EBS 올림포스 수학(Ⅱ) 답지 정답

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(1)올 림 포 스. 수학Ⅱ. 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 1. 2017-11-02 오후 2:54:38.

(2) 정답과 풀이 Ⅰ. 함수의 극한과 연속. 01. 함수의 극한. 기본 유형 익히기 1. ③ 6. ⑤. 1.. 2. 3. 1 2+2. =;4!; 유제. 3. ① . 4. ①. ①. 본문 8~10쪽. 5. ②. 4.. ㄱ. x -Ú -¦일 때,  f(x) -Ú 1이므로. lim ("ÃxÛ`+2x-x). x`Ú¦. =lim   x`Ú¦. lim `f(x)=1 (참). x`Ú-¦. =lim  . ㄴ. x -Ú 2일 때,  f(x) -Ú ¦이므로. x`Ú¦. lim `f(x)=¦ (참). =. =lim  . x`Ú2. x`Ú¦. ㄷ. x -Ú ¦일 때,  f(x) -Ú 1이므로. ("ÃxÛ`+2x-x)("ÃxÛ`+2x+x) "ÃxÛ`+2x+x 2x "ÃxÛ`+2x+x. 2 2 ¾¨1+ +1 x. lim `f(x)=1 (거짓). x`Ú¦. lim  2. =. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③. x`Ú¦. lim  ¾¨1+. x`Ú¦. 2 +lim  1 x x`Ú¦. 2 1+1 =1 =. 2.. x Ú 1-일 때,  f(x) Ú 2이므로. lim `f(x)=2. x`Ú1-. x Ú 1+일 때,  f(x) Ú a+1이므로 lim `f(x)=a+1. x`Ú1+. ①. yy ㉠ yy ㉡. lim `f(x)=b이어야 하므로 ㉠과 ㉡에서. x Ú 2일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. 5.. x`Ú1. lim ('Äx+7-a)=0. 2=a+1=b. 3-a=0. 따라서 a=1, b=2이므로. a=3. x`Ú2. a+b=3. 이 값을 대입하면 3. lim   x`Ú2. 3.. lim   x`Ú2. 'Äx+2-2 x-2. 'Äx+7-3 x-2. =lim  . ('Äx+7-3)('Äx+7+3) (x-2)('Äx+7+3). x`Ú2. =lim  . ('Äx+2-2)('Äx+2+2) (x-2)('Äx+2+2). =lim  . x-2 (x-2)('Äx+7+3). =lim  . x-2 (x-2)('Äx+2+2). =lim  . 1 'Äx+7+3. =lim  . 1 'Äx+2+2. =;6!;=b. x`Ú2. x`Ú2. x`Ú2. =. 1 lim  'Äx+2+lim  2 x`Ú2. 2. x`Ú2. x`Ú2. x`Ú2. 따라서 ab=;2!; ②. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 2. 2017-11-02 오후 2:54:39.

(3) 6.. lim  . x`Ú¦. xÛ` =lim   2xÛ`+3 x`Ú¦. 1. 3 2+ xÛ`. =. 1 =;2!; 2+0. k=1 따라서 `f(x)=. 1 1+ xÛ` xÛ`+1 1+0 =lim   =;2!; = lim   2+0 x`Ú¦ 2xÛ`+3 x`Ú¦ 3 2+ xÛ`. 1 x+2 +1= x+1 x+1. 따라서 a=1, b=2, c=1이므로 a+b+c=4 ④. 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim `f(x)=;2!;. x`Ú¦. ⑤. 04 x Ú -1-일 때,  f(x) Ú 3이므로 lim `f(x)=3. x`Ú-1-. 또, x Ú 1+일 때,  f(x) Ú 2이므로 lim `f(x)=2. x`Ú1+. 유형 확인. 01 ⑤ 06 ② 11 ③ 16 ②. 02 ② 07 ⑤ 12 ③ 17 ②. 본문 11~13쪽. 03 ④ 08 ② 13 ⑤ 18 6. 04 ④ 09 ② 14 ④. lim `f(x)+ lim `f(x)=3+2=5. 05 ① 10 ③ 15 9. x`Ú-1-. x`Ú1+. ④ -1 (x<0). 05 `f(x)=à 1. x Ú 1일 때, f(x) Ú 3이므로. 01. x Ú 0-일 때,  f(x) Ú -1이므로. x`Ú1. lim `f(x)=-1. 또,  f(1)=2. x`Ú0-. x Ú 0+일 때,  f(x) Ú 1이므로. 따라서 lim `f(x)+f(1)=3+2=5. lim `f(x)=1. x`Ú1. x`Ú0+. ⑤. 따라서 lim `f(x)- lim `f(x)=-1-1=-2. x`Ú0-. lim `f(x)=1에서. x`Ú0+. ①. x`Ú0. b=1. (. 또, lim `f(x)=0이므로 x`Ú-1. 9 x. 따라서  f(x)=x+1이므로 ②. x`Ú¦. 이때 다른 점근선이 x=-1이므로 `f(x)=. k +1 ( 단, k는 상수) x+1. 이때  f(0)=2이므로 k+1=2. 1 (x<0) x (x>0). Ú k=1일 때,. `f(a+2b)=f(1)=2. lim `f(x)=1이므로 한 점근선은 y=1이다.. -. 06 `f(x)={ 1. a=-1. 03. (x>0). 이때. lim `f(x)=3. 02. 따라서. xf(x)=à. -1 (x<0) 1. (x>0). 이므로 lim  x f(x)=-1, lim  x f(x)=1. x`Ú0-. x`Ú0+. 이때 lim  x f(x)+ lim  x f(x)이므로 x=0에서 극한값을 x`Ú0-. x`Ú0+. 갖지 않는다. Û k=2일 때,. 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 3. 3. 2017-11-02 오후 2:54:39.

(4) 정답과 풀이 xÛ` f(x)=à. 09 P(x)=xÜ`-4x+3이라 하면 P(1)=0이므로 P(x)는. -x (x<0) x. (x>0). x-1을 인수로 갖는다. 그러므로 조립제법을 이용하면 다음과. 이므로. 같다.. lim  xÛ` f(x)=0, lim  xÛ` f(x)=0. x`Ú0-. x`Ú0+. 1. ‌이때 lim  x Û` f(x)= lim  x Û` f(x)이므로 x=0에서 극한값 x`Ú0-. x`Ú0+. 을 갖는다. . 1. Ü k¾3일 때, xû `f(x)=à. x k-1. lim   x`Ú1. ‌이때 lim  x kf(x)= lim  x kf(x)이므로 x=0에서 극한값 x`Ú0+. (x-1)(xÛ`+x-3) (x-1)(x+1). =lim  . xÛ`+x-3 x+1. x`Ú1. Ú, Û, Ü에서 자연수 k의 최솟값은 2이다.. x`Ú1. ② `f(x)+x. 07 lim xÛ`+2x+3. -3. 1. -3. 0. =. 1+1-3 1+1. ②. lim {`f(x)+x} x`Ú1. lim (xÛ`+2x+3) x`Ú1. (x+1)Ü`-xÜ`. 10 lim   xÛ`+2x+3. lim `f(x)+lim  x x`Ú1. x`Ú¦. x`Ú1. lim  xÛ`+lim  2x+lim  3 x`Ú1. x`Ú1. = lim  . x`Ú1. x`Ú¦. 2+1 = 1+2+3. ⑤ 'Äx+2-2. =lim  . ('Äx+2-2)('Äx+2+2) (x-2)(x+1)('Äx+2+2). =lim  . x-2 (x-2)(x+1)('Äx+2+2). x`Ú2. x`Ú2. 3 1 + x xÛ` = lim   x`Ú¦ 2 3 1+ + x xÛ` =. 08 lim  xÛ`-x-2 x`Ú2. 3xÛ`+3x+1 xÛ`+2x+3 3+. =;2!;. 3+0+0 1+0+0. =3 ③. 11 n의 값에 따라 나누면 다음과 같다. Ú n=1일 때,. 1 =lim   x`Ú2 (x+1)('Äx+2+2). lim  . x`Ú¦. 1 (2+1)(2+2). ax+3 xÛ`+2x+4. a 3 + x xÛ` = lim   x`Ú¦ 2 4 1+ + x xÛ`. =;1Á2; ②. 4. 1. =-;2!;. x`Ú1. =. 1. xÜ`-4x+3 xÛ`-1. =lim  . 을 갖는다. . =. 3. 따라서. x`Ú0+. x`Ú0-. -4. P(x)=(x-1)(xÛ`+x-3). (x>0). lim  x kf(x)=0, lim  x kf(x)=0. x`Ú0-. 0. 그러므로. -x k-1 (x<0). 이므로. =. 1. =0. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 4. 2017-11-02 오후 2:54:39.

(5) 그러므로 조건을 만족시키지 않는다.. lim  . Û n=2일 때, lim  . x`Ú¦. axÛ`+3 xÛ`+2x+4. = lim   x`Ú¦. =. x`Ú1. a+ 1+. =lim   x`Ú1. =lim   x`Ú1. 2 4 + x xÛ`. =;3@;=b 따라서. =a=4. a+b=1+;3@;=;3%;. Ü n¾3일 때, lim  . (x-1)(x+1) (x-1)(x+2). x+1 x+2 1+1 = 1+2. 3 xÛ`. a+0 1+0+0. x`Ú¦. xÛ`-1 xÛ`+x-2. axÇ` +3 xÛ`+2x+4. ⑤. 3 xÛ` = lim   x`Ú¦ 2 4 1+ + x xÛ`. 14 x Ú 3일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. axn-2+. lim(xÛ`+ax-3)=9+3a-3=0 x`Ú3. a=-2. 이 값은 ¦ 또는 -¦로 발산한다. Ú, Û, Ü에서 n=2, a=4이므로. 이 값을 대입하면. a+n=6. lim  ③. x`Ú3. xÛ`-2x-3 "Ãx+1-2. =lim . (x-3)(x+1) "Ãx+1-2. =lim . (x-3)(x+1)("Ãx+1+2) ("Ãx+1-2)("Ãx+1+2). =lim . (x-3)(x+1)("Ãx+1+2) x-3. x`Ú3. 12 t=-x로 놓으면 x Ú -¦일 때, t Ú ¦이므로 lim ("ÃxÛ`+6x+x). x`Ú3. x`Ú-¦. =lim("ÃtÛ`-6t-t) t`Ú¦. =lim  t`Ú¦. =lim  t`Ú¦. x`Ú3. ("ÃtÛ`-6t-t)("ÃtÛ`-6t+t) "ÃtÛ`-6t+t. x`Ú3. =(3+1)_(2+2). -6t "ÃtÛ`-6t+t. =lim  t`Ú¦. =. =lim(x+1)('Äx+1+2). =16 =b. -6 6 ¾¨1- +1 t. 따라서 a+b=(-2)+16=14 ④. -6 1+1. =-3 ③. 15 x Ú a일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서 lim(xÛ`-ax+a+3)=aÛ`-aÛ`+a+3=0 x`Úa. a=-3. 13 x Ú 1일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. 이 값을 대입하면. x`Ú1. x`Ú-3. lim (xÛ`-a)=1-a=0. a=1 이 값을 대입하면. lim  . xÛ`+3x x+3. = lim   x`Ú-3. x(x+3) x+3. 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 5. 5. 2017-11-02 오후 2:54:40.

