7. 다음 그림에서 OM ⊥ AB이고 OA = 8,
14. 반지름의 길이가 10인 원 O가 있다. 이 원의 중심
21. 다음 그림에서 AB = 8, OM = 3, OM ⊥ AB
27. 다음 그림에서 AH = 4 cm일 때, BH의 길이는?
O
A H B
① 1 cm ② 1.5 cm ③ 2 cm ④ 3 cm ⑤ 4 cm
28. 다음 그림에서 PT가 원 O의 접선이고, AB는 지름이다. 이 때, 원 O의 반지름의 길이는?
A
B
P T
O 2
4 x
① 3 ② 3.2 ③ 3.5 ④ 3.6 ⑤ 4
29. 다음 그림에서 PT는 원 O의 접선이고, PT = 4 cm, PA = 2 cm일 때, 원 O의 반지름의 길 이는?
A
B
P T
O 2 cm
4 cm
① 2 cm ② 2.5 cm ③ 3 cm ④ 3.5 cm ⑤ 4 cm
30. 다음 그림에서 AT가 원 O의 접선이고
∠BAT = 80◦, ∠ABC = 55◦일 때, ∠BAC의 크 기를 구하여라.
B C
A T
O x 55◦
80◦
31. 다음 그림에서 직선 AT는 원 O의 접선이고 T 는 접점일 때, ∠AOT의 크기는?
O
A 30◦ T
① 40◦ ② 50◦ ③ 60◦ ④ 70◦ ⑤ 80◦
32. 다음 그림에서 OB의 길이는?
A B
O
4 cm 6 cm
① 5 cm ② 5.5 cm ③ 6 cm ④ 6.5 cm ⑤ 7 cm
33. 다음 그림에서 현 AB의 길이는?
O
A H B
3 cm 5 cm
① 5 cm ② 6 cm ③ 7 cm ④ 8 cm ⑤ 8 2 cm
(해답) 1. ③
[해설] CO = AO = 10 2이므로
AH = ( 10 2)2- 102= 200 - 100 = 100 = 10 AH = BH이므로 AB = 2 AH = 2 × 10 = 20
2. ③
[해설] △AOB ≡ △COD( SAS 합동)이므로
∠AOB = ∠COD, AO = CO, BO = DO
∴ AB = CD
3. ④
[해설] 5(5 + x) = 4(4 + 11) ∴ x = 7 ( cm)
4. 10 cm
[해설] OC = x로 놓으면 OH = x - 4 AH = HB이므로 x2= 82+ ( x - 4)2
x2= 64 + x2- 8x + 16, 8x = 80 ∴ x = 10 cm
5. ④
[해설] □ABCD가 원에 내접하려면
PA ⋅ PC = PB ⋅ PD가 성립하여야 한다.
3 × 6 = 2 × x ∴ x = 9
6. ③
[해설] ① 5 × 3 ≠ 4 × 4 ② 8 × 2 ≠ 5 × 5 ③ 10 × 4 = 8 × 5 ④ 4 × 10 ≠ 3 × 10 ⑤ 5 × 10 ≠ 3 × 11
7. ⑤
[해설] AM = 82- 62= 28 = 2 7
∴ AB = 2 × AM = 4 7
8. 2 cm
[해설] 한 원에서 중심각의 크기와 호의 길이는 비례 하므로 x : 6 = 40 : 120 ∴ x = 2
∴ AB⁀ = 2 cm
9. ④
[해설] OT ⊥ AT이므로 △AOT는 직각삼각형이
다 .
∴ OT = 102- ( 5 3)2= 100 - 75 = 25 = 5
10. ①
[해설] 직각삼각형 AOT의 세 변의 길이의 비가 OT : AT : AO = 5 : 5 3 : 10 = 1 : 3 : 2이다.
