한글강의노트 Chap4(0502)

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Fundamentals

Fundamentals

Tenth Edition

Floyd

Chapter 4

4

4

4장

장

장 부울대수와

부울대수와

부울대수와 논리간략화

논리간략화

논리간략화

학습 목차

z 4-1 부울연산과 부울식

z 4-2 부울대수의 법칙과 규칙

z 4-3 드모르간의 정리

z 4-4 논리회로의 부울분석

부울대수를 이용한 논리간략화

z 4-5 부울대수를 이용한 논리간략화

z 4-6 부울식의 표준형

z 4 7 부울식과 진리표

z 4-7 부울식과 진리표

z 4-8 카르노맵

z 4 9 카르노맵의 SOP 최소화

z 4-9 카르노맵의 SOP 최소화

z 4-10 5변수 카르노맵

요

요

요 약

약

약

4.1

4.1

4.1 부울연산과

부울연산과

부울연산과 부울식

부울식

부울식

디지털 시스템의 기본이 되는 수학

년

부울 대수(Boolean Algebra)

ƒ 디지털 시스템의 기본이 되는 수학(1854년 George Boole)

ƒ 논리회로의 연산을 표현하고 해석하는 방법

ƒ 부울대수의 주요용어

9 변수(

i bl ) 1또는 0의 값을 가질수있는 데이터를

9 변수(variable) : 1또는 0의 값을 가질수있는 데이터를

나타내는데 사용하는 기호

9 보수

변수의 역 변수

의 보수는

9 보수(complement) : 변수의 역 (변수 A

의 보수는

A.)

9 문자(literal) : 변수나 변수의 보수

9 EX) 가 성립하기 위한 변수 A, B의 값은?

_A

+ =

_B

₀

요

요

요 약

약

약

4.1

4.1

4.1 부울연산과

부울연산과

부울연산과 부울식

부울식

부울식

부울 덧셈(Boolean Addition)

부울덧셈= OR연산

0+0 = 0

0+1 = 1

1+0 = 1

1+1 = 1

• 덧셈항(합항)은 모든 문자가 0일때만 0이 됨

합항(Sum term)에서 하나이상의 문자가 1이면 1이됨

A + B + C = 0이 되는 A, B, 그리고 C 의 값을 결정하시오.

요

요

요 약

약

약

4.1

4.1

4.1 부울연산과

부울연산과

부울연산과 부울식

부울식

부울식

부울 덧셈(Boolean Addition)

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.1

4.1

4.1 부울연산과

부울연산과

부울연산과 부울식

부울식

부울식

부울 곱셈(Boolean Multiplication)

부울곱셈= AND연산

0

.

0 = 0

₀

.

_{1 = 0}

1

.

0 = 0

1

.

1 = 1

곱항(Product term)은 모든 문자가 1일때만 곱셈결과가1임

1 0 0

1 1 1

곱항(product term) A

.

_B

.

_{C = 1 인경우 A, B, C의}

값은 무엇인가?

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.1

4.1

4.1 부울연산과

부울연산과

부울연산과 부울식

부울식

부울식

부울 곱셈(Boolean Multiplication)

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.2

4.2

4.2 부울대수의

부울대수의

부울대수의 법칙과

법칙과

법칙과 규칙

규칙

규칙

부울대수의 기본법칙

1. 교환법칙(Commutative Law)

2

결합법칙(Associative Law)

2. 결합법칙(Associative Law)

3. 분배법칙(Distributive Law)

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.2

4.2

4.2 부울대수의

부울대수의

부울대수의 법칙과

법칙과

법칙과 규칙

규칙

규칙

교환법칙(Commutative Laws)

교환법칙은 덧셈과 곱셈에 적용된다.

덧셈의 교환법칙:

OR되는 항의 순서를 바꾸어도 결과는 동일하다.

덧셈의 교환법칙:

A + B = B + A

AND되는 항의 순서를 바꾸어도 결과는 동일하다.