(6) 정답과 풀이 = lim  x. lim (x+1)=2. x`Ú-3. x`Ú1+. =-3. lim (xÛ`+1)=2. x`Ú1+. =b. 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여. 따라서 ab=9 9. lim  . x`Ú1+. `f(x) =2 x+2. 이때 lim `f(x)가 존재하므로. 16 lim(2x-1)=2_1-1=1. x`Ú1. lim `f(x)= lim `f(x). x`Ú1. x`Ú1. lim  xÛ`=1_1=1. x`Ú1+. x`Ú1. = lim (x+2)_ lim  . 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여. x`Ú1+. lim `f(x)=1. x`Ú1+. `f(x) x+2. =3_2. x`Ú1. =6. 따라서. 따라서 a=6. lim {(x+1) f(x)} x`Ú1. 6. =lim (x+1)_lim `f(x) x`Ú1. x`Ú1. =2_1=2 ②. 17 2x+1É f(x)É2x+3. 01 -;1Á6; 02 20. 이므로 x+1>0일 때 `f(x) 2x+1 2x+3 É É x+1 x+1 x+1. 1. x+1É. `f(x) ÉxÛ`+1 x+2. 이때. 6. (2-'Äx+3)(2+'Äx+3) 1 ] _ xÛ`-x 2'Äx+3 (2+'Äx+3). =lim  [. 1 1-x ] _ x(x-1) 2'Äx+3 (2+'Äx+3). =-lim  [ x`Ú1. ②. 이때 x>1이므로. =lim  [ x`Ú1. `f(x) =2 lim   x`Ú¦ x+1. `f(x) (x+1)(x-1) (xÛ`+1)(x-1) É É x+2 x-1 x-1. 2-'Äx+3 1 } _ xÛ`-x 2'Äx+3. x`Ú1. 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여. 에서. 1. =lim  { x`Ú1. 3 x =2 1 1+ x. 18. 03 ;2!;. x`Ú1. 2+. `f(x) xÛ`-1 xÜ`-xÛ`+x-1. É É x-1 x-1 x+2. 본문 14쪽. 01 lim [ xÛ`-x { 'Äx+3 -;2!;}]. 1 2+ x 2x+1 =lim   =2 lim   x`Ú¦ x+1 x`Ú¦ 1 1+ x 2x+3 =lim   lim   x`Ú¦ x+1 x`Ú¦. 연습장. 서술형. yy ➊. yy ➋. 1 1 ] _ x 2'Äx+3 (2+'Äx+3). 1 1 1 =-lim   _lim   _lim   x`Ú1 x x`Ú1 2'Äx+3` x`Ú1 2+'Äx+3` =(-1)_. 1 1 _ 2_2 2+2. =-;1Á6;. yy ➌  -;1Á6;. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 식을 정리한 경우. 30 %. ➋. 식을 유리화한 경우. 30 %. ➌. 극한값을 구한 경우. 40 %. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 6. 2017-11-02 오후 2:54:40.

(7) `f(x). 02 조건 (가)에서 lim   xÛ`+x =2이므로 `f(x)는 최고차항의.  ;2!;. x`Ú¦. 계수가 2인 이차함수이다.. yy ➊. 조건 (나)에서 x Ú 1일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서 lim `f(x)=0 x`Ú1. 그러므로  f(x)=2(x-1)(x-a)(a는 상수)이다. . yy ➋. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. PQÓ를 구한 경우. 30 %. ➋. QRÓ를 구한 경우. 30 %. ➌. 극한값을 구한 경우. 40 %. 이것을 조건 (나)에 대입하면 lim   x`Ú1. 2(x-1)(x-a) =6 x-1. lim  2(x-a)=6 x`Ú1. 2(1-a)=6 a=-2 따라서  f(x)=2(x-1)(x+2)이므로 . yy ➌. `f(3)=2_2_5=20. yy ➍  20. 단계. 채점 기준. 비율. +. 내신. 01 ②. 수능. 02 ③. 고난도 문항. 03 ③. 01 f(x)=xÛ`+2x+2에서. ➊. f(x)의 최고차항을 구한 경우. 20 %. y=(x+1)Û`+1 (x¾-1, y¾1). ➋. 극한값의 성질을 이용한 경우. 30 %. (x+1)Û`=y-1 (x¾-1, y¾1). ➌. f(x)를 구한 경우. 40 %. x='Äy-1-1 (x¾-1, y¾1). 10 %. x, y를 바꾸면. f(3)의 값을 구한 경우. ➍. 본문 15쪽. y='Äx-1-1 (x¾1, y¾-1) 그러므로. 두 점 P, Q의 좌표는 P(t, 't ), Q(t, t). 03.  g(x)='Äx-1-1. 그러므로. 따라서. PQÓ='t -t. yy ➊. 또, 점 R의 좌표는 R(1, t)이므로. x`Ú2. yy ➋. QRÓ=1-t 따라서 lim  . t`Ú1-. lim  . g(x) `f(x)-10. =lim  . 'Äx-1-1 xÛ`+2x-8. =lim  . ('Äx-1-1)('Äx-1+1) (x-2)(x+4)('Äx-1+1). x`Ú2. 't -t PQÓ = lim   QRÓ t`Ú1- 1-t. x`Ú2. . = lim  . ('t -t)('t +t) (1-t)('t +t). =lim  . x-2 (x-2)(x+4)('Äx-1+1). . = lim  . t-tÛ` (1-t)('t +t). =lim  . 1 (x+4)('Äx-1+1). . = lim  . t(1-t) (1-t)('t +t). =. . = lim  . t 't +t. . 1 = 1+1. . =;2!;. t`Ú1-. t`Ú1-. t`Ú1-. t`Ú1-. x`Ú2. x`Ú2. 1 (2+4)_(1+1). =;1Á2; ②. yy ➌. 02 lim`f(x)+0이라 하면 주어진 식은 x`Ú1. 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 7. 7. 2017-11-02 오후 2:54:40.

(8) 정답과 풀이 lim   x`Ú1. =. xÛ`-tx-n=0. lim `f(x) x`Ú1. lim `f(x)-lim  2('§x-1) x`Ú1. =. 위의 방정식은. `f(x) `f(x)-2('§x-1). 이므로 이 방정식의 판별식을 D라 하면. . D=tÛ`-4_1_(-n)=0. x`Ú1. lim `f(x) x`Ú1. lim `f(x). n=-. =1. tÛ` 4. 그러므로 점 Q의 좌표는 {0, -. x`Ú1. 로 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 lim `f(x)=0. 따라서 OPÓ="ÃtÛ`+tÝ`,  OQÓ=. 이때  f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로. tÛ` OQÓ 4 =lim  lim  t`Ú¦ OPÓ t`Ú¦ "ÃtÛ`+tÝ``. x`Ú1. `f(x)=(x-1)(x-a) (a는 상수) 로 놓을 수 있다. 이 식을 주어진 식에 대입하면 lim   x`Ú1. (x-1)(x-a) ('§x-1)('§x+1) (x-1)(x-a)-2_ '§x+1. =lim   x`Ú1. =lim   x`Ú1. = =. (x-1)(x-a). (x-1)(x-a)-2_ x-a (x-a)-2_ 1-a. x-1 '§x+1. . =lim . . =. . =;4!;. t`Ú¦. tÛ` } 4. tÛ` 이므로 4. ;4!;. ¾¨. 1 +1 tÛ`. ;4!; 1. ③. 1 '§x+1. (1-a)-2_;2!; 1-a -a. =2 1-a=-2a a=-1 따라서  f(x)=(x-1)(x+1)이므로 `f(2)=1_3=3 ③. 03 직선 OP의 기울기는 tÛ`-0 =t t-0 그러므로 이 직선에 평행한 직선의 기울기는 t이다. 이때 기울기가 t이고 곡선 y=xÛ`에 접하는 직선의 방정식을 y=tx+n (n은 상수) 이라 하면 이 직선과 곡선 y=xÛ`이 접해야 하므로 방정식 xÛ`=tx+n 이 중근을 가져야 한다.. 8. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 8. 2017-11-02 오후 2:54:41.

(9) Ⅰ. 함수의 극한과 연속. 02. 함수의 연속. 기본 유형 익히기 1. 3 6. 2. 1.. 2. 15. a=;2#; 유제. 3. 2 . 4. 2. 본문 18~20쪽. 따라서 10ab=15  15. 5. 1. 3.. 함수 y=ax+b는 열린구간 (-1, 1)에서 연속이고 함수. y=xÛ`-x는 구간 (-¦, -1], [1, ¦)에서 연속이므로 함수. 함수  f(x)가 x=1에서 연속이므로. y=f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이려면 x=-1, x=1. lim `f(x)=f(1) x`Ú1. 에서 연속이면 된다.. 이어야 한다.. Ú x=-1에서 연속. 이때. lim `f(x)= lim (xÛ`-x)=2,. lim `f(x)=lim (xÛ`+2)=1Û`+2=3 x`Ú1. 2-a=;2!;. x`Ú-1-. x`Ú1. x`Ú-1-. lim `f(x)= lim (ax+b)=-a+b, `f(-1)=2. `f(1)=a. x`Ú-1+. x`Ú-1+. yy ㉠. 그러므로 -a+b=2 . 따라서 a=3 3. Û x=1에서 연속 lim f(x)= lim (ax+b)=a+b,. x`Ú1-. 2.. lim f(x)= lim (xÛ`-x)=0,  f(1)=0. 함수  f(x)가 x=2에서 연속이므로. x`Ú1+. x`Ú2+. lim `f(x)= lim (x-a)=2-a  x`Ú2-. lim `f(x)= lim  . x`Ú2+. x`Ú2+. yy ㉡. ㉠과 ㉡에서 a=-1, b=1이므로 aÛ`+bÛ`=2. 이어야 한다. x`Ú2-. x`Ú1+. 그러므로 a+b=0. lim `f(x)= lim `f(x)=f(2). x`Ú2-. x`Ú1-. 2. yy ㉠. 'Äx-1-b x-2. 4.. 함수  f(x)는 구간 (-¦, ¦)에서 연속이다.. 여기서 x Ú 2+일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. 또, 함수 y=x는 구간 (-¦, 1)에서 연속이고 함수 y=x+1. x`Ú2+. 서 연속이므로 함수 g(x)는 구간 (-¦, 1), [1, 2), [2, ¦). lim ('Äx-1-b)=1-b=0. b=1. 에서 연속이다.. 이 값을 대입하면. 그러므로 함수  f(x) g(x)는 연속함수의 성질에 의해 구간 . 'Äx-1-1 lim `f(x)= lim   x-2 x`Ú2+ x`Ú2+ = lim  . ('Äx-1-1)('Äx-1+1) (x-2)('Äx-1+1). = lim  . x-2 (x-2)('Äx-1+1). x`Ú2+. x`Ú2+. 은 구간 [1, 2)에서 연속이며 함수 y=x+2는 구간 [2, ¦)에. (-¦, 1), [1, 2), [2, ¦)에서 연속이다. 함수  f(x) g(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이려면 x=1, x=2에서 연속이면 된다. Ú x=1에서 연속 lim `f(x) g(x)= lim `f(x) g(x)=f(1) g(1). x`Ú1-. =;2!; 또,  f(2)=2-a ㉠, ㉡, ㉢의 세 값이 같아야 하므로. x`Ú1+. 이어야 한다.. 1 = lim   x`Ú2+ 'Äx-1+1. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú1-. yy ㉡ yy ㉢. x`Ú1-. x`Ú1-. =(1+a+b)_1=a+b+1 lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú1+. x`Ú1+. x`Ú1+. =(1+a+b)_2=2(a+b+1). 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 9. 9. 2017-11-02 오후 2:54:41.

