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43
212
ABÓ=2ACÓ에서 ABÓ Û`=4ACÓ Û`이므로 (2k)Û`+(-1-1)Û`+(0-2)Û`
=4{(-1)Û`+(2-1)Û`+(k-1)Û`}
4kÛ`+8=4kÛ`-8k+12
8k=4 ∴ k=;2!; 답 ;2!;
213
좌표공간에서 원점을 O라 하고 xy평면 위의 직선 y=x 위의 점 Q의 좌표를 (t, t, 0)`(t+0)이라 하면 삼각형 POQ는 ∠PQO=90ù인 직각삼각형이므로 OPÓ Û`=OQÓ Û`+PQÓ Û`에서
2Û`+3Û`+1Û`=tÛ`+tÛ`+(t-2)Û`+(t-3)Û`+(-1)Û`
2tÛ`-5t=0, t(2t-5)=0
∴ t=;2%; (∵ t+0)
∴ PQÓ=¾¨{;2%;-2}Û`+{;2%;-3}Û`+(-1)Û`= '6 2
답 '6 2
214
A(1, 1, -1), B(-1, 1, 1), C(1, -1, 1)이므로 ABÓ="Ã(-1-1)Û`+(1-1)Û`+(1+1)Û`=2'2 BCÓ="Ã(1+1)Û`+(-1-1)Û`+(1-1)Û`=2'2 ACÓ="Ã(1-1)Û`+(-1-1)Û`+(1+1)Û`=2'2 따라서 삼각형 ABC는 한 변의 길이가 2'2인 정삼각 형이므로
△ABC= '3
4 _(2'2 )Û`=2'3 답 2'3
215
점 P가 z축에 위에 있으므로 P(0, 0, z)라 하자.
APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로
(-3)Û`+4Û`+(z-1)Û`=2Û`+(-5)Û`+(z-3)Û`
zÛ`-2z+26=zÛ`-6z+38, 4z=12 ∴ z=3
∴ P(0, 0, 3) 답 (0, 0, 3)
216
점 P(a, b, c)가 yz평면 위에 있으므로 a=0 APÓ=BPÓ=OPÓ이므로 APÓ Û`=BPÓ Û`=OPÓ Û`
APÓ Û`=BPÓ Û`에서
(-1)Û`+(b-2)Û`+(c-1)Û`=1Û`+bÛ`+(c-1)Û`
-4b+4=0 ∴ b=1 BPÓ Û`=OPÓ Û`에서
1Û`+bÛ`+(c-1)Û`=bÛ`+cÛ`
-2c+2=0 ∴ c=1
∴ a+b+c=0+1+1=2 답 2
217
점 C가 zx평면 위에 있으므로 C(x, 0, z)라 하자.
이때 삼각형 ABC가 정삼각형이므로
ABÓ=BCÓ=ACÓ, 즉 ABÓ Û`=BCÓ Û`=ACÓ Û`이어야 한다.
ABÓ Û`=BCÓ Û`에서
(2-1)Û`+(-1-1)Û`+(3-2)Û`
=(x-2)Û`+1Û`+(z-3)Û`
∴ xÛ`+zÛ`-4x-6z+8=0 yy`㉠
또, BCÓ Û`=ACÓ Û`에서 (x-2)Û`+1Û`+(z-3)Û`
=(x-1)Û`+(-1)Û`+(z-2)Û`
∴ z=-x+4 yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 xÛ`-3x=0, x(x-3)=0
∴ x=0 또는 x=3
㉡에서 x=0일 때 z=4, x=3일 때 z=1
∴ C(0, 0, 4), C(3, 0, 1)
답 (0, 0, 4), (3, 0, 1)
218
점 A(3, 2, -1)의 xy평면, yz평면, zx평면 위로의 정사영을 각각 A', A", A'''이라 하면
A'(3, 2, 0), A"(0, 2, -1), A'''(3, 0, -1) 또, 점 B(5, -4, 2)의 xy평면, yz평면, zx평면 위로 의 정사영을 각각 B', B", B'''이라 하면
B'(5, -4, 0), B"(0, -4, 2), B'''(5, 0, 2)
기본서(기하)해설001~050_확인.indd 43 19. 6. 4. 오후 1:53
이때 선분 AB의 xy평면 위로의 정사영은 선분 A'B' 이므로 xy평면 위로의 정사영의 길이는
AÕ'B'Ó="Ã(5-3)Û`+(-4-2)Û`+0Û`=2'10
선분 AB의 yz평면 위로의 정사영은 선분 A"B"이므 로 yz평면 위로의 정사영의 길이는
AÕ"B"Ó="Ã0Û`+(-4-2)Û`+(2+1)Û`=3'5
