2020 비상 수학교과서 수학2 답지 정답

함수의 극한과 연속

1

함수의 극한

10쪽 1 _⑴ x+3 _⑵ rtx+1&+rtx-1& 2 ⑴ y x O -4 -1 4 ⑵ y x O 1 1 11쪽 3°C 01 ⑴ ₂ ⑵ _-1 02 ⑴ ₀ ⑵ ₂ 03 예 _{~f(x)= 1x-1} 14쪽 _수현& 04 ⑴ _inf ⑵ _-inf 05 ⑴ _-inf ⑵ _inf 16쪽 11 20 스스로확인하기 1 06 ⑴ ₃ ⑵ _-3 07 ⑴ 존재하지 않는다. ⑵ ₀ 1 _25-<x<35일 때, _~f(x)=5 35-<x<45일 때, _~f(x)=10 따라서 함수 _y=f(x)의 y x O 25 35 45 5 10 y=f(x) 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 2 _{x=35+lim f(x)=10}, _{x=35-lim f(x)=5}이므로 극한 lim x=35f(x)는 존재하지 않는다. 수학 역량 기르기 17쪽

01

함수의 극한

11~17쪽 18쪽

⑴ _{limx=2~f(x)+limx=2g(x)=limx=2&~{~f(x)+g(x)}=6} ⑵ _{limx=3~f(x)\limx=3g(x)=limx=3~f(x)g(x)=18}

스스로확인하기 _⑵ ~limx=-1&~5 _⑶ limx=0&~(x+3) _⑷ limx=2&~(3x-1) 01 ⑴ ₈ ⑵ ₂ ⑶ _-10 ⑷ _{- 23}

02 ⑴ ₀ ⑵ ₁ 03 ⑴ 1₃ ⑵ 1₈

04 거짓, 예를 들어 _~f(x)=x-1, _{g(x)=(x-1)^2&}이면 limx=1&f(x)=0, _limx=1g(x)=0이지만 극한값

limx=1&`~f(x)_g(x)는 존재하지 않는다. 05 ⑴ 2₃ ⑵ 1₂

n=1일 때,

~limx=inf`f(x)=~limx=inf~ 3x-1_x^2&+1=~limx=inf~ 3 x -_x^21

1+ 1_x^2 = 01 =0 n=2일 때,

~limx=inf`f(x)=~limx=inf~ 3x^2&-1_x^2&+1 =~limx=inf~ 3- 1x^2

1+ 1_x^2 = 31 =3 수학 역량 기르기 21쪽 06 ⑴ _b=a+1➡_a=1, _b=2 ⑵ _b=rt3+a ➡_a=-2, _b=1 23쪽 1 _예 y _{y=g(x) y=h(x)} y=f(x) O 1 2 x 2₁ 07 0

~limx=inf&`f(x)<limx=inf&`g(x)가 아니다. ~limx=inf&`f(x)=0, <sub>limx=inf&</sub>`g(x)=0이므로 ~limx=inf&`f(x)=limx=inf&`g(x)이다. 수학 역량 기르기 24쪽

1× 2× 3○ 4○

1 ⑴ ₆ ⑵ ₁ 2 ⑴ _inf ⑵ _-inf 3 ⑴ _-1 ⑵ ₂ 4 ₂

5 존재하지 않는다.

6 _{~limx=2+f(x)=~limx=2-f(x)}이어야 하므로 _k=6 7 alpha+beta=1, _alphabeta=-2이고 _alpha>beta이므로

_alpha=2, _beta=-1 따라서 _limx=1 ~f(x)+2 2g(x)+4 =2\(-1)+4 =22+2 8 ⑴ _limx=1 x^2&+x-2 x^2&-x =limx=1 x+2x =3 ⑵ _{~limx=-1~ 1x+11x-1+}x^2 1_{2 2=~limx=-1~ 2x-1} 2(x-1) =34 ⑶ _x=25lim rtx&-5_{x-25 =limx=25} 1

rtx&+5= 110 ⑷ _{~limx=-3~ x+3}

rtx+4&-1=~limx=-3(rtx+4&+1)=2 9 ⑴ _{x=-inf~ x+1lim |x|-2=x=-inf~ x+1lim -x-2}

=x=-inf~lim 1+1/x -1-2/x=-1 ⑵ _x=inf&lim -3x^2&+2x-1

x^2&-5 =limx=inf ~-3+ 2x-1 x^2 1- 5_x^2 =-3 10 _limx=0 ~f(x)+x g(x)-x =limx=0 x\~f(x)_{x^2 +1} ~g(x) x -1 = 0\1+1_{2-1 =1} 11 limx=9 (x-9)f(x)_rtx&-3 =limx=9&~(rtx&+3)f(x)=6\2=12 12 ⑴ _{limx=1~(x-1)=0}이므로 _{limx=1~(rtx+a&-2)=0}

즉, _rt1+a&-2=0이므로 _a=3 따라서 _b=limx=1 rtx+3&-2_x-1

=limx=1 _rtx+3&+21 _{= 14}

⑵ _{limx=2~(x-2)=0}이므로 _{limx=2~(x^2&-ax+b)=0} 즉, _4-2a+b=0이므로 _b=2a-4

이것을 문제의 식에 대입하면

_limx=2 x^2&-ax+2a-4_{x-2 =limx=2~(x-a+2)} =4-a=1

25~27쪽 따라서 a=3, b=2

13 _limx=a`~f(x)=limx=a(x+a)=2a=6이므로 _a=3 lim

x=inf~g(x)=limx=inf~ 3_{bx+1 \}x^2&-9_x-3 =limx=inf~ 3x+9_{bx+1 =}3_{b =3} 이므로 _b=1 14 점 _P의 좌표를 _(t, _t^2), 점 _Q의 좌표를 ₍₀, _r)라고 하 자. 두 점 _O, _P는 원 위의 점이므로 _^-OQ^-^2=^-PQ^-^2 즉, _{r^2=t^2&+(t^2&-r)^2}이므로 _{t^4&+t^2&-2r&t^2&=0}, _{r= t^2&+12} 이때 점 _P가 원점 _O에 한없이 가까워지면 _t~arr~0이므로 _{a=limt=0~r=limt=0`~ t^2&+12 =}1₂

15 _{x=inf&~ ~f(x)lim} x^2&+4x+3 =2에서 ~f(x)는 x^2의 계수가 2인 이 차함수이어야 한다. 따라서 _{f(x)=2x^2&+ax+b} (_a, _b는 상수)라고 하면 _limx=1 x-1 ~f(x) =limx=1 2x^2&+ax+b =-1x-1 ……`① 이때 <sub>limx=1&`(x-1)=0</sub>이고 극한값 _limx=1 x-1

~f(x)이 0이 아 니므로 _{limx=1&~(2x^2&+ax+b)=0}

즉, _2+a+b=0이므로 _b=-a-2 이것을 ①에 대입하면

_limx=1`<sub>2x^2&+ax-a-2</sub>x-1 =limx=1`_2x+a+21

= 1_{a+4 =-1} 따라서 _a=-5, _b=3이므로 _{~f(x)=2x^2&-5x+3}

2

함수의 연속

30쪽 1 ⑴ {x|xnot=1인 실수} ⑵ {x|x->3} 2 ⑴ 최댓값: ₁₁, 최솟값: _-1 ⑵ 최댓값: ₅, 최솟값: _-3 2 ⑴ _-2 ⑵ ₀ 28쪽 31쪽 1~f(x) 또는 h(x) 2~f(x) 또는 g(x) 3_~f(x)