(10) 정답과 풀이  f(1) g(1)=(1+a+b)_2=2(a+b+1). 또, lim `f(x)= lim  b=b. 세 값이 같아야 하므로. x`Ú1+. a+b+1=2(a+b+1) yy ㉠. a+b=-1 Û x=2에서 연속. `f(1)=b 세 값이 같아야 하므로 b=5. lim `f(x) g(x)= lim `f(x) g(x)=f(2) g(2). x`Ú2-. x`Ú1+. 따라서 a+b=(-4)+5=1. x`Ú2+. 이어야 한다.. 1. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú2-. x`Ú2-. x`Ú2-. 6.. =(4+2a+b)_3=3(2a+b+4) lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú2+. x`Ú2+. x`Ú2+. f(0)>0, f(1)<0, f(2)<0, f(3)>0. =(4+2a+b)_4=4(2a+b+4). 이때 닫힌구간 [0, 3]에서 함수  f(x)가 연속이므로 사잇값의. f(2)g(2)=(4+2a+b)_4=4(2a+b+4). 정리에 의해 방정식  f(x)=0은 구간 (0, 1), (2, 3)에서 각각. 세 값이 같아야 하므로. 적어도 하나의 실근을 갖는다.. 3(2a+b+4)=4(2a+b+4) yy ㉡. 2a+b=-4. f(0)=1, f(0)_ f(1)<0, f(1)_ f(2)>0,. f(2)_ f(3)<0에서. ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면. 그러므로 방정식  f(x)=0은 열린구간 (0, 3)에서 적어도 2개 의 실근을 갖는다. 따라서 n=2. a=-3, b=2. 2. 따라서  f(x)=xÛ`-3x+2이므로 `f(3)=9-9+2=2 2. 유형 확인 xÛ`+3x+a 함수 y= 는 구간 (-¦, 1)에서 연속이고 x-1. 5.. 함수 y=b는 구간 [1, ¦)에서 연속이다. 그러므로 y=f(x)가 (-¦, ¦)에서 연속이려면 x=1에서 연속이면 된다. 이때 lim `f(x)= lim  . x`Ú1-. x`Ú1-. xÛ`+3x+a x-1. x Ú 1-일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서 lim (xÛ`+3x+a)=4+a=0. x`Ú1-. a=-4. 03 ② 08 ③ 13 ③ 18 2. 04 ③ 09 ④ 14 32. 05 ④ 10 ② 15 ①. lim `f(x)= lim `f(x)=f(2). x`Ú2-. x`Ú2+. 이어야 한다. 이때 lim `f(x)= lim (xÜ`+ax)=8+2a. lim `f(x)= lim   x`Ú1-. = lim   x`Ú1-. xÛ`+3x-4 x-1 (x-1)(x+4) x-1. = lim (x+4) x`Ú1-. =5. 10. 02 ④ 07 ① 12 ② 17 2. 01 x=2에서 연속이므로. x`Ú2-. 이 값을 대입하면 x`Ú1-. 01 ① 06 ② 11 ③ 16 2. 본문 21~23쪽. x`Ú2-. lim `f(x)= lim (x+a)=2+a. x`Ú2+. x`Ú2+. `f(2)=8+2a 세 값이 같아야 하므로 8+2a=a+2 a=-6 ①. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 10. 2017-11-02 오후 2:54:41.

(11) 02 x=a에서 연속이므로. =lim   x`Ú1. lim `f(x)= lim `f(x)=f(a). x`Úa-. =lim (x+2). x`Úa+. x`Ú1. 이어야 한다.. =1+2. 이때. =3. lim `f(x)= lim (x+2)=a+2. x`Úa-. (x-1)(x+2) x-1. ③. x`Úa-. lim `f(x)= lim  xÛ`=aÛ`. x`Úa+. x`Úa+. `f(a)=aÛ` 세 값이 같아야 하므로. 05 함수  f(x)가 x=-1에서 연속이므로. aÛ`=a+2. x`Ú-1-. aÛ`-a-2=0. 이때. lim `f(x)= lim `f(x)=f(-1). 따라서 모든 상수 a의 값의 합은 근과 계수의 관계에서 1이다. ④. lim `f(x)= lim  . x`Ú-1-. 여기서 x Ú -1-일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서 a=2 이 값을 대입하면. x`Úa+. 이어야 한다.. lim `f(x)= lim  . 이때. x`Ú-1-. lim `f(x)= lim `xÛ`=aÛ`. x`Ú-1-. = lim  . x`Úa-. x`Ú-1-. lim `f(x)= lim (2x+k)=2a+k. x`Úa+. xÛ`+3x+a x+1. x`Ú-1-. lim `f(x)= lim `f(x)=f(a). x`Úa-. x`Ú-1-. lim `(xÛ`+3x+a)=1+(-3)+a=a-2=0. 03 x=a에서 연속이므로 x`Úa-. x`Ú-1+. xÛ`+3x+2 x+1 (x+1)(x+2) x+1. = lim (x+2). x`Úa+. x`Ú-1-. `f(a)=2a+k. =(-1)+2. 세 값이 같아야 하므로. =1. aÛ`=2a+k. 또,. aÛ`-2a-k=0 이 방정식을 만족시키는 실수 a가 한 개이므로 이 방정식의 판. lim `f(x)= lim (x+b). x`Ú-1+. x`Ú-1+. =(-1)+b. 별식을 D라 하면. =b-1. D =1+k=0 4. `f(-1)=b-1. k=-1. 세 값이 같아야 하므로 ②. b-1=1 b=2. 04 함수  f(x)가 x=1에서 연속이므로 lim `f(x)=f(1). 따라서 a+b=2+2=4. x`Ú1. ④. 한편, x+1일 때, (x-1) f(x)=xÛ`+x-2에서 `f(x)=. xÛ`+x-2 x-1. 이므로 xÛ`+x-2 `f(1)=lim   x-1 x`Ú1. 06 함수  f(x)가 x=a에서 연속이므로 lim`f(x)=f(a) x`Úa. 이때. 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 11. 11. 2017-11-02 오후 2:54:42.

(12) 정답과 풀이 lim`f(x)=lim  x`Úa. x`Úa. 'Äx+2-2 x-a. 즉, lim`f(x)=f(1)이다. x`Ú1. x Ú a일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. 그러므로 주어진 식은. x`Úa. x`Ú1. `f(x)(xÛ`-1) x-1. lim('Äx+2-2)='Äa+2-2=0. lim  . 'Äa+2=2. =lim`f(x)_lim . a=2. =f(1)_lim(x+1). 이 값을 대입하면. =2 f(1)=12. x`Ú1. a+2=4. x`Ú1. xÛ`-1 x-1. x`Ú1. lim`f(x)=lim  x`Úa. x`Ú2. 'Äx+2-2 x-2. 따라서  f(1)=6 ③. ('Äx+2-2)('Äx+2+2) =lim  x`Ú2 (x-2)('Äx+2+2) =lim . x-2 (x-2)('Äx+2+2). =lim . 1 'Äx+2+2. x`Ú2. x`Ú2. =. 09 함수 y=2x-a는 구간 (-¦, a)에서 연속이고 함수 y=xÜ`은 구간 [a, ¦)에서 연속이다.. 그러므로 함수  f(x)는 구간 (-¦, a), [a, ¦)에서 연속이 다. 함수  f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이려면 함수  f(x)는. 1 2+2. x=a에서 연속이면 된다.. =;4!;. 즉, lim `f(x)= lim `f(x)=f(a). 또,. x`Úa-. `f(2)=b. 이어야 한다.. 따라서 a=2, b=;4!; 이므로. x`Úa-. x`Úa+. lim `f(x)= lim (2x-a)=a x`Úa-. lim `f(x)= lim  xÜ`=aÜ`. ab=;2!;. x`Úa+. ②. 07 두 다항함수  f(x), g(x)는 구간 (-¦, ¦)에서 연속이 므로. `f(a)=aÜ` 세 값이 같아야 하므로 aÜ`=a a(a+1)(a-1)=0 a=-1 또는 a=0 또는 a=1. lim`f(x)=f(1), lim`g(x)=g(1) x`Ú1. x`Úa+. 따라서 a의 최댓값은 1이다.. x`Ú1. 그러므로 lim{`f(x)+g(x)}=1, lim{`f(x)-g(x)}=3에서 x`Ú1. ④. x`Ú1. `f(1)+g(1)=1. 10 함수  f(x)는 다항함수이므로 구간 (-¦, ¦)에서 연속. `f(1)-g(1)=3 두 식을 연립하여 풀면. 이다.. `f(1)=2, g(1)=-1. 함수 y=x는 구간 (-¦, 1]에서 연속이고 함수 y=xÛ`+1은. 이므로. 구간 (1, ¦)에서 연속이므로 함수 g(x)는 구간 (-¦, 1], (1, ¦)에서 연속이다.. `f(1) g(1)=-2 ①. 08 다항함수  f(x)는 x=1에서도 연속이다.. 12. 그러므로 함수  f(x) g(x)는 구간 (-¦, 1], (1, ¦)에서 연 속이다.. 구간 (- ¦, ¦ )에서 연속이므로. 함수  f(x) g(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이려면 x=1에 서 연속이어야 한다.. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 12. 2017-11-02 오후 2:54:42.

(13) Û x=2에서 연속. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú1-. x`Ú1-. x`Ú1-. =(-2+a)_1=-2+a. g(x)=à. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú1+. x`Ú1+. x`Ú1+. x-1 (x<2) xÛ`-x (x¾2). 이므로. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). =(-2+a)_2=2(-2+a). x`Ú2-. x`Ú2-. x`Ú2-. =(a-1)_1=a-1. `f(1) g(1)=(-2+a)_1=-2+a. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). 세 값이 같아야 하므로. x`Ú2+. x`Ú2+. -2+a=2(-2+a). x`Ú2+. =(a-1)_2=2(a-1). a=2 ②.  f(2) g(2)=(a-1)_2=2(a-1) 세 값이 같아야 하므로 a-1=2(a-1). 11 두 함수  f(x), g(x)는 구간 (-¦, 0), [0, ¦)에서 연 속이므로 함수  f(x) g(x)는 이 구간에서 연속이다.. a=1 따라서 a+b=1+1=2 ②. 그러므로 함수  f(x) g(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이려면 함수  f(x) g(x)는 x=0에서 연속이어야 한다. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x)=1_3=3. x`Ú0-. x`Ú0-. x`Ú0-. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x)=2_a=2a. 13 함수 y=x+a는 구간 (-¦, 1]에서 연속이고 함수. `f(0) g(0)=2_a=2a. y=. 세 값이 같아야 하므로. 그러므로 함수  f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이려면 x=1. x`Ú0+. x`Ú0+. x`Ú0+. 2a=3. 'Äx+3-b 는 구간 (1, ¦)에서 연속이다. x-1. 에서 연속이어야 한다.. a=;2#;. 이때 ③. lim `f(x)= lim (x+a)=a+1. x`Ú1-. x`Ú1-. lim `f(x)= lim  . 12 함수  f(x)는 구간 (-¦, 1), [1, ¦)에서 연속이고 함 수 g(x)는 구간 (-¦, 2), [2, ¦)에서 연속이므로 함수. `f(x) g(x)는 구간 (-¦, 1), [1, 2), [2, ¦)에서 연속이 다. 그러므로 x=1, x=2에서 함수  f(x) g(x)가 연속이면 이 함 수는 구간 (-¦, ¦)에서 연속이다. Ú x=1에서 연속 lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú1-. x`Ú1-. x`Ú1-. =1_(2-2b)=2-2b lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú1+. x`Ú1+. x`Ú1+.  f(1) g(1)=(-1)_(2-2b)=-(2-2b). 'Äx+3-b x-1. 여기서 x Ú 1+일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서 lim ('Äx+3-b)=2-b=0. x`Ú1+. b=2 이 값을 대입하면 lim `f(x)= lim  . x`Ú1+. x`Ú1+. 'Äx+3-2 x-1. = lim  . ('Äx+3-2)('Äx+3+2) (x-1)('Äx+3+2). = lim  . x-1 (x-1)('Äx+3+2). = lim  . 1 'Äx+3+2. x`Ú1+. x`Ú1+. x`Ú1+. =(-1)_(2-2b)=-(2-2b) 세 값이 같아야 하므로. x`Ú1+. x`Ú1+. =;4!;. 2-2b=-(2-2b). f(1)=1+a. b=1. 세 값이 같아야 하므로. 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 13. 13. 2017-11-02 오후 2:54:42.

