1. 이등변삼각형과 직각삼각형

(1)

수 학

수학

VII ^{. 도형의 성질}

1. 이등변삼각형과 직각삼각형

│4쪽│

01B, 65 02AB”, 5

0390, 6, 50, RHA 0490, 5, 4, RHS

│5쪽│

01⑴ 49˘ ⑵ 110˘ ⑶ 117˘ ⑷ 110˘

02⑴ 3 cm ⑵ 90˘

03⑴ 6 ⑵ 4

04⑴ 12 ⑵ 5

05⑴ △ABC™△EDF, RHA 합동 ⑵ 4 cm

06⑴ △ABC™△FDE, RHS 합동 ⑵ 6 cm

07∠PBO, ∠BOP, △BOP, RHA, PB”

0890, OP”, PB”,△AOP, RHS, ∠BOP

│6~9^쪽│

대표 유형01^③ 01- ②, ③01- ④ 01- ④

01- 120˘ 01- 150˘ 01- ③ 대표 유형02∠B=35˘, BD”=7 cm

02- ⑤ 02- 44 02- ⑤ 대표 유형03^{8 cm} 03- ∠C, ∠CAD, ∠ADC, ASA,

AC”

03- 15 m03- 4 cm

03- 22 cm 대표 유형04^⑤ 04- 은희

대표 유형05⁴⁴ 05- ⑤ 05- ② 05- 38˘

05- 72 cm¤

대표 유형06^{30 cm¤} 06- ⑤ 06- 6 cm

01^50˘ 02^57˘ 03⁵

│실수하기쉬운 문제│

01

⑶ AB”=AC”이므로

∠ACB=;2!;_(180˘-54˘)=63˘

∴ ∠x=180˘-∠ACB=180˘-63˘=117˘

⑷ AB”=AC”이므로 ∠C=∠B=55˘

따라서 △ABC에서

∠x=55˘+55˘=110˘

04

⑵ △ABC에서 ∠B=136˘-68˘=68˘

따라서 ∠A=∠B이므로 AC”=BC”=5(cm) ∴ x=5

대표 유형01 △ABC에서 AB”=AC”이므로

∠ACB=∠B=66˘

△CDB에서 CB”=CD”이므로

∠BCD=180˘-2_66˘=48˘

∴ ∠ACD=∠ACB-∠BCD

=66˘-48˘=18˘

01-

① AC” ④ SAS ⑤ ∠C

01-

△ABC에서 AC”=BC”이므로

∠B=;2!;_(180˘-50˘)=65˘

따라서 AD”∥BC”이므로

∠EAD=∠B=65˘ (동위각)

01-

△ABC에서 AB”=AC”이므로

∠ACB=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

△DCE에서 DC”=DE”이므로

∠DCE=;2!;_(180˘-58˘)=61˘

∴ ∠ACD=180˘-(70˘+61˘)=49˘

01-

∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-100˘)=40˘

∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_40˘=20˘

따라서 △DBC에서

∠BDC=180˘-(20˘+40˘)=120˘

01-

∠ACB=∠B=30˘

∴ ∠x=30˘+30˘=60˘

△ACD에서 AC”=CD”이므로

∠D=∠CAD=60˘

△DBC에서 ∠y=30˘+60˘=90˘

∴ ∠x+∠y=60˘+90˘=150˘

01 -

∠ACB=;2!;_(180˘-68˘)=56˘

이때 ∠ACE=180˘-∠ACB=180˘-56˘=124˘이 므로 ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_124˘=62˘

따라서 △CDB에서 CB”=CD”이므로

∠BDC=∠DBC이고

∠DCE=∠BDC+∠DBC이므로 62˘=2∠BDC ∴ ∠BDC=31˘

대표 유형02 AD”는 BC”를 수직이등분하므로 ∠ADB=90˘

∴ ∠B=180˘-(90˘+55˘)=35˘

또, BD”=CD”=7(cm)

02-

① AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=62˘

②,``④ AD”는 BC”를 수직이등분하므로

∠ADB=∠ADC=90˘, BD”=CD”=9(cm)

③ △ABD에서 ∠BAD=180˘-(90˘+62˘)=28˘

⑤ AD”의 길이는 알 수 없다.

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(2)

02-

AB”=AC”이므로

∠B=∠ACB=180˘-126˘=54˘

△ABD에서

∠BAD=180˘-(54˘+90˘)=36˘ ∴ x=36 AD”는 BC”를 수직이등분하므로

BD”=;2!;BC”=;2!;_16=8(cm) ∴ y=8

∴ x+y=36+8=44

02-

① AD”는 BC”를 수직이등분하므로 AD”⊥BC”

② △ABC가 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로

∠ABD=∠ACD

③, ④ △ABP와 △ACP에서 AB”=AC”,

∠BAP=∠CAP, AP”는 공통

따라서 △ABP™△ACP`( SAS 합동)이므로 BP”=CP”

대표 유형03 △ABC에서 AB”=AC”이므로

∠B=∠ACB=;2!;_(180˘-36˘)=72˘

∴ ∠ACD=∠DCB=;2!;∠ACB=;2!;_72˘=36˘

즉, △ADC에서 ∠A=∠ACD이므로 AD”=CD”

한편, △ADC에서 ∠BDC=36˘+36˘=72˘이므로

∠B=∠BDC

따라서 CD”=CB”=8(cm)이므로 AD”=CD”=8(cm)

03-

△ABC에서

∠A=∠CBD-∠C=110˘-55˘=55˘

따라서 △ABC에서 ∠A=∠C이므로 AB”=BC”=15(m)

03 -

△ABC에서

∠ACB=∠CAD-∠B=68˘-34˘=34˘

즉, ∠B=∠ACB이므로 AC”=AB”=4(cm) 또, ∠CDA=180˘-112˘=68˘이므로

△ACD에서 ∠CAD=∠CDA

∴ CD”=AC”=4(cm)

03-

∠FEG=∠DEG`(접은 각), ∠FGE=∠DEG(엇각) 이므로 ∠FEG=∠FGE

따라서 △EFG는 EF”=FG”인 이등변삼각형이므로 둘 레의 길이는

EF”+FG”+GE”=7+7+8=22(cm) 대표 유형04 ① RHS 합동 ② SAS 합동

③ RHA 합동 ④ ASA 합동

04-

은희 : RHS 합동

대표 유형05 △ADE와 △ACE에서

∠ADE=∠ACE=90˘, AE”는 공통,

AD”=AC”

∴ △ADE™△ACE (RHS 합동)

이때 DE”=CE”=4(cm)이므로 x=4 또, ∠CAE=∠DAE=25˘이므로

△ABC에서 ∠B=180˘-(90˘+25˘+25˘)=40˘

∴ y=40

∴ x+y=4+40=44

05-

△DBE와 △CBE에서

∠BDE=∠BCE=90˘, BE”는 공통,

BD”=BC”

따라서 △DBE™△CBE(RHS 합동)이므로

∠DEB=∠CEB

05-

△ADB와 △CEA에서

∠ADB=∠CEA=90˘, AB”=CA”,

∠DBA=90˘-∠DAB=∠EAC

∴ △ADB™△CEA(RHA 합동)

따라서 DA”=EC”=4(cm), AE”=BD”=3(cm)이므로 DE”=DA”+AE”=4+3=7(cm)

05-

△BMD와 △CME에서

∠BDM=∠CEM=90˘, BM”=CM”,

MD”=ME”

따라서 △BMD™△CME (RHS 합동)이므로

∠B=∠C

△ABC에서 ∠B=;2!;_(180˘-76˘)=52˘

따라서 △BMD에서

∠BMD=180˘-(90˘+52˘)=38˘

05-

△ADB와 △BEC에서

∠ADB=∠BEC=90˘, AB”=BC”,

∠DAB=90˘-∠ABD=∠EBC

∴ △ADB™△BEC (RHA 합동)

따라서 DB”=EC”=5(cm), BE”=AD”=7(cm)이므로 (사다리꼴 ADEC의 넓이)=;2!;_(7+5)_(5+7)

=72(cm¤ ) 대표 유형06 오른쪽 그림과 같이

점 D에서 AB”에 내린 수선 의 발을 E라고 하면

△AED와 △ACD에서

∠AED=∠ACD=90˘, AD”는 공통,

∠EAD=∠CAD

∴ △AED™△ACD(RHA 합동) 따라서 DE”=DC”=4(cm)이므로

△ABD=;2!;_15_4=30(cm¤ )

A

B D C

E

4###cm 15###cm

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(3)

수 학 06-

△AOP와 △BOP에서

∠PAO=∠PBO=90˘, OP”는 공통,

PA”=PB”

따라서 △AOP™△BOP(RHS 합동)이므로

∠AOP=∠BOP, ∠APO=∠BPO, OA”=OB”

06-

△ABD와 △AED에서

∠ABD=∠AED=90˘, AD”는 공통,

∠BAD=∠EAD

∴ △ABD™△AED (RHA 합동)

이때 ED”=BD”이고 AE”=AB”=3(cm)이므로 EC”=AC”-AE”=5-3=2(cm)

∴ (△EDC의 둘레의 길이)=ED”+DC”+CE”

=BD”+DC”+CE”

=BC”+CE”

=4+2

=6(cm)

│실수하기

쉬운 문제│

01

∠A=∠x라고 하면 ∠DBE=∠A=∠x(접은 각)

∠C=∠ABC=∠DBE+∠EBC=∠x+15˘

∠x+(∠x+15˘)+(∠x+15˘)=180˘이므로 3∠x=150˘, ∠x=50˘

∴ ∠A=50˘

02

∠B=∠C=;2!;_(180˘-48˘)=66˘

한편, △BED와 △CFE에서 BD”=CE”,

∠B=∠C, BE”=CF”

∴ △BED™△CFE (SAS 합동) 이때 ∠BDE=∠CEF이므로

∠DEF=180˘-(∠BED+∠CEF)