01

함수의 연속

31~34쪽

35쪽 연속이다. 01 ⑴ 모든 실수 _x에서 연속이다. ⑵ _xnot=-1, _xnot=1인 모든 실수 _x에서 연속이다. 스스로확인하기 1 02 ⑴ 최댓값: ₇, 최솟값: ₃ ⑵ 최댓값: ₄, 최솟값: ₁ 38쪽 폭죽의 높이가 100m인 순간이 있었다. 03 _{~f(x)=x^4&+2x-1}이라고 하면 함수 _~f(x)는 닫힌구 간 _[0, _1]에서 연속이고 _~f(0)=-1<0, _~f(1)=2>0 이므로 사잇값의 정리에 따라 _~f(c)=0인 _c가 열린구 간 ₍₀, ₁₎에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 _x^4&+2x-1=0은 열린구간 ₍₀, ₁₎에 서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 04 거짓, 예를 들어 함수 ~f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)는 닫힌구간 _[0, _3] 에서 연속이고 _~f(0)=2>0, _~f(3)=8>0이지만 방 정식 _~f(x)=0은 열린구간 ₍₀, ₃₎에서 두 실근 _x=1, x=2를 갖는다. 서울과 부산 사이의 이동 경로의 전체 길이를 _l(l>0) 이라고 하자. 또 서울에서 부산으로 가는 날 시각 t(9-<t-<15)일 때 서울에서 _~f(t)만큼 떨어져 있고, 부산에서 서울로 가는 날 시각 _t(9-<t-<15)일 때 서 울에서 _g(t)만큼 떨어져 있다고 하자. 이때 두 함수 _~f(t), _g(t)는 모두 연속함수이다. 따라서 연속함수 _{h(t)=f(t)-g(t)}는 _h(9)=-l<0, _h(15)=l>0 이므로 사잇값의 정리에 따라 _h(c)=0, 즉 _~f(c)=g(c) 인 _c가 열린구간 ₍₉, ₁₅₎에 적어도 하나 존재한다. 따라서 희수네 가족은 부산을 출발하여 서울로 가는 도중에 전날과 같은 시각에 같은 곳을 지나는 순간이 반드시 있었다. 수학 역량 기르기 39쪽

02

연속함수의 성질

35~39쪽 1× 2× 3○ 1 ⑴ 연속 ⑵ 불연속

2 ⑴ _(-inf, _inf) ⑵ _(-inf, ₂₎, ₍₂, _inf) 3 _xnot=-1, _xnot=2인 모든 실수 _x에서 연속이다. 4 ⑴ 최댓값: ₁, 최솟값: _-15 ⑵ 최댓값: ₂, 최솟값: ₁ 5 _{limx=2f(x)=f(2)}에서 _limx=2 x^3&-a_{x-2 =b ……}`①

이때 _{limx=2&~(x-2)=0}이므로 _{limx=2~(x^3&-a)=0} 즉, _8-a=0이므로 _a=8

a=8을 ①에 대입하면

_b=limx=2 x^3&-8_{x-2 =limx=2&~(x^2&+2x+4)=12} 6 _xnot=2일 때, _{f(x)= rtx-1&x-2}-1이므로

_~f(2)=limx=2 rtx-1&_{x-2 =lim}-1 _x=2 1

rtx-1&+1= 12 7 xnot=a일 때, _{~f(x)= x^2&+2x+1x-a}

극한값 _limx=a&f(x)가 존재하고 _{limx=a&~(x-a)=0}이므로 _{limx=a&~(x^2&+2x+1)=0}

즉, _a^2&+2a+1=0이므로 _(a+1)^2&=0, _a=-1 따라서 _{~f(a)=f(-1)=limx=-1&(x+1)=0} 8 _~f(x)g(x)=^{(2x-1)(x+k) (x->1) (-x+3)(x+k)& (x<1)이므로 ~lim x=1+`f(x)g(x)=~limx=1-`f(x)g(x)=f(1)g(1)에서 _1+k=2+2k, _k=-1 9 서준, 수진, 지원 10 _{~f(x)=x^3&+2x^2&-3x-10}이라고 하면 함수 _~f(x)는 닫힌구간 _[-1, _3]에서 연속이고 _~f(-1)=-6<0, ~f(3)=26>0이므로 사잇값의 정리에 따라 _~f(c)=0 인 _c가 열린구간 _(-1, ₃₎에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 _{x^3&+2x^2&-3x-10=0}은 열린구간 (-1, ₃₎에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 11 ~f(-2)f(-1)<0, _~f(-1)f(0)<0, _~f(1)f(2)<0 이므로 사잇값의 정리에 따라 방정식 _~f(x)=0은 열 린구간 _(-2, _-1), _(-1, ₀₎, ₍₁, ₂₎에서 각각 적어 도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 방정식 _~f(x)=0은 열린구간 _(-2, ₂₎에서 적어도 ₃개의 실근을 갖는다. 12 _{~f(x)=x^2&-4x+a}라고 하면 곡선 _y=f(x)의 축이 직선 _x=2이므로 _~f(-2)f(1)<0에서 _{(a+12)(a-3)<0}, _-12<a<3 40~42쪽 01 ⑴ ○, ○, ○, 연속 ⑵ ○, ○, _\, 불연속 스스로확인하기 1

02 ⑴ _(-inf, _0)hap(0, _inf) ⑵ _[-3, _inf)

스스로확인하기 ⑵ ₁

03 ⑴ _(-inf, ₁₎, ₍₁, _inf) ⑵ _(-inf, _2] 04 _a=4, _b=2

1 -1

2 _{x=inf&~ x+2lim}

x^2&-1 =0이므로 극한값을 잘못 구한 학생은 민호 이다.

3 _{x=-1&~ (x+1)f(x)~lim}

x^2&-1 =~limx=-1&~ ~f(x)x-1 =~f(-1)-2 =3 따라서 _~f(-1)=-6이므로 ①이다. 4 점 _P를 지나고 직선 _y=x+1에 수직인 직선의 방정 식은 _y=-x+2t+1 따라서 _Q(0, _2t+1)이므로 _^-AQ^-^2=1+(2t+1)^2=4t^2&+4t+2 이때 _^-AP^-^2=(t+1)^2&+(t+1)^2&=2(t+1)^2이므로 _limt=inf ^-AP^-^2

^-AQ^-^2 =limt=inf& 4t^2&+4t+2 =2(t+1)^2 24 =12

5 ㄱ. (반례) _{limx=0&`x=0</sub>,<sub>~limx=0`x^2=0}이지만 _limx=0 x x^2의 값 은 존재하지 않는다. 44~46쪽 par r23<t-<6일 때,_~ ~f(t)_{=4+ 12\{6+(-t+10)-(t-2)}\(t-3)} =-t^2&+12t-23 par r1, _parr2에서 _~f(t)=^{~ 2t-2 (1-<t-<3) -t^2&+12t-23 (3<t-<6) 2 함수 _~f(t)는 닫힌구간 _[1, _6]에서 연속이고 ~f(1)=0, _~f(6)=13이므로 사잇값의 정리에 따라 ~f(c)= 13₂ 인 _c가 열린구간 ₍₁, ₆₎에 적어도 하나 존 재한다. 따라서 직선 _x=t가 영역 _R의 넓이를 이등분 할 수 있다. 3 예 [문제] 영역 _R를 오른쪽 O y x 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 x=t R 그림과 같은 모양으로 바꾼다. [답] 함수 _~f(t)=^{~2t-2 (1-<t-<4) 6t-18(4<t-<6)은 닫힌구간 [1, _6]에서 연속이고 _~f(1)=0, _~f(6)=18이므로 사잇값의 정리에 따라 _~f(c)=9인 _c가 열린구간 (1, ₆₎에 적어도 하나 존재한다. 따라서 직선 _x=t 가 영역 _R의 넓이를 이등분할 수 있다. 13 함수 _~f(x)는 _x=3에서 연속이므로 _{x=3+~~f(x)=~lim~lim x=3-~~f(x)=f(3)} ~lim x=3+~~f(x)=~limx=3+(ax+b)=3a+b ~lim x=3-~~f(x)=~limx=3-~ |x|-3_{9-x^2 =~lim}x=3-~_{-x-3 =-}1 1₆ ~f(3)=3a+b 즉, <sub>3a+b=- 16 ……`①</sub> 또 함수 <sub>~f(x)</sub>는 <sub>x=-3</sub>에서 연속이므로 x=-3+`lim `f(x)=x=-3-`lim `f(x)=f(-3) `lim

x=-3+`f(x)=x=-3+~ |x|-3`lim _{9-x^2& =}x=-3+~ 1`lim _{x-3 =-}1₆

`lim x=-3-`f(x)=x=-3-(ax+b)=-3a+b`lim ~f(-3)=-3a+b 즉, <sub>-3a+b=- 16 ……`②</sub> ①, ②를 연립하여 풀면 _a=0, _{b=- 16} 14 xnot=-1, _xnot=1일 때, _{~f(x)= ax^3&+bx^2&-ax-b} x^2&-1 =ax+b 이때 함수 _~f(x)는 _x=-1, _x=1에서 연속이므로 _{x=-1~lim f(x)=f(-1)}, _{limx=1~f(x)=f(1)} 즉, _-a+b=1, _a+b=2 두 식을 연립하여 풀면 _{a= 12}, _{b= 32} 15 _{~f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)} +(x-c)(x-a) 라고 하면 _~f(a)>0, _~f(b)<0, _~f(c)>0이므로 사잇 값의 정리에 따라 방정식 _~f(x)=0은 열린구간 (a, _b), _(b, _c)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는 다. 이때 이 이차방정식의 두 실근이 _alpha, _{beta(alpha<beta)}이므로 _a<alpha<b, _b<beta<c 따라서 _{a<alpha<b<beta<c}이다. 1 O y x 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 y=-x+10 y=x-2 x=t par r1 _1-<t-<3일 때, _{~f(t)=2(t-1)=2t-2} 43쪽

ㄴ. _{limx=a`g(x)=limx=a`[{~f(x)+g(x)}-f(x)]}이므로 함수의 극한에 대한 성질에 따라 _limx=ag(x)의 값이 존재한다.

