중3 수학 2학기 피타고라스~삼각비 단원별, 난이도별 문제

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하급문제

작성자 : 장지경

1. 다음 직각삼각형에서 x의 값은? 15 8 x ① 15 ② 16 ③ 17 ④ 18 ⑤ 19 2. 다음 그림과 같은 △ABC에서 ∠A가 둔각일 때, x의 값의 범위는? A B C 5 3 x ① 5 < x < 8 ② 2 < x < 88 < x < 34 ④ 34 < x < 834 < x < 9 3. 다음 그림의 △ABC에서 AD ⊥ BC, AC = 15, BC = 14, CD = 9일 때, AB의 길이는? A B D C 15 14 9 ① 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14 4. 다음 그림에서 AB의 길이는? A B C 15 D 12 17 x ① 20 ② 22 ③ 25 ④ 28 ⑤ 30 5. 다음은 그림과 같이 직각삼각형 ABC에서 두 변 AC, BC를 연장하여 한 변의 길이가 a + b인 정사 각형 CDEF를 만들어 피타고라스의 정리를 증명하는 과정이다. 안에 알맞은 것을 써넣어라. A B C D G E H F a a a a b b b b c c c c

△ABC ≡ △GAD ≡ △HGE ≡ △BHF( SAS 합동)이 므로 □ABHG = □CDEF - 4 × ⑴ ∴ c2= ( a + b)2- 4 ×

(

1 2 ab

)

= ⑵ 6. 직각삼각형의 세 변의 길이가 각각 a - 3, a, a + 3일 때, a의 값은? (단, a > 3) ① 9 ② 10 ③ 11 ④ 12 ⑤ 13 7. 다음 그림에서 x의 값은? C A B 15 5 D x 9 ① 12 ② 13 ③ 15 ④ 17 ⑤ 18 8. 세 변의 길이가 각각 3, 5, a인 삼각형이 둔각삼각 형이 되기 위한 a의 값의 범위는? (단, 가장 긴 변은 5이다.) ① 0 < a < 4 ② 2 < a < 4 ③ a < 4 ④ a > 34 ⑤ a < 34

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9. 다음 △ABC에서 x의 값은? A B C 8 x x + 2 ① 11 ② 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15 10. 세 변의 길이가 각각 다음과 같을 때, 직각삼각형인 것은? ① 2, 2, 2 ② 2, 3, 4 ③ 3, 4, 7 ④ 2, 4, 10 ⑤ 4, 5, 6 11. 다음 그림에서 ∠C = 90◦, AD = 5, BD = 4, CD = 3일 때, AB의 길이는? A C B D 5 4 3 ① 4 3 ② 6 2 ③ 65 ④ 7 2 ⑤ 5 3 12. 다음 그림에서 OA = AB = BC = CD = DE = EF = 1일 때, OF의 길이는? 1 B C A D E F O ① 3 ② 2 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 13. 다음 직사각형에서 x + y의 값을 구하여라. 13 12 x 3 2 3 y 14. 삼각형의 세 변의 길이가 다음과 같을 때, 직각삼각 형이 되는 것은? ① 3, 4, 6 ② 5, 12, 13 ③ 6, 8, 9 ④ 7, 9, 11 ⑤ 8, 15, 16 15. 다음 그림에서 x의 값은? A B C 5 3 x x + 5 ① 5 ② 5 2 ③ 5 3 ④ 6 ⑤ 6 12 16. 삼각형의 세 변의 길이가 다음과 같을 때, 예각삼각 형인 것은? ① 3, 4, 5 ② 8, 15, 18 ③ 10, 24, 26 ④ 5, 7, 8 ⑤ 2, 5, 3 17. 세 변의 길이가 각각 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼각형이 아닌 것은? ① 1, 3, 10 ② 7, 9, 12 ③ 1, 2, 3 ④ 3, 3, 3 2 ⑤ 3, 6, 3 3 18. 세 변의 길이가 각각 3, 4, x인 삼각형이 예각삼 각형이 되기 위한 x의 값의 범위는? (단, x는 가장 긴 변의 길이이다.) ① 4 < x < 5 ② 4 < x < 6 ③ 4 < x < 7 ④ 5 < x < 6 ⑤ 5 < x < 7

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19. 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중 직각삼각형 인 것은? ① 2 cm, 2 cm, 3 cm ② 9 cm, 10 cm, 14 cm ③ 4 cm, 5 cm, 7 cm ④ 6 cm, 8 cm, 12 cm ⑤ 4 cm, 7.5 cm, 8.5 cm 20. 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 둔각삼 각형인 것은? ① 4, 5, 6 ② 3, 4, 7 ③ 4, 2, 3 ④ 4, 7, 6 ⑤ 4, 2 5, 2 7 21. 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 예각삼 각형인 것은? ① 1, 2, 3 ② 2, 5, 3 ③ 2, 2, 2 ④ 3, 2, 5 ⑤ 3, 3, 3 22. 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼 각형을 모두 고르면? ① 3, 7, 4 ② 9, 8, 13 ③ 5, 12, 13 ④ 2, 3, 4 ⑤ 2, 3 2, 2 5 23. 다음 직각삼각형에서 x의 값을 구하여라. ⑴ 4 3 x ⑵ 2 x 3 24. 세 변의 길이가 각각 2, x, x + 1인 삼각형이 직 각삼각형이 될 때, x의 값을 구하면? ( 단, x > 1 ) 25. 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중 둔각삼각형 인 것은? ① 3, 4, 5 ② 3, 3, 5 ③ 5, 6, 7 ④ 4, 4, 9 ⑤ 7, 8, 9 26. 다음 그림에서 AB = 6, BC = 12, ∠ABC = 60◦, AH ⊥ BC일 때, AC의 길이는? A B H C 6 12 60◦ ① 4 3 ② 6 3 ③ 8 3 ④ 8 ⑤ 10 27. 세 변의 길이가 각각 6, x, 10인 삼각형이 직각삼 각형이 되기 위한 x의 값은? (단 x는 가장 긴 변의 길이이다.) ① 8 ② 2 34 ③ 12 ④ 3 17 ⑤ 4 10 28. 세 변의 길이가 각각 다음과 같을 때, 다음 중 예각 삼각형인 것은? ① 3, 4, 6 ② 4, 4, 4 2 ③ 6, 2 7, 8 ④ 6, 7, 9 ⑤ 7, 15, 17 29. 다음 그림은 직각삼각형 ABC의 각 변을 한 변으 로 하는 세 개의 정사각형을 그린 것이다. 이 때, 정사 각형 BFGC의 넓이를 구하여라. A B C D E F G H I 16 cm2 9 cm2

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30. 다음 그림의 삼각형이 ∠C > 90◦인 둔각삼각형일 때, 세 변 사이의 관계를 식으로 나타내면? A B C 5 x + 2 x ① x + 5 < x + 2 ② x2+ 52< ( x + 2)2 ③ x2+ ( x + 2)2< 52 ④ (x + 2)2+ x2> 52 ⑤ x2+ 52> ( x + 2)2 31. 가장 긴 변의 길이가 x이고, 나머지 두 변의 길이 가 8, 15인 예각삼각형이 있다. 이 때, x의 값의 범위 를 구하여라. 32. 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼 각형이 아닌 것은? ① 3, 1, 10 ② 7, 9, 12 ③ 1, 2, 3 ④ 2, 2, 2 2 ⑤ 1, 3, 2 33. 다음 그림과 같은 정사각형 ABCD의 내부에 있는 □EFGH의 넓이를 구하여라. G F C D H A E B 4 3 4 4 4 3 3 3 34. 다음 5개의 선분 중 직각삼각형을 만들 수 있는 세 선분을 골라라. a = 6, b = 7, c = 8, d = 9, e = 10 35. 다음 그림의 직각삼각형에서 x의 값은? 8 7 x ① 2 3 ② 15 ③ 4 ④ 3 2 ⑤ 19 36. 다음 그림에서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 구하여라. A D B C 8 10 x

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(해답) 1. ③ [해설] x2= 152+ 82에서 x > 0이므로 x = 152+ 82 ∴ x = 17 2. ④ [해설] x가 가장 긴 변이므로 x < 3 + 5 ∴ x < 8 ……㉠ 또 둔각삼각형이 되려면 x2> 32+ 52, x2 > 34 ∴ x > 34 …… ㉡ ㉠과 ㉡에서 34 < x < 8 3. ④ [해설] △ACD에서 AD = 152- 92= 144 = 12 △ABD에서 BD = 14 - 9 = 5, AD = 12이므로 AB = 52+ 122= 25 + 144 = 169 = 13 4. ③ [해설] CD = 172- 152= 8, AB = 202+ 152= 25 5. ⑴ △ABC ⑵ a2+ b2 6. ④ [해설] 가장 긴 변의 길이가 a + 3이므로 (a + 3)2= ( a - 3)2+ a2, a2+ 6a + 9 = a2- 6a + 9 + a2, a2- 12a = 0, a( a - 12) = 0 ∴ a = 12 7. ② [해설] △ABD에서 AD = 152- 92= 225 - 81 = 12 △ACD에서 x = 52+ 122= 25 + 144 = 169 = 13 8. ② [해설] 삼각형이 되려면 5 < a + 3이므로 a > 2…… ㉠ 또, 둔각삼각형이 되려면 52> a2+ 32, 25 - 9 > a2, 16 > a2이므로 a < 4 …… ㉡ ㉠과 ㉡에서 2 < a < 4 9. ⑤ [해설] (x + 2)2= x2+ 82, x2+ 4x + 4 = x2+ 64, 4x = 60 ∴ x = 15 10. ③ [해설] ① 22≠ 22+ 22 ② 42≠ 22+ 32 ③ 42= 32+ ( 7)2 ④ 42≠ 22+ ( 10)2 62≠ 42+ 52 11. ③ [해설] △ACD에서 AC = 52- 32= 16 = 4 △ABC에서 AB = 72+ 42= 49 + 16 = 65 12. ④ [해설] OB = 12+ 12= 2 ∴ OC = 1 + 2 = 3, OD = 4 = 2 ∴ OF = 6 13. 8 [해설] x = 132- 122= 169 - 144 = 25 = 5 y = ( 3 2)2- 32= 18 - 9 = 9 = 3 ∴ x + y = 5 + 3 = 8 14. ② [해설] ① 32+ 42≠ 62 ② 52+ 122= 132 62+ 82≠ 92 ④ 72+ 92≠ 112 ⑤ 82+ 152≠ 162 15. ① [해설] (x + 5)2= x2+ ( 5 3)2, x2+ 10x + 25 = x2+75, 10x - 50 = 0, x - 5 = 0 ∴ x = 5