∴ ∠A = 30◦, ∠O = 60◦
11. ②
[해설] 접선과 반지름은 수직이므로
∠PAO = ∠PBO = 90◦
따라서, □APBO의 내각의 합은 360◦이므로
∠APB = 360◦- ( 90◦+ 90◦+ 135◦)
= 360◦- 315◦= 45◦
12. ③
13. ②
[해설] 한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 현 의 길이는 같으므로
AB = CD, CN = DN = 3 cm, 즉 CD = 6 cm
∴ AB = 6 cm
14. ④
[해설] OT = 10, ∠PTO = 90◦, △PTO의 세 변
의 길이가 각각 x, 20, 10이므로
x = 202- 102= 400 - 100 = 300 = 10 3
15. 12
[해설] PA, PB가 원 밖의 한 점 P에서 그은 원
O의 접선이므로 그 길이가 같다.
∴ PA = PB = 12
16. ⑤
[해설] PA ⋅ PB = PC ⋅ PD가 성립하므로 4 × 5 = ( 6 - x)( 6 + x), 20 = 36 - x2, x2= 16
∴ x = 4
17. ③
[해설] ∠AOB : ∠COD = 30◦: 60◦= 1 : 2이므로
⁀ : CDAB ⁀ = 1 : 2 ∴ 2 AB⁀ = CD⁀
18. ③
[해설] 반지름 OT와 접선 AT는 접점 T에서 수직이 므로 △AOT는 ∠ATO = 90◦인 직각삼각형이다.
∴ ∠AOT = 180◦- ( 35◦+ 90◦) = 180◦- 125◦= 55◦
19. ⑴ △COD ⑵ CD
[해설] △AOB ≡ △COD( SAS 합동)이므로
AB = CD
20. ③
[해설] AB = x로 놓으면 62= 3 × ( 3 + x)
∴ x = 9 ( cm)
∴ (원의 둘레의 길이) = 2πr = 9π ( cm)
21. ③
[해설] △AMO에서 AM = 4, OM = 3
∴ AO = 42+ 32= 16 + 9 = 25 = 5
22. 10
[해설] AD = CD = 4, BE = CE = 6
∴ DE = CD + CE = 4 + 6 = 10
23. ①
[해설] 원의 반지름을 x cm라 하면
x2= 42+ ( x - 2)2, 4x = 20 ∴ x = 5
24. ④
[해설] 6 × ( 6 + 4) = 4 × ( 4 + x) ∴ x = 11 (cm)
25. ②
[해설] △PAO ≡ △PBO( RHS 합동)
26. ④
[해설] PA ⋅ PB = PC ⋅ PD이므로
3 × ( 3 + x) = 4 × ( 4 + 6), 9 + 3x = 40, 3x = 31
∴ x = 31 3
27. ⑤
[해설] 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선 OH는
현 AB를 수직이등분하므로 AH = BH이다.
∴ BH = 4 cm
28. ①
[해설] PT2= PA ⋅ PB가 성립해야 하므로 42= 2 × ( 2 + 2x), 16 = 4 + 4x, 4x = 12 ∴ x = 3
29. ③
[해설] 반지름 길이를 x로 놓으면 42= 2 × ( 2 + 2x), 16 = 4 + 4x ∴ x = 3 ( cm)
30. 45◦
[해설] ∠BAT = ∠ACB = 80◦
∠x = 180◦- ( 55◦+ 80◦) = 45◦ ∴ ∠x = 45◦
31. ③
[해설] 직선 AT는 원 O의 접선이므로
∠ATO = 90◦ ∴ ∠AOT = 90◦- 30◦= 60◦
32. ④
[해설] OB = x cm라 하면 x2= 62+ ( x - 4)2, 8x = 52 ∴ x = 13
2 = 6.5
33. ④
[해설] △OBH가 직각삼각형이므로
BH = 52- 32= 25 - 9 = 16 = 4 ( cm)
∴ AB = 2 BH = 2×4 = 8 ( cm)
중급문제 작성자 : 장지경
1. 다음 그림에서 △ABC는 원에 내접하고 AE는
∠A의 이등분선이다. AB = 8 cm, AC = 6 cm, DE = 2 cm일 때, AD의 길이는?
