2020 비상 수학교과서 수학2 답지 정답

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(1)

함수의 극한과 연속

1

함수의 극한

10쪽 1x+3rtx+1&+rtx-1& 2y x O -4 -1 4 ⑵ y x O 1 1 11쪽 3°C 012-1 0202 03~f(x)= 1x-1 14쪽 수현& 04inf-inf 05-infinf 16쪽 11 20 스스로확인하기 1 063-3 07 ⑴ 존재하지 않는다. ⑵ 0 1 25-<x<35일 때, ~f(x)=5 35-<x<45일 때, ~f(x)=10 따라서 함수 y=f(x)y x O 25 35 45 5 10 y=f(x) 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 2 x=35+lim f(x)=10, x=35-lim f(x)=5이므로 극한 lim x=35f(x)는 존재하지 않는다. 수학 역량 기르기 17쪽

01

함수의 극한

11~17쪽 18쪽

limx=2~f(x)+limx=2g(x)=limx=2&~{~f(x)+g(x)}=6limx=3~f(x)\limx=3g(x)=limx=3~f(x)g(x)=18

스스로확인하기 ~limx=-1&~5limx=0&~(x+3)limx=2&~(3x-1) 0182-10- 23

0201 031318

04 거짓, 예를 들어 ~f(x)=x-1, g(x)=(x-1)^2&이면 limx=1&f(x)=0, limx=1g(x)=0이지만 극한값

limx=1&`~f(x)g(x)는 존재하지 않는다. 052312

n=1일 때,

~limx=inf`f(x)=~limx=inf~ 3x-1x^2&+1=~limx=inf~ 3 x -x^21

1+ 1x^2 = 01 =0 n=2일 때,

~limx=inf`f(x)=~limx=inf~ 3x^2&-1x^2&+1 =~limx=inf~ 3- 1x^2

1+ 1x^2 = 31 =3 수학 역량 기르기 21쪽 06b=a+1a=1, b=2b=rt3+aa=-2, b=1 23쪽 1 y y=g(x) y=h(x) y=f(x) O 1 2 x 21 07 0

~limx=inf&`f(x)<limx=inf&`g(x)가 아니다. ~limx=inf&`f(x)=0, limx=inf&`g(x)=0이므로 ~limx=inf&`f(x)=limx=inf&`g(x)이다. 수학 역량 기르기 24쪽

(2)

1× 2× 3 4

161 2inf-inf 3-12 4 2

5 존재하지 않는다.

6 ~limx=2+f(x)=~limx=2-f(x)이어야 하므로 k=6 7 alpha+beta=1, alphabeta=-2이고 alpha>beta이므로

alpha=2, beta=-1 따라서 limx=1 ~f(x)+2 2g(x)+4 =2\(-1)+4 =22+2 8limx=1 x^2&+x-2 x^2&-x =limx=1 x+2x =3~limx=-1~ 1x+11x-1+x^2 12 2=~limx=-1~ 2x-1 2(x-1) =34x=25lim rtx&-5x-25 =limx=25 1

rtx&+5= 110~limx=-3~ x+3

rtx+4&-1=~limx=-3(rtx+4&+1)=2 9x=-inf~ x+1lim |x|-2=x=-inf~ x+1lim -x-2

=x=-inf~lim 1+1/x -1-2/x=-1x=inf&lim -3x^2&+2x-1

x^2&-5 =limx=inf ~-3+ 2x-1 x^2 1- 5x^2 =-3 10 limx=0 ~f(x)+x g(x)-x =limx=0 x\~f(x)x^2 +1 ~g(x) x -1 = 0\1+12-1 =1 11 limx=9 (x-9)f(x)rtx&-3 =limx=9&~(rtx&+3)f(x)=6\2=12 12limx=1~(x-1)=0이므로 limx=1~(rtx+a&-2)=0

즉, rt1+a&-2=0이므로 a=3 따라서 b=limx=1 rtx+3&-2x-1

=limx=1 rtx+3&+21 = 14

limx=2~(x-2)=0이므로 limx=2~(x^2&-ax+b)=0 즉, 4-2a+b=0이므로 b=2a-4

이것을 문제의 식에 대입하면

limx=2 x^2&-ax+2a-4x-2 =limx=2~(x-a+2) =4-a=1

25~27쪽 따라서 a=3, b=2

13 limx=a`~f(x)=limx=a(x+a)=2a=6이므로 a=3 lim

x=inf~g(x)=limx=inf~ 3bx+1 \x^2&-9x-3 =limx=inf~ 3x+9bx+1 =3b =3 이므로 b=1 14P의 좌표를 (t, t^2), 점 Q의 좌표를 (0, r)라고 하 자. 두 점 O, P는 원 위의 점이므로 ^-OQ^-^2=^-PQ^-^2 즉, r^2=t^2&+(t^2&-r)^2이므로 t^4&+t^2&-2r&t^2&=0, r= t^2&+12 이때 점 P가 원점 O에 한없이 가까워지면 t~arr~0이므로 a=limt=0~r=limt=0`~ t^2&+12 =12

15 x=inf&~ ~f(x)lim x^2&+4x+3 =2에서 ~f(x)x^2의 계수가 2인 이 차함수이어야 한다. 따라서 f(x)=2x^2&+ax+b (a, b는 상수)라고 하면 limx=1 x-1 ~f(x) =limx=1 2x^2&+ax+b =-1x-1 ……`① 이때 limx=1&`(x-1)=0이고 극한값 limx=1 x-1

~f(x)0이 아 니므로 limx=1&~(2x^2&+ax+b)=0

즉, 2+a+b=0이므로 b=-a-2 이것을 ①에 대입하면

limx=1`2x^2&+ax-a-2x-1 =limx=1`2x+a+21

= 1a+4 =-1 따라서 a=-5, b=3이므로 ~f(x)=2x^2&-5x+3

2

함수의 연속

30쪽 1{x|xnot=1인 실수}{x|x->3} 2 ⑴ 최댓값: 11, 최솟값: -1 ⑵ 최댓값: 5, 최솟값: -3 2-20 28쪽 31쪽 1~f(x) 또는 h(x) 2~f(x) 또는 g(x) 3~f(x)

01

함수의 연속

31~34쪽

(3)

35쪽 연속이다. 01 ⑴ 모든 실수 x에서 연속이다. ⑵ xnot=-1, xnot=1인 모든 실수 x에서 연속이다. 스스로확인하기 1 02 ⑴ 최댓값: 7, 최솟값: 3 ⑵ 최댓값: 4, 최솟값: 1 38쪽 폭죽의 높이가 100m인 순간이 있었다. 03 ~f(x)=x^4&+2x-1이라고 하면 함수 ~f(x)는 닫힌구 간 [0, 1]에서 연속이고 ~f(0)=-1<0, ~f(1)=2>0 이므로 사잇값의 정리에 따라 ~f(c)=0c가 열린구 간 (0, 1)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 x^4&+2x-1=0은 열린구간 (0, 1)에 서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 04 거짓, 예를 들어 함수 ~f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)는 닫힌구간 [0, 3] 에서 연속이고 ~f(0)=2>0, ~f(3)=8>0이지만 방 정식 ~f(x)=0은 열린구간 (0, 3)에서 두 실근 x=1, x=2를 갖는다. 서울과 부산 사이의 이동 경로의 전체 길이를 l(l>0) 이라고 하자. 또 서울에서 부산으로 가는 날 시각 t(9-<t-<15)일 때 서울에서 ~f(t)만큼 떨어져 있고, 부산에서 서울로 가는 날 시각 t(9-<t-<15)일 때 서 울에서 g(t)만큼 떨어져 있다고 하자. 이때 두 함수 ~f(t), g(t)는 모두 연속함수이다. 따라서 연속함수 h(t)=f(t)-g(t)h(9)=-l<0, h(15)=l>0 이므로 사잇값의 정리에 따라 h(c)=0, 즉 ~f(c)=g(c)c가 열린구간 (9, 15)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 희수네 가족은 부산을 출발하여 서울로 가는 도중에 전날과 같은 시각에 같은 곳을 지나는 순간이 반드시 있었다. 수학 역량 기르기 39쪽