(14) 정답과 풀이 `f(x)  가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이려면 `g(x). a+1=;4!;. 그러므로 함수. a=-;4#;. x=1에서 연속이어야 한다. . 따라서. lim  . x`Ú1-. a+b={-;4#;}+2=;4%; ③. `f(x) xÛ`+ax+b = lim   `g(x) x`Ú1- -x+1. 여기서 x Ú 1-일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서 lim (xÛ`+ax+b)=1+a+b=0. x`Ú1-. b=-a-1. 14 함수 y=. xÛ`+(1-a)x+b  는 구간 (-¦, a)에서 연속 x-a. 이고 함수 y=2x-3은 구간 [a, ¦)에서 연속이므로 함수. 이 값을 대입하면 lim  . x`Ú1-. `f(x)는 구간 (-¦, a), [a, ¦)에서 연속이다.. `f(x) xÛ`+ax-(a+1) = lim   -x+1 `g(x) x`Ú1(x-1)(x+a+1) -(x-1).  . = lim  . 에서 연속이어야 한다..  . =- lim (x+a+1). xÛ`+(1-a)x+b lim `f(x)= lim   x-a x`Úax`Úa-.  . =-(a+2). 그러므로 함수  f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이려면 x=a. 여기서 x Ú a-일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. lim  . x`Ú1+. lim {xÛ`+(1-a)x+b}=a+b=0. x`Ú1-. x`Ú1-. `f(x) xÛ`+ax-(a+1) =0 = lim   2 `g(x) x`Ú1+. b=-a. `f(1) 0 = =0 2 `g(1). 이 값을 대입하면. 세 값이 같아야 하므로. xÛ`+(1-a)x-a lim `f(x)= lim   x-a x`Úax`Úa-. -(a+2)=0. x`Úa-. a=-2. (x-a)(x+1) = lim   x-a x`Úa-. 따라서 a=-2, b=1이므로 ab=-2. = lim (x+1). ①. x`Úa-. =a+1 lim `f(x)= lim (2x-3)=2a-3.  f(2)  f(3) >0, f(4)<f(1)이므로. `f(a)=2a-3. 16 `f(1)<0, f(1)f(2)<0,. 세 값이 같아야 하므로. `f(1)<0,  f(2)>0,  f(3)>0,  f(4)<0. a+1=2a-3. 이때 함수  f(x)가 닫힌구간 [1, 4]에서 연속이므로 사잇값의. x`Úa+. x`Úa+. a=4. 정리에 의해 방정식  f(x)=0은 구간 (1, 2), (3, 4)에서 각각. 따라서 a=4, b=-4이므로. 적어도 하나의 실근을 갖는다.. aÛ`+bÛ`=32. 그러므로 방정식  f(x)=0은 구간 (1, 4)에서 적어도 2개의 실  32. 근을 갖는다. 따라서 n=2 2. 15 `함수  f(x)는 구간 (-¦, ¦)에서 연속이고 함수 g(x) 는 구간 (- ¦, 1), [1, ¦ )에서 연속이며 이 구간에서 g(x)+0이므로 함수. `f(x)  는 구간 (-¦, 1), [1, ¦)에서 `g(x). 연속이다. . 14. 17 g(x)=f(x)-x로 놓으면 두 함수  f(x), y=x는 닫힌 구간 [1, 4]에서 연속이므로 g(x)도 닫힌구간 [1, 4]에서 연. 속이다.. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 14. 2017-11-02 오후 2:54:42.

(15) 이므로. 이때 g(1)=f(1)-1=2-1=1>0. lim `f(x)=lim  . g(2)=f(2)-2=1-2=-1<0. x`Ú1. x`Ú1. 'Äx+15+a xÜ`-1. 여기서 x Ú 1일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. g(3)=f(3)-3=2-3=-1<0. lim ('Äx+15+a)=0. g(4)=f(4)-4=5-4=1>0. x`Ú1. 이므로 사잇값의 정리에 의해 방정식 g(x)=0은 구간 (1, 2), . 4+a=0. (3, 4)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.. a=-4. 그러므로 방정식 g(x)=0은 구간 (1, 4)에서 적어도 2개의 실. 그러므로. 근을 갖는다.. yy ➋. `f(1)=lim  . 따라서 n=2. x`Ú1. 2. =lim  . ('Äx+15-4)('Äx+15+4) (x-1)(xÛ`+x+1)('Äx+15+4). =lim  . x-1 (x-1)(xÛ`+x+1)('Äx+15+4). =lim  . 1 (xÛ`+x+1)('Äx+15+4). x`Ú1. 18 두 함수  f(x), g(x)가 구간 [0, 3]에서 연속이므로 함수 `f(x) g(x)도 닫힌구간 [0, 3]에서 연속이다.. x`Ú1. 한편, 조건 (가)에서. x`Ú1. `f(0)>0,  f(0) f(1)<0,  f(1) f(2)>0,  f(2) f(3)>0이므로 `f(0)>0,  f(1)<0,  f(2)<0,  f(3)<0. =. 또, 조건 (나)에서. 'Äx+15-4 xÜ`-1. 1 3_8. =;2Á4;. g(0)>0, g(1)<0, g(2)>0, g(3)<0. yy ➌. 이므로.  ;2Á4;. `f(0) g(0)>0,  f(1) g(1)>0,  f(2) g(2)<0,  f(3) g(3)>0 단계. 그러므로 사잇값의 정리에 의해 방정식  f(x) g(x)=0은 구간. 채점 기준. 비율. (1, 2), (2, 3)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.. ➊. x=1에서 연속인 조건을 구한 경우. 30 %. 그러므로 방정식  f(x) g(x)=0은 구간 (0, 3)에서 적어도 2. ➋. 상수 a의 값을 구한 경우. 30 %. ➌. `f(1)의 값을 구한 경우. 40 %. 개의 실근을 갖는다. 따라서 n=2 2. 02 함수  f(x)가 x+0인 실수 전체의 집합에서 연속이고, 함. 수 g(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이므로 함수. y=f(x)+g(x)는 x+0인 실수 전체의 집합에서 연속이다. yy ➊. . 서술형. 연습장. 01 ;2Á4; 02 1. 본문 24쪽. 그러므로 함수 y=f(x)+g(x)가 x=0에서 연속이면 실수 전 yy ➋. 체의 집합에서 연속이다. . lim {`f(x)+g(x)}= lim `f(x)+ lim `g(x)=1+2=3. 03 2. x`Ú0-. x`Ú0-. x`Ú0-. lim {`f(x)+g(x)}= lim `f(x)+ lim `g(x)=a+2. x`Ú0+. 01. 함수  f(x)가 x=1에서 연속이므로. `f(1)=lim `f(x) x`Ú1. x+1일 때, `f(x)=. 'Äx+15+a xÜ`-1. x`Ú0+. x`Ú0+. `f(0)+g(0)=a+2 yy ➊. 세 값이 같아야 하므로 a+2=3 a=1. yy ➌ 1. 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 15. 15. 2017-11-02 오후 2:54:43.

(16) 정답과 풀이 단계. 채점 기준. ④. 비율. ➊. 연속인 구간을 구한 경우. ➋. 실수 전체의 집합에서 연속인 조건을 언급한 경우. 20 %. ➌. 상수 a의 값을 구한 경우. 50 %. 30 %. 다른풀이. 함수  f(x) f(x-k)가 x=k에서 연속이려면 lim `f(x) f(x-k)= lim `f(x) f(x-k)=f(k) f(0). x`Úk-. x`Úk+. 이어야 한다. 이때. 03. f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a). 라 하면 함수  f(x)는 구간 (-¦, ¦)에서 연속이다.yy ➊. lim `f(x) f(x-k)= lim `f(x)_ lim `f(x-k). x`Úk-. x`Úk-. x`Úk-. = lim `f(x)_ lim `f(t). 한편,. x`Úk-. t`Ú0-. `f(a)=(a-b)(a-c)>0. = lim `f(x)_1. `f(b)=(b-c)(b-a)<0. = lim `f(x). x`Úk-. x`Úk-. `f(c)=(c-a)(c-b)>0 이므로 사잇값의 정리에 의해 방정식  f(x)=0은 구간 (a, b), . lim `f(x) f(x-k)= lim `f(x)_ lim `f(x-k). x`Úk+. x`Úk+. (b, c)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.. x`Úk+. 그러므로 방정식  f(x)=0은 구간 (a, c), 즉 (-¦, ¦)에서 yy ➋. 적어도 두 개의 실근을 갖는다. . 한편, 이차방정식  f(x)=0의 실근의 개수의 최댓값은 2이다. 따라서 이차방정식  f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는 2이다. ➌. . 2 단계. x`Úk+. = lim `f(x)_ lim `f(t). 채점 기준. 비율. ➊. (-¦, ¦)에서의 연속성을 조사한 경우. 30 %. ➋. 사잇값의 정리를 이용한 경우. 50 %. ➌. 이차방정식의 서로 다른 실근의 개수를 구한 경우. 20 %. t`Ú0+. = lim `f(x)_0=0 x`Úk+. 또, x=k에서의 함숫값은 `f(k) f(0)=f(k)_0=0 세 값이 같아야 하므로 lim `f(x)=0. x`Úk-. 따라서 k의 값은 -1, 2이므로 그 합은 1이다.. 02 원 xÛ`+yÛ`=2에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식은 y=xÑ'2 "Ã1Û`+1 =xÑ2. 그러므로. (`0 (k<-2). 내신. 01 ④. +. M`1 (k=-2). 수능. 02 ⑤. 고난도 문항. 본문 25쪽. 03 ①. `f(k)={`2 (-2<k<2) M`1 (k=2) 9`0 (k>2). 이고 함수 y=f(k)의 그래프는 그림과 같다. . 01 함수 y=f(x-k)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를. y 2. x축의 방향으로 k만큼 평행이동한 것이다.. 1. 한편, 함수 y=f(x)는 x=0에서 불연속이므로 함수 y=f(x-k)는 x=k에서 불연속이다. 그러므로 함수  f(x) f(x-k)가 x=k에서 연속이려면 x=k에 서 함수 y=f(x)의 그래프는 x축과 만나야 한다. 따라서 구하는 k의 값은 -1 또는 2이므로 모든 상수 k의 값의 합은 1이다.. 16. y=f(k). -2. O. 2. k. ㄱ. lim `f(k)= lim  2=2 (참) k`Ú2-. k`Ú2-. ㄴ. ‌lim`f(k)+f(a)를 만족시키는 a는 함수 y=f(k)가 k=a k`Úa. 에서 불연속인 것을 의미한다. . 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 16. 2017-11-02 오후 2:54:43.

