전기자기학 2013년도 1학기 기말시험 문제지 및 답안지

2013. 1 학기 전기자기학 기말고사

다음 문제에 선택해 답하시오.

1.다음은 Maxwell 방정식이다. 물음에 답하시오.(40)

① E, H, D, B 의 단위와 보조식 3개를 쓰시오.

② 발산정리와 Stokes 정리를 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오.

③ 2개의 항등식을 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오.

④ Gauss 법칙을 유도하고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오.

⑤ 물질상수 r, e, m와 R(저항), C(정전용량), L(유도용량)과의 관계를 수식으로

나타내시오.(이때 형상에 따른 기호를 반드시 같이 표기 해야 함)

⑥ Poisson과 Laplace 방정식을 유도하시오.

⑦ Maxwell 법칙을 이용해 연속방정식(Equation of Continuity)을 유도하시오.

ˆ Maxwell 법칙을 이용해 KVL과 KCL을 기술하시오

2. 정전계에 있어서 다음 물음에 답하시오.(25)

① 자유공간에서 정전계의 기본 가정(미분형)을 쓰고, 적분형을 유도하시오.

② 점전하 Q에 의한 거리 R에서의 전계는?

③ 대기 중에서 균일한 선전하 밀도 r

ℓ

을 갖는 무한히 긴 선전하의 전계 강도

를 구하시오

④ 균일한 면전하 r

s

을 갖는 무한 면전하의 전계강도를 구하시오

⑤ 정전계에서 유전체(e

1

)와 유전체 (e

2

) 사이에서의 경계조건을 구하시오.

3. 양(+)점전하 Q가 내경이 R

_i

이고, 외경이 R

₀

인 구형 도체각(shell)의 중심에

있다. 반지름 R의 함수로 전계 E와 전위 V를 구하고 그림을 그리시오(15)

4. 다음 그림과 같이 원통 커패시터는 반경 a인 내부 도체와 내경이 b인 외부 도

체로 구성된다. 고체 사이의 공간은 유전률 e의 유전체로 채워져 있으며 커패

시터의 길이는 L이다. 정전용량을 구하시오.(10)

0

,

,

,

Ñ

×

=

Ñ

×

=

¶

¶

+

=

´

Ñ

¶

¶

-=

´

Ñ

E

B

H

J

D

D

r

B

t

t

2013. 1 학기 전기자기학 기말고사

다음 문제에 선택해 답하시오.

1.다음은 Maxwell 방정식이다. 물음에 답하시오.(40)

① E, H, D, B 의 단위와 보조식 3개를 쓰시오.

② 발산정리와 Stokes 정리를 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오.

③ 2개의 항등식을 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오.

④ Gauss 법칙을 유도하고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오.

⑤ 물질상수 r, e, m와 R(저항), C(정전용량), L(유도용량)과의 관계를 수식으로

나타내시오.(이때 형상에 따른 기호를 반드시 같이 표기 해야 함)

⑥ Poisson과 Laplace 방정식을 유도하시오.

⑦ Maxwell 법칙을 이용해 연속방정식(Equation of Continuity)을 유도하시오.

ˆ Maxwell 법칙을 이용해 KVL과 KCL을 기술하시오

2. 정전계에 있어서 다음 물음에

답 하 시 오 .(

25

) ①

자유공간에서 정전계의 기본 가정(미분형)을 쓰고, 적분형을 유도하시오.

② 점전하 Q에 의한 거리 R에서의 전계는?

③ 대기 중에서 균일한 선전하 밀도 r

ℓ

을 갖는 무한히 긴 선전하의 전계 강도

를 구하시오

④ 균일한 면전하 r

s

을 갖는 무한 면전하의 전계강도를 구하시오

⑤ 정전계에서 유전체(e

1

)와 유전체 (e

2

) 사이에서의 경계조건을 구하시오.

3. 양(+)점전하 Q가 내경이 R

_i

이고, 외경이 R

₀

인 구형 도체각(shell)의 중심에

있다. 반지름 R의 함수로 전계 E와 전위 V를 구하고 그림을 그리시오(15)

4. 다음 그림과 같이 원통 커패시터는 반경 a인 내부 도체와 내경이 b인 외부 도

체로 구성된다. 고체 사이의 공간은 유전률 e의 유전체로 채워져 있으며 커패

시터의 길이는 L이다. 정전용량을 구하시오.(10)

5. 미소 거리 d 만큼 떨어진, 크기는 같고 부호는 서로 다른 점전하 +q, -q로

구성된 전기 쌍극자(electric dipole)가 z 방향으로 있다. 쌍극자로부터 거리

R (>>d)에 있는 임의의 점 P에서의 전위와 전계를 구하시오.(10)

6. 두 도체 사이에 전압이 인가되었을 때 누설저항(R)과 정전용량(C) 사이의

관계식을 유도하시오.(10)

