[공업수학1]03 삼각함수 [호환 모드]

(1)

삼각함수

목포해양대학교 곽재민

(2)

개요

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삼각함수

y 공학 현상에서 가장 많이 사용되는 함수 y 삼각함수에 대한 이해 y 삼각함수의 다양한 공식과 활용 습득 2 2

(3)

도와 라디안

각도 표현

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각도 표현

y 도 (degree) & 라디안 (radian)

D D 2 1 2 360 = π π π di radians D D D 3 . 57 180 1 180 360 1 ≈ = = = radian radians π D D D 270 3 180 90 = = = π π π | 단위가 없을 경우 radian 3 270 2 , 180 , 90 2 π | 단위가 없을 경우 radian | 특별한 언급이 없을 경우 radian단위를 사용 3

(4)

삼각비

직각삼각형에서의 삼각비

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직각삼각형에서의 삼각비

y 그림 3.1 _sin_θ ₌ AC BC θ θ i cos = BC AC AC AC θ θ θ cos sin tan = = AB BC C " C C C ' C 4 = = = D D D D D D 90 t 0 90 1 90 i 0 0 tan , 1 0 cos , 0 0 sin A B" B B' 4 ∞ = = = D D D 90 tan , 0 90 cos , 1 90 sin

(5)

삼각비

직각삼각형에서의 삼각비

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직각삼각형에서의 삼각비

1 45 tan , 2 1 45 cos , 2 1 45 sin D = D = D = 3 1 30 tan , 2 3 30 cos , 2 1 30 sin 2 2 = = = D D D 3 60 tan , 2 1 60 cos , 2 3 60 sin D = D = D =

sin cos cos 2 π α = θ = ⎛_⎜ −α ⎞_⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 5

cos sin sin 2 where π α θ α π α θ ⎛ ⎞ = = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ + = 5 2 where α θ+ =

(6)

삼각비

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π/2보다 큰 각도에 대한 삼각비

y 그림 3 3 sinθ = projection of OP onto y axis = OB

y 그림 3.3 OB axis y onto OP of projection OP OA OP axis x onto OP of projection OP OP = = = = θ θ cos sin OA OB axis x onto OP of projection axis y onto OP of projection ₌ = θ tan y 그림 3.4 6 6

(7)

삼각비

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π/2보다 큰 각도에 대한 삼각비

y 그림그림 3.5 |

2π 보다 큰 각도, 0보다 작은 각도에 대한 삼각비

(8.76) sin(8.76 2π) sin(2.477) sin = − = θ θ i 1 ec cos = ( ) ( ) ( ) ( ) ( π ) ( ) π 283 . 4 sin 2 2 sin 2 sin 934 . 1 cos 2 5 . 14 cos 5 . 14 cos = − = − = − = θ θ θ θ 1 cos 1 sec sin = 예제3 1 각 에 대하여 이고 인 경우 의 사분면은 7 (θ π) θ (θ π)

θ sin 2 , cos cos 2

sin = ± = ± θ θ tan cot =

θ

sin

θ

< 0 cos

θ

< 0

θ

y 예제3.1 각 에 대하여 이고 인 경우 의 사분면은 어디에 존재하는가? 7

θ

sin

θ

< 0 cos

θ

< 0

θ

(8)

사인

코사인과 탄젠트 함수(다대일 함수임 )

사인

, 코사인과 탄젠트 함수(다대일 함수임.)

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사인꼴

(Sinusoidal) 함수

( )

x

f

( )

x

f

=

sin

,

=

cos

( )

x

sin

x

sin

−

=

−

( )

x

cos

x

cos

−

=

( ) tan f x = x |

역삼각함수

y 다대일함수 Æ x의 영역을 한정하여 역함수 정의

2

2 ,

sin

1

−

π

≤

π

=

−

y

x

y

8

2

y 예제3.2) 계산기를 이용하여 다음을 푸시오. 8 1 1

(9)

삼각 함수의 공식들

자주 사용되는 공식들

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자주 사용되는 공식들

9 9

(10)

삼각 함수의 공식들

예제 ) 임을 증명하시오A A 2 y 예제3.4) 임을 증명하시오. 예제3 5) 표3 1의 공식을 이용하여 아래 수식을 간단히 하시오 tan cot sin 2 A A A + = y 예제3.5) 표3.1의 공식을 이용하여 아래 수식을 간단히 하시오. 3

(a) sin( ) (b) cos( )

2 2 π ₊_θ π ₋_θ 예제3 6) 다음을 간단히 하시오 (c) tan(2π θ− ) (d) sin(π θ− ) y 예제3.6) 다음을 간단히 하시오. 3 2

(11)

사인과 코사인을 사용한 파형의 모델링

진폭

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진폭

(amplitude)

t A t Asin , cos y 파형의 진폭은 A y 그림 3.13 11 11

(12)

사인과 코사인을 사용한 파형의 모델링

각주파수

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각주파수

(ω : angular frequency)

y 초당 라디안 변화량 t A y t A y = sin

ω

= cos

ω

| ω: 1초당 증가하는 라디안 t A y t A y sin

ω

, cos

ω

|

주기

(T : period)

y 한 사이클을 완성하는데 걸리는 시간 y 한 사이클을 완성하는데 걸리는 시간

(

)

(

)

2 1 0 2 cos cos , 2 sin sin = ± = ± = n n t t n t t π π y 주기와 각주파수의 관계 12 ... , 2 , 1 , 0 = n π π ω ω 2 2 cos , sin = = A t y A t y 12 ω π ω π 2 2 0 ≤t ≤ →T =

(13)

사인과 코사인을 사용한 파형의 모델링

주파수

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주파수

(frequency)

y 1초 사이에 완성되는 사이클의 수 (Hz) 초에 사이클이 완성됨 y 1 Hz Æ 1초에 1 사이클이 완성됨 t A y t A y = sinω , = cosω | 초 동안 1개의 사이클 완성

ω

ω π 2 = T | 1초 동안에

π

개의 사이클 완성

ω

2 = f y 주기와 주파수의 관계 13 1 2 T f

π

ω

= = 13 f

ω

(14)

사인과 코사인을 사용한 파형의 모델링

|

위상각

(phase angle)

y 파형을 시간 축으로 이동시키게 됨

(

ωt +φ

)

A

(

ωt +φ

)

Asin , cos y 그림 3.14 y 시간차 (time displacement)

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + ω φ ω φ ωt A t Asin sin y 예제3.10) 아래식에서 진폭과 주기, 위상각과 시간차를 말해보시오. 14 ⎠ ⎝ ω 2 ( 0 7) 2 1 3 4 14 2 cos(t 0.7) 2 1 3 4

(a)2 sin(4 t 1) (b) (c)4 cos( ) (d) sin( )

3 3 4 3

t

− +

(15)

삼각방정식

정의

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정의

k z k z k z = , cos = , tan = sin y 위의 수식을 만족하는 z를 찾는 것 z 1 sin = π π π π z ,... 2 5 , 2 , 2 3 ..., − = π π n 2 2 ± = 15 15

(16)

삼각방정식

예제

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예제

( )

t = 3sin

( )

t +1 , t ≥ 0 v y 1.5볼트를 갖게 되는 최초의 시간을 계산

( )

5 0 i 1 , 1 0 , 5 . 0 1 sin 5 . 1 1 sin 3 ≥ + = ≥ = + → = + z t z t t t

( )

6180 2 5236 0 5236 . 0 5 . 0 sin 5 . 0 sin 1 = − = = = = − z z z π 16 6180 . 1 1 6180 . 2 5236 . 0 = − = = = z t z π 16

(17)

HW

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