(17) ‌이때 불연속인 점의 k좌표는 -2, 2이므로 a의 개수는 2이. 2xÛ`. 01 lim x+3 x`Ú1. 다. (참) ㄷ. lim (k+2) f(k)= lim (k+2)_ lim `f(k) k`Ú-2-. k`Ú-2-. =. k`Ú-2-. =0_0=0 k`Ú-2+. =. k`Ú-2+. =0_2=0 그러므로 함수 (k+2) f(k)는 k=-2에서 연속이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤. 03 조건 (나)에서 함수  f(x)는 구간 [-1, 0), [0, 1)에서. 연속이므로 함수  f(x)가 구간 [-1, 1)에서 연속이기 위해서 는 x=0에서 연속이어야 한다. lim `f(x)= lim (x+a)=a. x`Ú1. x`Ú1. lim  x+lim  3 x`Ú1. 2_1_1 = 1+3 =;2!; ②. (2x+3)Û`. 02 lim  (x+1)"ÃxÛ`+x` x`Ú¦. = lim  . x`Ú0-. x`Ú¦. lim `f(x)= lim (axÛ`+b)=b. x`Ú0+. 2 lim x_lim x x`Ú1. {(-2)+2}_ f(-2)=0_1=0. x`Ú0-. x`Ú1. lim (x+3) x`Ú1. lim (k+2) f(k)= lim (k+2)_ lim `f(k). k`Ú-2+. lim  2xÛ`. x`Ú0+. `f(0)=b. =. 세 값이 같아야 하므로. {2+ ` {1+. 3 Û` } x. 1 1 }¾¨1+ x x. 2Û` 1_1. =4. b=a 또, 조건 (가)에서 f(x)=f(x+2)이고 함수 f(x)가 . ④. (-¦, ¦)에서 연속이어야 하므로 x=1에서 연속이어야 한다. lim `f(x)= lim (axÛ`+b)=a+b. xÛ`-1. lim `f(x)= lim {(x-2)+a}=-1+a. 03 lim   |x-1|. `f(1)=-1+a. = lim  . 세 값이 같아야 하므로. =- lim (x+1). x`Ú1-. x`Ú1-. x`Ú1+. x`Ú1-. x`Ú1+. x`Ú1-. (x-1)(x+1) -(x-1). x`Ú1-. a+b=-1+a. =-(1+1). b=-1. =-2. 따라서 a=-1, b=-1이므로. ①. a+b=-2 ①. 대단원 종합 문제. 01 ② 06 ① 11 ② 16 6 21 3. 02 ④ 07 ② 12 ⑤ 17 8 22 2. 03 ① 08 ⑤ 13 ③ 18 ① 23 5. 본문 26~29쪽. 04 ③ 09 ③ 14 ② 19 ②. 05 ③ 10 ③ 15 ③ 20 ②. 04 주어진 식은 x Ú 2일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서 lim (xÝ`-3xÛ`+a)=0 x`Ú2. 4+a=0 a=-4 이 값을 대입하면 lim  x`Ú2. xÝ`-3xÛ`-4 xÛ`-3x+2. =lim  x`Ú2. (xÛ`-4)(xÛ`+1) (x-1)(x-2). 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 17. 17. 2017-11-02 오후 2:54:44.

(18) 정답과 풀이 =lim  x`Ú2. =lim  x`Ú2. =. lim `f(x). (x-2)(x+2)(xÛ`+1) (x-1)(x-2). x`Ú1. lim `f(x)-3. =2. x`Ú1. (x+2)(xÛ`+1) x-1. `f(1) =2 `f(1)-3. (2+2)_(4+1) 2-1. `f(1)=2 f(1)-6. =20=b. `f(1)=6. 따라서. ②. a+b=(-4)+20=16 ③. 08 lim `f(x)=2이므로 x`Ú0-. 05 함수  f(x)가 x=1에서 연속이려면. lim {`f(x)}Û`=2_2=4. x`Ú0-. lim `f(x)= lim `f(x)=f(1). x`Ú1-. 또, lim `f(x)=0이므로. x`Ú1+. x`Ú1+. lim  "Ã f(x)+1=1. 이어야 한다.. x`Ú1+. lim f(x)= lim (xÛ`+ax)=a+1. x`Ú1-. 따라서. x`Ú1-. lim {`f(x)}Û`+ lim  "Ã f(x)+1=4+1=5. lim `f(x)= lim (x+1)Ü`=(1+1)Ü`=8. x`Ú1+. x`Ú1+. x`Ú0-. x`Ú1+. `f(1)=8. ⑤. 세 값이 같아야 하므로 a+1=8. 09 ㄱ.. a=7. lim {`f(x)+g(x)}= lim `f(x)+ lim `g(x). x`Ú1-. x`Ú1-. x`Ú1-. =(-1)+1=0. ③. lim {`f(x)+g(x)}= lim `f(x)+ lim `g(x). x`Ú1+. 06 함수  f(x)가 x=4에서 연속이므로 `f(4)=lim `f(x). x`Ú4. '§x-2 xÛ`-3x-4. 다. ㄴ. lim {`f(x)-g(x)}= lim `f(x)- lim `g(x) x`Ú1-. ('§x-2)('§x+2) =lim  x`Ú4 (xÛ`-3x-4)('§x+2). x`Ú1-. x`Ú1-. =(-1)-1=-2 lim {`f(x)-g(x)}= lim `f(x)- lim `g(x). =lim . x-4 (x-4)(x+1)('§x+2). x`Ú1+. =lim . 1 (x+1)('§x+2). 그러므로 함수  f(x)-g(x)는 x=1에서 극한값을 갖지 않. x`Ú4. x`Ú4. =. ㄷ. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x) x`Ú1-. `. 07 다항함수  f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x`Ú1. x`Ú1-. x`Ú1-. =(-1)_1=-1. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). ①. 그러므로. x`Ú1+. 는다.. 1 (4+1)_(2+2). lim`f(x)=f(1). x`Ú1+. =1-(-1)=2. =;2Á0;. 18. x`Ú1+. 그러므로 함수  f(x)+g(x)는 x=1에서 극한값 0을 갖는. x`Ú4. =lim . x`Ú1+. =1+(-1)=0. x`Ú1+. x`Ú1+. `. x`Ú1+. =1_(-1)=-1. 그러므로 함수  f(x) g(x)는 x=1에서 극한값 -1을 갖는 다. 이상에서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 18. 2017-11-02 오후 2:54:44.

(19) 10 `f(x)+g(x)=h(x), f(x) g(x)=i(x)라 하면 lim h(x)=3, lim i(x)=1 x`Ú1. lim `f(x)= lim  . x`Ú1. x`Ú1+. lim [{`f(x)}Û`+{ g(x)}Û`]. 'Äx+3-d x-1. lim ('Äx+3-d)=2-d=0. x`Ú1. x`Ú1+. =lim [{h(x)}Û`-2i(x)]. d=2. x`Ú1. 이 값을 대입하면. =lim h(x)_lim h(x)-2 lim i(x) x`Ú1. x`Ú1+. 여기서 x Ú 1+일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. 따라서. x`Ú1. yy ㉠. =a+2 . x`Ú1. lim `f(x)= lim  . =3_3-2_1. x`Ú1+. =7. x`Ú1+. 'Äx+3-2 x-1. = lim  . ('Äx+3-2)('Äx+3+2) (x-1)('Äx+3+2). 11 |`f(x)-2x|<3에서. = lim  . x-1 (x-1)('Äx+3+2). -3< f(x)-2x<3. = lim  . 1 'Äx+3+2. ③. x`Ú1+. x`Ú1+. x`Ú1+. 2x-3< f(x)<2x+3. =;4!;. 이므로 x>0일 때 `f(x) 3 3 2- < <2+ x x x lim {2-. 3 }=2 x. lim {2+. 3 }=2 x. x`Ú¦. a+2=c=;4!; a=-;4&;, c=;4!; 이때. 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim  . x`Ú¦. yy ㉢. `f(1)=c ㉠, ㉡, ㉢에서 세 값이 같아야 하므로. 이때 x`Ú¦. b=-a-1=;4#;. `f(x) =2 x. 또, d=2 ②. 12 함수  f(x)가 x=1에서 연속이므로. 따라서 |a|+|b|+|c|+|d|=;4&;+;4#;+;4!;+2 =:Á4»:. lim `f(x)= lim `f(x)=f(1). x`Ú1-. yy ㉡. x`Ú1+. 이어야 한다.. ⑤. xÛ`+ax+b lim `f(x)= lim   x-1 x`Ú1x`Ú1-. 여기서 x Ú 1-일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. ( x-3 (x+3) `f(x)={ |x-3| (x=3) 92 . 13. lim (xÛ`+ax+b)=1+a+b=0. x`Ú1-. b=-a-1. . 이 값을 대입하면 lim `f(x)= lim  . x`Ú1-. x`Ú1-. = lim   x`Ú1-. xÛ`+ax-(a+1) x-1 (x-1)(x+a+1) x-1. = lim (x+a+1) x`Ú1-. (`-1 (x<3). ={`2. 9`1. (x=3) (x>3). 이때 함수  f(x)는 구간 (-¦, 3), (3, ¦)에서 연속이고 함 수 g(x)는 구간 (-¦, ¦)에서 연속이므로 연속함수의 성질 에 의하여 함수  f(x) g(x)는 구간 (-¦, 3), (3, ¦)에서 연 속이다.. 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 19. 19. 2017-11-02 오후 2:54:44.

(20) 정답과 풀이 그러므로 함수  f(x) g(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이려면. `f(0)-g(0)<0,  f(1)-g(1)>0,  f(2)-g(2)<0,. x=3에서 연속이어야 한다.. `f(3)-g(3)<0,  f(4)-g(4)>0. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú3-. x`Ú3-. 그러므로 사잇값의 정리에 의해 방정식  f(x)-g(x)=0은 구간. x`Ú3-. (0, 1), (1, 2), (3, 4)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.. =(-1)_|3-a|. 즉, 방정식  f(x)-g(x)=0은 구간 (0, 4)에서 적어도 3개의. =-|3-a|. 실근을 갖는다.. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú3+. x`Ú3+. x`Ú3+. 따라서 n=3. =1_|3-a|. ③. =|3-a| `f(3) g(3)=2|3-a| 세 값이 같아야 하므로. 16 lim . -|3-a|=|3-a|=2|3-a|. x`Úa. a=3 ③. xÛ`+(2-a)x-2a xÛ`-x-2. =lim  x`Úa. (x-a)(x+2)  (x+1)(x-2). yy ㉠. 이때 a+-1이고 a+2라 하면 분모의 극한값은 0이 아니고 분 자의 극한값은 0이므로 k>0에 모순이다.. 14 함수  f(x)가 구간 (-¦, 2), [2, ¦)에서 연속이므로 함수  f(x)-k도 이 구간에서 연속이다.. Ú a=-1일 때, ㉠은. 그러므로 함수 {`f(x)-k}Û`도 이 구간에서 연속이다. 한편, 함수 y={`f(x)-k}Û` 이 구간 (-¦, ¦)에서 연속이기. lim  . x`Ú-1. 위해서는 x=2에서 연속이면 되므로 lim {`f(x)-k}Û`= lim {`f(x)-k}Û`={`f(2)-k}Û`. x`Ú2-. 그러므로 다음 각 경우로 나눌 수 있다.. (x+1)(x+2) (x+1)(x-2). = lim  . x`Ú2+. x`Ú-1. 이어야 한다.. =. lim {`f(x)-k}Û`=(3-k)Û`. x`Ú2-. x+2 x-2. (-1)+2 (-1)-2. lim {`f(x)-k}Û`=(1-k)Û`. =-;3!;. {`f(2)-k}Û`=(1-k)Û`. 이때 k=-;3!; 이므로 k>0을 만족시키지 않는다.. x`Ú2+. 세 값이 같아야 하므로. Û a=2일 때,. (3-k)Û`=(1-k)Û`. ㉠은. kÛ`-6k+9=kÛ`-2k+1. lim . 4k=8. x`Ú2. k=2 ②. (x-2)(x+2) (x+1)(x-2). =lim  x`Ú2. =. x+2 x+1. 2+2 2+1. 15 두 함수 f(x), g(x)가 닫힌구간 [0, 4]에서 연속이므로. =;3$;. 한편,. 이때 k=;3$; 이므로 k>0을 만족시킨다.. y=f(x)-g(x)도 닫힌구간 [0, 4]에서 연속이다.. `f(0)< g(0),  f(1)>g(1),  f(2)< g(2),  f(3)< g(3),. Ú, Û에서. `f(4)>g(4). a+3k=2+4=6. 이므로. 20. 6. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 20. 2017-11-02 오후 2:54:45.

