Ú xÉ2일 때

   f(x)É0이고, 함수  f(x)가 증가하므로  f '(x)¾0   즉,  f(x)f'(x)É0

Û 2ÉxÉ5일 때

   f(x)¾0이고, 함수  f(x)가 증가하므로  f '(x)¾0   즉,  f(x)f '(x)¾0

Ü 5ÉxÉ11일 때

   f(x)¾0이고, 함수  f(x)가 감소하므로  f '(x)É0

  즉,  f(x)f '(x)É0 Ý x¾11일 때

   f(x)¾0이고, 함수 f(x)가 증가하므로  f '(x)¾0   즉,  f(x)f '(x)¾0

Ú∼Ý에서 부등식 f(x)f '(x)É0을 만족시키는 x의 값의 범 위는

xÉ2 또는 5ÉxÉ11

따라서 20 이하의 자연수 n의 값은  1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 이고, 그 개수는 9이다.

 ①

11

   f '(x) =3xÛ`-6(a-1)x-12a   

=3(x+2)(x-2a)  f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2a

a>0이므로 함수  f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과  같다.

x y -2 y 2a y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

함수 f(x)는 x=-2에서 극대, x=2a에서 극소이다.

따라서 g(a)=f(-2)=12a+7,  h(a)=f(2a)=-4aÜ`-12aÛ`+3이므로

a`limÚ¦ aÛ`g(a) h(a) =lim

a`Ú¦  aÛ`(12a+7)-4aÜ`-12aÛ`+3       =lim

a`Ú¦  12aÜ`+7aÛ`

-4aÜ`-12aÛ`+3       =-3

 ①

12

  세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 a, b, c (a<b<c)라 하면 h'(x)=g'(x)-f '(x)

h'(x)=0에서 x=a 또는 x=b 또는 x=c

함수 h(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y a y b y c y

h'(x) + 0 - 0 + 0

-h(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

함수 h(x)는 x=b에서 극소이다.

이때 방정식 f(x)=g(x)의 서로 다른 실근의 개수는 함수  

y=h(x)의 그래프와 x축이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

그런데 함수 h(x)의 극솟값이 양수이므로 구하는 서로 다른 실 근의 개수는 2이다.

 ②

13

  밑면의 반지름의 길이를 x, 원기둥의 높이를 h라 하면 원기둥의 겉넓이는

2_pxÛ`+2px_h=2px(x+h) 2px(x+h)=54p에서

h= 27x -x

원기둥의 부피를  f(x)라 하면  f(x)=pxÛ`_{ 27x -x}

=p(27x-xÜ`)

이때 x(27-xÛ`)>0에서 0<x<3'3  f '(x)=p(27-3xÛ`)이므로  f '(x)=0에서  x=-3 또는 x=3

함수  f(x)가 x=3에서 극대이면서 최대이므로 a=3 b=f(3)=p_(27_3-3Ü`)=54p

따라서  bap = 54p 3_p =18

 18

14

  점 P의 시각 t에서의 속도는 dt (tÝ`-8tÜ`+18tÛ`)=4tÜ`-24tÛ`+36td  점 Q의 시각 t에서의 속도는

dt (mt)=md 

두 점 P, Q의 속도가 같아야 하므로 4tÜ`-24tÛ`+36t=m

 f(t)=4tÜ`-24tÛ`+36t로 놓으면  f '(t) =12tÛ`-48t+36   

=12(t-1)(t-3)  f '(t)=0에서 t=1 또는 t=3

함수  f(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

t (0) y 1 y 3 y

f '(t) + 0 - 0 +

f(t) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

함수 f(t)는 t=1에서 극댓값 f(1)=16을 갖고, t=3에서 극 2'2-tÛ`=2t(2-t)

정리하면 tÛ`-4t+2'2=0

이차방정식 tÛ`-4t+2'2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수 의 관계에 의하여

   h(x) =xÜ`-xÛ`-x(x-1)  

=xÜ`-2xÛ`+x

  h(x) =xÜ`-xÛ`+x(x-1)  

=xÜ`-x

0<k<;2¢7;

따라서 q-p의 최댓값은

;2¢7;-0=;2¢7;

 ②

17

  ㄱ.  f '(x)=3axÛ`-12aÛ`x+9aÜ`

  `이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D라 하면   ` D4 =36aÝ`-27aÝ`=9aÝ`

  `  D>0이므로 방정식  f '(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는 다. (참)

ㄴ.  f '(x)=3a(x-a)(x-3a)   ` f '(x)=0에서 x=a 또는 x=3a

  `  f(a)=4aÝ`, f(3a)=0이므로 함수 f(x)는 x=a에서 극댓 값 4aÝ`, x=3a에서 극솟값 0을 갖는다.