선분 AB의 zx평면 위로의 정사영은 선분 A'''B'''이므 로 zx평면 위로의 정사영의 길이는
A'''ÓB'''Ó="Ã(5-3)Û`+0Û`+(2+1)Û`='13
답 xy평면: 2'10, yz평면: 3'5, zx평면: '13
219
두 점 A, B의 yz평면 위로의 정사영을 각각 A', B'이 라 하면 A'(0, -1, 2), B'(0, 2, 5)이고
ABÓ ="Ã(3-6)Û`+(2+1)Û`+(5-2)Û`=3'3 AÕ'B'Ó="Ã0Û`+(2+1)Û`+(5-2)Û`=3'2
이때 직선 AB와 yz평면이 이루는 예각의 크기가 h이므 로 AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`h에서
3'2=3'3`cos`h
∴ cos`h=3'2 3'3= '6
3 답 '6
3
220
두 점 A, B의 zx평면 위로의 정사영을 각각 A', B'이 라 하면 A'('2, 0, 3), B'(0, 0, k)이고
ABÓ =¿¹(-'2 )Û`+(4-1)Û`+(k-3)Û`
="ÃkÛ`-6k+20
AÕ'B'Ó =¿¹(-'2 )Û`+0Û`+(k-3)Û`
="ÃkÛ`-6k+11
이때 직선 AB와 zx평면이 이루는 각의 크기가 60ù이 므로 AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`60ù에서
"ÃkÛ`-6k+11="ÃkÛ`-6k+20_;2!;
2"ÃkÛ`-6k+11="ÃkÛ`-6k+20 양변을 제곱하여 정리하면
kÛ`-6k+8=0, (k-2)(k-4)=0
∴ k=2 또는 k=4 답 2, 4
221
두 점 A, B의 x좌표의 부
A(2,2,4) B(4,5,-3)
P
B'(-4,5,-3) yz평면
호가 같으므로 두 점은 좌표 공간에서 yz평면을 기준으 로 같은 쪽에 있다.
이때 점 B와 yz평면에 대하 여 대칭인 점을 B'이라 하면 B'(-4, 5, -3)
즉, BPÓ=BÕ'PÓ이므로
APÓ+BPÓ =APÓ+BÕ'PÓ
¾AÕB'Ó
="Ã(-4-2)Û`+(5-2)Û`+(-3-4)Û`
='94
따라서 구하는 최솟값은 '94 이다. 답 '94
222
두 점 A, B의 y좌표가 0이 A(3,0,4) B(-3,0,2)
A'(3,0,-4)
P x
고 z좌표의 부호가 같으므 로 두 점은 zx평면 위의 점 이고, x축을 기준으로 같은 쪽에 있다.
이때 점 A와 x축에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(3, 0, -4)
즉, APÓ=AÕ'PÓ이므로 APÓ+BPÓ =AÕ'PÓ+BPÓ
¾AÕ'BÓ
="Ã(-3-3)Û`+0Û`+(2+4)Û`
=6'2
따라서 구하는 최솟값은 6'2이다. 답 6'2
223
ABÓ를 3`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는 {3_(-3)+1_1
3+1 , 3_1+1_13+1 ,
3_5+1_(-3)
3+1 }
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45
∴ (-2, 1, 3)
또, ABÓ를 3`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는 {3_(-3)-1_1
3-1 , 3_1-1_13-1 ,
3_5-1_(-3)
3-1 }
∴ (-5, 1, 9) 따라서 PQÓ의 길이는
"Ã(-5+2)Û`+0Û`+(9-3)Û`=3'5
답 3'5
224
ABÓ를 k：1로 내분하는 점이 yz평면 위에 있으므로 내분점의 x좌표는 0이다.
즉, -3k+3k+1 =0에서 -3k+3=0
∴ k=1 답 1
225
ABÓ를 3：2로 내분하는 점이 zx평면 위에 있으므로 내분점의 y좌표는 0이다.
즉, 3b+63+2 =0에서 3b+6=0 ∴ b=-2
또, ABÓ를 2：1로 외분하는 점이 y축 위에 있으므로 외분점의 x좌표와 z좌표는 모두 0이다.