(21) 17 조건 (나)에서 `f(x)-xÜ`은 최고차항의 계수가 2인 이차 함수이다. 그러므로 `f(x)=xÜ`+2xÛ`+ax+b (a, b는 상수)로. `f(t)=. 놓을 수 있다.. 한편, 조건 (가)에서 x Ú 2일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0 에서. =. 0+t+(-"ÃtÛ`+t ) 3 t-"ÃtÛ`+t` 3. 따라서 lim `f(t). lim`f(x)=8+8+2a+b=0. t`Ú¦. b=-2a-16. =lim  . t-"ÃtÛ`+t` 3. =lim  . (t-"ÃtÛ`+t`)(t+"ÃtÛ`+t`) 3(t+"ÃtÛ`+t`). =lim  . -t 3(t+"ÃtÛ`+t`). x`Ú2. t`Ú¦. 이때  f(x)=xÜ`+2xÛ`+ax-2a-16이고  f(2)=0이므로 조 립제법을 이용하면 다음과 같다. 2. 1. 1. t`Ú¦. 2. a. -2a-16. 2. 8. 2a+16. 4. a+8. 0. t`Ú¦. t`Ú¦. 그러므로 `f(x)=(x-2)(xÛ`+4x+a+8) =. 이 함수를 조건 (가)에 대입하면 lim  x`Ú2. `f(x) xÛ`-4x+4. =lim . (x-2)(xÛ`+4x+a+8) (x-2)Û`. =lim . xÛ`+4x+a+8  x-2. x`Ú2. x`Ú2. -1. =lim  . 3{1+¾¨1+. 1 } t. -1 3(1+1). =-;6!; ① yy ㉠. 위의 식에서 x Ú 2일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. 19 x에 대한 방정식 xÛ`+2ax-a+2=0의 판별식을 D라 하면. lim(xÛ`+4x+a+8)=0. D =aÛ`-(-a+2) 4. 4+8+a+8=0. =(a+2)(a-1). a=-20. 이때 D>0이면  f(a)=2, D=0이면  f(a)=1, D<0이면. 이 값을 ㉠에 대입하면. `f(a)=0이므로. x`Ú2. lim  x`Ú2. (`2 (a<-2). xÛ`+4x-12 x-2. =lim  x`Ú2. M`1 (a=-2). `f(a)={`0 (-2<a<1). (x-2)(x+6) x-2. M`1 (a=1) 9`2 (a>1). =lim(x+6) x`Ú2. =8. 따라서 lim`f(x)+ f(a)를 만족시키는 a는 -2, 1로 그 합은 x`Úa. 따라서 k=8 8. 18 원의 반지름의 길이는. OPÓ=¿¹tÛ`+('t )Û` ="ÃtÛ`+t. -1이다. ②. 20 함수 y=f(x)는 구간 (-3, 0), (0, 3)에서 연속이므로 함수 y=g(x)도 이 구간에서 연속이다.. 그러므로 점 Q의 좌표는 (-"ÃtÛ`+t, 0). 그러므로 함수  f(x)+g(x),  f(x) g(x),. 이때 삼각형 OPQ의 무게중심의 x좌표가  f(t)이므로. 도 이 구간에서 연속이다. . `f(x) (g(x)+0) `g(x). 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 21. 21. 2017-11-02 오후 2:54:45.

(22) 정답과 풀이. 21 함수  f(x)는 다항함수이므로 구간 (-¦, ¦)에서 연속. 그러므로 세 함수의 연속성은 x=0에서 살펴보면 된다. 한편, 함수 y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.. 이다. 또, 함수 g(x)는 a의 값에 관계없이 구간 (-¦, 2), [2, ¦). y y=g(x). 4. 에서 연속이다. 그러므로 함수  f(x) g(x)는 구간 (-¦, 2), [2, ¦)에서 연. 2 1 -3. O. 3. 속이다.. x. 따라서 함수  f(x) g(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 연속이기 위. ㄱ. lim {`f(x)+g(x)}= lim `f(x)+ lim `g(x) x`Ú0-. x`Ú0-. 해서는 x=2에서 연속이어야 한다.. x`Ú0-. =1+4. 함수  f(x) g(x)가 x=2에서 연속이려면. =5. x`Ú2-. lim `f(x) g(x)= lim `f(x) g(x)= f(2) g(2). lim {`f(x)+g(x)}= lim `f(x)+ lim `g(x). x`Ú0+. x`Ú0+. x`Ú2+. 이어야 한다.. x`Ú0+. 이때. =4+1. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). =5. x`Ú2-. x`Ú2-. f(0)+g(0)=2+2=4 그러므로 함수  f(x)+g(x)는 구간 (-3, 3)에서 불연속 이다. x`Ú0-. lim `f(x) g(x)= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú2+. x`Ú2+. `f(2) g(2)=(4-a)_(a+4). x`Ú0-.  . =1_4. 세 값이 같아야 하므로.  . =4. 3(4-a)=(4-a)(a+4). lim {`f(x) g(x)}= lim `f(x)_ lim `g(x). x`Ú0+. x`Ú0+.  . =4_1.  . =4. x`Ú2+. =(4-a)_(a+4). ㄴ. lim {`f(x) g(x)}= lim `f(x)_ lim `g(x) x`Ú0-. x`Ú2-. =(4-a)_3. (a+1)(a-4)=0. x`Ú0+. a=-1 또는 a=4 따라서 모든 상수 a의 값의 합은 (-1)+4=3. f(0)g(0)=2_2=4. 3. 그러므로 함수 f(x)g(x)는 구간 (-3, 3)에서 연속이다. ㄷ. lim   x`Ú0-. lim `f(x) `f(x) x`Ú0= `g(x) lim `g(x) x`Ú0-. 22 lim  |x-1| 의 극한값이 존재하고 x Ú 1-일 때, f(x). =;4!;. x`Ú1-. (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. lim `f(x) `f(x) x`Ú0+ = lim   x`Ú0+ `g(x) lim `g(x). lim `f(x)=0. x`Ú1-. x`Ú0+. 이때  f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로. =;1$;. `f(x)=(x-1)(x-a) (a는 상수) 로 놓을 수 있다. . =4. 이때. `f(0) 2 = =1 2 `g(0) `f(x) 그러므로 함수 는 구간 (-3, 3)에서 불연속이다. `g(x) 이상에서 연속인 것은 ㄴ이다. ②. 22. yy ➊. f(x) (x-1)(x-a) = lim   lim   |x-1| x`Ú1-(x-1). x`Ú1-. . = lim {-(x-a)}. . =-1+a. x`Ú1-. yy ㉠   yy ➋. 또,. 올림포스•수학Ⅱ. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 22. 2017-11-02 오후 2:54:45.

(23) 이것을 구하는 식에 대입하면. f(x) (x-1)(x-a) = lim   lim   x-1 |x-1| x`Ú1+. x`Ú1+. . = lim (x-a). . =1-a. lim  x`Ú1. x`Ú1+. yy ㉡   yy ➌. `f(x) xÛ`+3x+a+3 =lim  x-1 (x-1)Û` x`Ú1. 여기서 x Ú 1일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서 lim(xÛ`+3x+a+3)=0. f(x) f(x) - lim   =2와 ㉠, ㉡에서 lim   x`Ú1- |x-1| x`Ú1+ |x-1|. a+7=0. (-1+a)-(1-a)=2. a=-7. 2a-2=2. 이 값을 대입하여 계산하면. x`Ú1. a=2. lim . yy ➌. (x-1)(x+4) xÛ`+3x-4 =lim  x-1 x-1 x`Ú1. 따라서  f(x)=(x-1)(x-2)이므로. yy ➍. `f(3)=2. yy ➎. . =lim(x+4). 2. . =1+4. . =5. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 조건 (가)를 이용한 경우. 30 %. ➋. 좌극한을 구한 경우. 20 %. ➌. 우극한을 구한 경우. 20 %. ➍. `f(x)를 구한 경우. 20 %. ➎. `f(3)의 값을 구한 경우. 10 %. x`Ú1. x`Ú1. yy ➍ 5. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. `f(1)=0을 구한 경우. 20 %. ➋. 조건 (나)를 이용한 경우. 30 %. ➌. 극한값이 존재할 조건을 이용한 경우. 30 %. ➍. 극한값을 구한 경우. 20 %. 23 다항함수  f(x)는 연속이므로 lim`f(x)=f(1)이다. x`Ú1. 그러므로 조건 (가)에서 `f(1)=2 f(1) yy ㉠   yy ➊. `f(1)=0. 조건 (나)에서  f(x)-xÜ`은 최고차항의 계수가 2인 이차함수이 므로 `f(x)=xÜ`+2xÛ`+ax+b (a, b는 상수) 로 놓을 수 있다. 이때 ㉠에서  f(1)=0이므로 3+a+b=0 b=-a-3 yy ➋. 즉,  f(x)=xÜ`+2xÛ`+ax-a-3. 이때  f(x)는 x-1을 인수로 가지므로 조립제법을 이용하면 다 음과 같다. 1. 1. 1. 2. a. -a-3. 1. 3. a+3. 3. a+3. 0. 그러므로 `f(x)=(x-1)(xÛ`+3x+a+3). 정답과 풀이. 해 01-23 올림기본(수2)_1단원-OK전.indd 23. 23. 2017-11-02 오후 2:54:46.

(24) 정답과 풀이 Ⅱ. 미분. 03 1. 3 6. 1. 1.. x`Ú4. 미분계수와 도함수. 기본 유형 익히기 2. 6. lim .  f(x)-f(4) =3 x-4. 구하는 식에서 xÛ`=t로 놓으면 x -Ú 2일 때, t -Ú 4이므로 유제. 3. 12. 4. 1. 본문 32~34쪽. 5. 12. x의 값이 a에서 a+1까지 변할 때의 평균변화율이 9이므. 로. lim  x`Ú2.  f(xÛ`)-f(4)  f(xÛ`)-f(4) =lim [ _(x+2)] x-2 x`Ú2 (x-2)(x+2). . =lim (x+2)_ lim . . =4_lim . . =4f '(4). . =4_3=12. x`Ú2. x`Ú2. t`Ú4.  f(xÛ`)-f(4) xÛ`-4.  f(t)-f(4) t-4.  12.  f(a+1)-f(a) =9 (a+1)-a 이때  f(x)=xÛ`+2x이므로. 4.. {(a+1)Û`+2(a+1)}-(aÛ`+2a)=9. 함수  f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속. 이다.. (aÛ`+4a+3)-(aÛ`+2a)=9. 그러므로 lim f(x)= lim f(x)=f(1). 2a+3=9. x`Ú1-. x`Ú1+. 1+a=3+b=3+b. a=3 3. yy ㉠. b=a-2 함수  f(x)가 x=1에서 미분가능하므로. 2. lim  h`Ú0.  f '(1)=3에서  f(1+h)-f(1) =3 h. yy ㉠. h`Ú0.  f(1+h)-f(1-h) h. =lim . { f(1+h)-f(1)}-{ f(1-h)-f(1)} h. =lim .  f(1+h)-f(1)  f(1-h)-f(1) +lim  h -h h`Ú0. h`Ú0. h`Ú0.  f(1-h)-f(1)  =f '(1)+lim  -h h`Ú0 이때 lim  h`Ú0. h`Ú0. (xÛ`+ax)-(a+1) (3x+b)-(3+b) = lim   x-1 x-1 x`Ú1+. lim  . (x-1)(x+a+1)  3(x-1) = lim   x-1 x-1 x`Ú1+. a+2=3, a=1 ㉠에서 b=-1 따라서 2a+b=1 1 yy ㉡.  f(1-h)-f(1) 에서 -h=h'으로 놓으면 h -Ú 0일 -h.  f(1-h)-f(1)  f(1+h')-f(1) =lim  -h h' h'`Ú0. . lim  . x`Ú1-. 때 h' -Ú 0이므로 lim .  f(x)-f(1)  f(x)-f(1) = lim   x-1 x-1 x`Ú1+. x`Ú1-. 한편, ㉠을 이용하여 주어진 식을 변형하면 lim . lim  . x`Ú1-. 5..  f(x)=xà`+5x+3에서.  f '(x)=7xß`+5 따라서 lim  h`Ú0.  f(1+h)-f(1) =f '(1) h. . =f '(1). =7+5=12  12. 따라서 ㉡은  f '(1)+f '(1)=2f '(1)=2_3=6 6.  f(x)=(x-1)(xÛ`+2)에서.  f '(x)=(xÛ`+2)+(x-1)_2x. 3..  f '(4)=3에서. 24. 6..  . =3xÛ`-2x+2. 올림포스•수학Ⅱ. 해 24-49 올림기본(수2)_2단원-OK전1.indd 24. 2017-11-06 오후 2:36:14.