A
B E
D C 2 cm 8 cm 6 cm
① 4 cm ② 5 cm ③ 6 cm ④ 7 cm ⑤ 8 cm
2. 다음 그림과 같이 반원의 호 AB 위의 한 점 T에서 그은 접선이 지름 AB의 양 끝점에서 그은 접선과 만나 는 점을 각각 C, D라 할 때, 지름 AB의 길이는?
C
T D
B O
A
7 cm 5 cm
•
① 2 35 cm ② 4 10 cm ③ 3 31 cm ④ 2 41 cm ⑤ 6 2cm
3. 다음 그림과 같은 원의 중심에서 두 현 AB, AC 까지의 거리가 같고, ∠A = 60◦, AB = 7일 때,
BC의 길이는?
A
B C
O
60◦ 7
① 6 ② 7 ③ 7.2 ④ 7.8 ⑤ 8
4. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름, PD = OD,
∠OPD = 15◦, ⁀ = 3 cm일 때, ACBD ⁀의 길이는?
A B
D C O
3 cm 15◦ P
① 4 cm ② 5 cm ③ 6 cm ④ 8 cm ⑤ 9 cm
5. 다음 그림에서 OH ⊥ AB이고, 원 O의 반지름의 길이가 15이고, OH = 12일 때, AB의 길이는?
O
B A
12 H 15
① 9 ② 13 ③ 15 ④ 18 ⑤ 20
6. 다음 그림과 같이 △ABC는 원 O에 외접한다. 이 때, AD의 길이는?
A
B C
F
E
D 8
9 6
O
① 1.8 ② 2 ③ 2.2 ④ 2.5⑤ 3
7. 다음 그림에서 PT는 원의 접선이고 PA = AQ = BQ, CQ = 3, TQ = 9일 때, PT 의 길이를 구하여라.
A B C
P T
3 Q 9
8. 다음 그림과 같은 원 O의 외접사각형 ABCD에서 AB = 6 cm, BC = 7 cm, CD = 5 cm일 때, AD 의 길이는?
D
B C A
O
7 cm
6 cm 5 cm
① 2 cm ② 3 cm ③ 4 cm ④ 5 cm ⑤ 6 cm
9. 다음 그림에서 ⁀의 길이는?AB
6 A
B O
C
30◦
① π ② 2π ③ 2 ④ 3 ⑤ 3π
10. 다음 그림에서 □ ABCD는 원 O에 외접한다. 이 때, CD의 길이는?
A
B C
D
10 O
14 8
① 12 ② 13 ③ 14 ④ 15 ⑤ 16
11. 다음 그림에서 ∠A = 50◦일 때, ∠B의 크기는?
A
B C
O
M N
50◦
① 50◦ ② 55◦ ③ 60◦ ④ 65◦ ⑤ 70◦
12. 다음 그림에서 현 CD의 길이는?
O
C N D
M B
A
6 6 10
① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16
13. 다음 그림에서 AB = 20 cm, CD = 16 cm일 때, 선분 CD의 중점 M에서 선분 AB와 CD가 만난 다. 이 때, 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있기 위한 선분 AM의 길이를 구하여라.
A B
C
D M
20 cm 16 cm
14. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 3 cm인 원 O의 접선의 길이가 3 cm일 때, x의 값은?
O
P A
x 3 cm
3 cm
① 1 cm ② ( 2 - 1) cm ③ 3( 2 - 1) cm ④ 2( 2 - 1) cm ⑤ (3 2 - 1) cm
15. 다음 그림에서 직선 CD는 원 O의 접선이고 지름 AB의 길이는 10 cm이고 ∠BAC = 30◦일 때, BD 의 길이는?
C
A B D
O 30◦
10 cm
① 5 3cm ② 5 cm ③ 4 3 cm ④ 4 cm ⑤ 3 3 cm
16. 다음 그림에서 원 O는 △ABC의 외접원이고 반지 름의 길이는 10 cm이다. ⁀ : ACAB ⁀ : BC⁀ = 3 : 4 : 5일 때, △AOC의 넓이는?