=180˘-(∠BED+∠BDE)

=∠B=66˘

△DEF에서 DE”=EF”이므로

∠DFE=;2!;_(180˘-66˘)=57˘

03

△ABD와 △CAE에서

∠BDA=∠AEC=90˘, AB”=CA”,

∠ABD=90˘-∠BAD=∠CAE

∴ △ABD™△CAE (RHA 합동) 따라서 `AE”=BD”=12, AD”=CE”=7이므로 DE”=AE”-AD”=12-7=5

│10~11쪽│

01② 02④ 03^34˘ 04^40˘ 05② 06^55˘

07AC”, AD”, SAS, ∠ADC, 180˘ 08⁶⁵09⑤

10

^{16 cm}

11

②, ④

12

⁴⁵

13

③

14

^{11 cm}

15

②

16

^{112 cm¤}

➊회

01

AB”=AC”이므로 ∠C=∠B=2∠x+30˘

∠x+(2∠x+30˘)+(2∠x+30˘)=180˘이므로 5∠x=120˘ ∴ ∠x=24˘

02

△ABD에서 AD”=BD”이므로

∠ABD=∠A=;2!;_(180˘-116˘)=32˘

∠ABC=;2!;_(180˘-32˘)=74˘

∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=74˘-32˘=42˘

03

^{∠A=∠x라고 하면}

△BAC에서 AB”=BC”이므로

∠BCA=∠A=∠x

∴ ∠CBD=∠x+∠x=2∠x

△BCD에서 BC”=CD”이므로

∠CDB=∠CBD=2∠x

따라서 △DAC에서 102˘=∠x+2∠x이므로 3∠x=102˘, ∠x=34˘ ∴ ∠A=34˘

04

△ABC에서 AC”=BC”이므로

∠BAC=∠B=∠x

∴ ∠ACD=∠x+∠x=2∠x

△ACD에서 AD”=CD”이므로

∠CAD=∠ACD=2∠x

따라서 ∠x+2∠x+60˘=180˘이므로 3∠x=120˘ ∴ ∠x=40˘

05

∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-56˘)=62˘

∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_62˘=31˘

∠ACE=180˘-∠ACB=180˘-62˘=118˘이므로

∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_118˘=59˘

따라서 △DBC에서

∠BDC=∠DCE-∠DBC=59˘-31˘=28˘

06

∠B=∠C=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

한편, △BED와 △CFE에서 BD”=CE”,

∠B=∠C, BE”=CF”

∴ △BED™△CFE(SAS 합동)

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(4)

따라서 ∠BDE=∠CEF이므로

∠DEF=180˘-(∠BED+∠CEF)

=180˘-(∠BED+∠BDE)=∠B=55˘

08

AD”는 BC”를 수직이등분하므로 ∠ADC=90˘

∠C=∠B=53˘이므로

△ADC에서 ∠CAD=180˘-(90˘+53˘)=37˘

∴ x=37

또, BD”=CD”이므로

BC”=2CD”=2_14=28 ∴ y=28

∴ x+y=37+28=65

09

③ ∠B=180˘-(45˘+90˘)=45˘이므로

∠A=∠B

④ ∠B=180˘-(52˘+64˘)=64˘이므로

∠B=∠C

⑤ ∠ACB=180˘-120˘=60˘이므로

∠A=180˘-(60˘+65˘)=55˘

따라서 △ABC는 이등변삼각형이 아니다.

10

△ABC에서 ∠A=180˘-(30˘+90˘)=60˘

△ADC에서 AD”=CD”이므로 ∠ACD=∠A=60˘

즉, △ADC는 정삼각형이므로 AD”=CD”=AC”=8(cm)

이때 ∠DCB=90˘-60˘=30˘이므로

∠B=∠DCB

따라서 DB”=DC”=8(cm)이므로 AB”=AD”+DB”=8+8=16(cm)

11

① ∠C=∠F이면 ∠A=∠D이므로

△ABC™△DEF (ASA 합동)

③ RHS 합동

⑤ SAS 합동

12

△AMC와 △BMD에서

∠ACM=∠BDM=90˘, AM”=BM”,

∠AMC=∠BMD (맞꼭지각)

∴ △AMC™△BMD`(RHA 합동) 이때 AC”=BD”=10(cm)이므로 x=10

또, ∠AMC=∠BMD=180˘-(55˘+90˘)=35˘이므로 y=35

∴ x+y=10+35=45

13

③ ∠DBA=90˘-∠DAB=∠EAC, ∠ACE=90˘-∠EAC=∠BAD

14

△ABD와 △CAE에서

∠BDA=∠AEC=90˘, AB”=CA”,

∠ABD=90˘-∠BAD=∠CAE

∴ △ABD™△CAE (RHA 합동)

따라서 AD”=CE”=20(cm), AE”=BD”=9(cm)이므로 DE”=AD”-AE”=20-9=11(cm)

15

△AED와 △AFD에서

∠AED=∠AFD=90˘, AD”는 공통,

DE”=DF”

∴ △ADE™△AFD`( RHS 합동)

따라서 ∠ADE=∠ADF=180˘-(24˘+90˘)=66˘이 므로 ∠EDF=2∠ADE=2_66˘=132˘

16

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 AC”에 내린 수선의 발을 E라고 하면 △ABD와 △AED에서

∠ABD=∠AED=90˘, AD”는 공통,

∠BAD=∠EAD

∴ △ABD™△AED (RHA 합동) 따라서 DE”=DB”=8(cm)이므로

△ADC=;2!;_28_8=112(cm¤ ) A

B C

D 28 cm

8 cm E

│12~13쪽│

01^75˘ 02⑤ 03^116˘ 04④ 05^120˘ 06^69˘

07^54˘ 08①, ④09^{9 cm}

10

②, ⑤

11

①, ⑤

12

^40˘

13

②

14

^{8 cm¤}

15

②

16

^{5 cm}

➋회

01

△ABC에서 B’A”=BC”이므로

∠ABC=180˘-2_35˘=110˘

△DBC에서 DB”=DC”이므로 ∠DBC=∠C=35˘

∴`∠ABD=∠ABC-∠DBC=110˘-35˘=75˘

02

△ABE에서 B’A”=BE”이므로

∠BEA=;2!;_(180˘-50˘)=65˘

△CDE에서 CD”=CE”이므로

∠CED=;2!;_(180˘-30˘)=75˘

∴ ∠AED=180˘-(65˘+75˘)=40˘

03

∠ACB=;2!;_(180˘-52˘)=64˘

이때∠FCB=∠ACB-∠ACE=64˘-20˘=44˘이므로

△FBC에서 ∠BFC=180˘-(20˘+44˘)=116˘

∴ ∠EFD=∠BFC=116˘ (맞꼭지각)

04

BC”∥DE”이므로 ∠BCD=∠EDC=40˘ (엇각)

∠CBD=∠CDB=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

△BAC에서 AB”=BC”이므로 ∠BCA=∠A=∠x 따라서 70˘=∠x+∠x이므로

2∠x=70˘ ∴ ∠x=35˘

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(5)

수 학 05

∠BDE=∠CDE=∠a라고 하면

△BED에서 BE”=DE”이므로 ∠DBE=∠BDE=∠a

△DBC에서 (∠a+∠a)+∠a+90˘=180˘이므로 3∠a=90˘ ∴ ∠a=30˘

따라서 △BED에서

∠x=180˘-2∠a=180˘-2_30˘=120˘

06

△ABD와 △ACE에서 AB”=AC”,

∠B=∠C, BD”=CE”

따라서 △ABD™△ACE(SAS 합동)이므로 AD”=AE”

즉, △ADE는 이등변삼각형이므로

∠ADE=;2!;_(180˘-42˘)=69˘

07

∠B：∠C=3：2이므로

∠B=3∠a, ∠C=2∠a라고 하면

△ABM에서 AM”=BM”이므로

∠BAM=∠B=3∠a

△AMC에서 AM”=CM”이므로

∠MAC=∠C=2∠a

△ABC에서

(3∠a+2∠a)+3∠a+2∠a=180˘이므로 10∠a=180˘ ∴ ∠a=18˘

∴ ∠BAM=3∠a=3_18˘=54˘

08

① AB”=AC”이므로 ∠B=∠C

②, ③ AD”는 BC”를 수직이등분하므로 BD”=CD”=;2!;BC”=;2!;_6=3(cm)

∠ADB=∠ADC=90˘

④ ∠BAD의 크기는 알 수 없다.

⑤ △ABD와 △ACD에서 AB”=AC”,

∠BAD=∠CAD, AD”는 공통

∴ △ABD™△ACD(SAS 합동)

09

△ABC에서

∠CBA=∠BCD-∠A=50˘-25˘=25˘

즉, ∠A=∠CBA이므로 BC”=AC”=9(cm)

△ABD에서

∠ADB=∠DBE-∠A=75˘-25˘=50˘

즉, △BDC에서 ∠BDC=∠BCD이므로 BD””=BC”=9(cm)

10

①, ③, ④ ∠ABC=∠CBD(접은 각),

∠ACB=∠CBD`(엇각)이므로

∠ABC=∠ACB ∴ AB”=AC”

11

㉠과 ㉢ (RHS 합동), ㉣과 ㉥ (RHA 합동)

12

△BCE와 △CBD에서

∠BEC=∠CDB=90˘, BC”는 공통,

BE”=CD”

∴ △BCE™△CBD`(RHS 합동) 이때 ∠EBC=∠DCB이므로

△ABC에서 ∠ABC=;2!;_(180˘-80˘)=50˘

따라서 △BCE에서

∠BCE=180˘-(90˘+50˘)=40˘

13

△BCE와 △BDE에서

∠BCE=∠BDE=90˘, BE”는 공통,

BC”=BD”