7. 면적 S와 간격 d를 갖는 평행판 커패시터가 전압 V로 대전되어 있고, 유전

률이 e 일 때 다음 물음에 답하시오. (가장자리 효과(edge effect)를 무시)

① 축적된 정전에너지를 구하시오. (8)

② 판 사이의 체적전하밀도

r

_v

= - y 인 전자의 연속분포로 채워졌다고 가정

했을 때 판 사이의 임의의 위치에서의 전위를 구하시오.(8)

8. 도체 내부에 들어온 전하(r

_v

, t=0)는 짧은 시간에 도체 표면으로 이동하며

평형조건 하에서는 r

_v

=0, E=0가 된다. 평형상태에 도달할 때까지의 완화시

간(relaxation time) t를 구하시오. (10)

9. 자기가 공부한 내용 중 출제되지 않은 부분이 있으면 그 부분에 대하여 기

술하시오.(5)

5. 미소 거리 d 만큼 떨어진, 크기는 같고 부호는 서로 다른 점전하 +q, -q로

구성된 전기 쌍극자(electric dipole)가 z 방향으로 있다. 쌍극자로부터 거리

R (>>d)에 있는 임의의 점 P에서의 전위와 전계를 구하시오.(10)

6. 두 도체 사이에 전압이 인가되었을 때 누설저항(R)과 정전용량(C) 사이의

관계식을 유도하시오.(10)

7. 면적 S와 간격 d를 갖는 평행판 커패시터가 전압 V로 대전되어 있고, 유전

률이 e 일 때 다음 물음에 답하시오. (가장자리 효과(edge effect)를 무시)

① 축적된 정전에너지를 구하시오. (8)

② 판 사이의 체적전하밀도

r

_v

= - y 인 전자의 연속분포로 채워졌다고 가정

했을 때 판 사이의 임의의 위치에서의 전위를 구하시오.(8)

8. 도체 내부에 들어온 전하(r

_v

, t=0)는 짧은 시간에 도체 표면으로 이동하며

평형조건 하에서는 r

_v

=0, E=0가 된다. 평형상태에 도달할 때까지의 완화시

간(relaxation time) t를 구하시오. (10)

9. 자기가 공부한 내용 중 출제되지 않은 부분이 있으면 그 부분에 대하여 기

술하시오.(5)

y

x

d

0

면적 S

E

유전율 e

V

다음 문제에 대하여 답하시오.

1.다음은 Maxwell 방정식이다. 물음에 답하시오.(30)

① E, H, D, B 의 단위와 이들 사이의 관계를 나타내는 보조식 3개는 ?

② 발산정리와 Stokes 정리를 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오

.

.

○ 벡터의 발산(divergence)

표면적이 S 인 미소체적

Ä

v 로부터 외부로 빠져나가는 임의의 물리

량인 벡터 A 의 총량을 미소체적 Δv 로 나눈 스칼라 값

○ 발산정리(divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss theorem)

임의의 체적 V 에서 발산되는 총량 = 체적 V 의 폐곡면

S

를 통

해 빠져나가는 총량 (찐방 공식으로 찐방 내부에서 발생한 김은 찐

방 표면을 통해서 빠져나가는 양과 같다. 틀리면 찐방이 부풀어 오르

거나 쪼그라짐)

2013-1 전자기학 기말고사 답안지

0

,

,

,

Ñ

×

=

Ñ

×

=

¶

¶

+

=

´

Ñ

¶

¶

-=

´

Ñ

D

B

t

D

J

H

t

B

E

r

r

r

r

r

r

r

r

E 전계, 전기력선 밀도 V/m N/C Lines/m2 H 자계, 자기력선 밀도 A/m N/Wb Lines/m2 D 전속밀도, 전속선 밀도 C/m2 _{- Lines/m}2 B 자속밀도, 자속선 밀도 Wb/m2 T=104 Gauss Lines/m 2

도전률

투자율

유전률

법칙

의

:

,

:

,

:

)

s

m

e

s

m

e

E

B

H

J

E

Ohm

D

=

,

=

,

=

(

다음 문제에 대하여 답하시오.

1.다음은 Maxwell 방정식이다. 물음에 답하시오.(30)

① E, H, D, B 의 단위와 이들 사이의 관계를 나타내는 보조식 3개는 ?

② 발산정리와 Stokes 정리를 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오

.

.