ㄷ. (반례) _{limx=0`x=0</sub>,<sub>~limx=0`x\ 1x=1}이지만 _limx=0`x1의 값은 존재하지 않는다.

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ이므로 ②이다.

6 ④

7 k=limx=2 3x^3&-6x^2&-x+2_x-2 =limx=2&`(3x^2&-1)=11

8 ㄱ. <sub>x=-1+{~f(x)+g(x)}=1+1=2`lim</sub> `lim x=-1-{~f(x)+g(x)}=1+(-1)=0 따라서 극한값 _{x=-1&{~f(x)+g(x)}lim} 는 존재하지 않는다. ㄴ. <sub>x=-1+{~f(x)-g(x)}=1-1=0`lim</sub> `lim x=-1-{~f(x)-g(x)}=1-(-1)=2 따라서 극한값 _{x=-1&{~f(x)-g(x)}lim} 가 존재하지 않 으므로 함수 _~f(x)-g(x)는 _x=-1에서 불연속 이다. ㄷ. <sub>x=1+&lim`f(x)g(x)=(-1)\1=-1</sub> lim x=1-&`f(x)g(x)=1\(-1)=-1 ~f(1)g(1)=(-1)\1=-1 따라서 _{limx=1&`f(x)g(x)=f(1)g(1)}이므로 함수 ~f(x)g(x)는 _x=1에서 연속이다. 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.

9 ⑴ _limx=2 1x+az_{x-2 =}-b 1₆에서 _{limx=2&~(x-2)=0}이므로 _{limx=2&~(1x+az-b)=0}

즉, _rt2+a&-b=0이므로

_{b=rt2+a ……`①} ▶ 40 %

⑵ _b=rt2+a& 를 문제의 식에 대입하면

limx=2 1x+az_x-2-rt2+a&=limx=2 _rtx+a+rt2+a&1& _{`</sub> =<sub>2rt2+a&</sub>1 <sub>`= 16}

이므로 _a=7 ▶ 40 %

a=7을 ①에 대입하면 _b=3 ▶ 20 % 10 limx=inf`g(x)=inf에서 <sub>x=inflim`</sub> 1

g(x) =0이므로 _{limx=inf&~ 1} g(x) {~f(x)-3g(x)} _{=limx=inf&~^{ ~f(x)} g(x) -3^}=0 따라서 _limx=inf`~f(x)_{g(x) =3}이므로 ▶ 50 %

_limx=inf`<sub>-3f(x)+2g(x)</sub>2f(x)+g(x) =limx=inf&` 2

~f(x) g(x) +1 -3~f(x)_{g(x) +2} = 2\3+1_-3\3+2 =-1 ▶ 50 % 11 _x>0일 때, 부등식의 각 변을 _x로 나누면 _{-x+1-< ~f(x)x -<x+1}

~limx=0+&(-x+1)=1, _{~limx=0+&(x+1)=1}이므로

_{~limx=0+ ~f(x)x =1} ▶ 50 % 따라서 _{~limx=0+~ {~f(x)}^2} x{2x+f(x)}=~limx=0+~ ^{ ~f(x)_{x ^}}^2 2+ ~f(x)_x = 1_{2+1 =}1₃ ▶ 50 % 12 _xnot=3일 때, _{~f(x)= 2x^2&+ax-bx-3} 극한값 _{limx=3`~f(x)</sub>가 존재하고 <sub>limx=3~(x-3)=0</sub>이므로 <sub>limx=3~(2x^2&+ax-b)=0</sub> 즉, <sub>18+3a-b=0 ……`①} ▶ 30 % 또 _~f(4)=9에서 <sub>32+4a-b=9 ……`②</sub> ▶ 20 % ①, ②를 연립하여 풀면 <sub>a=-5</sub>, <sub>b=3</sub> ▶ 20 % 따라서 <sub>~f(3)=limx=3</sub>`2x^2&-5x-3_x-3 =limx=3~(2x+1)=7 ▶ 30 % 13 ⑴ _{~f(x)=~limt=-inf~} 1 t -x 1 t +1 (x-2) =-x(x-2)=-x^2&+2x ▶ 60 % ⑵ _{~f(x)=-x^2&+2x=-(x-1)^2&+1}이므로 닫힌 구간 _[0, _4]에서 _x=1일 때 최댓값은 ₁, _x=4일 때 최솟값은 _-8이다. ▶ 40 % 14 g(x)=f(x)-x라고 하면 _g(x)는 연속함수이고 _{g(-1)=0-(-1)=1>0 g(0)=-2-0=-2<0 g(1)=2-1=1>0}, _{g(2)=1-2=-1<0} 이므로 사잇값의 정리에 따라 방정식 _g(x)=0, 즉 ~f(x)=x는 열린구간 _(-1, ₀₎, ₍₀, ₁₎, ₍₁, ₂₎에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다. ▶ 70 % 따라서 방정식 _~f(x)=x는 열린구간 _(-1, ₂₎에서 적어도 ₃개의 실근을 갖는다. ▶ 30 %

1

미분계수와 도함수

50쪽 1 _⑴ 2 _⑵ -2 2 _연속 51쪽 10_, 2_.5 01 ⑴ ₄ ⑵ _3+DELTAx 02 _{- 19} 03 ⑴ ₃ ⑵ ₇ 04 ₂, ₂ 05 ₁₆ 55쪽 2 06 ⑴ ₃ ⑵ _-1 57쪽 1~f(x) 2~f(x)

07 _~f(1)=0이고 _limx=1`f(x)=limx=1|x^2&-1|=0이므로 <sub>limx=1</sub>`f(x)=f(1) 즉, 함수 _~f(x)는 _x=1에서 연속이다. 한편 _{x=1+~ ~f(x)-f(1)~lim x-1 =~limx=1+~ |(x-1)(x+1)|x-1} =~limx=1+~ (x-1)(x+1)_x-1 =~limx=1+(x+1) =2 _{x=1-~ ~f(x)-f(1)~lim x-1 =~limx=1-~ |(x-1)(x+1)|x-1} =~limx=1-~ -(x-1)(x+1)_x-1 =~limx=1-(-x-1) =-2 에서 _{~f~'(1)=limx=1 ~ ~f(x)-f(1)x-1} 은 존재하지 않으므 로 함수 _~f(x)는 _x=1에서 미분가능하지 않다. 따라서 함수 _{~f(x)=|x^2&-1|}은 _x=1에서 연속이지 만 미분가능하지 않다. 예 _~f(x)=^{~ x-2 (x->2) (x-2)^2 (x<2) 수학 역량 기르기 58쪽

01

미분계수

51~58쪽

미분

59쪽 1~f~'(a)=2a 2 _{a … -1 0 1 2 …} ~f~'(a) … -2 0 2 4 … 3 함수이다. 01 ⑴ _~f~'(x)=-1 ⑵ _~f~'(x)=6x+1 스스로확인하기 ⑵ ₃, _3x^2 02 ①_-㉣, ②_-㉠, ③_-㉡, ④_-㉢ 62쪽 {~f(x)+g(x)}'=f~'(x)+g'(x)=2x+2 스스로확인하기 2x, ₁, _3x^2&-6x+2 03 ⑴ _y'=12x^2&+1 ⑵ _y'=-6x^5&+6x^2&-1 04 ⑴ _y'=-6x+16 ⑵ _y'=8x^3&-3x^2&+12x-3 05 예 [곱의 미분법을 이용하여 구하기] y' =(2x-1)(x^3&+1)+(x^2&-x-3)\3x^2 =5x^4&-4x^3&-9x^2&+2x-1 1 _{{~f(x)g(x)h(x)}}' =[{~f(x)g(x)}h(x)]' ={~f(x)g(x)}'h(x)+{~f(x)g(x)}h'(x) ={~f~'(x)g(x)+f(x)g'(x)}h(x) +f(x)g(x)h'(x) =f~'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x) +f(x)g(x)h'(x) 2 예 [문제]_~f(x)=x, _g(x)=2x-1, _h(x)=3x+1 로 정한다. [답]{~f(x)g(x)h(x)}_'=18x^2&-2x-1 수학 역량 기르기 64쪽