A
B C
10 cm O
① 25 2cm2 ② 25 3cm2 ③ 50 3 3 cm2 ④ 50 2cm2 ⑤ 50 3cm2
17. 다음 그림에서 □ABCD는 원 O에 외접하고
∠B = 90◦이다. 변 AD와 원 O와의 접점을 P라 하고 BC = 15 cm, DC = 13 cm, 원 O의 반지름의 길이가 5 cm일 때, PD의 길이는?
A
B C
D
O 5 cm 15 cm
13 cm P
① 3 cm ② 4 cm ③ 5 cm ④ 6 cm ⑤ 7 cm
18. 다음 그림에서 OB = 6 cm, OH = 4 cm이고 AB ⊥ CD일 때, CD의 값을 구하여라.
O C
D
A H B
x 6 cm
4 cm
19. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름이고 AD, BC는 원 O의 접선이다. AD = 4 cm, BC = 10 cm 일 때, AO의 길이를 구하여라.
D
B C
A O 4 cm
10 cm
20. 다음 그림에서 AC ꁚ OD, ∠BOD = 30◦,
⁀ = 3 cm일 때, ACBD ⁀의 길이를 구하여라.
A 30◦ B
O
D3 cm C
21. 다음 그림에서 AB = BC일 때, 사각형 ABCO가 마름모가 되기 위한 ∠ABC의 크기는?
A C
B
O
① 100◦ ② 112◦ ③ 115◦ ④ 118◦ ⑤ 120◦
22. 다음 그림에서 □ABCD는 원 O에 외접한다. 이 때, CD의 길이는?
D
B C A
O
14 8
12 x
① 6 ② 10 ③ 14 ④ 16 ⑤ 18
23. 다음 그림에서 PT는 원 O의 접선이고, AB는 원 O의 지름이다. 이 때, PA의 길이는?
O A
P T 30◦
4 B
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 3.5 ⑤ 4
24. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름이고 점 C는 접점이다. BD ⊥ CD이고, OA = 4 cm, BD = 6 cm 일 때, CD의 길이는?
A
B
C D
4 cm O
6 cm
① 5 cm ② 3 3cm ③ 4 3cm ④ 2 3cm ⑤ 3 2cm
25. 다음 그림에서 PT는 원 O의 접선이다. 이 때,
△OPT의 넓이는?
O
P T
10
8
① 18 ② 20 ③ 24 ④ 28 ⑤ 30
26. 다음 그림에서 OH = 6 cm이고 AB = 16 cm일 때, 이 원의 반지름의 길이는?
O
A H B
① 8 cm ② 9 cm ③ 10 cm ④ 11 cm ⑤ 12 cm
27. 다음 그림에서 △ABC는 원 O에 외접한다. 이 때, BD의 길이를 구하여라.
A
B C
D
E 14 F
12 O 10
28. 다음 그림에서 ⁀는 AB 원 O의 일부분이다.
AB ⊥ CM, AM = 4, CM = 2일 때, 이 원의 반 지름의 길이는?
A B
M C
4 2
① 4 ② 4.8 ③ 5 ④ 5.5 ⑤ 6
29. 다음 그림과 같이 접선 PT가 접점 A에서 원 O와 접하고 AP = AB일 때, ∠x의 크기를 구하여라.
O
P A
B
x T
30. 다음 그림에서 원 O는 △ABC의 내접원이고 점 D, E, F는 각각 내접원과 세 변의 접점이다. 이 때,
AB의 길이는?
C
A B
E
D
F 16 cm
7 cm 15 cm
O
① 15 cm ② 16 cm ③ 17 cm ④ 18 cm ⑤ 19 cm
31. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름이고
AC ꁚ OD, ∠BOD = 50◦, ⁀ = 10일 때, CDBD ⁀의 길이는?