02

연속함수의 성질

35~39쪽 1× 2× 3 1 ⑴ 연속 ⑵ 불연속

2(-inf, inf)(-inf, 2), (2, inf) 3 xnot=-1, xnot=2인 모든 실수 x에서 연속이다. 4 ⑴ 최댓값: 1, 최솟값: -15 ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: 1 5 limx=2f(x)=f(2)에서 limx=2 x^3&-ax-2 =b ……`①

이때 limx=2&~(x-2)=0이므로 limx=2~(x^3&-a)=0 즉, 8-a=0이므로 a=8

a=8을 ①에 대입하면

b=limx=2 x^3&-8x-2 =limx=2&~(x^2&+2x+4)=12 6 xnot=2일 때, f(x)= rtx-1&x-2-1이므로

~f(2)=limx=2 rtx-1&x-2 =lim-1 x=2 1

rtx-1&+1= 12 7 xnot=a일 때, ~f(x)= x^2&+2x+1x-a

극한값 limx=a&f(x)가 존재하고 limx=a&~(x-a)=0이므로 limx=a&~(x^2&+2x+1)=0

즉, a^2&+2a+1=0이므로 (a+1)^2&=0, a=-1 따라서 ~f(a)=f(-1)=limx=-1&(x+1)=0 8 ~f(x)g(x)=^{(2x-1)(x+k) (x->1) (-x+3)(x+k)& (x<1)이므로 ~lim x=1+`f(x)g(x)=~limx=1-`f(x)g(x)=f(1)g(1)에서 1+k=2+2k, k=-1 9 서준, 수진, 지원 10 ~f(x)=x^3&+2x^2&-3x-10이라고 하면 함수 ~f(x)는 닫힌구간 [-1, 3]에서 연속이고 ~f(-1)=-6<0, ~f(3)=26>0이므로 사잇값의 정리에 따라 ~f(c)=0c가 열린구간 (-1, 3)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 x^3&+2x^2&-3x-10=0은 열린구간 (-1, 3)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 11 ~f(-2)f(-1)<0, ~f(-1)f(0)<0, ~f(1)f(2)<0 이므로 사잇값의 정리에 따라 방정식 ~f(x)=0은 열 린구간 (-2, -1), (-1, 0), (1, 2)에서 각각 적어 도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 방정식 ~f(x)=0은 열린구간 (-2, 2)에서 적어도 3개의 실근을 갖는다. 12 ~f(x)=x^2&-4x+a라고 하면 곡선 y=f(x)의 축이 직선 x=2이므로 ~f(-2)f(1)<0에서 (a+12)(a-3)<0, -12<a<3 40~42쪽 01, , , 연속 ⑵ , , \, 불연속 스스로확인하기 1

02(-inf, 0)hap(0, inf)[-3, inf)

스스로확인하기 ⑵ 1

03(-inf, 1), (1, inf)(-inf, 2] 04 a=4, b=2

(4)

1 -1

2 x=inf&~ x+2lim

x^2&-1 =0이므로 극한값을 잘못 구한 학생은 민호 이다.

3 x=-1&~ (x+1)f(x)~lim

x^2&-1 =~limx=-1&~ ~f(x)x-1 =~f(-1)-2 =3 따라서 ~f(-1)=-6이므로 ①이다. 4P를 지나고 직선 y=x+1에 수직인 직선의 방정 식은 y=-x+2t+1 따라서 Q(0, 2t+1)이므로 ^-AQ^-^2=1+(2t+1)^2=4t^2&+4t+2 이때 ^-AP^-^2=(t+1)^2&+(t+1)^2&=2(t+1)^2이므로 limt=inf ^-AP^-^2

^-AQ^-^2 =limt=inf& 4t^2&+4t+2 =2(t+1)^2 24 =12

5 ㄱ. (반례) limx=0&`x=0,~limx=0`x^2=0이지만 limx=0 x x^2의 값 은 존재하지 않는다. 44~46쪽 par r23<t-<6일 때,~ ~f(t)=4+ 12\{6+(-t+10)-(t-2)}\(t-3) =-t^2&+12t-23 par r1, parr2에서 ~f(t)=^{~ 2t-2 (1-<t-<3) -t^2&+12t-23 (3<t-<6) 2 함수 ~f(t)는 닫힌구간 [1, 6]에서 연속이고 ~f(1)=0, ~f(6)=13이므로 사잇값의 정리에 따라 ~f(c)= 132c가 열린구간 (1, 6)에 적어도 하나 존 재한다. 따라서 직선 x=t가 영역 R의 넓이를 이등분 할 수 있다. 3 예 [문제] 영역 R를 오른쪽 O y x 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 x=t R 그림과 같은 모양으로 바꾼다. [답] 함수 ~f(t)=^{~2t-2 (1-<t-<4) 6t-18(4<t-<6)은 닫힌구간 [1, 6]에서 연속이고 ~f(1)=0, ~f(6)=18이므로 사잇값의 정리에 따라 ~f(c)=9c가 열린구간 (1, 6)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 직선 x=t 가 영역 R의 넓이를 이등분할 수 있다. 13 함수 ~f(x)x=3에서 연속이므로 x=3+~~f(x)=~lim~lim x=3-~~f(x)=f(3) ~lim x=3+~~f(x)=~limx=3+(ax+b)=3a+b ~lim x=3-~~f(x)=~limx=3-~ |x|-39-x^2 =~limx=3-~-x-3 =-1 16 ~f(3)=3a+b 즉, 3a+b=- 16 ……`① 또 함수 ~f(x)x=-3에서 연속이므로 x=-3+`lim `f(x)=x=-3-`lim `f(x)=f(-3) `lim

x=-3+`f(x)=x=-3+~ |x|-3`lim 9-x^2& =x=-3+~ 1`lim x-3 =-16

`lim x=-3-`f(x)=x=-3-(ax+b)=-3a+b`lim ~f(-3)=-3a+b 즉, -3a+b=- 16 ……`② ①, ②를 연립하여 풀면 a=0, b=- 16 14 xnot=-1, xnot=1일 때, ~f(x)= ax^3&+bx^2&-ax-b x^2&-1 =ax+b 이때 함수 ~f(x)x=-1, x=1에서 연속이므로 x=-1~lim f(x)=f(-1), limx=1~f(x)=f(1) 즉, -a+b=1, a+b=2 두 식을 연립하여 풀면 a= 12, b= 32 15 ~f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c) +(x-c)(x-a) 라고 하면 ~f(a)>0, ~f(b)<0, ~f(c)>0이므로 사잇 값의 정리에 따라 방정식 ~f(x)=0은 열린구간 (a, b), (b, c)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는 다. 이때 이 이차방정식의 두 실근이 alpha, beta(alpha<beta)이므로 a<alpha<b, b<beta<c 따라서 a<alpha<b<beta<c이다. 1 O y x 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 y=-x+10 y=x-2 x=t par r1 1-<t-<3일 때, ~f(t)=2(t-1)=2t-2 43쪽

(5)

ㄴ. limx=a`g(x)=limx=a`[{~f(x)+g(x)}-f(x)]이므로 함수의 극한에 대한 성질에 따라 limx=ag(x)의 값이 존재한다.