02

도함수

59~64쪽 1○ 2○ 3_× 4○ 1 ₁ 2 ⑴ ₂ ⑵ ₅ 3 함수 _~f(x)는 _x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 4 ⑴ _{y'=3x^2&-4x+1} ⑵ _{y'=9x^2&+4x+6} 5 _DELTAxDELTAy_{= ~f(1)-f(-1)} 1-(-1) =2a2 =a이므로 a=3 6 ⑴ _limh=0 ~f(1+4h)-f(1)_h =limh=0 ~f(1+4h)-f(1)_4h \4 =4~f~'(1)=8 65~67쪽

⑵ _limh=0 ~f(1-2h)-f(1)_h =limh=0 ~f(1-2h)-f(1)_-2h \(-2) =-2~f~'(1)=-4 7 ~f~'(2)=4이므로 _limx=2 ~f(x)-f(2) x^3&-8

=limx=2 ~f(x)-f(2)_x-2 \limx=2 _x^2&+2x+41 =f~'(2)\ 1_{12 =}1₃

8 limx=4 ~f(x)-1_{x-4 =5}에서 _{limx=4&~(x-4)=0}이므로 _{limx=4&~{~f(x)-1}=0}, _~f(4)=1

limx=4 ~f(x)-1_{x-4 =lim}x=4 ~f(x)-f(4)_x-4 =f~'(4)이므로 _~f~'(4)=5

9 함수 _~f(x)가 _x=2에서 미분가능하면 연속이므로 limx=2~f(x)=f(2)에서

_limx=2 x^2&+3x-10_{x-2 =a+1}

이때 _limx=2 x^2&+3x-10_{x-2 =limx=2&}`(x+5)=7이므로 <sub>7=a+1</sub>, <sub>a=6</sub> 10 <sub>~f(x)=ax^2&+bx+2</sub>에서 <sub>~f~</sub>'(x)=2ax+b ~f(1)=8에서 <sub>a+b+2=8 ……`①</sub> ~f~'(-1)=0에서 _{-2a+b=0 ……`②</sub> ①, ②를 연립하여 풀면 <sub>a=2</sub>, <sub>b=4</sub> 11 <sub>~f(x)=2x^3&-x^2&-xf~</sub>'(2)의 양변을 <sub>x</sub>에 대하여 미분 하면 <sub>~f~'(x)=6x^2&-2x-f~'(2)</sub> 양변에 <sub>x=2</sub>를 대입하면 <sub>~f~'(2)=24-4-f~'(2)</sub>, <sub>~f~'(2)=10</sub> 따라서 <sub>~f~'(x)=6x^2&-2x-10</sub>이므로 <sub>~f~'(-1)=-2</sub> 12 limh=0`~f(1+h)-f(1-3h)_2h =limh=0`~f(1+h)-f(1)+f(1)-f(1-3h)<sub>2h</sub> =limh=0&~~ ~f(1+h)-f(1)<sub>h \ 12</sub> +limh=0&~~ ~f(1-3h)-f(1)<sub>-3h \ 32</sub> = 12 ~f~'<sub>(1)+ 32 ~f~</sub>'(1) =2f~'(1) 즉, <sub>2f~'(1)=6</sub>이므로 <sub>~f~'(1)=3</sub> 한편 <sub>~f~'(x)=3x^2&+2ax-4</sub>이므로 <sub>~f~'(1)=2a-1</sub> 따라서 <sub>2a-1=3</sub>이므로 <sub>a=2</sub> 13 <sub>~f(1)=1</sub>, <sub>~f~</sub>'(1)=2이고 g'(x)=(2x+3)f(x)+(x^2&+3x)f'(x)이므로 <sub>g'(1)=5f(1)+4f~'(1)=13</sub> 14 <sub>~f~'(x)=(x^2&-4x+3)+(x-a)(2x-4)</sub>이므로 ~f~'(a)=-1에서 <sub>a^2&-4a+3=-1 (a-2)^2&=0</sub>, <sub>a=2</sub> 따라서 <sub>~f~</sub>'(1)=(1-a)\(-2)=2 15 <sub>~f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy</sub>에 <sub>x=0</sub>, <sub>y=0</sub>을 대입 하면 <sub>~f(0)=f(0)+f(0)</sub>, <sub>~f(0)=0</sub> 따라서 <sub>~f~'(2)=limh=0`}~f(2+h)-f(2)_h =limh=0`~f(2)+f(h)+6h-f(2)<sub>h</sub> =limh=0`~f(0+h)-f(0)_h +6 =f~'(0)+6=8

16 limx=1&`~f(x+1)-3_x^2&-1 =4에서 _{limx=1&~(x^2&-1)=0}이므로 _{limx=1&~{~f(x+1)-3}=0}, _~f(2)=3

x+1=t로 놓으면 _x~arr~1일 때, _t~arr~2이므로 _limx=1&`~f(x+1)-3

x^2&-1 =limt=2&`(t-1)^2&-1~f(t)-3 =limt=2&`~f(t)-f(2)_{t-2 \ 1t} = 12`f~'(2) 즉, 1<sub>2</sub>`f~'(2)=4이므로 _~f~'(2)=8 한편 _{~f(x)=x^3&+ax+b}에서 _{~f~'(x)=3x^2&+a} ~f(2)=3에서 _8+2a+b=3 cc ① ~f~'(2)=8에서 _12+a=8, _a=-4 a=-4를 ①에 대입하면 _b=3 17 다항식 _{x^10&+5x^2&+1}을 _(x-1)^2으로 나누었을 때, 몫 을 _Q(x), 나머지를 _ax+b(a, _b는 상수)라고 하면 _{x^10&+5x^2&+1=(x-1)^2&Q(x)+ax+b ……`①</sub> 양변에 <sub>x=1</sub>을 대입하면 <sub>7=a+b ……`②} ①의 양변을 _x에 대하여 미분하면 _{10x^9&+10x=(2x-2)Q(x)} +(x-1)^2&Q'(x)+a 양변에 _x=1을 대입하면 _a=20 a=20을 ②에 대입하여 풀면 _b=-13 따라서 구하는 나머지는 _20x-13

2

도함수의 활용

70쪽 1y=2x 2 ⑴ 2 ⑵ 0

71쪽 -2

01 ⑴ _y=-2x+1 ⑵ _y=8x+9

02 ⑴ _y=x+4 ⑵ _y=x+2 또는 _y=x-2

03 ⑴ _y=-5x-1 또는 _y=11x-17 ⑵ _y=-2x+1 ~f(x)=-x^2&+4라고 하면 _~f~'(x)=-2x 접점의 좌표를 _(t, _-t^2&+4)라고 하면 접선의 방정식은 _{y=-2tx+t^2&+4} 이 접선이 점 _A(2, _k)를 지나므로 _{k=(-2t)\2+t^2&+4}, _{t^2&-4t+4-k=0} 이 이차방정식의 서로 다른 실근 _t의 개수가 구하는 접 선의 개수이므로 이차방정식의 판별식을 _D라고 하면 D_{4 =(-2)^2&-(4-k)=k} 따라서 구하는 접선의 개수는 _k>0일 때 ₂, _k=0일 때 ₁, _k<0일 때 ₀이다. 수학 역량 기르기 73쪽

01

접선의 방정식

71~73쪽 74쪽 1~f(0)=f(2) 2 존재한다 01 ₀, _6x^2&-6, ₁, ₁ 76쪽 11 2 존재한다. 02 ⑴ 3₂ ⑵ _-rt3 03 0, _~f(a)

02

평균값 정리

74~77쪽 78쪽 1 내려간다 2 올라간다 01 ⑴ _{parr1 ~f(x_2)-f(x_1)=x_2&^3&-x_1&^3} =(x_2&-x_1)(x_2&^2&+x_2&x_1&+x_1&^2)>0 이므로 _{~f(x_1)<f(x_2)}이다. par r2 따라서 함수 _~f(x)=x^3은 열린구간 _(-inf, _inf) 에서 증가한다.