∴ △BCE™△BDE (RHS 합동) 이때 DE”=CE”=5(cm)이므로 x=5 또, △ADE에서

∠DEA=180˘-(52˘+90˘)=38˘이므로

∠BEC=∠BED=;2!;_(180˘-38˘)=71˘

∴ y=71

∴ x+y=5+71=76

14

△BCF와 △CDG에서

∠BFC=∠CGD=90˘, BC”=CD”,

∠FBC=90˘-∠BCF=∠GCD

∴ △BCF™△CDG(RHA 합동)

따라서 CF”=DG”=8(cm), CG”=BF”=6(cm)이므로 FG”=CF”-CG”=8-6=2(cm)

∴ △DFG=;2!;_2_8=8(cm¤ )

15

△AOP와 △BOP에서

∠PAO=∠PBO=90˘, OP”는 공통,

∠AOP=∠BOP

따라서 △AOP™△BOP`( RHA 합동)이므로 PA”=PB”

16

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 E라고 하면

△BCD=;2!;_16_DE”=40

∴ DE”=5(cm)

△ABD와 △EBD에서

∠BAD=∠BED=90˘, BD”는 공통,

∠ABD=∠EBD

따라서 △ABD™△EBD(RHA 합동)이므로 AD”=ED”=5(cm)

A

B C

D E 16###cm

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(6)

│14~15쪽│

01 ⑴ 48˘ ⑵ 6 cm ⑶ 42˘ ⑷ 4 cm

02⑴ 40˘ ⑵ 32 cm 03^40˘

04:¢2¡: m¤ 05^36˘ 06^{18 cm¤}

07- 76˘ 07- 105˘ 07- 15˘

01

⑴ △ABD에서 AD”=BD”이므로

∠BAD=∠B=24˘

∴ ∠ADC=24˘+24˘=48˘

⑵ ∠ACD=∠ADC이므로 AC”=AD”=6(cm)

⑶ △ADC는 AD”=AC”인 이등변삼각형이므로 AE”는 DC”를 수직이등분한다.

따라서 ∠AEC=90˘, ∠ACD=∠ADC=48˘이므로

△AEC에서

∠CAE=180˘-(90˘+48˘)=42˘

⑷ DE”=;2!;DC”=;2!;_8=4(cm)

02

⑴ ∠GEF=∠FEC=70˘(접은 각),

∠GFE=∠FEC=70˘(엇각)이므로

△GEF에서 ∠FGE=180˘-(70˘+70˘)=40˘

⑵ ∠GEF=∠GFE이므로 △GEF는 GE”=GF”인 이등 변삼각형이다.

따라서 △GEF의 둘레의 길이는 GE”+EF”+FG”=12+8+12=32(cm)

03

⑴ △ABC에서 AB”=AC”이므로

∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-80˘)=50˘

∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_50˘=25˘

⑵ ∠ACE=180˘-∠ACB=180˘-50˘=130˘이므로

∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_130˘=65˘

⑶ △DBC에서

∠BDC=∠DCE-∠DBC=65˘-25˘=40˘

04

⑴ △ABE와 △ECD에서

∠ABE=∠ECD=90˘, AE”=ED”,

∠BAE=90˘-∠AEB=∠CED

∴ △ABE™△ECD`(RHA 합동)

⑵ △ABE™△ECD이므로

BE”=CD”=5(m), EC”=AB”=4(m)

⑶ △AED=(사다리꼴 ABCD의 넓이)-2△ABE

=;2!;_(4+5)_(5+4)-2_{;2!;_5_4}

=:•2¡:-20=:¢2¡:(m¤ )

따라서 배추를 심은 밭의 넓이는 :¢2¡: m¤ 이다.

05

^{∠A=∠x라고 하면}

△ABD에서 AD”=BD”이므로

∠ABD=∠A=∠x

∴ ∠BDC=∠x+∠x=2∠x

△BCD에서 BC”=BD”이므로

∠C=∠BDC=2∠x …… [3점]

∠ABC=∠C=2∠x …… [1점]

∠x+2∠x+2∠x=180˘이므로 5∠x=180˘, ∠x=36˘

∴ ∠A=36˘ …… [2점]

06

△ADE와 △ACE에서

∠ADE=∠ACE=90˘, AE”는 공통,

AD”=AC”

따라서 △ADE™△ACE(RHS 합동)이므로

DE”=CE”=6(cm) …… [3점]

한편, △ABC는 직각이등변삼각형이므로

∠B=∠BAC=45˘

△DBE에서 ∠DEB=180˘-(90˘+45˘)=45˘이므로

∠B=∠DEB

∴ DB”=DE”=6(cm) …… [2점]

∴ △DBE=;2!;_6_6=18(cm¤ ) ^{…… [1점]}

07-

∠ACB=180˘-128˘=52˘ …… [1점]

따라서 △ABC에서 AB”=BC”이므로

∠B=180˘-2_52˘=76˘ …… [2점]

07-

△BAC에서 AB”=BC”이므로 ∠BCA=∠A=35˘

∴ ∠CBD=35˘+35˘=70˘ …… [2점]

∠CDB=∠CBD=70˘ …… [1점]

따라서 △DAC에서

∠DCE=35˘+70˘=105˘ …… [1점]

07 -

∠A=∠x라고 하면

△BAC에서 AB”=BC”이므로

∠BCA=∠A=∠x

∴ ∠CBD=∠x+∠x=2∠x …… [1점]

∠CDB=∠CBD=2∠x …… [1점]

△DAC에서

∠DCE=∠x+2∠x=3∠x …… [1점]

△DCE에서 CD”=DE”이므로

∠DEC=∠DCE=3∠x …… [1점]

따라서 △DAE에서 60˘=∠x+3∠x이므로 4∠x=60˘, ∠x=15˘

∴ ∠A=15˘ …… [1점]

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(7)

수 학

대표 유형01 ③ OE”=OF”인지 알 수 없다.

④ ∠OCE=∠OBE, ∠OCF=∠OAF이지만

∠OCE=∠OCF인지는 알 수 없다.

01-

점 O는 △ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 BD”=AD”=7(cm)

BE”=CE”=8(cm) AF”=CF”=5(cm)

2. 삼각형의 외심과 내심

│16쪽│

01수직이등분선, 꼭짓점 0230, 40, 20, 90

03이등분선, 변 0430, 35, 25, 90

│17^쪽│

01^{⑴ × ⑵} ^⑶ 02^{⑴ 3 ⑵ 30} 03⑴ 32˘ ⑵ 48˘ ⑶ 110˘ ⑷ 70˘

04^⑴ ^{⑵ × ⑶} 05^{⑴ 25 ⑵ 4} 06⑴ 22˘ ⑵ 33˘ ⑶ 115˘ ⑷ 76˘

07^{⑴ 5 ⑵ 4} 08^{60 cm¤}

08

△ABC=;2!;_3_(8+17+15)=60(cm¤ )

│18~23^쪽│

대표 유형01③, ④ 01- ① 01- ③ 01- ① 대표 유형02^13p 02- 8 cm02- 35˘ 02- ③

02- 18˘

대표 유형03⑤ 03- 26˘ 03- ④

03- 140˘ 03- ③ 03- 40˘

대표 유형04②, ③ 04- 지현, 석민 04- ③ 대표 유형05¹⁷ 05- 5 cm05- 21 cm 대표 유형06^36˘ 06- ④ 06- ⑤

06- 186˘ 06- ④

06- 130˘

대표 유형07^{2 cm} 07- 13 cm

07- 30 cm

07- 10 cm 대표 유형08② 08- 48 cm

08- _{:™5§: cm} 08- ⑤

대표 유형09④ 09- 수정 09- 15˘ 09- 17

09- ④ 09- ⑤

01^20˘ 02^56˘ 03^64˘

∴ (△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CA”

=14+16+10

=40(cm)

01-

유물의 중심은 세 지점 A, B, C로부터 같은 거리에 있 으므로 중심의 위치는 △ABC의 외심의 위치와 같다.

01-

점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OC”

△AOC의 둘레의 길이가 14 cm이므로 OA”+OC”+6=14, 2 OA”=8

∴ OA”=4(cm)

따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이는 4 cm이다.

대표 유형02 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 (외접원의 반지름의 길이)=;2!;BC”=;2!;_13=:¡2£:

따라서 △ABC의 외접원의 둘레의 길이는 2p_:¡2£:=13p

02-

점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”

∴ OC”=;2!;AB”=;2!;_16=8(cm)

02-

점 M이 △ABC의 외심이므로 MB”=MC”

∴ ∠MBC=∠C

따라서 △MBC에서 70˘=∠MBC+∠C이므로 2∠C=70˘ ∴ ∠C=35˘

02 -

점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”

∴ △OBC=;2!;△ABC

=;2!;_{;2!;_12_9}

=27(cm¤ )

02 -

점 M이 △ABC의 외심이므로 MA”=MB”

∴ ∠BAM=∠B=36˘

△ABM에서 ∠AMH=36˘+36˘=72˘

따라서 △AMH에서

∠MAH=180˘-(90˘+72˘)=18˘

대표 유형03 ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90˘이므로

∠OAB+20˘+32˘=90˘ ∴ ∠OAB=38˘

따라서 △OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OBA=∠OAB=38˘

03 -

∠BOC=2∠BAC=2_64˘=128˘

따라서 △OBC에서 OB”=OC”이므로

∠OBC=;2!;_(180˘-128˘)=26˘

03-

오른쪽 그림과 같이 OC”를 그으 면 △OBC에서 OB”=OC”이므 로 ∠OCB=∠OBC=30˘

∠OAB+∠OBC+∠OCA

=90˘이므로

27˘+30˘+∠OCA=90˘

∴ ∠OCA=33˘

∴ ∠C=∠OCB+∠OCA=30˘+33˘=63˘

30˘

27˘

A

B C

O

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(8)

03-

오른쪽 그림과 같이 OA”를 그으 면 △OAB에서 OA”=OB”이므 로 ∠OAB=∠OBA=42˘

△OCA에서 OA”=OC”이므로

∠OAC=∠OCA=28˘

∴ ∠BAC=∠OAB+∠OAC=42˘+28˘=70˘

∴ ∠BOC=2∠BAC=2_70˘=140˘

03-

오른쪽 그림과 같이 OB”를 그 으면 △OAB에서 OA”=OB”

이므로

∠OBA=∠OAB=30˘

∴`∠OBC

=∠ABC-∠OBA

=50˘-30˘=20˘

△OBC에서 OB”=OC”이므로 ∠y=∠OBC=20˘

또, ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90˘이므로 30˘+20˘+∠x=90˘ ∴`∠x=40˘

∴ ∠x-∠y=40˘-20˘=20˘

03-

∠AOB=360˘_ =360˘_;9@;=80˘

∴ ∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_80˘=40˘

대표 유형04 ① IA”=IB”=IC”인지 알 수 없다.