○ 벡터의 발산(divergence)

표면적이 S 인 미소체적

Ä

v 로부터 외부로 빠져나가는 임의의 물리

량인 벡터 A 의 총량을 미소체적 Δv 로 나눈 스칼라 값

○ 발산정리(divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss theorem)

임의의 체적 V 에서 발산되는 총량 = 체적 V 의 폐곡면

S

를 통

해 빠져나가는 총량 (찐방 공식으로 찐방 내부에서 발생한 김은 찐

방 표면을 통해서 빠져나가는 양과 같다. 틀리면 찐방이 부풀어 오르

거나 쪼그라짐)

v s d A A S v D × = × Ñ

ò

® D r r r

lim

0 정의 수학적 ] [ P P _P (a) 양의 발산

(

b) 음의 발산 (c) 0의 발산

dv

A

s

d

A

V S

r

r

r

ò

ò

×

=

Ñ

×

○ 벡터의 회전(circulation) 미소면적 ∆S 를 감싸는 폐경로 L을 따라 벡터 A를 선적분한 값을 미소면적 ∆S 로 나눈 것 ○ 스톡스 정리(Stokes theorem) : 벡터 A에 대한 면적 S 를 감싸는 폐곡선 L 상의 선적분은 면적 S 를 수직으로 관통하는 의 법선성분의 면적분

③ 2개의 항등식을 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오.

: 스칼라계의 기울기의 회전은 0이다. : 임의의 벡터계 회전의 발산은 0이다. ④ Gauss 법칙을 유도하고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오. ○ Maxwell 제 3 법칙 : 이 수식에 발산정리를 적용하면, 다음과 같이 Gauss 법칙이 유도됨. 따라서, Gauss 법칙은 자유공간에서 임의의 폐곡면 S를 통하여 나가는 총 전속(또는 전 기력선 수)는 체적 V 내에 존재하는 총 전하 (또는 총 전하를 e₀로 나눈 수) 와 같다. n s l d A Lim A L s 0 _úˆ ú û ù ê ê ë é D × = ´ Ñ

ò

® D r v r 회전 벡터의 방향 P 회전 벡터의 방향 P

ò

ò

×

=

Ñ

´

×

S L

A

d

l

A

d

s

r

r

r

r

)

(

0 ) (Ñ º ´ Ñ V 0 ) (Ñ´ º × Ñ A A ´ Ñ 면S s d l d L 폐곡선 미소면적 미소길이

+

=

○ 벡터의 회전(circulation) 미소면적 ∆S 를 감싸는 폐경로 L을 따라 벡터 A를 선적분한 값을 미소면적 ∆S 로 나눈 것 ○ 스톡스 정리(Stokes theorem) : 벡터 A에 대한 면적 S 를 감싸는 폐곡선 L 상의 선적분은 면적 S 를 수직으로 관통하는 의 법선성분의 면적분

③ 2개의 항등식을 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오.

: 스칼라계의 기울기의 회전은 0이다. : 임의의 벡터계 회전의 발산은 0이다. ④ Gauss 법칙을 유도하고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오. ○ Maxwell 제 3 법칙 : 이 수식에 발산정리를 적용하면, 다음과 같이 Gauss 법칙이 유도됨. 따라서, Gauss 법칙은 자유공간에서 임의의 폐곡면 S를 통하여 나가는 총 전속(또는 전 기력선 수)는 체적 V 내에 존재하는 총 전하 (또는 총 전하를 e₀로 나눈 수) 와 같다. 0 ) (Ñ´ º × Ñ A

r

=

×

Ñ D

Q

dV

dV

D

D

V V V V

Þ

Ñ

×

=

=

=

×

Ñ

r

_òòò

(

)

_òòò

r

0

)

(

e

e

E

E

d

s

Q

D

Q

s

d

D

s

d

D

dV

D

S S S V

=

×

=

=

×

Þ

×

=

×

Ñ

òò

òò

òò

òòò

,

이므로

⑤ 물질상수 r, e, m와 R(저항), C(정전용량), L(유도용량)과의 관계를 수식으

로 나타내시오.(이때 형상에 따른 기호를 반드시 같이 표기 해야 함)

○ 저항률 r (=1/s)인 물채의 저항률 (W) ○ 유전률이 e인 콘덴서의 정전용량(C) (단, Edge부분의 전계 집중을 무시) ○ 투자률이 m인 이고, 권선수가 n인 솔레노이드(또는 전자석)의 유도용량(L) (단, Edge부분에서의 누설자속은 무시) ⑥ Poisson과 Laplace 방정식을 유도하시오. ○ 임의의 매질에서 성립하는 정전계의 2개의 기본적인 미분방정식 : 여기서 항등식(기울기의 회전은 항상 0이다)을 적용하면, 선형이고 등방성 매질에서는 가 성립함으로, 유전률 e는 위치의 함수이며, 균질한 매질에 대하여 상수이며, 발산 연산자 밖으로 나올 수 있다. 따라서, Poisson 방정식이 유도됨. 면적 S 간격 d 유전률 e

]

[F

d

S

C

=

e

]