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16. ④ [해설] ① 32+ 42= 52이므로 직각삼각형 ② 82+ 152< 182이므로 둔각삼각형 ③ 102+ 242= 262이므로 직각삼각형 ④ 52+ 72> 82이므로 예각삼각형 ⑤ ( 2)2 + ( 5)2< 32이므로 둔각삼각형 17. ② [해설] ① 12 + 32= ( 10)2 ② 72 + 92≠ 122 ③ 12 + ( 2)2= ( 3)2 ④ 32 + 32= ( 3 2)2 ⑤ 32 + ( 3 3)2= 62 18. ① [해설] x가 가장 긴 변의 길이이므로 x > 4 …… ㉠ 예각삼각형이므로 x2< 32+ 42, x2< 25 ∴ x < 5 …… ㉡ ㉠과 ㉡에서 4 < x < 5 19. ⑤ [해설] ① 22+ ( 2)2≠ 32 ∴ 직각삼각형이 아니다. ② 92+ 102≠ 142 ∴ 직각삼각형이 아니다. ③ 42+ 52≠ 72 ∴ 직각삼각형이 아니다. ④ 62+ 82≠ 122 ∴ 직각삼각형이 아니다. ⑤ 42+ 7.52= 8.52 ∴ 직각삼각형 20. ③ [해설] ① 62 < 42+ 52이므로 예각삼각형 ② 42 = 32+ ( 7)2이므로 직각삼각형 ③ 42 > 22+ 32이므로 둔각삼각형 ④ 72 < 42+ 62이므로 예각삼각형 ⑤ (2 7)2 < 42+ ( 2 5)2이므로 예각삼각형 21. ④ [해설] ① ( 3)2= 12+ ( 2)2이므로 직각삼각형 ② 32> ( 2)2+ ( 5)2이므로 둔각삼각형 ③ 22= ( 2)2+ ( 2)2이므로 직각삼각형 ④ ( 5)2< ( 3)2+ 22이므로 예각삼각형 ⑤ 32> ( 3)2+ ( 3)2이므로 둔각삼각형 22. ①, ③, ⑤ [해설] ① ( 7)2+ 32= 42(직각) ② 132> 82+ 92(둔 각) ③ 52+ 122= 132(직각) ④ 22+ 32< 42(둔각) ⑤ (2 5)2= ( 2)2+ ( 3 2)2(직각) 23. ⑴ 5 ⑵ 1 [해설] ⑴ x2= 32+ 42, x2= 25 ∴ x = ± 5 그런데 x > 0이므로 x = 5 ⑵ x2 = 22- ( 3)2, x2= 4 - 3 = 1 ∴ x = ± 1 그런데 x > 0이므로 x = 1 24. 1.5 [해설] x > 1이므로 세 변 중 가장 긴 변은 x + 1이 다. (x + 1)2= 22+ x2, x2+ 2x + 1 = 4 + x2, 2x = 3 ∴ x = 1.5 25. ② [해설] ① 52 = 32+ 42 직각삼각형 ② 52 > 32+ 32 둔각삼각형 ③ 72 < 52+ 62 예각삼각형 ④ 92> 42+ 42이나 4 + 4 < 9이므로 삼각형이 아니 다. ⑤ 92< 72+ 82 예각삼각형 26. ② [해설] BH = 6 × cos 60◦= 6 × 1 2 = 3 ∴ CH = 9 AH = 62- 32= 27 = 3 3 ∴ AC = ( 3 3)2+ 92= 108 = 6 3 27. ② [해설] x2 = 62+ 102= 136 ∴ x = 2 34

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28. ④ [해설] ① 62> 32+ 42이므로 둔각삼각형 ② (4 2)2= 42+ 42이므로 직각삼각형 ③ 82= 62+ ( 2 7)2이므로 직각삼각형 ④ 92< 62+ 72이므로 예각삼각형 ⑤ 172 > 72+ 152이므로 둔각삼각형 29. 25 cm2 [해설] ∠A = 90◦이므로 AC2+ AB2= BC2 9 + 16 = BC2 ∴ BC2= 25 ∴ □BFGC = 25 ( cm2) 30. ② [해설] 가장 긴 변의 길이가 x + 2이고 ∠C > 90 므로 (x + 2)2 > x2+ 52이다. 31. 15 < x < 17 [해설] x가 가장 긴 변의 길이이므로 x > 15 …… ㉠ 예각삼각형이므로 x2< 82+ 152, x2< 289 ∴ x < 17 …… ㉡ ㉠, ㉡에서 15 < x < 17 32. ② [해설] ① 32 + 12= ( 10)2 ② 72 + 92≠ 122 ③ 12+ ( 2)2= ( 3)2 ④ 22+ 22= ( 2 2)2 ⑤ 12+ ( 3)2= 22 33. 25 [해설] □EFGH = □ABCD - 4 × △FCG = ( 3 + 4 )2- 4 ×

(

1 2 × 4 × 3

)

= 49 - 24 = 25 34. a, c, e [해설] 피타고라스의 정리를 만족하는 세 변을 찾는다. 62+ 82= 102 35. ② [해설] x2+ 72= 82, x2= 82- 72= 15 ∴ x = 15 36. 28 [해설] △BCD에서 ∠C = 90◦이므로 x = 102- 82= 100 - 64 = 36 = 6 따라서, 둘레의 길이는 2 × 8 + 2 × 6 = 16 + 12 = 28

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중급문제

작성자 : 장지경

1. 세 변의 길이가 각각 5, 12, a인 삼각형이 둔각삼 각형이 되기 위한 a의 값의 범위를 구하여라. (단, a 는 가장 긴 변의 길이이다.) 2. 다음 그림과 같이 △ABC의 한 꼭지점 A에서 대 변에 내린 수선의 발을 D라 할 때, AB = 5 cm, BD = 3 cm, DC = 6 cm이다. AC의 길이는? A C B 5 cm 3 cmD 6 cm ① 2 6cm ② 13 cm ③ 26 cm ④ 2 13 cm ⑤ 3 3cm 3. 다음 그림과 같은 삼각형에서 x, y의 값을 각각 구 하여라. x y x 3 5 4. 다음 그림에서 x - y의 값은? A B C 15 y 16 20 H x ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 5.5 ⑤ 6 5. 세 변의 길이가 각각 3, 4, a인 삼각형이 둔각삼각 형이 되기 위한 a의 값의 범위는? (단, a는 가장 긴 변의 길이이다.) ① 5 < a < 7 ② 7 < a < 5 ③ 1 < a < 7 ④ 1 < a < 75 < a < 7 6. 다음 그림에서 AD ⊥ BC이고, AB = 15, BC = 14, BD = 9일 때, AC의 길이는? C A B 15 14 9 D x ① 12 ② 13 ③ 14 ④ 15 ⑤ 16 7. 17 cm 거리에 박혀 있는 두 못 A, B에 길이가 23 cm인 끈을 걸어서 다음 그림과 같이 ∠C가 직각 이 되게 하려고 한다. AC의 길이를 몇 cm로 해야 하는가? (단, AC > BC) 17 cm A B C ① 8 cm ② 12 cm ③ 13 cm ④ 14 cm ⑤ 15 cm

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8. 다음 그림에서 □ADEB는 직각삼각형 ABC의 변 AB를 한 변으로 하는 정사각형이다. AC = 6, BC = 10일 때, △EBC의 넓이는? A B 10 C E D 6 ① 24 ② 26 ③ 28 ④ 30 ⑤ 32 9. 다음 그림과 같이 직각삼각형 ABC의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형을 만들었을 때, □ACHI와 넓이가 같지 않은 것은? A B C D E F G H I L M ① 2 △ACH ② 2 △AMG ③ □LMGC ④ 2 △ACG ⑤ 2 △HCB 10. 세 변의 길이가 13, 14, 15인 △ABC의 넓이를 피타고라스의 정리를 이용하여 구하여라. B A C 15 14 H 13 h 11. 다음 그림에서 △ABE ≡ △BCF ≡ △CDG ≡ △DAH일 때, □EFGH의 넓이는? (단, AE = 2, AB = 2 5) A B C D F E H G 2 2 5 ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 12. 10 cm 거리에 있는 두 못 A, B에 길이가 24 cm 인 끈을 걸어서 다음 그림과 같이 ∠C = 90◦인 직 각삼각형 ABC를 만들려고 한다. AC의 길이는? (단, AC < BC) A B C 10 cm ① 4 cm ② 5 cm ③ 6 cm ④ 7 cm ⑤ 8 cm 13. 다음 그림에서 x의 값은? A C B 4 2 6 x D ① 2 3 ② 3 ③ 2 5 ④ 2 6 ⑤ 5

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14. 다음 그림에서 ∠A가 둔각이기 위한 x의 값의 범위를 구하여라. A C B 3 4 x 15. 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. A B C D 12 16 x 20 16. 다음 그림의 △ABC에서 AD⊥ BC이고 AB = 5, BD = 4, CD = 6일 때, x의 값은? A C B 5 4 6 x D ① 8 ② 4 5 ③ 3 3 ④ 3 5 ⑤ 10 17. 다음 그림과 같은 △ABC에서 AB = 15, AC = 13, CD = 5일 때, △ABC의 넓이는? C A B 15 5 D 13 ① 80 ② 82 ③ 84 ④ 86 ⑤ 96 18. 세 변의 길이가 각각 x - 1, x, x + 1인 삼각형이 직각삼각형이 되기 위한 x의 값은? ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5 ⑤ 6 19. 다음 그림과 같은 직각삼각형 ABC의 꼭지점 A에 서 빗변에 내린 수선의 발을 H라 하고 AB = 15, BC = 25일 때, AH의 길이는? A B H C 15 25 ① 9 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 15 20. 다음 그림에서 직각삼각형의 각 변을 지름으로 하 는 반원의 넓이를 각각 P, Q, R라 하자. P = 50 π, Q = 30 π일 때, R의 값은? A B C R P Q ① 10π ② 12π ③ 15π ④ 16π ⑤ 20π

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21. 다음 그림과 같이 직각삼각형 ABC의 세 변을 각 각 지름으로 하는 반원을 그렸다. 선분 BC를 지름 으로 하는 반원의 넓이가 4π일 때, 선분 AC의 길 이는? (단, 선분 AB의 길이는 2 3이다.) A B C 4π 2 3 ① 6 ② 2 10 ③ 2 11 ④ 4 3 ⑤ 8 22. 다음 그림에서 □ABCD는 한 변의 길이가 5인 정사각형이고, AP = BQ = CR = DS = 3일 때, 정사각형 PQRS의 넓이는? A D C B 3 cm 5 cm P S Q R ① 1 cm2 ② 1.5 cm2 ③ 2 cm2 ④ 2.5 cm2 ⑤ 3 cm2 23. 다음 그림과 같은 두 정사각형 □ACFG = 100, □AHIB = 500일 때, x의 값은? A B C D E F G H I 500 100 x ① 10 ② 10 5 ③ 20 ④ 20 2 ⑤ 20 5 24. 다음 그림과 같이 AB = 6 cm, AD = 10 cm인 직사각형 모양의 종이를 점 D가 BC 위에 오도록 접었을 때, EF의 길이는? A B E C F D 10 cm 6 cm ① 2 2cm ② 3 cm ③ 103 cm ④ 2 3cm ⑤ 4 cm

(12)