④ ∠IAF=∠IAD, ∠ICF=∠ICE이지만

∠IAF=∠ICF인지는 알 수 없다.

⑤ △IAD™△IAF, △IBD™△IBE이지만

△IAD™△IBD인지는 알 수 없다.

04-

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 삼각 형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 점 I가

△ABC의 내심을 나타내고 있는 삼각형을 그린 학생은 지현, 석민이다.

04 -

점 I가 △ABC의 내심이므로

∠IBC=∠IBA=24˘, ∠ICB=∠ICA=32˘

따라서 △IBC에서 ∠BIC=180˘-(24˘+32˘)=124˘

대표 유형05 점 I가 △ABC의 내심이므로

∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DE”∥BC”이므로

∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DI”=DB”, EI”=EC”

∴ (△ADE의 둘레의 길이)

=AD”+DE”+EA”

=AD”+(DI”+EI”)+EA”

=(AD”+DB”)+(EC”+EA”)

=AB”+AC”=7+10=17 2 2+3+4

A

x

B y C

O 30˘

30˘20˘

42˘

28˘

A

B O C

05-

∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DI”=DB”=3(cm), EI”=EC”=2(cm)

∴ DE”=DI”+EI”=3+2=5(cm)

05 -

∠DBI=∠IBC,

∠ECI=∠ICB 이때 DE”∥BC”이므로

∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DI”=DB”, EI”=EC”

(△ADE의 둘레의 길이)

=AD”+DE”+EA”

=AB”+AC”=13(cm)

=13+8=21(cm) 대표 유형06 오른쪽 그림과 같이

IA”를 그으면

∠IAB=;2!;∠A

=;2!;_68˘=34˘

∠IAB+∠IBC+∠ICA=90˘이므로 34˘+∠IBC+20˘=90˘ ∴ ∠IBC=36˘

∴ ∠IBA=∠IBC=36˘

06-

∠BAC=2∠IAC=2_36˘=72˘

∴ ∠BIC=90˘+;2!;∠BAC=90˘+;2!;_72˘=126˘

06 -

∠ICA=∠ICB=15˘

∠IAB+∠IBC+∠ICA=90˘이므로

∠IAB+40˘+15˘=90˘ ∴ ∠IAB=35˘

06-

∠ICB=∠ICA=24˘

즉, △IBC에서 ∠x=180˘-(34˘+24˘)=122˘

이때 ∠BIC=90˘+;2!;∠A이므로

122˘=90˘+;2!;∠y, ;2!;∠y=32˘ ∴ ∠y=64˘

∴ ∠x+∠y=122˘+64˘=186˘

06-

∠x=90˘+;2!;∠C=90˘+;2!;_60˘=120˘

∠IAB=∠IAC=25˘

68˘ 20˘

A

B C

I A

B C

D I E

8###cm

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(9)

수 학

△IAB에서 ∠IBA=180˘-(25˘+120˘)=35˘

∴ ∠y=∠IBA=35˘

∴ ∠x-∠y=120˘-35˘=85˘

06 -

∠ABC=180˘_ =180˘_;9$;=80˘

∴ ∠AIC=90˘+;2!;∠B=90˘+;2!;_80˘=130˘

대표 유형07 AF”=x cm라고 하면 AD”=AF”=x(cm) BE”=BD”=7-x(cm), CE”=CF”=6-x(cm) 이때 BC”=BE”+CE”이므로 9=(7-x)+(6-x) 2x=4, x=2 ∴ AF”=2(cm)

07-

AD”=AF”=20-13=7(cm) CE”=CF”=13(cm)이므로 BD”=BE”=19-13=6(cm)

∴ AB”=AD”+BD”=7+6=13(cm)

07 -

BD”=BE”=7(cm)이므로 AF”=AD”=12-7=5(cm) CE”=CF”=3(cm)

=12+(7+3)+(3+5)

=30(cm)

07-

오른쪽 그림과 같이 ID”를 그 으면 사각형 DBEI는 정사 각형이므로

BD”=BE”=IÆEÚ=2(cm) AF”=AD”=6-2=4(cm) CF”=CE”=8-2=6(cm)

∴ AC”=AF”+CF”=4+6=10(cm)

대표 유형08 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

;2!;_15_8=;2!;_r_(17+15+8) 60=20r ∴ r=3

따라서 △ABC의 내접원의 넓이는 p_3¤ =9p(cm¤ )

08-

△ABC의 둘레의 길이를 x cm라고 하면 96=;2!;_4_x, 96=2x ∴ x=48 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 48 cm이다.

08 -

내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 156=;2!;_r_(15+24+21)

156=30r ∴ r=:™5§:

따라서 내접원의 반지름의 길이는 :™5§: cm이다.

08 -

내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

;2!;_9_12=;2!;_r_(15+9+12) 54=18r ∴ r=3

∴ △ICA=;2!;_12_3=18(cm¤ ) 4

3+4+2

6`cm

2`cm A

B C

8`cm D I

E F

대표 유형09 ∠BIC=90˘+;2!;∠A이므로 130˘=90˘+;2!;∠A, ;2!;∠A=40˘

∴ ∠A=80˘

∴ ∠BOC=2∠A=2_80˘=160˘

09 -

수정 : 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.

따라서 잘못 설명한 학생은 수정이다.

09-

점 O가 △ABC의 외심이므로

∠BOC=2∠A=2_40˘=80˘

△OBC에서 OB”=OC”이므로

∠OBC=;2!;_(180˘-80˘)=50˘

한편, △ABC에서 AB”=AC”이므로

∠ABC=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_70˘=35˘

∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=50˘-35˘=15˘

09-

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 (외접원의 반지름의 길이)=;2!;AC”=;2!;_26=13 내접원의 반지름의 길이를 r라고 하면

;2!;_24_10=;2!;_r_(10+24+26) 120=30r ∴ r=4

따라서 외접원과 내접원의 반지름의 길이의 합은 13+4=17

09-

△ABC에서 ∠ACB=180˘-(54˘+90˘)=36˘

∠ICB=;2!;∠ACB=;2!;_36˘=18˘

∠OBC=∠OCB=36˘

따라서 △PBC에서

∠BPC=180˘-(36˘+18˘)=126˘

09-

△ABC에서 ∠BAC=180˘-(35˘+75˘)=70˘

∠IAC=;2!;∠BAC=;2!;_70˘=35˘

오른쪽 그림과 같이 OC”를 그 으면 점 O가 △ABC의 외심 이므로

∠AOC=2∠B

=2_35˘=70˘

△AOC에서 OA”=OC”이므로

∠OAC=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

∴`∠OAI=∠OAC-∠IAC=55˘-35˘=20˘

35˘ 75˘

A

B C

O I

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(10)

│실수하기

쉬운 문제│

01

오른쪽 그림과 같이 OA”, OB”를 그으면 △OCA에서

OA”=OC”이므로

∠OAC=∠OCA

=50˘+20˘=70˘

△OCB에서 OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=20˘

이때 ∠ABC=∠x라고 하면

△OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OAB=∠OBA=∠x+20˘

(∠x+20˘+70˘)+∠x+50˘=180˘이므로 2∠x=40˘, ∠x=20˘ ∴ ∠ABC=20˘

02

∠BAD=∠x, ∠ABE=∠y라고 하면 점 I가 △ABC 의 내심이므로

∠CAD=∠BAD=∠x, ∠CBE=∠ABE=∠y

△ABE에서 2∠x+∠y+88˘=180˘ yy㉠

△ABD에서 ∠x+2∠y+86˘=180˘ yy㉡

㉠, ㉡`에서 ∠x=30˘, ∠y=32˘

따라서 △ABC에서 ∠BAC=2∠x=2_30˘=60˘,

∠ABC=2∠y=2_32˘=64˘이므로

∠C=180˘-(60˘+64˘)=56˘

03

^AD”위에 내심 I와 외심 O가 있으므로 AD”는 ∠A의 이등 분선이면서 BC”의 수직이등분선이다.

즉, △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로

∠ACB=;2!;_(180˘-76˘)=52˘

∠ICA=;2!;∠ACB=;2!;_52˘=26˘

점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠OEC=90˘

따라서 △PCE에서

∠EPC=180˘-(26˘+90˘)=64˘

50˘

20˘

A

B C

O

│24~25쪽│

01 ①, ②02^145˘ 03²⁹ 04^72˘ 05^44˘

06^126˘ 07② 08㉠, ㉢09③

10

^20˘

11

^164˘

12

④

13

③

14

^{2 cm}

15

^111˘

16

^{84p cm¤}

➊회

01

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이고, 삼각 형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로 점 O 가 △ABC의 외심을 나타내는 것은 ①, ②`이다.