[W

=

S

R

r

l

길이 ℓ 저항률 e (도전률 s 역수) 면적 S

⑤ 물질상수 r, e, m와 R(저항), C(정전용량), L(유도용량)과의 관계를 수식으

로 나타내시오.(이때 형상에 따른 기호를 반드시 같이 표기 해야 함)

○ 저항률 r (=1/s)인 물채의 저항률 (W) ○ 유전률이 e인 콘덴서의 정전용량(C) (단, Edge부분의 전계 집중을 무시) ○ 투자률이 m인 이고, 권선수가 n인 솔레노이드(또는 전자석)의 유도용량(L) (단, Edge부분에서의 누설자속은 무시) ⑥ Poisson과 Laplace 방정식을 유도하시오. ○ 임의의 매질에서 성립하는 정전계의 2개의 기본적인 미분방정식 : 여기서 항등식(기울기의 회전은 항상 0이다)을 적용하면, 선형이고 등방성 매질에서는 가 성립함으로, 유전률 e는 위치의 함수이며, 균질한 매질에 대하여 상수이며, 발산 연산자 밖으로 나올 수 있다. 따라서, Poisson 방정식이 유도됨.

]

[

2

H

s

n

L

l

m

=

길이 ℓ 투자율 m 면적 S 권선수 n 0 , Ñ´ = = × Ñ D r_V E V E=-Ñ E D=e Ñ×eE =r_V ÞÑ×(eÑV)=-r_V 0 2 = Ñ V 자유전하가 없는 단순 매질에서는 r_v가 0이고, 다음과 같이 Laplace 방 정식으로 변환됨. e r_v V = -Ñ2

⑦ Maxwell 법칙을 이용해 연속방정식(Equation of Continuity)을 유도하시오

○ 자유공간에서 Maxwell 제 2 법칙은 다음과 같다. 이 수식에 “임의의 벡터계 회전의 발산은 0이다”라는 항등식을 적용하면 다음과 같이 된다. 여기서, Maxwell 제 3 법칙( )을 적용하면 다음과 같이 된다.

ˆ Maxwell 법칙을 이용해 KVL과 KCL을 기술하시오 .

○ 정전계에서 Maxwell 제 1 법칙은 다음과 같다. 위 수식에 발산정리(주둥이 공식)을 적용하면 다음과 같이 loop 전압의 합이 0이 된다. 즉, KVL 식이 유도된다. ○ 정상전류에서 시간에 따른 전하의 변화는 없다. 즉, 연속방정식이 다음과 같이 변환된다. 또는 Maxwell 제 2 법칙은 시간에 따르는 변화가 없기 때문에 다음과 같이 변환되는 것으로 생각할 수도 있다. 이 수식에 항등식(회전의 발산은 항상 0이다)을 적용하면 다음과 같은 수식이 되고, 이것은 발산은 0이라는 것을 나타내고 들어오는 전류와 나가는 전류의 합은 같다는 KCL 법칙을 의 미한다.

0

=

¶

¶

-=

´

Ñ

t

B

E

0

)

(

Ñ

´

º

×

Ñ

H

(

D

)

t

J

H

r

Ñ

×

r

¶

¶

+

×

Ñ

º

º

´

Ñ

×

Ñ

Þ

(

)

0

r

=

×

Ñ D

r

t

J

t

J

¶

¶

-=

×

Ñ

\

=

¶

¶

+

×

Ñ

r

r

0

r

r

t

¶

¶

+

=

´

Ñ

H

J

D

⑦ Maxwell 법칙을 이용해 연속방정식(Equation of Continuity)을 유도하시오

○ 자유공간에서 Maxwell 제 2 법칙은 다음과 같다. 이 수식에 “임의의 벡터계 회전의 발산은 0이다”라는 항등식을 적용하면 다음과 같이 된다. 여기서, Maxwell 제 3 법칙( )을 적용하면 다음과 같이 된다.

ˆ Maxwell 법칙을 이용해 KVL과 KCL을 기술하시오 .

○ 정전계에서 Maxwell 제 1 법칙은 다음과 같다. 위 수식에 발산정리(주둥이 공식)을 적용하면 다음과 같이 loop 전압의 합이 0이 된다. 즉, KVL 식이 유도된다. ○ 정상전류에서 시간에 따른 전하의 변화는 없다. 즉, 연속방정식이 다음과 같이 변환된다. 또는 Maxwell 제 2 법칙은 시간에 따르는 변화가 없기 때문에 다음과 같이 변환되는 것으로 생각할 수도 있다. 이 수식에 항등식(회전의 발산은 항상 0이다)을 적용하면 다음과 같은 수식이 되고, 이것은 발산은 0이라는 것을 나타내고 들어오는 전류와 나가는 전류의 합은 같다는 KCL 법칙을 의 미한다.