ㄷ. (반례) limx=0`x=0,~limx=0`x\ 1x=1이지만 limx=0`x1의 값은 존재하지 않는다.

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ이므로 ②이다.

6

7 k=limx=2 3x^3&-6x^2&-x+2x-2 =limx=2&`(3x^2&-1)=11

8 ㄱ. x=-1+{~f(x)+g(x)}=1+1=2`lim `lim x=-1-{~f(x)+g(x)}=1+(-1)=0 따라서 극한값 x=-1&{~f(x)+g(x)}lim 는 존재하지 않는다. ㄴ. x=-1+{~f(x)-g(x)}=1-1=0`lim `lim x=-1-{~f(x)-g(x)}=1-(-1)=2 따라서 극한값 x=-1&{~f(x)-g(x)}lim 가 존재하지 않 으므로 함수 ~f(x)-g(x)x=-1에서 불연속 이다. ㄷ. x=1+&lim`f(x)g(x)=(-1)\1=-1 lim x=1-&`f(x)g(x)=1\(-1)=-1 ~f(1)g(1)=(-1)\1=-1 따라서 limx=1&`f(x)g(x)=f(1)g(1)이므로 함수 ~f(x)g(x)x=1에서 연속이다. 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.

9limx=2 1x+azx-2 =-b 16에서 limx=2&~(x-2)=0이므로 limx=2&~(1x+az-b)=0

즉, rt2+a&-b=0이므로

b=rt2+a ……`① ▶ 40 %

b=rt2+a& 를 문제의 식에 대입하면

limx=2 1x+azx-2-rt2+a&=limx=2 rtx+a+rt2+a&1& ` =2rt2+a&1 `= 16

이므로 a=7 ▶ 40 %

a=7을 ①에 대입하면 b=3 ▶ 20 % 10 limx=inf`g(x)=inf에서 x=inflim` 1

g(x) =0이므로 limx=inf&~ 1 g(x) {~f(x)-3g(x)} =limx=inf&~^{ ~f(x) g(x) -3^}=0 따라서 limx=inf`~f(x)g(x) =3이므로 ▶ 50 %

limx=inf`-3f(x)+2g(x)2f(x)+g(x) =limx=inf&` 2

~f(x) g(x) +1 -3~f(x)g(x) +2 = 2\3+1-3\3+2 =-1 ▶ 50 % 11 x>0일 때, 부등식의 각 변을 x로 나누면 -x+1-< ~f(x)x -<x+1

~limx=0+&(-x+1)=1, ~limx=0+&(x+1)=1이므로

~limx=0+ ~f(x)x =1 ▶ 50 % 따라서 ~limx=0+~ {~f(x)}^2 x{2x+f(x)}=~limx=0+~ ^{ ~f(x)x ^}^2 2+ ~f(x)x = 12+1 =13 ▶ 50 % 12 xnot=3일 때, ~f(x)= 2x^2&+ax-bx-3 극한값 limx=3`~f(x)가 존재하고 limx=3~(x-3)=0이므로 limx=3~(2x^2&+ax-b)=0 즉, 18+3a-b=0 ……`① ▶ 30 % 또 ~f(4)=9에서 32+4a-b=9 ……`② ▶ 20 % ①, ②를 연립하여 풀면 a=-5, b=3 ▶ 20 % 따라서 ~f(3)=limx=3`2x^2&-5x-3x-3 =limx=3~(2x+1)=7 ▶ 30 % 13~f(x)=~limt=-inf~ 1 t -x 1 t +1 (x-2) =-x(x-2)=-x^2&+2x ▶ 60 % ⑵ ~f(x)=-x^2&+2x=-(x-1)^2&+1이므로 닫힌 구간 [0, 4]에서 x=1일 때 최댓값은 1, x=4일 때 최솟값은 -8이다. ▶ 40 % 14 g(x)=f(x)-x라고 하면 g(x)는 연속함수이고 g(-1)=0-(-1)=1>0 g(0)=-2-0=-2<0 g(1)=2-1=1>0, g(2)=1-2=-1<0 이므로 사잇값의 정리에 따라 방정식 g(x)=0, 즉 ~f(x)=x는 열린구간 (-1, 0), (0, 1), (1, 2)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다. ▶ 70 % 따라서 방정식 ~f(x)=x는 열린구간 (-1, 2)에서 적어도 3개의 실근을 갖는다. ▶ 30 %

(6)

1

미분계수와 도함수

50쪽 12-2 2 연속 51쪽 10, 2.5 0143+DELTAx 02 - 19 0337 04 2, 2 05 16 55쪽 2 063-1 57쪽 1~f(x) 2~f(x)

07 ~f(1)=0이고 limx=1`f(x)=limx=1|x^2&-1|=0이므로 limx=1`f(x)=f(1) 즉, 함수 ~f(x)x=1에서 연속이다. 한편 x=1+~ ~f(x)-f(1)~lim x-1 =~limx=1+~ |(x-1)(x+1)|x-1 =~limx=1+~ (x-1)(x+1)x-1 =~limx=1+(x+1) =2 x=1-~ ~f(x)-f(1)~lim x-1 =~limx=1-~ |(x-1)(x+1)|x-1 =~limx=1-~ -(x-1)(x+1)x-1 =~limx=1-(-x-1) =-2 에서 ~f~'(1)=limx=1 ~ ~f(x)-f(1)x-1 은 존재하지 않으므 로 함수 ~f(x)x=1에서 미분가능하지 않다. 따라서 함수 ~f(x)=|x^2&-1|x=1에서 연속이지 만 미분가능하지 않다. 예 ~f(x)=^{~ x-2 (x->2) (x-2)^2 (x<2) 수학 역량 기르기 58쪽

01

미분계수

51~58쪽

미분

59쪽 1~f~'(a)=2a 2 a -1 0 1 2 ~f~'(a)-2 0 2 43 함수이다. 01~f~'(x)=-1~f~'(x)=6x+1 스스로확인하기 ⑵ 3, 3x^2 02-㉣, ②-㉠, ③-㉡, ④-㉢ 62쪽 {~f(x)+g(x)}'=f~'(x)+g'(x)=2x+2 스스로확인하기 2x, 1, 3x^2&-6x+2 03y'=12x^2&+1y'=-6x^5&+6x^2&-1 04y'=-6x+16y'=8x^3&-3x^2&+12x-3 05 예 [곱의 미분법을 이용하여 구하기] y' =(2x-1)(x^3&+1)+(x^2&-x-3)\3x^2 =5x^4&-4x^3&-9x^2&+2x-1 1 {~f(x)g(x)h(x)}' =[{~f(x)g(x)}h(x)]' ={~f(x)g(x)}'h(x)+{~f(x)g(x)}h'(x) ={~f~'(x)g(x)+f(x)g'(x)}h(x) +f(x)g(x)h'(x) =f~'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x) +f(x)g(x)h'(x) 2 예 [문제]~f(x)=x, g(x)=2x-1, h(x)=3x+1 로 정한다. [답]{~f(x)g(x)h(x)}'=18x^2&-2x-1 수학 역량 기르기 64쪽