  ` a>0일 때, 함수 y=f(x)의 그래프와 함수 y=| f(x)|의  그래프는 그림과 같다.

  ` a<0일 때, 함수 y=f(x)의 그래프와 함수 y=| f(x)|의  그래프는 그림과 같다.

y=f(x)

x 3a a 0 x

a 0 3a

y=|f(x)|

  ` 즉, 함수 | f(x)|는 x=0, x=a, x=3a에서 극값을 가지 므로 극값을 갖는 x의 개수는 3이다. (참)

ㄷ.  f(3a)-f(a)

3a-a = 0-4aÝ`2a =-2aÜ`

0 ac c 3a x y=f(x)

  ` 평균값 정리에 의하여  f '(c)=-2aÜ`을 만족시키는 c가 구 간 (a, 3a)에서 적어도 하나 존재한다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

18

   f(x)=x(xÛ`+nx+5)이므로  방정식   f(x)=0은  x=0 을 실근으로 갖는다.

조건 (가)에서 방정식 f(x)=0의 실근의 개수가 1이므로 이차 방정식 xÛ`+nx+5=0은 실근을 갖지 않아야 한다.

이차방정식 xÛ`+nx+5=0의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ=nÛ`-20<0에서 nÛ`<20

또,  f '(x)=3xÛ`+2nx+5이고, 조건 (나)에서 함수 f(x)가 극 값을  가지므로  이차방정식  3xÛ`+2nx+5=0은  서로  다른  두  실근을 갖는다.

이차방정식 3xÛ`+2nx+5=0의 판별식을 Dª라 하면 Dª

4 =nÛ`-15>0에서 nÛ`>15

n은 자연수이고 15<nÛ`<20이므로 n=4이다.

 f '(x) =3xÛ`+8x+5   

=(3x+5)(x+1)

 f '(x)=0에서 x=-;3%; 또는 x=-1

함수  f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -;3%; y -1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

함수  f(x)는 x=-;3%;에서 극댓값, x=-1에서 극솟값을 갖 는다.

따라서 함수 f(x)의 극솟값은

f(-1)=(-1)Ü`+4_(-1)Û`+5_(-1)=-2

 ①

19

   f '(x) =6xÛ`-6(a+2)x+12a   

=6(x-a)(x-2)  f '(x)=0에서 x=a 또는 x=2 Ú 0<a<2인 경우

    함수 f(x)는 x=a에서 극대, x=2에서 극소이고  f(0)>0 이므로 구간 [0, ¦)에서 부등식  f(x)¾0이 성립하려면      f(2)¾0을 만족시키면 된다.

    f(2)=-8+28a이므로    -8+28a¾0에서 a¾;7@;

   따라서 ;7@;Éa<2 Û a=2인 경우

     f '(x)=6(x-2)Û`이므로 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에 서 증가한다.

     f(0)>0이므로 구간 [0, ¦)에서 부등식  f(x)¾0이 항상  성립한다.

   따라서 a=2 Ü a>2인 경우

     함수 f(x)는 x=2에서 극대, x=a에서 극소이고  f(0)>0 이므로 구간 [0, ¦)에서 부등식  f(x)¾0이 성립하려면      f(a)¾0을 만족시키면 된다.

    f(a)=-aÜ`+6aÛ`+16a이므로

   -aÜ`+6aÛ`+16a¾0에서 a(a+2)(a-8)É0    a>0이므로 0<aÉ8

   따라서 2<aÉ8 Ú, Û, Ü에서

;7@;ÉaÉ8이므로 M=8, m=;7@;

따라서 7(M+m)=7{8+;7@;}=56+2=58

 58

20

  g(x)=-xÜ`+3xÛ`+4x라 하자.

Ú g(x)=-x(xÛ`-3x-4)=-x(x+1)(x-4)이므로    k=0일 때, 방정식  f(x)=0은 세 실근 -1, 0, 4를 갖는다.