0

)

(

Ñ

´

×

=

_ò

×

=

òò

C S

d

d

s

E

l

E

0

=

¶

¶

-=

×

Ñ

t

J

r

r

0

=

×

Ñ

=

´

Ñ

×

Ñ

H

r

J

r

J

H

r

=

r

´

Ñ

2. (필수)정전계에 있어서 다음 물음에 답하시오.(15) ① 자유공간에서 정전계의 기본 가정(미분형, 적분형)을 기술하시오. ② 점전하 Q에 의한 거리 R에서의 전계는? ○ 경계가 없는 자유 공간에서 정지 상태의 단일 점전하 q에 의한 전계는 다음과 같이 Gauss 법칙에 의해 구할 수 있다. 원점이 아닌 곳에서는 좌표계를 다음과 같이 변환 시켜야 한다 ③ 대기 중에서 균일한 선전하 밀도 r_ℓ을 갖는 무한히 긴 선전하의 전계 강도를 구하시오 ○ 무한히 긴 선전하에 의한 전계강도는 선에 대해 대칭이기 때문에 원통좌표계를 사용하 면 계산이 간단하다. 그리고 전계는 선에서부터 수직으로 거리의 함수가 된다. 따라서, 그림과 같이 원통모양을 가정하고 가우스 법칙을 적용하면, 상부와 하부면을 통해서 빠져나가는 전기력선은 없으면 단지 표면을 통해서만 빠져나가므로 다음과 같이 된다. 미분형 정전계 Maxwell 방정식 적분형 정전계 Maxwell 방정식 (Gauss 법칙) e r_V E = × Ñ 0 = ´ Ñ E 0

e

Q

s

d

E

S

=

×

òò

0 = ×

ò

CE dl 0

e

Q

s

d

E

S

=

×

òò

]

/

[

4

4

)

(

2 0 0 2 0

m

V

R

q

E

E

q

R

E

ds

E

q

ds

E

R R R R S R S R R R

pe

e

p

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a

a

E

a

a

=

=

=

\

=

=

Þ

=

×

Þ

_òò

_òò

R a E R q qp a E R q R R- ¢ R¢ 2. (필수)정전계에 있어서 다음 물음에 답하시오.(15) ① 자유공간에서 정전계의 기본 가정(미분형, 적분형)을 기술하시오. ② 점전하 Q에 의한 거리 R에서의 전계는? ○ 경계가 없는 자유 공간에서 정지 상태의 단일 점전하 q에 의한 전계는 다음과 같이 Gauss 법칙에 의해 구할 수 있다. 원점이 아닌 곳에서는 좌표계를 다음과 같이 변환 시켜야 한다 ③ 대기 중에서 균일한 선전하 밀도 r_ℓ을 갖는 무한히 긴 선전하의 전계 강도를 구하시오 ○ 무한히 긴 선전하에 의한 전계강도는 선에 대해 대칭이기 때문에 원통좌표계를 사용하 면 계산이 간단하다. 그리고 전계는 선에서부터 수직으로 거리의 함수가 된다. 따라서, 그림과 같이 원통모양을 가정하고 가우스 법칙을 적용하면, 상부와 하부면을 통해서 빠져나가는 전기력선은 없으면 단지 표면을 통해서만 빠져나가므로 다음과 같이 된다. 3

4

)

(

R'

R

R'

R

E

-=

pe

q

p

q R¢

]

/

[

2

2

m

V

r

E

E

L

Q

rL

E

s

d

E

r r r r S

pe

r

e

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l l

a

a

E

=

=

=

Þ\

=

=

=

×

òò

r

a

E

r

E

r

( =

)

ˆ

④ 균일한 면전하 r_s을 갖는 무한 판전하의 전계 강도를 구하시오. ○ 무한히 대전된 면에 의해 발생하는 전계는 모든 지점에서 대칭이므로, 대전면에 대해 수직 성분만 존재. 따라서, 그림과 같이 원통모양을 가정하고 가우스 법칙을 적용하면, 상부와 하부면을 통해서만 빠져나가므로 다음과 같이 된다. ⑤ 정전계에서 유전체(e₁)와 유전체 (e₂) 사이에서의 경계조건을 구하시오. ○ 정전계가 만족해야 하는 도체와 유전체의 경계조건 정전계의 경계 조건은 정전계의 기본 가정( )에서 구할 수 있 다. àn은 유전체와 도체사이의 경계면에 대한 수직벡터. 여기서, 높이 Db는 충분히 작게 만들수 있으므로 무시가능 경계면 종류 성분 두 유전체 경계면 완전도체 경계면 0 , Ñ´ = = × Ñ D

r

_V E

0

]

/

[

2

,

0

]

/

[

2

2

2

2

)

(

)

)(

(

)