즉, 2a-42-1 =0, 2c+1
2-1 =0에서 2a-4=0, 2c+1=0
∴ a=2, c=-;2!;
∴ a+b+c=2+(-2)+{-;2!;}
=-;2!; 답 -;2!;
226
사각형 ABCD가 평행사변형이므로 두 대각선 AC, BD의 중점이 일치한다.
227
점 A의 좌표를 (a, b, c)라 하면 ACÓ의 중점의 좌표는 { a+12 , b-3
2 , c+4 2 }
이때 ACÓ의 중점은 두 대각선의 교점과 일치하므로 a+12 =0, b-3
2 =4, c+4 2 =3
∴ a=-1, b=11, c=2
따라서 점 A의 좌표는 (-1, 11, 2)이므로 선분 AB 의 길이는
"Ã(-3+1)Û`+(2-11)Û`+(-4-2)Û`=11
답 11
228
사각형 ABCD가 마름모이므로 ACÓ의 중점과 BDÓ의 중점이 일치한다.
ACÓ의 중점의 좌표는 { 1+b2 , -5+6
2 , -2+32 }
∴ { 1+b2 , ;2!;, ;2!;}
ACÓ의 중점의 좌표는 { -1+22 , 2+42 , 3+5
2 }
∴ {;2!;, 3, 4}
점 D의 좌표를 (a, b, c)라 하면 BDÓ의 중점의 좌표는 { a-32 , b+1
2 , c+5 2 } 따라서 a-32 =;2!;, b+1
2 =3, c+5
2 =4이므로 a=4, b=5, c=3
∴ D(4, 5, 3) 답 (4, 5, 3)
평행사변형의 두 대각선은 서로 다 른 것을 이등분한다.
⇨ 평행사변형의 두 대각선의 중점 은 일치한다.
KEY Point
B
A D
C
기본서(기하)해설001~050_확인.indd 45 19. 6. 4. 오후 1:53
BDÓ의 중점의 좌표는 {;2A;, -1+22 , 3-22 }
∴ {;2A;, ;2!;, ;2!;}
즉, 1+b2 =;2A;에서 b=a-1 yy`㉠
또, 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로 ABÓ=ADÓ, 즉 ABÓ Û`=ADÓ Û`에서
(a-1)Û`+(-1+5)Û`+(3+2)Û`
=(-1)Û`+(2+5)Û`+0Û`
aÛ`-2a-8=0, (a+2)(a-4)=0
∴ a=-2 (∵ a<0) 이것을 ㉠에 대입하면 b=-2-1=-3
∴ ab=(-2)_(-3)=6 답 6
229
점 C의 좌표를 (a, b, c)라 하면 삼각형 ABC의 무게 중심의 좌표는
{ 2+4+a3 , -3-1+b3 , 1+2+c3 }
∴ { 6+a3 , -4+b
3 , 3+c3 }
이 점이 점 G(3, -2, -1)과 일치하므로 6+a3 =3, -4+b
3 =-2, 3+c3 =-1
∴ a=3, b=-2, c=-6
∴ C(3, -2, -6) 답 (3, -2, -6)
230
점 P(1, 2, 3)과
xy평면에 대하여 대칭인 점은 A(1, 2, -3) yz평면에 대하여 대칭인 점은 B(-1, 2, 3) zx평면에 대하여 대칭인 점은 C(1, -2, 3) 따라서 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는 { 1-1+13 , 2+2-23 , -3+3+33 }
∴ {;3!;, ;3@;, 1} 답 {;3!;, ;3@;, 1}
232
답 ⑴ 중심의 좌표: (3, -2, 0) 반지름의 길이: 3
⑵ 중심의 좌표: (-2, -5, 3) 반지름의 길이: 4
233
⑶ 구의 반지름의 길이는 두 점 (0, 3, -2), (0, 0, 0) 사이의 거리이므로
"Ã0Û`+(-3)Û`+2Û`='13
231
ABÓ를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는 {2_3+1_(-2)
2+1 , 2_(-4)+1_1 2+1 ,
2_2+1_1
2+1 }
∴ {;3$;, -;3&;, ;3%;}
BCÓ를 2`:`1로 내분하는 점 Q의 좌표는 { 2_5+1_32+1 , 2_3+1_(-4)
2+1 ,
2_(-6)+1_2
2+1 }
∴ {:Á3£:, ;3@;, -:Á3¼:}
CAÓ를 2`:`1로 내분하는 점 R의 좌표는 {2_(-2)+1_5
2+1 , 2_1+1_32+1 ,
2_1+1_(-6)
2+1 }
∴ {;3!;, ;3%;, -;3$;}
따라서 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표는
¦
;3$;+:Á3£:+;3!;3 , -;3&;+;3@;+;3%;
3 ,;3%;-:Á3¼:-;3$;
3
¥
∴ (2, 0, -1) 답 (2, 0, -1)
삼각형의 세 변을 각각 m`:`n`(m>0, n>0)으로 내분하 는 점을 연결한 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중 심과 일치한다.