(해답) 1. 13 < a < 17 [해설] a가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되려 면 a < 5 + 12 ∴ a < 17 …… ㉠ 또, 둔각삼각형이 되려면 a2> 52+ 122, a2> 169 ∴ a > 13 …… ㉡ ㉠과 ㉡에서 13 < a < 17 2. ④ [해설] AD = AB2- BD2= 52- 32= 16 = 4 그런 데 AC = AD2+ DC2= 42+ 62= 52 = 2 13 ( cm) 3. x = 34, y = 2 17 [해설] x = 32+ 52= 34 y = x2+ x2= 2x = 2 34 = 2 × 34 = 4 × 17 = 2 17 4. ① [해설] △ABH에서 x = 202- 162= 144 = 12 △ACH에서 y = 152- 122= 81 = 9 ∴ x - y = 12 - 9 = 3 5. ① [해설] 삼각형이 되려면 a < 3 + 4 ∴ a < 7 …… ㉠ 또, 둔각삼각형이 되려면 a2 > 32+ 42, a2 > 25 ∴ a > 5 …… ㉡ ㉠, ㉡에서 5 < a < 7 6. ② [해설] △ABD에서 AD = 152- 92= 144 = 12 또 △ACD에서 CD = BC - BD = 14 - 9 = 5 ∴ x = 52+ 122= 169 = 13 7. ⑤ [해설] AC = x cm라 하면 BC = ( 23 - x) cm x2+ ( 23 - x)2= 172, x2 - 23x + 120 = 0, ( x - 15)( x - 8) = 0 ∴ x = 15 또는 x = 8 그런데 AC > BC이므로 AC = 15 ( cm) 8. ⑤ [해설] AB = 102- 62= 64 = 8, □ ADEB = 82= 64 △EBC와 △EBA는 넓이가 같다. 또 △EBA = 1 2 × □ADEB = 1 2 × 64 = 32 ∴△EBC = 32 9. ② [해설] △ACG ≡ △HCB( SAS합동)이므로 △ACH = △ACG = △HCB = △LCG = △LMG ∴ □ACHI = 2 △ACH = 2 △ACG = 2 △HCB = 2 △LCG = 2 △LMG = 2 △□LMGC 10. 84 [해설] BH = x로 놓으면 CH = 14 - x △ABH에서 h2= 132- x2 △CBH에서 h2= 152- ( 14 - x)2 132- x2= 152- ( 14 - x)2, 169 - x2= 225 - 196 + 28x - x2, 28x = 140 ∴ x = 5 h2= 132- 52 ∴ h = 12 ∴ △ABC = 1 2 × 14 × 12 = 84 11. ② [해설] △ABE에서 BE = ( 2 5)2- 22 = 20 - 4 = 16 = 4

□EFGH = □ABCD - 4 × △ABE = ( 2 5 )2- 4 × 1

(13)

12. ③ [해설] AC + BC = 14, AC = x로 놓으면 BC = 14 - x AC < BC이므로 x < 14 - x ∴ x < 7 102= x2+ ( 14 - x)2, 2x2- 28x + 196 - 100 = 0 x2- 14x + 48 = 0, ( x - 6)( x - 8) = 0 ∴ x = 6 또는 x = 8 그런데 x < 7이므로 AC = 6 cm 13. ④ [해설] △ABD에서 AD = 42- 22= 16 - 4 = 12 = 2 3 △ACD에서 x = 62- ( 2 3)2= 36 - 12 = 24 = 2 6 14. 5 < x < 7 [해설] x가 가장 긴 변의 길이이므로 다른 두 변의 합보다 작으므로 x < 3 + 4 ∴ x < 7 …… ㉠ 또 둔각삼각형이므로 x2 > 32+ 42, x2 > 25 ∴ x > 5 …… ㉡ ㉠, ㉡에서 5 < x < 7 15. 4 37 [해설] DC = a라 하면 AH = a, BH = 20 - 12 = 8 a2= 162- 82= 192 ∴ x = 202+ a2= 400 + 192 = 592 = 4 37 A B C D 12 16 x 20 H a a 16. ④ [해설] △ABD가 직각삼각형이므로 AD = 52- 42= 9 = 3, △ACD에서 x = 32+ 62= 45 = 3 5 17. ③ [해설] △ACD에서 AD = 132- 52= 144 = 12, △ABD에서 BD = 152- 122= 9 따라서, △ABC = 1 2 × BC × AD = ( 9 + 5) × 12 × 12 = 84 18. ③ [해설] 가장 긴 변의 길이가 x + 1이므로 (x + 1)2= ( x - 1)2+ x2, x2- 4x = 0, x( x - 4) = 0 x = 0 또는 x = 4 …… ㉠ 그런데 모든 변의 길이는 양수이어야 한다. 즉, x - 1 > 0, x > 0, x + 1 > 0이므로 x > 1 …… ㉡ ㉠과 ㉡에서 x = 4 19. ③ [해설] AC = 252- 152= 625 - 225 = 400 = 20 BH = x로 놓으면 CH = 25 - x △ABH, △ACH에서 피타고라스 정리를 이용하면 AH2= 152- x2, AH2= 202- ( 25 - x)2 152- x2= 202- ( 25 - x)2, 225 - x2= 400 - 625 + 50x - x2, 50x = 450 ∴ x = 9 ∴ AH = 152- 92= 225 - 81 = 144 = 12 20. ⑤ [해설] P = Q + R가 성립하므로 50π = 30π + R ∴ R = 20π 21. ③ [해석] BC 2 = r라 하면 πr 2= 4π × 2, r2= 8 ∴ r = 2 2 ∴ BC = 4 2 △ABC는 직각삼각형이므로 AC = ( 2 3)2+ ( 4 2)2= 12 + 32 = 44 = 2 11

(14)

22. ①

[해설] 직각삼각형 ABQ에서 AQ = 52- 32= 4, PQ = AQ - AP = 4 - 3 = 1이므로

□PQRS = 1 ( cm2) 23. ③

[해설] □AHIB = □ACFG + □BCED이므로 500 = 100 + □BCED ∴ □BCED = 400 □BCED = BC2, 즉 x2= 400 ∴ x = 400 = 20 24. ③ [해석] AD = AE이므로 BE = 8, CE = 2 EF = DF이므로 EF = x이면 CF = 6 - x △CEF는 직각삼각형이므로 x2= ( 6 - x)2+ 22, 12x = 40 ∴ x = 103

(15)

상급문제

작성자 : 장지경

1. 다음 그림에서 □BFML의 넓이가 48일 때, △EBC의 넓이를 구하여라. A I H C L M F G B E D 2. 다음 그림의 □ABCD에서 AB = 8, AD = 6, BC = 10일 때, x의 값을 구하여라. A B C D 6 8 x 10 3. 다음 그림과 같이 직사각형 ABCD의 꼭지점 B가 점 D에 오도록 접었다. AB = 15, BC = 25일 때, △DEF의 넓이를 구하여라. 15 25 B A C D F A' E

(16)

(해답) 1. 24

[해설] △EBC와 △ABF에서 EB = AB, BC = BF

∠EBC = 90◦+ ∠ABC = ∠ABF ∴ △EBC ≡ △ABF( SAS 합동) ∴ △EBC = △ABF = △LBF = 1 2 □BFML = 1 2 × 48 = 24 2. 2 37 [해설] BH = 10 - 6 = 4, AH = 82- 42= 4 3, △BCD에서 x = 102+ ( 4 3)2= 148 = 2 37 3. 127.5 [해설] △CDF에서 DF = x라 하면 BF = DF = x CF = 25 - x, CD = 15 ∴ x2= ( 25 - x)2+ 152 ∴ x = 17 △A'ED ≡ △DCF ≡ △ABE이므로 DE = DF = 17 ∴ △DEF = 12 × 17 × 15 = 127.5

(17)

하급문제

작성자 : 장지경

1. 다음 그림에서 정사각형의 한 변의 길이 a의 값은? A D C B 10 a a ① 5 ② 5 2 ③ 6 ④ 6 2 ⑤ 10 2 2. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형 의 넓이는? A B M C 6 cm ① 15 cm2 ② 9 3cm2 ③ 16 cm2 ④ 10 2cm2 ⑤ 17 cm2 3. 둘레의 길이가 36 cm인 정사각형의 대각선의 길이는? ① 2 cm ② 9 cm ③ 9 2 cm ④ 10 cm ⑤ 10 2 cm 4. 다음 그림과 같이 세 모서리의 길이가 각각 8 cm, 4 cm, 6 cm인 직육면체에서 B에서 시작하여 CG 위 의 점을 지나서 H에 이르는 최단거리를 구하여라. D B A F C E G H 6 cm 4 cm 8 cm 5. 대각선의 길이가 12 cm인 정육면체의 한 모서리의 길이는? ① 4 cm ② 4 3cm ③ 5 cm ④ 2 3cm ⑤ 6 cm 6. 다음 그림의 원뿔에서 다음을 구하여라. 2 7 h ⑴ 원뿔의 높이 ⑵ 원뿔의 부피 7. 다음 그림에서 두 점 P( 5, 3), Q( - 2, - 1) 사 이의 거리는? Q( - 2, - 1) P( 5, 3) x O y ① 33 ② 2 11 ③ 55 ④ 44 ⑤ 65 8. 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이가 4 3일 때, a의 값은? ① 2 3 ② 3 3 ③ 8 ④ 4 3 ⑤ 8 3

(18)

9. 다음 그림과 같이 □ABCD의 두 대각선이 직교할 때, x의 값은? A B D C 4 x 3 2 ① 5 ② 2 6 ③ 23 ④ 21 ⑤ 2 5 10. 한 변의 길이가 6인 정삼각형의 높이는? ① 3 3 2 ② 3 3 ③ 6 3 ④ 8 3 ⑤ 9 3 11. 다음 그림에서 x의 값은? A D C B x 12 9 ① 9 2 ② 10 2 ③ 15 ④ 16 ⑤ 17 12. 다음 그림에서 BC = CD = AD, AC = 8일 때, AB의 길이는? A B x C D 8 ① 2 6 ② 3 6 ③ 4 6 ④ 5 6 ⑤ 10 13. 다음 그림의 △ABC의 넓이는? A B C 17 17 16 ① 108 ② 116 ③ 120 ④ 126 ⑤ 136 14. 다음 그림의 마름모에서 AC = 12, BD = 16일 때, AB의 길이는? A B D C 12 16 O ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10 15. 다음 그림에서 AC ⊥ BD일 때, BC의 길이를 구 하여라. A B D C x cm 5 cm 4 cm 3 cm 16. 다음 그림과 같이 지름의 길이가 10 cm인 원에 정 사각형이 내접할 때, 정사각형의 한 변의 길이는? 10 cm ① 2 cm ② 2 2 cm ③ 3 2 cm ④ 4 2cm ⑤ 5 2cm

(19)