02

도함수

59~64쪽 1 2 3× 4 1 1 225 3 함수 ~f(x)x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 4y'=3x^2&-4x+1y'=9x^2&+4x+6 5 DELTAxDELTAy= ~f(1)-f(-1) 1-(-1) =2a2 =a이므로 a=3 6limh=0 ~f(1+4h)-f(1)h =limh=0 ~f(1+4h)-f(1)4h \4 =4~f~'(1)=8 65~67쪽

(7)

limh=0 ~f(1-2h)-f(1)h =limh=0 ~f(1-2h)-f(1)-2h \(-2) =-2~f~'(1)=-4 7 ~f~'(2)=4이므로 limx=2 ~f(x)-f(2) x^3&-8

=limx=2 ~f(x)-f(2)x-2 \limx=2 x^2&+2x+41 =f~'(2)\ 112 =13

8 limx=4 ~f(x)-1x-4 =5에서 limx=4&~(x-4)=0이므로 limx=4&~{~f(x)-1}=0, ~f(4)=1

limx=4 ~f(x)-1x-4 =limx=4 ~f(x)-f(4)x-4 =f~'(4)이므로 ~f~'(4)=5

9 함수 ~f(x)x=2에서 미분가능하면 연속이므로 limx=2~f(x)=f(2)에서

limx=2 x^2&+3x-10x-2 =a+1

이때 limx=2 x^2&+3x-10x-2 =limx=2&`(x+5)=7이므로 7=a+1, a=6 10 ~f(x)=ax^2&+bx+2에서 ~f~'(x)=2ax+b ~f(1)=8에서 a+b+2=8 ……`① ~f~'(-1)=0에서 -2a+b=0 ……`② ①, ②를 연립하여 풀면 a=2, b=4 11 ~f(x)=2x^3&-x^2&-xf~'(2)의 양변을 x에 대하여 미분 하면 ~f~'(x)=6x^2&-2x-f~'(2) 양변에 x=2를 대입하면 ~f~'(2)=24-4-f~'(2), ~f~'(2)=10 따라서 ~f~'(x)=6x^2&-2x-10이므로 ~f~'(-1)=-2 12 limh=0`~f(1+h)-f(1-3h)2h =limh=0`~f(1+h)-f(1)+f(1)-f(1-3h)2h =limh=0&~~ ~f(1+h)-f(1)h \ 12 +limh=0&~~ ~f(1-3h)-f(1)-3h \ 32 = 12 ~f~'(1)+ 32 ~f~'(1) =2f~'(1) 즉, 2f~'(1)=6이므로 ~f~'(1)=3 한편 ~f~'(x)=3x^2&+2ax-4이므로 ~f~'(1)=2a-1 따라서 2a-1=3이므로 a=2 13 ~f(1)=1, ~f~'(1)=2이고 g'(x)=(2x+3)f(x)+(x^2&+3x)f'(x)이므로 g'(1)=5f(1)+4f~'(1)=13 14 ~f~'(x)=(x^2&-4x+3)+(x-a)(2x-4)이므로 ~f~'(a)=-1에서 a^2&-4a+3=-1 (a-2)^2&=0, a=2 따라서 ~f~'(1)=(1-a)\(-2)=2 15 ~f(x+y)=f(x)+f(y)+3xyx=0, y=0을 대입 하면 ~f(0)=f(0)+f(0), ~f(0)=0 따라서 ~f~'(2)=limh=0`~f(2+h)-f(2)h =limh=0`~f(2)+f(h)+6h-f(2)h =limh=0`~f(0+h)-f(0)h +6 =f~'(0)+6=8

16 limx=1&`~f(x+1)-3x^2&-1 =4에서 limx=1&~(x^2&-1)=0이므로 limx=1&~{~f(x+1)-3}=0, ~f(2)=3

x+1=t로 놓으면 x~arr~1일 때, t~arr~2이므로 limx=1&`~f(x+1)-3

x^2&-1 =limt=2&`(t-1)^2&-1~f(t)-3 =limt=2&`~f(t)-f(2)t-2 \ 1t = 12`f~'(2) 즉, 12`f~'(2)=4이므로 ~f~'(2)=8 한편 ~f(x)=x^3&+ax+b에서 ~f~'(x)=3x^2&+a ~f(2)=3에서 8+2a+b=3 cc~f~'(2)=8에서 12+a=8, a=-4 a=-4를 ①에 대입하면 b=3 17 다항식 x^10&+5x^2&+1(x-1)^2으로 나누었을 때, 몫 을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라고 하면 x^10&+5x^2&+1=(x-1)^2&Q(x)+ax+b ……`① 양변에 x=1을 대입하면 7=a+b ……`② ①의 양변을 x에 대하여 미분하면 10x^9&+10x=(2x-2)Q(x) +(x-1)^2&Q'(x)+a 양변에 x=1을 대입하면 a=20 a=20을 ②에 대입하여 풀면 b=-13 따라서 구하는 나머지는 20x-13

(8)

2

도함수의 활용

70쪽 1y=2x 220

71쪽 -2

01y=-2x+1y=8x+9

02y=x+4y=x+2 또는 y=x-2

03y=-5x-1 또는 y=11x-17y=-2x+1 ~f(x)=-x^2&+4라고 하면 ~f~'(x)=-2x 접점의 좌표를 (t, -t^2&+4)라고 하면 접선의 방정식은 y=-2tx+t^2&+4 이 접선이 점 A(2, k)를 지나므로 k=(-2t)\2+t^2&+4, t^2&-4t+4-k=0 이 이차방정식의 서로 다른 실근 t의 개수가 구하는 접 선의 개수이므로 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D4 =(-2)^2&-(4-k)=k 따라서 구하는 접선의 개수는 k>0일 때 2, k=0일 때 1, k<0일 때 0이다. 수학 역량 기르기 73쪽

01

접선의 방정식

71~73쪽 74쪽 1~f(0)=f(2) 2 존재한다 01 0, 6x^2&-6, 1, 1 76쪽 11 2 존재한다. 0232-rt3 03 0, ~f(a)

02

평균값 정리

74~77쪽 78쪽 1 내려간다 2 올라간다 01parr1 ~f(x_2)-f(x_1)=x_2&^3&-x_1&^3 =(x_2&-x_1)(x_2&^2&+x_2&x_1&+x_1&^2)>0 이므로 ~f(x_1)<f(x_2)이다. par r2 따라서 함수 ~f(x)=x^3은 열린구간 (-inf, inf) 에서 증가한다.

parr1 ~f(x_2)-f(x_1)= 1x_2&-1 -x_1&-11 =(x_2&-1)(x_1&-1) <0x_1&-x_2 이므로 ~f(x_1)>f(x_2)이다. par r2 따라서 함수 ~f(x)= 1x-1은 열린구간 (-inf, 1)에서 감소한다. 02 ⑴ 구간 [0, 1]에서 증가, 구간 (-inf, 0], [1, inf)에서 감소 ⑵ 구간 [-rt5 , 0], [rt5 , inf)에서 증가,

구간 (-inf, -rt5&], [0, rt5&]에서 감소 03 예 [문제]a=1, b=0, c=-27, d=1로 정한다.