A 50◦ B
O
C D
① 9.5 ② 10 ③ 10.5 ④ 11 ⑤ 11.5
32. 다음 그림에서 △ABC는 ∠C = 90◦이고 AB = 10 cm, BC = 6 cm인 직각삼각형이다. 이 때,
△ABC의 내접원의 넓이를 구하여라.
A
B C
O
6 cm 10 cm
33. 다음 그림에서 TA는 원 O의 접선이고, AB,
40. 다음 그림에서 △ABC는 원 O에 외접한다. 이 때, BD의 길이는?
A
B C
E
D 10 F
9
7 O
① 4 ② 4.5 ③ 5 ④ 5.5 ⑤ 6
41. 다음 그림에서 원 O가 직각삼각형 ABC에 내접할 때, 원 O의 반지름의 길이를 구하여라.
A
B C
O D
E F
10 6
8
42. 다음 그림에서 점 O는 원의 중심이고, △ABC는 정삼각형이다. AB = 12cm일 때, AM의 길이는?
A
B C
M O
① 6 cm ② 4 2 cm ③ 4 3 cm ④ 6 2cm ⑤ 6 3cm
(해답)
11. ④
[해설] 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있 는 현의 길이는 같다.
즉, OM = ON이므로 AB = AC이다. 따라서,
△ABC는 이등변삼각형이다.
그러므로 ∠B = ∠C,
∠B + ∠C = 180◦- 50◦= 130◦ ∴ ∠B = 65◦
12. ⑤
[해설] △AMO에서 AM = 102- 62
= 100 - 36 = 64 = 8
AM = BM이므로 AB = 16, OM = ON이므로 AB = CD ∴ CD = 16
13. 4 cm 또는 16 cm
[해설] AM = x로 놓으면 MB = 20 - x, CM = MD = 8
AM ⋅ MB = CM ⋅ MD이므로 x( 20 - x) = 8 × 8, x2- 20x + 64 = 0, ( x - 6)( x - 16) = 0
∴ x = 4 또는 x = 16
14. ③
[해설] △OPA는 ∠A = 90◦인 직각삼각형이므로 (x + 3)2= 32+ 32, x2+ 6x - 9 = 0
∴ x = - 3 ± 3 2
x > 0이어야 하므로 x = 3 2 - 3 = 3( 2 - 1) ( cm)
15. ②
[해설] OC를 그으면 ∠ACB = 90◦
∴ ∠OCB = 60◦
접선과 현이 이루는 각에 의해
∠DCB = ∠BAC = 30◦
∠ADC = 180◦- ( 30◦+ 90◦+ 30◦)= 30◦
∴ △BDC는 BC = BD인 이등변삼각형이므로
BD = 5 cm
C
A B D
O
30◦
60◦ 30◦ 30◦
16. ②
[해설] 중심각은 호의 길이에 비례하므로
∠AOC = 4
12 × 360◦= 120◦
∴ △AOC = 1
2 × 10 × 10 × sin (180◦- 120◦)
= 50 × sin 60◦= 25 3 ( cm2)
17. ①
[해설] □OQBR은 한 변의 길이가 5 cm인 정사각형
∴ BR = 5 cm, RC = 10 cm CR = CS이므로 DS = 3 cm
∴ DS = PD이므로 PD = 3 cm A
B C
D
Q O
S
R P
18. 4 5 (cm)
[해설] AH = 2 cm, CH = x라 하면 CD = 2x x × x = 2 × ( 4 + 6 ), x2= 20, x = ± 20
∴ x = 2 5
∴ CD = 2 5 × 2 = 4 5 ( cm)
19. 2 10
29. 60◦
37. 5
[해설] 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등 분하므로 즉, AC ⊥ OH이므로
AH = CH ∴ CH = 4
또, OB = OC = x이므로 OH = x - 2
△OHC에서 피타고라스의 정리를 이용하면