⑵ _{parr1 ~f(x_2)-f(x_1)= 1x_2&-1 -x_1&-1}1 =_{(x_2&-1)(x_1&-1) <0}x_1&-x_2 이므로 _{~f(x_1)>f(x_2)}이다. par r2 따라서 함수 _{~f(x)= 1x-1}은 열린구간 (-inf, ₁₎에서 감소한다. 02 ⑴ 구간 _[0, _1]에서 증가, 구간 _(-inf, _0], _[1, _inf)에서 감소 ⑵ 구간 _[-rt5 , _0], _[rt5 , _inf)에서 증가,

구간 _(-inf, _-rt5&], _[0, _rt5&]에서 감소 03 예 [문제]a=1, _b=0, _c=-27, _d=1로 정한다.

[답] 구간 _(-inf, _-3], _[3&, _inf)에서 증가, 구간 _[-3&, _3]에서 감소 구간 _(a, _c)에서 _~f~'(x)>0이고, 구간 _(-inf, _a), (c, _inf)에서 _~f~'(x)<0이므로 함수 _~f(x)는 구간 [a, _c]에서 증가하고, 구간 _(-inf, _a], _[c, _inf)에서 감소한다. 수학 역량 기르기 81쪽 82쪽 10시 38분, 12시 44분 2₆시 ₃분, ₁₈시 ₈분 04 ⑴ 극댓값: ₁₉, 극솟값: _-13 ⑵ 극댓값: ₂, 극솟값: ₁ 05 _1kWh 06 _a=-3, _b=10, 극댓값: ₁₇

03

함수의 증가와 감소, 극대와 극소

78~85쪽 1 평균 비용은 원점 _O와 점 _{(x, C(x))}를 지나는 직선 의 기울기를 의미하고, 한계 비용은 곡선 _y=C(x) 위의 점 _{(x, C(x))}에서 접하는 접선의 기울기를 의 미한다. 2 평균 비용이 최소인 생산량을 추측하면 원점 _O와 점 (x, _C(x))를 지나는 직선의 기울기가 가장 작은 1._2kg이고, 한계 비용이 최소인 생산량을 추측하면 곡선 _y=C(x) 위의 점 _{(x, C(x))}에서 접하는 접선 의 기울기가 가장 작은 ₀._8kg이다. 한편 C(x)_{x =2x^2&-4.8x+4=2(x-1.2)^2&+1.12 C}'(x)=6x^2&-9.6x+4=6(x-0.8)^2&+0.16 이므로 평균 비용은 _x=1.2일 때 최소이고, 한계 비 용은 _x=0.8일 때 최소이다. 따라서 이것은 추측한 값과 같다. 3 점 _(1.2, _1.12)의 좌표를 _y=C'(x)에 대입하면 등 식을 만족시키므로 한계 비용의 그래프는 평균 비용 의 그래프에서 평균 비용이 최소인 점을 지난다. 68쪽

현우, 예를 들어 오른쪽 그 y x O y=f(x) f(a) f(b) f(d) f(c) a b _{c d} 림과 같은 함수 _y=f(x)의 그래프에서 _~f(x)는 _x=a 와 _x=c에서 극대이고 극 댓값은 각각 _~f(a), _~f(c), x=b와 _x=d에서 극소이 고 극솟값은 각각 _~f(b), _~f(d)이다. 이때 _~f(a)<f(d)이므로 함수 _~f(x)의 극댓값이 극솟 값보다 작다. 따라서 극댓값이 극솟값보다 항상 큰 것은 아니다. 수학 역량 기르기 85쪽 86쪽 1 _{x … -1 … 1 …} ~f~'(x) + 0 - 0 + ~f(x) ↗ ₀ ↘ _-4 ↗ 2 표에서 각 구간의 화살표 방향이 함수 _y=f(x)의 그래 프와 비슷하다. 01 ⑴ y x O 1 1 2 ⑵ y x O RT2 4RT2 -4RT2 -RT2 02 ⑴ y x O 1 -2 -1 ⑵ y O 1 4 1 -1 x 03 ⑴ 최댓값: ₃₅, 최솟값: _-5 ⑵ 최댓값: ₂, 최솟값: _-7 04 1년 05 8₃`cm

04

함수의 그래프

86~89쪽 90쪽 10_, 2_, 0_, 2 2 _같다. 01 ⑴ ₁ ⑵ ₂ 02 _2<a<6

05

방정식과 부등식에의 활용

90~92쪽 93쪽 168+24DELTAt 268 01 ⑴ 속도: _-3, 가속도: ₀ ⑵ ₁ 02 ⑴ ₃초, ₄₅`m ⑵ -30`m/s& 03 _-200`m&/_s

06

속도와 가속도

93~95쪽 03 ~f(x)=x^3&+6x^2&+9x-2+a라고 하면 _{~f~'(x)=3x^2&+12x+9=3(x+3)(x+1)} ~f~'(x)=0에서 _x=-3 또는 _x=-1 x … -3 … -1 … ~f~'(x) + 0 - 0 + ~f(x) ↗ _a-2 ↘ _a-6 ↗ 함수 _~f(x)는 _x=-3에서 극대이고 극댓값은 _a-2, x=-1에서 극소이고 극솟값은 _a-6이다. 이때 삼차방정식 _~f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가 지면 극댓값과 극솟값의 부호가 다르므로 _(a-2)(a-6)<0, _2<a<6 04 _{~f(x)=4x^3&-3x^2&-6x+5}라고 하면 _{~f~'(x)=12x^2&-6x-6=6(2x+1)(x-1)} x->0일 때, _~f~'(x)=0에서 _x=1 x 0 … 1 … ~f~'(x) - 0 + ~f(x) 5 ↘ 0 ↗ 함수 _~f(x)는 _x=1에서 최소이고 최솟값은 ₀이므로 x->0인 모든 _x에 대하여 _{~f(x)=4x^3&-3x^2&-6x+5->0} 따라서 _x->0일 때, 부등식 _{4x^3&-3x^2&-6x+5->0}이 성립한다. 05 _{5x^4&-3x^3&+1->2x^4&+x^3}에서 _{3x^4&-4x^3&+1->0} ~f(x)=3x^4&-4x^3&+1이라고 하면 _~f~'(x)=12x^3&-12x^2=12x^2(x-1) ~f~'(x)=0에서 _x=0 또는 _x=1 x … 0 … 1 … ~f~'(x) - 0 - 0 + ~f(x) ↘ 1 ↘ 0 ↗ 함수 _~f(x)는 _x=1에서 최소이고 최솟값은 ₀이므로 모든 실수 _x에 대하여 _{~f(x)=3x^4&-4x^3&+1->0} 따라서 모든 실수 _x에 대하여 부등식 5x^4&-3x^3&+1->2x^4&+x^3이 성립한다.