[답] 구간 (-inf, -3], [3&, inf)에서 증가, 구간 [-3&, 3]에서 감소 구간 (a, c)에서 ~f~'(x)>0이고, 구간 (-inf, a), (c, inf)에서 ~f~'(x)<0이므로 함수 ~f(x)는 구간 [a, c]에서 증가하고, 구간 (-inf, a], [c, inf)에서 감소한다. 수학 역량 기르기 81쪽 82쪽 1038분, 1244263분, 18804 ⑴ 극댓값: 19, 극솟값: -13 ⑵ 극댓값: 2, 극솟값: 1 05 1kWh 06 a=-3, b=10, 극댓값: 17

03

함수의 증가와 감소, 극대와 극소

78~85쪽 1 평균 비용은 원점 O와 점 (x, C(x))를 지나는 직선 의 기울기를 의미하고, 한계 비용은 곡선 y=C(x) 위의 점 (x, C(x))에서 접하는 접선의 기울기를 의 미한다. 2 평균 비용이 최소인 생산량을 추측하면 원점 O와 점 (x, C(x))를 지나는 직선의 기울기가 가장 작은 1.2kg이고, 한계 비용이 최소인 생산량을 추측하면 곡선 y=C(x) 위의 점 (x, C(x))에서 접하는 접선 의 기울기가 가장 작은 0.8kg이다. 한편 C(x)x =2x^2&-4.8x+4=2(x-1.2)^2&+1.12 C'(x)=6x^2&-9.6x+4=6(x-0.8)^2&+0.16 이므로 평균 비용은 x=1.2일 때 최소이고, 한계 비 용은 x=0.8일 때 최소이다. 따라서 이것은 추측한 값과 같다. 3(1.2, 1.12)의 좌표를 y=C'(x)에 대입하면 등 식을 만족시키므로 한계 비용의 그래프는 평균 비용 의 그래프에서 평균 비용이 최소인 점을 지난다. 68쪽

(9)

현우, 예를 들어 오른쪽 그 y x O y=f(x) f(a) f(b) f(d) f(c) a b c d 림과 같은 함수 y=f(x)의 그래프에서 ~f(x)x=ax=c에서 극대이고 극 댓값은 각각 ~f(a), ~f(c), x=bx=d에서 극소이 고 극솟값은 각각 ~f(b), ~f(d)이다. 이때 ~f(a)<f(d)이므로 함수 ~f(x)의 극댓값이 극솟 값보다 작다. 따라서 극댓값이 극솟값보다 항상 큰 것은 아니다. 수학 역량 기르기 85쪽 86쪽 1 x -1 1 ~f~'(x) + 0 - 0 + ~f(x)0-42 표에서 각 구간의 화살표 방향이 함수 y=f(x)의 그래 프와 비슷하다. 01y x O 1 1 2 ⑵ y x O RT2 4RT2 -4RT2 -RT2 02y x O 1 -2 -1 ⑵ y O 1 4 1 -1 x 03 ⑴ 최댓값: 35, 최솟값: -5 ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: -7 04 105 83`cm

04

함수의 그래프

86~89쪽 90쪽 10, 2, 0, 2 2 같다. 0112 02 2<a<6

05

방정식과 부등식에의 활용

90~92쪽 93쪽 168+24DELTAt 268 01 ⑴ 속도: -3, 가속도: 01 023초, 45`m ⑵ -30`m/s& 03 -200`m&/s

06

속도와 가속도

93~95쪽 03 ~f(x)=x^3&+6x^2&+9x-2+a라고 하면 ~f~'(x)=3x^2&+12x+9=3(x+3)(x+1) ~f~'(x)=0에서 x=-3 또는 x=-1 x -3 -1 ~f~'(x) + 0 - 0 + ~f(x)a-2a-6 ↗ 함수 ~f(x)x=-3에서 극대이고 극댓값은 a-2, x=-1에서 극소이고 극솟값은 a-6이다. 이때 삼차방정식 ~f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가 지면 극댓값과 극솟값의 부호가 다르므로 (a-2)(a-6)<0, 2<a<6 04 ~f(x)=4x^3&-3x^2&-6x+5라고 하면 ~f~'(x)=12x^2&-6x-6=6(2x+1)(x-1) x->0일 때, ~f~'(x)=0에서 x=1 x 0 1 ~f~'(x) - 0 + ~f(x) 50 ↗ 함수 ~f(x)x=1에서 최소이고 최솟값은 0이므로 x->0인 모든 x에 대하여 ~f(x)=4x^3&-3x^2&-6x+5->0 따라서 x->0일 때, 부등식 4x^3&-3x^2&-6x+5->0이 성립한다. 05 5x^4&-3x^3&+1->2x^4&+x^3에서 3x^4&-4x^3&+1->0 ~f(x)=3x^4&-4x^3&+1이라고 하면 ~f~'(x)=12x^3&-12x^2=12x^2(x-1) ~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=1 x 0 1 ~f~'(x) - 0 - 0 + ~f(x)10 ↗ 함수 ~f(x)x=1에서 최소이고 최솟값은 0이므로 모든 실수 x에 대하여 ~f(x)=3x^4&-4x^3&+1->0 따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 5x^4&-3x^3&+1->2x^4&+x^3이 성립한다.

(10)

1 2× 3× 4 5× 1 y=8x-6 2 구간 [0, 3]에서 증가, 구간 (-inf, 0], [3, inf)에서 감소 3 속도: 20, 가속도: 16 4 y~'=-3x^2&+12x=-3(x-2)^2&+12이므로 접선의 기울기는 x=2에서 최대이고 최댓값은 12이다. 따라서 기울기가 12이고 점 (2, 8)에서 접하는 접선 의 방정식을 구하면 y-8=12(x-2), y=12x-16 5 ~f(x)=x^4&-3x^2&+6이라고 하면 ~f~'(x)=4x^3&-6x 접점의 좌표를 (t, t^4&-3t^2&+6)이라고 하면 접선의 방 정식은 y=(4t^3&-6t)x-3t^4&+3t^2&+6 이 접선이 원점을 지나므로 3t^4&-3t^2&-6=0, 3(t^2&+1)(t^2&-2)=0 그런데 t는 실수이므로 t=-rt2& 또는 t=rt2& 즉, 접점의 좌표는 (-rt2&, 4), (rt2&, 4) 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 12 \2rt2&\4=4rt2& 6~f~'(c)=0에서 2c-3=0, c= 32~f(2)-f(0)2-0 =f~'(c)에서 -1=2c-3, c=1 7 ~f~'(x)=3x^2&+2ax+a이고, 모든 실수 x에 대하여 ~f~'(x)->0이어야 한다. 따라서 이차방정식 ~f~'(x)=0은 중근 또는 허근을 가 져야 하므로 이 방정식의 판별식을 D라고 하면 D4 =a^2&-3a-<0, 0-<a-<3 8 ~f(x)=3x^4&+4x^3&-12x^2&+1에서 ~f~'(x)=12x^3&+12x^2&-24x =12x(x+2)(x-1) ~f~'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=1 x -2 0 1 ~f~'(x) - 0 + 0 - 0 + ~f(x) ↘ -31 ↗ 1-4 ↗ 96~98쪽 따라서 함수 ~f(x)x=0에서 극대이고 극댓값은 1, x=-2x=1에서 극소이고 극솟값은 각각 -31, -4이므로 구하는 모든 극값의 합은 1+(-31)+(-4)=-34 9 ~f(x)=x^3&+ax^2&+bx+c에서 ~f~'(x)=3x^2&+2ax+b ~f~'(0)=0에서 b=0 ~f~'(4)=0에서 48+8a+b=0, a=-6 함수 ~f(x)x=0에서 극대이고 극댓값이 5이므로 ~f(0)=5에서 c=5 즉, ~f(x)=x^3&-6x^2&+5 따라서 함수 ~f(x)x=4에서 극소이므로 극솟값은 ~f(4)=-27 10 ~f(x)=x^4&-8x^2&+5에서 ~f~'(x)=4x^3&-16x=4x(x+2)(x-2) -3-<x-<1일 때, ~f~'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 x -3 -2 0 1 ~f~'(x) - 0 + 0 -~f(x) 14-11 ↗ 5-2 따라서 함수 ~f(x)x=-3에서 최대이고 최댓값은 14, x=-2에서 최소이고 최솟값은 -11이다. 11D의 좌표를 (a, -a^2&+6)이라 하고, 직사각형 ABCD의 넓이를 S(a)라고 하면 S(a)=2a(-a^2&+6) =-2a^3&+12a (단, 0<a<rt6&) S'(a)=-6a^2&+12=-6(a+rt2&)(a-rt2&) 0<a<rt6&일 때, S'(a)=0에서 a=rt2&