(25)  f(2)-f(1) =1 2-1. 따라서 lim  h`Ú0.  f(k+h)-f(k) =f '(k) h.  . yy ㉠.  f(2)=f(1)+1. 또, 두 점 (2,  f(2)), (3,  f(3))을 지나는 직선의 기울기가 5. =3kÛ`-2k+2=3. 3kÛ`-2k-1=0. 이므로. (3k+1)(k-1)=0.  f(3)-f(2) =5 3-2. k>0이므로 k=1 1. yy ㉡.  f(3)=f(2)+5 ㉠과 ㉡에서  f(3)=f(1)+6 따라서 x의 값이 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율은. 유형 확인. 01 ② 06 ⑤ 11 ② 16 ③. 02 ③ 07 ④ 12 ① 17 ⑤. 본문 35~37쪽. 03 ③ 08 ④ 13 ⑤ 18 ④. 04 ③ 09 ③ 14 ②. 05 ③ 10 ② 15 ③. { f(1)+6}-f(1)  f(3)-f(1) = =3 3-1 2 ③. 04  f '(2)=1이므로 lim  h`Ú0.  f(2+h)-f(2) =1 h. 01 x의 값이 1에서 a까지 변할 때의 평균변화율이 3이므로. 그러므로.  f(a)-f(1) =3 a-1. lim  h`Ú0. 이때  f(x)=xÛ`+3이므로 (aÛ`+3)-(1+3) =3 a-1.  f(2+5h)-f(2+2h) h. =lim . { f(2+5h)-f(2)}-{ f(2+2h)-f(2)} h. =lim .  f(2+5h)-f(2)  f(2+2h)-f(2)  yy ㉡ -lim  h h h`Ú0. h`Ú0. aÛ`-1=3(a-1). h`Ú0. aÛ`-3a+2=0. 이때 lim  h`Ú0. (a-1)(a-2)=0. yy ㉠.  f(2+5h)-f(2) 에서 5h=h'으로 놓으면 h Ú`0에 h. 서 h' Ú`0이므로 ㉠을 이용하면. a>1이므로 a=2 ②. lim  h`Ú0.  f(2+5h)-f(2)  f(2+5h)-f(2) =5 lim  h 5h h`Ú0  f(2+h')-f(2) h'. 02 x의 값이 0에서 a`(a>0)까지 변할 때의 평균변화율이. . =5 lim . aÛ`+2a이므로. . =5f '(2).  f(a)-f(0) =aÛ`+2a a-0.  f(2+2h)-f(2) 또, lim  에서 2h=h'으로 놓으면 h Ú 0에서 h h`Ú0. h'`Ú0. h' Ú 0이므로 ㉠을 이용하면. 이때  f(0)=1이므로  f(a)-1 =aÛ`+2a a. lim  h`Ú0. f(a)=aÜ`+2aÛ`+1 따라서  f(2)=2Ü`+2_2Û`+1=17 ③. 03 두 점 (1,  f(1)), (2,  f(2))를 지나는 직선의 기울기가.  f(2+2h)-f(2)  f(2+2h)-f(2) =2 lim  h 2h h`Ú0  f(2+h')-f(2) h'. . =2 lim . . =2f '(2). h'`Ú0. 따라서 ㉡은 5f '(2)-2f '(2)=3f '(2)=3_1=3 ③. 1이므로. 정답과 풀이. 해 24-49 올림기본(수2)_2단원-OK전1.indd 25. 25. 2017-11-06 오후 2:36:15.

(26) 정답과 풀이. 05 함수  f(x)에 대하여 x의 값이 1에서 1+h까지 변할 때. 의 y의 증분 Dy는. lim  x`Ú2. 따라서. Dy=hÜ`+2hÛ`+3h. lim . 이므로. x`Ú2.  f(1+h)-f(1)=hÜ`+2hÛ`+3h 따라서  f '(1)=lim  h`Ú0.  f(x)-f(2) =3 x-2.  f(1+h)-f(1) =lim (hÛ`+2h+3) h h`Ú0. { f(x)-f(2)}('x+'2)  f(x)-f(2) =lim  x`Ú2 ('x-'2)('x+'2) 'x-'2.  f(x)-f(2) x-2. . =lim ('x+'2)_lim . . =2'2_f '(2)=2'2_3=6'2. x`Ú2. x`Ú2. ④. =0+0+3=3 ③. 06 lim  h`Ú0.  f(1+2h)-f(1) =6에서 2h=h'이라 하면 h Ú 0 h. 에서 h' Ú 0이므로 lim  h`Ú0. 08 x의 값이 1에서 t까지 변할 때의 평균변화율이 tÛ`+2t-3 이므로 t-1  f '(1)=lim  t`Ú1. =lim (t+3)=1+3=4.  f(1+2h)-f(1)  f(1+2h)-f(1) =2 lim  h 2h h`Ú0 =2 lim . . =2 f '(1)=6. h'`Ú0. t`Ú1. ④.  f(1+h')-f(1) h'. . (t-1)(t+3) tÛ`+2t-3 =lim  t-1 t-1 t`Ú1. 09  f '(3)=12에서 lim . 그러므로  f '(1)=3. x`Ú3.  f(x)-f(3) =12 x-3. 구하는 식에서 x+1=t로 놓으면 x Ú 2일 때 t Ú 3이므로. 한편,  f(1+h)-f(1-2h) lim  h h`Ú0. lim  x`Ú2.  f(x+1)-f(3)  f(x+1)-f(3) =lim  x`Ú2 (x-2)(x+2) xÛ`-4. =lim . { f(1+h)-f(1)}-{ f(1-2h)-f(1)} h. . =lim . =lim .  f(1+h)-f(1)  f(1-2h)-f(1) +lim  h -h h`Ú0. . =;4!;_lim . . =;4!;_12=3. h`Ú0. h`Ú0. =f '(1)+lim  h`Ú0. 이때 lim  h`Ú0.  f(1-2h)-f(1)  -h. yy ㉠.  f(1-2h)-f(1) 에서 -2h=h'으로 놓으면 h Ú 0 -h. 에서 h' Ú 0이므로 lim  h`Ú0. .  f(x+1)-f(3) 1 _lim  x-2 x+2 x`Ú2 t`Ú3. ③. 10 함수  f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 함수 f(x)는 즉, lim`f(x)=f(1) x`Ú1.  f(1+h')-f(1) =2 lim  h'`Ú0 h'. 이때 lim (x+1)Û`f(x)=8에서. =2f '(1). lim (x+1)Û`_lim`f(x)=8. x`Ú1. x`Ú1. 따라서 ㉠은. x`Ú1. 4f(1)=8,  f(1)=2.  f '(1)+2f '(1)=3f '(1)=3_3=9. ② ⑤. 07  f '(2)=3에서 26.  f(t)-f(3) =;4!;_f '(3) t-3. x=1에서 연속이다..  f(1-2h)-f(1)  f(1-2h)-f(1) =2 lim  -h -2h h`Ú0. . x`Ú2. 11 점 (0,  f(0))에서의 접선의 기울기가 존재하므로 함수  f(x)는 x=0에서 미분가능하다.. 올림포스•수학Ⅱ. 해 24-49 올림기본(수2)_2단원-OK전1.indd 26. 2017-11-06 오후 2:36:15.

(27) 14  f(x)=xÛ`+2x+3에서  f '(x)=2x+2이고 함수  f(x). 이때  f(x)는 x=0에서 연속이므로 lim  f(x)= lim  f(x)= f(0). x`Ú0-. 는 구간 (-¦, ¦)에서 미분가능하다.. x`Ú0+. 이때. 0=b=b 또, 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하므로 lim  . x`Ú0-. lim  . x`Ú0-. lim .  f(x)-f(0)  f(x)-f(0) = lim   x-0 x-0 x`Ú0+. h`Ú0. xÛ`+x ax = lim   x x`Ú0+ x.  f(1+h)-f(1-2h) h. =lim . { f(1+h)-f(1)}-{ f(1-2h)-f(1)} h. =lim .  f(1+h)-f(1)  f(1-2h)-f(1) +2 lim  h -2h h`Ú0. h`Ú0. h`Ú0. 1=a 또,  f '(0)=1에서 c=1. =f '(1)+2f '(1)=3f '(1). 따라서 a+b+c=1+0+1=2. =3_4=12 ②. ②. 12 함수  f(x)가 x=b에서 미분가능하므로 x=b에서 연속 이다. x`Úb+. yy ㉠. bÛ`=6b+a=6b+a 또, 함수 f(x)가 x=b에서 미분가능하므로. lim  . xÛ`-bÛ` (6x+a)-(6b+a) = lim   x-b x-b x`Úb+. lim  . (x+b)(x-b) 6(x-b) = lim   x-b x-b x`Úb+. x`Úb-. yy ㉠. 3=a+b. 또, 이 그래프 위의 점 (1,`3)에서의 접선의 기울기가 5이므로  f '(x)=3axÛ`+b에서.  f(x)-f(b)  f(x)-f(b) = lim   lim   x-b x-b x`Úbx`Úb+ x`Úb-.  f(x)=axÜ`+bx`(a, b는 상수, a+0) 이 그래프 위의 점이 (1,`3)이므로 대입하면. lim  f(x)= lim  f(x)=f(b). x`Úb-. 15 삼차함수 y=f(x)의 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로. yy ㉡.  f '(1)=3a+b=5 ㉠과 ㉡에서 a=1, b=2 따라서  f(x)=xÜ`+2x이므로  f(3)=27+6=33. ③. 2b=6, b=3 ㉠에서 a=bÛ`-6b=-9 따라서 a+b=-6 ①. 16 g(x)=(xÛ`+2x)f(x)에서 g '(x)=(2x+2)f(x)+(xÛ`+2x)f '(x) 이때  f (1)=2,  f '(1)=3이므로. 13 함수  f(x)=xÜ`+3x+5에서. g '(1)=4f(1)+3f '(1).  f '(x)=3xÛ`+3. =4_2+3_3. 따라서. =17. lim   x`Ú2.     ③.  f(x)-f(2)  f(x)-f(2) =lim  x`Ú2 (x-2)(x+1) xÛ`-x-2 =lim . . =;3!;_f '(2). . =;3!;_15. . =5. x`Ú2. 17  f(x)가 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고.  f(x)-f(2) 1 _lim  x-2 x+1 x`Ú2. .  f(1)=f(2)=0이므로  f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)`(a는 상수) 로 놓을 수 있다. 이때  f(0)=-2이므로 f(0)=-2a=-2 ⑤. a=1. 정답과 풀이. 해 24-49 올림기본(수2)_2단원-OK전1.indd 27. 27. 2017-11-06 오후 2:36:15.