KEY Point
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47
234
⑴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x-4y+6z+2=0에서 (x-1)Û`+(y-2)Û`+(z+3)Û`=12 ∴ 중심의 좌표: (1, 2, -3)
반지름의 길이: 2'3
⑵ xÛ`+yÛ`+zÛ`+6x-4y+9=0에서 (x+3)Û`+(y-2)Û`+zÛ`=4 ∴ 중심의 좌표: (-3, 2, 0)
반지름의 길이: 2
답 ⑴ 중심의 좌표: (1, 2, -3) 반지름의 길이: 2'3
⑵ 중심의 좌표: (-3, 2, 0) 반지름의 길이: 2
236
구의 반지름의 길이는 두 점 (2, -1, 2), (1, 1, 0) 사이의 거리이므로
"Ã(1-2)Û`+(1+1)Û`+(-2)Û`=3 따라서 구하는 구의 방정식은 (x-2)Û`+(y+1)Û`+(z-2)Û`=9
답 (x-2)Û`+(y+1)Û`+(z-2)Û`=9 다른풀이 구하는 구의 반지름의 길이를 r라 하면 구의 방정식은
237
구의 중심을 C라 하면 점 C는 ABÓ의 중점이므로 C{ -3+12 , 1+32 , -1-3
2 }
∴ C(-1, 2, -2) 또, 구의 반지름의 길이는
CAÓ ="Ã(-3+1)Û`+(1-2)Û`+(-1+2)Û`
='6
따라서 구하는 구의 방정식은 (x+1)Û`+(y-2)Û`+(z+2)Û`=6
답 (x+1)Û`+(y-2)Û`+(z+2)Û`=6
235
⑴ (반지름의 길이)=|중심의 z좌표|=5 ∴ (x-2)Û`+(y+3)Û`+(z-5)Û`=25
⑵ (반지름의 길이)="Ã(-3)Û`+2Û`='13 ∴ (x+3)Û`+(y-2)Û`+(z-1)Û`=13
답 ⑴ (x-2)Û`+(y+3)Û`+(z-5)Û`=25
⑵ (x+3)Û`+(y-2)Û`+(z-1)Û`=13
238
ABÓ를 2`:`1로 내분하는 점을 P라 하면 P{ 2_4+1_12+1 , 2_(-1)+1_2
2+1 ,
2_3+1_(-3)
2+1 }
∴ P(3, 0, 1)
ABÓ를 2`:`1로 외분하는 점을 Q라 하면 Q{ 2_4-1_12-1 , 2_(-1)-1_2
2-1 ,
2_3-1_(-3)
2-1 }
∴ Q(7, -4, 9)
이때 구의 중심을 C라 하면 점 C는 PQÓ의 중점이므로 C{ 3+72 , 0-4
2 , 1+9 2 }
∴ C(5, -2, 5) 또, 구의 반지름의 길이는
CPÓ ="Ã(3-5)Û`+2Û`+(1-5)Û`
=2'6 따라서 구하는 구의 방정식은
xÛ`+(y-3)Û`+(z+2)Û`=13
답 ⑴ (x-2)Û`+(y+1)Û`+(z-5)Û`=9
⑵ xÛ`+yÛ`+zÛ`=25
⑶ xÛ`+(y-3)Û`+(z+2)Û`=13
(x-2)Û`+(y+1)Û`+(z-2)Û`=rÛ`
이 구가 점 (1, 1, 0)을 지나므로 (-1)Û`+2Û`+(-2)Û`=rÛ`
rÛ`=9 ∴ r=3 (∵ r>0)
∴ (x-2)Û`+(y+1)Û`+(z-2)Û`=9
기본서(기하)해설001~050_확인.indd 47 19. 6. 4. 오후 1:53
240
구의 반지름의 길이는 두 점 (-2, 1, 4), (2, 3, 2) 사이의 거리이므로
"Ã(2+2)Û`+(3-1)Û`+(2-4)Û`=2'6 즉, 구하는 구의 방정식은
(x+2)Û`+(y-1)Û`+(z-4)Û`=24
∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`+4x-2y-8z-3=0
따라서 a=4, b=-2, c=-8, d=-3이므로
a+b+c+d=-9 답 -9
241