(

<

-=

-=

=

>

=

=

=

Þ

=

\

=

=

=

=

-×

-+

×

=

×

òò

òò

òò

z

m

V

E

E

z

m

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E

E

E

S

Q

ES

ds

E

ds

E

ds

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s

d

E

s z z s z z s s S S z z z z S

e

r

e

r

e

r

e

r

e

a

a

E

a

a

E

a

a

a

a

하부

상부

a_z -a_z S S ④ 균일한 면전하 r_s을 갖는 무한 판전하의 전계 강도를 구하시오. ○ 무한히 대전된 면에 의해 발생하는 전계는 모든 지점에서 대칭이므로, 대전면에 대해 수직 성분만 존재. 따라서, 그림과 같이 원통모양을 가정하고 가우스 법칙을 적용하면, 상부와 하부면을 통해서만 빠져나가므로 다음과 같이 된다. ⑤ 정전계에서 유전체(e₁)와 유전체 (e₂) 사이에서의 경계조건을 구하시오. ○ 정전계가 만족해야 하는 도체와 유전체의 경계조건 정전계의 경계 조건은 정전계의 기본 가정( )에서 구할 수 있 다. àn은 유전체와 도체사이의 경계면에 대한 수직벡터. 여기서, 높이 Db는 충분히 작게 만들수 있으므로 무시가능 접선방향의 성분 E_2t=E_1t E_1t=0 법선방향의 성분 D_2n-D_1n=ρ_s D_1n=-ρ_s L G a D b D t E1 n E1 n E2 t E2 1 E 2 E 2 / h 2 / h s r n D1 1 D t D1 G 2 / h 2 / h S D 단면적 n D2 2 D t D2 b D

®

=

×

òò

0

e

Q

s

d

E

S ® = ×

ò

0 CE dl t t C

E

×

d

l

=

0

®

E

2

=

E

1

ò

n n s S

D

D

Q

s

d

E

r

e

®

-

=

=

×

òò

2 1 0

3. 양점전하 Q가 내경이 R_i이고, 외경이 R₀인 구형 도체각(shell)의 중심에 있다. 반지름 R의 함 수로 전계 E와 전위 V를 구하시오(10) ○ 다음 그림과 같이 구대칭이기 때문에 gauss 법칙을 사용하여 E를 구한 다음 적분에 의해 V를 구할 수 있다. 서로 다른 3 영역 a) R>R₀ b) R_i<R<R₀, c) R<R_i으로 구분하여 이 영역 안에 적당한 구형태의 Gauss 표면 을 만든다. 대칭성 때문에 세 영역 모두 . a) R>R₀ 전계 E는 오른 쪽 그림과 같이 R₀보다 큰 영역에서는 구형도체가 없을 때 점전하 Q에 의한 전계 E와 같다. 또한, 무한점에 대한 전위는 b) R_i< R < R₀ 정성상태에서는 도체 내부의 전계는 0이다( ). 즉, 도체 내에서 r_v=0이고, 총 전하는 0이기 때문에 R=R_i 인 내경에는 –Q의 음전하가 유도되고 R=R₀인 외경에는 +Q가 유도된다. 또한, 도체는 등전위면이다. c) R_i > R Gauss 법칙에 의해 첫 영역에서 구한 것과 같은 방법으로 구한다. 이 영역에서의 전위는

]

/

[

4

4

2 0 1 0 2 1

m

V

R

Q

E

E

Q

R

E

s

d

E

R R R R S

pe

e

p

a

a

E

=

=

=

\

=

=

×

òò

R RE a E = 0

R

Q

2 0 0 2 0 4 4 R Q R Q _i pe pe R E R i R R Q dR R Q dR E V R R R 0 2 0 1 1 4 4pe pe

ò

ò

¥ ¥ = -= -= 3. 양점전하 Q가 내경이 R_i이고, 외경이 R₀인 구형 도체각(shell)의 중심에 있다. 반지름 R의 함 수로 전계 E와 전위 V를 구하시오(10) ○ 다음 그림과 같이 구대칭이기 때문에 gauss 법칙을 사용하여 E를 구한 다음 적분에 의해 V를 구할 수 있다. 서로 다른 3 영역 a) R>R₀ b) R_i<R<R₀, c) R<R_i으로 구분하여 이 영역 안에 적당한 구형태의 Gauss 표면 을 만든다. 대칭성 때문에 세 영역 모두 . a) R>R₀ 전계 E는 오른 쪽 그림과 같이 R₀보다 큰 영역에서는 구형도체가 없을 때 점전하 Q에 의한 전계 E와 같다. 또한, 무한점에 대한 전위는 b) R_i< R < R₀ 정성상태에서는 도체 내부의 전계는 0이다( ). 즉, 도체 내에서 r_v=0이고, 총 전하는 0이기 때문에 R=R_i 인 내경에는 –Q의 음전하가 유도되고 R=R₀인 외경에는 +Q가 유도된다. 또한, 도체는 등전위면이다. c) R_i > R Gauss 법칙에 의해 첫 영역에서 구한 것과 같은 방법으로 구한다. 이 영역에서의 전위는 i R R₀ 0 0 0 4 R Q pe R R V R Q dR R Q dR E V R R R 0 2 0 1 1 4 4pe pe