Û g '(x)=-3xÛ`+6x+4    g '(x)=0에서 x=3-'2Œ1

3  또는 x=3+'2Œ1 3

   함수 g(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y 3-'2Œ1

3 y 3+'2Œ1

3 y

g '(x) - 0 + 0

g(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

   -1<3-'2Œ1

3 <0, 2<3+'2Œ1

3 <3이므로 함수 y=g(x)    의 그래프는 그림과 같다.

y

y=g(x)

O x 6 12

-2-1 1 2 3 4

    g(1)=6, g(-2)=g(2)=g(3)=12이므로 k=12일 때,  방정식  f(x)=0은 세 실근 -2, 2, 3을 갖는다.

Ú, Û에서 세 실근이 모두 정수가 되도록 하는 실수 k의 값은  0, 12이고, 그 개수는 2이다.

 ②

21

  다항함수  f(x)의 차수를 n, 최고차항의 계수를 aÇ이라 하 면 도함수  f '(x)의 차수는 n-1, 최고차항의 계수는 naÇ이다.

조건 (가)에서 양변의 xÇ` 항의 계수가 같아야 하므로

naÇ=aÇ에서 n=1  yy ➊

 f(x)=ax+b`(a, b는 상수, a+0)로 놓으면 조건 (가)에서    (x-3)_a=ax+b이므로

b=-3a

한편,  f(5)=5a+b=5a+(-3a)=2a 조건 (나)에서 2a=8, a=4

따라서 b=-12이므로

 f(x)=4x-12  yy ➋

따라서  f(10)=4_10-12=28  yy ➌

 28

단계 채점 기준 비율

➊  f(x)의 차수를 구한 경우 40 %

➋  f(x)를 구한 경우 40 %

➌  f(10)의 값을 구한 경우 20 %

22

   f '(x) =3xÛ`-2ax-aÛ`   

=(3x+a)(x-a)  f '(x)=0에서 x=-;3A; 또는 x=a

함수  f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -a

3 y a y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

함수  f(x)는 x=-;3A;에서 극대이고 x=a에서 극소이므로 함수  f(x)의 극댓값은

 f {-;3A;}= 527 aÜ`+b 함수  f(x)의 극솟값은

 f(a)=-aÜ`+b  yy ➊

이때 극댓값과 극솟값의 차가 4이므로 { 527 aÜ`+b}-(-aÜ`+b)=4

3227 aÜ`=4에서 a=;2#;  yy ➋

방정식  f(x)=0이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음 의 실근을 가지려면  f(0)>0,  f(a)<0을 만족시켜야 하므로  f(0)=b에서 b>0

 f(a)=f {;2#;}=-:ª8¦:+b이므로 -:ª8¦:+b<0에서 b<:ª8¦:

따라서 0<b<:ª8¦:  yy ➌

 0<b<:ª8¦:

단계 채점 기준 비율

➊  f(x)의 극값을 구한 경우 40 %

➋ a의 값을 구한 경우 20 %

➌ b의 값의 범위를 구한 경우 40 %

23

   f(t)=-tÝ`+4tÜ`, g(t)=ktÛ`이라 하자.

두 점 P, Q의 시각 t에서의 속도는 각각 

 f '(t)=-4tÜ`+12tÛ`, g '(t)=2kt  yy ➊ 두 점 P, Q의 시각 t에서의 가속도는 각각

dt `f '(t)=-12tÛ`+24td 

dt  g '(t)=2k d  yy ➋

그런데  d dt `f '(t)=-12tÛ`+24t=-12(t-1)Û`+12이므로  t>0에서 두 점 P, Q의 가속도가 같아지는 순간이 2번 있으려면 0<2k<12, 0<k<6  yy ➌ 따라서 정수 k의 값은 1, 2, 3, 4, 5이고, 그 합은 

1+2+3+4+5=15  yy ➍

 15

단계 채점 기준 비율

➊ 두 점 P, Q의 속도를 구한 경우 20 %

➋ 두 점 P, Q의 가속도를 구한 경우 20 %

➌ k의 값의 범위를 구한 경우 30 %

➍ 모든 정수 k의 값의 합을 구한 경우 30 %

문서에서 EBS 올림포스 수학(Ⅱ) 답지 정답 (페이지 44-49)