(28) 정답과 풀이 그러므로  f(x)=(x-1)Û`(x-2). 4a=-8, a=-2. 이때  f`'(x)=2(x-1)(x-2)+(x-1)Û`이므로. ㉠에서 b=1. yy ➌.  f '(1)=0,  f '(2)=1,  f '(3)=8.  a=-2, b=1. 따라서. 단계.  f '(1)+f '(2)+f '(3)=0+1+8=9 ⑤. 18  f '(1)=3, g '(1)=4이므로 함수  f(x)와 g(x)는 모두. 채점 기준. 비율. ➊. 극한값이 존재할 조건을 이용한 경우. 40 %. ➋. `f '(2)의 값을 구한 경우. 30 %. ➌. 상수 a, b의 값을 구한 경우. 30 %. x=1에서 미분가능하다.. 02 lim . 그러므로 함수  f(x)g(x)도 x=1에서 미분가능하다.. x`Ú1. 이때  f(1)=g(1)=2이므로 h(x)=f(x)g(x)라 하면 lim  x`Ú1.  f(1)=0이므로.  f(x)g(x)-4  f(x)g(x)-f(1)g(1) =lim  x-1 x-1 x`Ú1. . =lim  x`Ú1. . lim  x`Ú1. h(x)-h(1) x-1. h'(1)=f '(1)g(1)+f(1)g '(1). n+2=4 yy ➋. n=2.  . 2.  . =14. 단계. ④. 연습장. 본문 38쪽. 비율. 미분계수로 나타낸 경우. 50 %. ➋. n의 값을 구한 경우. 50 %. 03  f(x)=xÛ`â`Ú`¡`+ax+b가 (x-1)Û`으로 나누어떨어지므로 몫을 Q(x)라 하면 yy ㉠   yy ➊. 이때 x=1을 대입하면 1+a+b=0. 01 x Ú 2일 때, (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0에서. yy ㉡   yy ➋. a+b=-1 ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면. lim { f(x)-1}=0 x`Ú2. 2018xÛ`â`Ú`à`+a=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û`Q'(x). 다항함수  f(x)는 연속이므로  f(2)=1. yy ➌. 이 식에 x=1을 대입하면. 이때. 2018+a=0, a=-2018. 8+4a+b=1 4a+b=-7. 채점 기준. ➊. xÛ`â`Ú`¡`+ax+b=(x-1)Û`Q(x). 01 a=-2, b=1 02 2 03 a=-2018, b=2017. yy ㉠   yy ➊. 주어진 식은 lim . yy ➊.  f '(1)=4. 이때 h'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g '(x)이므로. 서술형.  f(x)-f(1) =4 x-1. 이때  f '(x)=nxn-1+2이므로. =h'(1). =3_2+2_4. xÇ`+2x-3 =4에서  f(x)=xÇ`+2x-3으로 놓으면 x-1.  a=-2018, b=2017 단계.  f(x)-f(2) =4 x-2. yy ➍. ㉡에서 b=2017. 채점 기준. 비율. ➊. 주어진 식을 (x-1)Û`Q(x)로 나타낸 경우. 30 %. ➋. x=1을 대입하여 식을 구한 경우. 20 %. 한편,  f '(x)=3xÛ`+2ax이므로. ➌. 미분하여 식을 구한 경우. 30 %. 12+4a=4. ➍. 상수 a, b의 값을 구한 경우. 20 %. x`Ú2.  f '(2)=4. 28. yy ➋. 올림포스•수학Ⅱ. 해 24-49 올림기본(수2)_2단원-OK전1.indd 28. 2017-11-06 오후 2:36:16.

(29) 내신. 01 ③. +. 수능. 02 ④. 고난도 문항. 본문 39쪽. 03 ③. 이때 n=1이라 하면 좌변은 1차이고 우변은 2차이므로 성립하 지 않는다. n¾3이라 하고  f(x)의 최고차항을 axÇ` 이라 하면 좌변의 최고 차항은 axÇ` 이다.. 01 ㄱ.   이다..  f(a) 는 원점과 점 (a,  f(a))를 잇는 직선의 기울기  a. (2n-1)axÇ`=0.  f(a) É1 (참) a. 이때 n¾3이므로 a=0. ㄴ. ‌a>1이면 점 (a,  f(a))에서의 접선의 기울기는 1보다 작 으므로  f`'(a)<1이다. (거짓). 이는 모순이다. 그러므로 n=2  f(x)=axÛ`+bx+c(a, b, c는 상수)로 놓으면. ㄷ.  f(a)<af '(a)에서.  f '(x)=2ax+b이므로.  f(a) <f '(a) a.   . 고차항은 2naxÇ` 이다. 그러므로 axÇ`=2naxÇ`.   이때 이 직선의 기울기는 1보다 작거나 같다.   그러므로. 한편,  f '(x)의 최고차항은 (axÇ`)'=naxn-1이므로 우변의 최. axÛ`+bx+c=2x(2ax+b)+3xÛ`+x+2.  f(a)   ‌이때 원점과 점 (a,  f(a))를 잇는 직선의 기울기 가 a. axÛ`+bx+c=(4a+3)xÛ`+(2b+1)x+2. ‌­점 (a,  f(a))에서의 접선의 기울기 f '(a)보다 작은 a의 값. a=4a+3, b=2b+1, c=2. 의 범위는 0<a<1이다. (참). 그러므로 a=-1, b=-1, c=2. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 따라서  f(x)=-xÛ`-x+2이므로 ③.  f(1)=0 ③.  f(x)-1 lim  =3에서 x Ú 2일 때, (분모) Ú 0이므로 x-2 x`Ú2. 02. (분자) Ú 0에서. lim { f(x)-1}=0,  f(2)=1 x`Ú2. lim  x`Ú2.  f(x)-f(2) =3에서 x-2.  f '(2)=3 마찬가지 방법으로 하면 `lim  x`Ú2.  g(x)+1 =2에서 x-2. g(2)=-1, g '(2)=2 따라서 y=f(x){ f(x)+2g(x)}에서 y '=f '(x){ f(x)+2g(x)}+`f(x){ f '(x)+2`g '(x)} 이므로 x=2에서의 미분계수는  f '(2){ f(2)+2g(2)}+f(2){ f '(2)+2g '(2)} =3{1+2_(-1)}+`1_(3+2_2) =(-3)+7=4 ④. 03  f(x)의 차수를 n (n은 자연수)이라 하면  f '(x)는 n-1 차이므로 2xf '(x)는 n차이다.. 정답과 풀이. 해 24-49 올림기본(수2)_2단원-OK전1.indd 29. 29. 2017-11-06 오후 2:36:16.

(30) 정답과 풀이 Ⅱ. 미분. 04 1. ③ 6. 7. 1.. 이때 -3<c<3이므로 c=1. 도함수의 활용 (1). 기본 유형 익히기 2. 2. c=-3 또는 c=1 1. 유제. 3. 1. 4. 1. 본문 42~44쪽. 5. ②. 4.. 함수  f(x)=xÝ`-4x+3에서.  f '(x)=4xÜ`-4=4(x-1)(xÛ`+x+1) 이므로  f '(x)=0에서 x=1 함수  f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. y=xÝ`+2x에서 y'=`4xÜ`+2이므로 점 (1,`3)에서의 접. 선의 기울기는 4_1Ü`+2=6 그러므로 접선의 방정식은. x. y. 1. y.  f '(x). -. 0. +.  f(x). ↘. ↗. 그러므로 함수  f(x)가 증가하는 구간은 [1, ¦)이므로 a의 최. y-3=6(x-1). 솟값은 1이다.. y=6x-3. 1. 따라서 접선의 y절편은 -3이다. ③. 2.. 5..  f '(x)=12xÜ`-12x=12x(xÛ`-1).  . =12x(x+1)(x-1). 곡선 y=xÜ`-x 위의 접점을 (a, aÜ`-a)로 놓으면. y'=3xÛ`-1이므로 접선의 방정식은.  f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1. y-(aÜ`-a)=(3aÛ`-1)(x-a). 함수  f (x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. 이 접선이 점 A(0, -2)를 지나므로 -2-(aÜ`-a)=(3aÛ`-1)(-a) 2aÜ`=2 a=1. x. y. -1. y. 0. y. 1. y.  f '(x). -. 0. +. 0. -. 0. +.  f(x). ↘. -1. ↗. 2. ↘. -1. ↗. 따라서 극댓값은 x=0일 때 2이다.. 그러므로 접선의 방정식은. ②. y=2(x-1) y=2x-2 이때 이 접선이 점 (2, k)를 지나므로. 6.. k=2. 서 극값을 가지므로 2.  f '(x)=3xÛ`+2ax+b이고 함수 f(x)가 x=1, x=3에.  f '(1)=0,  f '(3)=0  f '(x)=3(x-1)(x-3). 3..  . =3xÛ`-12x+9. 함수  f(x)=xÜ`+3xÛ`은 다항함수이므로 닫힌구간. [-3, 3]에서 연속이고 열린구간 (-3, 3)에서 미분가능하다.. 그러므로 2a=-12, b=9. 이때 평균값 정리에 의하여. a=-6, b=9.  f(3)-f(-3) =f '(c) 3-(-3). 따라서  f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x+3. 인 c가 열린구간 (-3, 3)에서 적어도 하나 존재한다.. 함수  f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. 이때  f '(x)=3xÛ`+6x이므로 54-0 =3cÛ`+6c, 3cÛ`+6c-9=0 6 cÛ`+2c-3=0, (c+3)(c-1)=0. 30.  f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3. x. y. 1. y. 3. y.  f '(x). +. 0. -. 0. +.  f(x). ↗. 7. ↘. 3. ↗. 올림포스•수학Ⅱ. 해 24-49 올림기본(수2)_2단원-OK전1.indd 30. 2017-11-06 오후 2:36:16.

(31) 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값 7을 갖는다.. 그러므로 접선의 방정식은 7. y-2=3(x-1) y=3x-1 이때 이 접선과 곡선 y=xÜ`+1이 만나는 점 B의 x좌표는 xÜ`+1=3x-1. 유형 확인. 01 ② 06 ③ 11 ④ 16 ②. 02 ④ 07 2 12 ③ 17 ④. 03 ③ 08 ④ 13 ③ 18 ④. 04 ⑤ 09 ② 14 ④. 본문 45~47쪽. xÜ`-3x+2=0. 05 ④ 10 ② 15 ③. 한편,  f(x)=xÜ`-3x+2로 놓으면 f(1)=0이므로 조립제법을 이용하면 다음과 같다. 1. 1. 1. 01 점 (1, a)가 곡선 y=xÜ`-xÛ`+2 위의 점이므로 a=1-1+2=2. 그러므로 위의 방정식은. 이때 y '=`3xÛ`-2x이므로 접선의 기울기는. (x-1)(xÛ`+x-2)=0. 3_1Û`-2_1=1. (x-1)Û`(x+2)=0. 0. -3. 2. 1. 1. -2. 1. -2. 0. x=1 또는 x=-2. 따라서 접선의 방정식은 y-2=1_(x-1). 따라서 B(-2,`-7)이므로 선분 AB의 중점의 좌표는. y=x+1. {. 이므로 amn=2_1_1=2 ②. 1+(-2) 2+(-7) }={-;2!;,``-;2%;} , 2 2. 이므로 a+b={-;2!;}+{-;2%;}=-3. 02 곡선 y=xÝ`+3x+6이 y축과 만나는 점의 y좌표는 x=0. ③. 을 대입하면. 04 접점의 좌표를 {a, ;3!;aÜ`+aÛ`}이라 하면. y=6 즉, A(0,``6) 한편, y'=4xÜ`+3에서 점 A에서의 접선의 기울기는 3이므로. y'=xÛ`+2x이므로 접선의 방정식은. 접선의 방정식은. y-{;3!; aÜ`+aÛ`}=(aÛ`+2a)(x-a). y-6=3(x-0). 이 접선이 직선 y=3x+2와 평행하므로. y=3x+6. aÛ`+2a=3. 이 접선의 x절편은. (a+3)(a-1)=0. 0=3x+6. a=-3 또는 a=1. x=-2. 이때 접선의 방정식은. 그러므로 B(-2,``0). y=3(x+3), y-;3$;=3(x-1). 따라서 삼각형 ABO의 넓이는. y=3x+9, y=3x-;3%;. ;2!;_6_2=6 ④. 03 y=xÜ`+1에서 y'=3xÛ`이므로 점 A(1,`2)에서의 접선의 기울기는 3이다.. 두 직선의 y절편은 각각 9,``-;3%;이므로 양수인 y절편은 9이다. ⑤. 05 접점을 (a, aÜ`+1)로 놓으면 y'=3xÛ`이므로 접선의 방정 정답과 풀이. 해 24-49 올림기본(수2)_2단원-OK전1.indd 31. 31. 2017-11-06 오후 2:36:17.

수치

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참조

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