17. 한 변의 길이가 8 cm인 정삼각형의 넓이를 구하여라. 18. 좌표평면 위에서 원점 O와 점 P(a, 2 3) 사이의 거리가 4일 때, 양수 a의 값을 구하여라. 19. 반지름의 길이가 5 cm인 원에 내접하는 정사각형 의 한 변의 길이는? 5 cm x O ① 5 3cm ② 5 2cm ③ 10 3cm ④ 10 2 cm ⑤ 10 cm 20. 한 변의 길이가 a cm인 정삼각형의 넓이가 4 3 cm2일 때, a의 값은? ① 3 ② 2 3 ③ 4 ④ 3 3 ⑤ 4 3 21. 다음 그림에서 x의 값은? C B D A 4 x 3 2 ① 10 ② 11 ③ 2 3 ④ 13 ⑤ 14 22. 한 모서리의 길이가 6 cm인 정사면체에 대하여 다 음을 구하여라. ⑴ 정사면체의 높이 ⑵ 정사면체의 부피 23. 두 점 ( -1, 1), (3, a)의 사이의 거리가 4 2일 때, a의 값은? (단, a > 0) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 24. 대각선의 길이가 4 3cm인 정육면체의 부피를 구 하여라. 25. 좌표평면 위 에 있는 두 점 A(-1, 2), B( 3, - 1) 사이의 거리를 구하여라. 26. 다음 그림과 같이 두 대각선이 직교하는 □ABCD 에서 AB = 3, BC = 4, CD = 5일 때, AD의 길 이는? 3 A 4 5 x B C D O ① 2 ② 3 ③ 3 2 ④ 4 ⑤ 4 2 27. 다음 그림과 같이 가로 세로의 길이가 각각 4 cm, 3 cm인 직사각형 ABCD에서 점 A에서 대각선 BD에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 선분 AH의 길이는? A D C B H 4 cm 3 cm ① 1.2 cm ② 1.8 cm ③ 2 cm ④ 2.4 cm ⑤ 2.6 cm

(20)

28. 다음 두 점 사이의 거리를 구하여라. ⑴ O( 0, 0), A(3, 5) ⑵ P(2, -3), C(4, -5) 29. 대각선의 길이가 6 3인 직사각형의 가로의 길이가 6일 때, 세로의 길이는? ① 6 ② 6 2 ③ 6 3 ④ 7 2 ⑤ 7 3

(21)

(해답) 1. ② [해설] 2a = 10, a = 10 2 = 10 2 2 = 5 2 2. ② [해석] AM = AB2- BM2= 62- 32= 3 3이 므로 △ABC = 1 2 × 6 × 3 3 = 9 3 ( cm 2) 3. ③ [해설] 둘레의 길이가 36 cm이므로 정사각형의 한 변 의 길이는 9 cm이다. 한 변의 길이가 a cm인 정사각 형의 대각선의 길이는 2a cm이다. 4. 6 5 ( cm) [해설] ∴ BH = 122+ 62= 144 + 36 = 180 = 6 5 ( cm) F G H D C B 8 cm 4 cm 6 cm 5. ② [해설] 모서리의 길이를 x cm로 놓으면 3x = 12이 므로 x = 4 3 6. ⑴ 3 5 ⑵ 4 5π [해설] ⑴ (높이) = 72- 22= 49 - 4 = 45 = 3 5 ⑵ (부피) = 1 3 πr 2 h = 1 3 × 4π × 3 5 = 4 5 π 7. ⑤ [ 해 설 ] PQ2= {5 - ( - 2)2}+{3 - ( - 1)2}= 72+ 42= 65 ∴ PQ = 65 8. ③ [해설] 3 2 a = 4 3 ∴ a = 4 3 × 2 3 = 8 9. ④ [해설] x2+ 22= 42+ 32, x2+ 4 = 16 + 9, x2= 21 x > 0이므로 x = 21 10. ② [해설] 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는 3 2 a ∴ 3 2 × 6 = 3 3 11. ③ [해설] x = 92+ 122= 81 + 144 = 225 = 15 12. ③ [해설] AD = a로 놓으면 BC = CD = AD = a, △ACD에서 a2+ a2= 82, 2a2= 64, a2= 32 ∴ a = 4 2 또, △ABC에서 x = 82+ ( 4 2)2= 64 + 32 = 96 = 4 6 13. ③ [해설] 점 A에서 밑변 BC에 수선을 그으면 수선 AH는 밑변 BC를 이등분한다. BH = 8, △ABH에서 h = 172- 82= 289 - 64 = 225 = 15 ∴ △ABC = 12 × 16 × 15 = 120 A C 17 17 16 H B 8 h

(22)

14. ⑤ [해설] AC ⊥ BD이고 AO = CO, BO = DO이 다. △ABO에서 AO = 6, BO = 8이므로 AB = 62+ 82= 100 = 10 15. 3 2 (cm) [해설] AB2+ CD2= BC2+ AD2이므로 52+ 32= x2+ 16, x2= 18 ∴ x = 3 2 ( cm) 16. ⑤ [해설] 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 x2+ x2+ 102, 2x2 = 102, x2 = 50 x > 0이므로 x = 50 = 5 2 17. 16 3cm2 [해설] (높이) = 3 2 × 8 = 4 3 ∴ (넓이) = 1 2 × 8 × 4 3 = 16 3 ( cm 2) 18. 2 [해설] 원점 O에서 점 P (x, y)까지의 거리는 x2+ y2이므로 a2+ ( 2 3)2= 4, a2+ 12 = 4 a2+ 12 = 16, a2= 4 ∴ a = 2 19. ② [해설] 한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길 이는 a 2이므로 5 2 (cm) 20. ③ [해설] 3 4 a 2= 4 3, a2= 4 3 × 4 3 = 16, ∴ a = 4 21. ② [해설] x2+ 32= 42+ 22, x2= 16 + 4 - 9 = 11 ∴ x = 11 22. ⑴ 2 6cm ⑵ 18 2cm3 [해설] ⑴ (높이) = 6 3 × 6 = 2 6 ( cm) ⑵ (부피) = 122 × 63= 122 × 6 × 6 × 6 = 18 2 ( cm3) 23. ⑤ [해설] (두 점 사이의 거리) = ( - 1 - 3)2+ ( 1 - a)2= 4 2 16 + ( 1 - a)2= 32 ∴ ( 1 - a)2= 16, 1 - a = ± 4 ∴ a = 5 또는 a = - 3 ∴ a = 5 24. 64 (cm3) [해설] 한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 길이는 a 3이므로 a = 4 ∴ (정육면체의 부피) = 4 × 4 × 4 = 64 ( cm3) 25. 5 [ 해 설 ] AB = ( - 1 - 3)2+ ( 2 + 1)2= 16 + 9 = 5 26. ③ [해설] AB2+ CD2= BC2+ AD2이므로 32+ 52= 42+ x2 x2= 18 ∴x = 3 2 27. ④ [해설] 피타고라스 정리를 적용하면 BD = 5, AB × AD = BD × AH 이므로 3 × 4 = 5 × AH ∴ AH = 12 5 = 2.4 ( cm) 28. ⑴ 34 ⑵ 2 2 [해설] ⑴ OA = 32+ 52= 9 + 25 = 34 ⑵ PQ = ( 4 - 2)2+ ( - 5 + 3)2= 4 + 4 = 8 = 2 2

(23)

29. ② [해설] x2+ 62= ( 6 3)2, x2+ 36 = 108, x2= 72, x = ± 72 = ± 6 2 그런데 x > 0이므로 x = 6 2 6 6 3 x

(24)

중급문제

작성자 : 장지경

1. 다음 그림과 같은 원뿔의 부피는? 6 3 ① 6 3π ② 7 3π ③ 8 3π ④ 9 3π ⑤ 10 3π 2. 다음 그림에서 ∠B = 60◦, ∠C = 45, AH ⊥ BC이고 AH = 6 cm일 때, BC의 길이는? A B C 6 cm H 60◦ 45◦ ① 2 3cm ② (2 3 + 6) cm ③ 4 3cm ④ (4 3 + 6) cm ⑤ 9 cm 3. 다음 그림에서 대각선 AG의 길이는? G D A F E C B H 12 4 3 ① 13 ② 15 ③ 17 ④ 18 ⑤ 21 4. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 10 cm인 정육면 체를 세 꼭지점 A, C, F를 지나는 평면으로 잘랐 을 때 생기는 △ACF의 넓이는? C A D B E F G H 10 cm 10 cm ① 50 cm2 ② 100 cm2 ③ 50 3cm2 ④ 80 3cm2 ⑤ 100 3cm2 5. 넓이가 12 3cm2인 정삼각형의 높이는? ① 3 cm ② 4 cm ③ 5 cm ④ 6 cm ⑤ 7 cm 6. 다음 그림의 직육면체에 점 A와 점 G를 잇는 선분 APG의 최단 거리는? D B A F C E G H P 4 cm 4 cm 6 cm ① 8 cm ② 10 cm ③ 2 13cm ④ 3 13 cm ⑤ 4 13 cm 7. 다음 그림과 같은 정사각뿔의 높이 h를 구하여라. 8 cm 10 cm h

(25)

8. 좌표평면 위의 두 점 (a, -1), ( -6, 3) 사이의 거리가 4 5일 때, a의 값은?(단, a > 0) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 5 ⑤ 6 9. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 12인 정삼각형 ABC에서 변 BC 위에 임의의 점 P를 잡고 점 P에 서 AB, AB에서 내린 수선의 발을 Q, R라 할 때, PQ + PR의 값은? A B C Q 12 R P ① 6 2 ② 6 3 ③ 8 3 ④ 15 ⑤ 16 10. 세 꼭지점의 좌표가 A( 3, 2), B(-1, -1), C( 4, - 2)일 때, △ABC는 어떤 삼각형인가? ① 직각삼각형 ② 예각삼각형 ③ 둔각삼각형 ④ 이등변삼각형 ⑤ 정삼각형 11. 세 점 A(3, 3), B(-4, 0), C(6, -4)를 꼭지 점으로 하는 △ABC는 어떤 삼각형인가? ① 정삼각형 ② 이등변삼각형 ③ 직각삼각형 ④ 둔각삼각형 ⑤ 직각이등변삼각형 12. 다음 그림의 마름모에서 ∠A = 120◦, AD = 4 일 때, 대각선 BD의 길이는? A B 120◦ D C 4 ① 3 2 ② 2 3 ③ 3 3 ④ 4 3 ⑤ 5 3 13. 다음 그림에서 xy의 값은? A C B 30◦ 45◦ y H 8 x ① 10 6 ② 12 6 ③ 15 6 ④ 16 6 ⑤ 18 6 14. 다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 5 cm, 높이가 8 cm인 원기둥에서 표면을 따라 A에서 B 까지 실을 감을 때, 가장 짧은 실의 길이는? A B 5 cm 8 cm O ① 2 41πcm ② 2 41π2cm ③ 2 41 cm ④ ( 64 + 100π2 ) cm ⑤ ( 64 + 100π) cm 15. 좌표평면 위의 세 점 A( -1, 4), B(-3, -1), C( 2, - 3)을 꼭지점으로 하는 △ABC는 어떤 삼 각형인가?