02

∠OCB=;2!;_(180˘-30˘)=75˘

△OCA에서 OC”=OA”이므로

∠OCA=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

∴ ∠BCA=∠OCB+∠OCA=75˘+70˘=145˘

03

OB”=OA”=OC”=;2!;AC”=;2!;_12=6(cm)

∴ x=6

△OBC에서 ∠OBC=∠OCB이므로 46˘=∠OBC+∠OCB, 2∠OCB=46˘

∠OCB=23˘ ∴ y=23

∴ x+y=6+23=29

04

^∠MAB=90˘_ =90˘_;5#;=54˘

점 M이 △ABC의 외심이므로 MA”=MB”

∴ ∠MBA=∠MAB=54˘

따라서 △ABM에서 ∠AMB=180˘-2_54˘=72˘

05

∠OAB=;2!;_(180˘-88˘)=46˘

∠OAB+∠OBC+∠OCA=90˘이므로 46˘+∠y+∠x=90˘ ∴ ∠x+∠y=44˘

06

∠OAB=∠OBA=35˘

∴ ∠BAC=∠OAB+∠OAC=35˘+28˘=63˘

∴ ∠BOC=2∠BAC=2_63˘=126˘

07

오른쪽 그림의 △ABC에서

∠x=2∠B=2_80˘=160˘

따라서 ∠y=360˘-160˘=200˘

이므로 △ACD에서

∠D=;2!;∠y=;2!;_200˘=100˘

08

㉡ PA”=PB”인지 알 수 없다.

㉣ 점 P는 △ABC의 세 내각의 이등분선의 교점이다.

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.

09

③ 점 I가 △ABC의 내심이므로

∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÚ=DB”=5(cm), EIÚ=EC”=4(cm)

∴ DE”=DIÚ+EIÚ=5+4=9(cm)

10

점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠IBA=35˘

오른쪽 그림과 같이 IA”를 그으면

∠IAB=;2!;∠A

=;2!;_70˘=35˘

∠IAB+∠IBC+∠ICA=90˘이므로 35˘+35˘+∠ICA=90˘ ∴ ∠ICA=20˘

B A

C I

35˘ x 35˘ 35˘

35˘

A

B C

D

O y

x

80˘

3 3+2

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(11)

수 학 11

∠ICB=∠ICA=31˘

△IBC에서 ∠x=180˘-(112˘+31˘)=37˘

∠ABC=2∠x=2_37˘=74˘이므로

∠y=90˘+;2!;∠ABC=90˘+;2!;_74˘=127˘

∴ ∠x+∠y=37˘+127˘=164˘

12

BE”=x cm라고 하면 BD”=BE”=x(cm)

AF”=AD”=14-x(cm), CF”=CE”=20-x(cm) 이때 AC”=AF”+CF”이므로 16=(14-x)+(20-x) 2x=18, x=9 ∴ BE”=9(cm)

13

△ICA=;2!;_5_r=;2%;r(cm¤ )

△ABC=;2!;_r_(7+8+5)=10r(cm¤ )

∴ △ICA：△ABC=;2%;r：10r

=1：4

14

;2!;_12_5=;2!;_r_(13+12+5) 30=15r ∴ r=2

따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이는 2 cm이다.

15

∠A=;2!;∠BOC=;2!;_84˘=42˘

∴ ∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_42˘=111˘

16

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로

(외접원의 반지름의 길이)=;2!;AB”=;2!;_20=10(cm) 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

;2!;_16_12=;2!;_r_(20+16+12) 96=24r ∴ r=4

따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_10¤ -p_4¤ =84p(cm¤ )

│26~27쪽│

➋회

01

선영：BD”=AD”, BE”=CE”이지만 BD”=BE”인지는 알 수 없다.

민철：△OAD™△OBD, △OAF™△OCF이지만

△OAD™△OAF인지는 알 수 없다.

따라서 틀리게 말한 학생은 선영, 민철이다.

01^{선영, 민철} 02^⑤ 03^60˘ 04^{10 cm} 05^③ 06^195˘ 07^② 08^② 09^①

10

^③

11

^151˘

12

^{15 cm}

13

^{90 cm¤}

14

^④

15

^55˘

16

^135˘

02

점 O는 △ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 AD”=BD”=6(cm), CE”=BE”=5(cm)

CF”=AF”=7(cm)

=12+10+14

=36(cm)

03

오른쪽 그림과 같이 OB”를 그으면 OA”=OB”=OC”이므로

∠OBA=∠OAB=40˘

∴ ∠OCD=∠OBD

=∠ABC-∠OBA

=70˘-40˘=30˘

따라서 △ODC에서

∠COD=180˘-(90˘+30˘)=60˘

04

△ABC에서 ∠A=180˘-(90˘+30˘)=60˘

△AOC에서 OA”=OC”이므로

∠OCA=∠A=60˘

즉, △AOC는 정삼각형이므로 OA”=OC”=AC”=5(cm) 따라서 OB”=OA”=5(cm)이므로 AB”=2 OA”=2_5=10(cm)

05

∠OAB+∠OBC+∠OCA=90˘이므로 20˘+∠OBC+46˘=90˘

∴ ∠OBC=24˘

따라서 △OBC에서 OB”=OC”이므로

∠OCB=∠OBC=24˘

06

∠y=180˘-2_25˘=130˘

∴ ∠x=;2!;∠BOC=;2!;_130˘=65˘

∴ ∠x+∠y=65˘+130˘=195˘

07

^{AB”=AC”이므로}

∠ABC=;2!;_(180˘-52˘)=64˘

∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_64˘=32˘

08

∠IBC=∠a, ∠ICB=∠b라고 하면 점 I가 △ABC의 내심이므로

∠IBD=∠IBC=∠a, ∠ICE=∠ICB=∠b

△ABC에서 80˘+2∠a+2∠b=180˘이므로 2(∠a+∠b)=100˘

∴ ∠a+∠b=50˘

한편, △ADC에서 ∠x=80˘+∠b

△ABE에서 ∠y=80˘+∠a

∴ ∠x+∠y=(80˘+∠b)+(80˘+∠a)

=160˘+∠a+∠b

=160˘+50˘

=210˘

O A

B D C

40˘

30˘

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(12)

09

오른쪽 그림과 같이 IC”를 그으면

∠IAB+∠IBC+∠ICA=90˘

이므로 28˘+30˘+∠ICA=90˘

∴ ∠ICA=32˘

∴ ∠C=2∠ICA=2_32˘=64˘

10

∠BIC=90˘+;2!;∠BAC이므로 125˘=90˘+;2!;∠BAC, ;2!;∠BAC=35˘

∴ ∠BAC=70˘

∴ ∠BAI=;2!;∠BAC=;2!;_70˘=35˘

11

∠BAC=2∠IAB=2_32˘=64˘

∠BIC=90˘+;2!;∠BAC=90˘+;2!;_64˘=122˘이므로

∠BI'C=90˘+;2!;∠BIC=90˘+;2!;_122˘=151˘

12

AD”=AF”=7(cm)이므로 BE”=BD”=13-7=6(cm) CE”=CF”=16-7=9(cm)

∴ `BC”=BE”+CE”=6+9=15(cm)

13

;2!;_24_18=;2!;_r_(24+30+18) 216=36r ∴ r=6

∴ △IBC=;2!;_30_6=90(cm¤ )

14

오른쪽 그림과 같이 IE”를 그으면 사각형 IECF는 정사각형이므로 CE”=CF”=IF”=2(cm) AD”=x cm라고 하면

AF”=AD”=x(cm), BE”=BD”=12-x(cm)이므로 BC”=BE”+CE”=(12-x)+2=14-x(cm) AC”=AF”+CF”=x+2(cm)

∴ △ABC=;2!;_2_{12+(14-x)+(x+2)}

=;2!;_2_28=28(cm¤ )

15

점 I가 △OBC의 내심이므로

∠BIC=90˘+;2!;∠BOC

145˘=90˘+;2!;∠BOC, ;2!;∠BOC=55˘

∴ ∠BOC=110˘

∠A=;2!;∠BOC=;2!;_110˘=55˘

16

△ABC에서 ∠ACB=180˘-(90˘+60˘)=30˘

∠ICA=;2!;∠ACB=;2!;_30˘=15˘

△AOC에서 OA”=OC”이므로 ∠OAC=∠OCA=30˘

따라서 △APC에서 ∠APC=180˘-(30˘+15˘)=135˘

12###cm 2###cm A

B C

D

E F I A

B C

I 28˘

30˘

│28~29쪽│

01⑴ 62˘ ⑵ 60˘ ⑶ 50˘ ⑷ 130˘

02⑴ 18p cm ⑵ 28˘ 03^96˘

04^{22 cm} 05^{8 cm} 06^9˘

07- 6 cm 07- 9 cm 07- 4 cm

01

⑴ 오른쪽 그림과 같이 OC”를 그으면

∠OAB+∠OBC+∠OCA

=90˘이므로

28˘+32˘+∠OCA=90˘

∴ ∠OCA=30˘

∠OCB=∠OBC=32˘

∴ ∠x=∠OCB+∠OCA=32˘+30˘=62˘

⑵ ∠x=;2!;∠AOC=;2!;_120˘=60˘

⑶ 오른쪽 그림과 같이 IA”를 그으면

∠IAB+∠IBC+∠ICA

=90˘이므로

∠IAB+45˘+20˘=90˘

∴ ∠IAB=25˘

∴ ∠x=2∠IAB=2_25˘=50˘

⑷ ∠x=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_80˘=130˘

02

⑴ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로

(외접원의 반지름의 길이)=;2!; BC”=;2!;_18=9(cm) 따라서 외접원의 둘레의 길이는

2p_9=18p(cm)

⑵ 점 M이 △ABC의 외심이므로 MA”=MB”

∴ ∠MAB=∠B=31˘

△ABM에서 ∠AMH=31˘+31˘=62˘

따라서 △AMH에서

∠MAH=180˘-(62˘+90˘)=28˘

03

⑴ △ABC의 외심 O가 BC” 위에 있으므로

∠BAC=90˘

⑵ △ABO에서 OA”=OB”이므로

∠OAB=∠B=42˘

∴ ∠OAC=∠BAC-∠OAB=90˘-42˘=48˘

⑶ 점 O'이 △AOC의 외심이므로

∠OO'C=2∠OAC=2_48˘=96˘

04

⑴ 점 I가 △ABC의 내심이므로

∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DI”=DB”, EI”=EC”

20˘

45˘

x A

B C

I 32˘

28˘

x A

B C

O

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(13)

수 학

12 3. 사각형의 성질

│30, 32쪽│

01⑴ DC”, BC” ⑵ ∠A, ∠D ⑶ CO”, BO”

02⑴ DC”, AD” ⑵ AB”, BC” ⑶ ∠C, ∠D ⑷ AO”, BO”

⑸ DC”, AB” ⑹ BC”, BC”

03;2!;, 10 04△BCP, ;2!;

05⑴ 90˘ ⑵ = ⑶ BO” 06⑴ CD” ⑵ ⊥ ⑶ CO”, BO”

07⑴ 90˘ ⑵ DA” ⑶ AC”, AC” ⑷ CO”

08⑴ ∠B ⑵ AB”, DB” 09h, n, n

│31, 33쪽│

01⑴ 5 cm ⑵ 3 cm ⑶ 16 cm

02⑴ 125˘ ⑵ 55˘ ⑶ 180˘ 03⑴ 2 cm ⑵ 3 cm

04⑴ 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

⑵ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.

