공업수학 II
강의 (21)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
2-4. 1계 선형 미분방정식 1계 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑜𝑟 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥) 𝑞 𝑥 = 0 : 1계 제차 선형 미분방정식 𝑞 𝑥 ≠ 0 : 1계 비제차 선형 미분방정식 예시) (1) 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑦 기본형으로 변환: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2 𝑥𝑦 = 0 ∴ 𝑝 𝑥 = −2 𝑥 & 𝑞 𝑥 = 0 1계 제차 선형미분방정식 (2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑒 2𝑥 = 0 기본형으로 변환: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑥 ∴ 𝑝 𝑥 = 0 & 𝑞 𝑥 = 𝑒2𝑥 1계 비제차 선형미분방정식 1계 제차 선형 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥+𝐶 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 , (𝐴 = 상수) 1계 비제차 선형 미분방정식의 해 𝑦 = 𝐴(𝑥) ∙ 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ∙ 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 (지난 시간 강의 복습) 𝐴(𝑥)
예제) 다음미분 방정식의 해를 구하라. (1) 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
1계 선형 미분방정식의 기본형으로 변형: 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑝 𝑥 & 𝑞(𝑥) 확인: 𝑝 𝑥 = 1 𝑥 & 𝑞 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1계 선형 비제차 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ∙ 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 1𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑒𝑙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑥−1 ∙ 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: −𝑙𝑛 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥−1 & 𝑒𝑙𝑛 (𝑥) = 𝑥 ∴ 𝑦 = 1 𝑥 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 2. 1계 미분방정식 1계 비제차 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 부분적분법 (삼각함수와 대수함수) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 𝑥𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
(1) 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥
(계속) 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 의 적분 setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 1 ∴ 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1계 선형 비제차 미분방정식의 해: 𝑦 = 1 𝑥 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 1 𝑥 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 + 𝐶 𝑥 다른 풀이 법 주어진 방정식: 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (𝑥𝑦)′ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 양변을 적분: (𝑥𝑦)′𝑑𝑥 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 +𝑐𝑜𝑠 𝑥 +𝐶
(2) 𝑦 = 𝑥 3 −𝑑𝑦 𝑑𝑥 1계 선형 미분방정식의 기본형으로 변형: 𝑦 = 𝑥 3 −𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 𝑥𝑦 = 3 𝑝 𝑥 & 𝑞(𝑥) 확인: 𝑝 𝑥 = 1 𝑥 & 𝑞 𝑥 = 3 1계 선형 비제차 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) 3𝑒𝑙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑥−1 3𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 1𝑥 3𝑥 2 2 + 𝐶 = 3𝑥 2 + 𝐶 𝑥 다른 풀이 법 주어진 방정식 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 (𝑥𝑦)′ = 3𝑥 양변을 적분: (𝑥𝑦)′𝑑𝑥 = 3𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥𝑦 = 3𝑥2 2 + 𝐶 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝐶 𝑥 1계 비제차 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 2. 1계 미분방정식 (숙제3) 다음 미분방정식의 일반해를 구하라. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 제출 일시: 11월25일 (화) 1교시 수업시작 전 까지 (시간엄수)
3. 2계 선형 미분방정식
선형 미분방정식 (linear differential equation)
미지함수 𝑦 및 그 도함수 𝑦′, 𝑦" , … 등에 관하여 1차인 미분방정식 2계 선형 미분방정식 선형미분방정식 중 2계 도함수 (즉, 𝑦′′ ), 1계 도함수 및 𝑦 로 주어지는 선형 미분방정식. 2계 선형미분방정식의 기본형: 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑝 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑅 𝑥 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒, 𝑅 𝑥 = 0 : 2계 제차 선형 미분방정식 𝑅 𝑥 ≠ 0 : 2계 비제차 선형 미분방정식 2계 상계수 제차 선형 미분방정식 2계 선형미분방정식 중 계수 𝑝 𝑥 & 𝑞 𝑥 가 상수인 제차 선형 미분방정식 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 (𝑎, 𝑏 는 상수)