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16. 다음 그림의 직육면체의 △ABG의 둘레의 길이는? B F E G H C 3 2 4 D A ① 2 + 29 ② 3 + 29 ③ 5 + 29 ④ 7 + 29 ⑤ 8 + 29 17. 세 변의 길이가 4, 6, a인 삼각형의 변 a의 대각 이 둔각인 둔각삼각형이 되도록 a의 값의 범위를 구 하여라. 18. 다음 그림과 같은 직육면체 모양의 상자에 점 A, P, G를 잇는 최단 거리를 구하여라. C A D E B H F G P 4 3 2 19. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 6 cm인 정육면 체를 꼭지점 A, F, C를 지나는 평면으로 자를 때 생기는 삼각뿔 B―AFC에서 △AFC의 넓이를 구 하여라. D A B C H E F G 6 cm 6 cm 6 cm 20. 세 점 A(3, 4), B( -2, 2), C(1, -1)을 꼭지 점으로 하는 삼각형은 어떤 삼각형인가? 21. 다음 그림과 같은 직육면체에서 점 A에서 모서리 BC를 거쳐 점 G에 이르는 최단거리를 구하여라. C A D E B H F G 4 8 5 22. 다음 그림에서 대각선 AG의 길이는? D B A F E G H C 3 4 4 ① 2 10 ② 41 ③ 42 ④ 43 ⑤ 3 5 23. 다음 그림에서 AH의 길이는? A D C B H 8 6 ① 1.5 ② 1.6 ③ 2.4 ④ 2.8 ⑤ 4.8

(27)

24. 다음 그림과 같은 직육면체의 점 A에서 모서리 CD를 지나 점 G에 이르는 최단 거리는? D B A F C E G H 1 2 3 ① 5 ② 2 3 ③ 2 5 ④ 3 5 ⑤ 4 5 25. 다음 그림에서 직선 l 의 방정식을 2x + y - 4 = 0 이라 할 때, 원점 O에서 직선 l 까지의 거리는? x y O l ① 1 ② 3 2 ③ 45 ④ 4 5 5 ⑤ 6 5 5 26. 다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 8 cm인 정 육면체의 모서리 FG의 중점을 M이라 할 때, AM의 길이는? D B A F E G H C 8 cm ① 9 cm ② 10 cm ③ 11 cm ④ 12 cm ⑤ 13 cm 27. 다음 그림은 넓이가 54 3 cm2인 정육각형이다. 한 변의 길이는? 54 3 cm2 x ① 5 cm ② 6 cm ③ 7 cm ④ 8 cm ⑤ 9 cm 28. 다음 그림과 같은 직육면체에서 겉면을 따라 꼭지 점 B에서 모서리 CD를 지나 점 H에 이르는 최단 거리는? D B A F C E G H 7 5 5 ① 9 ② 10 ③ 11 ④ 12 ⑤ 13 29. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 13 cm인 구의 중심에서 5 cm 거리에 있는 평면으로 이 구를 자를 때, 생기는 단면의 넓이는? 5 cm 13 cm ① 30π cm2 ② 36π cm2 ③ 48π cm2 ④ 120π cm2 ⑤ 144π cm2

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30. 다음 그림과 같은 직육면체에서 점 A에서 모서리 EF, HG를 지나 점 C에 이르는 최단 거리는? G E H A F D B C 4 cm 4 cm 5 cm ① 10 cm ② 11 cm ③ 12 cm ④ 13 cm ⑤ 14 cm 31. 다음 그림과 같은 직육면체에서 점 B를 출발하여 CD를 거쳐 점 H에 이르는 최단 거리는? D B A F C E G H 6 5 4 ① 10 ② 5 2 ③ 5 5 ④ 6 2 ⑤ 6 5 32. 다음 그림과 같은 사각뿔의 부피는? 6 cm 8 cm 8 cm 8 cm ① 48 cm3 ② 64 cm3 ③ 64 39cm3 ④ 48 39cm3 ⑤ 16 39cm3 33. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 8 cm인 구를 중심 O에서 4 cm 떨어진 평면으로 잘랐을 때, 생기 는 단면의 넓이는? 4 cm 8 cm O ① 48π cm2 ② 44π cm2 ③ 40π cm2 ④ 36π cm2 ⑤ 32π cm2 34. 다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4 cm인 정 사면체의 부피는? A B C D 4 cm ① 16 2cm3 ② 32 2cm3 16 2 3 cm 3 ④ 32 2 3 cm 3 64 2 3 cm 3 35. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 15 cm이고 중 심각의 크기가 240◦인 부채꼴로 원뿔을 만들 때, 이 원뿔의 높이는? 240◦ 15 cm ① 4 3cm ② 5 3cm ③ 5 cm ④ 5 5cm ⑤ 7 5cm

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36. 다음 그림의 정사각뿔 O―ABCD에서 밑면은 한 변의 길이가 4 cm인 정사각형이고 옆면의 모서리의 길이가 9 cm일 때, 정사각뿔의 부피는? O A B C D 9 cm 6 cm H ① 12 7cm3 ② 27 7cm3 ③ 36 7cm3 ④ 54 7cm2 ⑤ 108 7cm2 37. 다음 그림에서 AB의 길이는? D B C 12 60◦ 45◦ A ① 2 6 ② 3 6 ③ 4 6 ④ 5 6 ⑤ 6 3 38. 다음 그림에서 xy z 의 값은? A C B 6 2 30◦ 45◦ z x D y ① 2 3 ② 3 3 ③ 4 2 ④ 3 2 ⑤ 6 3 39. 다음 그림의 △ABC에서 ∠B = 30◦, ∠C = 45◦이고 AH ⊥ BC이다. AH = 6 cm일 때, △ABC의 넓이는? A C B 30◦ 45◦ H 6 cm ① (6 3 + 6) cm2 ② (8 2 + 9) cm2 ③ (12 7 + 13) cm2 ④ (16 5 + 15) cm2 ⑤ (18 3 + 18) cm2 40. 모든 모서리의 길이가 12 cm인 정사각뿔의 부피를 구하여라. A B C H D V 12 cm 12 cm 12 cm 41. 다음 그림과 같은 원기둥의 점 A에서 점 P를 지나 점 B까지 가는 최단 거리를 구하여라. A B P 3 9 42. 다음 그림과 같이 정육면체를 잘라내면 그 단면은 정삼각형이 된다. 이 정삼각형의 넓이는? 2 cm ① 4 cm2 ② 2 3 cm2 ③ 5 cm2 ④ 4 3cm2 ⑤ 6 cm2

(30)

43. 좌표평면 위의 세 점 A( 0, 2), B( 8, 0), C( 3, 5)를 꼭지점으로 하는 △ABC의 넓이는? ① 15 ② 15 2 ③ 18 ④ 18 2 ⑤ 15 3 44. 다음 그림은 원뿔의 전개도이다. 이 원뿔의 높이를 구하여라. 12 120◦ 45. 다음 그림은 AB = BC = 12 cm인 직각이등변삼 각형이다. 점 A가 변 BC의 중점 D에 겹치도록 EF 로 접었을 때, BE의 길이를 구하여라. A B C D E F 46. 다음 그림에서 x - y의 값은? A B C 4 3 y 60 x ◦ 30◦ ① 3 3 ② 3 ③ 4 ④ 4 3 ⑤ 5 3

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(해답) 1. ④ [해설] 원뿔의 높이를 h라 하면 h = 62- 32= 3 3 ∴ (원뿔의 부피) = 1 3 × (밑넓이) × (높이) = 1 3 × 9π × 3 3 = 9 3π 2. ② [해설] CH = AH = 6 cm △ABH에서 BH : AH = 1 : 3, 1 : 3 = BH : 6 ∴ BH = 2 3 ∴ BC = BH + HC = 2 3 + 6 ( cm) 3. ① [해설] 세 모서리의 길이가 12, 3, 4이므로 AG = 122+ 32+ 42= 144 + 9 + 16 = 169 = 13 4. ③ [해설] AC = CF = AF = 10 2 즉, △ACF는 한 변의 길이가 10 2인 정삼각형 ∴ △ACF = 3 4 × ( 10 2) 2= 50 3 ( cm2) 5. ④ [해설] 한 변의 길이가 a cm인 정삼각형의 높이를 h 라 하면 3 4 a 2 = 12 3, a2= 12 3 × 4 3 = 48 ∴ a = 48 = 4 3 ∴ h = 3 2 a = 3 2 × 4 3 = 6 ( cm) 6. ② [해설] APG가 지나는 부분의 전개도를 그리면 다음 그림과 같다. APG = 82+ 62= 64 + 36 = 100 = 10 ( cm) A B F G C D P 6 cm 4 cm 4 cm 7. 2 17cm [해설] 밑면의 정사각형의 한 변의 길이가 8 cm이므 로 대각선의 길이는 8 2이다. 따라서, 높이 h는 h = 102-

(

1 2 × 8 2

)

2 = 68 = 2 17 ( cm) 8. ② [해설] ( - 6 - a)2+ ( 3 + 1)2= 4 5 양변을 제곱하면 (-6 - a)2+ 16 = 80 ( - 6 - a)2= 64, - 6 - a = ± 8 ∴ a = 2 ( ∵ a > 0) 9. ② [해설] △ABC = 3 4 × 12 2= 36 3 △ABP = 1 2 × 12 × PQ , △APC = 1 2 × 12 × PR , △6 PQ + 6 PR = 6( PQ + PR) = 36 3 ∴ PQ + PR = 6 3 10. ② [해설] AB = ( - 1 - 3)2+ ( - 1 - 2)2 = 16 + 9 = 25, BC = ( 4 + 1)2+ ( - 2 + 1)2 = 25 + 1 = 26, AC = ( 4 - 3)2+ ( - 2 - 2)2= 1 + 16 = 17 가장 긴 변은 BC, BC2과 AB2+ AC2의 대소를 비교하면 BC2< AB2+ AC2이 성립한다. 따라서, 예각삼각형이다.