⑶ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

⑷ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

⑸ 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.

05DC”, DF”, CF”, DF”, 길이 06⑴ 14 cm¤ ⑵ 3 cm¤

07⑴ 11 cm¤ ⑵ 30 cm¤ 08⑴ 12 ⑵ 5 ⑶ 34 ⑷ 100

09⑴ 5 ⑵ 4 ⑶ 120 ⑷ 90

10

⑴ 6 ⑵ 7 ⑶ 90 ⑷ 45

1 1

⑴ 6 ⑵ 7 ⑶ 115 ⑷ 50

12

해설 참조

13

^{18 cm¤}

14

^{30 cm¤}

종류 성질

두 쌍의 대변이 각각 평행하다.

네 변의 길이가 모두 같다.

네 내각의 크기 가 모두 같다.

두 대각선의 길 이가 같다.

두 대각선이 직 교한다.

평행 사변형

직사

각형 마름모 정사

각형 등변사 다리꼴

◯ ◯ ◯ ◯ ×

× × ◯ ◯ ×

× ◯ × ◯ ×

× ◯ × ◯ ◯

× × ◯ ◯ ×

│34~39^쪽│

대표 유형01³ 01- 6 01- 3 cm01- ③ 대표 유형02^108˘ 02- ① 02- 75˘

02- 130˘

대표 유형03^{28 cm} 03- 11 03- ④

대표 유형04② 04- AB”, DA”, CDA, SSS, AB”, AD”

04- ③

⑵ (△ADE의 둘레의 길이)

=AD”+DE”+EA”

=AB”+AC”

=12+10

=22(cm)

05

삼각형의 내부에 되도록 큰 원을 그려 원의 중심에 시침과 분침을 고정하려면 원의 중심은 △ABC의 내심이어야 한

다. …… [2점]

이때 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

△ABC=;2!;_r_(AB”+BC”+CA”)이므로

;2!;_48_20=;2!;_r_(48+52+20) 480=60r ∴ r=8

따라서 원의 반지름의 길이는 8 cm이다. …… [4점]

06

∠BOC=2∠A=2_48˘=96˘

∠OCB=;2!;_(180˘-96˘)=42˘ ^{…… [2점]}

한편, △ABC에서 AB”=AC”이므로

∠ACB=;2!;_(180˘-48˘)=66˘

∠ICB=;2!;∠ACB=;2!;_66˘=33˘ ^{…… [2점]}

∴ ∠OCI=∠OCB-∠ICB

=42˘-33˘=9˘ …… [1점]

07-

BE”=BD”=7(cm) …… [1점]

CF”=CE”=11-7=4(cm) …… [1점]

∴ AF”=AC”-CF”

=10-4=6(cm) …… [1점]

07-

BE”=x cm라고 하면 BD”=BE”=x(cm) CF”=CE”=12(cm)

AD”=AF”=20-12=8(cm) …… [2점]

이때 △ABC의 둘레의 길이가 58 cm이므로 AB”+BC”+CA”=(8+x)+(x+12)+20=58 2x=18, x=9

∴ BE”=9(cm) …… [2점]

07-

AD”=x cm라고 하면 AF”=AD”=x(cm) BE”=BD”=9-x(cm)

CE”=CF”=7-x(cm) …… [3점]

이때 BC”=BE”+CE”이므로 8=(9-x)+(7-x) 2x=8, x=4

∴ AD”=4(cm) …… [2점]

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(14)

∠BAF=180˘-80˘=100˘이므로

∠BAE=;2!;∠BAF=;2!;_100˘=50˘

따라서 △ABE에서 ∠AEC=50˘+80˘=130˘

대표 유형03 AO”=;2!;AC”=;2!;_14=7(cm) DO”=;2!;BD”=;2!;_18=9(cm) AD”=BC”=12(cm)

∴ (△AOD의 둘레의 길이)=7+9+12=28(cm)

03 -

BO”=DO”이므로 9=3x ∴ x=3 AO”=CO”이므로 6=y-2 ∴ y=8

∴ x+y=3+8=11

03-

②, ③ △AOP™△COQ(ASA 합동)이므로 AP”=CQ”, OP”=OQ”

⑤ △POD™△QOB (ASA 합동)

대표 유형04 ② ∠D=360˘-(110˘+70˘+110˘)=70˘이 므로 ∠A=∠C, ∠B=∠D

따라서 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변형이 된다.

04-

ABCD가 평행사변형이므로 OA”=OC”, OB”=OD”

이때 AE”=CF”이므로

OE”=OA”-AE”=OC”-CF”=OF”

즉, OB”=OD”, OE”=OF”이므로 EBFD는 평행사변 형이다.

따라서 옳지 않은 것은 ③`이다.

대표 유형05 △ABP+△CDP=;2!; ABCD이므로 14+△CDP=;2!;_42 ∴ △CDP=7(cm¤ )

05-

△ABP+△CDP=△ADP+△BCP이므로

△ABP+9=8+16 ∴ △ABP=15(cm¤ )

05-

△OEA≡△OFC(ASA 합동)이므로

△OEA=△OFC

∴ △OED+△OFC=△OED+△OEA

=△ODA=;4!;` `ABCD

=;4!;_36=9(cm¤ )

대표 유형06 BO”=DO”이므로 3x-1=4x-6 ∴` x=5 즉, BO”=3x-1=3_5-1=14이므로

AC”=BD”=2BO”=2_14=28

06-

AD”∥BC”이므로

∠y=∠DAO=90˘-65˘=25°`(엇각)

△AOD는 AO”=DO”인 이등변삼각형이므로

∠x=180˘-2_25˘=130˘

∴ ∠x-∠y=130˘-25˘=105˘

06-

AD”∥BC”이므로 ∠AEF=∠EFC (엇각) 또, ∠AFE=∠EFC(접은 각)이므로

∠AEF=∠AFE 대표 유형05^{7 cm¤} 05- 15 cm¤ 05- ①

대표 유형06²⁸ 06- 105˘ 06- 55˘

06- 세훈, 명근 대표 유형07³⁹ 07- 96 cm¤

07- ∠x=30˘, ∠y=120˘

07- ⑤ 07- 55˘

대표 유형08④ 08- ② 08- 25˘ 08- ⑤ 대표 유형09^{11 cm} 09- ④ 09- 40˘

09- 2 cm

대표 유형

10

①, ④

10

- ㉤, ㉥

10-

④

10-

② 대표 유형

1 1

②

1 1

- 54 cm¤

1 1

- ③

1 1

- 12 cm¤

1 1

- 18 cm¤

01 ^38˘ 02두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

03^75˘

대표 유형01 AB”=DC”이므로 3=2x-1, 2x=4 ∴ x=2 AD”=BC”이므로 7=3y+4, 3y=3 ∴ y=1

∴ x+y=2+1=3

01-

AD”=BC”이므로 2x+2=3x-1 ∴ x=3

∴ AB”=DC”=x+3=3+3=6

01-

BF”∥CD”이므로 ∠BFC=∠DCF (엇각) 또, ∠BCF=∠DCF이므로 ∠BFC=∠BCF 따라서 △BCF는 BC”=BF”인 이등변삼각형이므로 BF”=8 cm

이때 AB”=DC”=5(cm)이므로 AF”=BF”-AB”=8-5=3(cm)

01-

AF”=AD”=10이므로 ∠AFD=∠ADF 또, AD”∥BE”이므로 ∠BEF=∠ADF (동위각)

∴ ∠BFE=∠BEF

따라서 △BFE는 BF”=BE”인 이등변삼각형이므로 BE”=4

이때 BC”=AD”=10이므로 CE”=BC”-BE”=10-4=6 대표 유형02 ∠B+∠C=180˘이므로

∠C=180˘_ =180˘_;5#;=108˘

∴ ∠A=∠C=108˘

02-

∠y=∠D=60˘

AB”∥DC”이므로 ∠ACD=∠BAC=70˘ (엇각)

△ACD에서 ∠x=180˘-(60˘+70˘)=50˘

∴ ∠y-∠x=60˘-50˘=10˘

02-

∠DAB=∠C=100˘이므로

∠BAE=100˘-25˘=75˘

AB”∥DC”이므로 ∠AED=∠BAE=75˘ (엇각)

02-

AD”∥BC”이므로

∠FBE=∠AFB=180˘-140˘=40˘ (엇각)

∠ABE=2∠FBE=2_40˘=80˘

3 2+3

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(15)

수 학

따라서 △AFE는 AF”=AE”인 이등변삼각형이고

∠EAF=90˘-20˘=70˘이므로

∠AEF=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

06-

세훈, 명근：평행사변형에서 한 내각이 직각이거나 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 된다.

따라서 바르게 적은 학생은 세훈, 명근이다.