x2= ( x - 2)2+ 42, x2= x2- 4x + 4 + 16, 4x = 20
∴ x = 5
38. ①
[해설] AB = AE = 3, CD = DE = 2
∴ AD = AE + DE = 3 + 2 = 5
39. ④
[해설] AB가 작은 원의 접선이므로 OT ⊥ AB, 큰
원에서 OT는 현 AB에 내린 수선이므로
AT = BT ∴ AT = 6
40. ⑤
[해설] BD = BE = x, AE = AF = 10 - x CD = CF = 9 - x, AC = AF + CF이므로 7 = ( 10 - x) + ( 9 - x) ∴ x = 6
41. 2
[해설] OE = OF = CE = CF = x로 놓으면 AF = AD = 6 - x, BE = BD = 8 - x, AB = AD + BD이므로 10 = ( 6 - x) + ( 8 - x), 2x = 4 ∴ x = 2
42. ⑤
[해설] △ABC는 정삼각형이고, 점 A에서 BC현에 내린 수선은 BC를 이등분하므로 BM = 6 cm
△ABM은 직각삼각형이므로
AM = 122- 62= 144 - 36 = 108 = 6 3 ( cm)
상급문제 작성자 : 장지경
1. 다음 그림에서 점 O는 △ABC의 내심이고 직선 ST 는 접선이다. AB = 12 cm, BC = 8 cm, CA = 14 cm일 때, △SAT의 둘레의 길이를 구하여라.
A B
C E
F S
12 cmT 14 cm 8 cm
O D
2. 다음 그림에서 직사각형 ABCD는 점 E, F, G에 서 원 O와 접한다. AB = 6, AD = 8, BG = 2일 때, GI의 길이를 구하여라.
A
B C
E D
F O
G I H 8
6 2
3. 다음 그림의 원 O에서 AB는 지름이고
AB ꁚ CD, ∠COD = 90◦일 때, ⁀의 길이를 구AC 하여라.
zA B
O D C
12 cm
(해답) 1. 18 cm
[해설] 점 D, E, F는 접선이므로 SD = SE, TD = TF
AS + AT + ST = AS + AT + ( SD + DT)
= ( AS + SD) + ( AT + DT) = AE + AF AE + AF = x cm라 하면
CE = 14 - x, BF = 12 - x이므로 14 - x + 12 - x = 8 ∴ x = 9
따라서, △SAT의 둘레의 길이는 2 × 9 = 18 ( cm)
2. 2.8
[해설] GI = x로 놓으면 GI = IH = x BG = BF = 2, AF = 6 - 2 = 4, AE = 4 DE = 4, DH = 4 ∴ ID = 4 + x
또 △DIC에서 IC = 8 - ( 2 + x) = 6 - x,
CD = 6, ID = 4 + x이므로
(4 + x)2= ( 6 - x)2+ 62, 20x = 56 ∴ x = 2.8
3. 6 cm
[해설] OC = OD이므로 ∠OCD = ∠ODC = 45◦ CD ꁚ AB이므로 ∠OCD = ∠AOC = 45◦
중심각과 호의 길이는 비례하므로
⁀ : ACCD ⁀ = 90◦: 45◦, 12 : AC⁀ = 2 : 1
∴ AC⁀ = 6 (cm)
하급문제 작성자 : 장지경
7. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름이고, PT 접선 이다. PT의 길이는?
A
B
P T
O 4
x 8
① 4 3 ② 4 5 ③ 6 3 ④ 6 5 ⑤ 8 2
8. 다음 그림에서 PT는 접선, PAB는 할선이며 AB는 원 O의 지름이다. 이 때, 원 O의 반지름의 길이는?
A
B
P T
O 3
5
① 1 ② 43 ③ 2 ④ 8
3 ⑤ 3
9. 다음 그림에서 PA는 원 O의 접선이고 PC는 원 O의 중심을 지난다. ∠CAT = 55◦일 때, ∠APC 의 크기는?