a 0 rt2 rt6 ~S~'(a) + 0 -~S(a)8rt2 ↘ 따라서 S(a)a=rt2 에서 최대이고 최댓값은 8rt2 이 므로 직사각형 ABCD의 넓이의 최댓값은 8rt2 이다. 12 ~f(x)=2x^3&-3kx^2&+1이라고 하면 ~f~'(x)=6x^2&-6kx=6x(x-k) x->0일 때, ~f~'(x)=0에서 x=0 또는 x=k x 0 k ~f~'(x) 0 - 0 + ~f(x) 11-k^3 ↗ 함수 ~f(x)x=k에서 최소이고 최솟값은 1-k^3이 므로 x->0일 때, 부등식 ~f(x)>0이 성립하려면 1-k^3&>0, (1-k)(1+k+k^2)>0, k<1 그런데 k>0이므로 0<k<1

(11)

13 시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면 v=3t^2&-10t+8 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 v=0에서 3t^2&-10t+8=0, (3t-4)(t-2)=0 t= 43 또는 t=2 따라서 t= 43t=2의 좌우에서 v의 부호가 바뀌므 로 점 P가 운동 방향을 바꾸는 시각은 ~ 43, 2이다. 14 ~f~'(x)=3x^2&-4x+a이고, 이차방정식 ~f~'(x)=0-1<x<2에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. par r1 방정식 ~f~'(x)=0의 판별식 y x O 2 -1 y=f'(x)D라고 하면 D4 =4-3a>0, a< 43 par r2 ~f~'(-1)>0이어야 하므로 a+7>0, a>-7 par r3 ~f~'(2)>0이어야 하므로 a+4>0, a>-4 par r1~~~parr3에서 -4<a< 43 15 5x^3&-2=2x^3&+9x+k에서 3x^3&-9x-2=k ~f(x)=3x^3&-9x-2라고 하면 ~f~'(x)=9x^2&-9=9(x+1)(x-1) ~f~'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x -1 1 ~f~'(x) + 0 - 0 + ~f(x)4-8 ↗ 또 ~f(0)=-2이므로 함수 y x O 4 1 -1-2 y=k y=3x^3-9x-2 -8 y=3x^3&-9x-2의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 서로 다른 두 개의 양 의 근과 한 개의 음의 근을 갖도록 하는 상수 k의 값의 범위는 -8<k<-2 16 t초 후 수면의 높이는 2t`cm이므로 t초 후 수면의 반 지름의 길이를 r`cm라고 하면 r10=2t10, r=2t t초 후 그릇에 담긴 물의 부피를 V(t)`cm^3라고 하면 V(t)= 13 pair^2&\2t=83 pait^3 V'(t)=8pait^2 따라서 t=2일 때, 그릇에 담긴 물의 부피의 변화율은 8pai\2^2=32pai 즉, 32pai`cm^3/s이다.

1 ~f(a+1)-f(a)=8에서 2a-2=8, a=5

2 limh=0 ~f(a+h)-f(a-h)h

=limh=0 ~f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)h =limh=0 ~f(a+h)-f(a)h +limh=0 ~f(a-h)-f(a)-h =f~'(a)+f~'(a) =2f~'(a)=4 따라서 ⑤이다. 100~102쪽 1 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r, 높이를 h라고 하 면 원기둥의 겉넓이가 k로 일정하므로 2pair^2&+2pairh=k h=-r+ k2pair ……`① 원기둥의 부피를 V(r)라고 하면 V(r)=pair^2&h=-pair^3&+ 12 kr V'(r)=-3pair^2&+ 12 k

=-3pai^(r+5 k6pai ~~^)^(r-5 k6pai ~~^) r>0일 때, V'(r)=0에서 r=5 k6pai ~~ r 0 56paik ~V'(r) + 0 -~V(r) ↗ 극대 ↘ 따라서 V(r)r=5 k6pai ~~에서 최대이므로 부피가 최 대인 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는

5 k6pai ~~=16paika6pai

2 r= 16paika6pai 를 ①에 대입하여 풀면 h= 16paika3pai 따라서 부피가 최대인 원기둥의 밑면의 반지름의 길이 와 높이의 비는

rh= 16paika6pai16paika3pai =12

3 11

(12)