대표 유형07 ∠AOD=90˘이므로 △AOD에서

∠ADO=180˘-(58˘+90˘)=32˘ ∴ x=32 BC”=CD”이므로 2y-3=11, 2y=14 ∴ y=7

∴ x+y=32+7=39

07-

마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 ABCD=4△ABO=4_{;2!;_8_6}=96(cm¤ )

07-

AB”=AD”이므로 ∠x=∠ADB=30˘

△ABD에서 ∠A=180˘-2_30˘=120˘이므로

∠y=∠A=120˘

07 -

①, ②, ④ 평행사변형 ABCD가 직사각형이 되기 위한 조건이다.

⑤ 평행사변형 ABCD의 두 대각선이 직교하므로 마름 모가 된다.

07-

^CB”=CD”이므로 ∠CDB=;2!;_(180˘-110˘)=35˘

∴`∠AEB=∠DEF=180˘-(90˘+35˘)=55˘

대표 유형08 △ADE와 △CDE에서

AD”=CD”, DE”는 공통, ∠ADE=∠CDE=45˘

∴ △ADE™△CDE (SAS 합동)

따라서 ∠DCE=∠DAE=23˘이므로 △CDE에서

∠x=45˘+23˘=68˘

08-

정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하므로

ABCD=4△AOD=4_{;2!;_5_5}=50

08-

△DEA에서 DA”=DE”이므로

∠EDA=180˘-2_70˘=40˘

∴ ∠EDC=∠EDA+∠ADC=40˘+90˘=130˘

이때 DE”=DC”이므로

∠DCE=;2!;_(180˘-130˘)=25˘

08-

⑤ ABCD는 직사각형이므로 AC”⊥BD”이면 정사각 형이 된다.

대표 유형09 AE”∥`DC”가 되도록 AE”를 그으면 △ABE는 정 삼각형이므로

BE”=AB”=6(cm)

또, AECD는 평행사변형이므로 EC”=AD”=5(cm)

∴ BC”=BE”+EC”=6+5=11(cm)

09-

△ABC에서 ∠ACB=180˘-(85˘+65˘)=30˘

∠DCB=∠B=65˘이므로

∠x+30˘=65˘ ∴ ∠x=35˘

6 cm 5 cm

B

A D

E C 60˘ 60˘ 60˘

60˘

09-

AB”=AD”이므로 ∠ABD=∠ADB

또, AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠DBC (엇각) 따라서 ∠ABD=∠DBC이므로

∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;∠C=;2!;_80˘=40˘

09-

꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수 선의 발을 E라고 하면 HE”=AD”=4(cm)

△ABH™△DCE (RHA 합동)이므로

BH”=CE”=;2!;_(8-4)=2(cm)

대표 유형

10

② 한 내각의 크기가 90˘인 평행사변형은 직사각 형이다.

③ 등변사다리꼴도 두 대각선의 길이가 같은 사각형이다.

⑤ 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형은 직사 각형이다.

10-

④ 직사각형에서 이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대 각선이 직교하면 정사각형이 된다.

10-

② 직사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 마름모이다.

대표 유형

11

AE”를 그으면 AC”∥DE”이므로

△ACD=△ACE

∴ ABCD

=△ABC+△ACD=△ABC+△ACE

=△ABE=;2!;_(14+6)_10=100(cm¤ )

11-

AD”∥BC”이므로 △DBC=△ABC=90(cm¤ )

∴ △OBC=△DBC-△CDO=90-36=54(cm¤ )

11-

BN”=NC”이므로 △ABN=△ANC AD”∥BC”이므로 △ANC=△DNC AC”∥MN”이므로 △ANC=△AMC AM”=MB”이므로 △AMC=△MBC

∴ △ABN=△ANC=△DNC=△AMC=△MBC 따라서 △ABN과 넓이가 항상 같다고 할 수 없는 것은

③ △DMN이다.

11-

BD”：DC”=2：1이므로

△ADC=△ABC_ =48_;3!;=16(cm¤ ) AP”：PD”=3：1이므로

△APC=△ADC_ =16_;4#;=12(cm¤ )

11 -

AC”를 그으면

△ACD=;2!; ABCD

=;2!;_60=30(cm¤ ) 이때 AP”：PD”=2：3이므로

△PCD=△ACD_ 3 =30_;5#;=18(cm¤ ) 2+3

P

B C

A D

3 3+1

1 2+1

8`cm A 4`cm

B C

D

E H

B E

A D

H C

14 cm 10 cm

6 cm

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(16)

04

AB”∥DC”이므로 ∠y=∠BDC=40˘ (엇각)

△BCD에서 ∠C=180˘-(30˘+40˘)=110˘

∴ ∠x=∠C=110˘

∴ ∠x-∠y=110˘-40˘=70˘

05

∠BAD=180˘-60˘=120˘이므로

∠BAE=120˘_ =120˘_;4#;=90˘

AB”∥DC”이므로 ∠AED=∠BAE=90˘ (엇각)

07

③ AD”∥BC” 또는 AB”=DC”인 조건이 추가되어야 평행 사변형이다.

08

^{MN”을 그으면} ^ABNM,

MNCD는 모두 평행사변형 이다.

∴ MPNQ

=△MPN+△MQN=;4!; ABNM+;4!; MNCD

=;4!; ABCD=;4!;_48=12(cm¤ )

09

^{AO”=BO”이므로}

∠OBA=∠OAB=90˘-35˘=55˘ ∴ x=55 BD”=AC”=2AO”=2_6=12(cm) ∴ y=12

∴ x+y=55+12=67

10

△AOE≡△COF(ASA 합동)이므로 EO”=FO”

즉, AO”=CO”, EO”=FO””이므로 AFCE는 평행사변형 이다.

이때 AC”⊥EF”이므로 AFCE는 마름모이다.

따라서 AFCE의 둘레의 길이는 4_9=36(cm)

11

△ABE≡△BCF(SAS 합동)이므로

∠FBC+∠BEA=∠EAB+∠BEA=180˘-90˘=90˘

△OBE에서

∠BOE=180˘-(∠OBE+∠OEB)=180˘-90˘=90˘

∴ ∠AOF=∠BOE=90˘ (맞꼭지각)

12

민지：평행사변형 ABCD에서 AB”=AD”이면 마름모이 다. 따라서 마름모 ABCD에서 AO”=BO”이면 두 대각선의 길이가 같으므로 정사각형이 된다.

13

AE”∥DC”가 되도록 AE”를 그 으면 △ABE는 정삼각형이 므로 BE”=AB”=8(cm) 또, AECD는 평행사변형 이므로 EC”=AD”=6(cm)

∴ BC”=BE”+EC”=8+6=14(cm)

14

④ 정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하므로 ㉠, ㉡, ㉢이다.

15

AC”∥DE”이므로 △ACD=△ACE=17(cm¤ )

∴ △ABC= ABCD-△ACD=45-17=28(cm¤ )

16

△ABC=;2!; ABCD=;2!;_50=25(cm¤ ) 이때 AP”：PC”=1：4이므로

△PBC=△ABC_ 4 =25_;5$;=20(cm¤ ) 1+4

A

B C

D

E 6 cm 8 cm 120˘

60˘ 60˘ 60˘

A

P Q

D

B C

N M 3

3+1

01

④ 두 대각선의 길이는 같지 않을 수도 있다.

02

AD”∥BC”이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) 또, ∠BAE=∠DAE이므로 ∠BAE=∠BEA 따라서 △ABE는 BE”=BA”인 이등변삼각형이므로 BE”=4(cm)

이때 BC”=AD”=5(cm)이므로 EC”=BC”-BE”=5-4=1(cm)

03

△ABE와 △DFE에서

AE”=DE”, ∠AEB=∠DEF(맞꼭지각),

∠BAE=∠FDE(엇각)

∴ △ABE™△DFE (ASA 합동)

따라서 DF”=AB”=7(cm), CD”=AB”=7(cm)이므로 CF”=CD”+DF”=7+7=14(cm)

│실수하기

쉬운 문제│

01

△BCE와 △FDE에서 CE”=DE”,

∠BEC=∠FED(맞꼭지각), ∠BCE=∠FDE(엇각)

∴ △BCE™△FDE (ASA 합동)

∴ ∠EFD=∠EBC=19˘, FD”=BC”

△AHF는 직각삼각형이고, FD”=BC”=AD”이므로 점 D 는 △AHF의 외심이다.

즉, DH”=DF”이므로 ∠DHF=∠DFH=19˘

따라서 △DHF에서 ∠ADH=19˘+19˘=38˘

02

△ABC와 △DBE에서

AB”=DB”, BC”=BE”, ∠ABC=60˘-∠EBA=∠DBE

∴ △ABC™△DBE (SAS 합동)

같은 방법으로 △ABC™△FEC (SAS 합동)

∴ DE”=AC”=AF”, DA”=BA”=EF”

따라서 AFED는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다.

03

CD”의 연장선 위에 BP”=DE”인 점 E를 잡으면

△ABP™△ADE (SAS 합동)

△APQ와 △AEQ에서 AP”=AE”, AQ”는 공통,

∠PAQ=45˘=∠BAP+∠DAQ

=∠DAE+∠DAQ=∠EAQ

∴ △APQ™△AEQ (SAS 합동)

∴ ∠AQD=∠AQP=180˘-(45˘+60˘)=75˘

A

C D E

B P

45˘ Q

60˘

│40~41^쪽│

01 ④ 02③ 03^{14 cm} 04② 05^90˘

06360, 180, 180, BC”, 엇각, DC” 07③

08^{12 cm¤} 09⁶⁷

10

³⁶^cm

11

③

12

민지

13

④

14

④

15

^{28 cm¤}

16

^{20 cm¤}

➊회

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(17)

수 학 01

AD”=BC”이므로 5x-1=9, 5x=10 ∴ x=2

AB”=DC”이므로 7=x+y, 7=2+y ∴ y=5

02

AD”∥BC”이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) 또, ∠BAE=∠DAE이므로 ∠BAE=∠BEA 따라서 △BEA는 BA”=BE”인 이등변삼각형이므로 BE”=5(cm)

같은 방법으로 CF”=CD”=AB”=5(cm) 이때 BF”=BC”-CF”=8-5=3(cm)이므로 FE”=BE”-BF”=5-3=2(cm)

03

∠A+∠B=180˘이므로

∠B=180˘_ =180˘_;9$;=80˘

∴ ∠D=∠B=80˘

04

∠ADC=180˘-110˘=70˘이므로

∠ADF=;2!;∠ADC=;2!;_70˘=35˘

△AFD에서

∠DAF=180˘-(90˘+35˘)=55˘

이때 ∠BAD=∠C=110˘이므로

∠BAF=∠BAD-∠DAF=110˘-55˘=55˘

05

② BD”의 길이는 알 수 없다.