P A
C
T x
B
55◦
① 20◦ ② 25◦ ③ 30◦ ④ 35◦ ⑤ 40◦
10. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름이고 PA = 3, PC = 4, CD = 8일 때, 이 원의 반지름의 길이는?
A B
C
D
P O 3
4 8
① 5.5 ② 6 ③ 6.5 ④ 7 ⑤ 7.5
11. 다음 그림에서 PA = PB이고 PC = 4, PD = 9일 때, PA의 길이는?
A B
C
D P 16
4
① 5.5 ② 6 ③ 6.5 ④ 7 ⑤ 8
12. 다음 그림에서 CD는 원 O의 지름이고, AB ⊥ CD, OD = 5, PC = 2일 때, PA의 길이는?
A B
C
D O x P
2
5
① 3 ② 4 ③ 4.2 ④ 4.5 ⑤ 5
13. 다음 그림에서 □ABCD가 원에 내접하기 위한
20. 다음 그림에서 ∠x의 크기를 구하여라.
27. 다음 사각형 중 원에 내접하는 것을 모두 고르면?
33. 다음 그림에서 AB, CD의 교점이 P일 때, x의
40. 다음 그림에서 PT는 원의 접선이다.
46. 다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 모두 한 원
54. 다음 그림에서 PT는 원 O의 접선이고, AB는
60. 다음 그림에서 원 O의 반지름의 길이는?
66. 다음 그림에서 AB는 원 O의 지름이고
73. 다음 그림에서 PT는 원 O와 C에서 접하고,
(해답) 1. ②
[해설] ① ∠BAC ≠ ∠BDC ② 2 × 6 = 3 × 4
③ 92◦+ 92◦≠ 180◦ ④ 93◦≠ 87◦ ⑤ 2 × 4 ≠ 3 × 3
2. ③
[해설] BC 연결하면 ∠ACB = 90◦
∴ ∠DCB = 55◦
∠DAB = ∠DCB ( DB⁀의 원주각 ) = 55◦
3. ①
[해설] PA ⋅ PB = PC ⋅ PD이므로
4( 4 + x) = 3( 3 + 5), 16 + 4x = 24, 4x = 8
∴ x = 2
4. ④
5. ④
[해설] PO = x로 놓으면
PA = AO - PO = 6 - x, PB = OB + PO = 6 + x
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD이 므 로
( 6 - x)( 6 + x) = 3 × 8, 36 - x2= 24, x2= 12
∴ x = 2 3
6. ⑤
[해설] ∠x = 50◦, ∠TAB = 60◦이므로
∠BAD = 70◦ ∴ ∠y = 110◦
7. ①
[해설] PT2= PA ⋅ PB이므로 x2= 4( 4 + 8), x2= 48 ∴ x = 4 3
8. ④
[해설] OA = OB = x로 놓으면 52= 3( 3 + 2x), 25 = 9 + 6x, 6x = 16
∴ x = 8 3
9. ①
[해설] ∠ABC = 55◦, ∠BAC = 90◦,
∠PAB = 180◦- ( 90◦+ 55◦) = 35◦
∠APB + 35◦= 55◦ ∴ ∠APB = 20◦
P A
C
T x
B
55◦
10. ③
[해설] AO = BO = x로 놓으면 PB = 3 + 2x
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD가 성립하므로
3( 3 + 2x) = 4( 4 + 8), 9 + 6x = 48, 6x = 39
∴ x = 6.5
11. ⑤
[해설] PA = PB = x로 놓으면
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD이므로 x2= 4 × 16, x2= 64 ∴ x = 8
12. ②
[해설] AB ⊥ CD이고 CD가 원의 지름이므로 PA = PB = x