3 limx=3&`x^2&-9f(x)x-3

=limx=3&`x^2&-9+9-9f(x)x-3

=limx=3&`x^2&-9x-3 -9~limx=3&`~f(x)-1x-3

=limx=3&(x+3)-9limx=3&`~f(x)-f(3)x-3

=6-9f~'(3)=24 4 y' =f~'(x)g(x)+f(x)g'(x) =(-2x+3)(2x^3&-x^2&+x-3) +(-x^2&+3x+1)(6x^2&-2x+1) 따라서 구하는 접선의 기울기는 ~f~'(1)g(1)+f(1)g'(1)=-1+15=14 5 ~f(x)=2x^3&-3x^2이라고 하면 ~f~'(x)=6x^2&-6x 접점의 좌표를 (t, 2t^3&-3t^2&)이라고 하면 접선의 기울 기가 12이므로 ~f~'(t)=12에서 6t^2&-6t=12, 6(t+1)(t-2)=0 t=-1 또는 t=2 따라서 접점의 좌표는 (-1, -5), (2, 4)이므로 접 선의 방정식은 y=12x+7 또는 y=12x-20 그런데 k>0이므로 k=7 6 h'(x)=f~'(x)-g'(x)이므로 h'(x)=0에서 x=b 또는 x=d 또는 x=e x b d e ~h'(x) + 0 - 0 + 0 -~h(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 따라서 함수 h(x)x=d에서 극소이므로 ④이다. 7 ~f(x)=x^3&-6ax^2&+9a^2&x+1에서 ~f~'(x)=3x^2&-12ax+9a^2=3(x-a)(x-3a) ~f~'(x)=0에서 x=a 또는 x=3a x a 3a ~f~'(x) + 0 - 0 + ~f(x)4a^3&+11 ↗ 함수 ~f(x)x=a에서 극대이고 극댓값은 4a^3&+1, x=3a에서 극소이고 극솟값은 1이다. 이때 극댓값과 극솟값의 합이 34이므로 4a^3&+1+1=34, a^3&=8 그런데 a는 실수이므로 a=2 따라서 ②이다. 8 ~f(x)=x^3&+3x^2&+k-5에서 ~f~'(x)=3x^2&+6x=3x(x+2) -2-<x-<2일 때, ~f~'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 x -2 0 2 ~f~'(x) 0 - 0 + ~f(x) k-1k-5k+15 함수 ~f(x)x=2에서 최대이고 최댓값은 k+15, x=0에서 최소이고 최솟값은 k-5이다. 이때 함수 ~f(x)의 최댓값이 8이므로 k+15=8, k=-7 따라서 함수 ~f(x)의 최솟값은 k-5=-12이므로 ① 이다. 9 h(x)=f(x)-g(x)로 놓으면 h(x)=3x^4&-8x^3&+10-k h'(x)=12x^3&-24x^2&=12x^2(x-2) h'(x)=0에서 x=0 또는 x=2 x 0 2 ~h'(x) - 0 - 0 + ~h(x)10-k-6-k ↗ 따라서 함수 h(x)x=2에서 최소이고 최솟값은 -6-k이므로 모든 실수 x에 대하여 부등식 h(x)>0, 즉 ~f(x)>g(x)를 만족시키려면 -6-k>0, k<-6 10 시각 t에서 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면 v=6t^2&-10t, a=12t-10 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 v=0에서 6t^2&-10t=0, 2t(3t-5)=0 그런데 t>0이므로 t= 53이고, t= 53의 좌우에서 v의 부호가 바뀌므로 이때 점 P의 가속도는 a=12\ 53 -10=10 11 함수 ~f(x)x=1에서 미분가능하면 연속이므로 lim x=1+`f(x)=limx=1-`f(x)=f(1)에서 a-2=2+b ……`① ▶30 % 함수 ~f(x)x=1에서 미분가능하므로 lim h=0+ ~f(1+h)-f(1)h =limh=0- ~f(1+h)-f(1)h 에서 2a-2=4, a=3 ▶50 % a=3을 ①에 대입하여 풀면 b=-1 ▶ 20 % 12 ~f(x)=x^2&+ax&+b라고 하면 ~f~'(x)=2x+a ▶30 % ~f(2)=3이므로 4+2a+b=3 ……`① ~f~'(2)=6이므로 4+a=6, a=2 ▶30 % a=2를 ①에 대입하여 풀면 b=-5 ▶40 %

(13)

13 ~f~'(x)=3x^2&+12x+k ▶ 30 % =3(x+2)^2&+k-12 함수 ~f(x)가 닫힌구간 x O 1 -3 -2 y=f'(x) y [-3, 1]에서 증가하려면 -3-<x-<1에서 ~f~'(x)->0이 어야 한다. 따라서 ~f~'(-2)->0이어야 하므로 k-12->0 ▶ 50 % 즉, k->12 ▶ 20 % 14 ~f~'(x)=-3x^2&+2ax&+b이고, 함수 ~f(x)x=alphax=beta에서 극값을 갖는다고 하면 이차방정식 ~f~'(x)=0의 해는 x=alpha 또는 x=beta이다. alpha>0, beta>0이므로 근과 계수의 관계에 따라 alpha+beta= 2a3 >0에서 a>0 ▶ 30 % alphabeta=- b3 >0에서 b<0 ▶ 30 % 한편 함수 y=f(x)의 그래프와 y축의 교점의 y좌표 가 c이므로 c>0 ▶ 20 % 따라서 a>0, b<0, c>0이므로 |a|a +|b|b +|c|c = aa+-bb +cc =1-1+1 =1 ▶ 20 % 15 ⑴ 구에 내접한 원뿔의 밑면의 8 O A B h-8 r 반지름의 길이를 r라고 하면 직각삼각형 OAB에서 (h-8)^2&+r^2&=8^2 r^2&=-h^2&+16h 원뿔의 부피를 V(h)라고 하면 V(h)= 13 pair^2&h =- 13 paih^3&+163 paih^2& ▶ 50 % ⑵ V'(h)=-paih&^2&+ 323 paih =-paih^(h- 323 ^) 8<h<16일 때, V'(h)=0에서 h= 323 h 8 323 16 ~V'(h) + 0 -~V(h) ↗ 극대 ↘ 따라서 V(h)h= 323 에서 최대이므로 원뿔의 부피가 최대일 때, 원뿔의 높이는 323 이다. ▶ 50 %

1

부정적분과 정적분

106쪽 1-8 2y'=0y'=6x^5 107쪽 x^2&+k (단, k는 상수) 스스로확인하기 ⑵ x^3 015x+Cx^4&+C 등식이 성립하지 않는다. 함수 ~f(x)의 한 부정적분을 F(x)라고 하면 dx ^{~intd `f(x)~dx^}= ddx {F(x)+C_1}=f(x) ~int^{ ddx`f(x)^}~dx=int`f~'(x)~dx=f(x)+C_2 따라서 dx ^{~intd `f(x)~dx^}not=~int^{ ddx`f(x)^}~dx 수학 역량 기르기 108쪽 109쪽 ~f(x) 12 x^2 13 x^3 14 x^4 15 x^5& ~f~'(x) x x^2 x^3 x^4 ~f(x)= 1n+1 x^n+^1&+C (단, C는 적분상수) 스스로확인하기 ⑵ 6, 1 7 x^7 02-㉢, ②-㉠, ③-㉣, ④-03x^5&-2x^4&+2x^2&-3x+C

14 x^4&-13 x^3&+12 x^2&-x+C

04 2x^4&-2x^3&+3x+C, -1, 2x^4&-2x^3&+3x-1

01

부정적분

107~111쪽

적분

112쪽 예 F(x)=x^2, G(x)=x^2&+1, H(x)=x^2&-2, F(3)-F(1)=G(3)-G(1)=H(3)-H(1)=8 스스로확인하기 0 01800 스스로확인하기 x^3, -7 02-80-33

02

정적분

112~118쪽

(14)

1 2× 3 4× 5× 1 ~f(x)=6x-2 2x^3&+2x^2&-x+C2x^3&+2x+C 3521524 4 ~f(x)=x+x^2&+x^3&++x^10&+C ~f(0)=0에서 C=0 따라서 ~f(x)=x+x^2&+x^3&++x^10&이므로 ~f(1)=1+1+1++1=10 5 ~f~'(x)=3x^2&-12x+8이므로 ~f(x)= int (3x^2&-12x+8)~dx=x^3&-6x^2&+8x+C 이때 곡선 y=f(x)가 점 (1, 7)을 지나므로 1-6+8+C=7, C=4 따라서 ~f(x)=x^3&-6x^2&+8x+4이므로 ~f(-1)=-11 6 F(x)=xf(x)-5x^3&+4x^2의 양변을 x에 대하여 미 분하면 ~f(x)=f(x)+xf~'(x)-15x^2&+8x ~f~'(x)=15x-8 양변을 x에 대하여 적분하면 ~f(x)= 152 x^2&-8x+C ~f(2)=8에서 30-16+C=8, C=-6 따라서 ~f(x)= 152 x^2&-8x-6 7 ~inta^x&~f(t)~dt=2x^2&-8x+6의 양변을 x에 대하여 미분 하면 ~f(x)=4x-8 ~inta^x&~f(t)~dt=2x^2&-8x+6의 양변에 x=a를 대입하면 0=2a^2&-8a+6, 2(a-1)(a-3)=0 따라서 a=1 또는 a=3 8 ~int0^3`f(x)~dx=~int0^3&~(x^2&+ax+b)~dx