(32)

11. ⑤ [해설] AB2= ( 3 + 4)2+ 32= 58, BC2= ( 6 + 4)2+ ( - 4)2= 116, AC2= ( 3 - 6)2+ ( 3 + 4)2= 58 AB2= AC2, AB > 0, AC > 0이므로 AB = AC이고 BC2= AB2+ AC2 ∴ BC의 대각선 ∠A = 90◦인 직각삼각형 ∴ △ABC는 직각이등변삼각형 12. ④ [해설] AO : OD : AD = 1 : 3 : 2 AD = 4이므로 AO = 2, OD = 2 3 BO = OD이므로 BD = 2 × OD = 2 × 2 3 = 4 3 O A B 60◦60◦ D C 4 30◦ 13. ④ [해설] △ABH에서 AB : BH : AH = 2 : 3 : 1이 므로 AH = 4, BH = 4 3 △ACH에서 AH : CH : AC = 1 : 1 : 2이므로 AC = 4 2 즉, x = 4 2, y = 4 3 ∴ xy = 4 2 × 4 3 = 16 6 14. ⑤ [해설] (직사각형의(옆면)의 가로의 길이) = 10π ∴ AB = 82+ ( 10 π)2= 64 + 100π ( cm) A B 8 cm 5 cm 10π 15. 직각이등변삼각형 [해설] AB = { ( - 1 - ( - 3) }2+ { ( 4 - ( - 1) }2= 29 BC = ( - 3 - 2)2+ { ( - 1 - ( - 3) }2= 29 AC = ( - 1 - 2)2+ { ( 4 - ( - 3) }2= 58 . ∴ AB = BC, AB2+ BC2= AC2 ∴ ∠B = 90◦, AB = BC인 직각이등변삼각형 16. ④ [해설] AB = GH = 2, BG = 32+ 42 = 9 + 16 = 25 = 5, AG = 32+ 22+ 42= 29 ∴ △( ABG의 둘레의 길이 ) = 2 + 5 + 29 = 7 + 29 17. 2 3 < a < 10 [해설] a2> 42+ 62, a2> 52, a > 52 ∴ a > 2 13 또, 4 + 6 > a, a < 10 ∴ 2 3 < a < 10 18. 3 5 [해설] AG = 32+ ( 4 + 2)2= 9 + 36 = 45 = 3 5 D A B F G C 4 2 3 19. 18 3cm2 [해설] △AFC는 AF = AC = CF이므로 정삼각 형이다. AF = 62+ 62= 6 2 즉, 한 변의 길이가 6 2인 정삼각형이므로 △AFC = 3 4 × ( 6 2) 2 = 3 4 × 72 = 18 3 ( cm 2 )

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20. 이등변삼각형 [해설] AB = ( - 2 - 3)2+ ( 2 - 4)2= 25 + 4 = 29, BC = ( 1 + 2)2+ ( - 1 - 2)2= 9 + 9 = 18, AC = ( 1 - 3)2+ ( - 1 - 4)2= 4 + 25 = 29 여기서 AB = AC이므로 이등변삼각형이다. 21. 13 [해설] AG가 지나는 부분의 면을 펼치면 다음 그림 과 같다. AG는 △AFG의 빗변의 길이가 된다. ∴ AG = ( 8 + 4)2+ 52= 122+ 52= 169 = 13 A B F G C D 8 4 5 22. ② [해설] AG = 42+ 42+ 32= 16 + 16 + 9 = 41 23. ⑤ [해설] △ABD에서 BD = 62+ 82= 10 △ABD = 1 2 × AB × AD = 1 2 × BD × AH 1 2 × 6 × 8 = 1 2 × 10 × A H ∴ AH = 4.8 24. ③ [해설] AG가 지나는 면을 펼치면 다음 그림과 같다. △ABG에서 AG = 22+ 42= 2 5 B C G H D A 3 1 2 25. ④ [해설] 2x + y - 4 = 0에서 x절편이 2, y절편이 4 이므로 AB = 22+ 42= 2 5 2 × 4 = OH × 2 5 ∴ OH = 4 5 5 26. ④ [해설] △AEM에서 ∠E = 90◦, FM = 4 ∴ EM = 82+ 42= 4 5 ∴ AM = AE2+ EM2= 82+ ( 4 5)2 = 144 = 12 ( cm) 27. ② [해설] 정육각형은 6개의 정삼각형으로 이루어져 있 으므로 한 변의 길이를 x cm라 하면 3 4 x 2× 6 = 54 3, x2= 36, x > 0이므로 x = 6 28. ⑤ [해설] △HBG에서 BH = ( 7 + 5)2+ 52 = 144 + 25 = 169 = 13 B C G H D A 7 5 5 29. ⑤ [해설] 단면인 원의 반지름의 길이는 132- 52= 169 - 25 = 144 = 12 ( cm) ∴ (원의 넓이) = πr2= 144π ( cm2)

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30. ④ [해설] AC가 지나는 면을 펼치면 다음과 같다. △ABC에서 ∠B = 90◦이고 AB = 5 cm, BC = 12 cm이므로 AC = 52+ 122= 25 + 144 = 169 = 13 ( cm) D H E F G C 5 cm 4 cm 4 cm A B 4 cm 31. ③ [해설] 면 ABCD와 면 CGHD를 펼쳐 본다. △BGH에서 BH = 102+ 52= 100 + 25 = 125 = 5 5 A B C G H D 6 4 5 32. ⑤ [해설] BD = 62+ 82= 10 ∴ BH = 5 cm OH = 82- 52= 39 ∴ (부피) = 1 3 × 48 × 39 = 16 39 ( cm 3 ) O B 8 cm 8 cm 6 cm C D A H 33. ① [해설] (단면의 반지름의 길이) = 82- 42= 48 = 4 3 ∴ (단면의 넓이) = ( 4 3)2π = 48π ( cm2) 34. ③ [해설] DM = 3 2 × 4 = 2 3, ∴ DH = 2 3 × 2 3 = 4 3 3 AH = 42-

(

4 33

)

2 = 4 63 , △BCD = 3 4 × 4 2= 4 3 ∴ (정사면체의 부피) = 1 3 × 4 3 × 4 6 3 = 16 2 3 ( cm 3) A B C M D H 4 cm 35. ④ [해설] 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm이라 하 면 2πr = 2 × 15 × π × 240◦ 360◦ ∴ r = 10 ∴ h = 152- 102= 225 - 100 = 125 = 5 5 ( cm) 36. ③ [해설] AC = 2 × AB = 6 2, AH = 1 2 AC = 3 2 △OAH는 직각삼각형 ∴ OA2= OH2+ AH2 OH2= OA2- AH2= 81 - 18 = 63 ∴ OH = 3 7 ∴ V = 13 × 62× 3 7 = 36 7 ( cm3)

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37. ② [해설] 직각삼각형 BCD에서 ∠D = 60◦이므로 CD : BC : BD = 1 : 3 : 2 따라서, CD = 6, BC = 6 3이다. 직각삼각형 ABC에서 ∠ACB = 45◦이므로 AC : AB : BC = 1 : 1 : 2이다. ∴ BC : AB = 2 : 1, 6 3 : x = 2 : 1이므로 x = 3 6 38. ② [해설] BD : AB = 1 : 2이므로 x : 6 2 = 1 : 2 ∴ x = 6 또 △ACD에서 세 변의 길이의 비 AD : CD : AC = 1 : 3 : 2이므로 AD = x = 6에서 6 : y = 1 : 3 ∴ y = 6 3 AD : AC = 1 : 2이므로 6 : z = 1 : 2 ∴ z = 12 xy z = 6 × 6 3 12 = 3 3 39. ⑤ [해설] AH : BH = 1 : 3이므로 BH = 6 3, AH : HC = 1 : 1이므로 HC = 6, BC = BH + HC = 6 3 + 6 ∴ △ABC = 1 2 × 6 × ( 6 3 + 6) = 18 3 + 18 ( cm 2 ) 40. 288 2cm3 [해설] VH = h cm라 하면 AC = 12 2, CH = 1 2 AC = 6 2 ∴ h = 122- ( 6 2)2= 6 2 ∴ V = 1 3 × 12 2 × 6 2 = 288 2 ( cm3) 41. 81 + 36π2 [해설] A에서 P를 지나 B까지 가는 부분의 면을 펼치면 다음 그림과 같다. ∴ AB = 92+ ( 6 π)2= 81 + 36π2 A B 9 2π × 3 42. ② [해설] 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 이것 은 한 변의 길이가 2인 정사각형의 대각선의 길이와 같으므로 a = 2 2 ∴ (정삼각형의 넓이) = 43 × a2 = 43 × 8 = 2 3 ( cm2) 43. ① [해설] AB = 82+ ( - 2)2= 64 + 4 = 68, BC = ( 3 - 8)2+ 52= 52+ 52= 50, AC = 32+ 32= 18 세 변의 길이에서 AB2= BC2+ AC2이 성립하므로 △ABC는 빗변이 AB이고 ∠C = 90◦인 직각삼각 형이다. ∴ △ABC = 1 2 × 50 × 18 = 1 2 × 5 2 × 3 2 = 15 44. 8 2 [해설] 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r라 하면 2πr = 2π × 9 × 120 ◦ 360◦ ∴ r = 3 ∴ (원뿔의 높이) = 122- 42= 128 = 8 2 45. 4.5 ( cm) [해설] BE = x라 하면 AE = 12 - x = ED, BD = 6 (12 - x)2= x2+ 62, 144 - 24x + x2= x2+ 36, 24x = 108 ∴ x = 92 = 4.5 ( cm)

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46. ③ [해설] AB : BC = 1 : 3이므로 y : 4 3 = 1 : 3 ∴ y = 4 BC : AC = 3 : 2이므로 4 3 : x = 3 : 2 ∴ x = 8 ∴ x - y = 8 - 4 = 4

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상급문제

작성자 : 장지경

1. 한 모서리의 길이가 6 cm인 정사면체의 부피는? ① 4 6cm3 ② 9 3 cm3 ③ 12 3 cm3 ④ 16 3cm3 ⑤ 18 2cm3 2. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 5 cm인 구에 높 이가 9 cm인 원뿔이 내접하고 있다. 이 원뿔의 겉넓 이를 구하여라. 9 cm 5 cm H O 3. AB = 9 cm, AD = 15 cm인 직사각형 ABCD에 서 꼭지점 A를 지나는 직선 AQ를 접어 꼭지점 D를 변 BC 위의 점 P에 겹치게 할 때, PQ의 길이는? A B P C Q D 15 cm 9 cm ① 3 cm ② 4 cm ③ 4.5 cm ④ 5 cm ⑤ 6 cm 4. 다음 그림과 같은 원뿔의 전개도로 원뿔을 만들 때, 원뿔의 부피를 구하여라. 120◦ 6 cm 5. 다음 그림과 같은 직육면체의 꼭지점 E에서 대각 선 AG에 내린 수선의 발을 P라 할 때, EP의 길 이는? D B A F E G H C 8 cm 6 cm 10 cm P ① 3 cm ② 4 cm ③ 5 cm ④ 4 2cm ⑤ 5 2 cm 6. 다음 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 꼭지점 B 를 지나는 직선 BP를 접어 꼭지점 C가 변 AD 위에 있는 점 Q에 오도록 만들었다. 이 때, PQ의 길이를 구하여라. A D C B Q 10 8 P