ò

ò

¥ ¥ = -= -= 0 2 = R E 0 0 1 2 4 0 R Q V V R R = _pe = =

]

/

[

4

4

₂ 0 1 0 2 3

V

m

R

Q

E

Q

R

E

s

d

E

_{R R} S

e

pe

p

=

Þ\

=

=

×

òò

) 1 1 ( 4 4 4 ) 1 1 ( 4 _{0 0 0 0 0 0} 3 3 i i R R R R R R Q R Q R Q R R Q V dR E V i i = - + = + -+ -=

_ò

pe pe pe pe

4. (선택) 다음 원통 커패시터는 반경 a인 내부 도체와 내경이 b인 외부 도체로

구성된다. 고체 사이의 공간은 유전률 e의 유전체로 채워져 있으며 커패시터

의 길이는 L이다. 정전용량을 구하시오.(10)

이 문제에서는 모양상 ① 원통 좌표계를 사용하는 것이 편리. 그리고 내부 도체 표면과 외부 동체 내면에 ② 각각 +Q와 –Q를 가정한다. 내부 및 외부 도체 사이의 유전체에서 ③전계 E는 Gauss 법칙을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다. 도체의 가장자리에서의 edge effect를 무시하면 내부와 외부도체 사이의 ④전위차는 그러므로 원통 커패시터에 대하여

5. 미소 거리 d 만큼 떨어진, 크기는 같고 부호는 서로 다른 점전하 +q, -q로 구성

된 전기쌍극자(electric dipole)가 z 방향으로 있다. 쌍극자로부터 거리 R

(>>d)에 있는 임의의 점 P에서의 전위와 전계를 구하시오.(10)

전하 +q와 –q로부터 전계점 P까지의 거리는 각각 R₊와 R_-라 하면, P 점에서의 전위는 만일 d<<R이면, 거의 평행하다고 할 수 있으므로 이것을 위의 전위식에 대입하면

여기서, 로서 전기쌍극자 모멘트(electric dipole moment)이다. 이때 전계는

]

/

[

2

2

V

m

rL

Q

E

E

Q

L

rL

E

s

d

E

_{r r r r} S

e

e

pe

r

p

=

=

Þ\

E

=

=

a

=

a

=

×

òò

l

)

ln(

2

)

(

)

2

(

a

b

L

Q

dr

rL

Q

l

d

E

V

r a b r a r b r ab

pe

pe

×

=

-=

×

-=

_ò

_ò

= =

a

a

) ln( 2 a b L V Q C ab pe = =

4. (선택) 다음 원통 커패시터는 반경 a인 내부 도체와 내경이 b인 외부 도체로

구성된다. 고체 사이의 공간은 유전률 e의 유전체로 채워져 있으며 커패시터

의 길이는 L이다. 정전용량을 구하시오.(10)

이 문제에서는 모양상 ① 원통 좌표계를 사용하는 것이 편리. 그리고 내부 도체 표면과 외부 동체 내면에 ② 각각 +Q와 –Q를 가정한다. 내부 및 외부 도체 사이의 유전체에서 ③전계 E는 Gauss 법칙을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다. 도체의 가장자리에서의 edge effect를 무시하면 내부와 외부도체 사이의 ④전위차는 그러므로 원통 커패시터에 대하여

5. 미소 거리 d 만큼 떨어진, 크기는 같고 부호는 서로 다른 점전하 +q, -q로 구성

된 전기쌍극자(electric dipole)가 z 방향으로 있다. 쌍극자로부터 거리 R

(>>d)에 있는 임의의 점 P에서의 전위와 전계를 구하시오.(10)

전하 +q와 –q로부터 전계점 P까지의 거리는 각각 R₊와 R_-라 하면, P 점에서의 전위는 만일 d<<R이면, 거의 평행하다고 할 수 있으므로 이것을 위의 전위식에 대입하면

여기서, 로서 전기쌍극자 모멘트(electric dipole moment)이다. 이때 전계는 ÷÷ ø ö çç è æ -= -+ R R q V 1 1 4pe₀ ÷ ø ö ç è æ + @ ÷ ø ö ç è æ -@ -+ q cosq 2 , cos 2 d R R d R R 2 0 2 0 2 2 2 0 0 4 4 cos cos 4 cos 4 cos 2 1 cos 2 1 4 R R qd d R d q d R d R q V R pe pe q q q pe q q pe a p × = @ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ -= ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ + -= d p=q ) sin cos 2 ( 4pe₀ 3 q q q q q a a a a = + ¶ ¶ -¶ ¶ -= -Ñ = _{R R} R p R V R V V E

6. 두 도체 사이의 R과 C 사이의 관계식을 유도하시오.(10)

여기서, R과 C를 곱하면

7. 면적 S와 간격 d를 갖는 평행판 커패시터가 전압 V로 대전되어 있고, 유전률

이 e 일 때 다음 물음에 답하시오. (가장자리 효과(edge effect)를 무시)

① 축적된 정전에너지를 구하시오. (8)

가장자리에서의 edge effect를 무시하면 유전체의 전계는

로 균일하다.