곱셈의 교환법칙:

AB = BA

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.2

4.2

4.2 부울대수의

부울대수의

부울대수의 법칙과

법칙과

법칙과 규칙

규칙

규칙

결합법칙(Associative Laws)

결합법칙 또한 덧셈과 곱셈에 적용된다

두변수 이상 OR할 때 결합순서에 상관없이 결과는 동일

결합법칙 또한 덧셈과 곱셈에 적용된다.

덧셈의 결합법칙:

A + (B +C) = (A + B) + C

곱셈의 결합법칙:

곱셈의 결합법칙:

두변수이상 AND할 때 결합순서에 상관없이 결과는 동일

A(BC) = (AB)C

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.2

4.2

4.2 부울대수의

부울대수의

부울대수의 법칙과

법칙과

법칙과 규칙

규칙

규칙

분배법칙(Distributive Law)

분배법칙은 인수분해 법칙으로서 일반적인 대수에서와

같이 공통변수로 묶을 수 있다. 즉,

AB + AC = A(B+ C)

분배법칙은 등가의 회로로 설명할 수 있다

분배법칙은 등가의 회로로 설명할 수 있다.

B

C

C

B

B

AB

X

A

C

A

X

X

C

A

AC

AB + AC

A(B+ C)

AB + AC

A(B+ C)

참고 : A+BC = (A+B)(A+C) 도 분배법칙으로 사용가능

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.2

4.2

4.2 부울대수의

부울대수의

부울대수의 법칙과

법칙과

법칙과 규칙

규칙

규칙

부울 대수의 규칙(Rules of Boolean Algebra)

1. A + 0 = A

2 A + 1 = 1

7. A

.

A = A

8 A

.

A = 0

2. A + 1 1

3. A

.

0 = 0

8. A A 0

9. A = A

=

4. A

.

1 = A

5. A + A = A

10. A + AB = A

11. A + AB = A + B

6. A + A = 1

12. (A + B)(A + C) = A + BC

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.2

4.2

4.2 부울대수의

부울대수의

부울대수의 법칙과

법칙과

법칙과 규칙

규칙

규칙

부울 대수의 규칙(Rules of Boolean Algebra)

부울 대수의 법칙 A + AB = A 의 벤 다이어그램

다른 규칙들도 벤다이어그램으로 설명 가능

다른 규칙들도 벤다이어그램으로 설명 가능

A

B

B

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.2

4.2

4.2 부울대수의

부울대수의

부울대수의 법칙과

법칙과

법칙과 규칙

규칙

규칙

부울 대수의 규칙(Rules of Boolean Algebra)

A + AB = A + B

을 벤다이아그램으로

설명하시오.

A

B

_A

AB

A

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.2

4.2

4.2 부울대수의

부울대수의

부울대수의 법칙과

법칙과

법칙과 규칙

규칙

규칙

부울 대수의 규칙(Rules of Boolean Algebra)

12번째규칙, 즉

(A + B)(A + C) = A + BC

의 증명:

(A + B)(A + C)

= AA + AC + AB + BC

A

AC

AB

BC

= A + AC + AB + BC

= A(1 + C + B) + BC

= A

_{A 1 + BC}

.

_{1 + BC}

= A + BC

A

B

A

A

A

A

A

B

B

B

A

B

A

B

A

A + B

A

A + C

A

B

A

B

BC

A

B

BC

=

A

B

C

C

C

C

C

C

(A + B)(A + C)

A + BC

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.3

4.3

4.3 드모르강의

드모르강의

드모르강의 정리

정리

정리

^^ DeMorgan은 George Boole의 절친 ^^

드모르강의 법칙(DeMorgan’s Theorem)

DeMorgan은 George Boole의 절친

변수들의 논리곱 전체에 에 대해 보수를 취한 것은,

드모르강의 제1 정리

,

보수화된 각 변수들의 논리합과 같다.