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(해답) 1. ⑤ [해설] MD는 △BCD의 높이이므로 MD = 3 2 × 6 = 3 3 점 H는 △BCD의 무게중심이므로 DH = 2 3 × MD = 2 3 × 3 3 = 2 3 ( cm) △AHD에서 AH = 62- ( 2 3)2= 36 - 12 = 24 = 2 6 또 △BCD의 넓이는 43 × 62= 3 4 × 36 = 9 3 따라서, 정사면체의 부피는 1 3 × 9 3 × 2 6 = 6 18 = 18 2 ( cm 3) A B D C M H 6 cm 6 cm h 6 cm 2. ( 9 10 + 9)π ( cm2 ) [해설] 밑변의 반지름 : r, OH = 4이므로 r = 52- 42= 3이고 원뿔의 모선의 길이 a a = 32+ 92= 3 10 (옆면 부채꼴의 호의 길이) = (밑면의 원주) = 6π ∴ (옆넓이) = 12 × 3 10 × 6π = 9 10 π (밑면의 넓이) = 32π = 9π ∴ (겉넓이) = ( 9 10 + 9)π ( cm2) l 3 10 cm 3 cm 3. ④ [해설] AD = AP = 15 cm이므로 △ABP에서 BP = 152- 92 ∴ BP = 12 cm ∴ PC = 3 cm PQ = x로 놓으면 DQ = x, QC = ( 9 - x) △PQC에서 피타고라스의 정리를 이용하면 x2= 32+ ( 9 - x)2, x2= 9 + 81 - 18x + x2 ∴ x = 5 ( cm) 4. 16 2 3 π [해설] 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 (원뿔의 밑면의 둘레의 길이) = (부채꼴의 호의 길이) 이므로 2πr = 2π × 6 × 120◦ 360◦ ∴ r = 2 h = 62- 22= 32 = 4 2 ( cm) V = 1 3 × 4π × 4 2 = 16 2 3 π ( cm 3) r 6 cm h 5. ⑤ [해설] EG를 그으면 EG = 82+ 62= 10, △AEG는 ∠E = 90◦인 직각삼각형 AG = 82+ 62+ 102= 10 2 △AEG에서 AE × EG = AG × EP 이므로 10 × 10 = 10 2 × EP ∴ EP = 5 2 ( cm) 6. 5 [해설] BQ = BC = 10 △ABQ에서 AQ = 102- 82= 36 = 6 DQ = 10 - 6 = 4 PQ = x = PC, DP = 8 - x △PQD의 세 변의 길이가 각각 4, 8 - x, x이므로 x2= 42+ ( 8 - x)2, 16x = 80, ∴ x = 5

(39)

하급문제

작성자 : 장지경

1. 다음 그림에서 OC = 10 2, OH = 10일 때, 현 AB의 길이는? O A H B C ① 18 ② 19 ③ 20 ④ 21 ⑤ 22 2. 다음 그림에서 ⁀ = CDAB ⁀일 때, 다음 중 옳지 않 은 것은? A O D C B ① ∠AOB = ∠COD ② AB = CD ③ ∠AOB = ∠BOC ④ △AOB ≡ △COD ⑤ AO = CO 3. 다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때, AD의 길이는? A B C D P x cm 5 cm 4 cm 11 cm ① 10 cm ② 9 cm ③ 8 cm ④ 7 cm ⑤ 6 cm 4. 다음 그림의 원 O에서 OC ⊥ AB이고 AH = 8 cm, HC = 4 cm일 때, OB의 길이를 구하 여라. O A 8 cmH B x cm 4 cm C 5. 다음 그림의 □ABCD가 원에 내접하도록 x의 값 을 정하면? A B C D P 6 2 3 x ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10 6. 다음 중 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은? ① A B C D P 5 4 4 3 ② P B C D 8 5 2 A ③ A B C D P 10 4 5 3 ④ A B C D P 6 4 7 3 ⑤ B A D C P 5 5 8 3

(40)

7. 다음 그림에서 OM ⊥ AB이고 OA = 8, OM = 6일 때, AB의 값은? O B A 6 M 8 ① 10 ② 12 ③ 14 ④ 2 7 ⑤ 4 7 8. 다음 그림에서 AB⁀의 길이를 구하여라. A B C O D 6 cm x 40◦ 120◦ ※ 다음 그림에서 점 T는 원 O의 접점이다. OA = 10, AT = 5 3이다. 물음에 답하여라. O A T 10 5 3 9. 이 원의 반지름의 길이는? ① 3 ② 3 3 ③ 4 3 ④ 5 ⑤ 5 3 10. ∠A의 크기는? ① 30◦ ② 35 ③ 45◦ ④ 55◦ ⑤ 60◦ 11. 다음 그림에서 PA, PB는 원 O의 접선이다. ∠AOB = 135◦일 때, ∠APB의 크기는? A P B O 135◦ ① 40◦ ② 45 ③ 47◦ ④ 48◦ ⑤ 50◦ 12. 다음 중 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있지 않은 것은? ① A D B C 55◦ 40◦ 85◦ ② A D B 98 C ◦ 82◦ ③ D A B C 5 4 4 3 ④ A D B 50 C ◦ 30◦ 80 ◦ ⑤ A B C D 13. 다음 그림에서 현 AB의 길이는? O A B D C 4 cm N 3 cm ① 5 cm ② 6 cm ③ 7 cm ④ 8 cm ⑤ 9 cm

(41)

14. 반지름의 길이가 10인 원 O가 있다. 이 원의 중심 에서 20만큼 떨어져 있는 점 P에서 이 원 O에 그은 접선 PT의 길이는? T P O x 20 10 ① 10 ② 10 2 ③ 12 ④ 10 3 ⑤ 15 15. 다음 그림에서 점 A, B는 원 O의 접점이다. 이 때, PB의 길이를 구하여라. A P B O 12 16. 다음 그림에서 CD는 원 O의 지름이고, OD = 6, PA = 4, PB = 5일 때, OP의 길이는? A B C D O P x 4 5 6 ① 2 ② 2.4 ③ 3 ④ 3.5 ⑤ 4 17. 다음 중 그림에 대한 설명으로 옳은 것은? A O D C B 30◦ 6060◦◦ 30◦ ① 2 AB = CD ② 2 △AOB = △COD ③ 2 AB⁀ = CD⁀ ④ OA = 2 AB ⑤ 2 AB = 2 OB 18. 다음 그림에서 직선 AT는 원 O의 접선이고 점 T는 접점이다. ∠OAT = 35◦일 때, ∠AOT의 크기는? O A T 35◦ ① 35◦ ② 45 ③ 55◦ ④ 65◦ ⑤ 75◦ 19. 다음은 한 원에서 크기가 같은 두 중심각에 대한 현의 길이가 같음을 증명하는 과정이다. 안에 알맞은 것을 써 넣어라. A B C D O [가정] ∠AOB = ∠COD [결론] AB = CD [증명] △AOB와 △COD에서 OA = OC, OB = OD이고 ∠AOB = ∠COD이므로 △AOB ≡ ⑴ ( SAS 합동) ∴ AB = ⑵ 20. 다음 그림에서 PT는 원 O의 접선이고 AB는 지름이다. PT = 6 cm, PA = 3 cm일 때, 원 O의 원 의 둘레의 길이는? O A T P B 6 cm 3 cm ① 9 cm ② 18 cm ③ 9π cm ④ 18π cm ⑤ 81π cm

(42)

21. 다음 그림에서 AB = 8, OM = 3, OM ⊥ AB 일 때, 이 원의 반지름의 길이는? O B A M 3 ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 22. 다음 그림에서 점 A, B, C는 원 O의 접점이다. 이 때, DE의 길이를 구하여라. A E B D O C 6 4 23. 다음 그림에서 호 AB는 원 O의 일부분이다. AD = BD = 4 cm, CD = 2 cm, CD ⊥ AB일 때, 원 O의 반지름의 길이는? 4 cm 4 cm 2 cm A D B C ① 5 cm ② 5 2cm ③ 4 3cm ④ 6 cm ⑤ 5 3cm 24. 다음 그림과 같이 직선 l 과 원 O, O'이 점 T에서 접하고, PA = 6 cm, AB = 4 cm, PC = 4 cm일 때, CD의 길이는? A B C D P T O l O' x cm 4 cm 4 cm 6 cm ① 6 cm ② 8 cm ③ 10 cm ④ 11 cm ⑤ 13 cm 25. 다음 그림에서 PA와 PB는 원 O의 접선이다. 다음 설명 중 옳지 않은 것은? A P B O ① PA = PB ② PO = PB

③ ∠PAO = 90◦ ④ ∠APO = ∠BPO

⑤ AO = BO 26. 다음 그림에서 점 P는 두 현 AB, CD의 연장선 이 만나는 점이다. PA = 3 cm, PC = 4 cm, CD = 6 cm일 때, AB의 길이는? A B C D P 3 cm 6 cm 4 cm x cm ① 6 ② 8 ③ 10 ④ 31 3 ⑤ 493

(43)

27. 다음 그림에서 AH = 4 cm일 때, BH의 길이는? O A H B ① 1 cm ② 1.5 cm ③ 2 cm ④ 3 cm ⑤ 4 cm 28. 다음 그림에서 PT가 원 O의 접선이고, AB는 지름이다. 이 때, 원 O의 반지름의 길이는? A B P T O 2 4 x ① 3 ② 3.2 ③ 3.5 ④ 3.6 ⑤ 4 29. 다음 그림에서 PT는 원 O의 접선이고, PT = 4 cm, PA = 2 cm일 때, 원 O의 반지름의 길 이는? A B P T O 2 cm 4 cm ① 2 cm ② 2.5 cm ③ 3 cm ④ 3.5 cm ⑤ 4 cm 30. 다음 그림에서 AT가 원 O의 접선이고 ∠BAT = 80◦, ∠ABC = 55◦일 때, ∠BAC의 크 기를 구하여라. B C A T O x 55◦ 80◦ 31. 다음 그림에서 직선 AT는 원 O의 접선이고 T 는 접점일 때, ∠AOT의 크기는? O A T 30◦ ① 40◦ ② 50 ③ 60◦ ④ 70◦ ⑤ 80◦ 32. 다음 그림에서 OB의 길이는? A B O 4 cm 6 cm ① 5 cm ② 5.5 cm ③ 6 cm ④ 6.5 cm ⑤ 7 cm 33. 다음 그림에서 현 AB의 길이는? O A H B 3 cm 5 cm ① 5 cm ② 6 cm ③ 7 cm ④ 8 cm ⑤ 8 2 cm

(44)

(해답) 1. ③ [해설] CO = AO = 10 2이므로 AH = ( 10 2)2- 102= 200 - 100 = 100 = 10 AH = BH이므로 AB = 2 AH = 2 × 10 = 20 2. ③