xÛ`+yÛ`+zÛ`-6x+4y+2z-k=0에서 (x-3)Û`+(y+2)Û`+(z+1)Û`=k+14 따라서 주어진 방정식이 구를 나타내려면 k+14>0이어야 하므로
k>-14
따라서 정수 k의 최솟값은 -13이다. 답 -13
242
중심의 좌표가 (4, k, 5)이고 z축에 접하는 구의 방정 식은
(x-4)Û`+(y-k)Û`+(z-5)Û`=16+kÛ`
이 구의 반지름의 길이가 5이므로
"Ã16+kÛ`=5
양변을 제곱하여 정리하면
kÛ`=9 ∴ k=3 (∵ k>0) 답 3
243
구가 xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하고 점 (-3, 2, 5)를 지나므로 반지름의 길이를 r라 하면 구의 중심의 좌표는 (-r, r, r)
즉, 구의 방정식은
(x+r)Û`+(y-r)Û`+(z-r)Û`=rÛ`
이 구가 점 (-3, 2, 5)를 지나므로 (-3+r)Û`+(2-r)Û`+(5-r)Û`=rÛ`
∴ rÛ`-10r+19=0 yy`㉠
이때 두 구의 반지름의 길이를 각각 rÁ, rª라 하면 그 곱은 이차방정식 ㉠의 두 근의 곱과 같으므로 이차방 정식의 근과 계수의 관계에 의하여
rÁ rª=19 답 19
244
구가 x축, y축, z축에 동시에 접하므로 구의 중심에서 x축, y축, z축에 이르는 거리가 모두 같다.
즉, 구의 중심을 C(a, b, c)라 하면
|a|=|b|=|c|
∴ aÛ`=bÛ`=cÛ` yy`㉠
한편, 구의 중심에서 x축에 내린 수선의 발을 P라 하면 P(a, 0, 0)
이때 CPÓ의 길이는 구의 반지름의 길이와 같으므로
"Ã(a-a)Û`+(-b)Û`+(-c)Û`=4
"2aÛ`=4 (∵ ㉠) 양변을 제곱하여 정리하면 aÛ`=8 ∴ a=Ñ2'2 따라서 구하는 구의 방정식은
(x-5)Û`+(y+2)Û`+(z-5)Û`=24
답 (x-5)Û`+(y+2)Û`+(z-5)Û`=24
239
구하는 구의 방정식을
xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0이라 하면 이 구가 두 점 (0, 0, 0), (4, 0, 0)을 지나므로 D=0, 16+4A+D=0 ∴ A=-4 즉, 구의 방정식은
xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+By+Cz=0
또, 이 구가 두 점 (-1, -1, 1), (2, -2, -3)을 지나므로
7-B+C=0, 9-2B-3C=0 두 식을 연립하여 풀면
B=6, C=-1
따라서 구하는 구의 방정식은 xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+6y-z=0
답 xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+6y-z=0
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49
245
주어진 구의 방정식에 x=0을 대입하면 구와 yz평면 의 교선의 방정식은
yÛ`+zÛ`-4y+6z+k=0
∴ (y-2)Û`+(z+3)Û`=13-k 이 원의 반지름의 길이가 3이므로 'Ä13-k=3
양변을 제곱하면
13-k=9 ∴ k=4 답 4
다른풀이 xÛ`+yÛ`+zÛ`+2x-4y+6z+k=0에서 (x+1)Û`+(y-2)Û`+(z+3)Û`=14-k
오른쪽 그림과 같이 구의 중
C 1 1314-k
P
H yz평면
심을 C라 하고 점 C에서 yz평면에 내린 수선의 발을 H, 구와 yz평면의 교선 위 의 점을 P라 하면
C(-1, 2, -3), H(0, 2, -3) 이므로
CPÓ='Ä14-k, CHÓ=1 이때 직각삼각형 CPH에서 PHÓ =¿¹('Ä14-k )Û`-1Û`
='Ä13-k