1○ 2× 3× 4○ 5× 1 _y=8x-6 2 구간 _[0, _3]에서 증가, 구간 _(-inf, _0], _[3, _inf)에서 감소 3 속도: ₂₀, 가속도: ₁₆ 4 _y~'=-3x^2&+12x=-3(x-2)^2&+12이므로 접선의 기울기는 _x=2에서 최대이고 최댓값은 ₁₂이다. 따라서 기울기가 ₁₂이고 점 ₍₂, ₈₎에서 접하는 접선 의 방정식을 구하면 _y-8=12(x-2), _y=12x-16 5 _{~f(x)=x^4&-3x^2&+6}이라고 하면 _~f~'(x)=4x^3&-6x 접점의 좌표를 _(t, _{t^4&-3t^2&+6)}이라고 하면 접선의 방 정식은 _{y=(4t^3&-6t)x-3t^4&+3t^2&+6} 이 접선이 원점을 지나므로 _{3t^4&-3t^2&-6=0}, _{3(t^2&+1)(t^2&-2)=0} 그런데 _t는 실수이므로 _t=-rt2& 또는 _t=rt2& 즉, 접점의 좌표는 _(-rt2&, ₄₎, _(rt2&, ₄₎ 따라서 삼각형 _OAB의 넓이는 1_{2 \2rt2&\4=4rt2&} 6 ⑴ _~f~'(c)=0에서 _2c-3=0, _{c= 32} ⑵ ~f(2)-f(0)_{2-0 =f~'(c)}에서 _-1=2c-3, _c=1 7 _~f~'(x)=3x^2&+2ax+a이고, 모든 실수 _x에 대하여 ~f~'(x)->0이어야 한다. 따라서 이차방정식 _~f~'(x)=0은 중근 또는 허근을 가 져야 하므로 이 방정식의 판별식을 _D라고 하면 D_{4 =a^2&-3a-<0}, _0-<a-<3 8 _{~f(x)=3x^4&+4x^3&-12x^2&+1}에서 _~f~'(x)=12x^3&+12x^2&-24x =12x(x+2)(x-1) ~f~'(x)=0에서 _x=-2 또는 _x=0 또는 _x=1 x … -2 … 0 … 1 … ~f~'(x) - 0 + 0 - 0 + ~f(x) ↘ -31 ↗ 1 ↘ _-4 ↗ 96~98쪽 따라서 함수 ~f(x)는 x=0에서 극대이고 극댓값은 1, x=-2와 _x=1에서 극소이고 극솟값은 각각 _-31, -4이므로 구하는 모든 극값의 합은 _{1+(-31)+(-4)=-34} 9 _{~f(x)=x^3&+ax^2&+bx+c}에서 _{~f~'(x)=3x^2&+2ax+b} ~f~'(0)=0에서 _b=0 ~f~'(4)=0에서 _48+8a+b=0, _a=-6 함수 _~f(x)는 _x=0에서 극대이고 극댓값이 ₅이므로 ~f(0)=5에서 _c=5 즉, _{~f(x)=x^3&-6x^2&+5} 따라서 함수 _~f(x)는 _x=4에서 극소이므로 극솟값은 _~f(4)=-27 10 _{~f(x)=x^4&-8x^2&+5}에서 _~f~'(x)=4x^3&-16x=4x(x+2)(x-2) -3-<x-<1일 때, _~f~'(x)=0에서 _x=-2 또는 _x=0 x -3 … -2 … 0 … 1 ~f~'(x) - 0 + 0 -~f(x) 14 ↘ _{-11 ↗ 5} ↘ _-2 따라서 함수 _~f(x)는 _x=-3에서 최대이고 최댓값은 14, _x=-2에서 최소이고 최솟값은 _-11이다. 11 점 _D의 좌표를 _(a, _-a^2&+6)이라 하고, 직사각형 ABCD의 넓이를 _S(a)라고 하면 _{S(a)=2a(-a^2&+6)} =-2a^3&+12a (단, _{0<a<rt6&) S}'(a)=-6a^2&+12=-6(a+rt2&)(a-rt2&) 0<a<rt6&일 때, _S'(a)=0에서 _a=rt2&

a 0 … rt2 … rt6 ~S~'(a) + 0 -~S(a) ↗ _8rt2 ↘ 따라서 _S(a)는 _a=rt2 에서 최대이고 최댓값은 _8rt2 이 므로 직사각형 _ABCD의 넓이의 최댓값은 _8rt2 이다. 12 _{~f(x)=2x^3&-3kx^2&+1}이라고 하면 _{~f~'(x)=6x^2&-6kx=6x(x-k)} x->0일 때, _~f~'(x)=0에서 _x=0 또는 _x=k x 0 … k … ~f~'(x) 0 - 0 + ~f(x) 1 ↘ 1-k^3 ↗ 함수 _~f(x)는 _x=k에서 최소이고 최솟값은 _1-k^3이 므로 _x->0일 때, 부등식 _~f(x)>0이 성립하려면 _1-k^3&>0, _{(1-k)(1+k+k^2)>0}, _k<1 그런데 _k>0이므로 _0<k<1

13 시각 _t에서 점 _P의 속도를 _v라고 하면 _{v=3t^2&-10t+8} 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 ₀이므로 _v=0에서 _{3t^2&-10t+8=0}, _{(3t-4)(t-2)=0 t= 43} 또는 _t=2 따라서 _{t= 43} 와 _t=2의 좌우에서 _v의 부호가 바뀌므 로 점 _P가 운동 방향을 바꾸는 시각은 _{~ 43}, ₂이다. 14 _{~f~'(x)=3x^2&-4x+a}이고, 이차방정식 _~f~'(x)=0은 -1<x<2에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. par r1 방정식 _~f~'(x)=0의 판별식 y x O 2 -1 y=f'(x) 을 _D라고 하면 D_{4 =4-3a>0}, _{a< 43} par r2 ~f~'(-1)>0이어야 하므로 _a+7>0, _a>-7 par r3 ~f~'(2)>0이어야 하므로 _a+4>0, _a>-4 par r1~~_~parr3에서 _{-4<a< 43} 15 _{5x^3&-2=2x^3&+9x+k}에서 _3x^3&-9x-2=k ~f(x)=3x^3&-9x-2라고 하면 _{~f~'(x)=9x^2&-9=9(x+1)(x-1)} ~f~'(x)=0에서 _x=-1 또는 _x=1 x … -1 … 1 … ~f~'(x) + 0 - 0 + ~f(x) ↗ 4 ↘ -8 ↗ 또 _~f(0)=-2이므로 함수 y x O 4 1 -1_-2 y=k y=3x^3-9x-2 -8 y=3x^3&-9x-2의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 서로 다른 두 개의 양 의 근과 한 개의 음의 근을 갖도록 하는 상수 _k의 값의 범위는 _-8<k<-2 16 _t초 후 수면의 높이는 _{2t`cm</sub>이므로 <sub>t</sub>초 후 수면의 반 지름의 길이를 <sub>r`cm}라고 하면 _r：_10=2t：₁₀, _r=2t t초 후 그릇에 담긴 물의 부피를 <sub>V(t)`cm^3</sub>라고 하면 <sub>V(t)= 13 pair^2&\2t=</sub>8<sub>3 pait^3 V</sub>'(t)=8pait^2 따라서 <sub>t=2</sub>일 때, 그릇에 담긴 물의 부피의 변화율은 <sub>8pai\2^2=32pai</sub> 즉, <sub>32pai</sub>`cm^3/_s이다.

1 _{~f(a+1)-f(a)=8}에서 _2a-2=8, _a=5

2 _limh=0 ~f(a+h)-f(a-h)_h

=limh=0 ~f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)_h =limh=0 ~f(a+h)-f(a)_h +limh=0 ~f(a-h)-f(a)_-h =f~'(a)+f~'(a) =2f~'(a)=4 따라서 ⑤이다. 100~102쪽 1 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 _r, 높이를 _h라고 하 면 원기둥의 겉넓이가 _k로 일정하므로 _{2pair^2&+2pairh=k h=-r+ k2pair ……`①} 원기둥의 부피를 _V(r)라고 하면 _{V(r)=pair^2&h=-pair^3&+ 12 kr V'(r)=-3pair^2&+ 12 k}

=-3pai^(r+5 k_{6pai ~~}^)^(r-5 k_{6pai ~~}^) r>0일 때, _V'(r)=0에서 _{r=5 k6pai ~~} r 0 … 5_6paik … ~V'(r) + 0 -~V(r) ↗ 극대 ↘ 따라서 _V(r)는 _{r=5 k6pai ~~}에서 최대이므로 부피가 최 대인 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는

_{5 k6pai ~~=}16paika_6pai

2 r= 16paika_6pai 를 ①에 대입하여 풀면 _{h= 16paika3pai} 따라서 부피가 최대인 원기둥의 밑면의 반지름의 길이 와 높이의 비는