[해설] △AOB ≡ △COD( SAS 합동)이므로 ∠AOB = ∠COD, AO = CO, BO = DO

∴ AB = CD 3. ④ [해설] 5(5 + x) = 4(4 + 11) ∴ x = 7 ( cm) 4. 10 cm [해설] OC = x로 놓으면 OH = x - 4 AH = HB이므로 x2= 82+ ( x - 4)2 x2= 64 + x2- 8x + 16, 8x = 80 ∴ x = 10 cm 5. ④ [해설] □ABCD가 원에 내접하려면 PA ⋅ PC = PB ⋅ PD가 성립하여야 한다. 3 × 6 = 2 × x ∴ x = 9 6. ③ [해설] ① 5 × 3 ≠ 4 × 4 ② 8 × 2 ≠ 5 × 5 ③ 10 × 4 = 8 × 5 ④ 4 × 10 ≠ 3 × 10 ⑤ 5 × 10 ≠ 3 × 11 7. ⑤ [해설] AM = 82- 62= 28 = 2 7 ∴ AB = 2 × AM = 4 7 8. 2 cm [해설] 한 원에서 중심각의 크기와 호의 길이는 비례 하므로 x : 6 = 40 : 120 ∴ x = 2 ∴ AB⁀ = 2 cm 9. ④ [해설] OT ⊥ AT이므로 △AOT는 직각삼각형이 다 . ∴ OT = 102- ( 5 3)2= 100 - 75 = 25 = 5 10. ① [해설] 직각삼각형 AOT의 세 변의 길이의 비가 OT : AT : AO = 5 : 5 3 : 10 = 1 : 3 : 2이다. ∴ ∠A = 30◦, ∠O = 60◦ 11. ② [해설] 접선과 반지름은 수직이므로 ∠PAO = ∠PBO = 90◦ 따라서, □APBO의 내각의 합은 360◦이므로 ∠APB = 360◦- ( 90◦+ 90◦+ 135◦) = 360◦- 315◦= 45◦ 12. ③ 13. ② [해설] 한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 현 의 길이는 같으므로 AB = CD, CN = DN = 3 cm, 즉 CD = 6 cm ∴ AB = 6 cm 14. ④ [해설] OT = 10, ∠PTO = 90◦, △PTO의 세 변 의 길이가 각각 x, 20, 10이므로 x = 202- 102= 400 - 100 = 300 = 10 3 15. 12 [해설] PA, PB가 원 밖의 한 점 P에서 그은 원 O의 접선이므로 그 길이가 같다. ∴ PA = PB = 12 16. ⑤ [해설] PA ⋅ PB = PC ⋅ PD가 성립하므로 4 × 5 = ( 6 - x)( 6 + x), 20 = 36 - x2, x2= 16 ∴ x = 4

(45)

17. ③ [해설] ∠AOB : ∠COD = 30◦: 60◦= 1 : 2이므로 AB ⁀ : CD⁀ = 1 : 2 ∴ 2 AB⁀ = CD⁀ 18. ③ [해설] 반지름 OT와 접선 AT는 접점 T에서 수직이 므로 △AOT는 ∠ATO = 90인 직각삼각형이다. ∴ ∠AOT = 180◦- ( 35◦+ 90◦) = 180◦- 125◦= 55◦ 19. ⑴ △COD ⑵ CD

[해설] △AOB ≡ △COD( SAS 합동)이므로 AB = CD 20. ③ [해설] AB = x로 놓으면 62= 3 × ( 3 + x) ∴ x = 9 ( cm) ∴ (원의 둘레의 길이) = 2πr = 9π ( cm) 21. ③ [해설] △AMO에서 AM = 4, OM = 3 ∴ AO = 42+ 32= 16 + 9 = 25 = 5 22. 10 [해설] AD = CD = 4, BE = CE = 6 ∴ DE = CD + CE = 4 + 6 = 10 23. ① [해설] 원의 반지름을 x cm라 하면 x2= 42+ ( x - 2)2, 4x = 20 ∴ x = 5 24. ④ [해설] 6 × ( 6 + 4) = 4 × ( 4 + x) ∴ x = 11 (cm) 25. ② [해설] △PAO ≡ △PBO( RHS 합동) 26. ④ [해설] PA ⋅ PB = PC ⋅ PD이므로 3 × ( 3 + x) = 4 × ( 4 + 6), 9 + 3x = 40, 3x = 31 ∴ x = 31 3 27. ⑤

[해설] 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선 OH는

현 AB를 수직이등분하므로 AH = BH이다. ∴ BH = 4 cm 28. ① [해설] PT2= PA ⋅ PB가 성립해야 하므로 42= 2 × ( 2 + 2x), 16 = 4 + 4x, 4x = 12 ∴ x = 3 29. ③ [해설] 반지름 길이를 x로 놓으면 42= 2 × ( 2 + 2x), 16 = 4 + 4x ∴ x = 3 ( cm) 30. 45◦ [해설] ∠BAT = ∠ACB = 80◦ ∠x = 180◦- ( 55◦+ 80◦) = 45◦ ∴ ∠x = 45◦ 31. ③ [해설] 직선 AT는 원 O의 접선이므로 ∠ATO = 90◦ ∴ ∠AOT = 90◦ - 30◦= 60◦ 32. ④ [해설] OB = x cm라 하면 x2= 62+ ( x - 4)2, 8x = 52 ∴ x = 13 2 = 6.5 33. ④ [해설] △OBH가 직각삼각형이므로 BH = 52- 32= 25 - 9 = 16 = 4 ( cm) ∴ AB = 2 BH = 2×4 = 8 ( cm)

(46)

중급문제

작성자 : 장지경

1. 다음 그림에서 △ABC는 원에 내접하고 AE는 ∠A의 이등분선이다. AB = 8 cm, AC = 6 cm, DE = 2 cm일 때, AD의 길이는? A B E C D 2 cm 6 cm 8 cm ① 4 cm ② 5 cm ③ 6 cm ④ 7 cm ⑤ 8 cm 2. 다음 그림과 같이 반원의 호 AB 위의 한 점 T에서 그은 접선이 지름 AB의 양 끝점에서 그은 접선과 만나 는 점을 각각 C, D라 할 때, 지름 AB의 길이는? C T D B O A 7 cm 5 cm • ① 2 35 cm ② 4 10 cm ③ 3 31 cm ④ 2 41 cm ⑤ 6 2cm 3. 다음 그림과 같은 원의 중심에서 두 현 AB, AC 까지의 거리가 같고, ∠A = 60◦, AB = 7일 때, BC의 길이는? A B C O 60◦ 7 ① 6 ② 7 ③ 7.2 ④ 7.8 ⑤ 8

4. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름, PD = OD, ∠OPD = 15◦, ⁀ = 3 cm일 때, ACBD ⁀의 길이는? A B C D O 3 cm 15◦ P ① 4 cm ② 5 cm ③ 6 cm ④ 8 cm ⑤ 9 cm 5. 다음 그림에서 OH ⊥ AB이고, 원 O의 반지름의 길이가 15이고, OH = 12일 때, AB의 길이는? O A B 12 H 15 ① 9 ② 13 ③ 15 ④ 18 ⑤ 20 6. 다음 그림과 같이 △ABC는 원 O에 외접한다. 이 때, AD의 길이는? A C B F E D 8 9 6 O ① 1.8 ② 2 ③ 2.2 ④ 2.5⑤ 3

(47)

7. 다음 그림에서 PT는 원의 접선이고 PA = AQ = BQ, CQ = 3, TQ = 9일 때, PT 의 길이를 구하여라. A B C P T Q 3 9 8. 다음 그림과 같은 원 O의 외접사각형 ABCD에서 AB = 6 cm, BC = 7 cm, CD = 5 cm일 때, AD 의 길이는? D C B A O 7 cm 6 cm 5 cm ① 2 cm ② 3 cm ③ 4 cm ④ 5 cm ⑤ 6 cm 9. 다음 그림에서 ⁀의 길이는?AB 6 A B O C 30◦ ① π ② 2π ③ 2 ④ 3 ⑤ 3π 10. 다음 그림에서 □ ABCD는 원 O에 외접한다. 이 때, CD의 길이는? A B C D O 10 14 8 ① 12 ② 13 ③ 14 ④ 15 ⑤ 16 11. 다음 그림에서 ∠A = 50◦ 일 때, ∠B의 크기는? A B C O M N 50◦ ① 50◦ ② 55 ③ 60◦ ④ 65◦ ⑤ 70◦ 12. 다음 그림에서 현 CD의 길이는? O C N D M B A 6 6 10 ① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16

(48)

13. 다음 그림에서 AB = 20 cm, CD = 16 cm일 때, 선분 CD의 중점 M에서 선분 AB와 CD가 만난 다. 이 때, 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있기 위한 선분 AM의 길이를 구하여라. A B C D M 20 cm 16 cm 14. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 3 cm인 원 O의 접선의 길이가 3 cm일 때, x의 값은? O P A x 3 cm 3 cm ① 1 cm ② ( 2 - 1) cm ③ 3( 2 - 1) cm ④ 2( 2 - 1) cm ⑤ (3 2 - 1) cm 15. 다음 그림에서 직선 CD는 원 O의 접선이고 지름 AB의 길이는 10 cm이고 ∠BAC = 30◦일 때, BD 의 길이는? C A B D O 30◦ 10 cm ① 5 3cm ② 5 cm ③ 4 3 cm ④ 4 cm ⑤ 3 3 cm 16. 다음 그림에서 원 O는 △ABC의 외접원이고 반지 름의 길이는 10 cm이다. ⁀ : ACAB ⁀ : BC⁀ = 3 : 4 : 5일 때, △AOC의 넓이는? A B C 10 cm O ① 25 2cm2 ② 25 3cm2 50 3 3 cm 2 ④ 50 2cm2 ⑤ 50 3cm2 17. 다음 그림에서 □ABCD는 원 O에 외접하고 ∠B = 90◦이다. 변 AD와 원 O와의 접점을 P라 하고 BC = 15 cm, DC = 13 cm, 원 O의 반지름의 길이가 5 cm일 때, PD의 길이는? A B C D O 5 cm 15 cm 13 cm P ① 3 cm ② 4 cm ③ 5 cm ④ 6 cm ⑤ 7 cm 18. 다음 그림에서 OB = 6 cm, OH = 4 cm이고 AB ⊥ CD일 때, CD의 값을 구하여라. O C D H A B x 6 cm 4 cm

(49)

19. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름이고 AD, BC는 원 O의 접선이다. AD = 4 cm, BC = 10 cm 일 때, AO의 길이를 구하여라. D B C O A 4 cm 10 cm 20. 다음 그림에서 AC ꁚ OD, ∠BOD = 30◦, BD ⁀ = 3 cm일 때, AC⁀의 길이를 구하여라. A 30◦ B O D 3 cm C 21. 다음 그림에서 AB = BC일 때, 사각형 ABCO가 마름모가 되기 위한 ∠ABC의 크기는? A C B O ① 100◦ ② 112 ③ 115◦ ④ 118◦ ⑤ 120◦ 22. 다음 그림에서 □ABCD는 원 O에 외접한다. 이 때, CD의 길이는? D C B A O 14 8 12 x ① 6 ② 10 ③ 14 ④ 16 ⑤ 18 23. 다음 그림에서 PT는 원 O의 접선이고, AB는 원 O의 지름이다. 이 때, PA의 길이는? O A T P 30◦ 4 B ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 3.5 ⑤ 4 24. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름이고 점 C는 접점이다. BD ⊥ CD이고, OA = 4 cm, BD = 6 cm 일 때, CD의 길이는? A B C D O 4 cm 6 cm ① 5 cm ② 3 3cm ③ 4 3cm ④ 2 3cm ⑤ 3 2cm 25. 다음 그림에서 PT는 원 O의 접선이다. 이 때, △OPT의 넓이는? O P T 10 8 ① 18 ② 20 ③ 24 ④ 28 ⑤ 30

수치

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참조

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