AB = A + B

게이트에 적용하면:

Output

Inputs

A B

AB

A + B

0

0

1

1

A + B

A

B

AB

A

B

NAND

Negative-OR

₀

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

g

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.3

4.3

4.3 드모르강의

드모르강의

드모르강의 정리

정리

정리

^^ DeMorgan은 George Boole의 절친 ^^

드모르강의 법칙(DeMorgan’s Theorem)

DeMorgan은 George Boole의 절친

드모르강의 제2정리

둘 이상 변수들의 논리합 전체에 보수를 취한 것은,,

보수화된 각 변수들의 논리곱과 같다.

A + B = A

.

B

게이트에 적용하면:

A B

A + B

AB

Output

Inputs

0

0

1

1

AB

A

B

A + B

A

B

NOR

Negative-AND

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.3

4.3

4.3 드모르강의

드모르강의

드모르강의 정리

정리

정리

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.3

4.3

4.3 드모르강의

드모르강의

드모르강의 정리

정리

정리

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.4

4.4

4.4 논리회로의

논리회로의

논리회로의 부울분석

부울분석

부울분석

Boolean Analysis란 논리회로에 대한 모든 입출력 관계를 알아내는 것

논리회로에 대한 부울식(논리식) 유도

Boolean Analysis란 논리회로에 대한 모든 입출력 관계를 알아내는 것

조합논리 회로는 각각의 게이트에대한 출력식을

작성하고, 출력식들에 부울 대수의 규칙을 적용하여

,

결합(조합)함으로써 회로분석을 할 수 있다.

아래회로에 부울대수를 적용하여 최종출력 X에 대한

A

표현식 구하시오.

각 게이트에서 출력식을 만들면:

(

A + B

)

A

C

D

B

C

(

A + B

)

= C

(

A + B

)

+ D

(

)

X

D

드모르강의 법칙과 분배법칙을 적용하면:

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.4

4.4

4.4 논리회로의

논리회로의

논리회로의 부울분석

부울분석

부울분석

Boolean Analysis란 논리회로에 대한 모든 입출력 관계를 알아내는 것

부울식(논리식) 으로부터 진리표 작성

Boolean Analysis란 논리회로에 대한 모든 입출력 관계를 알아내는 것

• 부울식(논리식)으로부터 가능한 모든 입력조합에 대한

출력을 나타내는 진리표 작성가능

9 각각의 입력조합을 식에 대입하여 출력을 기입

9 또는 출력이 이 되는 경우나 이 되는 경우를

9 또는 출력이 1이 되는 경우나 0이 되는 경우를

분석하여 출력을 기입

• 예) Z=A+BC에 대한 진리표

)

부울대수를 이용하여 논리식을 간략화시킴으로써

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.5

4.5

4.5 부울대수를

부울대수를

부울대수를 이용한

이용한

이용한 간략화

간략화

간략화

부울대수를 이용하여 논리식을 간략화시킴으로써

회로를 간소화(게이트를 적게 사용)시킬 수 있다.

부울대수를 이용하여 논리식을 간략화시킴으로써

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.5

4.5

4.5 부울대수를

부울대수를

부울대수를 이용한

이용한

이용한 간략화

간략화

간략화

부울대수를 이용하여 논리식을 간략화시킴으로써

회로를 간소화(게이트를 적게 사용)시킬 수 있다.

부울대수를 이용하여 논리식을 간략화시킴으로써

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.5

4.5

4.5 부울대수를

부울대수를

부울대수를 이용한

이용한

이용한 간략화

간략화

간략화

부울대수를 이용하여 논리식을 간략화시킴으로써

회로를 간소화(게이트를 적게 사용)시킬 수 있다.

