2.3 함수
이산수학 <제2장> 기본구조
이상준 교수
(덕성여대 수학과)
교재 : 이산수학 (7판)
Kenneth H. Rosen 지음, 공은배 등 옮김
함수
정의1: A와 B가 집합이라 하자.A로부터 B로의 함수 f는 A의 원소 각각에 B의 원소를 단 하나만 대응시킨 것이다.
예시: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 or
정의2: 만약 f가 A로부터 B로의 함수라면
A: f의 정의역(domain)
B: f의 공역(codomain)𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 𝑎 ↦ b 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅
𝑥 ↦ x + 1
주의:range = codomain 또는 image
예제: 정의역=
공역=
치역=
b의 상=
1의 원상=
2의 원상=
예제: 정의역=
공역=
치역=
2의 상=
1의 원상=
9의 원상=
𝑓 ∶ 𝑍 → 𝑍 𝑥 ↦ 𝑥
1
정의: 실수 함수(real-valued function): 공역이 실수의 집합인 함수
정수 함수(integer-valued function): 공역이 정수인 함수
정의:𝑓
2과 𝑓
1가 A로부터 R로의 함수라 하자.
𝑓2 + 𝑓
1 : A → R
𝑥 ↦ 𝑓
2+ 𝑓
1𝑥 ≔ 𝑓
2𝑥 + 𝑓
1(𝑥)
𝑓2𝑓
1 : A → R
예제:𝑓
2𝑥 = 𝑥
1, 𝑓
1𝑥 = 𝑥 − 𝑥
1 𝑓2 + 𝑓
1 𝑥 =
𝑓2𝑓
1 𝑥 =
정의: 함수 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 이고, S⊆A 일 때, f(s)={f(s)|s∈S}는 S의 상이다.
예제:
S={b,c,d}
f(S)={ }단사 함수 (일대일 함수)
정의:f의 정의역에 속한 모든 a와 b에 있어서 f(a)=f(b)이면 반드시 a=b일 때, 함수 f를 단사 함수(one-to-one 또는 injunction)라고 한다.
1-1 not 1-1
예제: f가 단사 함수인가?
예제: R에서 R로 가는 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥1
가 단사 함수인지 결정하라.
예제: R에서 R로 가는 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 가 단사 함수인지 결정하라.f : {a,b,c,d} → {1,2,3,4,5}
a ↦ 4 b ↦ 5 c ↦ 1 d ↦ 3
복습
예제: R에서 R로 가는 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥1
가 단사 함수인지 결정하라.
예제: R에서 R로 가는 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 가 단사 함수인지 결정하라.전사함수(치역=공역)
정의: 정의역 A, 공역 B가 있을 때,b∈B인 모든 원소에 대하여 f(a)=b인 원소 a∈A가 존재할 경우 함수 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 를 전사 함수(onto 또는 surjection)라고 한다.
예제:
함수 는 전사 함수인가?
함수 는 전사 함수인가?𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥
1
𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ x + 1
복습
예제:
함수 는 전사 함수인가?
함수 는 전사 함수인가?𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥
1
𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ x + 1
전단사 함수(일대일 대응)
정의:단사 함수이고 동시에 전사 함수인 함수를
전단사 함수(one-to-one correspondence 또는 bijection)이라고 한다.
역함수
정의: 함수 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 가 전단사 함수라고 하자.𝒇의 역함수(inverse function) 𝒇 9𝟏는 B의 원소 b에 𝑓 𝑎 = 𝑏인 A의 원소 a를 다른 것과 중복되지 않게 대응시키는 함수이다.
예제: 일 때 𝑓는 가역함수인가?
예제: 일 때 𝑓는 가역함수인가?𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥 + 1
𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥
1
정의: 함수 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 를
𝑥 < 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑦 일 때 : 증가 함수(increasing function) 라 한다.
𝑥 < 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑦 일 때 : 단조 증가 함수(strictly increasing function) 라 한다.
𝑥 < 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑦 일 때 : 감소 함수(decreasing function) 라 한다.
𝑥 < 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑦 일 때 : 단조 감소 함수(strictly decreasing function) 라 한다.합성함수
정의: 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 와 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 를 함수라 하자.합성함수 𝐠 ∘ 𝒇는 𝑔 ∘ 𝑓 𝑎 = 𝑔(𝑓 𝑎 ) 로 정의된다.
예제: 𝑓 ∶ 𝑎,𝑏, 𝑐 → {1,2,3} 는 𝑓 𝑎 = 3,𝑓 𝑏 = 2,𝑓 𝑐 = 1 인 함수이고, 𝑔 ∶ 𝑎, 𝑏, 𝑐 → {𝑎,𝑏, 𝑐} 는 𝑔 𝑎 = 𝑏,𝑔 𝑏 = 𝑐,𝑔 𝑐 = 𝑎 인 함수이다.
𝑓 ∘ 𝑔는 무엇인가?
𝑔 ∘ 𝑓는 무엇인가?합성함수(계속)
예제:
𝑓 ∘ 𝑔는 무엇인가?
𝑔 ∘ 𝑓는 무엇인가?𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅
𝑥 ↦ 2𝑥 + 3
𝑔 ∶ 𝑅 → 𝑅
𝑥 ↦ 3𝑥 + 2
함수의 그래프
예제:
①
②
예제:
①
②𝑓 ∶ 𝑍 → 𝑍
𝑥 ↦ 2𝑥 + 1 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅
𝑥 ↦ 2𝑥 + 1
𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥
1
𝑓 ∶ 𝑍 → 𝑍 𝑥 ↦ 𝑥1
중요한 함수들
정의: x∈R 라 하자.
바닥함수(floor) 𝒙 는 실수 x에 대해 x와 같거나 x보다 작은 수 중에서 x에 가장 가까운 정수
천정함수(ceiling) 𝒙 는 실수 x에 대해 x와 같거나 x보다 큰 수 중에서 x에 가장 가까운 정수
예제:
0.5 = 0.5 =
3.1 = 3.1 =
그래프:
① 𝑦 = 𝑥
② 𝑦 = 𝑥
예제: x와 y가 실수일 때, 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 가 성립하는가 안 하는가를 증명하라.
예제: x가 실수라면 2𝑥 = 𝑥 + 𝑥 +2 1
임을 증명하라.부분함수
예제:
f는 함수인가?
f가 함수가 되려면 무엇을 바꿔야 할까?𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