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD가 성립하므로 x ⋅ x = 2 × 8, x2= 16 ∴ x = 4
13. ⑤
[해설] △ABC에서
∠B = 180◦- ( 65◦+ 40◦) = 75◦
∠x = 180◦- ∠B = 180◦- 75◦= 105◦
14. ③
[해설] AC가 원의 중심 O를 지나므로 지름이다. 즉
⁀가 반원이므로 ∠ABC = 90ADC ◦
∴ ∠ABD = ∠y = 60◦
또, △ABC에서 ∠x = 180◦- ( 90◦+ 35◦) = 55◦
∴ ∠x + ∠y = 115◦
15. 90◦
[해설] 호의 길이 5 cm에 대한 원주각이 30◦이므로
∠y = 30◦, ∠x는 호 5 cm에 대한 중심각이므로 원주
각 30◦의 2배이므로 ∠x = 60◦
∴ ∠x + ∠y = 60◦+ 30◦= 90◦
16. ④
[해설] PA ⋅ PB = PC ⋅ PD가 성립하므로 4( 4 + x) = 6( 6 + 8), 16 + 4x = 84, 4x = 68
∴ x = 17
17. ②, ⑤
[해설] ① 3 × 10 = 5 × 6 ② 10 × 10 ≠ 12 × 8
③ 2 × 9 = 3 × 6 ④ 3 × 8 = 4 × 6 ⑤ 4 × 8 ≠ 2 × 10
18. ②
[해설] ∠PTA는 ⁀에 대한 원주각 AT ∠B의 크기 와 같으므로 ∠x = 180◦- ( 60◦+ 40◦)
= 180◦- 100◦= 80◦
19. ②
[해설] PA ⋅ PB = PC ⋅ PD이므로
x( x + 3) = 4( 4 + 6), x2+ 3x = 40, x2+ 3x - 40 = 0, ( x + 8)( x - 5) = 0
∴ x = - 8 또는 x = 5 그런데 x > 0이므로 x = 5
20. ⑴ 55◦ ⑵ 60◦ ⑶ 50◦ [해설] ⑴ ∠x = 1
2 × 110◦= 55◦
⑵ ∠x = 2 × 30◦= 60◦
⑶ ∠x = 1
2 × 100◦= 50◦
21. 100◦
[해설] ∠ABD = ∠ACD이므로 ∠x = 30◦ 110◦+ ∠y = 180◦이므로 ∠y = 70◦
∴ ∠x + ∠y = 100◦
22. ③
[해설] PA ⋅ PB = PC ⋅ PD이므로 5x = 6 × 15, 5x = 90 ∴ x = 18
23. ⑤
[해설] ∠AOB는 ⁀에 대한 중심각이고 AB ∠APB
는 ⁀에 AB 대한 원주각이므로
∠APB = 1
2 × 100◦= 50◦
△BPQ에서 ∠x + ∠y + 50◦= 180◦
∴ ∠x + ∠y = 130◦
24. ④
[해설] ∠PTA = ∠B이므로 △ PTA는 이등변삼각 형, 즉 PA = TA = 4, PT2= PA․ PB이므로
x 2= 4×12, x2= 36 ∴ x = 6
25. ④
[해설] ∠C = 1
2 × 120◦= 60◦
접선 AT와 현 AB가 이루는 ∠BAT는 ⁀에 대AB 한 원주각 ∠C와 같으므로 ∠BAT = ∠C = 60◦
26. ③
[해설] ∠x는 ⁀에 대한 원주각이고, AB ⁀의 중심AB 각의 크기는 ∠AOB = 360◦- 120◦= 240◦
∴ ∠x = 1
2 × 240◦= 120◦
27. ②, ⑤
[해설] ② ∠D = 110◦, 즉 한 외각과 그의 내대각의 크기가 같으므로 원에 내접한다. ⑤ ∠B = 110◦, 즉 대각의 합이 180◦이므로 원에 내접한다.
28. ②
[해설] 5 × 12 = 6 × ( 6 + x), 60 = 36 + 6x, 6x = 24
∴ x = 4
29. ⑤
[해설] ∠AOB = 50◦× 2 = 100◦, PA, PB가 접 선이므로 ∠PAO = ∠PBO = 90◦
□APBO의 내각의 합이 360◦이므로
□APBO의 내각의 합이 360◦이므로