유전체가 선형 및 등방성이면, 다음 식에서 에너지를 구할 수 있다.

② 판 사이의 체적전하밀도

r

_v

= - y 인 전자의 연속분포로 채워졌다고 가정했을

때 판 사이의 임의의 위치에서의 전위를 구하시오.(8)

Poisson 방정식을 이용하면,

이것을 2번 적분하면,

두 도체판에서의 경계조건을 적용하면,

d V E = 면적 S Q +

]

[

2

1

2

1

2

J

dv

E

dv

E

D

W

V V e

=

òòò

×

=

òòò

e

r

r

ò

ò

ò

ò

×

×

-=

×

×

-=

=

L L L L

s

d

E

l

d

E

s

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J

l

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E

I

V

R

r

_r

r

r

r

r

r

r

s

ò

ò

ò

ò

×

-×

=

×

-×

=

=

L S L S

l

d

E

s

d

E

l

d

E

s

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D

V

Q

C

r

r

r

r

r

r

r

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e

s

e

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s

-

×

=

×

-´

×

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-=

=

´

=

ò

ò

ò

ò

L L L L

l

d

E

s

d

E

s

d

E

l

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E

I

Q

V

Q

I

V

RC

r

r

r

r

r

r

r

r

6. 두 도체 사이의 R과 C 사이의 관계식을 유도하시오.(10)

여기서, R과 C를 곱하면

7. 면적 S와 간격 d를 갖는 평행판 커패시터가 전압 V로 대전되어 있고, 유전률

이 e 일 때 다음 물음에 답하시오. (가장자리 효과(edge effect)를 무시)

① 축적된 정전에너지를 구하시오. (8)

가장자리에서의 edge effect를 무시하면 유전체의 전계는

로 균일하다.

유전체가 선형 및 등방성이면, 다음 식에서 에너지를 구할 수 있다.

② 판 사이의 체적전하밀도

r

_v

= - y 인 전자의 연속분포로 채워졌다고 가정했을

때 판 사이의 임의의 위치에서의 전위를 구하시오.(8)

Poisson 방정식을 이용하면,

이것을 2번 적분하면,

두 도체판에서의 경계조건을 적용하면,

Q + Q -d

]

[

2

1

2

1

2

J

dv

E

dv

E

D

W

V V e

=

òòò

×

=

òòò

e

r

r

] [ 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 2 2 2 J CV V d S Sd d V dv d V W V e = ÷ ø ö ç è æ = ÷ ø ö ç è æ = ÷ ø ö ç è æ =

_òòò

e e e y d dy y V d V v 0 0 2 2 2 ( ) e r e r = Þ -= Ñ 2 1 3 0 0 6 ) ( y C y C d y V = + + e r 0 0 0 1 1 0 2 0 0 2 6 6 ) ( 0 ) 0 ( 0 e r e r d d V C d C d V d V d y C V y -= Þ + = = ® = = = ® = y d d V y d y V _÷÷ ø ö ç ç è æ -+ = \ 0 0 0 3 0 0 6 6 ) ( e r e r

8. 도체 내부에 들어온 전하(r

_v

, t=0)는 짧은 시간에 도체 표면으로 이동하며

평형조건 하에서는 r

_v

=0, E=0가 된다. 평형상태에 도달할 때까지의 완화시

간(relaxation time) t를 구하시오. (10)

도체 내부에 들어온 전하들은 도체 표면으로 이동하게 되며, 이는 평행 조

건 하에서 내부가 r=0, E=0이 되도록 재부포하게 된다. 연속 방정식과 보조

식을 사용하면 다음과 같은 수식이 나온다.

여기서, r

₀

=는 t=0에서의 초기전하밀도임. 초기전하밀도는 t=e/s 시간 후에

는 e

-1

_{(= 1/e) 즉, 36.8%로 감소한다.}

9. 자기가 공부한 내용 중 출제되지 않은 부분이 있으면 그 부분에 대하여 기

술하시오.(5)

이므로

e

r

=

×

Ñ E

r

t

E

E

J

t

J

¶

¶

-=

×

Ñ

Þ

=

¶

¶

-=

×

Ñ

r

r

,

r

s

r

s

r

r

]

/

[

0

₀

e

C

m

3

t

t e s

r

r

r

e

s

r

-=

Þ

=

+

¶

¶