ∴ |b|=4

따라서 |a|=8, |b|=4를 ㉠에 대입하면 2cÛ`=64-16=48

∴ cÛ`=24 답 24

조건 ㈎에서 두 초점의 좌표가 (5, 0), (-5, 0)이므로

aÛ`+bÛ`=5Û`=25 yy`㉠

두 점근선의 방정식은 y=Ñ;aB;x이고, 조건 ㈏에서 두 점근선이 서로 수직이므로

;aB;_{-;aB;}=-1 ∴ bÛ`=aÛ` yy`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 aÛ`+aÛ`=25, aÛ`=:ª2°:

∴ a=5'2

2 (∵ a>0) 따라서 쌍곡선의 주축의 길이는 2a=2_5'2

2 =5'2 ^답 ④

기본서(기하)해설051~104_연습.indd 57 19. 6. 4. 오후 1:51

33

두 초점이 x축 위에 있으므로 평행이동하기 전의 쌍곡 선의 방정식을

xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=1`(a>0, b>0) 이라 하자.

주축의 길이가 4이므로 2a=4 ∴ a=2 aÛ`+bÛ`=4Û`에서 bÛ`=4Û`-2Û`=12

∴ xÛ`4 -yÛ`

12 =1 yy`㉠

쌍곡선 ㉠을 x축의 방향으로 6만큼 평행이동한 쌍곡선 의 방정식은

(x-6)Û`

4 - yÛ`

12 =1 yy`㉡

34

3xÛ`-4yÛ`+16y-28=0에서 3xÛ`-4(y-2)Û`=12

∴ xÛ`4 -(y-2)Û`

3 =1 yy`㉠

이 쌍곡선은 쌍곡선 xÛ`4 -yÛ`

3 =1을 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.

이때 쌍곡선 xÛ`4 -yÛ`

3 =1의 점근선의 방정식은 y=Ñ '3

2 x이므로 ㉠의 점근선의 방정식은 y-2=Ñ '3

2 x ∴ y=Ñ'3 2 x+2 따라서 구하는 넓이는 오른쪽

O 2

x y

-;////3////;-413 ;////3////;-413

그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로

;2!;_8'3 3 _2=

8'3 3

답 ⑤

35

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 PFÓ="Ã(x+4)Û`+yÛ`

점 P와 직선 x=-1 사이의 거리는

|x+1|

이때 점 P에서 점 F에 이르는 거리와 직선 x=-1에 이르는 거리의 비가 2`:`1이므로

"Ã(x+4)Û`+yÛ``:`|x+1|=2`:`1

"Ã(x+4)Û`+yÛ`=2|x+1|

㉠-㉡을 하면 xÛ`4 -(x-6)Û`

4 =0 12x-36=0 ∴ x=3 x=3을 ㉠에 대입하면

;4(;- yÛ`12 =1, yÛ`=15

∴ y=Ñ'1Œ5

따라서 두 점 A, B의 좌표는 (3, '1Œ5), (3, -'1Œ5) 이므로 선분 AB의 길이는 2'1Œ5이다. ^답 ④

32

원 xÛ`+yÛ`=8과 쌍곡선 xÛ`

aÛ`-yÛ`

bÛ`=1은 모두 원점을 중심으로 하고 원점, x축, y축에 대하여 대칭인 도형 이다.

즉, 원과 쌍곡선이 만나는 네 점이 원의 둘레를 4등분 하려면 이 네 점은 원과 직선 y=Ñx의 교점이어야 한다.

이때 xÛ`+yÛ`=8에 y=Ñx를 대입하면 xÛ`+xÛ`=8, xÛ`=4

∴ x=Ñ2

따라서 원과 직선 y=Ñx의 교점의 좌표는 (2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2) 한편, 쌍곡선이 점 (2, 2)를 지나므로

4

aÛ`- 4bÛ`=1 yy`㉠

쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 y='2x이므로

;aB;='2, b='2a ∴ bÛ`=2aÛ` yy`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 4

aÛ`- 42aÛ`=1, 2aÛ`=1

∴ aÛ`=2

이것을 ㉡에 대입하면 bÛ`=4

∴ aÛ`+bÛ`=2+4=6 답 ③

연습문제 실력

U P

연습문제·실력 UP

59

37

쌍곡선 3xÛ`-4yÛ`=12, 즉

P(xÁ,yÁ) Q

R

㉠

㉡

x y

O

xÛ`4 -yÛ`

3 =1의 점근선의 방정식은

y=Ñ '3 2 x

∴ '3x-2y=0 yy`㉠

'3x+2y=0 yy`㉡

쌍곡선 위의 임의의 점 P의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하고, 점 P에서 직선 ㉠, ㉡에 내린 수선의 발을 각각 Q, R 라 하면

38

타원 xÛ`25 + yÛ`

타원 xÛ`25 + yÛ`

문서에서 2020 개념원리 기하 답지 정답 (페이지 51-104)