=^[ 13 x^3&+12 ax^2&+bx^]0^3&=9+92 a+3b 119~121쪽

즉, 9+ 92 a+3b=3에서 3a+2b=-4 ……`①

~int-1^1~f(x)~dx=~int-1^1(x^2&+ax+b)~dx

=^[ 13 x^3&+12 ax^2&+bx^]^1-1&&=23 +2b 즉, 23 +2b=83이므로 b=1 b=1을 ①에 대입하여 풀면 a=-2 9 ~int0^1(9a^2&x^2&-12ax+5)~dx=^[3a^2&x^3&-6ax^2&+5x^]0^1 =3a^2&-6a+5 =3(a-1)^2&+2 따라서 a=1일 때 최소이고, 그때 정적분의 값은 2이다. 10 2, 2, 2x^4&+ 12 x^2&-5x, -20 11 ~f(x)=&|x-x^2|이라고 하면 0-<x-<1에서 ~f(x)=x-x^2, 1-<x-<2에서 ~f(x)=-x+x^2이므로 ~int0^2&|x-x^2|~dx =~int0^1~(x-x^2)~dx+~int1^2~(-x+x^2)~dx =^[ 12 x^2&-13 x^3^]0^1&+^[-12 x^2&+13 x^3^]1^2 = 16 +56 =1 12 dx {~f(x)+g(x)}=2x+3d 에서 ~f(x)+g(x)=x^2&+3x+C_1 양변에 x=0을 대입하면 ~f(0)+g(0)=C_1, C_1&=-3 즉, ~f(x)+g(x)=x^2&+3x-3 ……`① d dx {~f(x)g(x)}=3x^2&+8x-1에서 ~f(x)g(x)=x^3&+4x^2&-x+C_2 양변에 x=0을 대입하면 ~f(0)g(0)=C_2, C_2=-10 즉, ~f(x)g(x)=x^3&+4x^2&-x-10 =(x+2)(x^2&+2x-5) ……`② ①, ②에서 ^{~f(x)=x+2g(x)=x^2&+2x-5 또는 ^{~f(x)=x^2&+2x-5 g(x)=x+2 이때 ~f(0)=2, g(0)=-5이므로 ~f(x)=x+2, g(x)=x^2&+2x-5 13 ~int1^x&(x-t)f(t)~dt=2x^3&+ax^2&-4x+3의 양변에 x=1을 대입하면 0=2+a-4+3, a=-1 032x^2&+15x^3&-2x+4 04 2138 05 ~f(x)=3x^2&+12x+7, a=2 06-1564 스스로확인하기 3, 3, 12 07 22 08 52

(15)

~int1^x&(x-t)f(t)~dt=2x^3&-x^2&-4x+3에서 x~int1^x~f(t)~dt-~int1^xtf(t)~dt=2x^3&-x^2&-4x+3 양변을 x에 대하여 미분하면 ~int1^x~f(t)~dt+xf(x)-xf(x)=6x^2&-2x-4 ~int1^x~~f(t)~dt=6x^2&-2x-4 양변을 다시 x에 대하여 미분하면 ~f(x)=12x-2 따라서 ~f(2)=22 14 ~int0^1~f(t)~dt=a~(a는 상수)로 놓으면 ~f(x)=x^2&-6x+9a이므로 ~int0^1~f(t)~dt=~int0^1(t^2&-6t+9a)~dt =^[ 13 t^3&-3t^2&+9at^]0^1& =9a- 83 즉, 9a- 83 =a이므로 a= 13 따라서 ~f(x)=x^2&-6x+3

2

정적분의 활용

124쪽 1y O 1 x -1 1 ⑵ y O 2 x 1 5 2 속도: 2, 가속도: -2 125쪽 1 S(t)= 12 (t^2&+2t-a^2&-2a) 2S'(t)=f(t) 3S(a)=0이므로 inta^b&~f(x)~dx=S(b)-S(a)=S(b) 01y->0814x=0, x=6y->036 02 2003 03193272 043612 함수 y=f(x)의 그래프가 y축에 대하여 대칭이면 곡 선 y=f(x)x축 및 두 직선 x=-a, x=a로 둘러 싸인 도형은 직선 x=0의 좌우의 넓이가 같으므로 ~int-a^a~~f(x)~dx=2~int0^a&~~f(x)~dx

또 함수 y=f(x)의 그래프가 원점에 대하여 대칭이면 곡선 y=f(x)x축 및 두 직선 x=-a, x=a로 둘 러싸인 도형은 직선 x=0의 좌우의 넓이가 같고 정적 분 값의 부호는 반대이므로 ~int-a^a~~f(x)~~dx=0 수학 역량 기르기 128쪽 05x=-2, x=1-x^2&+2->x92x=1, x=2x^2&-2x+3-<-x^2&+4x-113 06 1 07 예 [문제]a=-4, b=3으로 정한다. [답] 83 두 포장지 A, B를 각각 좌표평면 위에 올려놓고 금 박 무늬의 위쪽 경계를 나타내는 곡선을 y=f(x), 아 래쪽 경계를 나타내는 곡선을 y=g(x)라고 하면 금박 무늬의 넓이는 두 곡선 사이의 넓이이다. 이때 두 포장 지 A, B 모두 ~f(x)-g(x)=k (k는 상수)이므로 두 포장지의 금박 무늬의 넓이는 서로 같다. 수학 역량 기르기 131쪽

01

넓이

125~131쪽 1 함수 ~f(x)+g(x)는 함수 ~f(x)-g(x)보다 차수가 1만큼 크므로 g(x)는 삼차함수이고 x^3의 계수는 4이 다. 2 g(x)=4x^3&+ax^2&+bx+c(a, b, c는 상수)라고 하면 ~f(x)+g(x) =8x^3&+(a+9)x^2&+(b-8)x+c+1 ……`①~f(x)-g(x)=(9-a)x^2&-(8+b)x+1-c이므로 ~int{~f(x)-g(x)}~dx = 13 (9-a)x^3&-12 (8+b)x^2&+(1-c)x+C ……`② 이때 ①, ②에서 8= 13 (9-a), a+9=- 12 (8+b), b-8=1-c 따라서 a=-15, b=4, c=5이므로 g(x)=4x^3&-15x^2&+4x+5 3 예 [문제]~f(x)=4x^3&-6x^2&+2x+3, 함수 ~f(x)+g(x)는 함수 ~f(x)-2g(x)의 부정적분 중 하나로 바꾼다. [답]g(x)=2x^3&-12x^2&+19x-9 122쪽

수치

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참조