_r：_{h= 16paika6pai} ：16paika_{3pai =1}：₂

3 ₁：₁

3 _limx=3&`x^2&-9f(x)_x-3

=limx=3&`x^2&-9+9-9f(x)_x-3

=limx=3&`x^2&-9<sub>x-3 -9~lim</sub>x=3&`~f(x)-1_x-3

=limx=3&(x+3)-9limx=3&`~f(x)-f(3)_x-3

=6-9f~'(3)=24 4 _{y' =f~'(x)g(x)+f(x)g'(x)} =(-2x+3)(2x^3&-x^2&+x-3) +(-x^2&+3x+1)(6x^2&-2x+1) 따라서 구하는 접선의 기울기는 _~f~'(1)g(1)+f(1)g'(1)=-1+15=14 5 _{~f(x)=2x^3&-3x^2}이라고 하면 _{~f~'(x)=6x^2&-6x} 접점의 좌표를 _(t, _2t^3&-3t^2&)이라고 하면 접선의 기울 기가 ₁₂이므로 _~f~'(t)=12에서 _6t^2&-6t=12, _{6(t+1)(t-2)=0 t=-1} 또는 _t=2 따라서 접점의 좌표는 _(-1, _-5), ₍₂, ₄₎이므로 접 선의 방정식은 _y=12x+7 또는 _y=12x-20 그런데 _k>0이므로 _k=7 6 _h'(x)=f~'(x)-g'(x)이므로 _h'(x)=0에서 _x=b 또는 _x=d 또는 _x=e x … b … d … e … ~h'(x) + 0 - 0 + 0 -~h(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 따라서 함수 _h(x)는 _x=d에서 극소이므로 ④이다. 7 _{~f(x)=x^3&-6ax^2&+9a^2&x+1}에서 _{~f~'(x)=3x^2&-12ax+9a^2=3(x-a)(x-3a)} ~f~'(x)=0에서 _x=a 또는 _x=3a x … a … 3a … ~f~'(x) + 0 - 0 + ~f(x) ↗ 4a^3&+1 ↘ 1 ↗ 함수 _~f(x)는 _x=a에서 극대이고 극댓값은 _4a^3&+1, x=3a에서 극소이고 극솟값은 ₁이다. 이때 극댓값과 극솟값의 합이 ₃₄이므로 _4a^3&+1+1=34, _a^3&=8 그런데 _a는 실수이므로 _a=2 따라서 ②이다. 8 _{~f(x)=x^3&+3x^2&+k-5}에서 _{~f~'(x)=3x^2&+6x=3x(x+2)} -2-<x-<2일 때, _~f~'(x)=0에서 _x=-2 또는 _x=0 x -2 … 0 … 2 ~f~'(x) 0 - 0 + ~f(x) k-1 ↘ _k-5 ↗ _k+15 함수 _~f(x)는 _x=2에서 최대이고 최댓값은 _k+15, x=0에서 최소이고 최솟값은 _k-5이다. 이때 함수 _~f(x)의 최댓값이 ₈이므로 _k+15=8, _k=-7 따라서 함수 _~f(x)의 최솟값은 _k-5=-12이므로 ① 이다. 9 _{h(x)=f(x)-g(x)}로 놓으면 _{h(x)=3x^4&-8x^3&+10-k h'(x)=12x^3&-24x^2&=12x^2(x-2)} h'(x)=0에서 _x=0 또는 _x=2 x … 0 … 2 … ~h'(x) - 0 - 0 + ~h(x) ↘ 10-k ↘ -6-k ↗ 따라서 함수 _h(x)는 _x=2에서 최소이고 최솟값은 -6-k이므로 모든 실수 _x에 대하여 부등식 h(x)>0, 즉 _~f(x)>g(x)를 만족시키려면 _-6-k>0, _k<-6 10 시각 _t에서 점 _P의 속도를 _v, 가속도를 _a라고 하면 _v=6t^2&-10t, _a=12t-10 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 ₀이므로 _v=0에서 _6t^2&-10t=0, _2t(3t-5)=0 그런데 _t>0이므로 _{t= 53}이고, _{t= 53}의 좌우에서 _v의 부호가 바뀌므로 이때 점 _P의 가속도는 _{a=12\ 53 -10=10} 11 함수 _~f(x)가 _x=1에서 미분가능하면 연속이므로 lim x=1+`f(x)=limx=1-`f(x)=f(1)에서 _{a-2=2+b ……`①</sub> ▶30 % 함수 <sub>~f(x)</sub>가 <sub>x=1</sub>에서 미분가능하므로 lim h=0+ ~f(1+h)-f(1)<sub>h</sub> =limh=0- ~f(1+h)-f(1)<sub>h</sub> 에서 <sub>2a-2=4</sub>, <sub>a=3</sub> ▶50 % a=3을 ①에 대입하여 풀면 <sub>b=-1</sub> ▶ 20 % 12 <sub>~f(x)=x^2&+ax&+b</sub>라고 하면 <sub>~f~'(x)=2x+a</sub> ▶30 % ~f(2)=3이므로 <sub>4+2a+b=3 ……`①} ~f~'(2)=6이므로 _4+a=6, _a=2 ▶30 % a=2를 ①에 대입하여 풀면 _b=-5 ▶40 %

13 ~f~'(x)=3x^2&+12x+k ▶ 30 % =3(x+2)^2&+k-12 함수 _~f(x)가 닫힌구간 x O 1 -3 -2 y=f'(x) y [-3, _1]에서 증가하려면 -3-<x-<1에서 _~f~'(x)->0이 어야 한다. 따라서 ~f~'(-2)->0이어야 하므로 _k-12->0 ▶ 50 % 즉, _k->12 ▶ 20 % 14 _~f~'(x)=-3x^2&+2ax&+b이고, 함수 _~f(x)가 _x=alpha와 x=beta에서 극값을 갖는다고 하면 이차방정식 ~f~'(x)=0의 해는 _x=alpha 또는 _x=beta이다. alpha>0, _beta>0이므로 근과 계수의 관계에 따라 alpha+beta= 2a_{3 >0}에서 _a>0 ▶ 30 % alphabeta=- b3 >0에서 _b<0 ▶ 30 % 한편 함수 _y=f(x)의 그래프와 _y축의 교점의 _y좌표 가 _c이므로 _c>0 ▶ 20 % 따라서 _a>0, _b<0, _c>0이므로 |a|_{a +}|b|_{b +}|c|_{c = aa+}-b_{b +}c_c =1-1+1 =1 ▶ 20 % 15 ⑴ 구에 내접한 원뿔의 밑면의 8 O A B h-8 r 반지름의 길이를 _r라고 하면 직각삼각형 _OAB에서 _{(h-8)^2&+r^2&=8^2 r^2&=-h^2&+16h} 원뿔의 부피를 _V(h)라고 하면 _{V(h)= 13 pair^2&h} =- 13 paih^3&+163 paih^2& ▶ 50 % ⑵ _V'(h)=-paih&^2&+ 32_{3 paih} =-paih^(h- 32_{3 ^)} 8<h<16일 때, _V'(h)=0에서 _{h= 323} h 8 … 32₃ … 16 ~V'(h) + 0 -~V(h) ↗ 극대 ↘ 따라서 _V(h)는 _{h= 323} 에서 최대이므로 원뿔의 부피가 최대일 때, 원뿔의 높이는 32₃ 이다. ▶ 50 %

1

부정적분과 정적분

106쪽 1-8 2 _⑴ y'=0 _⑵ y'=6x^5 107쪽 x^2&+k _(단, k_{는 상수)} 스스로확인하기 ⑵ _x^3 01 ⑴ _5x+C ⑵ _x^4&+C 등식이 성립하지 않는다. 함수 _~f(x)의 한 부정적분을 _F(x)라고 하면 _{dx ^{~int}d _{`f(x)~dx^}= ddx {F(x)+C_1}=f(x) ~int^{ ddx`f(x)^}~dx=int`f~'(x)~dx=f(x)+C_2</sub> 따라서 <sub>dx ^{~int</sub>d <sub>`f(x)~dx^}not=~int^{ ddx`f(x)^}~dx} 수학 역량 기르기 108쪽 109쪽 ~f(x) 1_{2 x^2} 1_{3 x^3} 1_{4 x^4} 1_{5 x^5&} ~f~'(x) x x^2 x^3 x^4 ~f(x)= 1_{n+1 x^n+^1&+C} (단, _C는 적분상수) 스스로확인하기 ⑵ 6, 1 7 x^7 02 ①_-㉢, ②_-㉠, ③_-㉣, ④_-㉡ 03 ⑴ _{x^5&-2x^4&+2x^2&-3x+C}

⑵ 1_{4 x^4&-}1_{3 x^3&+}1_{2 x^2&-x+C}

04 _{2x^4&-2x^3&+3x+C}, _-1, _{2x^4&-2x^3&+3x-1}

01

부정적분

107~111쪽

적분

112쪽 예 _F(x)=x^2, _G(x)=x^2&+1, _H(x)=x^2&-2, F(3)-F(1)=G(3)-G(1)=H(3)-H(1)=8 스스로확인하기 _⑵ 0 01 ⑴ ₈₀ ⑵ ₀ 스스로확인하기 x^3, _-7 02 ⑴ _-80 ⑵ _-33