06

⑤ ∠ABD=∠CDB(엇각)이므로 AB”∥DC”

즉, AB”=DC”, AB”∥DC”이므로 ABCD는 평행사변 형이 된다.

07

② RHA

08

△ADP+△BCP=;2!; ABCD=;2!;_54=27(cm¤ )

09

∠BAD+∠ABC=180˘이므로

∠BAE+∠ABE=90˘

△ABE에서 ∠AEB=180˘-90˘=90˘이므로

∠HEF=∠AEB=90˘ (맞꼭지각)

같은 방법으로 ∠EFG=∠FGH=∠GHE=90˘

따라서 EFGH는 직사각형이다.

10

∠ABC=∠ADC=76˘이고 BA”=BC”이므로

∠x=;2!;_(180˘-76˘)=52˘

△AFC에서 ∠FAC=180˘-(90˘+52˘)=38˘

△AEO에서 ∠y=180˘-(90˘+38˘)=52˘

∴ ∠x+∠y=52˘+52˘=104˘

11

△OBE와 △OCF에서

OB”=OC”, ∠OBE=∠OCF=45˘,

∠BOE=90˘-∠EOC=∠COF

∴ △OBE™△OCF (ASA 합동) 4

5+4

│42~43^쪽│

01x=2, y=5 02② 03④ 04^55˘ 05②

06⑤ 07② 08^{27 cm¤} 09⑤

10

③

11

^{100 cm¤}

12

^84˘

13

경미, 준수

14

②, ③

15

^{18 cm¤}

16

^{6 cm¤}

➋회

따라서 △OBE=△OCF이므로

(포개어진 부분의 넓이)=△OEC+△OCF

=△OEC+△OBE

=△OBC=;4!; ABCD

=;4!;_20_20=100(cm¤ )

12

AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠DBC=32˘ (엇각) AB”=AD”이므로 ∠ABD=∠ADB=32˘

△ABC™△DCB이므로 ∠ACB=∠DBC=32˘

∠BAC=180˘-(32˘+32˘+32˘)=84˘

13

태양：네 변의 길이가 모두 같은 평행사변형은 마름모이다.

미애：평행사변형에서 이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대각선이 직교하면 마름모가 된다.

따라서 바르게 말한 학생은 경미, 준수이다.

14

㉠ 한 내각이 직각이거나 두 대각선의 길이가 같다.

㉡ 이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대각선이 직교한다.

15

AD”∥BC”이므로 △DBC=△ABC=42(cm¤ ) 이때 OB”：OD”=4：3이므로

△DOC=△DBC_ =42_;7#;=18(cm¤ )

16

△ABE=△ABF+△FBE,

△DBC=△DFE+△FBE+△EBC이고,

△ABE=△DBC이므로

20+△FBE=△DFE+△FBE+14

∴ △DFE=20-14=6(cm¤ ) 3 4+3

01

⑴ AB”=CD”이므로 2x-5=13, 2x=18 ∴ x=9

⑵ AO”=;2!;BD”이므로 3x+1=;2!;_20 3x=9 ∴ x=3

⑶ BO”=CO”이므로 9-x=5x-3, 6x=12 ∴ x=2

02

⑴ AE”∥DB”이므로 △ABD=△EBD EB”=BC”이므로 △EBD=△BCD

∴ △ABD=△EBD=△BCD

⑵ AE”∥DB”이므로 △ABD=△EBD

∴ ABCD=△ABD+△DBC

=△EBD+△DBC=△DEC

⑶ AE”∥DB”이므로 △ABD=△EBD

∴ ABCD=△ABD+△DBC=△EBD+△DBC

=△DEC=;2!;_12_4=24(cm¤ )

│44~45^쪽│

01⑴ 9 ⑵ 3 ⑶ 2

02⑴ △EBD, △BCD ⑵ △DEC ⑶ 24 cm¤

03^38˘ 04^150˘ 05⁴^{2 cm} 06승현, 현진

07- 26 cm¤ 07- 6 cm¤ 07- 40 cm¤

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(18)

03

⑶ AC”：DF”=2：3이므로 AC”：12=2：3 3AC”=24 ∴ AC”=8(cm)

04

⑶ DE”：ST”=1：2이므로 3：ST”=1：2

∴ ST”=6(cm)

07

⑴ AB”¤ =BH”_BC”이므로 6¤ =4_(4+x) 36=16+4x, 4x=20 ∴ x=5

⑵ AH”¤ =BH”_CH”이므로 4¤ =8x ∴ x=2

01 -

③ 두 부채꼴의 중심각의 크기가 같을 때, 두 부채꼴은 닮은 도형이다.

VIII ^{. 도형의 닮음}

1. 도형의 닮음

│46쪽│

01^ª 02⑴ 점 E ⑵ AB” ⑶ ∠D

031, 2 04^SAS

│47쪽│

01⑴ ⑵ × ⑶ ⑷ × ⑸ ×

02⑴ ABCDª EFGH⑵ 점 G ⑶ EH” ⑷ ∠B

03⑴ 2：3 ⑵ 85˘ ⑶ 8 cm

04⑴ 1：2 ⑵ 면 PSUR ⑶ 6 cm

05㉠`과 ㉥ `(AA 닮음), ㉡`과 ㉤ `(SSS 닮음),

㉢`과 ㉣ `(SAS 닮음)

0616, 4, AD”, 9, 3, ∠A, SAS

07⑴ 5 ⑵ 2

│48~51쪽│

대표 유형01㉠, ㉤ 01- ③ 01- ② 대표 유형02⑤ 02- :¡5§: 02- ⑤ 대표 유형03⁷ 03- 9 cm03- ⑤ 대표 유형04③, ⑤ 04- ② 04- ①

대표 유형05④ 05- AD”, ∠A, SAS, 2, 2, 18, 6

05- 6 cm

대표 유형06^{13 cm} 06- ③ 06- ②

06- 8 cm

대표 유형07^{12 cm} 07- ④ 07- :™4∞: cm 대표 유형08③ 08- ③ 08- 39 cm¤

08- 12 km

01^{9 cm} 02;3*; cm 03:¡5§: cm

03

⑴ △ABP와 △CDQ에서

AB”=CD”, ∠APB=∠CQD=90˘,

∠BAP=∠DCQ(엇각)

∴ △ABP™△CDQ (RHA 합동)

⑵ ∠BPQ=∠DQP=90˘ (엇각)이므로 BP”∥DQ”

또, △ABP™△CDQ이므로 BP”=DQ”

따라서 PBQD는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이 가 같으므로 평행사변형이다.

⑶ ∠PBQ=∠PDQ=180˘-(52˘+90˘)=38˘

04

⑴ ∠ABE=90˘-60˘=30˘이고 BA”=BE”이므로

∠AEB=;2!;_(180˘-30˘)=75˘

⑵ ∠DCE=90˘-60˘=30˘이고 CD”=CE”이므로

∠DEC=;2!;_(180˘-30˘)=75˘

⑶ ∠AEB=∠DEC=75˘, ∠BEC=60˘이므로

∠AED=360˘-(75˘+60˘+75˘)=150˘

05

AD”∥BC”이므로 ∠AEB=∠DAE (엇각) 또, ∠BAE=∠DAE이므로 ∠BAE=∠BEA 따라서 BE”=BA”=10(cm)이므로

AD”=BC”=BE”+EC”=10+4=14(cm) …… [2점]

AB”∥DF”이므로 ∠DFA=∠BAE (엇각) 또, ∠BAE=∠DAE이므로 ∠DFA=∠DAE 이때 ∠D=∠B=60˘이므로 △AFD는 한 변의 길이가

14 cm인 정삼각형이다. …… [2점]

∴ (△AFD의 둘레의 길이)=3_14=42(cm) …… [1점]

06

승현：㉢`은 한 내각이 직각이거나 두 대각선의 길이가 같 다는 조건이 필요하다. …… [2점]

현진：㉣`은 이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대각선이 직교한다는 조건이 필요하다. …… [2점]

따라서 틀리게 말한 학생은 승현, 현진이다. …… [1점]

07 -

△ABP+△CDP=;2!; ABCD이므로 ^{…… [2점]}

13=;2!; ABCD

∴ ABCD=26(cm¤ ) …… [1점]

07-

△APO와 △CQO에서

AO”=CO”, ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각),

∠PAO=∠QCO(엇각)

∴ △APO™△CQO (ASA 합동) …… [2점]

∴ △APO+△QDO=△CQO+△QDO

=△CDO=;4!; ABCD

=;4!;_24=6(cm¤ ) …… [2점]

07-

BC”=EC”, DC”=FC”이므로 BFED는 평행사변형이

다. …… [2점]

ABCD=4△ABO=4_5=20(cm¤ )이므로

△BCD=;2!; ABCD=;2!;_20=10(cm¤ )^{…… [2점]}

∴ BFED=4△BCD=4_10=40(cm¤ )…… [1점]

1. 이등변삼각형과 직각삼각형

수 학

수학

VII . 도형의 성질

1. 이등변삼각형과 직각삼각형

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수 학 06-

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VII ^{. 도형의 성질}