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2.3 함수

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(1)

2.3 함수

이산수학 <제2장> 기본구조

이상준 교수

(덕성여대 수학과)

교재 : 이산수학 (7판)

Kenneth H. Rosen 지음, 공은배 등 옮김

(2)

함수

„

정의1: A와 B가 집합이라 하자.

A로부터 B로의 함수 f는 A의 원소 각각에 B의 원소를 단 하나만 대응시킨 것이다.

„

예시: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 or

„

정의2: 만약 f가 A로부터 B로의 함수라면

„

A: f의 정의역(domain)

„

B: f의 공역(codomain)

𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 𝑎 ↦ b 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ x + 1

(3)

„

주의:

range = codomain 또는 image

„

예제:

„ 정의역=

„ 공역=

„ 치역=

„ b의 상=

„ 1의 원상=

„ 2의 원상=

(4)

„

예제:

„ 정의역=

„ 공역=

„ 치역=

„ 2의 상=

„ 1의 원상=

„ 9의 원상=

𝑓 ∶ 𝑍 → 𝑍 𝑥 ↦ 𝑥

1

(5)

„

정의:

„ 실수 함수(real-valued function): 공역이 실수의 집합인 함수

„ 정수 함수(integer-valued function): 공역이 정수인 함수

„

정의:

𝑓

2

과 𝑓

1

가 A로부터 R로의 함수라 하자.

„ 𝑓

2

+ 𝑓

1

: A → R

𝑥 ↦ 𝑓

2

+ 𝑓

1

𝑥 ≔ 𝑓

2

𝑥 + 𝑓

1

(𝑥)

„ 𝑓

2

𝑓

1

: A → R

„

예제:

𝑓

2

𝑥 = 𝑥

1

, 𝑓

1

𝑥 = 𝑥 − 𝑥

1

„ 𝑓

2

+ 𝑓

1

𝑥 =

„ 𝑓

2

𝑓

1

𝑥 =

(6)

„

정의: 함수 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 이고, S⊆A 일 때, f(s)={f(s)|s∈S}는 S의 상이다.

„

예제:

„

S={b,c,d}

„

f(S)={ }

(7)

단사 함수 (일대일 함수)

„

정의:

f의 정의역에 속한 모든 a와 b에 있어서 f(a)=f(b)이면 반드시 a=b일 때, 함수 f를 단사 함수(one-to-one 또는 injunction)라고 한다.

„ 1-1 not 1-1

(8)

„

예제: f가 단사 함수인가?

„

예제: R에서 R로 가는 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥

1

가 단사 함수인지 결정하라.

„

예제: R에서 R로 가는 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 가 단사 함수인지 결정하라.

f : {a,b,c,d} → {1,2,3,4,5}

a ↦ 4 b ↦ 5 c ↦ 1 d ↦ 3

(9)

복습

„

예제: R에서 R로 가는 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥

1

가 단사 함수인지 결정하라.

„

예제: R에서 R로 가는 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 가 단사 함수인지 결정하라.

(10)

전사함수(치역=공역)

„

정의: 정의역 A, 공역 B가 있을 때,

b∈B인 모든 원소에 대하여 f(a)=b인 원소 a∈A가 존재할 경우 함수 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 를 전사 함수(onto 또는 surjection)라고 한다.

(11)

„

예제:

„

함수 는 전사 함수인가?

„

함수 는 전사 함수인가?

𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥

1

𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ x + 1

(12)

복습

„

예제:

„

함수 는 전사 함수인가?

„

함수 는 전사 함수인가?

𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥

1

𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ x + 1

(13)

전단사 함수(일대일 대응)

„

정의:

단사 함수이고 동시에 전사 함수인 함수를

전단사 함수(one-to-one correspondence 또는 bijection)이라고 한다.

(14)

역함수

„

정의: 함수 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 가 전단사 함수라고 하자.

𝒇의 역함수(inverse function) 𝒇 9𝟏

는 B의 원소 b에 𝑓 𝑎 = 𝑏인 A의 원소 a를 다른 것과 중복되지 않게 대응시키는 함수이다.

(15)

„

예제: 일 때 𝑓는 가역함수인가?

„

예제: 일 때 𝑓는 가역함수인가?

𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥 + 1

𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥

1

(16)

„

정의: 함수 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 를

„

𝑥 < 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑦 일 때 : 증가 함수(increasing function) 라 한다.

„

𝑥 < 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑦 일 때 : 단조 증가 함수(strictly increasing function) 라 한다.

„

𝑥 < 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑦 일 때 : 감소 함수(decreasing function) 라 한다.

„

𝑥 < 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑦 일 때 : 단조 감소 함수(strictly decreasing function) 라 한다.

(17)

합성함수

„

정의: 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 와 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 를 함수라 하자.

합성함수 𝐠 ∘ 𝒇는 𝑔 ∘ 𝑓 𝑎 = 𝑔(𝑓 𝑎 ) 로 정의된다.

„

예제: 𝑓 ∶ 𝑎,𝑏, 𝑐 → {1,2,3} 는 𝑓 𝑎 = 3,𝑓 𝑏 = 2,𝑓 𝑐 = 1 인 함수이고, 𝑔 ∶ 𝑎, 𝑏, 𝑐 → {𝑎,𝑏, 𝑐} 는 𝑔 𝑎 = 𝑏,𝑔 𝑏 = 𝑐,𝑔 𝑐 = 𝑎 인 함수이다.

„

𝑓 ∘ 𝑔는 무엇인가?

„

𝑔 ∘ 𝑓는 무엇인가?

(18)

합성함수(계속)

„

예제:

„

𝑓 ∘ 𝑔는 무엇인가?

„

𝑔 ∘ 𝑓는 무엇인가?

𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ 2𝑥 + 3

𝑔 ∶ 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ 3𝑥 + 2

(19)

함수의 그래프

„

예제:

„

„

„

예제:

„

„

𝑓 ∶ 𝑍 → 𝑍

𝑥 ↦ 2𝑥 + 1 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ 2𝑥 + 1

𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥

1

𝑓 ∶ 𝑍 → 𝑍 𝑥 ↦ 𝑥

1

(20)

중요한 함수들

„

정의: x∈R 라 하자.

„

바닥함수(floor) 𝒙 는 실수 x에 대해 x와 같거나 x보다 작은 수 중에서 x에 가장 가까운 정수

„

천정함수(ceiling) 𝒙 는 실수 x에 대해 x와 같거나 x보다 큰 수 중에서 x에 가장 가까운 정수

„

예제:

„

0.5 = 0.5 =

„

3.1 = 3.1 =

(21)

„

그래프:

„

① 𝑦 = 𝑥

„

② 𝑦 = 𝑥

(22)

„

예제: x와 y가 실수일 때, 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 가 성립하는가 안 하는가를 증명하라.

„

예제: x가 실수라면 2𝑥 = 𝑥 + 𝑥 +

2 1

임을 증명하라.

(23)

부분함수

„

예제:

„

f는 함수인가?

„

f가 함수가 되려면 무엇을 바꿔야 할까?

𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 𝑥 ↦ 𝑥

참조

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