02

정적분

112~118쪽

1○ 2× 3○ 4× 5× 1 ~f(x)=6x-2 2 ⑴ _{x^3&+2x^2&-x+C} ⑵ _2x^3&+2x+C 3 ⑴ ₅₂ ⑵ ₁₅ ⑶ ₂₄ 4 _{~f(x)=x+x^2&+x^3&+…+x^10&+C} ~f(0)=0에서 _C=0 따라서 _{~f(x)=x+x^2&+x^3&+…+x^10&}이므로 _{~f(1)=1+1+1+…+1=10} 5 ~f~'(x)=3x^2&-12x+8이므로 ~f(x)= int (3x^2&-12x+8)~dx=x^3&-6x^2&+8x+C 이때 곡선 _y=f(x)가 점 ₍₁, ₇₎을 지나므로 _1-6+8+C=7, _C=4 따라서 _{~f(x)=x^3&-6x^2&+8x+4}이므로 _~f(-1)=-11 6 _{F(x)=xf(x)-5x^3&+4x^2}의 양변을 _x에 대하여 미 분하면 _{~f(x)=f(x)+xf~'(x)-15x^2&+8x ~f~'(x)=15x-8} 양변을 _x에 대하여 적분하면 _{~f(x)= 152 x^2&-8x+C} ~f(2)=8에서 _30-16+C=8, _C=-6 따라서 _{~f(x)= 152 x^2&-8x-6} 7 _{~inta^x&~f(t)~dt=2x^2&-8x+6}의 양변을 _x에 대하여 미분 하면 _~f(x)=4x-8 ~inta^x&~f(t)~dt=2x^2&-8x+6의 양변에 _x=a를 대입하면 _0=2a^2&-8a+6, _{2(a-1)(a-3)=0} 따라서 _a=1 또는 _a=3 8 _{~int0^3`f(x)~dx=~int0^3&~(x^2&+ax+b)~dx}

=^[ 13 x^3&+12 ax^2&+bx^]0^3&=9+92 a+3b 119~121쪽

즉, _{9+ 92 a+3b=3}에서 _{3a+2b=-4 ……}`①

~int-1^1~f(x)~dx=~int-1^1(x^2&+ax+b)~dx

=^[ 13 x^3&+12 ax^2&+bx^]^1-1&&=23 +2b 즉, 2_{3 +2b=}8₃이므로 _b=1 b=1을 ①에 대입하여 풀면 _a=-2 9 _{~int0^1(9a^2&x^2&-12ax+5)~dx=^[3a^2&x^3&-6ax^2&+5x^]0^1} =3a^2&-6a+5 =3(a-1)^2&+2 따라서 _a=1일 때 최소이고, 그때 정적분의 값은 ₂이다. 10 ₂, ₂, _{2x^4&+ 12 x^2&-5x}, _-20 11 _{~f(x)=&|x-x^2|}이라고 하면 _0-<x-<1에서 ~f(x)=x-x^2, _1-<x-<2에서 _~f(x)=-x+x^2이므로 _{~int0^2&|x-x^2|~dx =~int0^1~(x-x^2)~dx+~int1^2~(-x+x^2)~dx =^[ 12 x^2&-}1_{3 x^3^]0^1&+^[-}1_{2 x^2&+}1_{3 x^3^]1^2 = 16 +}5_{6 =1} 12 _{dx {~f(x)+g(x)}=2x+3}d 에서 _{~f(x)+g(x)=x^2&+3x+C_1} 양변에 _x=0을 대입하면 _{~f(0)+g(0)=C_1}, _{C_1&=-3} 즉, <sub>~f(x)+g(x)=x^2&+3x-3 ……`①</sub> d dx {~f(x)g(x)}=3x^2&+8x-1에서 <sub>~f(x)g(x)=x^3&+4x^2&-x+C_2</sub> 양변에 <sub>x=0</sub>을 대입하면 <sub>~f(0)g(0)=C_2</sub>, <sub>C_2=-10</sub> 즉, <sub>~f(x)g(x)=x^3&+4x^2&-x-10</sub> =(x+2)(x^2&+2x-5) ……`② ①, ②에서 ^{~f(x)=x+2_{g(x)=x^2&+2x-5} 또는 _^{~f(x)=x^2&+2x-5 g(x)=x+2 이때 _~f(0)=2, _g(0)=-5이므로 _~f(x)=x+2, _{g(x)=x^2&+2x-5} 13 _{~int1^x&(x-t)f(t)~dt=2x^3&+ax^2&-4x+3}의 양변에 x=1을 대입하면 _0=2+a-4+3, _a=-1 03 ⑴ _2x^2&+1 ⑵ _5x^3&-2x+4 04 213₈ 05 _{~f(x)=3x^2&+12x+7}, _a=2 06 ⑴ _-15 ⑵ ₆₄ 스스로확인하기 3, ₃, ₁₂ 07 22 08 5₂

~int1^x&(x-t)f(t)~dt=2x^3&-x^2&-4x+3에서 _{x~int1^x~f(t)~dt-~int1^xtf(t)~dt=2x^3&-x^2&-4x+3} 양변을 _x에 대하여 미분하면 _{~int1^x~f(t)~dt+xf(x)-xf(x)=6x^2&-2x-4 ~int1^x~~f(t)~dt=6x^2&-2x-4} 양변을 다시 _x에 대하여 미분하면 _~f(x)=12x-2 따라서 _~f(2)=22 14 ~int0^1~f(t)~dt=a~(a는 상수)로 놓으면 ~f(x)=x^2&-6x+9a이므로 _{~int0^1~f(t)~dt=~int0^1(t^2&-6t+9a)~dt} =^[ 13 t^3&-3t^2&+9at^]0^1& =9a- 83 즉, _{9a- 83 =a}이므로 _{a= 13} 따라서 _{~f(x)=x^2&-6x+3}

2

정적분의 활용

124쪽 1 ⑴ y O 1 x -1 1 ⑵ y O 2 x 1 5 2 속도: ₂, 가속도: _-2 125쪽 ₁ S(t)= 12 (t^2&+2t-a^2&-2a) 2S'(t)=f(t) 3_S(a)=0이므로 _{inta^b&~f(x)~dx=S(b)-S(a)=S(b)} 01 ⑴ _y->0➡ 81₄ ⑵ _x=0, _x=6➡_y->0➡₃₆ 02 200₃ 03 ⑴ 19₃ ⑵ 27₂ 04 ⑴ ₃₆ ⑵ 1₂ 함수 _y=f(x)의 그래프가 _y축에 대하여 대칭이면 곡 선 _y=f(x)와 _x축 및 두 직선 _x=-a, _x=a로 둘러 싸인 도형은 직선 _x=0의 좌우의 넓이가 같으므로 _{~int-a^a~~f(x)~dx=2~int0^a&~~f(x)~dx}

또 함수 _y=f(x)의 그래프가 원점에 대하여 대칭이면 곡선 _y=f(x)와 _x축 및 두 직선 _x=-a, _x=a로 둘 러싸인 도형은 직선 _x=0의 좌우의 넓이가 같고 정적 분 값의 부호는 반대이므로 ~int-a^a~~f(x)~~dx=0 수학 역량 기르기 128쪽 05 ⑴ _x=-2, _x=1➡_-x^2&+2->x➡ 9₂ ⑵ _x=1, _x=2➡_{x^2&-2x+3-<-x^2&+4x-1}➡ 1₃ 06 ₁ 07 예 [문제]_a=-4, _b=3으로 정한다. [답] 8₃ 두 포장지 _A, _B를 각각 좌표평면 위에 올려놓고 금 박 무늬의 위쪽 경계를 나타내는 곡선을 _y=f(x), 아 래쪽 경계를 나타내는 곡선을 _y=g(x)라고 하면 금박 무늬의 넓이는 두 곡선 사이의 넓이이다. 이때 두 포장 지 _A, _B 모두 _~f(x)-g(x)=k (_k는 상수)이므로 두 포장지의 금박 무늬의 넓이는 서로 같다. 수학 역량 기르기 131쪽

01

넓이

125~131쪽 1 함수 _~f(x)+g(x)는 함수 _~f(x)-g(x)보다 차수가 1만큼 크므로 _g(x)는 삼차함수이고 _x^3의 계수는 ₄이 다. 2 _{g(x)=4x^3&+ax^2&+bx+c(a}, _b, _c는 상수)라고 하면 <sub>~f(x)+g(x) =8x^3&+(a+9)x^2&+(b-8)x+c+1 ……`①</sub> 또 <sub>~f(x)-g(x)=(9-a)x^2&-(8+b)x+1-c</sub>이므로 <sub>~int{~f(x)-g(x)}~dx = 13 (9-a)x^3&-</sub>1<sub>2 (8+b)x^2&+(1-c)x+C</sub> ……`② 이때 ①, ②에서 8= 13 (9-a), _{a+9=- 12 (8+b)}, _b-8=1-c 따라서 _a=-15, _b=4, _c=5이므로 _{g(x)=4x^3&-15x^2&+4x+5} 3 예 [문제]_{~f(x)=4x^3&-6x^2&+2x+3}, 함수 ~f(x)+g(x)는 함수 _~f(x)-2g(x)의 부정적분 중 하나로 바꾼다. [답]g(x)=2x^3&-12x^2&+19x-9 122쪽