SOP 와 POS

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.6

4.6

4.6 부울식의

부울식의

부울식의 표준형

표준형

표준형

SOP 와 POS

z SOP형식과 POS형식

ƒ Sum-of-products(SOP), product-of-sums(POS)

논리회로의 간소화된 구현에 이용

ƒ 논리회로의 간소화된 구현에 이용

ƒ Overbar는 하나의 변수에만 포함되도록 표현

SOP형식: 다음 예와 같이 두 개 또는 그 이상의 곱셈 항들이

더해지는 형식(

(

단일변수항도 포함가능

)

)

POS형식: 다음 예와 같이 두 개 또는 그 이상의 덧셈 항들이

A B C + A B A B C + C D +E

C D + E

곱해지는 형식(

단일변수항도 포함가능

₎

(A + B)(A + C)

(A + B + C)(B + D)A (A + B)C

SOP 형

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.6

4.6

4.6 부울식의

부울식의

부울식의 표준형

표준형

표준형

SOP 형

A B C + A B A B C + C D +E

C D + E

: 모든 논리식은 SOP형으로 변환가능

일반(비표준형)부울식의 SOP 형으로의 변환

: 모든 논리식은 SOP형으로 변환가능

A(B+CD) = AB + ACD

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.6

4.6

4.6 부울식의

부울식의

부울식의 표준형

표준형

표준형

SOP

표준형

SOP 표준형: 입력변수들이 각각의 곱항에 모두

나타나는 형식으로 진리표를 작성하거나 PLD로

논리회로를 구현하는데 유용함.

빠진 변수와 그 보수를 더한 항을 곱하여 비표준형을 표준형으로

변환할 수 있다.(표준형 곱항 : )

X

A B + A B C 를 표준형으로 바꾸시오

A B

는 가능하나

AB

형태는 사용불가

X = A B + A B C 를 표준형으로 바꾸시오.

첫 째 항에는 변수 C가 없으므로 (C + C) = 1을 곱하면:

X = A B (C + C) + A B C

=

A B C + A B C + A B C

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.6

4.6

4.6 부울식의

부울식의

부울식의 표준형

표준형

표준형

SOP

표준형

예제 4-14) 다음의 표준형 SOP식이 1이 되도록 하는

)

A, B, C, D의 모든 값들을 구하라.

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.6

4.6

4.6 부울식의

부울식의

부울식의 표준형

표준형

표준형

POS

표준형

POS표준형:논리식의 모든 입력 변수들이 합의 항에

모두 나타나는 형식

모든 변수로 표현되지 않은 덧셈 항에 빠진 변수와 그 변수의

보수의 곱을 더한 후 부울대수 분배 법칙((A + B)(A + C) = A + BC

을 적용하여 POS표준형으로 만들 수 있다.

적용하여

형

수 있다

.(표준형 합항 : )

X = (A + B)(A + B + C) 를 표준형으로 변환하시오

(

A

+

B

)

는 가능하나

(

A

+

B

)

형태는 사용불가

X = (A + B)(A + B + C) 를 표준형으로 변환하시오.

첫째 항에 변수 C가 없으므로 CC 를 더한 다음

부울대수 12번째 법칙을 적용한다.

X = (A + B + C C)(A + B + C)

=

(A +B + C )(A + B + C)(A + B + C)

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.6

4.6

4.6 부울식의

부울식의

부울식의 표준형

표준형

표준형

POS 표준형

예제 4-16) 다음의 표준 POS식이 0이 되도록 하는

)

A, B, C, D의 모든 값들을 구하라.

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.6

4.6

4.6 부울식의

부울식의

부울식의 표준형

표준형

표준형

SOP 표준형을 POS 표준형으로 변환

Step1. SOP식의 각 곱 항을 1로 하는 변수 값들의 조합을 구함

Step2. Step1에서 나타나지 않는 변수값들의 조합을 구함

Step3. Step2의 변수값들에 대한 합항이 0이 되는 등가의 합 항을

구하고 POS로 표현

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.7

4.7

4.7 부울식과

부울식과

부울식과 진리표

진리표

진리표

SOP식의 진리표로의 변환

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.7

4.7

4.7 부울식과

부울식과

부울식과 진리표

진리표

진리표

POS식의 진리표로의 변환

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.7

4.7

4.7 부울식과

부울식과

부울식과 진리표

진리표

진리표

진리표로부터 표준식의 유도

카르노 맵(K

h

)

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.8

4.8

4.8 카르노맵

카르노맵

카르노맵

카르노 맵(Karnaugh map)

ƒ (K-map)은 부울식을 간략화하기위한 체계적인 방법.