따라서 'Ä13-k=3이므로 양변을 제곱하면 13-k=9 ∴ k=4
246
중심이 점 (3, 6, 5)이고 반지름의 길이가 10인 구의 방정식은
(x-3)Û`+(y-6)Û`+(z-5)Û`=100
이 구의 방정식에 y=0을 대입하면 이 구와 zx평면의 교선의 방정식은
(x-3)Û`+(-6)Û`+(z-5)Û`=100
∴ (x-3)Û`+(z-5)Û`=64
247
구의 중심은 두 점 (-2, -5, 5), (6, -1, -3)을 이은 선분의 중점이므로
{ -2+62 , -5-12 , 5-32 }
∴ (2, -3, 1)
또, 반지름의 길이는 두 점 (-2, -5, 5), (2, -3, 1) 사이의 거리이므로
"Ã(2+2)Û`+(-3+5)Û`+(1-5)Û`=6 즉, 구의 방정식은
(x-2)Û`+(y+3)Û`+(z-1)Û`=36
이 구의 방정식에 z=0을 대입하면 이 구와 xy평면의 교선의 방정식은
(x-2)Û`+(y+3)Û`+(-1)Û`=36
∴ (x-2)Û`+(y+3)Û`=35
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 '35이므로 그 넓 이는
p_('35)Û`=35p 답 35p
248
xÛ`+yÛ`+zÛ`-8x-10y+37=0에서 (x-4)Û`+(y-5)Û`+zÛ`=4
이므로 이 구의 중심의 좌표는 (4, 5, 0)이고 반지름 의 길이는 2이다.
오른쪽 그림과 같이 구
C(4,5,0) P(1,3,-'12) T
의 중심을 C, 구 밖의 2
한 점 P에서 구에 그은 접선의 접점을 T라 하 면
PCÓ ="Ã(4-1)Û`+(5-3)Û`+('2 )Û`
='15
따라서 구하는 접선의 길이는 PTÓ =¿¹ PCÓ Û`-CTÓ Û`
=¿¹('15)Û`-2Û`='11 답 '11 따라서 구의 중심과 원점 사이의 거리는
"ÃaÛ`+bÛ`+cÛ` ="3aÛ` (∵ ㉠)
='Ä3_8=2'6 답 2'6
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 8이므로 그 둘레 의 길이는
2p_8=16p 답 16p
기본서(기하)해설001~050_확인.indd 49 19. 6. 4. 오후 1:53
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xÛ`+yÛ`+zÛ`+6x+4y+k=0에서 (x+3)Û`+(y+2)Û`+zÛ`=13-k
이므로 이 구의 중심의 좌표는 (-3, -2, 0)이고 반 지름의 길이는 'Ä13-k이다.
오른쪽 그림과 같이 구
C(-3,-2,0) A(1,2,-1) P
1313-k 5
의 중심을 C, 구 밖의 한 점 A에서 구에 그 은 접선의 접점을 P라 하면
ACÓ ="Ã(-3-1)Û`+(-2-2)Û`+1Û`
='33
이때 접선의 길이는 5이므로 PCÓ =¿¹CAÓ Û`-PAÓ Û`
=¿¹('33)Û`-5Û`=2'2
따라서 'Ä13-k=2'2이므로 양변을 제곱하면
13-k=8 ∴ k=5 답 5
250
xÛ`+yÛ`+zÛ`+4x+2y-6z-2=0에서 (x+2)Û`+(y+1)Û`+(z-3)Û`=16
이므로 이 구의 중심의 좌표는 (-2, -1, 3)이고 반 지름의 길이는 4이다.
오른쪽 그림과 같이 구의
A(-1,2,0)
C(-2,-1,3) 4 Q
4 P
중심을 C, 직선 AC가 구
와 만나는 두 점을 각각 P, Q라 하면
ACÓ
="Ã(-2+1)Û`+(-1-2)Û`+3Û`
='19
이때 선분의 길이의 최댓값은 AQÓ=ACÓ+CQÓ='19+4 또, 선분의 길이의 최솟값은 APÓ=ACÓ-CPÓ='19-4 따라서 최댓값과 최솟값의 합은
('19+4)+('19-4)=2'19 답 2'19