가장 간략화된 SOP또는 POS식을 구하기 위한 방법

ƒ 카르노 맵은(K map)은 주로 변수가 3 또는

가장 간략화된 SOP또는 POS식을 구하기 위한 방법

ƒ 카르노 맵은(K-map)은 주로 변수가 3 또는

4개인 조합논리를 간략화하는 도구

ƒ 3변수인 경우 8 (2

수

경우

_{( )}

_{) 셀이 필요함.}

이

ABC

ABC

ABC

ABC

ƒ 우측의 3변수 map은 변수가 A, B, C인

경우임. 각각의 셀은 세 변수로 가능한

모든 곱의 항을 나타냄.

ABC

ABC

든 곱의 항을 나타냄

ƒ 인접한 셀 간에는 한 변수만 다름.

ABC

ABC

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.8

4.8

4.8 카르노맵

카르노맵

카르노맵

3변수 카르노 맵(Karnaugh map)

000 001

Gray

code

000 001

010 011

110 111

100 101

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.8

4.8

4.8 카르노맵

카르노맵

카르노맵

4변수 카르노 맵(Karnaugh map)

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.8

4.8

4.8 카르노맵

카르노맵

카르노맵

셀의 인접

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

표준 SOP식에 대한 Map작성

ƒ 표준 SOP식의 각 곱항에 대응되는 카르노 맵의 셀에 1을 기입한다

ƒ 표준 SOP식의 각 곱항에 대응되는 카르노 맵의 셀에 1을 기입한다.

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

표준 SOP식

에 대한 Map작성

ƒ 표준 SOP식의 각 곱항에 대응되는 카르노 맵의 셀에 1을 기입한다

ƒ 표준 SOP식의 각 곱항에 대응되는 카르노 맵의 셀에 1을 기입한다.

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

비표준

SOP식에 대한 Map작성

ƒ 비표준 SOP식을 표준 SOP식으로 표현한다 (또는 수치확장법 이용)

ƒ 비표준 SOP식을 표준 SOP식으로 표현한다.(또는 수치확장법 이용)

ƒ표준 SOP식의 각 곱항에 대응되는 카르노 맵의 셀에 1을 기입한다.

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

비표준

SOP식에 대한 Map작성

ƒ 비표준 SOP식을 표준 SOP식으로 표현한다 (또는 수치확장법 이용)

ƒ 비표준 SOP식을 표준 SOP식으로 표현한다.(또는 수치확장법 이용)

ƒ표준 SOP식의 각 곱항에 대응되는 카르노 맵의 셀에 1을 기입한다.

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

SOP식을 K-Map을 이용해 간략화하는 방법

ƒ K map을 작성

ƒ K-map을 작성

ƒ 1이 기입된 인접셀들을 그룹화

2의 지수승 (1 2 4 8

)개씩 사각형으로 묶음

ƒ 2의 지수승 (1,2,4,8,…)개씩 사각형으로 묶음

ƒ 그룹화시키는 1의개수가 최대가 되도록 묶음(공유가능)

ƒ 맵에 기입된 모든 1은 모두 포함되도록 묶음

ƒ 그룹화된 맵으로부터 최소 SOP식(가장 간략화된 SOP식)을 작성

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

SOP식을 K-Map을 이용해 간략화하는 방법

ƒ K map으로부터 1이 기입된 인접셀들을 그룹화하는 예

ƒ K-map으로부터 1이 기입된 인접셀들을 그룹화하는 예

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

SOP식을 K-Map을 이용해 간략화하는 방법

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

진리표로부터의 맵작성방법

ƒ지금까지 부울식으로부터 K-map을 작성하여 간소화하는 것을 살펴봄

ƒ 진리표는 부울식의 기능을 표로 나타낸 것이므로 등가

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

무정의조건(Don’t care)

ƒ 출력이 1 또는 0으로 정의가 되어 있지 않은 경우 카르노맵에 X (Don’t

)로 표기 1로 간주해도 0으로 간주해도 상관없음

care)로 표기. 1로 간주해도 0으로 간주해도 상관없음

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

무정의조건(Don’t care)의 활용예

ƒ 7segment display는 다양한 숫자나 문자를 표시해줄 수 있는 부품

ƒ 7segment는 a, b, c, d, e, f, g로 표시된 7개의 LED세그먼트로 구성

ƒ 예를 들어 A, B, C, D 4비트의 BCD코드를 입력을 받아서 이에

대응되는 10진 숫자를 표시하는 데 사용

대응되는 10진 숫자를 표시하는 데 사용.

A

a

BCD to

7segment

B

b

c

d

Decoder

C

D

d

e

f

ƒ 세그먼트 a (LED)에 불이 켜지게 하려면 a에 High를 인가

g

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

무정의조건(Don’t care)의 활용예

ƒ 예제4-30) BCD입력을 받아서 7segment display를 동작시키기 위한

BCD to 7segment Decoder를 설계하고자 할 때 세그먼트 a에 대한 표준

BCD to 7segment Decoder를 설계하고자 할 때, 세그먼트 a에 대한 표준

SOP 식을 구하고 카르노 맵을 이용하여 식을 간소화시켜라.

ƒ a에 불이 켜지는 경우는 0, 2, 3, 5, 6, 7, 8 임을 확인

a에 불이 켜지는 경우는 0, 2, 3, 5, 6, 7, 8 임을 확인

ƒ BCD입력이므로 10, 11, 12, 13, 14, 15에 대해서는 무정의 X출력

BCD to

7

A

B

a

b

c

7segment

Decoder

C

d

_e

f

D

f

g

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

무정의조건(Don’t care)의 활용예

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

요

요

요 약

약

약

4.9

4.9

4.9 카르노맵에

카르노맵에

카르노맵에 의한

의한

의한 SOP

SOP

SOP최소화

최소화

최소화

5변수 카르노맵

E

D

C

B

D

B

A

CE

B

E

D

+

+

+

1. 덧셈의 결합법칙(associative law)은?

a. A + B = B + A

b. (A + B) + C = A + (B + C)

c. AB = BA

d A + AB

A

d. A + AB = A

2. 부울 식 AB + AC = A(B+ C)는 다음 중 어떤 것을

보여주는가?

보여주는가?

a. 분배법칙(the distribution law)

b. 교환법칙(the commutative law)

c. 결합법칙(the associative law)

(

)

3. 부울 대수에서 A

.

_1은

a. A

b. B

c. 0

d 1

d. 1

4. 부울 대수에서 A + 1은

a. A

b. B

c. 0

d 1

d. 1

5. 표준형의 SOP 부울 식은

최소의 논리 표현식이다

a. 최소의 논리 표현식이다.

b. 하나의 곱셈항만 갖는다.

c. 모든 항에 모든 변수를 포함한다.

d 해당사항 없다

d. 해당사항 없다.

6. 카르노 맵에서 인접한 셀간에 서로 다른

변수는 몇 개?

변수는 몇 개?

a. 한 개

b. 두 개

c. 세 개

d. 맵의 크기에 따라 결정된다.

8. 다음 카르노 맵에서 최소화된 표현식은?

a X = A

a. X A

b. X = A

c. X = B

d. X = B

d. X B

9. 다음 카르노 맵에서 최소화된 표현식은?

a X = A

a. X A

b. X = A

c. X = B

d. X = B

d. X B